Váltakozó elektromágeses terek. Váltakozó feszültség és váltóáram elõállítása Az elektromos áram mdeap életük fotos része. A 9. századba Thomas Alva (GVRQ pv D] OWDOD DODStWRWW ODERDWyXP PXQNDWVD PXWDWWN PHJ HOV NpQW D] HOHNWRPRVVJ V]PRV J\DNRODW DONDOPD]V OHKHW VpJpW 7XGMXN KRJ\ D] ]]yopsd V (GVRQ WDOOPQ\D % V]pQV]ODW KDV]QOW HJMHJ\H]] N KRJ\ D PD KDV]QOW ZRODPV]ODV ]]ykr] V]PRV PDJ\D WDOOPQ\ V ] GN %yg\,ph 7XQJVDP Egyesült zzó. Ma Geeral Electrc.) Edso azoba egyeáramot haszált, és fatal asszsztese a szerb Nkolas Tesla javaslatat a váltóáram haszálatára redre fgyelme kívül hagyta. Úgyhogy Tesla végüls a kokurres Westghouse Electrc ompay-hoz csatlakozott, és a két vállalat között hatalmas harc dult. Ez végüls az 893-as cskágó YOJNOOtWVRQG OWHODKROD:HVWQJKRXVHD]D]7HVOD YOWyDP~ JHQHWRD pv PRWRMD W W VNHWDDWWDN$]DOEENtVpOHWpVDKR]]FVDWODNR]yOHYH]HWpVDYOWyDP~JHQHWR alapelvét smertet..tvpohwqdj\p V]HpVPJQHVWHNHFV Tektsük egy lapos tekercset, melyek meetszáma legye, keresztmetszete pedg legye A. Helyezzük ezt a tekercset egy B dukcójú mágeses térbe. A lapos tekercs NHHV]WPHWV]HWpHPH OHJHVA ráy és a B vektor által közbezárt szög legye α. Ekkor a B tér fluxusa: Φ = B da = ( B A) BAcosα. B = +DDODSRVWHNHFVHWHJ\RO\DQWHQJHO\N ORJDWMXNDPHO\PH OHJHVPQGD]A-ra, md a B-re, akkor α = ω t + α, ahol ω a forgás szögsebessége, α pedg a kezdet szög. Ekkor a Faraday féle dukcó törvéy szert a lapos tekercsbe dukálódó feszültség: dφ d[ BAcos( ω t + α )] = = = BAs( ω t + α ), dt dt vagys az dukált feszültség szíuszosa váltakozk: = s( ω t + α ), ahol D PD[POV HV] OWVpJ YDJ\V D H]JpV D KDPRQNXVDQ H]J HV] OWVpJ DPSOW~GyMD +D EHYH]HW QN HJ\ ~M NH]G ϕ fázszöget, amely az eredet α al az alább összefüggésbe áll: π α = ϕ +, akkor az dukált feszültség az alább formába s írható: = cos( ω t + ). ϕ $WRYEEDNEDQDRJyYHNWRRVOONRPSOH[tVPyGPDWWOVGNpV tektjük majd a váltakozó feszültséget. EEHEEHQD]DODNEDQ. A váltakozó feszültség és áram komplex írásmódja dõbe szuszosa változó, azoos körfrekvecájú meységek összeadása 5
Ha azoos ω körfrekvecával dõbe szíuszosa változó két meység összegére vagyuk kívácsak, pl. két harmokus rezgõmozgás pllaaty ktéréseek összegét szereték kszámíta, akkor vszoylag egyszerû dolguk csak akkor va, ha a két rezgõmozgás fázsa megegyezk. Jelölje ugyas az egyk harmokus rezgõmozgás pllaaty ktérését, ampltúdóját és fázsát redre x, A, ϕ, ugyaezeket a meységeket pedg a másodk rezgõmozgásra jelölje x, A, ϕ. Ezekkel a jelölésekkel x cos( ω t + ϕ), x = A cos( ω t + ϕ ). Ameybe a két rezgés kezdõfázsa megegyezk, azaz ϕ = ϕ = : ϕ, akkor a két rezgés összege köye felírható: x = x( + x cos( ω t + ϕ) + A cos( ω t + ϕ) = ( A + A )cos( ω t + ϕ). Tehát ebbe az egyszerû esetbe egy olya harmokus rezgõmozgást kapuk eredméyül, amelyek kezdõfázsa ugyaakkora mt a két összeadadó rezgésé, ampltúdója pedg egyszerûe a két rezgés ampltúdójáak az összege. Nehezebbe áttekthetõ a helyzet, ha a két rezgés kezdõfázsa külöbözk egymástól. Ekkor ráézéssel még azt s ehéz eldöte, hogy a két rezgés összege s harmokus rezgõmozgás lesz-e. Trgoometra átalakítások utá belátható, hogy egymástól külöbözõ kezdõfázsok eseté s koszíuszos függvéyt kapuk a két rezgés összegére, evezetese A cos( ω t + ϕ) + A cos( ω t + ϕ) = Acos( ω + t + ϕ), ahol A sϕ + A sϕ cos( ), valamt arcta. cos cos A = A + A + A A ϕ ϕ ϕ = A ϕ + A ϕ Ezeket a látszólag boyodalmas összefüggéseket köye áttekthetjük, ha a harmokus rezgõmozgások összeadásához egy szemléletes geometra módszert, a forgó vektorok módszerét alkalmazzuk. Összeadás forgó vektorok segítségével Mt tudjuk, az ω körfrekvecájú harmokus rezgõmozgás szemléletese úgy fogható fel, mt egy ω szögsebességû körmozgás vetülete. Tektsük például az x-y síkba egy vektort, amely az orgó körül forog egyeletes ω szögsebességgel az óramutató járásával elletétes ráyba. Eek a vektorak az x tegelye vett merõleges vetülete megadhatja pl. az elsõ harmokus rezgõmozgásuk pllaaty x ( ktérését, feltéve, ha a v (-vel jelölt forgó vektoruk hossza A, és a kezdet dõpotba az x tegellyel bezárt szöge pedg ϕ. (ásd az ábrát.) gyaígy x ( megadható, mt egy olya v (-vel jelölt forgó vektor, melyek hossza A, az x tegellyel bezárt kezdet szöge pedg ϕ. 6
A két rezgõmozgás összeadásáak a feladata ezekutá az alább formába írható fel: x + x( = Vet{ v ( } + Vet{ v ( }, ahol a "Vet" mûvelet alatt az értedõ, hogy vegyük a v vektorak az x tegelyre esõ vetületét, vagys az x kompoesét. Eddg a potg a forgó vektoros módszer csak felesleges komplkácóak látszk. A módszer elõye a következõ lépésekbe mutatkozak meg. Elõször s, mvel a vektorok összeadása a megfelelõ kompoesek összeadását jelet, ezért a v és a v vektorok vetületeek összegét úgy s k lehet számíta, hogy elõbb a két vektort összeadjuk, és az eredõ vektorak képezzük a vetületét, vagys Vet{ v ( } + Vet{ v } = Vet{ v( + v } = Vet{ v( }. Továbbá még azt s fotos észreve, hogy a két vektor azoos szögsebességgel forog, és ezért a forgás közbe az egymáshoz vszoyított relatív helyzetük em változk. Ezért megtehetjük, hogy a két forgó vektort egy adott pllaatba, például a kezdõpllaatba összeadjuk, v ( ) = v () + v (), és a kezdõpllaatra így kjött eredõ v() vektort ω szögsebességgel "megforgatjuk". Vagys a feladatot fx (rögzítet vektorok összeadására lehet vsszavezet, az eredõ vektor forgását elég késõbb számításba ve. A kétdmezós álló és forgó vektorok matematka leírására vszot a komplex számok a legalkalmasabbak. (Hsze a komplex számokat szokás úgy s meghatároz, mt olya kétdmezós vektorokat, melyekre a skalár algebra valamey szabálya érvéyes.) Ezért a vektoros számítás módot ezekutá komplex számokkal fogjuk felír. Komplex írásmód, komplex ampltúdó Az x ( -vel jelölt harmokus rezgõmozgásukhoz tehát redeljük hozzá az alább, ω szögsebességgel forgó komplex számot: X exp{ ( ω t + ϕ)}, ahol a rezgõmozgásuk em más, mt a fet forgó komplex számak a valós tegelye vett vetülete, azaz 7
x = Re{ X( }. Melõtt vsszatérék eredet feladatukhoz, a két szuszosa változó meység összeadásához, írjuk fel a harmokus rezgõmozgáshoz redelt forgó komplex számot egy kssé más formába: X exp{ ( ω t + ϕ)} exp( ϕ)exp( ω = X() exp( ω, ahol A exp( ϕ) = X() az ú. komplex ampltúdó. Ez em más, mt a forgó komplex szám a t= dõpllaatba, és eek a komplex számak a forgatásáról az exp( ω t ) szorzótéyezõ "godoskodk". Most már vsszatérhetük eredet feladatukhoz, ahols a két harmokus rezgõmozgás eredõjét kerestük. Oldjuk meg ezt a feladatot a forgó komplex számok segítségével: x + x = Re{ X( } + Re{ X } = Re{ X( + X } = Re{ [ X() + X ()] [ exp( ω ]}. Ebbõl a megoldásból jól látható, hogy az eredõ rezgés komplex ampltúdóját úgy kapjuk, mt két rezgés komplex ampltúdóak összegét, és ez egy egyszerû, köye érthetõ és megjegyezhetõ szabály. Ezt a komplex ampltúdót azutá az exp( ω szorzótéyezõ ω szögsebességgel forgatja, és eek a forgó komplex számak a valós tegelyre vett vetülete adja az eredõ rezgést, mt az dõ függvéyét. Váltakozó áram és váltakozó feszültség komplex írásmódja Az Olvasóak E]RQ\D HOW QW KRJ\ HGGJ D H]JpVHN VV]HWHYpVpõl beszélve elektromosságról em sok szó esett, a rezgésekrõl mt mechaka rezgésekrõl beszéltük. Ez szádékosa törtét így, mvel az dõbe szíuszosa változó meységek komplex leírása volt a cél, és eek llusztrálására bármlye, mechaka avagy elektromos rezgés egyarát megfelel. x tehát egyarát jelethet mechaka ktérést, elektromos áramot, avagy feszültséget s. A "a red kedvéért" azoba most írjuk fel a váltakozó áramra lletve feszültségre érvéyes aalóg formulákat s: ( = cos( ω t + ϕ), ( = Re{ ( }, ( = () exp( ω, () = exp( ϕ), = cos( ω t + ϕ), = Re{ ( }, ( = () exp( ω, () = exp( ϕ).. Váltakozó áramú áramkörök, komplex mpedaca Egy sorbakapcsolt tekercsbõl és elleállásból álló váltóáramú hálózat számítása Nézzük meg ezekutá, hogy az elõzõekbe smertetett komplex írásmód hogya segít a váltóáramú számításokat! Ehhez tektsük az alább áramkört: 8
Az áramkör szte ugyaaz, mt amt már a bekapcsolás jeleségél s tárgyaltuk, csak tt most em egy dõbe álladó ε elektromotoros erejû telepet kapcsoluk be, haem egy dõbe koszíuszosa váltakozó elektromotoros erõt: ε = ε cos( ω t + ϕ). Ha a tekercse kívül megyük körbe az áramkörbe, akkor felírható Krchhoff huroktövéye (mert örvéyes elektromos tér csak a tekercs belsejébe va), tehát d R + = ε, azaz R + = ε cos( ω t + ϕ). dt Eek a dfferecál-egyeletek az ( ) = kezdet feltételt kelégítõ megoldása ε R ω ( = cos( ) exp( ) cos( ), ahol = arcta. ω t + ϕ ϑ + t ϕ ϑ ϑ R + ω R Az dõ múlásával a bekapcsolás jeleséget leíró expoecálsa csökkeõ trazes tag hatása rohamosa csökke. Ezért a továbbakba ezekkel a trazesekkel em kíváuk foglalkoz és feltételezzük, hogy a váltóáramú körbe mde áram és feszültség tsztá koszíuszosa változk. Ekkor vszot yugodta alkalmazhatjuk a komplex írásmódot. Most ézzük meg, hogya alkalmazható a komplex számítás mód a fet probléma megoldására! Írjuk be tehát az áramot és az elektromotoros erõt komplex írásmóddal a fet dfferecál-egyeletbe: d R Re{ () exp( ω } + [ Re{ () exp( ω ] = Re{ ε( ) exp( ω }. dt A fet egyeletet célszerûe átredezve a következõ alakra hozható: Re {[ R () + ω () ε ()] exp( ω } =. A fet forgó komplex szám valós része csak úgy lehet mde dõpllaatba zérus, hogy a komlex ampltúdó egyelõ ullával, vagys ε() R () + ω () ε () =, ahoa () =. R + ω átható tehát, hogy a komplex számítás móddal a dfferecál-egyeletbõl egy algebra egyelethez jutottuk, amely algebra egyeletbõl az áramerõsség komplex ampltúdóját k tudtuk fejez. Ez pedg a feladat megoldását jelet, hsze a komplex ampltúdóból md az 9
áramerõsség mumát, md az áramerõsségek a kapocsfeszültséghez képest fázsszögét k tudjuk számol. Elõször az áramerõsség mumát számoljuk k, am em más mt a komplex áramampltúdó abszolút értéke: ε() ε = () = =. R + ω R + ω Az áramerõsség pedg ylvávalóa akkora fázsszöggel lesz lemaradva a kapocsfeszültséghez képest, ameyt az R+ω komplex számmal való osztás jelet. Ez pedg köye számítható: ω ϑ = arcta. R Így tehát felírhatjuk az áramerõsséget, mt az dõ függvéyét ε = cos( ω t + ϕ ϑ), R + ω am em más, mt a dfferecál-egyeletük megoldása a trazes tagtól eltektve. Az gazság azoba az, hogy az áramot mt az dõ függvéyét a legrtkább esetbe szokás csak felír, mert majdem soha em vagyuk arra kvácsak, hogy mekkora az áram egy adott dõpllaatba. (Azt úgys tudjuk felírás élkül s, hogy dõbe koszíuszos függvéyrõl va szó, melyek körfrekvecája ω.) Eél fotosabb számukra az, hogy mekkora a máls áramerõsség (vagy am ezzel szorosa összefügg, mey az áramerõsség effektív értéke, amrõl majd késõbb lesz szó), avagy, hogy mey a fázsszög. Az áramerõsség komplex ampltúdója pedg mt láttuk, mdkét formácót tartalmazza, tehát erre va gazá szükségük. A komplex mpedaca bevezetése Az elõzõekbe láttuk, hogya számítható k az áramerõsség komplex ampltúdója. Most ezt smét írjuk fel, de vezessük be egy új jelölést. ε() ε() ( ) = =, ahol Z R = R + ω. R + ω Z R A ZR komplex számot a fet soros R kör komplex mpedacájáak modjuk. Hasoló összefüggések írhatók fel a feszültség és az áramerõsség komplex ampltúdó között külö az elleálláso és a tekercse s: R () () R ( ) =, ahol Z R = R, valamt () =, ahol Z = ω. Z R Z Eddg még em volt szó a kodezátorról, mt áramkör elemrõl a váltakozó áramú hálózatba. A kodezátoro átfolyó áram komplex ampltúdója és a rajta esõ feszültség komplex ampltúdója között formalag hasoló összefüggést írhatuk fel, mt a tekercs és az elleállás esetébe, de a kodezátor komplex mpedacája természetese máskét számítadó. A levezetésél a kodezátor feszültsége, töltése és kapactása között feálló smert összefüggésbõl duluk k: Q Q ( ) ( ) t dt t dt =, = =, Re{ } = Re. Ezekutá smét felhaszáljuk a váltakozó feszültség és áram komplex rásmódját: = () exp( ω, valamt = () exp( ω. 3
A kodezátoro átfolyó komplex áramerõsség tegrálja ezekutá kszámítható: () dt = () exp( ω dt = exp( ω. ω (tt tulajdoképpe még egy tegrácós álladóak s kellee szerepele, am a kodezátor átlagfeszültségét jelet. Ez azoba váltakozó áramkörbe a bekapcsolás utá hosszú dõvel zérus.) Ha az tegrálra kapott eredméyt ezekutá felhaszáljuk, akkor hasoló átalakítások utá, mt amlyeeket az R kör esetébe s csáltuk, a komplex ampltúdók között alább összefüggéshez jutuk: () () () =, vagy () =, ahol Z =. ω Z ω Tehát most már smerjük a tekercs és az elleállás mellett a kodezátor komplex mpedacáját s. A következõ kérdés, hogya számíthatók olya hálózatok, amelyek e háromféle komplex mpedacát tartalmazzák valamlye tetszõleges kapcsolásba? E számításokhoz a Krchhoff-féle törvéyek komplex aalogojára va szükségük. A Krchhoff-törvéyek a komplex ampltúdókra Amt arról már szó volt, egy zárt hurokba a pllaaty feszültségekre érvéyes a Krchhoff-féle huroktörvéy, feltéve, hogy a tekercseke kívül és em belül zárul a hurok. Tehát felírható, hogy = ε(, Re{ } = Re{ ε( }, Re ε ( ) () exp( ω =, = = = ambõl következk a komplex feszültség-ampltúdókra érvéyes huroktörvéy: = ( ) = ε( ). Hasoló módo látható be a csomópot törvéy s. A pllaaty áramokra felírt csomópot törvéybõl vezethetõ le a komplex áramamplítúdókra érvéyes csomópot törvéy, mely szert: m k= k () =, vagys egy csomópotra ézve a komplex áramampltúdók összege zérus. Komplex mpedacák soros és párhuzamos kapcsolása Komplex mpedacák soros kapcsolása eseté az eredõ komplex feszültségampltúdó egyelõ az egyes mpedacák komplex feszütség-ampltúdóak összegével. (Huroktörvéy.) Továbbá felírhatjuk a komplex feszültség- és áramampltúdók között összefüggést s, fgyelembevéve, hogy soros kapcsolás lévé valamey mpedacá azoos az áram. Tehát E ( ) = (), () = Z E (), () = Z (), Z E = Z, = E vagys soros kapcsolás eseté az eredõ komplex mpedaca egyelõ a részmpedacák összegével. A párhuzamos kapcsolásra érvéyes formula levezetéséél a csomópot törvéyek a komplex áramampltúdókra érvéyes alakjából dulhatuk k, továbbá fgyelembe kell ve, hogy párhuzamos kapcsolásál valamey mpedacá azoos a feszültség. A levezetés végeredméye az a jól smert képlet, mszert = 3
=, Z E = Z vagys párhuzamosa kapcsolt komplex mpedacák eredõjéek a recproka egyelõ a részmpedacák recprokaak összegével. 3