a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m........ a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) n db. szám n m db. szám a ib j a 1b 1 a 1b 2... a 1b m a 2b 1 a 2b 2... a 2b m........ a nb 1 a nb 2... a nb m a ii, a ib i egy szabad indexű mennyiségek.
c ijk R, i = 1, n, j = 1, m, k = 1, p három indexű mennyiség, n m p db. szám Három dimenzióban téglatestszerű elrendezésben képzelhető el (függőleges réteg, sor, oszlop). Kisebb indexszámú mennyiségekből nagyobb, pl. a ib jk, a ijb k, a ib jc k. Nagyobb indexszámú mennyiségekből kisebb, pl. c iij, c jij, c ijj, (kettő) c iii, (egy). a = b egy db. egyenlet a i = b i, i = 1, n azaz a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n n db. egyenlet. Érvénytelen egyenlőségek: a i = b k, a = b i a ij = b ij = c id j, i = 1, n, j = 1, m n m db. egyenlet. Érvénytelen egyenlőségek: a ij = b i, a ij = b ik, a ij = b Szabály: Egy egyenlet mindkét oldalán elhelyezkedő mennyiségek azonos szabad indexekkel rendelkeznek.
A a 1+a 2+ +a n n i=1 a i i a i, egyetlen érték i futó(összegzési) index B b 1 + b 2 + + b n i b i = k b k = α b α, A + B = i a i + i b i = (a 1 + a 2 + + a n) + (b 1 + b 2 + + b n) = = (a 1 + b 1) + (a 2 + b 2) + + (a n + b n) = i (a i + b i) αa = α i a i = α(a 1 + a 2 + + a n) = αa 1 + + αa n = i αa i
Kétindexű mennyiség pl. mátrix n m különböző érték. a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m....... a n1 a n2... a nm a 11 + a 12 + + a 1n = i a 21 + a 12 + + a 2n = i. a n1 + a n2 + + a nn = i aij, a 1i = b 1, a 2i = b 2,. a ni = b n, b j = a j1+a j2+ +a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b 2 + + b n = i b i = i ( ) a ik = k
b j = a j1+a j2+ +a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b 2 + + b n = i b i = i a 11 + a 12 + + a 1n+ a 21 + a 12 + + a 2n+. a n1 + a n2 + + a nn i,k ( ) a ik = k. a ik.
Egy indexű mennyiség felösszegzése szám Két indexű mennyiség felösszegzése egy szabadindexű mennyiség Két indexű mennyiség kétszeres felösszegzése (mindkét index szerint) szám a ij i,j i a ii. ( n ) ( n ) A B = a i b i = (a 1 + a 2 + + a n) (b 1 + b 2 + + b n) = i=1 i=1 a 1b 1 + a 1b 2 + + a 1b n+ a 2b 1 + a 2b 2 + + a 2b n+. a nb 1 + a nb 2 + + a nb n = i,j a ib j a 1b 1 + a 2b 2 + + a nb n = i a ib i
Mátrixok A {a ij} i=1,n,j=1,m dim(a) = n m Matrixjelölésről áttérve az indexes jelölésre az egyik szabály, hogy két mátrix szorzásánál, amennyiben a belső méretek megegyeznek, akkor összegzés történik a megfelelő közös (a bal oldali mátrix második és a jobb oldali mátrix első) index szerint (pl. sor mátrix szorozva oszlop mátrixal). Amennyiben nem, tenzori szorzatot feltételezünk, azaz a belső indexek különböznek és nem történik összegzés (pl. oszlop mátrix szorozva sor mátrixal). Ez fordítva is érvényes: indexes mennyiségek mátrixszorzatra való átírásakor, ha összegzés történik olyan közös indexre mely egyiknél a második és a másiknal az első index, akkor ez mátrix szorzatnak felel meg a két mennyiség között. Ha különböznek, akkor tenzori szorzat.
Vektorok Vektor irányított szakasz: nagyság, irány, irányítás a nagysága a = a. Nullvektor nagysága nulla. Két vektor által bezárt szög az őket tartalmazó egyenesek által bezárt szög. Két vektor párhuzamos, ha az egyenesek melyeken fekszenek párhuzamosak és ugyanaz az irányításuk
elemi vektorműveletek összeadás paralelogramma szabály (kommutatív, asszociatív), semleges elem a nullvektor tükrözés, összeadással szembeni inverzió számmal való szorzás = nyújtás/zsugorítás (disztributív), nullával való szorzás egységvektor definíciója
lineáris kombináció felbontás két/három irány szerint lineáris függetlenség
skaláris szorzat és tulajdonságai (kommutatív, szám kiemelhető, geometriai értelmezés), asszociativitás(?) ortogonalitás, egységvektor, vetület, vektor nagysága Descartes-i bázis, komponensek, összeadás, skálázás, tükrözés, skaláris szorzat komponensekkel. Tenzoriális jelöléssel az összest. Kronecker-szimbólum Vektori szorzat: definíció, nagyság, irány Vektori szorzat tulajdonságai: mikor nulla, antikommutativitás, skálázás, asszociatívitás, Jacobi azonosság, disztributívitás Vektori szorzat Descartes-i bázisvektorok esetén.
A fizikai tér, amiben a körülöttünk zajló jelenségek lejátszódnak, matematikailag egy háromdimenziós Euklideszi-térrel modelezhető. Ez egy vektortér melynek minden pontjához rendelhetünk egy r helyzetvektort. A fizikában a nullvektort a koordinátarendszerünk kezdőpontjának nevezzük. Viszonyítási rendszerként válasszuk az u.n.descartes-féle koordináta rendszert, amely egy O ponton(origón)átmenő három egymásra merőleges egyenesből u.n.koordináta tengelyből(valós számtengelyből) áll. Ezt a három tengelyt gyakran x, y és z-vel jelöljük és ezek mentén határozzuk meg merőleges vetitéssel a térbeli pont(esetleg anyagi pont) koordinátáit. A tengelyek mentén ha felvesszük az i, j és k egységvektorokat,akkor az origótól a pontig mutató r u.n. helyzetvektor(1.ábra) feĺırható: (1.ábra) r = xi + yj + zk A következőkben x x 1, y x 2 és z x 3 illetve i e 1, j e 2 és k e 3, valamint r x jelöléseket használjuk. A fenti összeget egyszerűbb alakban is feĺırhatjuk: x = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 = 3 x ie i i=1
Bevezetjük a következő összegezési megállapodást: ha egy több indexet tartalmazó kifejezésben két indexnek ugyanaz az értéke, akkor a kifejezéseket összegezzük az indexek teljes halmazán. Latin betükkel jelzet indexek esetén pl. {i, j, k, l, m, n... } stb. az összegezést {1, 2, 3} index értékekre végezzük. Példák: a ijklj 3 j=1 a ijklj és b ijkijl 3 3 i=1 j=1 b ijkijl. Kettönél több azonos index esetén, a kifejezésre nem alkalmazható az összegezési megállapodás. Két azonos index esetén, csak akkor nem összegezünk, ha erre külön felhivjuk a figyelmet. A helyzetvektor fenti kifejezését, tehát az összegezési megállapodás alapján x = x ie i egyszerű formában irható. A háromdimenzios vektorok halmaza R (3) lineáris tér, ami azt jelenti, hogy ha a, b R (3) akkor tetszöleges {α, β} R valos állandók esetén αa + βb R (3). A vektortér dimenzióját a lineárisan független vektorok számával egyenlő. Ezt a kérdéskört, mivel az alapfizika szempontjábol lényegtelen, tovább nem részletezzük. Az érdeklödő olvasó részleteket,lineáris algebra témakörű számtalan könyvben talál. Legyen a és b két azonos típusú (fizikai dimenziojú) vektor és α, β számmennyiségek.ha c = αa + βb akkor c i = αa i + βb i,.
- A vektorok skaláris szorzata Skaláris szorzat révén, két vektorhoz egy skaláris mennyiséget rendelünk. Két a és b skaláris szorzata komutativ müvelet, melynek során a vektorokhoz rendelt skaláris mennyiséget meghatározza, a közöttük lévő szög â, b-vel, a vektorok nagysága(modulusza) a illetve b a következő képpen: a b = b a = a b cos (â, b) (1) Két nullától különböző vektor esetén nyilván: a b = 0, a b A skaláris szorzat disztributiv az összeadással szemben és fennáll, hogy: a (βb + γc) = βa b + γa c c = a ± b, c c = (a ± b) (a ± b) c 2 = a 2 + b 2 ± 2 a b cos(â, b).
A fentebb bevezetett egységvektorok esetén: e 1 e 1 = 1 ; e 1 e 2 = 0 ;... Általános esetben bevezetve a δ ij ú.n. Kronecker szimbólumot e i e j = δ ij = 1 ha i = j; 0 ha i j; Az a és b vektorok skaláris szorzatát megadhatjuk komponenseik esgítségével: a = a ie i ; b = b je j = a b = a ib jδ ij = a ib i mivel b jδ ij = b i. Könnyű belátni, hogy δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ijδ jk = δ ik és x 2 = x x = x 2 i = x 2. Az a és b vektorok közötti szöget a kifejezés adja. cos (â, b) = a ib i a b
Az elemi munka F erő hatására dx elemi elmozdulás esetén dl = F dx = F idx i A teljes munka egy erőtér esetén két P 1 és P 2 pont között a C görbe mentén: P2 P2 L C (P 1 P 2 ) = (C) F (x) dx = (C) F i(x)dx i P 1 P 1 Ha a görbe parametrikus egyenlete x i = x i(α) és a P 1 ill.p 2 pontoknak az α 1 ill.az α 2 paraméter értékek felelnek meg, a végzett munka kifejezése: L C (P 1 P 2 ) = P2 P 1 F dxi(α) i(x(α)) dα dα
Potenciáltérben és az elemi munka dl = F idx i = V (x) F i = x i V (x) dx i = dv (x) x i, egy teljes differenciál. Ilyen esetben a két pont közötti munka L C (P 1 P 2 ) = (C) P 2 P 1 dv (X) = V (P 1) V (P 2) tehát független a két pontot összekötő útvonal konkrét alakjától.ez azt jelenti, hogy zárt görbe mentén (P 1 P 2) a végzett munka értéke nulla. Az ilyen időtől független potenciál teret konzervatív erőtérnek nevezzük. Az A(x, t) vektormező esetén a Γ A (C) = (C) A dx görbevonaló integrált az A vektormező C görbe menti cirkulációjának nevezzük.
A vektorokra vonatkozó, egy másik szorzási müvelet, a vektoriális szorzás. Az a és b vektorok vektoriális szorzatának az eredmënye egy vektor, amit c - vel jelölünk. a b = c A c vektor nagysága c = a b sin (â, b),tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nulla. a b = 0 a b A c vektor iránya merőleges az a és b vektorok közös sikjára. Az irányítását pedig a furó(jobbkéz)-szabály adja meg. E szerint, az szorzatbeli első a vektort a másodikra b-re forgatva (a kisebb szög mentén),az eképpen forgatott furó elörehaladási iránya adja meg a kelletkezett c vektor irányitását. Másképpen, ha jobbkezünk begörbitett ujai jelölik a forgatás irányát, akkor nagyujunk jelöli a szorzásbol kapott vektor irányitását. Innen azonnal következik, hogy a vektoriális szorzat antikomutatív, tehát; a b = b a
A vektoriális szorzat akárcsak a skaláris szorzat szintén disztributiv az összeadásra vonatkozóan: a (βb + γc) = βa b + γa c Három veca, b és vecc vektorok esetén képezhetjük ezek dupla vektoriális szorzatát a következő képpen : (a b) c. Könnyű belátni, hogy a keletkező vektor benne van a a és a b síkjában, tehát ezek lineáris kombinációja ás ezenkivül lineáris mindhárom vektorban. Tehát (a b) c = αa(b c) + βb(a c) Mivel a = b esetén nullát kell kapnunk, következik, hogy α + β = 0. Válaszuk a vektorokat a következőképpen : c = a b és a = b = 1. Mivel az eredmény b, következik, hogy β = α = 1 és a végsö képlet : (a b) c = b(a c) a(b c) Hasonló gondolatmenet alapján kajuk, hogy : a (b c) = b(a c) c(a b, tehát a vektoriális szorzat nem asszociativ.
Alkalmazva a vektoriális szorzatot a bázisvektorokra: e 1 e 1 = 0 ; e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 3 ;... nem nehéz belátni, hogy a többi szorzatot a fenti eredmény indexeinek cirkuláris permutációjábol kaphatjuk meg. Az eredményeket összefoglalhatjuk az alábbi általános kifejezéssel: e i e j = ε ijk e k ahol az ε ijk u.n. Levi-Civita simbolum vagy más nevén harmadrendü teljesen antisimetrikus egységtenzor és azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ε 123 = 1 és a ε ijk két idex felcserélése (transzpoziciója) során előjelt vált. Innen következik: 1 ha (i,j,k)-bol (1,2,3)-hoz az indexek konkrétan: ε ijk = páros számu transzpoziciója során jutunk 1 ha (i,j,k)-bol (1,2,3)-hoz az indexek páratlan számu transzpoziciója során jutunk 0 ha két index megegyezik ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji
Amint látható, ε ijk étéke(előjele) nem változik az indexek cirkuláris permutációja során.tehát az elöbbi két vektor vektoriális szorzatából kapott vektor konkrét alakja: a b = a ie i b je j = a ib je i e j = ε ijk a ib je k == c és a megfelelő komponensek kifejezése: c = c k e k = c k = a ib jε ijk A Levi-Civita szimbolumot kifejezhetjük a Kronecker szimbolumok segitségével az alábbi módon: δ i1 δ j1 δ k1 ε ijk = δ i2 δ j2 δ k2 δ i3 δ j3 δ k3 amiből következik, hogy δ i1 δ i1 δ i1 ε ijk ε lmn = δ j2 δ j2 δ j2 δ k3 δ k3 δ k3 δ 1l δ 2l δ 3l δ 1m δ 2m δ 3m δ 1n δ 2n δ 3n = δ il δ jl δ kl δ im δ jm δ km δ in δ jn δ kn
Az indexek egybeejtése során, felhasználva az összegezési megállapodást, sorra kapjuk, hogy: ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ imδ jl ε ijk ε ljk = 2δ il ε ijk ε ijk = 6 Tetszöleges 3 3-as típusu mátrix esetén A 11 A 12 A 13 A = A ik = A 21 A 22 A 23 ha det A A A 31 A 32 A 33 felhasználva a Levi-Civita szimbolum determináns formáját ε i1 i 2 i 3 A i1 j 1 A i2 j 2 A i3 j 3 = A ε j1 j 2 j 3 Legyen a, b és c három tetszöleges vektor, melyből képezzük az alábbi skaláris mennyiséget, az u.n. vegyes szorzat formában a 1 a 2 a 3 (a b) c = ε ijk a ib jc k (a, b, c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Mivel a determináns két sorának felcserélésekor, értéke elöjelt vált (a, b, a) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a) a vegyes szorzat mértani jelentése és alkalmazása a sík egyenleténél, ábra