Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. Jelölések: A számsorozat tagjait általánosan a 1, a 2, a n -nel jelöljük. Az a n -et a sorozat általános tagjának nevezzük. Továbbiakban számsorozat helyett röviden sorozatot írunk.
Sorozatok megadása 1. Felsorolással: 1, 3, 5, 2. Explicit képlettel: megadjuk a sorozat általános tagját, a n -et olyan képlettel, amelyben n helyére behelyettesítve a pozitív egész számokat, rendre megkapjuk a sorozat tagjait. Pl: a n = n sorozat tagjai: 1, 2, 3, n+1 2 3 4 3. Rekurzív képlettel: megadjuk a sorozat első vagy első néhány tagját, és megmondjuk, hogy az n-edik tag hogyan függ a megelőző tagtól vagy tagoktól. Pl: a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 n 3 sorozat tagjai: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (FIBONACCI-SOROZAT) 4. Utasítással: egyértelműen körülírjuk a sorozat tagjainak képzési szabályát. Pl: prímszámok sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
Sorozatok ábrázolása a) Koordinátarendszerben: Az 1, 2,, n, abszcisszájú helyeken olyan pontokat ábrázolunk, amelyek ordinátái rendre a sorozat tagjai; a sorozat grafikonja nem folytonos vonal, hanem elkülönült, úgynevezett diszkrét pontokból áll. b) Számegyenesen: A sorozat elemének értékéhez helyezünk egy pontot; ha a pontok mellett feltüntetjük a tagok sorszámát, akkor szemléletesen követhetjük a tagok változását.
Számtani és mértani sorozatok Definíció: Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyeknél (a második tagtól kezdve ) bármelyik tag és az őt megelőző tag különbsége állandó. Ezt az állandó különbséget differenciának nevezzük és d-vel jelöljük. Számtani sorozat általános tagja: a n = a n 1 + d, amiből a n = a 1 + (n 1)d Számtani sorozat első n tagjának az összege: S n = 2a 1+ n 1 d n 2 Jelentősége: egyszerű kamat számítás, lineáris növekedés leírása Definíció: Mértani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyeknél (a második tagtól kezdve) bármelyik tag és az őt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost quociensnek nevezzük és q-val jelöljük. Mértani sorozat általános tagja: a n = a n 1 q, amiből a n = a 1 q n 1 Mértani sorozat első n tagjának az összege: S n = a 1 q n 1 q 1 Jelentősége: kamatos kamat számítás, exponenciális növekedés leírása (exponens = kitevő)
Korlátos sorozatok Definíció: Az a n sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re a n K teljesül. A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük. Definíció: Az a n sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re a n k teljesül. A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Egy sorozat korlátos, ha alulról és felülről korlátos.
Korlátosság Egy felülről korlátos sorozatnak végtelen sok felső korlátja van. A felső korlátok között van legkisebb. Egy alulról korlátos sorozatnak végtelen sok alsó korlátja van. Az alsó korlátok között van legnagyobb. Definíció: Felülről korlátos sorozat felső korlátját a sorozat felső határának, alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határának nevezzük.
Monoton sorozatok Definíció: Az a n sorozat monoton növekvő, ha minden n-re a n a n+1 teljesül. Ha a n < a n+1, akkor szigorúan monoton növekvő sorozatról beszélünk. Definíció: Az a n sorozat monoton csökkenő, ha minden n-re a n a n+1 teljesül. Ha a n > a n+1, akkor szigorúan monoton csökkenő sorozatról beszélünk.
Monotonitás vizsgálata Monotonitás vizsgálatakor célszerű a szomszédos tagok különbségét vizsgálni. (Definíció!) A szomszédos tagok különbségének vizsgálata nem minden esetben vezet eredményre, ekkor érdemes a szomszédos tagok hányadosát felírni.
Feladatok
Feladatok: 3. Mit mondhatunk az alábbi sorozatokról korlátosság szempontjából? a) a n = n 2 + 1 b) b n = 10 n c) c n = ( 1) n d) d n = ( 2) n 4. Mit mondhatunk monotonitás szempontjából az alábbi sorozatokról? a) a n = n 2 + 4n 20 b) b n = 2n n!
Versenyfeladatok (rekurzív sorozatok): 1. Egy számsorozatot a következő módon képezünk: legyen a 1 = 1 és a 2 =2, a sorozat további tagjai pedig tegyenek eleget az a n = a n 1 a n+1 1 (n 2) összefüggésnek. Mennyi a sorozat első 2016 tagjának az összege? 2. Egy számsorozatot a következő módon lehet megadni: a 1 = 1, a 2 =2, és minden n 1 egészre a n+2 = 3 a n+1 2 a n. Fejezze ki a n -t n-nel. 3. Az a n sorozatra teljesül, hogy a 1 = 1 és minden n 2 esetén a n = a n 1 2a n 1 +1. Hány olyan tagja van a sorozatnak, amelyik nagyobb 1 100 -nál.