Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenletet: cos (3x π 3 ) = 1 2! A koszinusz függvény az első és a negyedik negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 1 2 60 = π 3 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldásait: Első negyedben: 3x π = π + k 2π 3 3 x 1 = 2π 9 + k 2π 3 = 40 + k 120 Negyedik negyedben: 3x π = 2π π + l 2π 3 3 x 2 = 2π 3 + l 2π 3 2. Oldd meg a következő egyenletet: 2 sin (5x π 4 ) = 2! Rendezés után a következő egyenlet adódik: sin (5x π 4 ) = 2 2. A szinusz függvény a harmadik és a negyedik negyedben negatív. Táblázati érték (hegyesszög): 2 2 45 = π 4 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldásait: Harmadik negyedben: 5x π = π + π + k 2π 4 4 x 1 = 3π 10 + k 2π 5 1
Negyedik negyedben: 5x π = 2π π + l 2π 4 4 x 2 = 2π 5 + l 2π 5 = l 2π 5 3. Oldd meg a következő egyenletet: tg ( π 2x) = 1! (Alaphalmaz: x [0 ; 360 ]) 3 A tangens függvény az első negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 1 45 = π 4 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: Első negyedben: 180 3 2x = 45 + k 180 x = 7,5 k 90 = 7,5 + k 90 Az alaphalmaznak megfelelő eredmények: 7,5 ; 97,5 ; 187,5 ; 277,5. 4. Oldd meg a következő egyenletet: ctg (x π 6 ) = 3! A kotangens függvény az első negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 3 30 = π 6 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: Első negyedben: x π = π + k π 6 6 x = π + k π k 3 2
5. Oldd meg a következő egyenletet: sin (x π 2 ) = 1! Mivel a megoldás határszög lesz, így nem kell negyedeket tekintenünk. Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: x π 2 = 3π 2 + k 2π x = 2π + k 2π = k 2π 6. Oldd meg a következő egyenletet: cos 2x = 0! (Alaphalmaz: x [ π; π]) Mivel a megoldás határszög lesz, így nem kell negyedeket tekintenünk. Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: 2x = π + k π 2 x = π 4 + k π 2 Az alaphalmaznak megfelelő eredmények: 3π 4 ; π 4 ; π 4 ; 3π 4. 7. Oldd meg a következő egyenletet: cos (x + π 3 ) =! 5 2 Az abszolútértéket elhagyva két egyenlet adódik: cos (x + π 5 ) = 3 2 és cos (x + π 5 ) = 3 2. Vizsgáljuk először a cos (x + π 5 ) = 3 2 egyenletet. A koszinusz függvény az első és a negyedik negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 3 2 30 = π 6 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldásait: 3
Első negyedben: x + π = π + k 2π 5 6 x 1 = π + k 2π k 30 Negyedik negyedben: x + π = 2π π + l 2π 5 6 x 2 = 49π 30 + l 2π Vizsgáljuk most a cos (x + π 5 ) = 3 2 egyenletet. A koszinusz függvény a második és a harmadik negyedben negatív. Táblázati érték (hegyesszög): 3 2 30 = π 6 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldásait: Második negyedben: x + π = π π + m 2π 5 6 x 3 = 19π 30 + m 2π m Harmadik negyedben: x + π = π + π + n 2π 5 6 x 4 = 29π 30 + n 2π n A megoldásokat összevonhatjuk: x 1 = π + p π x 30 2 = 19π 30 + q π p, q 4
8. Oldd meg a következő egyenletet: 3 tg 2 (2x + π 3 ) = 1! Rendezés és gyökvonás után két egyenlet adódik: tg (2x + π 3 ) = 1 3 és tg (2x + π 3 ) = 1 3. Vizsgáljuk először a tg (2x + π 3 ) = 1 3 = 3 3 egyenletet. A tangens függvény az első negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 3 3 30 = π 6 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: Első negyedben: 2x + π = π + k π 3 6 x 1 = π 12 + k π 2 Vizsgáljuk most a tg (2x + π 3 ) = 1 3 = 3 3 egyenletet. A tangens függvény a második negyedben negatív. Táblázati érték (hegyesszög): 3 3 30 = π 6 Ezek alapján felírhatjuk az egyenlet megoldását: Második negyedben: 2x + π = π π + l π 3 6 x 2 = π 4 + l π 2 5
9. Oldd meg a következő egyenletet: sin (2x π 3 ) = sin (x + π 4 )! 2x π = x + π + k 2π 3 4 x 1 = 7π + k 2π 12 2x π + x + π = π + l 2π 3 4 x 2 = 13π 36 + l 2π 3 10. Oldd meg a következő egyenletet: cos (16x π 2 ) = cos (2x + 3π 2 )! 16x π 2 = 2x + 3π 2 + k 2π x 1 = π 7 + k π 7 - a két kifejezés összege 360 : 16x π 2 + 2x + 3π 2 = 2π + l 2π x 2 = π 18 + l π 9 6
11. Oldd meg a következő egyenletet: sin (2x + π 3 ) = sin π 6! 2x + π = π + k 2π 3 6 x 1 = π + k π k 12 2x + π + π = π + l 2π 3 6 x 2 = π + l π l 4 12. Oldd meg a következő egyenletet: cos (x + π 4 ) = cos (x π 6 )! x + π = x π + k 2π 4 6 π π + k 2π 4 6 Mivel ellentmondást kaptunk, így ezen az ágon nincs megoldás. - a két kifejezés összege 360 : x + π + x π = 2π + l 2π 4 6 x = 23π 24 + l π 7
13. Oldd meg a következő egyenletet: tg 15 x = tg (5x + π 2 )! Mivel a tangenses kifejezést átírva a nevezőben koszinusz található, ezért feltételt kell írnunk. cos 15x 0 15x π 2 + k π x π 30 + k π 15 cos (5x + π 2 ) 0 5x + π 2 π 2 + l π x l π 5 Oldjuk meg az egyenletet: 15x = 5x + π + m π 2 x = π 20 + m π 10 m Az eredményt összevetve a feltétellel (közös nevezőre hozás után), azt kapjuk, hogy megfelel a feltételnek, vagyis jó megoldást kaptunk. 14. Oldd meg a következő egyenletet: ctg (3 x) = ctg (2x + π 3 )! Mivel a kotangens kifejezést átírva a nevezőben szinusz található, ezért feltételt kell írnunk. sin(3 x) 0 3 x 0 + k π x 3 + k π sin (2x + π 3 ) 0 2x + π 3 0 + l π x π 6 + l π 2 Oldjuk meg az egyenletet: 3 x = 2x + π + m π 3 x = π 9 + 1 m π 3 = π 9 + 1 + m π 3 m Az eredményt összevetve a feltétellel (közös nevezőre hozás után), azt kapjuk, hogy megfelel a feltételnek, vagyis jó megoldást kaptunk. 8
15. Oldd meg a következő egyenletet: tg 5x = tg x! Mivel a tangens kifejezést átírva a nevezőben koszinusz található, ezért feltételt kell írnunk. cos 5x 0 5x π 2 + k π x π 10 + k π 5 k cos x 0 x π + l π 2 Oldjuk meg az egyenletet: 5x = x + m π x = m π 4 m A megoldás nem felel meg teljesen a feltételnek: x 2π 4 + m π. A feltételbeli értékékeket kiszűrve a megoldások a következők lesznek: x 1 = n π x 2 = π 4 + r π x 2 = 3π 4 + s π n, r, s 16. Oldd meg a következő egyenletet: ctg 2x = ctg x! Mivel a kotangenses kifejezést átírva a nevezőben szinusz található, ezért feltételt kell írnunk. sin 2x 0 2x 0 + k π x k π 2 sin x 0 x 0 + l π x l π Oldjuk meg az egyenletet: 2x = x + m π x = m π m A megoldás nem felel meg a feltételnek, így az egyenletnek nincs megoldása. 9
17. Oldd meg a következő egyenletet: cos x = sin (x + 2π 3 )! A pótszögek segítségével alakítsuk át az egyenletet: sin ( π 2 x) = sin (x + 2π 3 ). π 2 x = x + 2π 3 + k 2π x = π k π = π + k π k 12 12 π 2 x + x + 2π 3 = π + l 2π 7π 6π + l 12π Mivel ellentmondást kaptunk, így ezen az ágon nincs megoldás. 18. Oldd meg a következő egyenletet: sin (3x π 2 ) = cos (x + π 3 )! A pótszögek segítségével alakítsuk át az egyenletet, majd a ( 1) es szorzót vigyük be: cos (x + π 3 ) = sin [π 2 (x + π 3 )] = sin (π 2 x π 3 ) = sin (π 6 x) = sin (x π 6 ) Ezek alapján az egyenletet felírhatjuk a következő alakban: sin (3x π 2 ) = sin (x π 6 ). 3x π = x π + k 2π 2 6 x 1 = π + k π k 6 3x π + x π = π + l 2π 2 6 x 2 = 5π 12 + l π 2 10
19. Oldd meg a következő egyenletet: sin (x π ) = cos 2x! 6 A pótszögek segítségével alakítsuk át az egyenletet, majd a ( 1) es szorzót vigyük be: cos 2x = sin ( π 2 2x) = sin [ (π 2 2x)] = sin (2x π 2 ) Ezek alapján az egyenletet felírhatjuk a következő alakban: sin (x π 6 ) = sin (2x π 2 ). x π = 2x π + k 2π 6 2 x 1 = π k π = π + k π k 3 3 x π + 2x π = π + l 2π 6 2 x 2 = 5π 9 + l 2π 3 20. Oldd meg a következő egyenletet: sin (x π 3 ) = cos (π 6 x)! A pótszögek segítségével átalakítsuk át az egyenletet: sin (x π ) = sin 3 [π 2 (π + x)]. 6 x π = π 3 2 (π + x) + k 2π 6 π π + k 2π k 3 3 Mivel ellentmondást kaptunk, így ezen az ágon nincs megoldás. x π + π 3 2 (π + x) = π + l 2π 6 x = π + l π l 2 11
21. Oldd meg a következő egyenletet: sin 6x = sin 2x! A ( 1) - es szorzó bevitelével átalakítsuk át az egyenletet: sin 6x = sin( 2x). 6x = 2x + k 2π x 1 = k π 4 6x 2x = π + l 2π x 2 = π 4 + l π 2 22. Oldd meg a következő egyenletet: sin x = cos (x + π 3 )! A pótszögek segítségével alakítsuk át az egyenletet: sin x = sin [ π 2 (x + π 3 )]. x = π (x + π ) + k 2π 2 3 x = π + k π k 12 x + π (x + π ) = π + l 2π 2 3 π 6 π + l 2π Mivel ellentmondást kaptunk, így ezen az ágon nincs megoldás. 12
23. Oldd meg a következő egyenletet: tg 3x = tg x! Mivel a tangenses kifejezést átírva a nevezőben koszinusz található, ezért feltételt kell írnunk. cos 3x 0 3x π 2 + k π x π 6 + k π 3 cos x 0 x π + l π 2 Oldjuk meg az egyenletet: A ( 1) - es szorzó bevitelével alakítsuk át az egyenletet: tg 3 x = tg ( x). 3x = x + m π x = m π 4 m A megoldás nem felel meg teljesen a feltételnek: x 2π 4 + m π. A feltételbeli értékékeket kiszűrve a megoldások a következőek lesznek: x 1 = n π x 2 = π 4 + r π x 3 = 3π 4 + s π n, r, s 24. Oldd meg a következő egyenletet: ctg 2x = ctg x! Mivel a kotangenses kifejezést átírva a nevezőben szinusz található, ezért feltételt kell írnunk. sin 2x 0 2x 0 + k π x k π 2 sin x 0 x 0 + l π x l π Oldjuk meg az egyenletet: A ( 1) - es szorzó bevitelével alakítsuk át az egyenletet: ctg 2x = ctg ( x). 13
2x = x + m π x = m π 3 m A megoldás nem felel meg teljesen a feltételnek: x m 3π 3. A feltételbeli értékékeket kiszűrve a megoldások a következőek lesznek: x 1 = π 3 + n π x 2 = 2π 3 + r π n, r 25. Oldd meg a következő egyenletet: tg x = ctg x! Mivel a tangenses kifejezést átírva a nevezőben koszinusz található, ezért feltételt kell írnunk. cos x 0 x π + k π 2 Mivel a kotangenses kifejezést átírva a nevezőben szinusz található, ezért feltételt kell írnunk. sin x 0 x 0 + l π x l π Oldjuk meg az egyenletet: A pótszögek segítségével alakítsuk át az egyenletet: tg x = tg ( π 2 x). x = π x + m π 2 x = π 4 + m π 2 m Az eredményt összevetve a feltétellel (közös nevezőre hozás után), azt kapjuk, hogy megfelel a feltételnek, vagyis jó megoldást kaptunk. 14