A dátumtranszformácó a geodézában alkalmazott számítás módszer számos, különböző algortmuson alauló megoldása smert A megoldások többsége ks szögelfordulásokat feltételez lnearzálás szükséges a transzformácós araméterek meghatározásához Az előadás kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldást smertet Bemutatja a kvaternó számításához szükséges összefüggéseket, a kvaternók alkalmazását forgatás, az eltolás és méretarány araméterek meghatározását a Bursa-Wolf dátum transzformácós modellben
Kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldás legnagyobb előnye: tetszőleges nagyságú szögelfordulások esetében s alkalmazható, nncs szükség lnearzálásra és terácóra, a transzformácós araméterek számításához.
WGS84 Bemérés hely rendszer A GPS-szel történő szabatos helymeghatározáskor a koordnáták WGS84 rendszerben adottak, amelyeket gyakran át kell transzformáln egy hely geodéza koordnáta rendszerbe. Hely rendszer Ktűzés WGS84 Ktűzéskor hely rendszerbel koordnátákat transzformálunk WGS84 rendszerbe.
Dátumtranszformácó esetén hét transzformácós aramétert kell kszámítanunk, három eltolást, három elforgatást és a méretarány aramétert. A forgatás aramétereket általában három forgásszöggel szokás megadn. A forgatás mátrxban klenc smeretlen szereel, amelyekre hat ortogonaltás és normalzálás feltétel teljesül.
Hamlton (843) 7 éve fedezte fel a kvaternókat egy 3D vektor ábrázolására. A kvaternó nagyon alkalmas a forgatás egységsugarú gömbön történő leírására. Ezért széleskörben alkalmazzák mozgó objektum helyzetének leírására mnt éldául űrhajó, reülőgé vagy géjármű továbbá a robotok rányításában az anmácóban, fzkában és mechankában A továbbakban megvzsgáljuk a dátumtranszformácó megoldását a kvaternó algebra jelőlésével lletve alkalmazásával és bemutatjuk a kvaternó alaú dátum transzformácós algortmust.
Sr Wllam Rowan Hamlton Broome Brdge n Dubln Ireland
A Q kvaternó komlex számként a következőkéen defnálható ahol Q 2 j 3k () 2 2 2 j k, j j k, jk kj, k k j és a kézetes rész egy 3D vektort jelöl 2 j 3k
A megfelelő konjugált kvaternó az alábbak szernt jelölhető Q * j k 2 3 (2) A Q kvaternó oszlovektor formában s kfejezhető az ( j k) egységvektorok felhasználásával ahol Q 2 3 (3) 2 3 egy 3D vektort és a transzonálást jelöl.
Egy 3D vektor mndg megadható kvaternókal a következők szernt j k 2 3 (4) A kvaternó hossza Q 2 2 2 2 2 3 (5) Ha Q, akkor a Q kvaternót egység kvaternónak nevezzük.
A Q kvaternó defnícójának megfelelően könnyen gazolhatók az alább tulajdonságok λp Q P Q (6) PQ (7) CP Q CPCQ (8) CPQ CPQ CPQ (9) ahol egy valós szám, C, P és Q kvaternók, a. és a skalárs és a vektoráls szorzat jele.
A Q kvaternó defnícójának megfelelően könnyen gazolhatók az alább tulajdonságok PQ Q P () QQ Q () Q Q Q (2) a Q a Q kvaternó nverzét jelöl
Vektorok skalárs és vektoráls szorzata a következőkéen defnálható (3) A kvaternó szorzat (7) egyenlet oszlovektor és mátrx szorzataként kfejezhető (4) Ahol I egy 3 3 egységmátrx. C, C PQ C I C I c C c,, 2 3 2 3 2 3 2 3 I C C
Bevezetve a következő mátrx jelöléseket (5) ahol a + és felsőndex a C(.) mátrx előjelét jelöl Behelyettesítve a (5) egyenletet a (4) egyenletbe, eredményül a szorzat kvaternó vektor és mátrx formáját kajuk: (6) C I C I P, Q P Q Q P C
Egyszerűen bzonyítható, hogy a konjugált kvaternó a következő tulajdonságokkal rendelkezk: P P, P P (7)
Jól smert módszer egy 3D vektor s vektorba történő forgatására kvaternóval a következő: S QPQ (8) ahol a és s vektorokból kézett kvaternók a P és S, Q edg egység kvaternó, amely az alábbak szernt defnálható Q cos 2 e n sn 2 (9) 2 2 2 ahol e és n e e2 j e k e 3 e2 e3 amely egy 3D egység vektor, a forgásszög az egységvektor körül és az e e n n e n
Összehasonlítva a (9) egyenletet az () egyenlettel, nylvánvaló, hogy cos, e sn, 2 e2sn, 3 e3 2 2 2 sn 2 A (6) és (7) egyenletek alaján a (8) egyenlet kfejezhető vektor-mátrx formában S Q P Q (2)
Legtöbb dátumtranszformácós modell hétaraméteres, amelyek két különböző geodéza dátumhoz tartozó közös ontok felhasználásával kerülnek kszámításra. A jól smert Bursa-Wolf hasonlóság transzformácós modell, amelyet klasszkus modellnek, hétaraméteres modellnek, vagy térbel Helmert modellnek s neveznek a következők szernt írható fel: s t kr (2) ahol s, (=, n) a két különböző rendszerben adott közös ontok 3D koordnátá t (t X tytz ) jelöl a három eltolás aramétert k a méretarány tényező (ebben a hétaraméteres modellben) és a 33 -as R forgatás mátrx három forgatás aramétert tartalmaz.
Nylvánvaló, hogy hét araméter meghatározásához a közös ontok számának s, (=,,n), nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lenne, mnt három. Határozzuk meg a súlyontra vonatkozó koordnátákat: (22) ahol s, s s s, n n, s s n n
Behelyettesítve a (22) egyenletet a (2) egyenletbe a következőt kajuk s t kr (23) és t t kr - s (24) A (23) egyenlet általában túlhatározott.
Jelölje a maradékvektort v v s t kr (25) Ezek után a transzformácós araméterek a következő otmalzálás feladat megoldásával határozhatók meg mn k,t,r v v mn nt k,t,r t n s kr s kr (26)
Mvel a (26) egyenlet jobb oldalán lévő t első tag független a másodktól, ezért t =, vagy am ezzel egyenlő t s kr (27) Ebből következően csak egy rész-otmalzálás feladatot kell megoldanunk, nevezetesen mn k,t,r n s kr s kr (28)
Mvel R ortogonáls mátrx, a (28) egyenlet a következő alakban s felírható (29) A (29) egyenlet k szernt arcáls dfferencálhányadosát véve meghatározhatjuk a méretarány aramétert, amelyre az alább összefüggést kajuk (3) n n 2 n, k, k 2k mn R s s s R t n n k R s
Behelyettesítve a (3) egyenletet a (29) egyenletbe a következő roblémához jutunk (3) Az egyetlen araméter, amelyre meg kell oldanunk a (3) egyenletet az R forgatás mátrx, továbbá a (3) egyenletben szerelő mnmumkeresés feladat így egyenértékű a (3) egyenlet másodk tagja maxmumának a meghatározásával, nevezetesen (32) n n 2 n - mn R s s s R n max R s R
Bevezetve az R forgatás mátrxot kévselő Q, S és P vektor-kvaternókat, a (32) egyenlet megadható kvaternókkal ahol max Q n S Q P Q (33) S, s, P, és Q,
A (33) egyenletben szerelő kfejezés átrendezhető a (7) egyenlet alaján, lásd Shan 235. oldal (26). A részletes levezetés nélkül a következő, számításra alkalmas összefüggést kajuk: (34) ahol N egy mátrx (35) n Q P Q S NQ Q Q P Q S n 44 n n 22 2 2 n n n n C s C s s C C s s N 4x4
n C s C s s C C s s N mátrx
Következéskéen a (33) egyenletben szerelő maxmumkeresés feladat az alábbak szernt írható max Q Q NQ (36) Más szavakkal, a (32) egyenletben szerelő maxmumkeresés feladat egyenértékű a Q kvaternó meghatározásával, a (36) egyenlet maxmumkeresés feladatával.
Mvel N egy valód szmmetrkus mátrx, amely négy valós sajátértéket, és négy ezekhez tartozó megfelelő valós sajátvektort tartalmaz e Ne λ e, (,..., n) (37) ezért a (36) egyenletben szerelő maxmum meghatározás feladat azonos az N mátrx sajátvektorához tartozó maxmáls sajátértékének a meghatározásával Q e, és λ j max λ (38)
A (2) egyenlet a következőkéen alakítható át (39) Az R 3 3 forgatás mátrx (4) ahol a egy 3D vektort jelöl, I egy 3 3 egységmátrx ld. a (4) egyenletet. P C I P R P Q Q P Q Q Q P Q S 2 2 C I R 2 2
Ezek után a forgásszögek, az R forgatás mátrx elemeből számíthatók R r r r 2 3 r r r 2 22 32 r r r 3 23 33, α X arc tg r r 23 33, β Y arc sn r 2 r 3, γz arc tg r (4) ahol α, β és γ az X, Y és Z tengelyek körül forgásszögeket jelölk.
A kavaternó algebra alkalmazásán alauló dátum transzformácós algortmus végezetül az alábbak szernt foglalható össze. A súlyontra vonatkozó s, koordnáták számítása (22) egyenlet 2. Az N mátrx számítása (36) egyenlet 3. Az N mátrx sajátértékenek és sajátvektoranak számítása. Az N mátrx sajátvektorához tartozó maxmáls sajátérték a Q kvaternó megoldása 4. Az R forgatás mátrx számítása (4) egyenlet 5. k méretarány araméter számítása (3) egyenlet 6. t eltolás araméter számítása (27) egyenlet
Abból a célból, hogy bemutassuk a (36) (4) (3) és (27) összefüggések érvényességét megsmételtük Grafarend és Avange (23) és Shan Chan Zheng (26) számításat. Az eredmények teljes egyezést mutatnak úgy a transzformácós araméterek mnd edg, a transzformált koordnáták és maradék ellentmondások tekntetében.
A érbel Helmert transzformácó megoldására J nyelvű rogramot készítettük NB.============================================================================= NB. érbel HELMER transzformácó kvaternóval J nyelven (J62a) NB. Bursa-Wolf hasonlóság transzformácó NB. Fájlból történő átszámítás NB. Ismert transzformácós araméterek: NB. ranszformácós araméterek közös ontok alaján: FKJ t CKJ NB. Új ontok transzformálása : H KJ NB.============================================================================= Home Page: www.jsoftware.com
======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude 457222.543 664789.37 4774952.99 45787.237 66488.678 477546.524 Bouch Zel 44943.336 688836.443 4778632.88 44969.49 688865.785 477996.588 Hohenneuffen 47283.5 6934.78 475829.7 47345.354 69369.375 4758594.75 Kuehlenberg 47748.376 642997.635 476764.8 477796.64 64326.7 476228.899 Ex Mergelaec 4372.9 6788.29 47928.25 437659.549 67837.337 479592.53 Ex Hof Aserg 446292.729 666952.887 4783859.856 44694.228 666982.5 4784324.99 Ex Kasersbach 438759.92 7267.738 4785552.96 43947.56 727.227 47866.645 n = 7 közös ont =======================================================================================
N mátrx 48482.6767 6797.36277854774 _4449.45492682 _326.777577847242 6797.36277854774 _8375944.9966 _7888883.8685288 _2336633587.9495964 _4449.45492682 _7888883.8685288 _56949.7366 82568676.8436264 _326.777577847242 _2336633587.9495964 82568676.8436264 _29575522.523947 sajátértékek, baloldal és jobboldal sajátvektorok _.9999999999982676 3.92644736748e_6 _8.9927464923568698e_7 _4.789747939994e_7 _2.424387248889e_6 _.5847354347647.49232999883 _.645583244928465 2.66373842568e_6.73732528868926.7387664657394744 _.2288459485484 2.47378334679743e_6.4468848292546 _.5379663479863 _.7569522858252765 48482.66478 8534228.74528 _85355553.2837625 _483998754.28777 _.9999999999982676 3.92644736739e_6 _8.9927464923564823e_7 _4.789747932544e_7 _2.424387248934e_6 _.58473543476459.49232999883 _.6455832449284594 2.6637384255687e_6.737325288689237.7387664657394733 _.2288459485469 2.47378334679565e_6.4468848292545 _.5379663479896 _.7569522858252776 maxmáls sajátérték 48482.66478
Q kvaternó = a maxmáls sajátértékhez tartozó sajátvektor _.9999999999982676 _2.424387248889e_6 2.66373842568e_6 2.47378334679743e_6 R forgatás mátrx.9999999999793 4.846257284948e_6 _4.332759333462954e_6 _4.84646478234e_6.99999999997669953 _4.848533965977e_6 4.3327362646783e_6 4.84874726934e_6.9999999999789354 k méretarány.5582598522 t eltolás 64.884252725946 68.655345452483743 46.398847792
======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 64.884252725946 _.99849767887.5582598522 68.65534545248374.893695764524 46.398847792.99387729872 =======================================================================================
Q kvaternó = _.9999999999983 = _.2424387 2 =.26637384 3 =.2473783 Q kvaternó _.9999999999982676 _2.424387248889e_6 2.66373842568e_6 2.47378334679743e_6 R forgatás mátrx.9999999999793 4.846257284948e_6 _4.332759333462954e_6 _4.84646478234e_6.99999999997669953 _4.848533965977e_6 4.3327362646783e_6 4.84874726934e_6.9999999999789354
======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 64.884252725946 _.99849767887.5582598522 68.65534545248374.893695764524 46.398847792.99387729872 ======================================================================================= MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Soltude 94 35 4 26 Bouch Zel 59 _5 4 78 Hohenneuffen _4 _88 _8 97 Kuehlenberg 2 _22 _87 92 Ex Mergelaec _92 4 _5 93 Ex Hof Aserg _2 7 _55 56 Ex Kasersbach _29 4 2 3 ======================================================================================= Súlyegység közéhbája: m =.772336685933686 ======================================================================================= Q kvaternó = _.9999999999983 = _.2424387 2 =.26637384 3 =.2473783 =======================================================================================
======================================================================================= érbel HELMER transzformácó Közös ontok PSZ Forrás rendszer [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél rendszer [X Y Z] ======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude 457222.543 664789.37 4774952.99 45787.237 66488.678 477546.524 Bouch Zel 44943.336 688836.443 4778632.88 44969.49 688865.785 477996.588 Hohenneuffen 47283.5 6934.78 475829.7 47345.354 69369.375 4758594.75 Kuehlenberg 47748.376 642997.635 476764.8 477796.64 64326.7 476228.899 Ex Mergelaec 4372.9 6788.29 47928.25 437659.549 67837.337 479592.53 Ex Hof Aserg 446292.729 666952.887 4783859.856 44694.228 666982.5 4784324.99 Ex Kasersbach 438759.92 7267.738 4785552.96 43947.56 727.227 47866.645 n = 7 közös ont ======================================================================================= ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 64.884252725946 _.99849767887.5582598522 68.65534545248374.893695764524 46.398847792.99387729872 ======================================================================================= MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Soltude 94 35 4 26 Bouch Zel 59 _5 4 78 Hohenneuffen _4 _88 _8 97 Kuehlenberg 2 _22 _87 92 Ex Mergelaec _92 4 _5 93 Ex Hof Aserg _2 7 _55 56 Ex Kasersbach _29 4 2 3 ======================================================================================= Súlyegység közéhbája: m =.772336685933686 ======================================================================================= Q kvaternó = _.9999999999983 = _.2424387 2 =.26637384 3 =.2473783 =======================================================================================
======================================================================================= PSZ Forrás rendszer [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél rendszer [X Y Z] ======================================================================================= KOORDINÁA JEGYZÉK Soltude 457222.543 664789.37 4774952.99 45787.43 66488.543 477546.384 Bouch Zel 44943.336 688836.443 4778632.88 44969.99 688865.835 477996.574 Hohenneuffen 47283.5 6934.78 475829.7 47345.394 69369.463 4758594.83 Kuehlenberg 47748.376 642997.635 476764.8 477796.44 64326.722 476228.986 Ex Mergelaec 4372.9 6788.29 47928.25 437659.64 67837.323 479592.536 Ex Hof Aserg 446292.729 666952.887 4783859.856 44694.24 666982.44 4784324.54 Ex Kasersbach 438759.92 7267.738 4785552.96 43947.535 727.223 47866.643 =======================================================================================
Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 47.749333482733.36238859.2579325942 _69.284694488 _.65935976 _.9972877926595.476239373 Súlyegység közéhbája: m =.32485438337738 Q kvaternó _.99999999999962 7.4265234996472e_7 _.59824462896585e_7.4822938445963e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _47.74934233297 _.362395922.999997842598722 69.285322983265.6593375.997483546549 _.4762329923 Súlyegység közéhbája: m =.32484732289937 Q kvaternó.99999999999962 7.4265234996472e_7 _.59824462896585e_7.4822938445963e_6
Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 47.9499332987.26332373949.29785378 _67.887778596224 _.96984246 _.493294223973.48827598695 Súlyegység közéhbája: m =.3729262927956724 Q kvaternó.9999999999996874 _6.3768745555456e_7 2.3595692293768e_7 _.8344876524293e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _47.94993863924 _.26332635.9999979235638 67.88753455385.9698362344.4934822364 _.4882772237 Súlyegység közéhbája: m =.372925598234555 Q kvaternó _.9999999999996874 _6.3768745555456e_7 2.3595692293768e_7 _.8344876524293e_6
Bemérés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány 53.467755763464.4268796578.242599637 _64.833344348.7647282232 _6.4629389992.599295632 Súlyegység közéhbája: m =.258978454964433 Q kvaternó _.999999999999426 3.45884878922364e_7 4.26993488885327e_7.22274754486755e_6 Ktűzés ranszformácós araméterek Eltolás Elforgatás Méretarány _53.467766683769 _.4268753863.999997957395342 64.8374424363 _.764762885 6.46343229252 _.59973778 Súlyegység közéhbája: m =.25897332929253 Q kvaternó.999999999999426 3.45884878922364e_7 4.26993488885327e_7.22274754486755e_6
érbel Helmert rogram futtatása Közös ontok száma 7 24 43 5 Program futás deje [sec] 2 2 2 2 Eredmények lstája [A4-es laméret] [8-as betűméret] 2 2 3 Home Page: www.jsoftware.com
A dátumtranszformácó széles körben alkalmazzott a geodézában és a kartográfában. Számos algortmus használata javasolt. Az algortmusok többsége azonban kcsny forgásszögek feltételezésén alaszk, továbbá lnearzálás szükséges a transzformácós araméterek széleskörű gyakorlat felhasználás céljára történő meghatározásához. Az előadás kvaternó algebra alkalmazásán alauló dátumtranszformácós analtkus megoldást mutatott be a araméterek meghatározására.
Kvaternó alaú dárumtranszformácós analtkus megoldás legnagyobb előnye: tetszőleges nagyságú szögelfordulások esetében s alkalmazható, nncs szükség lnearzálásra és terácóra, a transzformácós araméterek számításához. Az algortmus alkalmazhatóságát száméldán mutattuk be.
Azonban meg kell jegyezzük, hogy analtkus megoldáskor, bzonyos egyszerűsítéseket kellett alkalmazzunk a ontok hbának függetlenségére vonatkozóan. Ezek nélkül nem lehetséges az analtkus megoldás. Ez a fő hátrány ezeknél az algortmusoknál. Mndazonáltal a módszer elfogadható eredményt adott.
Grafarend EW, Awange LJ (23): Nonlnear analyss of the threedmensonal datum transformaton [conformal grou C7(3)]. J Geod 77:66 76 HamltonWR (853): Lectures on uaternons: contanng a systematc statement of a Newmathematcal method, Hodges and Smth, Dubln Pa et al. (997): GPS network transformaton nto dfferent datums and rojecton systems. Reorts on Geodes, No.4(27), 265-28. Pa at al. (22): Hungaran GPS Network ransformaton nto Dfferent Datums and Projecton Systems. Per. Pol. Cv. Eng. (46/2), 99-24 Pa E - Szűcs L (25): Föld és műholdas hálózatok transzformácója Geomatka Közlemények VIII. 85-92 Vaníˇcek P, Steeves RR (996): ransformaton of coordnates between two horzontal geodetc datums. J Geod 7:74 745 Vaníˇcek P, Novák P, Craymer MR, Pagataks S (22): On the correct determnaton of transformaton arameters of a horzontal geodetc datum. Geomatca 56(4):329 34 WelschWM(993): A general 7-arameter transformaton for the combnaton, comarson and accuracy control of the terrestral and satellte network observatons. Manuscr Geod 7:2 24 Yang Y (999): Robust estmaton of geodetc datum transformaton. J Geod 73:268 274 Y.-Z. Shen Y. Chen D.-H. Zheng (26): A uaternon-based geodetc datum transformaton algorthm J Geod 8: 233 239