Véletlen és determinisztikus fraktálok

Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék Véletlen és determinisztikus fraktálok PhD tézisfüzet Móra Péter Témavezet : Prof. Simon Károly 2013

Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1 A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke 5 1.1 Önhasonló halmazok...................... 5 1.2 A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékének becslése... 6 1.2.1 Bevezetés........................ 6 2 Véletlen Cantor halmazok különbsége 8 2.1 Eredmények........................... 8 2.1.1 Bevezet......................... 8 2.1.2 Saját eredmény..................... 9 2.1.3 Az F F típusú véletlen Cantor halmaz különbség. 11 2.1.4 Általánosítás...................... 11 3 Véletlen Sierpinski-sz nyegek összege 12 3.1 Eredmények........................... 12 Irodalomjegyzék 16 i

Bevezetés A tézisben közölt legfontosabb eredményeim a fraktálok témaköréb l származnak (lásd: 1., 2., 3. fejezet). Ezen kívül 3 cikkben voltam társszerz, amelyek parkettázással és kölcsönösen torzítatlan bázisokkal kapcsolatosak. Ezen területekhez történ hozzájárulásom kevésbé fontos, ezért a tézisben csak egy rövid összefoglalót adok az eredményekr l (lásd: 4. és 5. fejezet). Az 1. fejezet tartalmazza az els eredményemet [12] a fraktálok területér l: javítottam a Sierpinski-háromszög (Λ) Hausdor-mértékének alsó becslésén. A Sierpinski-háromszöget az alábbi módon konstruálhatjuk meg: vegyük az 1 oldalhosszúságú egyenl oldalú háromszöget, és hagyjuk el az azonos középponttal rendelkez fejjel lefelé fordított fele akkora háromszöget, majd ismételjük ezt a lépést az így megmaradt 3 háromszögre, ahogyan az 1. és a 2. ábra mutatja. E 3 E 33 E 31 E 32 E 1 E 2 E 13 E 11 E 12 E 23 E 21 E 22 1. ábra. Az 1., 2. és 3. szint háromszögek A továbbiakban feltesszük, hogy a Sierpinski-háromszög átmér je 1. A Sierpinski-háromszög az egyik legismertebb fraktál, a Hausdor-dimenzió és mérték (a deníciókért lásd: 1.1. fejezet) a legfontosabb mér számai a fraktáloknak. A Sierpinski-háromszöget deniáló iterált függvényrendszer teljesíti a nyílt halmaz feltételt. Ezért Hutchinson tétele szerint a Hausdordimenziója s = log 3/ log 2, és az s dimenziós Hausdor-mértéke H s (Λ) pozitív és véges. Mivel a Sierpinski-háromszög kiemelt szerepet játszik számos alkalmazásban, ezért kívánatos lenne, ha jobban megértenénk a 1

2. ábra. A Sierpinski-háromszög méretét. Éppen ezért az utóbbi két és fél évtizedben több kísérlet történt a Sierpinski-háromszög s dimenziós mértékének pontosabb kiszámolására: 1987-ben Marion [10] megmutatta, hogy 0.9508 fels becslés. 1997-ben Z. Zhou [16, 17] ezt megjavította 0.915-re, majd kés bb 0.89-re. 2000-ben Z. Zhou és Li Feng bebizonyították [18], hogy H s (Λ) 0.83078. A legjobb ismert fels becslés 0.81794, amelyet Wang Heyu és Wang Xinghua [15] publikált 1999-ben kínaiul. 2002-ben B. Jia, Z. Zhou és Z. Zhu [8] megmutatták, hogy a 0.5 alsó becslés a Sierpinski-háromszög s dimenziós Hausdor-mértékére. 2004-ben R. Houjun és W. Weiyi [5] megjavították ezt az eredményt 0.5631-re. Végül 2006-ban B. Jia, Z. Zhou és Z. Zhu [9] belátták, hogy 0.670432 alsó becslés. Az 1. fejezet f eredménye: H s (Λ) 0.77. A nehézséget a geometria adja. Az s dimenziós Hausdor-mértéket a következ módon deniáljuk: H s (Λ) = lim inf { A k s, ahol A k < δ és Λ δ 0 k=1 } A k, (0.0.1) mely képletben az A k jelölés alatt az A k halmaz átmér jét értjük. Ahhoz, hogy megbecsüljük a Hausdor-mértéket, meg kell értenünk mi a legideálisabb lefedés (0.0.1) értelmében. A legkézenfekv bb lefedés a n. szint háromszögekkel történhetne (1. ábrán látható egyenl oldalú háromszögek). Ez esetben az s dimenziós Hausdor-mértékre 1-et kapnánk. Más részr l tudjuk, hogy H s (Λ) < 0.81794. Ezért nem a legtermészetesebb lefedés a legjobb, és ez teszi nehézzé a problémát. Az alsó becslés megjavításához számítógéppel támogatott bizonyítást adok. k=1 2

A 2. fejezetben két véletlen Cantor halmaz különbségét tekintjük. Ez egy közös munka Simon Károllyal és B. Solomyakkal [13], amely kiegészíti Simon Károly és M. Dekking [2] korábbi munkáját. A motivációt J. Palis által kérdezett probléma adta. Két halmaz halmazelméleti különbségén a következ kifejezést értjük: F 2 F 1 = {y x : x F 1, y F 2 }. 0.0.1. Sejtés (Palis). Az F 2 F 1 halmaz tipikusan kicsi abban az értelemben, hogy Leb(F 2 F 1 ) = 0, vagy nagy és F 2 F 1 tartalmaz intervallumot. T.A. Moreira és J.C. Yoccoz [14] belátták Palis sejtését tipikus nem lineáris determinisztikus C 2 síkbeli Cantor halmazokra, azonban a probléma nyitva maradt lineáris Cantor halmazokra. Megmutatjuk, hogy az önhasonló véletlen Cantor halmazoknak egy természetes családjára el fordul, hogy F 2 F 1 halmaznak majdnem biztosan pozitív Lebesgue mértéke van, de majdnem biztosan nem tartalmaz intervallumot. Legyen M 2 természetes szám és p = (p 0,..., p M 1 ) [0, 1] M egy tipikusan nem valószín ségi vektor. Az els lépésben felosztjuk az I = [0, 1] intervallumot M darab egyenl részre: I 0,..., I M 1. Ezután megtartjuk az I k = [ k, ] k+1 M intervallumot pk valószín séggel egymástól függetlenül k = 0,..., M 1 esetén. Az els közelítése a véletlen Cantor halmaznak F 1 : az els lépés során megtartott intervallumok uniója. A második lépésben minden az els lépésben megtartott I k intervallumra elismételjük ugyanezt a lépést I k -ra I helyett. Így a második szinten lév [ k1 I k1 k 2 := M + k 2 M, k 1 2 M + k 2 M + 1 ] 2 M 2 intervallumot csak akkor tarthatjuk meg, ha korábban megtartottuk I k1 - et az els lépésben. Ebben az esetben annak a feltételes valószín sége, hogy megtartjuk az I k1 k 2 intervallumot (feltéve, hogy I k1 -et beválasztottuk) p k2. Minden választás minden korábbi választástól függetlenül történik. A véletlenszer en megtartott I k1 k 2 intervallumok unióját a véletlen Cantor halmaz F 2 második szint közelítésnek nevezzük. Ezen lépéseket folytatva k n = (k 1,..., k n ) esetén az n. lépés után megmaradt I kn := [ k 1 M 1 + + k n M n, k 1 M 1 + + k n M n + M n], intervallumok unióját hívjuk F n -nek, a véletlen Cantor halmaz n. szint közelítésének. Az F véletlen Cantor halmaz deníciója: F := F n. n=1 3

Legyen F 1 és F 2 két egymástól független példánya F -nek a fenti konstrukció alapján. A szerz k [2]-ben feltételeket adnak, melyek teljesülése esetén F 2 F 1 majdnem biztosan tartalmaz intervallumot (feltéve, hogy F 1, F 2 ). Másrészr l arra is feltételeket adnak, melyek teljesülésekor int(f 2 F 1 ) = majdnem biztosan. Folyatva ezen kutatást a 2. fejezetben a véletlen Cantor halmazok ugyanezen családját vizsgáljuk és feltételt adunk, amely teljesülése esetén az F 2 F 1 különbség Lebesgue mértéke majdnem biztosan pozitív. A tételek eredményeit felhasználva tudunk konstruálni olyan véletlen Cantor halmaz családot, amelyre a fenti Palis sejtés nem igaz. A 3. fejezetben egy még nem publikált eredményt közlünk, amelyben két véletlen d dimenziós Sierpinski-sz nyeg (denícióért lásd: 3. fejezet) összegét vizsgáljuk, ez egy magasabb dimenziós kiterjesztése a korábbi munkáknak. Habár a bizonyítások menete analóg a korábbiakkal, magasabb dimenzióban lényegesen technikaibb a probléma, amit a típusok nagy száma okoz. A [2] cikkben található tételek általánosításaként feltételeket adunk, amelyek mellett az összeg tartalmaz bels pontot. Egy másik tételben elégséges feltételt adunk arra, hogy az összeg tartalmaz egy adott fraktált. Ezt felhasználva könnyen készíthetünk olyan esetet, ahol az összeadandók egyike sem tartalmazza a Sierpinski-háromszög kicsinyített mását, de az összeg majdnem biztosan igen (feltéve, hogy nem üresek az összeadandó halmazok). Ebben a példában az összeadandó halmaz kicsi marad abból a szempontból, hogy majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. Ezek a tételek további jelölést igényelnek, ezért csak a 3. fejezetben tárgyaljuk ket. 4

1. fejezet A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke 1.1. Önhasonló halmazok Az {f 1, f 2,..., f m } rendszert iterált függvényrendszernek nevezzük, ha az f 1, f 2,..., f m : R d R d függvények kontrakciók. A tézisben csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor ezen f 1, f 2,..., f m függvények hasonlóságok, azaz i = 1, 2,..., m esetén f i (x) f i (y) = c i x y, ahol c i < 1. Hutchinson [6] egyik tétele szerint ekkor létezik egy egyértelm nem üres kompakt F halmaz, amelyik teljesíti az alábbi egyenl séget: k f i (F ) = F. (1.1.1) i=1 Ezt az F halmazt az iterált függvényrendszer attraktorának hívjuk. Az attraktort gyakran nevezik fraktálnak ezen önhasonló tulajdonsága miatt. Minden s 0 esetén deniáljuk az F halmaz s dimenziós Hausdormértékét: H s (F ) := lim inf { } A k s, ahol A k < δ és F A k δ 0 k=1 mely formulában az A k módon jelöljük az A k halmaz átmér jét. Az F halmaz Hausdor-dimenziója: k=1 dim H (F ) = inf{s : H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = }. 5

1.2. A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékének becslése 1.2.1. Bevezetés A Λ Sierpinski-háromszög konstrukciója a következ : vegyük az egységnyi ) oldalú egyenl oldalú háromszöget, melynek a csúcsai (0, 0), (1, 0),, ( 1 2, 3 2 és hagyjuk el a fele akkora fejjel lefelé álló háromszöget a közepér l, majd ismételjük ezt a lépést a megmaradt háromszögekre végtelen sokszor, ahogyan az 1. és a 2. ábrákon látható. A H s (Λ) becslésének megjavításához B. Jia [7] tételét fogjuk felhasználni. A tétel kimondásához szükségünk a következ deníciókra. Jól ismert (lásd: [3]) és könnyen belátható, hogy ahol Λ = 3 S i (Λ), i=1 ( 1 S 1 (x, y) = 2 x, 1 ) 2 y, ( 1 S 2 (x, y) = 2 + 1 2 x, 0 + 1 ) 2 y, ( 1 S 3 (x, y) = 4 + 1 ) 3 2 x, 4 + 1 2 y. ( 1 2, 3 2 Legyen E az egységnyi oldalhosszú ) egyenl oldalú háromszög, melynek a csúcsai: (0, 0), (1, 0),. Deniáljuk az n. szint háromszögeket minden (i 1... i n ) {1, 2, 3} n esetén a következ módon: E i1...i n := S i1...i n (E) = S i1 S in (E) Minden i 1,..., i n esetén deniáljuk az n. szint cilinder halmazokat: F i1...i n := S i1...i n (Λ) = S i1 S in (Λ). Legyen µ az egyenletes eloszlás a Sierpinski-háromszögön, azaz minden n esetén adott i 1... i n esetén µ(e i1...i n ) = µ(f i1...i n ) = 1 3 n. 6

B. Jia jelölését követve bevezetünk egy sorozatot: a n = min k n j=1 (n) j s k n /3 n = min kn j=1 (n) j s µ( k n j=1 (n) j ), (1.2.1) { } ahol a minimumot minden nem üres (n) 1,..., (n) k n n-edrend háromszögre vesszük. Könny belátni, hogy az a n sorozat nem növekv (lásd: [7]). Ezen felül B. Jia megmutatta (lásd: [7]), hogy az a n sorozat fels becslés a Sierpinski-háromszög Hausdor-mértékére, továbbá mutatott egy alsó becslést is a n segítségével: 1.2.1. Tétel (B. Jia). A Sierpinski-háromszög Hausdor-mértéke teljesíti a következ egyenl tlenségeket: a n e 16 3 3 s ( 1 2) n H s (Λ) a n (1.2.2) 1.2.2. Következmény. Az 1.2.1. Tétel következménye, hogy az a n sorozat konvergál H s (Λ) értékéhez. Sajnos reménytelennek látszik a n értékének kiszámolása n 6 esetén. B. Jia [7] kiszámolta a 1 és a 2 értékét, mi ki tudtuk számolni a 3, a 4 és a 5 értékét, de ezáltal (1.2.2) egyenletb l csak H s (Λ) > 0.54 következik, amely nem javít az eddig ismert legjobb alsó becslésen. Ezért a tétel közvetlen felhasználása helyett alsó becslést adunk a n értékeire minden n-re. Az 1.2.2. Következmény értelmében így alsó becslést kapunk H s (Λ) értékére is. A tézis 1.2.5. és 1.2.6. alfejezetében egy komplikált algoritmussal megmutatjuk, hogy a n 0.77 teljesül minden n N esetén. Felhasználva az 1.2.2. Következményt adódik az alsó becslés: 1.2.3. Tétel. H s (Λ) 0.77. Az 1.2.1. tétel második egyenl tlenségét felhasználva a tézis 1.2.3. alfejezetében adunk egy fels becslést H s (Λ) értékére: mutatunk néhány ügyesen megválasztott háromszöget a 30. szinten. Ez a kollekció fels becslés a 30 -on, így belátjuk, hogy H s (Λ) 0.819161232881177 teljesül. 1999-ben két kínai matematikus [15] ennél jobb fels becslést publikált, ám a publikációjuk csak kínaiul jelent meg. 7

2. fejezet Véletlen Cantor halmazok különbsége 2.1. Eredmények Legyen F 1 és F 2 két független példánya a Bevezetésben konstruált véletlen Cantor halmaznak. Az F 2 F 1 különbségének Lebesgue-mértékével kapcsolatos eredményeinket az alábbiakban tárgyaljuk. További eredményeink vannak F F típusú különbségekre és a determinisztikus esetre. 2.1.1. Bevezet A véletlen Cantor halmazoknak a [2] cikkben használt denícióját használjuk. Adott egy M 2 természetes szám és egy p = (p 0,..., p M 1 ) [0, 1] M vektor, ami általában nem valószín ségi vektor. A konstrukció lépései a Bevezet ben megtalálhatóak. Ebben a fejezetben, amennyiben nem jelezzük másként, mindig két F 1, F 2 független véletlen Cantor halmaz halmazelméleti különbségét tekintjük. Ahogyan korábban bevezettük, jelöljük az n-edik szint közelítést F1 n és F2 n halmazokkal. Két független Cantor halmazok által generált (Ω, F, P) valószín ségi tér pontos deníciója megtalálható [2] cikkben. Ismert (lásd: [2, Fact 2]) és könnyen belátható, hogy Ha M 1 k=0 F 2 F 1 = P roj 45 (F 1 F 2 ). p k < M, akkor az F 2 F 1 véletlen Cantor halmazok különbségének Hausdor-dimenziója kisebb, mint 1 (lásd: [2]). 8

Vezessük be a γ k ciklikus autokorrelációs együtthatókat a következ módon: γ k := M 1 j=0 p j p j+k ( mod M) minden k = 0,..., M. 2.1.1. Tétel (Dekking, Simon [2]). Feltéve, hogy F 1, F 2, (a) ha γ k > 1 minden k-ra, akkor F 2 F 1 tartalmaz intervallumot majdnem biztosan, (b) ha létezik k {0,..., M 1} úgy, hogy γ k és γ k+1 kisebbek 1-nél, akkor F 2 F 1 majdnem biztosan nem tartalmaz intervallumot. 2.1.2. Saját eredmény Eredményünk kimondásához szükséges még egy deníció: u k := { p0 p k + + p M k 1 p M 1, ha 0 k < M; 0, ha k = M. (2.1.1) Vegyük észre, hogy γ k = u k + u M k. 2.1.2. Tétel. Tegyük fel, hogy Γ := γ 0... γ M 1 > 1, (A1) (A2) és minden 0 k M 1 esetén min(u k, u k+1 ) > 0 vagy min(u M k, u M k 1 ) > 0. Ekkor feltéve, hogy F 1, F 2 igaz, majdnem biztosan teljesül. Leb(F 2 F 1 ) > 0 2.1.3. Megjegyzés. A tétel második feltétele technikai feltétel, ám ha minden p 0,... p M 1 valószín ség pozitív, akkor ez teljesül. 2.1.4. Megjegyzés. Az eredményünk majdnem éles. Ugyanis a tételünk azt mondja ki, hogy ha a γ i sorozat mértani közepe nagyobb 1-nél és (A2) teljesül, akkor az F 2 F 1 különbségnek pozitív a Lebesgue-mértéke. Másrészr l tudjuk [2], hogy ha a számtani közép kisebb 1-nél, akkor dim H F 1 + dim H F 2 < 1, azaz Leb(F 2 F 1 ) = 0. 9

2.1.5. Megjegyzés. Dekking és Grimmett egy hasonló problémát vizsgáltak [1]: egy magasabb dimenziós véletlen Cantor halmaznak az ortogonális projekciójának Lebesgue mértékér l adtak állításokat. A kódolás leírásához elágazó folyamatot használtak véletlen környezetben. Mi hasonló módszert használunk, ám a mi esetünkben a vetítés 45. Ez két különböz típushoz vezet, és külön gyelnünk kell a függetlenség problémájára. Emiatt a [1] cikkben bevezetett eljárás lényegesen bonyolultabb formában jelenik meg a mi bizonyításunkban. A [2] cikk f eredményéb l és a tételünkb l következik, hogy a Palis sejtése (0.0.1) nem igaz általában: 2.1.6. Következmény. Legyen M = 3 és Ebben az esetben: (p 0, p 1, p 2 ) = (0.52, 0.5, 0.72). γ 0 = p 2 0 + p 2 1 + p 2 2 = 1.0388, γ 1 = γ 2 = p 0 p 1 + p 1 p 2 + p 2 p 0 = 0.9944, A véletlen Cantor halmazok különbsége nem tartalmaz intervallumot majdnem biztosan (lásd: 2.1.1. Tétel (a) része). Másrészr l a szorzat γ 0 γ 1 γ 2 = 1.0272 nagyobb, mint 1. Ezért 2.1.2. Tételünkb l következik, hogy a különbség majdnem biztosan pozitív Lebesgue-mérték, feltéve, hogy nem üres egyik halmaz sem. 2.1.7. Megjegyzés. Feltéve, hogy F, igaz az, hogy (lásd: [4], [11]) ( M 1 ) dim H F = log p i / log M majdnem biztosan. Az (A1)-es feltétel következménye M 1 i=0 p i > M, ezért feltéve, hogy F nem üres, dim H F > 1/2 igaz majdnem biztosan. 2.1.8. Megjegyzés (Determinisztikus eset). Tegyük fel, hogy a p i valószín ségek mindegyike 0 vagy 1. Jelöljük F halmazzal az így létrejött Cantor halmazt. Ezt az esetet már részletesen tárgyalták [2, Section 8], ám nem jelölték a bizonyításban [2, Theorem 2], hogy Palis sejtése teljesül ebben a speciális esetben. Azaz vagy Leb(F F ) = 0 vagy F F áll fenn. i=0 10

2.1.3. Az F F típusú véletlen Cantor halmaz különbség 2.1.9. Tétel. Ha a 2.1.2. Tétel (A1) és (A2) feltételei teljesülnek, akkor feltéve, hogy az összeadandó halmazok nem üresek teljesül majdnem biztosan. Leb(F 1 F 1 ) > 0 2.1.4. Általánosítás Tekintsük ugyanazt a problémát, mint a 2.1.2. Tételben, de tegyük fel, hogy a véletlen Cantor halmazok konstrukciójánál különböz paramétereket használunk, ezek legyenek p = (p 0,..., p M 1 ) és q = (q 0,..., q M 1 ). Így annak a valószín sége, hogy I i1...i k intervallumot megtartjuk p ik az F 1 halmaz esetén és q ik az F 2 halmaz esetén (feltéve, hogy I i1...i k 1 intervallumot beválasztottuk). Követve [2, Section 4.4] jelölését legyen γ k := M 1 j=0 q j p j+k ( mod M). Ekkor a 2.1.2. Tétel általánosítható erre az esetre: 2.1.10. Tétel. Legyen F 1, F 2 két véletlen Cantor halmaz a fenti konstrukcióval. Tegyük fel, hogy az alábbiak teljesülnek: Γ := γ 0... γ M 1 > 1, (Ã1) (Ã2) és minden 0 k M 1 esetén 0 < p k és 0 < q k. Ekkor feltéve, hogy F 1, F 2 teljesül, majdnem biztosan teljesül. Leb(F 2 F 1 ) > 0 11

3. fejezet Véletlen Sierpinski-sz nyegek összege 3.1. Eredmények Ebben a fejezetben Simon Károly és M. Dekking [2] munkáját egészítjük ki számos módon. Žk azt vizsgálták, hogy két 1 dimenziós véletlen Cantor halmaz különbsége tartalmaz-e intervallumot. A kutatásuk folyatásaként hasonló eredményeket bizonyítunk magasabb dimenzióban. A lényegi újítás a típusok bevezetése, amelyek segítségével leírhatjuk a szorzat halmaz és egy hipersík metszetét, amely az 1 dimenziós esetnél sokkal komplikáltabb. Ebben a fejezetben az összeget vizsgáljuk a különbség helyett. Amíg a különbség 1 dimenzióban jól prezentálható jobb és bal háromszögekkel, nem használhatjuk ezt a megközelítést magasabb dimenzióban. Kényelmesebb az összeg használata ezen struktúrák leírására, ha a dimenzió 1-nél nagyobb. A magasabb dimenziós véletlen Cantor halmazokat Sierpinski-sz nyegnek hívjunk, és az alábbi módon konstruáljuk meg. Legyen d > 0 és M 2 egész szám. Leírjuk a d dimenziós, M részre bontott, p(i) [0, 1] valószín ségek által deniált (ahol i = (i 0, i 1,..., i d 1 ) Γ = {0, 1,..., M 1} d ) véletlen Sierpinski-sz nyeget, jelöljük F -fel. Az F 0 = I = [0, 1] d halmazt hívjuk 0. szint közelítésnek. Particionáljuk fel I-t M d egyenl kockára: [ ] [ ] [ i (1) 0 I i1 := M, i(1) 0 + 1 i (1) 1 M M, i(1) (1) 1 + 1 i d 1 M M, i(1) d 1 + 1 ] M ahol i 1 = (i (1) 0, i (1) 1,..., i (1) d 1 ) Γ. Az els lépésként minden i 1 Γ esetén tartsuk meg az I i1 kockát p(i 1 ) valószín séggel, a többi választástól függetlenül. A megmaradó halmazt hívjuk F 1 -nek, ez az 1. szint közelítése F -nek. 12

A megmaradt I i1 halmazokon folytassuk ezt a lépést egymástól függetlenül: a második lépésként minden i 2 = (i (2) 0,..., i (2) d 1 ) Γ esetén az ] ] I i1,i 2 = [ i (1) 0 M + i(2) 0 1 M, i(1) 0 2 M + i(2) 0 + 1 1 M 2 [ i (1) d 1 M + i(2) d 1 1 M, i(1) d 1 2 M + i(2) d 1 + 1 1 M 2 kockát megtartjuk p(i 2 ) valószín séggel (feltéve, hogy az I i1 kockát megtartottuk az els lépésben). Ezen megtartott kockák unióját hívjuk F 2 -nek, az F halmaz második szint közelítésének. Minden választás a korábbi választásoktól függetlenül történik. A kapcsolódó valószín ségi mértéket és várható értéket jelöljük P, illetve E bet kkel. A végtelen sok lépés után megmaradó halmazt jelöljük F = n=1 módon, ez az F a {p(i)} i Γ valószín ségek által generált véletlen Sierpinskisz nyeg. Ha a valószín ségek közül legalább két darab 1, a többi valószín ség pedig 0, akkor a megmaradó halmazt determinisztikus Sierpinski-sz nyegnek nevezzük. Továbbá, ha egyik valószín ség sem 0 vagy 1, akkor a megmaradó halmazt szigorúan véletlen Sierpinski-sz nyegnek nevezzük (ebben az esetben pozitív valószín séggel üres halmazt kapunk). A 3.1. ábra a determinisztikus, a 3.2. ábra a szigorúan véletlen esetre mutat példát. F n 3.1. ábra. Az F 1, F 2, F 3, F 4 halmazok, amikor d = 2, M = 2 és p((0, 0)) = p((0, 1)) = p((1, 0)) = 1, p((1, 1)) = 0. Ebben az esetben az F halmaz a Sierpinski-háromszög. 3.1.1. Deníció. Legyen n > 0 egész. Az alábbi vektorokat n. szint rács vektoroknak nevezzük: {( v0 M, v 1 n M,..., v ) } d 1 v n M n 0,..., v d 1 N. 13

3.2. ábra. Az F 1, F 2, F 3, F 4 halmazok d = 2, M = 2, p((0, 0)) = p((1, 1)) = 0.8 és p((1, 0)) = p((0, 1)) = 0.2 paraméterek mellett. 3.1.2. Deníció. Azt mondjuk, hogy az A halmaz reguláris pozícióban tartalmaz egy G Sierpinski-sz nyeget, ha létezik n > 0 és egy n. szint v rács vektor, hogy az alábbi teljesül: 1 M n G + v A. Ebben a fejezetben az F 1 + F 2 = {x + y x F 1, y F 2 } összeget vizsgáljuk, ahol a tagok paraméterei M 1, d 1, illetve M 2, d 2. Az F 1 és F 2 Sierpinski-sz nyegek mindig függetlenek. A 3.3. ábra szemléltet egy összeget. Ezenfelül vizsgálunk egy determinisztikus fraktált M 3 és d 3 paraméterekkel. A továbbiakban mindig feltesszük, hogy M 1 = M 2 = M 3 és d 1 = d 2 = d 3 fennáll. + = 3.3. ábra. Példa F 3 1 és F 3 2 realizációjára és az összegükre. Ez egy 2 dimenziós eset, ahol M 1 = M 2 = 3. 3.1.3. Tétel. Legyen G tetsz leges determinisztikus Sierpinski-sz nyeg és ε > 0. Ekkor léteznek {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ségek úgy, hogy ezen valószín ségek által deniált F 1 és F 2 véletlen Sierpinski-sz nyegekre az alábbi pontok teljesülnek. 14

1. Az F 1 és F 2 halmazok szigorúan véletlen Sierpinski-sz nyegek, azaz egyik {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ség sem 0 vagy 1. 2. Ha F 1, F 2, akkor F 1 +F 2 tartalmazza a G halmaz kicsinyített képét majdnem biztosan. 3. dim H (F 1 + F 2 ) < dim H G + ε majdnem biztosan. 4. Az F 1, F 2 halmazok majdnem biztosan nem tartalmazzák a G halmaz kicsinyített képét. 3.1.4. Következmény. Léteznek F 1 és F 2 szigorúan véletlen Sierpinskisz nyegek a síkon úgy, hogy F 1 + F 2 összeg majdnem biztosan tartalmazza a Sierpinski-háromszög kicsinyített képét (feltéve, hogy egyik összeadandó sem az üres halmaz), de F 1 + F 2 majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. Továbbá az F 1 és F 2 halmazok nem tartalmazzák a Sierpinski-háromszög kicsinyített képét majdnem biztosan. 3.1.5. Megjegyzés. A tézis 3.2. fejezete tartalmazza a [2] cikk tételeinek általánosításait. Ezen tételek kimondásához további deníciók szükségesek. Bevezetjük γ(k) értékét minden k = (k 0, k 1,..., k d 1 ) { 1, 0,..., M 1} d esetén, ez fontos szerepet fog játszani: γ(k) := p((x 0, x 1,..., x d 1 ))q((y 0, y 1,..., y d 1 )) x 0 +y 0 {k 0,k 0 +M}. x d 1 +y d 1 {k d 1,k d 1 +M} ahol az x 0,..., x d 1, y 0,..., y d 1 egész számok. Ezen változók az el z fejezetben és [2] cikkben felhasznált ciklikus autokorrelációs együtthatók általánosításai. Legyen F 1 és F 2 két független véletlen Sierpinski-sz nyeg, amelyet a {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ szigorúan pozitív valószín ségek deniálnak. A [2] cikk 1. tételének magasabb dimenziós általánosításai: 3.1.6. Tétel. 1. Ha minden {p(i)} i Γ, {q(i)} i Γ valószín ségek pozitívak és γ(j) > 1 minden j esetén, akkor F 1 +F 2 majdnem biztosan tartalmaz bels pontot feltéve, hogy az összeadandóak nem üresek. 2. Ha létezik j = (j 0,..., j d 1 ) Γ úgy, hogy max γ((j 0 b 0,..., j d 1 b d 1 )) < 1 b 0,b 1,...,b d 1 {0,1} akkor F 1 + F 2 majdnem biztosan nem tartalmaz bels pontot. 15

Irodalomjegyzék [1] F.M. Dekking, and G. R. Grimmett. Superbranching processes and projections of random Cantor sets. Probab. Theory Related Fields, 78, (1988), 3, 335355. [2] F.M. Dekking, K. Simon, On the size of the algebraic dierence of two random Cantor sets. Random Structures and Algorithms, 32, (2008) 205-222. [3] K. Falconer, Fractal geometry, Wiley, 2005. [4] K.J. Falconer, Random fractals, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Vol. 100 (1986), No.3, 559-582. [5] R. Houjun, W. Weiyi, An Approximation Method to Estimate the Hausdor Measure of the Sierpinski Gasket, Analysis in Theory and Applications, vol 20 (2004), no 2, 158-166. [6] J. E. Hutchinson, Fractals and Self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30 (1981), 713-747. [7] B. Jia, Bounds of Hausdor measure of the Sierpinski gasket, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 330 (2007), no. 2, 1016 1024. [8] B.Jia, Zuoling Zhou, Zhiwei Zhu, A lower bound for the Hausdor measure of the Sierpinski gasket, Nonlinearity, 15 (2002), 393-404. [9] B. Jia, Zuoling Zhou, Zhiwei Zhu, B., A New Lower Bound of the Hausdor Measure of the Sierpinski Gasket, Analysis In Theory And Applications, 22(2006), no. 1, 8-19. [10] J. Marion, Mesures de Hausdor d'ensembles fractals, Ann. Sci. Math. Quebec, 11 (1987), 111-32. 16

[11] R. Mauldin, S. C. Williams, Random recursive constructions: asymptotic geometric and topological properties, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 295. (1986), no. 1, 325-346. [12] P. Móra, Estimate of the Hausdor measure of the Sierpinski triangle, Fractals, Volume: 17, Issue: 2 (2009) pp. 137-148 [13] P. Móra, K. Simon, B. Solomyak The Lebesgue measure of the algebraic dierence of two random Cantor sets. Indagationes Mathematicae, Volume 20, Issue 1, March 2009, 131149. [14] C. G. Moreira, J.-C. Yoccoz, Stable intersections of regular Cantor sets with large Hausdor dimensions. Ann. of Math. (2), 154(1), 4596, 2001. [15] Wang Heyu, Wang Xinghua, Computer search for the upper estimation of Hausdor measure of classical fractal sets II Analysis of the coding and lattice tracing techniques for Sierpinski gasket as a typical example, Chinese J. Num. Math. and Appl., 21(1999), 4, 59-68. [16] Zuoling Zhou, Hausdor measures of Sierpi«ski gasket, Sci. China, A 40 (1997), 1016-21. [17] Zuoling Zhou, The Hausdor measures of the Koch curve and Sierpi«ski gasket, Prog. Nat. Sci., 7 (1997), 401-6. [18] Zuoling Zhou, Li Feng, A new estimate of the Hausdor measure of the Sierpi«ski gasket, Nonlinearity, 13 (2000), 479-491. 17