I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x) halmaz elemeit intervallum alakban. 3. Ekvivalens-e d az euklideszi metrikával? (d E (x, y) = x y ) 4. Teljes-e az (R + 0, d) tér? (4 4 pont) II. Legyen (M, d) teljes metrikus tér és X M olyan részhalmaz, melyre az (X, d X X ) metrikus altér teljes. Igazoljuk, hogy ekkor X zárt halmaz az (M, d) térben. (5 pont) III. Legyen M = R 2 és d az euklideszi metrika, valamint A = { (x, y) M y > 0, x 2 + y 2 1 } (]2, 3[ R) {( 2, 1)}. Tekintsük az (A, d A A ) metrikus teret. 1. Határozzuk meg az A halmaz belső, torlódási, határ és izolált pontjai. 2. Adjuk meg az Int A, A és a Fr A halmazt. (8 + 6 pont) IV. Legyen d 1 és d 2 két ekvivalens metrika az M halmazon. 1. Mutassuk meg, hogy egy a : N M sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat a d 1 metrika szerint, ha Cauchy-sorozat a d 2 metrika szerint. 2. Igazoljuk, hogy az (M, d 1 ) tér pontosan akkor teljes, ha az (M, d 2 ) tér teljes. (3 + 2 pont) Határidő: 2016. 09. 21. 10 15
2. Házi feladat I. Adjunk példát olyan (M, d) metrikus térre és (A n ) n N halmazrendszerre, ahol minden n N esetén A n M zárt, nem üres halmaz, valamint A n+1 A n teljesül és n N A n =. (5 pont) II. Legyen (M, d) metrikus tér, A M és legyen d = d A A. 1. Mutassuk meg, hogy ha az (A, d ) térben A kompakt halmaz, akkor A kompakt az (M, d) térben is. 2. Mutassuk meg, hogy ha A kompakt az (M, d) térben, akkor A kompakt halmaz az (A, d ) térben is. (2 5 pont) III. Adjunk példát olyan (M, d) metrikus térre és A M halmazra, mely korlátos, zárt, de nem kompakt. (5 pont) IV. Legyen (M, d) metrikus tér. Mutassuk meg, hogy az M halmaz pontosan akkor kompakt, ha minden (U i ) i I halmazrendszerre, ha minden i I esetén U i M nyílt halmaz, és bármely i, j I indexhez létezik olyan k I index, melyre U i U j U k és i I U i = M, akkor van olyan k I index, melyre U k = M. (2 6 pont) V. Mutassuk meg, hogy metrikus térben véges sok kompakt halmaz metszete kompakt. (5 pont) VI. Legyenek d 1 és d 2 ekvivalens metrikák az M halmazon. Mutassuk meg, hogy egy A M halmaz pontosan akkor kompakt az (M, d 1 ) metrikus térben, ha kompakt az (M, d 2 ) térben. (3 pont) Határidő: 2016. 09. 28. 10 15
3. Házi feladat I. Legyen (M, d) metrikus tér. 1. Mutassuk meg, hogy minden a : N M konvergens sorozatra és x M pontra ( ) lim d(a n, x) = d lim a n, x n n 2. Mutassuk meg, hogy minden a, b : N M konvergens sorozatra ( ) lim d(a n, b n ) = d lim a n, lim b n n n n (5 + 7 pont) II. Legyen (M, d) metrikus tér és A M. Igazoljuk, hogy az A halmaz pontosan akkor korlátos ha diam(a) = sup d(x, y) <. x,y A (6 + 6 pont) III. Legyen (M, d) olyan metrikus tér, melyhez létezik olyan r R + szám, hogy minden x M pontra a B r (x) halmaz teljes. Igazolja, hogy ekkor az M halmaz is teljes. (6 pont) IV. Legyen (M, d) metrikus tér és A M. Igazoljuk, hogy az A halmaz pontosan akkor korlátos, ha minden megszámlálható részhalmaza korlátos. (5 + 5 pont) Határidő: 2016. 10. 12. 10 15
4. Házi feladat I. Legyen (M, d) szerparábilis metrikus tér, A M és d A = d A A. Igazoljuk, hogy az (A, d A ) tér is szerparábilis. (5 pont) II. Legyen (M, d) metrikus tér és A M teljesen korlátos halmaz. Bizonyítsuk be, hogy az A halmaz is teljesen korlátos. (8 pont) III. Legyen M 1 = M 2 = M = [0, [ és minden x, y M pont esetén legyen d 1 (x, y) = x y és d 2 (x, y) = x y. Tekinstük az (M1, d 1 ) és az (M 2, d 2 ) metrikus tereket és az f, g : M 1 M 2, f(x) = x 4 és g(x) = 4 x függvényeket. 1. Folytonos-e a g függvény? 2. Egyenletesen folytonos-e a g függvény? 3. Egyenletesen folytonos-e a f függvény? IV. Legyen M 1 = [0, [ és minden x, y M 1 pontra az x y esetben legyen d 1 (x, y) = 2, az x = y esetben pedig legyen d 1 (x, y) = 0. Legyen M 2 = [0, 1] és minden x, y M 2 esetén legyen d 2 (x, y) = x y. Tekintsük az f = χ Q M1, vagyis az f : M 1 M 2 x { 0, ha x / Q; 1, ha x Q függvényt. 1. Folytonos-e az f függvény? 2. Egyenletesen folytonos-e az f függvény? (6 + 6 pont) Határidő: 2016. 10. 12. 10 15
5. Házi feladat I. Legyen (M, d) metrikus tér. A dist távolságfüggvény segítségével igazoljuk, hogy minden 1. zárt halmaz, megszámlálhatóan végtelen sok nyílt halmaz metszete; 2. nyílt halmaz, megszámlálhatóan végtelen sok zárt halmaz uniója. (6 + 6 pont) II. Igazoljuk, hogy minden n N \ {0}, p [1, ], x R n és r R + esetén a B r (x) halmaz ívszerűen összefüggő az (R n, d p ) térben. (5 pont) III. Legyen (M, d) az (M 1, d 1 ) és (M 2, d 2 ) metrikus terek szorzata. Mutassuk meg, hogy a pr 1 : M M 1 (x 1, x 2 ) x 1 projekció zárt, azaz minden F M zárt halmazra pr 1 (F ) M 1 zárt halmaz. (5 pont) IV. Legyen K kompakt halmaz az (M, d) metrikus térben, és legyen x M \ K. 1. Igazoljuk, hogy létezik olyan z K pont, melyre dist K (x) = d(z, x) 2. Adjunk olyan példát, ahol létezik z 1, z 2 K, z 1 z 2, melyre dist K (x) = d(z 1, x) = d(z 2, x) (6 + 6 pont) V. Legyen A összefüggő halmaz az (M, d) metrikus térben. Igazoljuk, hogy ekkor az A is összefüggő halmaz. (6 pont) Határidő: 2016. 10. 19. 10 15
6. Házi feladat I. Legyen M = [1, [ a megszokott (euklideszi) metrikával. 1. Kontrakció-e az f : M M, f(x) = x 2 + 1 függvény? 2. Kontrakció-e az f : M M, f(x) = x 2 + 1 2x függvény? 3. Igazoljuk, hogy ha f : M M olyan függvény, mely folytonos és differenciálható az ]1, [ halmazon, valamint létezik olyan K [0, 1[, melyre minden x ]1, [ esetén f (x) K teljesül, akkor f kontrakció. II. Legyen a, b R, a < b, valamint { C 1 ([a, b], R) = f : [a, b] R f : R R : f [a,b] = f, [a, b] Int Dom f, f } [a,b] C([a, b], R) Norma-e a C 1 ([a, b], R) vektortéren a 1. f 1 = sup x [a,b] f(x) + sup x [a,b] f (x) ; 2. f 2 = f(a) + b leképezések valamelyike? a f ; (3 + 4 pont) III. Legyen a {1,..., 12} a feladatmegoldó születési hónapja. Legyen b {1,..., 31} a feladatmegoldó születési napja. Legyen c = 5, ha lány a feladatmegoldó, illetve c = 7, ha fiú. Legyen az A : R 2 R 2 lineáris leképezés mátrixa a kanonikus (e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)) bázisban ( ) a b c 8 Határozzuk meg A értékét, ha 1. A : (R 2, 1 ) (R 2, 1 ); 2. A : (R 2, 2 ) (R 2, 2 ); 3. A : (R 2, ) (R 2, ). (3 6 pont) Határidő: 2016. 11. 02. 10 15
7. Házi feladat I. Definiáljuk a sorozatok vektorterének a alterét és tekintsük a C (N) = {a : N C az a sorozat véges sok helyen nem nulla} ϕ : C (N) C lineáris leképezést. Folytonos-e ϕ, ha a C (N) teret a 1. normával látjuk el? 2. 1 normával látjuk el? 3. 2 normával látjuk el? a n=0 a n II. Minden k N esetén legyen A k : l 2 C l 2 C a ( { 0, ha n k; n a n, ha n > k. ) 1. Igazoljuk, hogy minden k N esetén A k folytonos lineáris leképezés és adjuk meg A k értékét. 2. Mutassuk meg, hogy minden a lc 2 esetén lim A ka = 0 k 3. Igaz-e, hogy lim A k = 0? (Az operátornorma szerint a folytonos lineáris lineáris k leképezések terében.) III. Legyen (U, U ) Banach-tér, (V, V ) normált tér és H L(U, V ) olyan halmaz, hogy minden x U esetén sup Ax V < Legyen A H T = A H 1. Mutassuk meg, hogy T zárt halmaz. 2. Mutassuk meg, hogy T konvex halmaz. 3. Mutassuk meg, hogy T elnyelő halmaz. (2 5 + 7 pont) 1 ( ) A B 1 (0). Határidő: 2016. 11. 09. 10 15
8. Házi feladat I. Legyen (e i ) i=1,...,n a V vektortér egy bázisa és legyen A : V V R egy bilineáris leképezés. Definiáljuk az M i,j := A(e i, e j ) n n-es mátrixot. 1. Igazoljuk, hogy A pontosan akkor szimmetrikus, ha az M mátrix szimmetrikus. 2. Tegyük fel, hogy A szimmetrikus. Igazoljuk, hogy A pontosan akkor pozitív definit, ha az M mátrix összes sajátértéke szigorúan pozitív. (5 + 5 pont) III. Legyen f C([0, 1], R). Mutassuk meg, hogy ha minden n N esetén 1. 2. 3. 1 0 1 0 1 0 f(x)x n d x = 0 teljesül, akkor f = 0; f(x)x πn d x = 0 teljesül, akkor f = 0; f(x) e nx d x = 0 teljesül, akkor f = 0. III. Legyen a, b, c, d R, a < b, c < d. Mutassuk meg, hogy minden f C([a, b] [c, d], R) függvényhez és ε > 0 paraméterhez létezik olyan n N, valamint minden k = 1,..., n esetén léteznek olyan α i C([a, b], R) és β i C([c, d], R) függvények, melyekre n f α k β k n = sup k=1 (x,y) [a,b] [c,d] f(x, y) α k (x)β k (y) < ε sup k=1 (15 pont) Határidő: 2016. 12. 08. 12 00
9. Házi feladat I. Legyen V normált tér és A V konvex halmaz. Igazoljuk, hogy A is konvex halmaz. (8 pont) II. Legyen (M, d) metrikus tér és A M nem üres halmaz. Igazoljuk, hogy A Int A (8 pont) III. Tekintsük a C([0, 1], R) teret a normával, illetve ebben a térben az 1 : C([0, 1], R) R f 1 0 f(x) d x M = {f C([0, 1], R) f(0) = 0} alteret, valamint a ϕ(x) = 1 függvényt. 1. Igazoljuk, hogy M lineáris altér és M távolsága a ϕ függvénytől 0. 2. Igazoljuk, hogy M nem zárt altér. (5 + 4 pont) IV. Legyen (V, p) félnormált tér, azaz p : V R félnorma. 1. Igazoljuk, hogy ekkor M = {x V p(x) = 0} lineáris altér. 2. Minden x, y V esetén legyen x y pontosan akkor, ha x y M. Igazoljuk, hogy x V : x x; x, y V : x y y x; x, y, z V : x y y z x z; (5 + 10 pont) Határidő: 2016. 12. 08. 12 00