Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja

Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja Szakdolgozat Bodor Áron Csaba ELTE TTK, Fizika BSc, Fizikus szakirány Témavezető Dr. Horváth Ákos ELTE TTK Atomfizikai tanszék Budapest, 2016

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1. Neutron glóriával rendelkező atommagok [1]................ 1 1.2. Coulomb-disszociáció............................. 1 2. Kétrészecskés rendszerek szétesése 3 2.1. Kvantummechanika.............................. 3 2.1.1. Időfejlődés................................ 4 2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása.................. 7 2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok............... 8 2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban.... 9 2.1.5. Várható értékek............................. 10 2.2. A vizsgált rendszer............................... 10 2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora.................... 11 2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok.................... 12 2.2.3. Reakciómodellek............................ 13 3. Numerikus módszerek 15 3.1. Tér és idő diszkretizációja........................... 15 3.2. Időléptetés.................................... 16 3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor................... 16 3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon.................. 17 3.5. Többváltozós eset................................ 18 3.6. Operator splitting................................ 19 3.7. A numerikus algoritmus............................ 20 2

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 4. Eredmények 22 4.1. Elöljáróban.................................... 22 4.1.1. A rendszer időfejlődésének követése projekciókkal........ 24 4.1.2. A relatív sebesség várható értéke................... 25 4.2. Szimulációk a V INT (r; t) modellben..................... 27 4.2.1. Állapot időfüggése........................... 27 4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különböző impakt paraméterek esetén.................................. 30 4.2.3. Felhasadás valószínűsége és relatív sebességek széles (K, b) paramétertartományon........................... 33 4.3. Szimulációk a V INT (r, R) modellben..................... 36 4.3.1. Állapot időfüggése........................... 36 4.3.2. Visszaszórt valószínűségsűrűség leválasztása........... 42 5. Diszkusszió 43 Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 3

1. fejezet Bevezetés 1.1. Neutron glóriával rendelkező atommagok [1] Az izotóptérkép túlcsordulási vonalainak környezetében az atommagoknak különleges szerkezete lehet. A modern magfizikai kutatások egyik fő célja ezen területek feltérképezése. A könnyű, neutronban fajlagosan gazdag atommagok - a neutron túlcsordulási vonal környékén - is ilyen atommagok. A magfizikai kutatások eredményeként sikeresen elő lehet már állítani ilyen magok alkotta nyalábokat. Instabilitásuk miatt ezeket csak szóráskísérletekben tudjuk vizsgálni. Ez megnehezíti a pontos szerkezet meghatározását. Szóráskísérletek által bizonyított, hogy ezen könnyű egzotikus atommagoknak létezhet olyan szerkezete, ahol az utolsó neutron lazán (egy nagyságrenddel kisebb kötési energiával) csatlakozik az atommaghoz. Emiatt ennek a neutronnak a hullámfüggvénye kiterjedt. Ez egy glória elnevezésű magszerkezetet eredményez, ahol a neutront - vagy neutronokat, esetleg neutron klasztereket - különállónak lehet tekinteni a atommagtól olyan értelemben mint egy elektront az atommagtól, ezért ezeket a glóriaszerkezetet kialakító neutronokat valencia neutronoknak is szokták nevezni. 1.2. Coulomb-disszociáció A Coulomb-disszociáció során az glóriás atommagok felhasadhatnak elektromágneses tér hatására. Ez általában úgy realizálódik, hogy egy egzotikus atommagnyalábot ólom céltárgyra lőnek. Ekkor az ólom magok erős Coulomb-terében lehetségessé válik, hogy az elektromágneses tér az atommagot kilökje a glória szerkezetből. Ezen folyamat tehát 1

1. FEJEZET. BEVEZETÉS 1.2. COULOMB-DISSZOCIÁCIÓ egy atommagot és egy, vagy több leszakadt neutront eredményez a vizsgált magtól függően. A Coulomb-disszociáció aktív kutatási terület és alkalmas eszköz nukleáris asztrofizikai kérdések megválaszolására [2]. Szakdolgozatom célja, hogy egy időfüggő leírást adjak kétrészecskés nem relativisztikus kvantummechanikai rendszerek széteséséről külső tér hatására. Ennek a motivációja, hogy a Coulomb-disszociáció során előfordulhat utógyorsítás. Ez azt jelenti, hogy a Coulomb-tér hatására kiszakadt atommag és a neutron közötti relatív sebesség eltér a nullától[7]. Feladatom ilyen jelenség kutatása egy egyszerű kvantummechanikai modellben, amely alkalmas későbbi bővítésre. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 2

2. fejezet Kétrészecskés rendszerek szétesése Szakdolgozatom célja kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesésének dinamikai vizsgálata. Ehhez szükséges áttekinteni a felhasznált elmélet, a kvantummechanikai alapjait és következményeit: a 2.1 rész a teljesség igénye nélkül számol be ezekről. Ezen részben, mivel lényegében oktatási anyagokat tartalmaz, nem hivatkoztam az egyenleteket, összefüggéseket, itt jegyezném meg, hogy megírásában a vezérfonalat [3, 4, 5] művek szolgálták. A 2.2. részben bevezetem a vizsgált rendszert és a paramétereit, a kölcsönhatás két lehetséges modelljét. 2.1. Kvantummechanika Az állapottér a C komplex számtest fölött értelmezett Hilbert-tér, jelölje H. Az állapotokat ebben az absztrakt térben a Dirac-féle "bra-ket" konvenció szerint jelöljük: Ψ H. A Born-féle valószínűségi értelmezés miatt az állapotteret megszorítjuk az egy normájú állapotokra: Ψ Ψ =! 1, így a különböző állapotok halmaza a H-beli egységgömb felülete, a teljes állapottéren pedig a Φ = c Ψ, c C fizikailag azonos állapotként interpretálhatóak: Φ Ψ. Ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy egy állapotnak a Hilbert-tér egy sugara felel meg, nem pedig egy vektora. A fizikai mennyiségek a Hilbert-téren ható önadjungált (hermitikus) operátorok, ezek szokásos jelölése: Â, Â = Â. 3

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA 2.1.1. Időfejlődés Hogy dinamikai leíráshoz jussunk, az állapottér elemeit az idővel paraméterezzük: Ψ(t) H, t R. Az állapotok időbeli fejlődését szokásos az 2.1. ábrához hasonló módon szemléltetni. 2.1. ábra. Az állapot időfejlődésének szokásos szemléltetése a H-beli egységgömbön. Az állapotok időbeli fejlődésének leírásához vezessünk be egy időfejlesztő operátort a következő definiáló relációval és paraméterezéssel: U : H H, (2.1) U(t, t 0 ) Ψ(t 0 ) = Ψ(t), (2.2) tehát U(t, t 0 ) operátor a t 0 -beli állapotot a t-beli állapotba transzformálja. Az időfejlesztő operátorra kiszabunk feltételeket, melyek teljesítése meghatározza az operátor tulajdonságait: F.1 az időfejlesztés legyen normatartó, tehát ne képezze az egység normájú állapoto- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 4

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA kat nem egység normájú állapotokba: Ψ(t) Ψ(t) = Ψ(t 0 ) U (t, t 0 )U(t, t 0 ) Ψ(t 0 )! = Ψ(t 0 ) Ψ(t 0 ) }{{} =1 t, t 0 ; ennek a következménye, hogy az időfejlesztő operátor egy unitér transzformáció: U (t, t 0 ) = U 1 (t, t 0 ), F.2 az időfejlesztés tartson az identikus transzformációhoz, ahogy a t idő paraméter tart a t 0 kezdőpillanathoz: lim U(t, 0) = I, t 0 F.3 egymást követő időfejlesztések is legyenek időfejlesztések (csoport tulajdonság), továbbá minden két időpont közötti időfejélesztést lehessen felbontani kisebb időlépésekre: U(t 2, t 1 )U(t 1, t 0 ) = U(t 2, t 0 ), F.4 zárt rendszerben teljesüljön az időeltolási invariancia, tehát az időfejlesztő operátor csak az argumentumainak különbségétől függjön: U(t 2, t 1 ) = U(t 4, t 3 ), { t 1, t 2, t 3, t 4 t2 t 1 = t 4 t 3 }, ilyenkor az U-val jelölt operátorokat át lehet paraméterezni, hogy csak egy argumentumuk legyen: t 2 t 1 t U(t 2, t 1 ) U(t), tehát zárt rendszerben az F.3. feltétel alakja: U(t 3 = t 2 t 0 = t 2 + t 1 ) = U(t 2 = t 2 t 1 )U(t 1 = t 1 t 0 ). Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 5

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA A F.2. és F.3 feltétel következménye, hogy: U(0, t)u(t, 0) = U(0, 0) = I U 1 (t, 0) = U (t, 0) = U(0, t), (2.3) tehát az időfejlesztő operátorokon értelmezett adjungált megegyezik a fordított irányú időfejlesztéssel. Fejtsük Taylor-sorba az U(t + dt, t) infinitezimális időfejlesztést dt eltolásban első rendig: U(t + dt, t) = U(t, t) + du dt + O(dt 2 ). (2.4) }{{} dt (t,t) =I A (2.4) egyenletben kihasználtuk a F.2. feltételt. Ahhoz, hogy (2.4) egyenletben az operátor (dt rendben) unitér legyen a következő kell teljesüljön: du dt = iĥ(t) (t,t), Ĥ = Ĥ, (2.5) ahol bevezettük az időeltolás generátorát, a Hamilton-operátort, amely hermitikus, tehát fizikai mennyiséghez rendelhető operátor. Zárt rendszerben az időeltolás szimmetria, ezért a Noether-tétel alapján a generátora egy megmaradó fizikai mennyiség. Az időeltoláshoz asszociált mennyiség az energia, ezért a Ĥ(t) operátor legyen az energia operátora. Sok esetben a vizsgált fizikai rendszernek ismertnek tekintjük a Hamilton-operátorát és ennek függvényeként vagyunk kíváncsiak az időfejlesztő operátorra, ezért érdemes differenciálegyenletet írni rá, ugyanis ebben meg fog jelenni a Hamilton-operátor: d Ψ(t) dt = du dt ( U(t + δt, Ψ(t t0 ) U(t, t 0 ) 0) = lim (t,t0 ) δt 0 δt ) Ψ(t 0 ), (2.6) amelyből U(t, t 0 )-t kiemelhetjük (F.3 feltétel miatt), így (2.4) egyenletet felhasználva: d Ψ(t) dt ( U(t + δt, t) I ) = lim U(t, t 0 ) Ψ(t 0 ) = i δt 0 δt Ĥ(t) Ψ(t), (2.7) ez a Schrödinger-egyenlet, amelyet átírhatunk az időfejlesztő operátorra: du dt = i (t,t0 ) Ĥ(t)U(t, t 0). (2.8) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 6

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA A (2.8) egyenlet megoldása zárt rendszer esetén ( Ĥ(t) Ĥ), illetve ha [ Ĥ(t 1 ), Ĥ(t 2) ] = 0, t 1, t 2 triviális: U(t, t 0 ) = Ĥ(t t 0), ha Ĥ(t) Ĥ, e i i e t t 0 Ĥ(t )dt, ha [ Ĥ(t 1 ), Ĥ(t 2) ] = 0 t 1, t 2. Ha a fenti feltételek egyike sem teljesül, akkor a megoldása az (2.8) egyenletnek: t (2.9) i Ĥ(t )dt t U(t, t 0 ) = Te 0, (2.10) ahol Te az időrendezett exponenciálist jelöli, amelyet a következővel definiálunk: i Te t t 0 Ĥ(t )dt = I + i t t 0 Ĥ(t )dt + ( i ) t t 2 Ĥ(t )Ĥ(t )dt dt +... (2.11) t 0 t 0 Látható, hogy az időrendezésre azért van szükség, mert időtől függő, de a különböző időpontokban nem felcserélhető Hamilton-operátorok esetén, ha (2.9) egyenletben felírt (második) képletet alkalmaznánk, az sértené a kauzalitást: az exponenciális sorát kiírva lennének olyan tagok, ahol Ĥ(t )Ĥ(t ), t t. Ez azonban (ha a két Hamiltonoperátor nem felcserélhető) azt jelentené, hogy egy később levő időeltolást egy korábban levő időeltolás követ (az eltolási műveleteket jobbról balra kell "kiolvasni"), ez az ami a kauzalitást sérti és emiatt kell kizárnunk az exponenciális függvény sorából ezeket a tagokat, és így jutunk az időrendezett exponenciális függvényhez. 2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása A helyt, mint fizikai mennyiséget, változót reprezentálja egy d-dimenziós euklideszi vektortér, ezt jelöljük V-vel, dim V = d, elemei a helyvektorok: x V. Vezessük be a helymérés vektoroperátorát: ˆx, ˆx = ˆx. Ez a helynek, mint fizikai mennyiségnek megfelelő operátor. Az operátor sajátértékegyenlete: ˆx x = x x, (2.12) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 7

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA x x = δ(x x) ortonormált sajátállapotok, valós sajátértékekkel. Ha a teljességi reláció is teljesül: d d x x x = I, (2.13) akkor ˆx sajátállapotai egy teljes ortonormált rendszert alkotnak, tehát ezeken az állapotokon kifejezhetjük a Hilbert-tér állapotait: Ψ = d d x x Ψ x = d d xψ(x) x. (2.14) A (2.14) egyenletben bevezettük ψ(x) függvényt, amelyet a Ψ állapot helyreprezentációjának nevezünk. A (2.14) egyenlet segítségével levezethető a skalárszorzat reprezentációja: Φ Ψ = dx d d x Φ x x Ψ x x = x d d xφ (x)ψ(x). (2.15) A normáltság miatt ψ(x)-szel jelölt függvényeknek is normáltnak kell lenniük, ezért ezeket általában az V téren értelmezett négyzetesen integrálható függvények teréből, L 2 (V)-ből választjuk. A ˆx függvényei helyreprezentációban: x ˆx Ψ = x x Ψ = x ψ(x ) x ˆf(ˆx) Ψ = f(x ) x Ψ = f(x )ψ(x ), (2.16) tehát a ˆx operátor a helyreprezentációban az adott hely koordinátáival való szorzás művelete, és emiatt az operátor függvényei az adott helyen vett függvényértékkel való szorzás műveleteiként ábrázolódnak. 2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok A V fizikai tér eltolása, mint transzformáció, unitér módon ábrázolódik a H-téren, tehát a ˆx helyoperátor eltoltja: ˆx = U a ˆx U a = ˆx + a, (2.17) ahol a V az eltolásvektor. Az unitér transzformációt egy hermitikus operátor "generálja", ezt jelöljük ˆp-vel és a fizikai impulzusnak feleltetjük meg (hasonló módon, az időeltolásnál a Ĥ Hamilton operátort az energiának feleltettük meg). Ekkor a transzfor- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 8

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA máció: ˆx = e iˆpa ˆx e iˆpa = ˆx + a. (2.18) Az (2.18) egyenletben, ha a transzformációkat valamilyen infinitezimális da paraméterel végezzük el, a Heisenberg-relációra jutunk: ˆx = ˆx + i [ ] ˆp, ˆx da + O(da 2 ) = ˆx + da [ˆp i, ˆx j ] = i δ ij. (2.19) A Heisenberg-reláció legfontosabb következménye, hogy ˆx és ˆp operátoroknak nincs közös sajátállapot-rendszere, tehát nincs olyan bázisa, melyben tetszőleges Â(ˆx,ˆp) fizikai mennyiség diagonális. 2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban Általánosan a hullámmechanikában (helyreprezentációban) fontos jelentősége van, hogy a választott reprezentáns függvénytér elemeire hogyan hat az impulzus operátor, továbbá, hogy az absztrakt sajátállapotai milyen hullámfüggvénnyel írhatóak le. Az első kérdésre a választ az x-bel hullámfüggvény (infinitezimális) x-szel való eltranszformálása adja: ψ(x + x) = e iˆp x ψ(x) (I + iˆp x )ψ(x) i ψ(x) ˆp i, (2.20) x i ahol az egyenlet bal oldalát Taylor-sorba fejtettük. Ez alapján impulzus operátor elsőrendű differenciáloperátor L 2 -en. Az impulzus sajátállapotokra fennáll: ˆp p = p p, ezért reprezentációjuk: x p = e iˆpx iˆpx ψ(0) p = 0 e p = e ipx 0 p, (2.21) ahol kihasználtuk a projektorfelbontást: f(ˆp) = d d pf(p) p p. Az utolsó skalárszorzat szabadon rögzíthető, ezért legyen konvencionálisan 0 p = (2π) d/2. (2.22) Látható tehát, hogy az impulzus sajátállapotok hullámfüggvénye: x p = e ipx /(2π) d/2, (2.23) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 9

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER tehát a bázistranszformáció az impulzus- és a helyreprezentáció között azonos a Fouriertranszformációval, hiszen: ψ(x) = x Ψ = d d p p Ψ x p = ahol F a Fourier-transzformációt jelöli. d d p (2π) ψ(p) d/2 exp ( ipx ) = F 1 { } ψ(p), (2.24) 2.1.5. Várható értékek Egy Â= fizikai mennyiség várható értékét egy adott állapotban a következő összefüggés definiálja: Â Ψ = Ψ Â Ψ. (2.25) A  a = a a sajátértékproblémával definiált { a } teljes ortonormált rendszert felhasználva: Â Ψ = Ψ a a  a a Ψ = a a Ψ 2, (2.26) a,a a tehát az a Ψ 2 pozitív definit, egyre normált mennyiséget megfeleltethetünk egy eloszlásnak: ρ Ψ (a) = a Ψ 2  operátorral való mérési eredmény a ρ(a) valószínűséggel. (2.27) Ez a kvantumfizika mérési axiómája. Ez alapján x Ψ 2 annak az eloszlását adja, hogy hol található a rendszer, amelynek állapotát Ψ jegyzi, ezt a hullámmechanikában Bornféle interpretációnak nevezik, amelyre hivatkozva tettük meg a Ψ Ψ = 1 megszorítást ezen rész elején. 2.2. A vizsgált rendszer Szakdolgozatom célja, hogy két részecskéből álló rendszereket vizsgáljak, melyek kezdetben kötöttek, azonban adott külső behatásra felszakad ez a kötés. Ezeket a rendszereket kvantumdinamikailag vizsgáltam, hogy az egyes átmenetek, folyamatok időbeli lefolyásáról számot adhassak. Az alábbi általános feltételezésekkel éltem: a fizikai tér (V) egy dimenziós, dim V = d = 1, így a szabadsági fokok (f) maximális száma: f = n d = 2, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 10

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER a két részecske megkülönböztethető, a rendszer térbeli és impulzusbeli reprezentációját vizsgáltam. A rendszert Hamilton-operátora határozza meg, általános cél adott rendszerek Hamiltonoperátorának megtalálása (amennyire az meghatározható lehet). Egy szokásos eljárás lehet ezen feladat teljesítésére az operátor "megsejtése" klasszikus analógiából, ebből a (2.7), vagy ezzel analóg egyenlet megoldása és fizikai mennyiségek (reakciókról beszélve ez általában a hatáskeresztmetszet) kiszámítása. A szakdolgozat célja a kétrészecskés rendszer felszakadásának vizsgálata volt különböző modellek szintjén, nem konkrét mérési eredmények magyarázata, ezért különböző, önkényesen 1 megválasztott Hamilton-operátorok esetén vizsgáltam ezt. A magfizikai motiváció leszűkíti a választott paramétereket, kölcsönhatásokat kvalitatív és kvantitatív módon. 2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora A rendszer belső viszonyait leíró Hamilton-operátorát a következőképpen választottuk: Ĥ(ˆx 1, ˆp 1, ˆx 2, ˆp 2 ) = ˆp2 1 2m 1 + ˆp2 2 2m 2 + ˆV C ( ˆx1 ˆx 2 ). (2.28) A (2.28) operátort a nem relativisztikus kvantummechanikában szokásos kanonikus kvantálás alapján választottuk meg: tartalmazza a két részecske kinetikus energiaoperátorát és a két részecskét összekötő centrális potenciált. Felhasználva a (2.20) összefüggést, a (2.28)-beli operátor térbeli reprezentációja: Ĥ(x 1, i 1, x 2, i 2 ) = 2 2m 1 2 1 + 2 2m 2 2 2 + V C ( x1 x 2 ). (2.29) A tömegközéppont és a relatív koordináta (2.31) bevezetésével átírhatjuk a Hamiltonoperátort olyan alakba, hogy a szabadsági fokokat ne csatolja: r = x 1 x 2, x 1 = R + µ m 1 r, (2.30) R = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2, x 2 = R µ m 2 r, (2.31) 1 Az önkényesség itt azt jelenti, hogy fontosabb egy szemléltethető képpel indokolni a Hamiltonoperátor megválasztását, mint mérési eredményekkel. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 11

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER ahol bevezettük a µ = m 1m 2 m 1 +m 2 redukált tömeget. A koordinátákhoz tartozó impulzusoperátorokat kiszámíthatjuk az inverz transzformáció segítségével, ennek eredménye: ( ˆp1 ˆp r = µ ˆp ) 2, (2.32) m 1 m 2 ˆp R = ˆp 1 + ˆp 2. (2.33) Meggyőződhetünk arról, hogy (2.33) egyenletekben definiált impulzusoperátorok a megfelelő (2.31)-beli helyoperátorokkal teljesítik az (2.19) kommutátoros relációkat. A Hamilton-operátor, mint az új koordináták függvénye: Ĥ(r, i r, R, i R ) = 2 2M 2 R + 2 2µ 2 r + V C ( r ), (2.34) tehát két független "részecskére" bontottuk a Hamilton-operátort, a tömegközéppontra és a relatív koordinátára. 2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok A Hamilton-operátor sajátértékegyenlete, ha az operátor nem időfüggő, ekvivalens az exponenciális függvény képzésével a projektorfelbontás és (2.9) értelmében, másképp mondva az operátor exponenciálisához ismernünk kell annak sajátállapotait. A két részecskés rendszert leíró operátor nem időfüggő, ezért ebben az esetben is a megfelelő Schrödinger-egyenlet a sajátértékegyenlet (időfüggetlen Schrödinger-egyenlet). A (2.34)-beli operátort szétválaszthatjuk egy szabad részecske és a relatív koordináta által reprezentált részecske összegére. Ilyenkor az állapottal ekvivalens hullámfüggvényt szeparálhatjuk változóiban és egy szabad részecskét leíró és egy potenciálmozgást végző részecske Schrödinger-egyenletére jutunk: Ĥ = Ĥr + ĤR, (2.35) ansatz: ψ(r, R) = φ(r)χ(r), (2.36) ĤRχ(R) = E R χ(r), (2.37) Ĥrφ(r) = ɛ r φ(r). (2.38) A fentiek közül (2.37) megoldása egy impulzus sajátállapot E R (p R ) = p 2 R /2M diszperzióval, (2.38) pedig egy potenciálmozgás, (2.34)-ben definiált potenciállal, ez lesz az, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 12

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER amely a kezdőfeltételeken kívül a fizikailag lényeges tartalmat meghatározza: a kötött rendszer állapotát. Egy potenciálmozgást kötöttnek nevezünk, ha a részecske ɛ r energiájára r-ben aszimptotikusan: ɛ r < V (r ), ɛ r < V (r ). Ha ez nem teljesül, akkor ez a részecske is szabad mozgást végez ɛ r (r, p r ) = p 2 r/2µ + V C ( r ) diszperzióval. Ez alapján egy kötött rendszer felszakadása azt jelenti, hogy a kötött energiás sajátállapotból a rendszer valamilyen külső hatásra egy kontinuum állapotba kerül. 2.2.3. Reakciómodellek A rendszert és a külső behatást írja le egy teljes Hamilton-operátor, amely teljesen általánosan lehet időfüggő. Ezt az operátort a következő alakúnak feltételeztük: Ĥ tot (r, i r, R, i R ; t) = Ĥ(r, i r, R, i R ) + V INT (r, R; t). (2.39) A V INT kölcsönhatási potenciáltól függ a probléma komplexitása. Ezt egy b impakt paraméterrel regularizált Coulomb-potenciálnak vettem, amely csak az egyik, töltéssel rendelkező részecskére hat. Olyan eseteket vizsgáltam, ahol ez a potenciál a lehetséges három argumentumából csak kettőtől függ: r-től és t-től vagy r-től és R-től. V INT (r; t) reakciómodell Tételezzük fel, hogy a tömegközéppont egy klasszikus R(t) trajektória mentén mozog. Ezáltal az R változó egy paraméter lesz, mely az időtől függ, nem operátor: nem vizsgáljuk ennek a fizikai mennyiségnek a ψ(r) 2 eloszlását. A trajektóriát egyenes vonalú, egyenletes mozgásnak feltételeztem, tehát: R(t) = R 0 + K M t, (2.40) ahol K a tömegközépponthoz konjugált impulzus, R 0 kezdőfeltétel. Ezt felhasználva, továbbá, ha feltételezzük, hogy a tér csak az m 1 tömeggel és q 1 töltéssel jellemzett részecskével hat kölcsön, V INT (r; t) alakja: V INT (r; t) = q 1Z T e 2 4πɛ 0 1 (R(t) + µ/m1 r) 2 + b 2, (2.41) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 13

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER ahol Z T a kölcsönhatási potenciált keltő töltés nagysága (a T index a target-nek felel meg), e az elemi töltés és ɛ 0 a vákuum dielektromos állandója. Látható, hogy a (2.40) behelyettesítésével (2.41)-be V INT expliciten időfüggő, tehát ebben az esetben a rendszer dinamikáját leíró időfejlesztő operátort (2.10) formulával számíthatjuk ki. Ebben a modellben tehát a rendszert leíró egyenlet: ψ(r; t) = T exp ( i t t 0 dt ψ(r; t 0 ) = ψ 0 (r) kezdőfeltétel, ψ(r ± ; t) = 0 határfeltétel. ( 2 r 2 ) ) 2µ + V C( r ) + V INT (r; t ) ψ(r; t 0 ), (2.42a) (2.42b) (2.42c) V INT (r, R) reakciómodell Ha nem teszünk fel semmit a tömegközépponti mozgásról, akkor az ennek megfelelő ˆR mennyiségnek is figyelembe kell vennünk a dinamikáját. Mivel nem használunk fel ekkor R(t) klasszikus trajektóriát, a kölcsönhatási potenciált így írhatjuk: V INT (r, R) = q 1Z T e 2 4πɛ 0 1 (R + µ/m1 r) 2 + b 2, (2.43) tehát (2.41)-vel szemben itt két dinamikai változó van, viszont a potenciál maga nem lesz időfüggő, így a rendszert és dinamikáját leíró egyenlet (2.9) felhasználásával: ψ(r, R; t) = exp ( i ( 2 (t t R 2 0) 2M + 2 r 2 ) ) 2µ + V C( r ) + V INT (r, R) ψ(r, R; t 0 ), (2.44a) ψ(r, R; t 0 ) = ψ 0 (r, R) kezdőfeltétel, ψ(r ±, R; t) = 0 határfeltétel, ψ(r, R ± ; t) = 0 határfeltétel. (2.44b) (2.44c) (2.44d) A (2.42) és (2.44) egyenletek az időfüggő Schrödinger-egyenlet formális megoldásai az adott reakciómodellek esetén, ezt fogjuk kiszámítani numerikusan adott kezdőfeltételekkel, közelítő módszereket alkalmazva. Ezekről a következő fejezetben írok. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 14

3. fejezet Numerikus módszerek A 2. fejezetben leírást adtam a szakdolgozatban kitűzött feladatról, annak matematikai és fizikai hátteréről. Az (2.42) és (2.44) egyenleteket numerikusan kezeltem, az ehhez szükséges hátteret, felhasznált numerikus módszereket ebben a fejezetben vezetem be. 3.1. Tér és idő diszkretizációja Numerikus számításokhoz át kell térni diszkrét és véges értelmezési tartományra: t n = t 0 + n t, n [0, N t ] Z, r j = r 0 + j r, j [0, N r ] Z, R k = R 0 + k R, k [0, N R ] Z. (3.1a) (3.1b) (3.1c) Ezeken a rácspontokon értelmezzük függvények diszkretizációja: ψ(r, R; t) ψ njk = ψ(r 0 + j r, R 0 + R; t 0 + n t) C Nt Nr N R. (3.2) Látható tehát, hogy a (3.1) formulákkal definiált tartományon értelmezett függvények komplex szám N t N r N R -esek. Természetesen ha nem függ minden változótól a függvény ennek számtáblázatnak annál kevesebb indexe van. 15

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.2. IDŐLÉPTETÉS 3.2. Időléptetés A (3.1)-ben bevezetett tartományon értékeljük ki a (2.42) és (2.44) egyenleteket, ezt az idő diszkretizációját kihasználva t lépésenként tesszük meg. Ez (2.44) esetén egzaktul megtehető, mivel itt a Hamilton-operátornak nincs explicit időfüggése. A (2.42) egyenletet úgy közelítjük, hogy az exponenciális argumentumában található integrált t időre végezzük el úgy, hogy erre az időlépésre az integrandust konstansnak vesszük, tehát: t+ t t dt f(t ) f(t) t (3.3) közelítéssel élünk. Ezek figyelembevételével a következő időléptetéseket alkalmazzuk: ( i t ( 2 2 )) r ψ(r, R; t + t) = exp 2µ + V C( r ) + V INT (r; t) ψ(r, R; t), (3.4) ( i t ( 2 R 2 ψ(r, R; t + t) = exp 2M + 2 r 2 )) 2µ + V C( r ) + V INT (r, R) ψ(r, R; t). (3.5) 3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor Az impulzus operátor, mint láttuk (2.20) alapján a helyreprezentációban arányos a deriválással. Diszkrét értelmezési tartományon a deriválás nem létezik, ezzel analóg fogalom a véges differencia. Vezessük be az egy változós elsőrendű véges differenciákat első szomszéd közelítésben: D + ψ i = ψ i+1 ψ i, (3.6a) D ψ i = ψ i ψ i 1, (3.6b) D 1/2 ψ i = ψ i+1 ψ i 1, (3.6c) 2 ahol felhasználtuk, hogy az értelmezési tartomány lépéshosszú darabokra van felosztva. Fel lehet tenni a kérdést, hogy ez az analitikus deriválást mennyire jól közelíti. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 16

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.4. HAMILTON-OPERÁTOR DISZKRÉT TARTOMÁNYON Ehhez a folytonos ψ(x) függvény Taylor-sorát vizsgáljuk x sugarú környezetében: ψ(x+ ) = ψ(x)+ψ (x) +O( 2 ) ψ(x + ) ψ(x) ψ (x) ψ (x) D + u O( ), (3.7) és hasonlóan a többi differenciasémára megmutatható, hogy ψ (x) D ψ O( ) és ψ (x) D 1/2 ψ O( 2 ). Most fejezzük ki a centrális másodrendű véges differenciát hasonlóképpen (3.6c) egyenlethez: D (2) 1/2 ψ i = ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i 2. (3.8) Itt is a vizsgált függvény Taylor-sorával meg lehet mutatni, hogy D (2) 1/2 ψ i ψ (x) O( 2 ). Részletesebb leírás a véges differenciák módszeréről elérhető [6] jegyzetben. Az impulzus operátor helyreprezentációban az első deriváltat állítja elő (2.20) alapján. Ha a helyreprezentáció diszkrét, akkor a deriválást a (3.6) egyenletekkel közelítjük. A nem relativisztikus Hamilton-operátorok a részecskék szabad mozgását leíró részei az impulzus operátorokban kvadratikusak, tehát diszkrét tartományon ezek kifejtése (3.8) alapján történik. 3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon A numerikus számítások során a diszkrét függvényeket vektorokba rendezve kezeljük, ekkor a (3.6)-(3.8) egyenletekben bevezetett differencia-operációk mátrixszorzásként írhatók fel. Olyan Hamilton-operátorokat vizsgáltam ((2.42) és (2.44) egyenletek), melyekben az impulzus operátorok négyzeteitől és a helytől függő tagok vannak. A helyfüggő tagok diszkréten is olyan operátorok, mint folytonos esetben, tehát (2.16)- hoz hasonlóan: ˆf(xi )ψ(x i ) = f(x i )ψ(x i ) = f i ψ i. (3.9) Ez azt jelenti, hogy a helytől függő függvények diagonális mátrixokba rendezhetőek: f(x 1 ) 0 f(x) f = 0 f(x 2 ). (3.10)..... Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 17

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.5. TÖBBVÁLTOZÓS ESET A (3.8)-beli véges differencia mátrixa: 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1/2 = 1/ 2............... (3.11) 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 D (2) A (3.10) és (3.11) egyenletekkel arra jutottunk, hogy egyváltozós Hamilton-operátorok diszkrét értelmezési tartományon mátrixos alakba rendezhetőek, erre tekintsük konkrét példaként (2.34)-beli operátor r relatív koordinátától függő részét: Ĥ r (r, i r ) = 2 ( ) 2µ 2 r + V C r (H r )ij = 2 2µ r 2 (δ i,i+1 + δ i,i 1 2δ i,j ) + V C ( r i )δ i,j. (3.12) 3.5. Többváltozós eset A korábbi részekben bemutattam diszkrét függvények és operátorok célszerű reprezentációját egyváltozós esetben. Ha több változó van az értelmezési tartomány kibővül. Konkrétan a (3.1) képletekkel definiált tartományon értelmezett skalár értékű függvények N t N r N R számot jelentenek, ezeket ilyen méretű hipermátrixban tároltam a számítások során. A tér is idő változótól függő függvényeket (3.9) alapján értelmezzük, ezért ezeket is elrendezhetjük N t N r N R alakú hipermátrixban. Ekkor természetesen egy ilyen módon tárolt potenciál függvény állapotfüggvényre gyakorolt hatását nem mátrixszorzással számítjuk ki, hanem elemenkénti szorzással. Természetesen felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet leírni a többváltozós véges differenciákat mátrix alakban. Ha N t N r N R nagyságú oszlopvektorba rendezzük a skalárfüggvényeket, akkor (N t N r N R ) (N t N r N R ) méretű mátrixra lenne szükségünk a differenciaoperátorokhoz, tehát az értelmezési tartomány kibővítésével négyzetesen nő az ehhez szükséges memória, ezért ez nem optimális ábrázolása a differenciaoperátoroknak. Hogy kikerüljem a (fölöslegesen) memóriaigényes számítást egy közelítést alkalmaztam, aminek segítségével elég csak skalárfüggvényeket használni a számítás során, így a maximálisan felmerülő tömbméret N t N r N R. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 18

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.6. OPERATOR SPLITTING 3.6. Operator splitting A vizsgált időléptetések ((3.4) és (3.5)) kiértékeléséhez képeznünk kell a Hamiltonoperátorok exponenciálisát. Ez, mivel mindkét esetben a Hamilton két változótól függ, az előző részben leírtaknak megfelelően egy (N t N r N R ) (N t N r N R ) méretű mátrix exponencializálását jelenti gyakorlatilag, ami számításigényes lehet N t, N r, N R számok függvényében. Az exponencializálás helyett egy közelítést alkalmazok, amelyet Operator splittingnek neveznek. Ennek bemutatására írjuk az időléptető operátorokat általánosan a következő alakba: A Heisenberg-reláció miatt függvényt: exp (( Â(ˆp r, ˆp R ) + ˆB(ˆr, ˆR) ) t ) (3.13) [Â, ˆB] 0, tehát nem lehet felbontani az exponenciális (Â+ˆB) t e eâ teˆb t, (3.14) azonban, ha t megfelelően kicsi, a Taylor-sorok vizsgálatával arra jutunk, hogy: (Â+ˆB) t e = I + (  + ˆB ) t + (  2 + ˆB 2 + { Â, ˆB }) t 2 2 + O( t3 ), (3.15) eâ teˆb t = I + (  + ˆB ) t + (  2 + ˆB 2 + 2ˆB ) t 2 2 + O( t3 ) = (3.16) (Â+ˆB) t = e [ Â, ˆB ] t 2 2 + O( t3 ), (3.17) tehát első rendben jó becslés lehet az exponenciális függvény szorzatra bontása ("splittelése"), ha az időlépés megfelelően kicsi. Egy pontosabb (másodrendű) becslést ad a következő szimmetrikus split-formula: (Â+ˆB) eˆb t/2 eâ teˆb t/2 = e t + O( t 3 ). (3.18) Számításaim során a (3.18) felbontását használtam az időléptető operátornak. Erre azért volt szükség, mert így az egyes, ˆr-től és ˆR-től illetve ˆp r -től és ˆp R -től függő tagok különválnak az időléptetésben. Mivel ez a négy operátor páronként definiálja a hely- és impulzustér bázisait, ezért az exponenciális függvények diagonálisak ezeken a bázisokon kifejtve. A bázistranszformáció (2.24) alapján a Fourier-transzformáció, amit a diszkrét reprezentációban Fast Fourier Transform (FFT) algoritmussal végeztem. Ennek Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 19

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS a komplexitása O(N log N), ami sokkal kedvezőbb a mátrix exponencializálás komplexitásánál. 3.7. A numerikus algoritmus A fejezet összefoglalásaként felírom a numerikus algoritmust, az időléptetést az egyes reakciómodellek esetén. Hogy a képletek kiférjenek, bevezetem a következő rövidítéseket felhasználva a (3.1)-beli definíciót: A nj = V INT (r j ; t n ) + V C ( r j ), (3.19) B jk = V INT (r j, R k ) + V C ( r j ), (3.20) C j = (p2 r) j 2µ, (3.21) D jk = (p2 r) j 2µ + (p2 R ) k 2M. (3.22) A V INT (r; t) reakciómodell esetén az állapotot ψ nj C Nt Nr jelöli és N t N r méretű mátrixban tároltam, ahogyan A nj mennyiséget is, mivel ez diagonális a hely reprezentációban. A C j mennyiséget egy N r méretű vektorban tároltam. A megfelelő időléptetés (az FFT algoritmust F-fel jelöltem és csak az r változóra, tehát a második indexekre vonatkozik): ( i t ) ψ n+1,j = exp A nj F 1{ exp ( ) { i tc q F exp 2 ( i t 2 A ns ) ψ ns } nq } nj, (3.23a) ψ 0j = (ψ 0 ) j kezdőfeltétel, ψ n0 = ψ nnr = 0 határfeltétel. (3.23b) (3.23c) A V INT (r, R) reakciómodell esetén a rendszer állapotát ψ njk C Nt Nr N R kódolja, amelyet egy N t N r N R méretű hipermátrixban tároltam, a B jk és D jk mennyiségeket pedig N r N R méretű mátrixokban. Jelölje F a két dimenziós FFT algoritmus mely az Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 20

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS utolsó két indexre fut, tehát a térbeli részeket transzformálja. Az algoritmus: ( i Bjk t ψ n+1jk = exp )F 1{ exp ( ) { ( i Blm t )} i td pq F exp ψ nlm 2 2 npq } njk, (3.24a) ψ 0jk = (ψ 0 ) jk kezdőfeltétel, ψ n0k = ψ nj0 = ψ nnrk = ψ njnr = 0 határfeltételek. (3.24b) (3.24c) A numerikus számításokhoz Python programozási nyelvet használtam a Spyder IDE tudományos integrált fejlesztő környezetben. Az adatok tárolására a numpy könyvtár több dimenziós struktúráit, a felmerülő sajátértékproblémák megoldására és Fouriertranszformációk elvégzésére a SciPy eljárásait, az eredmények vizuális ábrázolásához pedig a matplotlib könyvtárat használtam. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 21

4. fejezet Eredmények 4.1. Elöljáróban A 3. fejezetben kifejeztem a kiértékelendő mennyiség numerikus alakját, lásd: (3.23) és (3.24) egyenletek. Az eredmények értékeléséhez még szükséges pár konkrét dolgot megjegyezni. Minden eredmény megtekinthető a személyes oldalamon 1. megjegyezni, mert a szimulációkról mozgóképes ábrákat is készítettem. Ezt azért szükséges Minden számítás során = 1 4πɛ 0 = 1 egyszerűsítéssel éltem. Az eredményeket, mennyiségeket nem dimenzionáltam, csak a numerikus értékeket adtam meg, ennek oka, hogy nem kellett kísérleti eredménnyel összehasonlítani őket, a kvalitatív tartalom pedig a tömeg arányokban és a potenciálok, illetve a kinetikus energiatagok nagyságában van. Utóbbiakat, ahogy a (3.11) formulában is látszik az 1/ 2 nagyságrend jellemzi, ahol az adott diszkretizált tartomány lépéshossza. A V INT kölcsönhatási potenciálokban alkalmaztam levágást, egy olyan értéktől, ahonnan a potenciál térben lassan változik és értéke kicsi a maximumához képest. A kezdőfeltételeket az eredményeknél feltüntetem, de általában a V INT (r; t) modellben a rendszer belső V c (r) potenciáljának egy sajátállapota, a V INT (r, R) modellben ugyanezen belső állapot szorzata egy R-től függő hullámcsomaggal. A határfeltételek biztosítása végett olyan tartományokon vizsgáltam a hullámfüggvényt (mind hely, mind impulzus térben), amelyeken a vizsgált hullámfüggvények lecsengnek, a határokon a maximális értéke a normált ψ 2 eloszlásoknak 0.01-nél kisebb 1 http://baroncs1.web.elte.hu/bscdolgozat/eredmenyek/eredmenyek.html 22

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN volt. A rendszer belső viszonyait jellemző V C (r) potenciálnak a Wood-Saxon-függvényt választottam, ennek alakja: V C (r) = V 0 1 + exp ( r r (0 ) a ), r (0 ) = r (0) M 1/3, (4.1) ahol M a vizsgált rendszer össztömege (ez magfizika esetén analóg a tömegszámmal), V 0, r (0), a a potenciál paraméterei. Látható, hogy a potenciál szimmetrikus r-ben, (4.1) alapján elég lenne az r tartományt pozitívnak venni. Azonban V INT potenciálban számít az r előjele, ezért a tartomány negatív felét is figyelembe vesszük. V 0 értékét megszabva lehet beállítani, hogy a Ĥr = 2 2 r 2µ + V C (r) Hamilton-operátornak hány negatív energiás (kötött) sajátállapota legyen. V 0 értékét úgy választottam meg, hogy a Ĥr operátornak két kötött állapota legyen, ekkor az első gerjesztett állapotra r 2 > 0, tehát az állapot nem nullára centralizált lesz, mint a legmélyebb energiaszint esetén. Ezt összefoglalóan a 4.1. ábrán látható egy Wood-Saxon-potenciál és a paraméterezése. 4.1. ábra. Wood-Saxon-potenciál és két kötött állapota az ábrán jelölt paraméterezés mellet az adott tartományon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 23

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN 4.1.1. A rendszer időfejlődésének követése projekciókkal A rendszer belső viszonyait a Ĥr és ĤrR Hamilton-operátorok írják, melyek a következők: Ĥ r = 2 2 r 2µ + V C(r) V INT (r; t) esetén, (4.2a) Ĥ rr = 2 2 R 2M + Ĥr V INT (r, R) esetén. (4.2b) A ψ(r; 0) és ψ(r, R; 0) kezdőfeltételeket úgy szabtam meg hogy azon (r, R ) pontokra, ahol ψ(r ; 0) 0 és ψ(r, R ; 0) 0 teljesüljön, hogy V INT (r ; 0) = 0 és V INT (r, R ) = 0. A V C (r) potenciált úgy választjuk, hogy a (4.2)-beli operátoroknak két negatív energiás sajátállapota legyen r függvényében. Ezeket a következőképpen jelölöm: Ĥ r ψ W S,0 (r) = E W S,0 ψ W S,0 (r), E W S,0 < 0, (4.3a) Ĥ r ψ W S,1 (r) = E W S,1 ψ W S,1 (r), E W S,1 < 0, (4.3b) ezen felül ψ K (R) = R K = exp ( ikr) (2π) jelöléssel (lásd (2.21)): Ĥ rr ψ W S,0 (r)ψ K (R) = (E W S,0 + K2 2M )ψ W S,0(r)ψ K (R), Ĥ rr ψ W S,1 (r)ψ K (R) = (E W S,1 + K2 2M )ψ W S,1(r)ψ K (R). (4.4a) (4.4b) A (4.3) és (4.4) egyenletekben bevezetett sajátállapotokra levetítve a ψ(r; t) és a ψ(r, R; t) függvényeket kifejezhetjük, hogy a rendszer mekkora valószínűséggel van a kötött állapotokban bármelyik időpontban.ezek a projekciók a V INT (r; t) modellben: P 0 (t) = P 1 (t) = drψw S,0(r)ψ(r; t) drψw S,1(r)ψ(r; t) N r j=0 N r j=0 ψ W S,0jψ j r, ψ W S,1jψ j r, (4.5a) (4.5b) P cont (t) = 1 P 1 (t) P 0 (t), (4.5c) ahol P cont a kontinuum állapotok valószínűségét jelöli, ami ekvivalens a felhasadás valószínűségével (lásd 2.2.2. alfejezetet). A projekciók elvégzéséhez V INT (r, R) mo- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 24

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN dellben fejtsük ki az állapotot a H rr által meghatározott sajátállapotokon: ψ(r, R; t) = kl c kl (t)ψ W S,k (r)ψ Kl (R), (4.6) amiből a megfelelő projekciók: P 0 (t) = l P 1 (t) = l c 0l 2, (4.7a) c 1l 2, (4.7b) P cont(t) = 1 P 1 (t) P 0 (t). (4.7c) A c mn (t)együtthatók kiszámítása: c mn (t) = drdrψ W S,mψ K n (R)ψ(r, R; t), (4.8) amelyet a következőképpen végeztem numerikusan: drψ W S,m(r)ψ(r, R; t) = f m (R; t) c mn (t) = F R { fm (R; t) } n = f m(k n ; t), (4.9) tehát a projekciók (n a t, j az r, m az R, k a K változókat indexelik): N R P 0n = F { Nr k=0 j=0 N R P 1n = F { Nr k=0 j=0 rψ W S,0jψ jmn }k rψ W S,1jψ jmn }k 2, 2. (4.10a) (4.10b) 4.1.2. A relatív sebesség várható értéke Az eredmények kiértékelésekor kiszámítottam a relatív sebességek várható értékét. Ehhez érdemesebb a (4.3) és a (4.4) egyenletek által definiált sajátállapotok rendszere helyett az r-beli függést is ψ k (r) = r k = exp ( ikr) (2π) sajátállapotokon felírni, természetesen a relatív sebesség: ˆv = ˆk/µ. A ˆk-nak, a relatív impulzus operátor hatása a Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 25

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN ψ(k) = F { ψ k (r) } és ψ(k, R) = F r { ψk (r)ψ K (R) } függvényekre: k ˆk Ψ = k k Ψ = kψ(k), k R ˆk Ψ = k k R Ψ = kψ(k, R), (4.11a) (4.11b) tehát a ˆk/µ várható értéke: ˆk/µ = v(t) = ˆk/µ = v(t) = dk k µ ψ(k; t) 2, dkdrψ (k, R; t) ˆk ψ(k, R; t) = µ dk k µ dr ψ(k, R; t) 2, (4.12a) (4.12b) melyek numerikusan kifejezve a következő alakot öltik (n az időt, m az r koordinátát, j a k impulzust, p az R koordinátát indexeli): N r v n = j=0 N r v n = j=0 p=0 r k j 2π µ F{ } ψ nm nj 2, N R R r k j 2π µ F { } r ψnmp njp 2. (4.13a) (4.13b) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 26

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.2. Szimulációk a V INT (r; t) modellben 4.2.1. Állapot időfüggése Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16 q 1 3 m 1 6 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 0.9 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4 Kezdeti értékek R 0 4 K 100, 120 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) A szimulációt két K értékre végeztem el, adott b = 0.4 impakt paraméterrel. K = 100 esetén a szimuláció eredménye, a ψ(r; t) 2 függvény a 4.2. ábrákon látható különböző időpontokban. Megállapítható az ábrákról, hogy a külső tér a legnagyobb megközelítés előtt a pozitív r irányba tolja az eloszlás pozitív felét, majd a legnagyobb megközelítést követően a negatív r tartomány felé tolja az eloszlást. A végállapotnál látható, hogy az eloszlásnak lesz egy csúcsa r 0 környezetében és két kiterjedt csúcsa a V C (r) potenciálgödrön kívülre centralizálva. Ezen szemrevételezés alapján azt mondhatjuk hogy a külső potenciál a rendszert valamilyen arányban legerjesztette az alapállapotba, egy részét pedig felhasította, amely ettől kezdve szabad részecskeként viselkedik. Mindezt alátámasztják a 4.3. ábrák, ahol a Ĥr operátorra vett projekciók láthatóak, mind a K = 100, mind a K = 120 esetben. Látható, hogy valóban a legnagyobb megközelítést (t 0.29 és t 0.25) követően az inicializált első állapot projekciója lecseng. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 27

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (a) t = 0.260 (b) t = 0.340 (c) t = 0.470 (d) t = 0.535 4.2. ábra. ψ(r; t) 2 (fent), V (r; t) = V C (r) + V INT (r; t) és kötött állapotok energiája (lent) különböző időpontok esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 28

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (a) K = 100 (b) K = 120 4.3. ábra. Projekciók a Ĥr alap és első gerjesztett állapotára (??) alapján és a felszakadás valószínűsége. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 29

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különböző impakt paraméterek esetén Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 1154 r 0 = 14.0 r Nr = 22 q 1 3 m 1 6 t N t = 540 t 0 = 0.0 t Nt = 2.7 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4, 0.6, 0.7, 0.8 Kezdeti értékek R 0 4 K 100 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) Megvizsgáltam, hogy az előző alrészhez hasonló paraméterezés esetén hosszú futási idő mellett hogyan alakulnak a projekciók az impakt paraméter (b) függvényében. 4.4. ábra. Projekciók különböző impakt paraméterek esetén. Eredményeim a 4.4. ábrán vannak. Látható, hogy minél kisebb impakt paraméter, annál többet változik a rendszer a folyamat végéig. Az ábráról leolvasható továbbá, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 30

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN hogy b = 0.4 és b = 0.6 esetén a végállapot közel azonos, de az átmenet időbeli alkulása különbözik. Vizsgáltam a relatív sebesség várható értékét (4.13a) összefüggés alapján, az eredmények a 4.5. ábrán láthatók. Megállapítható, hogy a kisebb impakt paraméter esetén nagyobb a maximális sebesség. A sebesség maximuma a legnagyobb megközelítés környezetében van. A kapott ábra első, felgyorsuló, majd lelassuló szakaszát könnyen értelmezhetjük. A pozitív tartományból (R 0 > 0) indított rendszer (m 1, q 1 ) részecskéjére tolópotenciál hat, ami a tömegközéppont mozgásával ellentétes, tehát azt a pozitív irányba tolja. Emiatt, mivel a relatív koordinátát r = r 1 r 2 módon vezettük be, a hozzá tartozó relatív sebesség a pozitív értékű lesz. A legnagyobb megközelítést követően a tolópotenciál a negatív irányba tolja az 1 indexű részecskét. A 4.6. ábrán a legnagyobb megközelítés környezete kinagyítva látható. 4.5. ábra. Relatív sebesség várható értéke. A 4.5. ábrán látható, hogy t > 0.5 időkre a relatív sebesség várható értéke oszcillál. Ezt az oszcillációt az okozza, hogy a vizsgált rendszer állapotában jelen vannak a kötött állapotok is, olyan amplitúdóval, melyek abszolút érték négyzete a 4.4. ábrán is látható. Hogy ezt alátámasszam és meghatározzam, hogy mekkora a relatív sebesség ha a rendszer teljes bizonyossággal felhasad, a két kötött állapotot projekciók segítségével levontam a hullámfüggvényből és bevezettem egy redukált, ψ bu (r; t) hullámfüggvényt, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 31

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.6. ábra. Relatív sebesség várható értéke a maximum környezetében. mely a felhasadt állapotokat írja le. Ennek előállítása: ψ bu (r; t) = ψ(r; t) dr ψw S,0(r )ψ(r ; t) dr ψ W S,1(r )ψ(r; t). (4.14) Ellenőrzésképpen megvizsgáltam, és teljesül, hogy ψ bu (r; t) 2 = P cont (t), tehát az új hullámfüggvény normája azonos a ψ(r; t) kontinuum állapotokra vett projekciójával. A ψ bu (r; t) hullámfüggvényt ezt követően normáltam a P cont (t)-vel. Az így előállított ψ bu (r; t) állapotokkal elvégeztem a (4.13a) összefüggésben leírt analízist, hogy kiszámítsam a v bu (t) relatív sebességet a kontinuum állapotokra vonatkozólag. A 4.7. ábrán látható. Szürkével jelöltem rajta 4.5. ábráról származó v(t) mennyiségeket. Észrevehetjük, hogy a hullámfüggvény megszorításával olyan várható értékeket kaptunk, melyek nem oszcillálnak, ezzel alátámasztva, hogy a 4.5. ábrán látható oszcillációt az alapállapotok jelenléte okozza. Másrészt az újonnan kiszámolt v bu (t) mennyiségből meg lehet határozni felhasadás esetén, adott impakt paraméter és bejövő impulzus (K) mellett mekkora lesz a relatív sebesség végső értéke. Ez a magfizikában, Coulombdisszociáció vizsgálatában egy fontos mennyiség [7]. Erre a 5. fejezetben visszatérek. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 32

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.7. ábra. A relatív sebesség várható értéke csak a ψ bu (r; t) felhasadt állapotokkal kiszámítva. 4.2.3. Felhasadás valószínűsége és relatív sebességek széles (K, b) paramétertartományon Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16.0 q 1 3 m 1 6 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 2.0 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 Kezdeti értékek R 0 4 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) Megvizsgáltam (K, b) [ 20, 240] [0.2, 2.4], 20 20 lépéssel felbontott paramétertartományon a felszakadás valószínűségét, ezt most jelölje a P bu (K, b). Ez azt jelenti, hogy az adott paraméterezés mellett lefuttattam a szimulációt és vizsgáltam a végső állapotok valószínűségét. Eredményeim a 4.8. ábrán láthatóak. A legnagyobb valószínűsége a felszakadásnak a (K, b) = ( 20, 0.2) értékeknél van. A kis energiás rendszerek Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 33

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (K 2 /2M kicsi) felszakadása úgy interpretálható, hogy a potenciál az (m 1, q 1 ) részecskét visszaszórja a pozitív tartományba, míg a rendszer tömegközéppontja a (2.40) alapján mozog, tehát az (m 2, q 2 ) részecske tovább halad az R < 0 tartomány felé a tömegközépponttal. A kis impakt paraméterű eredményeknél látható, hogy a b min(b) irányban P bu (K, b) egyre meredekebben növekszik K 2 /2M min(k 2 /2M) esetén. 4.8. ábra. Felhasadás valószínűsége széles paramétertartományon. A (4.14) művelet elvégzésével kiszámíthatjuk a relatív sebességek ψ bu (r; t) hullámfüggvénnyel vett várható értékének végső értékét minden (K, b) pontra. Ez látható a 4.9. ábrán. Megfigyelhetjük, hogy ahogy K-val és b-vel a kis értékek felé haladunk, annál nagyobb (negatívabb) értékű lesz a relatív sebesség állandósult nagysága. Ezt úgy interpretálhatjuk egy klasszikus fizikai kép segítségével, hogy a kölcsönhatási potenciál a bejövő rendszerre a tömegközéppont mozgásával ellentétes erőt fejt ki mivel ekkor a kötött rendszerben az (m 1, q 1 ) részecskével hat kölcsön. Ha részecskék közötti kötés felhasad, az (m 2, q 2 ) részecskét nem éri több erőhatás, ellenben az (m 1, q 1 ) részecskével, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 34

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN akire ugyanúgy hat a kölcsönhatás, de a tömege kisebb lett a felhasadás óta. Amíg a kölcsönhatási potenciál erőt fejt ki az 1-es részecskére, az gyorsul, így növelve a most már szabadon mozgó 2-es részecskével szembeni sebességét. 4.9. ábra. Relatív sebességek várható értéke a ψ bu (r; t) hullámfüggvénnyel. Az ábrán a végsebességek szerepelnek. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 35

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN 4.3. Szimulációk a V INT (r, R) modellben 4.3.1. Állapot időfüggése Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16.0 q 1 3 m 1 6 R N R = 872 R 0 = 12.0 R NR = 5.0 Z T 82 m 2 1 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 0.9 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4 Kezdeti értékek R (0) 4 σ R 0.1 K 0 100, 120 ψ(r, R; 0) Nψ W S,1 (r) exp ( (R R (0) ) 2 2σ R + ik 0 R ) A szimulációt ugyanazon két K 0 értékre végeztem el, mint a V INT (r; t) modell esetén K-ra, azonban itt K 0 szerepe megváltozik. Mivel R dinamikai mennyiség, a hozzá konjugált impulzus, K eloszlását eltolja K 0 a K-térben. A kezdeti hullámcsomag időfejlődését vizsgáljuk. Mivel ez a K-térben (is) szétfolyik, ezért az eloszlást nem fogja K 0 jól jellemezni, az időfejlődés során K K 0. A 4.10. ábrán látható a vizsgált kölcsönhatási és belső potenciál. A 4.11. ábrán látható az állapot időbeli fejlődése K = 100 esetén négy időpontban. Egyből szembetűnik, hogy ha az R változót nem szorítjuk meg egy trajektóriára, akkor lehetséges lesz a R-beli visszaszórás is. Ha megfigyeljük a rendszert nagyobb kezdeti energiával (K 0 = 120), akkor azt találjuk, hogy nem lesz visszaszórás, lásd 4.12. ábrát. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 36

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN 4.10. ábra. A rendszer belső viszonyait meghatározó V C (r) és a külső V INT (r, R) potenciálok. Az (4.10) alapján meg lehet határozni a belső Ĥr operátor sajtállapotaira vett projekciókat. Ezeket az 4.13. és 4.14. ábrán lehet megtekinteni. Itt is megfigyelhető az az effektus, hogy a kölcsönhatás "visszapumpálja" a rendszert az alapállapotba. Látható, hogy a nagyobb K 0 esetén az átmenetek hamarabb végbemennek. Ezek kvalitatíve hasonlók a V INT (r; t) modellben vizsgált átmenetekhez. A (4.13b)-ben közölt eljárás alapján ki lehet számítani a relatív sebesség várható értékét ebben a modellben is. A 4.15. ábrán ezt láthatjuk a K 0 = 100 esetre. Megállapíthatjuk, hogy a visszaszórt valószínűségsűrűség - mivel pozitív r irányba terjed - pozitív irányba tolja el a várható értéket, az azonos paraméterekkel kapott V INT (r; t) modellbeli relatív sebességekhez képest (lásd 4.5. ábra). A 4.16. ábrán látható ugyanez a mennyiség K 0 = 120 esetben. Mivel itt nincs visszaszórás, kvalitatíve 4.5. ábrához hasonló eredményre jutunk. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 37

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN (a) t = 0.260 (b) t = 0.340 (c) t = 0.470 (d) t = 0.535 4.11. ábra. ψ(r, R; t) 2 időfejlődése K = 100 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 38

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN (a) t = 0.260 (b) t = 0.340 (c) t = 0.470 (d) t = 0.535 4.12. ábra. ψ(r, R; t) 2 időfejlődése K = 120 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 39

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN 4.13. ábra. Projekciók a Ĥr kötött állapotaira és a felhasadás valószínűsége, K = 100. 4.14. ábra. Projekciók a Ĥr kötött állapotaira és a felhasadás valószínűsége, K = 120 Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 40