Operátorszeletelési eljárások és alkalmazásai aerodinamikai modellekre

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Intézet Szakdolgozat Operátorszeletelési eljárások és alkalmazásai aerodinamikai modellekre Készítette: Boda Lívia Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Matematikus MSc Témavezetők: Faragó István Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék és Kalmár-Nagy Tamás Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Áramlástan Tanszék Budapest 9

Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás. Bevezetés 3. Operátorszeletelés és realizálása 5.. Az operátorszeletelés alapgondolata........................ 5.. A felhasznált módszerek.............................. 6.3. Rendfeltételek a szekvenciális szeletelésre..................... 3. A vizsgált aerodinamikai modell bemutatása 7 3.. A kiindulás..................................... 7 3.. A modell....................................... 8 3.3. A dimenziótlan modell............................... 9 3.4. A linearizált modell................................. 4. A modell egyensúlyi helyzetei és stabilitásvizsgálata 5 4.. A stabilitási kritérium............................... 5 4.. Az első szakasz stabilitása............................. 7 4.3. A második szakasz stabilitása........................... 8 4.4. A harmadik szakasz stabilitása........................... 9 4.5. Bifurkációs diagramok............................... 33 5. Operátorszeletelés alkalmazása a vizsgált aerodinamikai modellre 34 5.. Mátrixfelbontások.................................. 34 5.. A részfeladatok lehetséges megoldási módszerei.................. 36 5.3. Operátorszeletelés alkalmazása az első szakaszra................. 37 5.4. Operátorszeletelés alkalmazása a második és harmadik szakaszra........ 45 6. Összegzés, kitekintés a továbbiakra 5 Hivatkozások 5

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Faragó Istvánnak, aki a mesterszakos tanulmányaim alatt mindvégig támogatott, biztatott és segítette az előremenetelemet valamint, hogy precizitásával, szakértelmével és ötleteivel hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez. Emellett szeretném megköszönni az Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék összes oktatójának a sok érdekes témát és előadást, melyek segítségével bővíthettem ismereteim. Végül, de nem utolsó sorban hatalmas köszönettel tartozom szüleimnek és testvéremnek, hogy tanulmányaim során mindvégig mellettem álltak, támogattak és biztattak.

. Bevezetés A numerikus analízis a matematika tudományágának egy elengedhetetlen alkotóeleme. A folytonos modellek szintjén számos analitikusan megoldhatatlan probléma merül fel a matematika más ágazataiban, továbbá más tudományokban, a műszaki területtől kezdve a meteorológián át a közgazdaságtanig. Ugyanakkor ezek esetén mégis szükséges valamilyen módon jellemeznünk (kvalitatív és kvantitatív módon egyaránt a megoldást. Ez a legtöbb esetben nélkülözhetetlen és megkerülhetetlen az adott jelenség viselkedésének megértéséhez, elemzéséhez és sok esetben az optimalizálásához. Az ilyen és ehhez hasonló esetekben a numerikus analízis szolgáltatja a megoldást a problémára. Mesterszakos tanulmányaim alatt lehetőségem volt közelebbről is megismerkedni az alkalmazott analízis egy széleskörűen elterjedt és eredményesen használt eszközével, az operátorszeleteléssel, amelyről a szakdolgozatom is szól. A dolgozat négy részből áll, melyek közül az első részben az operátorszeletelés alapgondolata és az alkalmazott operátorszeletelési eljárások mellett a munkánk során megfogalmazott sejtések és ezek bővebb magyarázatai kerülnek bemutatásra. Az ismertetett operátorszeletelési módszerek alkalmazhatóságát egy aerodinamikai, ezen belül is egy aeroelasztikus modellen vizsgáltuk, mely modellt a dolgozat második részében vezetünk be. Az aeroelsztikus jelenségek értelmezéséhez tekintsünk példaként egy repülőgép szárnyát. A szárny, a rajta ébredő terhelések hatására, általában rugalmasan deformálódik. A deformáció hatására megváltozik a szárny alakja és a deformáció időbeli változása alapján értelmezhetjük a deformáció sebességét is. Ezek a tényezők befolyásolják, megváltoztatják a szóban forgó szárny terhelését. Ezzel egy kölcsönösen összefüggő jelenségcsoportot nyerünk, és a légerők, a tehetetlenségi erők és a rugalmas erők (illetve ezen erők nyomatékai együttes hatására előálló folyamatot nevezzük aeroelasztikus jelenségnek. Többféle aeroelasztikus jelenség létezik, amelyeket az alábbi rendszerbe foglalhatjuk össze.. ábra. Az aeroelasztikus jelenségek csoportosítása Az aeroelasztikus jelenségek ugyan egyidősek a repüléssel, azonban a jelentőségük az utóbbi időkben folyamatosan nő, mivel a repülési sebesség növekedésével, az egyre karcsúbb szerkezetek alkalmazásával, illetve a modern vezérlési és szabályozási rendszerek elterjedésével válnak egyre fontosabbá ezen jelenségek vizsgálatai. Az általunk vizsgált aeroelasztikus rendszer, az. ábrán látható táblázatban a periodikus jelenségek rész, öngerjesztett rezgések, lengések pontjának több szabadsági fokú esetéhez tartozik. 3

A vizsgált modell egy szakaszonként lineáris aeroelasztikus jelenséget ír le, amely egy szélcsatornabeli kísérletből származó adathalmazon alapszik. Az adatpontok elhelyezkedéséből kiindulva egy szakaszonként lineáris függvény illeszthető a pontokra, mely függvény három szakaszból áll, ennek következtében az egész aeroelasztikus modell is három szakaszból épül fel. A dolgozat második részében részletes bemutatásra kerül a modell, a felépítésétől, az egyszerűsítésein át eljutunk a lineáris rendszerekig, amelyek esetén a későbbiekben vizsgáljuk az első részben bemutatott módszerek alkalmazhatóságát. A jelenséget leíró modell felírása után a dolgozat harmadik részében a különböző szakaszokra kapott rendszerek egyensúlyi helyzeteinek meghatározásai valamint ezek stabilitásvizsgálatai szerepelnek. A folytonos modell stabilitásvizsgálata elengedhetetlen ahhoz, hogy a későbbiekben megértsük, értelmezni tudjuk a felépített diszkretizált modellek viselkedését. A három szakasz közül az első kettő stabilitási vizsgálata már megtalálható az irodalomban, az erre vonatkozó eredmények a [4] cikkben szerepelnek. Az eredményeket adó számításokat rekonstruáltuk, eközben találtunk egy hibát a cikkben, melyet sikerült kijavítanunk, és a szakdolgozatban már a helyes formulák, számítások és eredmények szerepelnek. Ezek után, ennek mintájára végeztük el, a még hiányzó, harmadik szakaszra vonatkozó stabilitási analízist. A vizsgált modell bemutatása és stabilitásvizsgálata után, a dolgozat utolsó részében erre a modellre alkalmazzuk az első részben taglalt operátorszeletelési eljárásokat, különböző felbontásokat vezetünk be, majd ezeket felhasználva állítjuk elő a diszkretizált modelleket. Az így nyert numerikus eljárások esetén vizsgáljuk a pontossági rend, a lépésköz valamint a futási idő kapcsolatát is. Összehasonlítjuk egyszerűbb numerikus módszerek eredményeivel, ezzel bizonyítva, hogy az operátorszeletelés alkalmazása bizonyos feltételek mellet igen előnyös és gazdaságos lehet. Munkánk során a számításokat kézzel és szimbolikus programcsomagok (elsősorban Mathematica segítségével végeztük el. Számításaink alátámasztására számítógépes szimulációkat végeztünk: bifurkációs diagramokat, fázisportrékat, az egyensúlyi pontok elhelyezkedését szemléltető ábrákat készítettünk (A MATLAB programcsomag segítségével. A numerikus megoldásokat saját kódolású numerikus módszerekkel állítottuk elő. (Ehhez főként a MATLAB programcsomagot használtuk. 4

. Operátorszeletelés és realizálása Az operátorszeletelés (angolul "operator splitting" a numerikus analízis egy széleskörűen elterjedt és sikeresen alkalmazott eszköze, mely segítségével bonyolult felépítésű feladatokat egyszerűbb szerkezetű feladatok sorozatára vezetünk vissza úgy, hogy a kapott részfeladatokat a kezdeti feltételeiken keresztül kapcsoljuk össze. Ezzel lényegesen megkönnyítve az eredeti bonyolult feladat numerikus megoldásának meghatározását. Az operátorszeletelés elméletéről bővebben a [] könyvben olvashatunk. A dolgozatban csak az alapgondolatot valamint az alkalmazott módszereket ismertetjük röviden... Az operátorszeletelés alapgondolata Tekintsük a következő, operátoralakban felírt, Cauchy problémát az X Banach térben y(t t = Ay(t = n i= A iy(t t [, T y( = y, (. ahol y : [, T ] X az ismeretlen függvény, y X adott kezdeti feltétel, A i : X X (i =,..., n adott operátorok. Tekintsük most a véges dimenziós esetet, amikor X véges dimenziós tér, továbbá legyenek az A i operátorok speciális alakúak, méghozzá lineáris operátorok. Ami azt jelenti, hogy ez esetben az A i operátoraink mátrixok. Ebben az esetben az (. Cauchy-feladat pontos megoldása formálisan közvetlenül is felírható: y(t = exp(tay(. (. Amely megoldás előállítása többnyire csak formális, ezért kiszámítását a gyakorlatban valamilyen numerikus módszer segítségével végezzük el. Valójában ez azt jelenti, hogy valamilyen racionális függvénnyel approximáljuk az exponenciális függvényt, azaz Ekkor a numerikus módszerünk algoritmusa a következő: exp(z r(z. (.3 y n+ = r(hay n, (.4 ahol h > a diszkretizációs paraméter (lépésköz, az y n vektor pedig a t = nh időrétegbeli közelítés. Amikor a (.3 típusú approximációt alkalmazzuk az (. feladatra, akkor valójában az exp ( d z i függvényt kell közelítenünk. Ennek egy lehetséges módja a (.3 approximáció, amikor is előbb approximáljuk az exponenciális függvényt, és utána helyettesítjük be összegként az operátort. Ezzel természetesen nem tudjuk kihasználni az operátor speciális alakját. Az operátorszeletelés alapötlete, hogy a (.3 approximáció során az exp ( d z i függvényt első lépésben nem racionális, hanem az egyes részoperátorok exponenciálisainak segítségével approximáljuk. 5

.. A felhasznált módszerek Ebben az alfejezetben bemutatjuk a későbbiekben felhasznált operátorszeletelési eljárásokat, nevezetesen a szekvenciális és Strang-Marcsuk splitting módszereket, melyek a leghagyományosabb és leggyakrabban alkalmazott eljárások közé tartoznak. Ismertetjük a módszerek alapgondolatait valamint felvázoljuk az algoritmusaikat, melyeket példákon keresztül ábrákkal teszünk szemléletessé. Tekintsük a (, T ] vizsgált intervallum ekvidisztáns felbontását: ω h = t n = n h, h = T N, n =,,..., N}. A szekvenciális splitting egy könnyen realizálható módszer, mely első rendben közelíti az adott probléma pontos megoldását. Tehát adott az (. Cauchy-feladat, amely megoldását a szekvenciális splitting módszer alkalmazásával szeretnénk megkapni az ω h rácshálón. Ehhez valamennyi rögzített n =,,..., N értékre rendre megoldjuk a következő d darab Cauchyfeladatot: ẏn i (t = A i yi n (t, t ( (n h, nh ] (, (n h = y n (.5 i (nh, ahol i =,,..., d. Ekkor a szeletelt megoldás a következő y n i y N szekv(nh = y n d (nh és az algoritmusban y n (nh = y N szekv( (n h, valamint y N szekv ( = y(, az (. kezdeti feltételből ismert y vektor. Az algoritmus ekkor a következő: A A... A d }}. lepes A A... A d }}. lepes... A A... A d }} N. lepes Az algoritmust érdemes egy ábrán szemléltetni a könnyebb megértés érdekében. Legyen i =,, ekkor tehát az eredeti A operátorral felírt (. Cauchy-feladatunkat két másik Cauchy-feladatra bontottuk fel, rendre A és A operátorokkal. Az algoritmus első lépésében először megoldjuk az első részfeladatot a (, h] intervallumon, az eredeti (. feladat y( kezdeti feltételét felhasználva: Az így kapott h-beli megoldás, azaz y (h, lesz a következő részfeladatunk kezdeti feltétele. A következő lépésben a második feladatot oldjuk meg, szintén a (, h] intervallumon, az előbb említett kezdeti feltétellel: 6

Az így kapott megoldás lesz a h-beli splittingelt megoldás, azaz y (h = y szekv (h. Valamint ez a megoldás lesz a következő lépésben megoldott részfeladat kezdeti feltétele. A második lépésben a (h, h] intervallumon oldjuk meg az első részfeladatot, az előbb említett kezdeti feltételt felhasználva: Az így kapott y (h megoldás lesz a következő feladat kezdeti feltétele. Ezután megoldjuk szintén a (h, h] intervallumon a második részfeladatot, az előbbi kezdeti feltétellel: Így kapjuk meg a h-beli splittingelt megoldást, azaz y (h = y szekv (h. Ezt az eljárást ismételve az egész ω h rácshálón, kapjuk meg a kívánt közelítő megoldást a (, T ] intervallumon. A Strang-Marcsuk splitting eljárás annyiban különbözik a szekvenciális splitting módszertől, hogy nem csak az ω h rácsháló pontjaiban, hanem a részintervallumok felezőpontjaiban is meghatároz értékeket, ezzel másodrendűvé téve a módszert. A rögzített n =,,... N értékekre rendre megoldjuk a következő, összességében d darab Cauchy-feladatot. Először i =,,..., d értékekre megoldjuk a ẏn i (t = A i yi n (t, t ( (n h, (n.5h ] ( (, (n h = y n (.6 i (n.5h y n i feladatokat. Ezután megoldjuk az alábbi feladatot. ẏn d (t ( = A d yd n(t, ( (n h = y n d (n.5h t ( (n h, nh ], (.7 y n d 7

A rögzített n mellett végezetül i = d +, d +,..., d értékekre megoldjuk a következő feladatokat. ẏn i (t = A i yi n (t, t ( (n.5h, nh ] ( (, (n.5h = y n (.8 i nh Ekkor a szeletelt megoldás a következő y n i y N SM(nh = y n d (nh és az algoritmusban y n ( (n.5h = y N SM ( (n h, valamint y N SM ( = y(, az (. kezdeti feltételből ismert y vektor. Az algoritmus tehát a következő: A A... A d A d }}}} A d A d... A b. lepes }} a. lepes c. lepes......... A A... A d A d }}}} A d A d... A Nb. lepes }} Na. lepes Nc. lepes Ismételten érdemes az algoritmust ábrákon szemléltetni a könnyebb megértés érdekében. Legyen újra i =,, ekkor tehát az eredeti A operátorral felírt (. Cauchy-feladatunkat két másik Cauchy-feladatra bontottuk fel, rendre A és A operátorokkal. Az algoritmus első lépésében először megoldjuk az első részfeladatot a (, h] intervallumon, az eredeti (. feladat y( kezdeti feltételét felhasználva: Az így kapott h-beli megoldás, azaz y ( h, lesz a következő részfeladatunk kezdeti feltétele. A következő lépésben a második feladatot oldjuk meg a (, h] intervallumon, az előbb említett kezdeti feltétellel: Az így kapott h-beli megoldás, azaz y(h, lesz a következő részfeladatunk kezdeti feltétele. A következő lépésben újra az első feladatot oldjuk meg, de most a ( h, h] intervallumon, az előbb említett kezdeti feltétellel: 8

Az így kapott megoldás lesz a h-beli splittingelt megoldás, azaz y(h = y SM (h. Valamint ez a megoldás lesz a következő lépésben megoldott részfeladat kezdeti feltétele. A második lépésben a (h, 3 h] intervallumon oldjuk meg az első részfeladatot, az előbb említett kezdeti feltételt felhasználva: Az így kapott y ( 3 h megoldás lesz a következő feladat kezdeti feltétele. Ezután megoldjuk a második részfeladatot a (h, h] intervallumon, az előbbi kezdeti feltétellel: Így kapjuk meg a h-beli megoldást, ami a következő lépés kezdeti feltétele lesz. Ezután ezt a kezdeti feltételt felhasználva újra az elő részfeladatot oldjuk meg, azonban most a ( 3 h, h] intervallumon. Így kapjuk meg a h-beli splittingelt megoldást, azaz y (h = y SM (h. Ezt az eljárást ismételve az egész ω h rácshálón, kapjuk meg a kívánt közelítő megoldást a (, T ] intervallumon. 9

Megjegyezzük, hogy a bemutatott két szeletelési eljárás mellett még számos egyéb, sikeresen alkalmazott eljárás is létezik..3. Rendfeltételek a szekvenciális szeletelésre Munkánk során sikerült önálló eredményeket elérnünk az operátorszeletelési eljárások elméletében, melyeket ebben az alfejezetben ismertetünk. Elsősorban a szekvenciális szeletelésre valamint annak rendjére vonatkozólag fogalmazódott meg néhány sejtésünk a futtatások során, mely sejtéseket később sikerült is bizonyítanunk. Elsőként tekintsük a következő alapgondolatot: a feladatunkat d részfeladatra bontva, szekvenciális splitting alkalmazásával az összes lehetséges sorrendben (ez összességében d! darab sorrendet jelent kiszámítva a numerikus megoldásokat, majd azok számtani közepét véve, egy másodrendű módszert kapunk. Ezt a sejtést fogalmazzuk meg a következő állításban:.3.. Állítás. Tekintsük az ẋ = Ax, x( = x Cauchy-feladatot, ahol A R n n mátrix melynek tekintsük a következő felbontását A = A + A +... + A d, ahol A i R n n, (i =,..., d. Ezt a feladatot megoldva az összes lehetséges sorrendben szekvenciális splitting alkalmazással, majd az így kapott d! numerikus megoldás átlagát véve a módszer másodrendű, azaz exp ( h(a +... + A d = exp(ha... exp(ha d +... + exp(ha d... exp(ha d! Bizonyítás: A.3.. Állítást teljes indukcióval érdemes belátni. Első lépésként vizsgáljuk meg, hogy k = -re teljesül-e az állítás. Ekkor a belátandó a következő: exp ( h(a + A = exp(ha exp(ha + exp(ha exp(ha! Az egyenlőséget Taylor-sorfejtések segítségével tudjuk igazolni. A jobb oldal sorba fejtett alakja a következő alakú: exp ( h(a + A = I + h(a + A + h! (A + A + O(h 3 = + O(h 3. + O(h 3. (.9 = I + h(a + A + h! (A + A + A A + A A + O(h 3. (. ahol I R n n egységmátrix. A részfeladatok sorba fejtett alakjai pedig az alábbiak: A bal oldal ekkor: exp(ha = I + ha + h! A + O(h 3, (. exp(ha = I + ha + h! A + O(h 3. (. exp(ha exp(ha + exp(ha exp(ha + O(h 3 = [ ]! [ ] [ I + ha + h! = A I + ha + h! A + I + ha + h!! A ] [ ] I + ha + h! A + O(h 3 =

= ] ] [I+hA + h! A +ha +h A A + h! A + [I+hA + h! A +ha +h A A + h! A + O(h 3 =! = I + h(a + A + h (A + A + A A + A A! + O(h 3 = = I + h(a + A + h! (A + A + A A + A A + O(h 3. (.3 A jobb oldal egyenlő a bal oldallal, azaz (.=(.3. Ezzel beláttuk, hogy k = esetén teljesül a.3..állítás. Az indukciós feltevés: tegyük fel, hogy k = d-re teljesül az állítás és bizonyítsuk be k = d + - re. Ekkor a belátandó összefüggés a következő: exp ( h(a + A +... + A d + A d+ = = exp(ha... exp(ha d+ +... + exp(ha d+... exp(ha (d +! ahol a bal oldal sorba fejtett alakja: exp ( h(a + A +... + A d + A d+ = d+ ( d+ d = I + h A j + h A j +! j= j= Legyen A + A +... + A d = B, ekkor d+ i= j=i+ + O(h 3. (.4 d+ i A i A j + A i A j + O(h 3. (.5 i= j= exp(hb = exp ( h(a + A +... + A d = d ( d = I + h A j + h A j +! j= j= d d i= j=i+ A i A j + d i A i A j + O(h 3, (.6 i= j= továbbá exp(ha d+ = I + ha d+ + h! A d+ + O(h 3. (.7 (.6 és (.7 felhasználásával kapjuk a következőt: exp ( h(a + A +... + A d + A d+ = = = exp ( h(b + A d+ = exp(hb exp(ha d+ + exp(ha d+ exp(hb! [ I + h d j= + ha d+ + h d + [ I + h ( d A j + h A j +! j= d j= j= + ha d+ + h d d A j A d+ + h A d+ A j + h! j= ( d A j + j= A d+ A j + h A d+ d i= j=i+ ] + d i= j=i+ A i A j + d d i A i A j + i= A i A j + ] + O(h 3 = j= d i A i A j + i= j= + O(h 3 =

= [ ( d I + h A j + A d+ + j= + h ( d j= A j + A d+ + d d i= j=i+ = [ d+ ( d+ I + h A j + h A j + j= j= d+ =I + h A j + h ( d+ j= A j + j= d A i A j + d i= j=i+ d+ d i A i A j + i= i= j=i+ d+ Ezzel beláttuk a kívánt összefüggést. j= d ] A d+ A j + A j A d+ + O(h 3 = j= d+ i ] A i A j + A i A j + O(h 3 = i= j= d+ i A i A j + A i A j + O(h 3. (.8 Pozitív eredmény tehát, hogy a viszonylag egyszerűen realizálható, elsőrendű szekvenciális splitting eljárás megfelelő alkalmazásával másodrendben közelítő numerikus módszerhez jutunk. A belátott állításunk azonban sok részfeladat, azaz nagy d esetén a gyakorlatban meglehetősen nehezen kivitelezhető, hiszen például már d = 5 esetén 5! = féle sorrendben kellene előállítanunk a splittingelt megoldást, hogy elérjük a kívánt másodrendű pontosságot. Csökkenteni tudjuk a kiszámolandó splittingelt megoldások számát azzal, ha az eredeti feladat mátrixának olyan felbontását adjuk meg, melyben kommutáló mátrixok is szerepelnek. Lássuk egy példán keresztül, hogy ez hogyan is valósul meg. d = esetén nincs értelme erről beszélni, hiszen ha A = A + A és A A = A A akkor i= j= exp ( h(a + A = exp(ha exp(ha + O(h 3. Tekintsük tehát azt az esetet, amikor d = 3, azaz A = A + A + A 3, és legyenek az A és A 3 egymással kommutáló mátrixok, azaz A A 3 = A 3 A, ezt kihasználva ekkor: exp ( h(a + A + A 3 = I + h(a + A + A 3 + h! (A + A + A 3 + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + + h! (A + A + A 3 + A A + A A 3 + A A + A A 3 + A 3 A + A 3 A + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h! (A + A + A 3 + A A 3 + A A + A A + A A 3 + A 3 A + O(h 3. A másodrendhez szükséges 3! = 6 féle sorrend a következő: exp(ha exp(ha exp(ha 3 = = (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A A + A A 3 + A A 3 + O(h 3, (.9 exp(ha exp(ha 3 exp(ha = = (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A A 3 + A A + A 3 A + O(h 3, (.

exp(ha 3 exp(ha exp(ha = = (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A 3 A + A 3 A + A A + O(h 3, (. exp(ha 3 exp(ha exp(ha = = (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A 3 A + A 3 A + A A + O(h 3, (. exp(ha exp(ha 3 exp(ha = = (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A A 3 + A A + A 3 A + O(h 3, (.3 exp(ha exp(ha exp(ha 3 = = (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha + h A + O(h 3 (I + ha 3 + h A 3 + O(h 3 = = I + h(a + A + A 3 + h ( (A + A + A 3 + A A + A A 3 + A A 3 + O(h 3. (.4 Kihasználva a kommutáló mátrixok jelentette egyszerűséget: exp(ha exp(ha 3 exp(ha = exp ( h(a + A 3 exp(ha, (.5 exp(ha 3 exp(ha exp(ha = exp ( h(a 3 + A exp(ha, (.6 exp(ha exp(ha exp(ha 3 = exp(ha exp ( h(a + A 3, (.7 exp(ha exp(ha 3 exp(ha = exp(ha exp ( h(a 3 + A. (.8 Az összeadás kommutativitását kihasználva vezessük be a következő jelölést: Így (.5=(.6 és (.7=(.8, azaz A 4 = A + A 3 = A 3 + A. exp ( h(a + A 3 exp(ha = exp(ha 4 exp(ha, (.9 exp(ha exp ( h(a + A 3 = exp(ha exp(ha 4. (.3 Ez azt jelenti, hogy a három mátrixos felbontásból adódó 6 féle sorrendben kiszámított splittingelt megoldások közül négyet visszavezettünk két mátrixból álló felbontású feladatra, melyek közül kettő-kettő megegyezik. Az előzőekben bizonyított.3..állítás alapján a módszer másodrendű, ha [ exp(ha exp(ha exp(ha 3 + exp(ha exp(ha 3 exp(ha + exp(ha exp(ha exp(ha 3 + 6 3

] + exp(ha exp(ha 3 exp(ha + exp(ha 3 exp(ha exp(ha + exp(ha 3 exp(ha exp(ha. Felhasználva a (.5-(.3 összefüggéseket a következő feltételt kapjuk másodrendűségre: [ exp(ha exp(ha exp(ha 3 + exp(ha 3 exp(ha exp(ha + 6 ] + exp(ha exp(ha 4 + exp(ha 4 exp(ha. Tehát kommutáló mátrixok esetén jóval egyszerűbb a másodrend elérése, hiszen ekkor hat helyett csak négyféle sorrendben kell meghatároznunk a splittingelt megoldásokat, és a négyféle sorrendből kettő csak két mátrixból álló felbontásra vonatkozik. Nézzük, hogy általános esetben mennyire egyszerűsödik a feladatunk. Legyen A = A + A +... + A d, és tegyük fel, hogy A i A j = A j A i ha i j. Ekkor az összes d! sorrend helyett d! (d! = (d (d! sorrendben kell kiszámítanunk a splittingelt megoldásokat és ezek közül (d! esetén csak (d mátrix összegére felbontott feladatot kell megoldanunk, a maradék (d (d! (d! = (d (d! feladat esetén pedig d mátrix összegére felbontott feladatot kell megoldanunk. Ez természetesen tovább egyszerűsíthető, ha a felbontásban több kommutáló mátrix is szerepel. Az egyszerűsödés számszerűsítése egy komplexebb kombinatorikai problémára vezethető vissza. A másodrend elérése után felmerül a kérdés, hogy harmadrend esetleg elérhető-e a számtani közepet alkalmazó módszer esetén. Tehát legyen x, y R, valamint legyen d = és a következőt szeretnénk belátni: exp ( h(a + A = x exp(ha exp(ha + y exp(ha exp(ha x + y Ekkor a bal oldal Taylor-sorba fejtve a következő alakú: + O(h 4. (.3 exp ( h(a + A = I + h(a + A + h! (A + A + h3 3! (A + A 3 + O(h 4 = = I + h(a + A + (A h + A + A A + A A + + (A h3 3 + A 3 + A A + A A + A A + A A + A A A + A A A + O(h 4. (.3 6 A jobb oldal pedig a következőképp alakul: x exp(ha exp(ha + y exp(ha exp(ha + O(h 4 = x + y = [ x (I + ha + h x + y! A + h3 3! A3 + O(h 4 (I + ha + h! A + h3 + [ y (I + ha + h x + y! A + h3 3! A3 + O(h 4 (I + ha + h [ ( = x (I + h(a x+y + A + h A + A + A A [ y + x+y ] 3! A3 + O(h 4 ]! A + h3 3! A3 + O(h 4 + h 3 ( 6 A3 + 6 A3 + A A + A A (I + h(a + A + h ( A + A + A A + h 3 ( 6 A3 + 6 A3 + A A + A A 4 + = ] + ] =

( ( ( = [(x + yi + h(x + y(a x+y + A + h x A + A + A A + y A + A + A A + ( + h (x 3 6 A3 + 6 A3 + A A + ( A A + y 6 A3 + 6 A3 + A A + ] A A. (.33 A bal oldal (.3 és a jobb oldal (.33 pontosan akkor egyenlőek, ha az együtthatóik megegyeznek. Nézzük tehát a két oldal együtthatóit! h együtthatói: h együtthatói: (x + y(a + A (x + y (x + yi (x + y = I = I = I, (.34 = (A + A = (A + A = (A + A, (.35 h együtthatói: A jobb oldalon: ( x A + ( A + A A + y A + A + A A = = ( ( ( x + y A x + y + A + xa A + ya A = ( xa A + ya A A + A +, x + y Ekkor: ( xa A + ya A A + A + x + y xa A + ya A x + y = h 3 együtthatói: A jobb oldalon: ( ( x x + y 6 A3 + 6 A3 + A A + A A = ( x + y (A 3 x + y 6( + A 3 + Ekkor = 6 (A3 + A 3 + (x + y ( ( A + A + A A + A A, = ( A A + A A, xa A + ya A = (x + ya A + (x + ya A, x = y = (x + y, x = y. (.36 ( + y 6 A3 + 6 A3 + A A + A A = ( x ( A A + A A + y ( A A + A A = ( x ( A A + A A + y ( A A + A A, ( 6 (A3 + A 3 + x ( ( A (x + y A + A A + y A A + A A = = (A 3 + A 3 + A A + A A + A A + A A + A A A + A A A, 6 5

x ( ( A A + A A + y A A + A A (x + y = A A + A A + A A + A A + A A A + A A A, 6 Kihasználva a másodrendűségre kapott feltételt, azaz x = y esetén a következőt kapjuk: x ( A A + A A + A A + A A = A A + A A + A A + A A + A A A + A A A, 4x 6 A A + A A + A A + A A = A A + A A + A A + A A + A A A + A A A, 4 6 A A + A A + A A + A A = A A A + A A A, Átrendezésekkel és kiemelésekkel kapjuk meg végül a harmadrendűségre vonatkozó feltételeket. A A A A A + A A A A A + A A A A A + A A A A A =, A ( A A A A + ( A A A A A + A ( A A A A + ( A A A A A =, A [ A, A ] + [ A, A ] A + A [ A, A ] + [ A, A ] A =, Felhasználva a kommutátorokra vonatkozó következő összefüggést [ A, B ] = [ B, A ], kapjuk, hogy [ ] [ ] [ ] [ ] A A, A A, A A A A, A + A, A A =, [ A, [ ] ] [ ] [A ] A, A +, A, A =, [ A, [ ] ] [ A, A A, [ ] ] A, A =, A harmadrendűség feltétele tehát: [ A, [ ] ] [ A, A = A, [ ] ] A, A. (.37 Ami azt jelenti, hogy olyan két mátrixból álló felbontás esetén lesz harmadrendben pontos a módszer, melyben a két mátrix kommutátorának első mátrixszal vett kommutátora megegyezik a másik mátrixszal vett kommutátorával. 6

3. A vizsgált aerodinamikai modell bemutatása Az előző fejezetben ismertetett operátorszeletelési eljárások hatékonyságát egy, a műszaki területről vett, aerodinamikai modellen vizsgáltuk. A dolgozat ezen részében bemutatjuk a modellt, valamint ismertetjük azt az alakot, amelyre a későbbiekben az operátorszeletelési eljárásokat alkalmazzuk. 3.. A kiindulás A vizsgált modell alapjául egy konkrét szélcsatornabeli kísérletből származó adathalmaz szolgált, melyben egy repülőgép szárnyára ható felhajtóerőt (C l vizsgálták a szárny dőlésszögének (α eff függvényében. A kísérletben a NACA--es kódú szárnyprofiljának viselkedését vizsgálták. A NACA-szárnyprofilok a Nemzeti Repülésügyi Tanácsadó Testület (National Advisory Committee for Aeronautics [] - NACA = a NASA elődje az amerikai repülési és űrkutatási kutatómunkákban által fejlesztett szárnyprofilok. A szárnyprofilok alakját a "NACA" szó után álló számjegyek sorozatával írják le. Az alábbi. ábrán a különböző alakú NACA-szárnyprofilok, valamint a jobb oldalon a vizsgált NACA--es profil látható kinagyítva:. ábra. Bal oldalon: NACA-szárnyprofilok, Jobb oldalon: NACA- szárnyprofil A különböző szárnyszelvényeket különböző repülési követelményekhez választják. A szimmetrikus szelvényeket például a műrepülő gépeken célszerű alkalmazni, amelyeknél gyakori a háton repülés. Az ívelt szárnyprofilokat pedig a kis sebességre tervezett repülőgépek esetében használják, hogy ne legyen szükség túlságosan nagy felületű szárnyra, hiszen minél íveltebb a szárnyszelvény, annál nagyobb felhajtóerő ébred rajta. A kísérletben szereplő NACA--es szárnyprofil a szimmetrikus profilok közé tartozik és többek között Cessna, Burns és Boeing típusú gépeken is használják. A szárnyakat a Wichitai Állami Egyetemen (USA található szélcsatornában (Walter H. Beech Memorial Wind Tunnel tesztelték. A kísérletből származó adatok, mérési eredmények a [3] cikkben vannak bővebben leírva. Ebből a cikkből származik az általunk vizsgált modell alapjául szolgáló adathalmaz is. 7

3.. A modell A mérési adathalmaz azt sugallja, hogy egy szakaszonként lineáris modell felel meg a valóságnak, hiszen az adatpontok elhelyezkedéséből kiindulva egy szakaszonként lineáris függvény illeszthető a pontokra, ez látható a 3. ábrán. 3. ábra. Bal oldalon: Az [3] cikkben szereplő ábra, Jobb oldalon: A kísérletből származó adatpontok, és a szakaszonként lineáris approximáció a [4] cikkből A szakaszonként lineáris modell három kitüntetett pontot tartalmaz, melyekre az α stall, α switch és α bound jelöléseket vezették be. Az α stall jelenti azt a dőlésszöget, ahol a felhajtóerő növekvőből csökkenőbe megy át, miközben a hajlásszög tovább növekszik, α switch az a pont, ahonnét kezdve a felhajtóerő újra növekedni kezd, és végül az α bound a modell érvényességi tartományának végét adja meg. Szokatlannak tűnhet az α stall és α switch között intervallumon látható felhajtóerő csökkenés, látva, hogy a dőlésszög egyre növekszik. Ennek fizikai magyarázata a következő: a felhajtóerő az α stall dőlésszög fölött csökken mert az áramlás leválik, a későbbi újbóli növekedés az [α switch, α bound ] intervallumon az áramlás részleges visszatapadása miatt történik. Ekkor az így kapott szakaszonként lineáris függvényt az alábbi módon definiálhatjuk: c α eff ha α eff α stall C l (α eff = c α eff + sgn(α eff d ha α stall α eff α switch (3. c α eff + sgn(α eff d ha α switch α eff α bound A modellben szereplő paraméterek értékei az alábbi táblázatban láthatóak: Paraméter c c c d d α stall α switch α bound Érték 5.93-6.846.66.56 -.55. rad.957 rad.47 rad A vizsgált aeroelasztikus rendszert leíró differenciálegyenlet-rendszer: mÿ + c y ẏ + k y y = L ( C l (α eff, (3. I cg α + c α α + k α α = M ( C l (α eff, (3.3 8

ahol y jelöli a függőleges elmozdulást, α pedig a szög megváltozását. Figyelembe véve a rendszer pillanatnyi mozgását az α eff szög a következőképpen számítható: α eff = α + ẏ U, (3.4 ahol U a szélcsatornában lévő áramlás sebességét, avagy a valóságban a vizsgált repülőgép sebességét jelenti. A differenciálegyenlet-rendszer jobb oldalán szereplő függvények a következőképpen adhatóak meg: L(C l (α eff = ρu bsc l (α eff, (3.5 M(C l (α eff = ρu b SC l (α eff. (3.6 A (3.(3.3 rendszerben megjelenő paraméterek az alábbi táblázatban láthatóak: Paraméter Magyarázat Érték/Mértékegység b a szárny-keresztmetszet hosszának fele.64 m S a szárny fesztávolsága.6 m m a szárny tömege kg k y lineáris rugóállandó 844.4 N/m k α torziós rugóállandó.8 N/rad c y az y csillapító együtthatója 7.43 kg/s c Iα az α csillapító együtthatója.36 kg m /s I cg a tömegközéppont tehetetlenségi nyomatéka.433 kgm ρ a levegő sűrűsége. kg/m 3 M aerodinamikai nyomaték Nm L aerodinamikai felhajtóerő N U a repülő sebessége m/s 3.3. A dimenziótlan modell Ezek után az előzőekben megadott egyenleteket dimenziótlanítjuk az L hosszúság, a T idő mértékek, valamint a dimenziótlan µ > áramlási sebesség segítségével, melyeket a következőképp írhatjuk fel: L = Icg ρb S, T = m k y, µ = U L/T. Az (3. egyenlet dimenziótlanítása: Tekintsük a következő transzformációt: y = Lỹ és t = τt, ekkor: ahonnan m Lỹ (τt + c Lỹ y (τt + k ylỹ = L(C l (α eff, ỹ + c yt m ỹ + k yt m ỹ = T ml L(C l(α eff. 9

Az együtthatók: m ky c y T c y m = m k y T m m = c y =k y k y m =, m k y m = T ml ρu bsc l (α eff = T U L c y ky m := p, Icg ρb S = µ I cg ρ b S ρb S m C l(α eff = µ C l (α eff Icg ρs m := p. Így megkaptuk a (3. egyenlet dimenziótlanított alakját: m ρbsc l(α eff = µ I cg ρb S m ρbsc l(α eff = Icg ρs m, A (3.3 egyenlet dimenziótlanítása: ỹ + p ỹ + ỹ = p µ C l (α eff. Tekintsük az α = Lα és t = τt transzformációt, ekkor a (3.3 egyenlet a következő alakú lesz: ahonnan Az együtthatók: I cg αl (τt + c αl α (τt + k ααl =M(C l (α eff, α + c αt I cg α + k αt I cg α = T I cg L M(C l(α eff. c α T I cg = k α T I cg L = k α c α m k y I cg m k y I cg = c α m := p 3, I cg k y = k αm I cg k y := p 4, T I cg L M(C l(α eff = T I cg L ρu b SC l (α eff = T U L = T U L L C l(α eff = µ C l (α eff. Így megkaptuk a (3.3 egyenlet dimenziótlanított alakját: α + p 3 α + p 4 α = µ C l (α eff. Ekkor (3.(3.3 egyenletrendszer dimenziótlan alakja: I cg ρb SC l (α eff =

ỹ + p ỹ + ỹ = p µ C l (α eff, (3.7 α + p 3 α + p 4 α = µ C l (α eff, (3.8 α eff = α + µỹ. (3.9 Az előbb kiszámolt p, p, p 3, p 4 paraméterek összefoglalva: p = cy, ρicgs mky p =, p 3 = cα m m I cg k y, p 4 = kαm I cgk y. Ezek után már egyszerű behelyettesítésekkel megadhatóak a három különböző szakaszra vonatkozó dimenziótlanított differenciálegyenlet-rendszerek. Az első szakasz, azaz α stall α eff α stall esetén: ỹ + p ỹ + ỹ = p µ c α eff = p µ c ( α + µỹ = p µ c α p µc ỹ, α + p 3 α + p 4 α =µ c α eff = µ c ( α + µỹ = µ c α + µc ỹ. Tehát az alábbi egyenletrendszert kaptuk erre a szakaszra: ỹ + ( p + p µc ỹ + ỹ + p µ c α =, (3. A második szakasz, azaz α stall α eff α switch esetén: α + p 3 α + ( p 4 µ c α µc ỹ =. (3. ỹ + p ỹ + ỹ = p µ ( c α eff + sgn(α eff d = p µ c ( α + µỹ p µ d sgn(α eff = = p µ c α p µc ỹ p µ d sgn(α eff, α + p 3 α + p 4 α =µ ( c α eff + sgn(α eff d = µ c ( α + µỹ + µ d sgn(α eff = =µ c α + µc ỹ + µ d sgn(α eff. Erre a szakaszra az alábbi egyenletrendszert kaptuk: ỹ + ( p + p µc ỹ + ỹ + p µ c α = p µ d sgn(α eff, (3. α + p 3 α + ( p 4 µ c α µc ỹ = µ d sgn(α eff. (3.3 Végül a harmadik szakasz, azaz α switch α eff α bound esetén: ỹ + p ỹ + ỹ = p µ ( c α eff + sgn(α eff d = p µ c ( α + µỹ p µ d sgn(α eff = = p µ c α p µc ỹ p µ d sgn(α eff, α + p 3 α + p 4 α =µ ( c α eff + sgn(α eff d = µ c ( α + µỹ + µ d sgn(α eff = =µ c α + µc ỹ + µ d sgn(α eff. Tehát erre a szakaszra az alábbi egyenletrendszert kaptuk: ỹ + ( p + p µc ỹ + ỹ + p µ c α = p µ d sgn(α eff, (3.4 α + p 3 α + ( p 4 µ c α µc ỹ = µ d sgn(α eff. (3.5

3.4. A linearizált modell Alkalmazzuk az átviteli elvet a dimenziótlanított modellre: Legyenek az új ismeretlen függvények: x = ỹ, x = ỹ, x 3 = α, x 4 = α. Ezek alapján az x vektor a következő: x = ( x x x 3 x 4 T. Így kapjuk meg általánosan a három szakaszra az alábbi lineáris rendszereket, melyek részletes levezetése alább látható: ẋ =A x x Σ Ω Σ +, (3.6 ẋ =A x B x Ω Σ, (3.7 ẋ =A x + B x Σ + Ω +, (3.8 ẋ =A x B x Ω Σ, (3.9 ẋ =A x + B x Σ + Ω +. (3. ahol k =,, és l =, esetén: A k = (p + p µc k µ c k p, B l = p µ d l. (3. c k µ (p 4 c k µ p 3 µ d l Tehát akkor részletesen, először nézzük az első szakaszra vonatkozó modellt, azaz a (3.(3. rendszert: Ekkor: x = ỹ = x, x = ỹ = (p + p µc x x p µ c x 3, x 3 = α = x 4, x 4 = α = p 3 x 4 (p µ c x 3 + µc x. Így kapjuk az alábbi lineáris rendszert az első szakaszra: x x x x = (p + p µc µ c p 3 x x 3. x 4 c µ (p 4 c µ p 3 x 4 Ezután nézzük a második szakaszra vonatkozó modellt, azaz a (3.(3.3 rendszert: x = ỹ = x, x = ỹ = (p + p µc x x p µ c x 3 p µ d sgn(α eff, x 3 = α = x 4, x 4 = α = p 3 x 4 (p µ c x 3 + µc x + µ d sgn(α eff.

Így kapjuk meg az alábbi inhomogén lineáris rendszereket a második szakaszra: Ha sgn(α eff = : x x x x = (p + p µc µ c p 3 x x 3 p µ d, x 4 c µ (p 4 c µ p 3 x 4 µ d Ha sgn(α eff = : x x x x = (p + p µc µ c p 3 x x 3 + p µ d. x 4 c µ (p 4 c µ p 3 x 4 µ d Végül nézzük a harmadik szakaszra vonatkozó modell, azaz a (3.4(3.5 rendszer linearizálását: x = ỹ = x, x = ỹ = (p + p µc x x p µ c x 3 p µ d sgn(α eff, x 3 = α = x 4, x 4 = α = p 3 x 4 (p 4 µ c x 3 + µc x + µ d sgn(α eff. Így kapjuk meg az alábbi inhomogén lineáris rendszereket a harmadik szakaszra: Ha sgn(α eff = : x x x x = (p + p µc µ c p 3 x x 3 p µ d, x 4 c µ (p 4 c µ p 3 x 4 µ d Ha sgn(α eff = : x x x x = (p + p µc µ c p 3 x x 3 + p µ d. x 4 c µ (p 4 c µ p 3 x 4 µ d A (3.6-(3. képletekkel megadott rendszerek értelmezési tartományai a következőképpen definiálhatóak: Ω := x R 4 : x 3 + x /µ < α stall }, Σ ± := x R 4 : x 3 + x /µ = ±α stall }, Ω := x R 4 : α stall > x 3 + x /µ > α switch }, Ω + := x R 4 : α stall < x 3 + x /µ < α switch }, Σ ± := x R 4 : x 3 + x /µ = ±α switch }, Ω := x R 4 : x 3 + x /µ < α switch }, Ω + := x R 4 : x 3 + x /µ > α switch }. 3

4. ábra. A felbontás az x x 3 síkon Az. ábrán láthatjuk, hogy a kísérletből származó adathalmaz utolsó pontja az α bound adatpont. Az ehhez tartozó tartomány a következő: Σ ± 3 := x R 4 : x 3 + x /µ = ±α bound }. 5. ábra. A felbontás az x x 3 síkon a Σ ± 3 határokkal kiegészítve A vizsgálat során az Ω ± tartományokat nem korlátozzuk, így a Σ ± 3 határokat egyelőre nem vesszük figyelembe. 4

4. A modell egyensúlyi helyzetei és stabilitásvizsgálata 4.. A stabilitási kritérium A rendszer leegyszerűsítése és leszűkítése után vizsgálhatóak az egyensúlyi helyzetek és ezek viselkedései. Első lépésként keresnünk kell valamilyen stabilitási kritériumot: Az egyensúlyi pontok stabilitásának meghatározására a Liénard-Chipart stabilitási kritériumot [5] alkalmazzuk. A kritérium: Vegyünk egy valós polinomot: p(z = a z n + a z n + + a n z + a n. Ehhez a p polinomhoz tartozó nxn-es H Hurwitz mátrix [5] a következő: Jelölje: a a 3 a 5......... a a a 4... a a 3..... a a...... a.. a n..... a.. an... a n a n.... a n 3 a n......... a n 4 a n a n (p = det(a, ( a a (p = det 3, a a a a 3 a 5 3 (p = det a a a 4, a a 3. Az k (p determinánsokat Hurwitz determinánsoknak nevezzük. A jelölések felhasználásával a Liénard-Chipart stabilitási kritérium a következőt mondja ki: Egy p polinom Hurwitz-stabil akkor és csak akkor, ha az alábbi 4 feltétel közül valamelyik teljesül:. a n >, a n >,..., >, 3 >,.... a n >, a n >,..., >, 4 >,... 3. a n >, a n >, a n 3 >..., >, 3 >,... 4. a n >, a n >, a n 3 >..., >, 4 >,... 5

A stabilitásvizsgálathoz első lépésként határozzuk meg az A k (k =,, mátrix karakterisztikus polinomját: λ R k (µ = det(a k λi = det (p + p µc k λ µ c k p λ = c k µ (p 4 c k µ p 3 λ Az első sor szerint kifejtve a következőt kapjuk: c k µp p λ µ c k p µ c k p = λ det λ det λ = c k µ c k µ p 4 p 3 λ c k µ p 4 p 3 λ ( ( ( λ = λ ( c k µp p λ det c k µ µ c p 4 p 3 λ k p det c k µ p 3 λ ( ( ( λ det c k µ + µ c p 4 p 3 λ k p det = p 3 λ ( = λ( ck µp p λ ( λ( p 3 λ (c k µ p 4 + µ c k p c k µ ( ( λ( p 3 λ (c k µ p 4 = =λ 4 + λ 3 (p + p 3 + c k p µ + λ ( + p p 3 + p 4 + c k p p 3 µ c k µ + + λ(p 3 + p p 4 + c k p p 4 µ c k p µ + p 4 c k µ. (4. Vezessük be az alábbi jelöléseket: a (k, µ = p + p 3 + p c k µ, a (k, µ = + p p 3 + p 4 + c k p p 3 µ c k µ, a 3 (k, µ = p p 4 + p 3 + p p 4 c k µ p c k µ, a 4 (k, µ = p 4 c k µ. Ezekkel felírva kapjuk meg az A k mátrix R k (µ karakterisztikus polinomját: R k (µ = λ 4 + a (k, µλ 3 + a (k, µλ + a 3 (k, µλ + a 4 (k, µ. (4. Ekkor a Hurwitz mátrixunk a következő lesz: a (k, µ a 3 (k, µ a (k, µ a 4 (k, µ a (k, µ a 3 (k, µ a (k, µ a 4 (k, µ 6

A Liénard-Chipart kritérium első feltételét alkalmazva kapjuk meg a stabilitási feltételeket: a (k, µ = + p 4 + p p 3 + p p 3 c k µ c k µ >, a 4 (k, µ =p 4 c k µ >, (k, µ =a (k, µ = p + p 3 + p c k µ >, a (k, µ a 3 (k, µ 3 (k, µ = det a (k, µ a 4 (k, µ = a (k, µ a 3 (k, µ ( ( a (k, µ a =a (k, µ det 4 (k, µ a3 (k, µ det = a (k, µ a 3 (k, µ a (k, µ a 3 (k, µ =a (k, µa (k, µa 3 (k, µ a (k, µa 4 (k, µ a 3(k, µ = =p p 3 + p p 3 + p p 3 3 p p 3 p 4 + p 3 p 3 p 4 + p p 3p 4 + p p 3 p 4+ +(c 3 p p 3 + c 3 p p p 3 + c 3 p p 3 3 c 3 p p 3 p 4 + 3c 3 p p p 3 p 4 + c 3 p p p 3p 4 + c 3 p p 3 p 4µ+ +(c 3 p p 3 c 3 p 3 p 3 c 3 p p 3 + c 3p p 3 c 3 p p 3 p 4 + 3c 3p p p 3 p 4 + c 3p p 3p 4 µ + +(c 3p p + c 3p p 3 c 3p p p 3 c 3p p p 3 c 3p p p 4 c 3p p 3 p 4 + c 3 3p 3 p 3 p 4 µ 3 + +(c 3 3p + c 3p p 3 c 3 3p p p 3 c 3 3p p 4 µ 4 + c 3 3p p µ 5 >. Tehát összefoglalva, a stabilitási feltételek a következők: a (k, µ >, (4.3 a 4 (k, µ >, (4.4 (k, µ = a (k, µ >, (4.5 3 (k, µ = a (k, µ ( a (k, µa 3 (k, µ a (k, µa 4 (k, µ a 3(k, µ >. (4.6 A stabilitási kritérium felírása után, mindhárom szakasz stabilitásvizsgálatát külön-külön tárgyaljuk az alábbiakban. 4.. Az első szakasz stabilitása Vizsgáljuk először az első szakasz, azaz a (3.6 rendszer egyensúlyi pontjait. Mivel (3.6 homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ezért az egyensúlyi pontja az origó lesz. Megfelelően kicsi µ értékek mellett teljesülnek az előzőekben meghatározott stabilitási feltételek (4.3-(4.6, azaz az origó stabil egyensúlyi pont lesz. µ = esetén az A mátrix sajátértékei: λ =.743 +.997i, λ =.743.997i, λ 3 =.7 +.535i, λ 4 =.7.535i. A µ paraméter értékének növelésével a λ és λ sajátértékek mozgása kicsi és végig a komplex bal félsíkon maradnak. Azonban a λ 3 és λ 4 sajátértékek képzetes részei a -ba tartanak, a µ =.49 paraméterértéknél összeütköznek és valós sajátértékekké válnak a komplex bal félsíkon. 7

Az origó elveszti a stabilitását, ha egy sajátérték átlép a komplex jobb félsíkra. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogy ez mikor következik be, meg kell határoznunk a legkisebb olyan µ paraméterértéket, amelyre a (4.3-(4.6 feltételben szereplő egyenlőtlenségek közül bármelyik sérül. Keressük az alábbi egyenletek pozitív gyökei közül a legkisebbet: a (, µ =, (4.7 a 4 (, µ =, (4.8 (, µ =, (4.9 3 (, µ =. (4. A (4.7 egyenlet gyökei: µ =.4646 <, µ =.54 >. A (4.8 egyenlet gyökei: µ =.5 <, µ =.5 >. A (4.9 egyenlet gyöke: µ = 8.678 <. A (4. egyenlet gyökei: egy negatív valós, a többi komplex: µ =.754 <, µ,3 =.537 ±.34i, µ 4,5 =.84 ±.364i. Tehát ezek közül a legkisebb pozitív érték a µ =.5, azaz ennél a paraméterértéknél nem teljesül a (4.4 feltétel, így az origó instabil egyensúlyi ponttá válik. Az origó stabilitását láthatjuk a µ függvényében az alábbi ábrán: 4.3. A második szakasz stabilitása Az első szakasz egyensúlyi pontjainak vizsgálata után nézzük a második szakaszt is, azaz a (3.7(3.8 rendszereket. Tehát az ẋ = A x ± B rendszerek egyensúlyi pontjai: E ± = A B = d µ c µ p 4 p p 4 (4. melyek a µ =.48 értéknél jelennek meg, mint stabil egyensúlyi pontok. Hasonlóan az első szakaszhoz, ebben az esetben is az E ± egyensúlyi pontok elvesztik a stabilitásukat, ha az A mátrix valamely sajátértéke keresztezi a képzetes tengelyt. Ahhoz hogy lássuk, hogy ez mikor következik be, meg kell találnunk azt a legkisebb pozitív µ paraméterértéket, ahol a (4.3-(4.6 feltételek valamelyike sérül. Azaz keressük meg az alábbi egyenletek pozitív gyökei közül a legkisebbet: a (, µ =, (4. a 4 (, µ =, (4.3 (, µ =, (4.4 3 (, µ =. (4.5 8

A (4. egyenlet gyökei komplexek: µ, =.4 ±.439i. A (4.3 egyenlet gyökei szintén komplexek: µ, = ±.3i. A (4.4 egyenlet gyöke: µ =. >. A (4.5 egyenlet gyökei két negatív valós, egy pozitív valós, a többi komplex: µ =.7679 <, µ =.55, µ 3 =.334, µ 4,5 =.48 ±.7i. Ezek közül a legkisebb pozitív a µ =.334 érték lesz, ezen paraméterérték mellett már nem teljesül a (4.6 feltétel, azaz itt válnak instabillá az E ± egyensúlyi pontok. Az alábbi ábrán az E ± egyensúlyi pontok stabilitását láthatjuk a µ függvényében: 4.4. A harmadik szakasz stabilitása Végül vizsgáljuk meg stabilitás szempontjából a harmadik szakasz, azaz a (3.9(3. rendszereket. Az egyensúlyi pontok kiszámítása: ẋ = A x ± B rendszerek egyensúlyi pontjai E ± E ± = = A B, azaz p p 4 c p p 4 µ+c p µ p 4 +c µ c p p 3 µ c p µ p 4 c µ p 4 c µ p 4 c µ p 4 c µ c µ p 4 c p 3 µ p 4 c µ Az egyensúlyi pontok viselkedése: p 4 c µ d p µ = d µ d p p 4 µ p 4 c µ d µ p 4 c µ. (4.6 A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy mely µ paraméterértékek esetén esnek a (4.6 képlettel kiszámolt egyensúlyi pontok a 3. szakasz érvényességi tartományába, azaz, hogy mikor teljesül E + Σ + Ω + és E Σ Ω. Különböző paraméterértékek esetén vizsgáltuk az E ± x x 3 síkon. Ez látható a következő négy ábrán. egyensúlyi pontok elhelyezkedését az µ =.8 µ =.3 9

µ =.35 µ =.3895 A bal felső ábrán µ =.8 érték esetén láthatóak az egyensúlyi pontok. Ebben az esetben a két egyensúlyi pont az ellentétes félsíkon tartózkodik. Növelve a µ paraméter értékét µ =.3 esetén az egyensúlyi pontok helyet cserélnek és a saját tartományukba kerülnek, azaz: E + Ω + és E Ω. Ettől a paraméterértéktől kezdve, és azt tovább növelve, az egyensúlyi pontok monoton csökkenő sorozatot alkotnak. A bal alsó ábrán µ =.35 érték esetén láthatóak az egyensúlyi pontok, a jobb alsó ábrán pedig µ =.3895 érték esetén. Látható, hogy ennél a paraméterértéknél érik el a Σ ± egyeneseket, amelyek elválasztják egymástól a második és harmadik szakaszra vonatkozó tartományokat. Ennél nagyobb µ értékek esetén a 3. szakasz egyensúlyi pontjai már nem az erre a szakaszra vonatkozó tartományokban haladnak. Mindkét egyensúlyi pont a µ >.3 értékek esetén jelenik meg a rájuk vonatkozó tartományokban. Formálisan is kiszámítható, hogy mely paraméter érték esetén metszik a harmadik szakasz egyensúlyi pontjai a Σ + és a Σ egyeneseket: d µ p 4 c µ = α switch, αswitch p 4 µ =.3895. (4.7 d + c α switch Ezek alapján tehát a harmadik szakasz egyensúlyi pontjai a.3 µ.3895 paraméterértékek esetén esnek a rájuk vonatkozó tartományokba (Ω + -ba és Ω -ba. A 6. és 7. ábrán az E + egyensúlyi pontok x és x 3 koordinátáinak viselkedése látható a µ függvényében. Megjegyezzük, hogy elegendő csak az egyik egyensúlyi pontot vizsgálni, hiszen a két egyensúlyi pont szimmetrikus egymásra. A.3 < µ <.3895 paraméterértékek esetén az E + egyensúlyi pont x 3 koordinátájának értéke monoton csökkenő, ahogy azt az előzőekben már sejteni véltük. Tehát látható, hogy a Σ + Ω + tartományban az E + egyensúlyi pont monoton csökken. A szimmetriából adódóan az E egyensúlyi pont pedig monoton növekvő sorozatot alkot. Az E + egyensúlyi pont x koordinátája az előbb kiszámolt paraméterértékek között monoton növekvő lesz. Hasonlóan a szimmetria miatt az E egyensúlyi pont x koordinátája monoton csökkenő lesz. 3

.5 Az E + egyensúlyi pont x koordinátájának viselkedése a mu függvényében 3 Az érvényességi tartományon kívül mu=.3 Az érvényességi tartományban.5 mu x..4.6.8.3.3.34.36.38 -.5 - -.5-6. ábra. Az E + egyensúlyi pont x 3 koordinátájának viselkedése a µ függvényében..5 Az E + egyensúlyi pont x koordinátájának viselkedése a mu függvényében Az érvényességi tartományon kívül mu=.3 Az érvényességi tartományban..5 mu x..4.6.8.3.3.34.36.38 -.5 -. -.5 -. 7. ábra. Az E + egyensúlyi pont x koordinátájának viselkedése a µ függvényében Stabilitásvizsgálat A (4.3-(4.6 képletekkel felírt stabilitási feltételt alkalmazzuk ismét. Ha a stabilitási kritériumban szereplő egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor az egyensúlyi pontok stabilak. Nézzük, meg, hogy mely paraméterértéknél válnak instabillá, azaz sérül valamelyik egyenlőtlenség. Az alábbi egyenletek gyökei közül keressük a legkisebb pozitív µ-t. A (4.8 egyenlet gyökei: µ =.693794 és µ =.694588. a (, µ =, (4.8 a 4 (, µ =, (4.9 (, µ =, (4. 3 (, µ =. (4. 3

A (4.9 egyenlet gyökei: µ =.395 és µ =.395. A (4. egyenlet gyöke a µ = 5.7487. A (4. egyenlet gyökei: µ =.53678 valós és µ,3 =.6737 ±.57796i, µ 4,5 =.83 ±.498i komplexek. A gyökök közül a legkisebb pozitív a µ =.395. Az A mátrix sajátértékeinek vizsgálatával is ellenőrizhetjük a stabilitást. Az A mátrix sajátértékeinek mozgása követhető nyomon az alábbi 8. ábrán. 8. ábra. Az A mátrix sajátértékeinek mozgása A µ paramétert és.4 között változtatva vizsgáltuk az A mátrix sajátértékeinek változását. Kezdetben két komplex konjugált pár sajátérték látható, ezek közül az egyik pár (az ábrán fekete és zöld színekkel jelölve végig a komplex bal félsíkon marad és mozgásuk nem számottevő. A másik pár (az ábrán piros és kék színekkel jelölve mozgása azonban már jelentősebb, hiszen a µ paraméter növelésével gyorsan közelednek egymáshoz, µ =.38 esetén összeütköznek a valós tengelyen és innen már két különböző valós sajátértékként mozognak tovább. Az egyik (piros színnel jelölve felé tart, a másik (kék színnel jelölve pedig µ =.3 esetén keresztezi a képzetes tengelyt és tovább növelve a paramétert + felé tart. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy a szakasz egyensúlyi pontjai a µ =.3 paraméterértéknél jelennek meg a harmadik szakasz érvényességi tartományában, mint instabil egyensúlyi pontok és a µ =.3895 paraméterérték eléréséig haladnak az érvényességi tartományban. Az E ± egyensúlyi pontok stabilitását láthatjuk az alábbi ábrán µ függvényében: 3

4.5. Bifurkációs diagramok A folytonos modell három szakaszának együttes stabilitását láthatjuk a következő bifurkációs diagramokon, melyek esetén az egyensúlyi pontok nem nulla koordinátáit (x és x 3 ábrázoltuk a µ paraméter függvényében. Pirossal színnel látható az első szakasz egyensúlyi pontja, azaz az origó, zöld színnel a második szakasz E ± egyensúlyi pontjai, valamint kék színnel a harmadik szakasz E ± egyensúlyi pontjai. A folytonos vonal jelöli, hogy azon paraméterértékek esetén az egyensúlyi pont stabil egyensúlyi helyzetű, a szaggatott vonal esetén pedig instabil egyensúlyi helyzetű. 9. ábra. A három szakasz egyensúlyi pontjainak (x koordinátájának létezése és stabilitása a µ függvényében. ábra. A három szakasz egyensúlyi pontjainak (x 3 koordinátájának létezése és stabilitása a µ függvényében 33

5. Operátorszeletelés alkalmazása a vizsgált aerodinamikai modellre 5.. Mátrixfelbontások Ahogyan az előző fejezetben láthattuk, a linearizált modellt megadó A k (k =,, mátrix a következő: A k = (p + p µc k µ c k p. (5. c k µ (p 4 c k µ p 3 A mátrixok mindhárom szakasz esetén ugyanolyan struktúrájúak, csak az értékek esetén jelentkeznek különbségek. Ennek köszönhetően a mátrixfelbontásokat nem kell külön-külön tárgyalnunk a különböző szakaszok esetén, hanem ezt általánosságban tehetjük meg. Tekintsük tehát az általunk vizsgált felbontásokat. Az első és talán a legkézenfekvőbb ötlet, amikor a mátrixot két másik mátrix összegére bontjuk fel a következőképpen: A k = A k + A k, (5. ahol k =,, esetén A k = (p + p µc k µ c k p, A k =. p 3 c k µ (p 4 c k µ Az A k mátrix egy felső háromszögmátrix, míg az A k egy szigorúan alsó háromszögmátrix ez utóbbi egyben nilpotens mátrix, melyre (A k m = R 4 4 m > esetén. Ez azt eredményezi, hogy a mátrix exponenciálisa pontosan kiszámítható, hiszen a végtelen exponenciális sorban a mátrix négyzetesnél magasabb hatványai eltűnnek. Így a splitting módszerek realizálásakor az A k mátrixszal megadott részfeladat megoldása minden lépésben pontosan számítható. Ezek után felmerül a kérdés, hogy lehet-e olyan felbontást adni, melyben minden mátrix exponenciálisa pontosan számítható. Természetesen igen, ha az előző (5. felbontásban szereplő A k felső háromszögmátrixot felbontjuk egy diagonális és egy szigorúan felső háromszögmátrixra, máris eljutottunk egy ilyen felbontáshoz. Ekkor tehát az eredeti mátrixot három másik mátrix összegeként írhatjuk fel a következőképpen: A k = A k + A k + A 3 k, (5.3 ahol k =,, esetén A k = µ c k p, A k = (p + p µc k, p 3 34