Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Faragó Judit Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Széls érték feladatok gazdasági számításokban Szakdolgozat Témavezet : Gémes Margit, M szaki gazdasági tanár Analízis Tanszék Budapest, 2009
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Matematikai alapok 5 2.1. Fejezetek az analízisb l.......................... 5 2.2. A lineáris programozás.......................... 9 2.2.1. A szimplex módszer........................ 10 2.2.2. Az Excel Solver használata.................... 13 3. Közgazdasági alapfogalmak 17 3.1. A termelés................................. 18 3.1.1. A termelési függvény....................... 18 3.1.2. Átlagtermék és határtermék................... 19 3.1.3. Rövid távú termelési- és határtermék függvény......... 20 3.1.4. A termelési rugalmasság..................... 22 3.1.5. A termelési tényez k hozadéka.................. 22 3.1.6. Az isoquant és a határtermék.................. 26 3.1.7. A technikai helyettesítési határráta............... 28 3.1.8. A költségvetési egyenlet és az isocost.............. 30 3.1.9. Az inputköltség minimalizálása, maximális output....... 30 3.2. Költségek................................. 32 3.2.1. A rövid távú költségfüggvények................. 32 3.2.2. Bevétel és prot.......................... 37 4. A matematika alkalmazása a közgazdaságtanban 39 4.1. Bevezet példák.............................. 39 4.2. Összetettebb feladatok.......................... 40 2
4.3. Lineáris programozási feladatok..................... 43 4.4. Széls érték feladatok az analízis módszereivel............. 49 5. Összefoglalás 52 3
1. fejezet Bevezetés Manapság az ember mindenhonnan a gazdasági jelenségek fontosságát hallja, ám nem könny ezek között laikusként eligazodni. Aki elhatározza, hogy mélyebben megismerkedik ezen tudománnyal, hamar rájön, hogy a rettegett matematika is képbe kerül. Pedig nem kell megijedni, a matematikának csak egy viszonylag sz k szegmensét használja fel a közgazdaságtan. Ha ezeket alaposan elsajátítjuk, nem érhet minket csalódás. Dolgozatom célja, hogy ezen összefüggéseket, valamint az ezekhez kapcsolódó ismereteket bemutassam, illetve konkrét példákon szemléltessem. A második fejezetben körvonalazom a szükséges matematikai ismereteket az analízisb l deníciók, tételek formájában, illetve betekintést nyújtok a lineáris programozásba. A harmadik fejezetben mélyebben kifejtem a közgazdasági alapfogalmakat, melyekre szükségünk lesz a kés bbiekben a feladatok megoldásánál, valamint bemutatom, hogyan alkalmazzuk a korábban ismertetett matematikai alapjainkat a közgazdaságtanban. A negyedik fejezet konkrét feladatok megoldásának menetét tartalmazza, az egyszer bb feladatoktól az összetettebbek felé haladva. Természetesen el jönnek olyan feladatok, melyek megoldása nem feltétlenül az analízis és a lineáris programozás eszközeit igénylik, így ezen módszereket az adott feladat megoldásában fogom ismertetni. 4
2. fejezet Matematikai alapok 2.1. Fejezetek az analízisb l Ebben a fejezetben lényegre tör en összegy jtöttem azokat a deníciókat, tételeket, melyekre szükségünk lesz a kés bbiekben. Egy- és többváltozós dierenciálás, lokális széls értékek: Weierstrass-tétel: Ha f C[a, b], akkor van olyan α, β [a, b], melyekre teljesül, hogy f(α) f(x) f(β) x [a, b]-re, vagyis korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi az intervallumon a minimumát és a maximumát. Deníció: Legyen f értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban dierenciálható, ha a f(x) f(a) lim x a x a véges határérték létezik. Ez a határérték az f függvény a pontbeli dierenciálhányadosa, vagy deriváltja. Deníció: Legyen f dierenciálható az a pontban. A graph f grakon (a, f(a)) pontbeli érint jén az y = f (a) (x a) + f(a) egyenlet egyenest értjük, vagyis az érint egyenes meredeksége f (a) az a pontban. 5
Tétel: Tegyük fel f kétszer dierenciálható a-ban. Ha I. f (a) = 0 és f (a) > 0, akkor f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van. II. f (a) = 0 és f (a) < 0, akkor f-nek a-ban szigorú lokális maximuma van. Deníció: Az a pont az f függvény inexiós pont ja, ha f-nek létezik deriváltja a-ban (véges vagy végtelen) és van olyan δ > 0, amelyre f konvex (a δ, a]-ban, konkáv [a, a + δ)-ban vagy van olyan δ > 0, amelyre f konkáv (a δ, a]-ban, konvex [a, a + δ)-ban. Tétel: Tegyük fel, hogy f kétszer dierenciálható a egy környezetében. Ekkor f-nek a-ban inexiós pontja van δ > 0, hogy (a δ, a]-n f konvex, [a, a + δ)-n konkáv, vagy (a δ, a]-n f konkáv, [a, a + δ)-n konvex f (a) = 0 és f lokálisan n vagy csökken a-ban. Következmény: Ha f háromszor dierenciálható a-ban, f (a) = 0, f (a) 0, akkor f-nek a-ban inexiós pontja van. Deníció: Tegyük fel H R n, f : H R, a = (a 1,..., a n ) H, i {1,..., n}. Legyen f i (t) = f(a 1,..., a i 1, t, a i+1,..., a n ), t R. Ha f i dierenciálható a i -ben, akkor f függvény i. változó szerinti parciális deriváltja a-ban f i(a i ). Deníció: Az n változós f függvénynek lokális minimuma van a R n -ben, ha r > 0: f értelmezve van B(a, r)-n és x B(a, r) f(x) f(a). Ekkor a lokális minimumhely, f(a) lokális minimum. Ha x B(a, r)\ {a}-ra f(x) > f(a), akkor szigorú lokális minimum. Deníció: Az n változós f függvénynek lokális maximuma van a R n -ben, ha r > 0: f értelmezve van B(a, r)-n és x B(a, r) f(x) f(a). Ekkor a lokális maximumhely, f(a) lokális maximum. Ha x B(a, r)\ {a}-ra f(x) < f(a), akkor szigorú lokális maximum. 6
Tétel: Ha az n változós f függvénynek lokális széls értékhelye van a-ban, és létezik az összes parciális derivált a-ban, akkor D i f(a) = 0 (i = 1..n). Széls érték keresés korlátos, zárt halmazon, feltételes széls érték: Deníció: Egy a R n bels pontja H R n -nek, ha r > 0 : B(a, r) H. Deníció: Egy a R n küls pontja H R n -nek, ha r > 0 : B(a, r) H. Deníció: Egy a R n határpontja H R n -nek, ha r > 0 : B(a, r) metszi H-t és R n \ {H}-t, azaz se nem bels, se nem küls pont. Állítás: H R n, f : H R, f-nek maximuma/minimuma van a-ban és a bels pontja H-nak, akkor a lokális maximumhely/minimumhely. Tétel: Tegyük fel H R n korlátos, zárt halmaz, f : H R folytonos, f-nek léteznek a parciális deriváltjai H bels pontjaiban. Ekkor f H-n a maximumát/minimumát vagy H határán veszi fel, vagy H olyan bels pontjában, ahol D i f(a) = 0. Deníció: Ha az n-változós f függvény j. parciális deriváltjának létezik az i. parciális deriváltja a-ban, akkor ezt az f függvény a-beli ij. másodrend parciális deriváltjának nevezzük. Deníció: Ha az n-változós f függvény minden parciális deriváltja létezik a R n környezetében, és mindegyik parciális derivált dierenciálható a-ban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer dierenciálható. Young-tétel: Ha az n-változós f(x 1,...x n ) függvény D i f és D j f parciális deriváltjai léteznek az a R n környezetében és a-ban dierenciálhatók, akkor D ij f(a) = D ji f(a). Deníció: f második Taylor polinomja a körül n t 2 (x 1,..., x n ) = f(a) + f x m (a)(x m a m ) + m=1 n i=1 n j=1 f x i x j (a)(x i a i )(x j a j ). 7
Deníció: A kvadratikus alak olyan n-változós polinom, melynek csak másodfokú tagja van, azaz q(x 1,..., x n ) = n n c ij x i x j alakú, c ij = c ji feltehet. i=1 j=1 Deníció: A q kvadratikus alak pozitív denit, ha q(x) > 0 x 0-ra. Deníció: A q kvadratikus alak negatív denit, ha q(x) < 0 x 0-ra. Deníció: A q kvadratikus alak pozitív szemi-denit, ha q(x) 0 x R n -re. Deníció: A q kvadratikus alak negatív szemi-denit, ha q(x) 0 x R n -re. Deníció: A q kvadratikus alak indenit, ha felvesz pozitív és negatív értékeket is. Tétel: Tegyük fel f kétszer dierenciálható a R n -ben. Ekkor I. ha f-nek a-ban lokális minimuma/maximuma van, akkor D i f(a) = 0 i-re, és n n D ij f(a)h i h j kvadratikus alak pozitív/negatív szemi-denit. (szükséges) i=1 j=1 n n II. ha D i f(a) = 0 i-re és a D ij f(a)h i h j kvadratikus alak pozitív/negatív i=1 j=1 denit, akkor f-nek a-ban szigorú lokális minimumhely/maximumhelye van. (elégséges) Megjegyzés: 0 körül a Taylor polinomban x i szerepel, míg a körül x i a i = h i. Deníció: Tegyük fel a H R n, f, F 1,..., F k : H R. f-nek feltételes maximuma van a-ban az F 1 = = F k = 0 feltétel mellet, ha F 1 (a) = = F k (a) = 0, és f(a) < f(b) b H, melyre F 1 (b) = = F k (b) = 0. Deníció: f-nek lokális maximuma van a-ban az F 1 = = F k = 0 feltétel mellett, ha F 1 (a) = = F k (a) = 0, a bels pontja H-nak, és van olyan δ > 0, melyre f(a) f(b) b B(a, δ), hogy F 1 (b) = = F k (b) = 0. Megjegyzés: minimumra hasonlóan deniálható. Lagrange-féle multiplikátor módszer: Tegyük fel H R n, a bels pontja H- nak, F 1,..., F k : H R, parciális deriváltja folytonosak a-ban. Ha f : H R dierenciálható a-ban, és f-nek feltételes lokális maximuma/minimuma van a-ban az F 1 = = F k = 0 feltétel mellett, akkor vannak olyan µ, λ 1,..., λ k R számok, melyek nem nullák, de µf + λ 1 F 1 + + λ k F k függvény minden parciális deriváltja 0 a-ban. 8
2.2. A lineáris programozás Ax b x 0 keresett vektor min c T x célfüggvény, ahol A adott mátrix, b és c adott vektorok. Deníció. x megengedett megoldás, ha Ax b és x 0. 2.1. ábra. Lineáris programozási feladat általános alakja. Deníció. x optimális megoldás, ha megengedett megoldás és x megengedett megoldásra c T x c T x. Példa: Az alábbiakban egy házibuli példáját nézzük. Szükségünk lesz szendvicsekre, melyekb l kétfélét készítünk. Az alapanyagunk sonka, vaj, sajt és f tt tojás lesz. Az els szendvics húsimádóknak van, 3 dkg sonka kerül rá 2 dkg sajttal és negyed tojással, valamint 3 dkg vajat is kenünk rá, a második fajtára 1 dkg sonka jut 5 dkg sajttal, fél tojással és 2 dkg vajjal. Az egyes alapanyagokból a következ mennyiségek állnak rendelkezésünkre: sonkából 100 dkg, sajtból 200 dkg, vajból 120 dkg, tojásból pedig 20 darab. Kenyeret korlátlan mennyiségben felhasználhatunk. Célunk, hogy minél több szendvicset készítsünk az alapanyagokból. Lássunk a konkrét értékeket táblázatba rendezve! Hasonlóan a 2.1 ábrához, az A mátrix jelöli, hogy az egyes alapanyagból mennyit szeretnénk az egyes szendvicsekhez felhasználni, a b vektor az alapanyagkészlet fels korlátját jelöli, a c vektorban az egyes szendvicsek száma látható, vagyis ebben a feladatban a szendvicsek számának maximalizálására törekszünk. 9
0 0 x 1 x 2 I. 3 1 100 II. 2 5 200 III. 3 2 120 IV. 1 4 1 1 1 20 2 2.1. táblázat. A szendvicsekre vonatkozó adatok. 2 változó esetén kézenfekv a grakus megoldás, hiszen még könny koordinátarendszerben dolgozni, de sokan nem igazán szeretnek. Így ennek, és az ehhez hasonló feladatoknak a megoldása a szimplex módszerrel történik. A továbbiakban ezt az eljárást fogom ismertetni, majd megnézzük, hogyan lehet könnyedén és gyorsan megoldani ezeket a feladatokat a Microsoft Excel Solver ének segítségével. 2.2. ábra. Egy feladat grakus megoldása. 2.2.1. A szimplex módszer Amennyiben csak két változóval dolgozunk, egy a 2.2-höz hasonló ábra segítségével meg tudjuk oldani a feladatot. A színes egyenesek az egyes feltételeket jelentik (jelen esetben mind ), a világoskék terület ezek metszete, a piros egyenesek a 10
célfüggvény eltoltjai, az optimális megoldás ott van, ahol a célfüggvény a világoskék terület határára - egy pontra - esik. Az ábrát jobban meggyelve van olyan feltétel, melynek egyenesét a célfüggvény nem metszi az optimális megoldásnál. Ez azt jelenti, hogy abból az alapanyagból maradni fog. Több változó esetén nincs ilyen könny dolgunk, ilyenkor hatékony megoldást jelent a szimplex módszer. A következ kben egy konkrét példán fogom bemutatni a szimplex-algoritmus m ködését. Szimplex módszer esetén a lineáris programozási feladat az alábbiak szerint módosul, amit a lineáris programozás kanonikus alakjának is nevezünk: Ax = b x 0 keresett vektor max c T x célfüggvény, ahol A R m n. Mint látjuk, a lineáris programozástól abban tér el, hogy az els sorban = szerepel helyett, valamint a célfüggvényben maximalizálunk. Természetesen minimalizálni is tudunk, ha egy feladat éppen azt kívánja, ekkor a célfüggvény min c T x-re módosul. Amennyiben valamelyik sorban nem egyenl ség szerepelne, ott új ismeretleneket vezetünk be, ún. slack változókat, amikhez a célfüggvény 0, hiszen ezek csak segédváltozók, nem módosíthatják a végeredményt. Feladat: Egy üzemben öt különböz terméket lehet három, korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló er forrásból el állítani. Az er források mennyiségét, a ráfordításokat és az egyes termékek hozamát a következ táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi! x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 A 1 2 1 0 1 100 B 0 1 1 1 1 80 C 1 0 1 1 0 50 2 1 3 1 2 11
Mivel minden sorban szerepel a korlátozó feltételeknél, így kiegészítjük az ún. slack változókkal, hogy a lineáris programozás kanonikus alakját kapjuk: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 1 s 2 s 3 A 1 2 1 0 1 1 0 0 100 B 0 1 1 1 1 0 1 0 80 C 1 0 1 1 0 0 0 1 50 2 1 3 1 2 0 0 0 0 1. lépés: A célfüggvényben kiválasztjuk a legnagyobb pozitív értéket (ha több egyenl, akkor tetsz leges), ennek az oszlopában pedig azt az elemet, mely a hányados szabály alapján minimális, és a bázisba (els oszlop s i -jei) be tudjuk vinni. A hányados szabály annyit jelent, hogy ha a célfüggvény alapján kiválasztottam a j. oszlopot, akkor i-re megnézem b i a ij értékét, és a legkisebb a ij -t 1-re transzformálom (az egész sorral együtt), ha szükséges; az oszlop többi elemét kinullázom, ezzel módosítva a mátrix többi sorát is. Félkövérrel kiemeltem a kiválasztott oszlopot, és aláhúztam a hányados szabály alapján kiválasztott sor elemét. Az 1. lépésben leírtakat addig ismételjük, míg van a célfüggvényben pozitív érték. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 1 s 2 s 3 s 1 1 2 1 0 1 1 0 0 100 s 2 0 1 1 1 1 0 1 0 80 s 3 1 0 1 1 0 0 0 1 50 2 1 3 1 2 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 1 s 2 s 3 s 1 0 2 0-1 1 1 0-1 50 s 2-1 1 0 0 1 0 1-1 30 x 3 1 0 1 1 0 0 0 1 50-2 1 0-2 2 0 0-3 -150 12
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 1 s 2 s 3 s 1 1 1 0-1 0 1-1 0 20 x 5-1 1 0 0 1 0 1-1 30 x 3 1 0 1 1 0 0 0 1 50 1-1 0-2 0 0-2 -1-210 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 1 s 2 s 3 x 1 1 1 0-1 0 1-1 0 20 x 5 0 2 0-1 1 1 0-1 50 x 3 0-1 1 2 0-1 1 1 30 0-2 0-1 0-1 -1-1 -230 Mivel már minden célváltozó 0, és nem tudunk mit bevinni a bázisba, így készen vagyunk. A hozam = c, vagyis 230, amit úgy érünk el, hogy az els termékb l 20 egységet, a másodikból 50 egységet, a harmadikból pedig 30 egységet termelünk. Amennyiben a célfüggvényben van még pozitív érték, de nem tudjuk bevinni azt az oszlopot a bázisba, vagyis s i -nél x ij = 0, akkor a célfüggvény korlátlan, tehát nem jutunk optimális megoldáshoz. 2.2.2. Az Excel Solver használata Ebben a részben röviden ismertetném a Solver használatát olyan mélységben, amennyire a feladatok megoldásához szükségünk lesz, de a feladatok megoldása folyamán megemlítem a további funkcióit is. A Solver használatához a 2.1 táblázatban ismertetett szendvicsösszeálló feladatot használtam fel, ami lineáris, ilyenkor a módosuló cellák kezd értéke 0. Amennyiben nem lineáris feladatot oldunk meg a Solver segítségével, a módosuló cellákba tetsz leges, nem nulla kezdeti értéket kell írni a megoldás el tt. 13
1. lépés Felírjuk a matematikai modellt Excelben az alábbiak szerint: 2.3. ábra. A Solver használatának els lépése. 2. lépés Ha nincs még beállítva a Solver, akkor az Eszközök menüpont alatt a B vítménykezel ben ki kell pipálni a Solver b vítményt. 2.4. ábra. A Solver használatának második lépése. 14
2.5. ábra. A Solver használatának második lépése. 3. lépés Miután ezzel is megvagyunk, megnyitjuk a Solvert az Eszközök menüpontból, majd a követez képp kell a Solvert kitölteni (2.6 ábra mutatja): 2.6. ábra. A Solver beállításai. 1. Kijelöljük a célcellát, ami mindig a célfüggvény és a módosuló cellák szorzatösszege. 15
2. Kiválasztjuk, hogy a célfüggvényünknek minimálisnak vagy maximálisnak kell lennie. 3. Kijelöljük a módosuló cellákat. 4. A korlátozó feltételeket a Hozzáadás gomb megnyomása után bevisszük. A relációkon kívül megadhatjuk azt is, hogy egésznek vagy binárisnak kell-e lenniük az adatoknak. Utóbbi két feltételt els sorban a módosuló cellákra szokták alkalmazni olyan feladatokban, melyekben termékeket állítunk el, aminek a darabszáma csak egész lehet, vagy mint a feladatok között is megtalálható, hogy alkalmazzunk-e valakit vagy sem. Ezek az opciók a 2.7 ábrán láthatók. 5. Ha a fenti lépéseket elvégeztük, a Megoldás gombra kattintva az Excel megoldja a feladatot. 6. A célcellában megkapjuk a keresett értékünket, hogy mekkora kiadással, bevétellel, stb. számolhatunk. 2.7. ábra. A korlátozó feltételek bevitele. Az itt bemutatott feladatra a Solver a következ eredményt adja: 2.8. ábra. A Solver megoldást talál. 16
3. fejezet Közgazdasági alapfogalmak Ebben a fejezetben szeretném bemutatni, hogy az egyes piaci döntések et mely termelési (humán és technikai) tényez k befolyásolhatják, és befolyásolják. Bármilyen tevékenység termelésnek tekinthet tágabb értelemben, ha az olyan anyagi vagy nem anyagi eredménnyel jár, mellyel szemben a társadalom igényt támaszt, amire kereslet van. A szakdolgozatban a továbbiakban az anyagi javakkal fogok foglalkozni, mert azokat könnyebb "mérni", számosítani, mint a szellemi javakat. A termeléselmélet valamilyen gazdasági tevékenységet folytató egységet, mint zárt rendszert vizsgál, amir l csak annyit feltételez, hogy er forrást használ fel termelés céljából. Többnyire két változóra szokták a közgazdászok egyszer síteni a példákat (az egyik változó rögzítésével) - nem szeretnek több dimenzióban számolni -, de megismerkedünk többváltozós függvényekkel, majd a 4. fejezetben konkrét példákon is szemléltetem. 3.1. ábra. Többváltozós termelési függvény. 17
3.1. A termelés 3.1.1. A termelési függvény A vállalat olyan gazdasági szervezet, amely er forrásokat alakít át kibocsátássá. Az input és output között függvényszer kapcsolatot tételezhetünk fel, melyet táblázattal, grakonnal, képlettel, rajzzal, stb. ábrázolhatunk. Tehát a termelési függvény a termelési tényez k lehetséges inputkombinációi és a velük el állított maximális kibocsátási lehet ségek halmaza (output) közötti technikai-gazdasági összefüggés. A termelési függvény az adott állapotot ábrázolja függetlenül attól, hogy a tényez k hány évre befolyásolják a termelési függvényt (pl. egy ház 40-50 évig, egy gép 5-10 évig, egy dolgozó 1-30 évig befolyásolja, mindezek együtt képezik a termelési függvény gazdasági-technikai tartalmát). Természetesen a termeléshez t ke (ingatlan, gépek, nyersanyag, energia, pénz, stb.) szükséges, valamint különféle munkaer t is igényelhet (szellemi, zikai munka, különböz szakma, különböz végzettségi szint). Ezek összetettségéb l kapott termelési függvényt nehéz lenne elemezni, így ezeket nagy csoportokba soroljuk, innent l 2 inputtényez vel, a munkával (L) és a t kejavakkal (K) számolunk ezeket nem részletezve. Ekkor a termelés outputja egy Q = f(k, L) alakú függvénnyel írható fel. A függvény triviális módon a pozitív síknegyed pontjaiban ábrázoljuk, hiszen a t kének és a munkaer nek is pozitív értéket kell képviselnie. 3.2. ábra. A t ke és a munkaer lehetséges kombinációinak függvénye. 18
3.1.2. Átlagtermék és határtermék Ennél a résznél jogos kérdés, hogy mi történik a termelés mennyiségével, ha a tényez k összetétele id közben változik (rövidtávot véve alapul)? Ezt a problémát azzal küszöbölik ki, hogy a termelési tényez k összetételét xálják, és a munkaer függvényében változik csak a termelési függvény. Ha nézzük a következ példát egy tetsz leges vállalatra, hogy hogyan változik a termelés az alkalmazott munkaer függvényében, a következ táblázatot láthatjuk: Munkaer Össztermelés Átlagtermék Határtermék (L) (Q) (AP L = Q) L (MP L = Q) L 60 450 7,5 20 70 650 9,3 14 80 790 9,9 8 90 870 9,7 5 100 920 9,2 3.1. táblázat. Össztermelés, átlagtermék, határtermék Mint láthatjuk, hiába van megadva a munkaer höz tartozó termelési szint, ezeket össze kell hasonlítani valami módon, hogy meg tudjuk mondani, ezek közül mennyi az optimális munkaer. Emiatt bevezették a Q/L hányadost, ami megmutatja, hogy 1 munkaer re mennyi termelés esik. Tehát egy tényez átlagterméke (AP - average product) a termelési eredmény és a tényez felhasznált mennyiségének hányadosa (jelen esetben munkatermelékenység). A negyedik oszlopban is láthatunk egy mutatót, a határterméket, amely azt mutatja meg, hogy a munkaer növekedése mennyi extra termelést eredményezett. Vagyis ha 60 f 450 egységet termel, 70 f pedig 650-et, akkor a 10 f nyi növekedés 200 egységnyi gyarapodást eredményezett, sarkalatosan kijelentve olyan, mintha az új munkaer k 20-20 egységgel növelnék a termelést, míg a régiek 'csak' 450 = 7, 5 egységet termelnek adott id alatt. Ezt a 60 határtermék értéket legjobban koordinátarendszerben lehet érzékelni (3.3 ábra). Tehát egy inputtényez határterméke (MP - marginal product) az a szám, amely megmutatja, hogy mennyivel változik az össztermelés, ha az adott tényez felhasználását egységnyivel növeljük. Lényegében a határtermék azt mutatja meg, hogy miként változik az össztermék valamely inputtényez változásával, 19
3.3. ábra. A termelés változása a munkaer függvényében. az input és output adott nagyságáról elmozdulva. Ha megváltoztatjuk az inputot, nem csak az össztermék változik, hanem az összráfordítás is, azaz ezek "együttese", az átlagtermék is változhat. Közgazdasági értelemben az össztermelés Q növekménye a termelés addig elért szintjét, ún. határát meghaladó eredmény. Ez alapján hozzuk összefüggésbe a Q outputot a L növekménnyel, és összességében a "határon lév ", vagyis az utolsóként alkalmazott munkás termelékenységét tekintjük. Ezt az értéket kifejezhetjük pénzben vagy más természetes mértékegységben. 3.1.3. Rövid távú termelési- és határtermék függvény Ha a termelési függvény nél lév példában a t ketényez x, és csak a felhasznált munkaer t tudjuk változtatni, akkor az olyan, mintha valamennyi K i ráfordításnál a függvényt a K i mentén elmetszenénk az LQ síkkal párhuzamosan, vagyis a termelés mennyisége (Q) a munkaráfordítástól (L) függ, amit rövid távú termelési függvénynek neveznek a mikroökonómiában. Ez matematikailag egy parciális függvény. Az el z táblázat is egy rövid távú termelés függvény, mivel a változónk a munkaer volt. A parciális termelési függvény azt mutatja meg, hogyan alakul a termelés egyetlen tényez változásának következtében, feltételezve, hogy minden más tényez változatlan. A termelési függvény valamelyik tényez sze- 20
rinti parciális derivált ja a határtermék, amelynek jele MP i (i az i. tényez re utal). A határtermék megmutatja, hogy az i. tényez mennyiségének egységnyi növelése minden más input változatlansága mellett mennyivel változtatja meg a kibocsátást. Tehát a határtermék termelés- vagy inputváltozás, képletben: MP L = Q. Matematikai értelemben az el z példa nem a pontos kifejezést mutatta be, L hiszen az egységet elég nagynak (10 f ) határoztuk meg, de a való életben nem egyszer találkozunk diszkrét léptékekkel. A 3.1 táblázat példájában tehát nem tudjuk meghatározni, hogy a 10 f s létszámnövekedésben melyik munkás mennyit dolgozott, csupán annyit, hogy L = 80 70 = 10 f és Q = 790 650 = 140, tehát Q L alapján a 70-79. munkás határterméke 14 egység (lásd 3.4 ábra). 3.4. ábra. Az új munkaer kre es fejenkénti termelés. Matematikai viszonylatban a határtermék számítása akkor pontos, ha L 0, vagyis ( ) Q MP L = lim = Q L = Q L 0 L L. Természetesen ebben az esetben a 3.4 ábrával ellentétben nem oszlopdiagrammal ábrázoljuk a határterméket, hanem egy folytonos függvénnyel. Ilyen folytonos eset a valóságban például a k olajnomításnál észlelhet, de a gyakorlatban zömével diszkrét esetek fordulnak el. A tényez határtermékét gyakran nevezik határtermelékenységnek (marginal productivity), az átlagterméket pedig átlagterme- 21
lékenységnek (average productivity). Beszélhetünk a pénz, a föld, a munkaer, a t ke határtermelékenységér l (utóbbi hármat nevezik tényez nek a klasszikus közgazdaságtan képvisel i, Adam Smith és David Ricardo), vagyis hogy hogyan változik, mennyivel n a termelés egységnyi tényez növekedéssel, ha azt az egységet pótlólagosan adom hozzá az eddigiekhez. 3.1.4. A termelési rugalmasság Ezzel a mutatóval azt szeretnénk kifejezni, hogy miként változik a termelés, ha a tényez 1%-kal változik. Ez annyiban fontos, hogy ha egy újságcikkben megírják, hogy valamely cég 3 tonnával növelte a termelését, azt nem mondja meg, hogy teljes viszonylatban ez mekkora mennyiséget jelent (el fordulhat, hogy a cég addigi termelése ugyanennyi volt). Tehát ha nem termelési egységben, hanem a termelés százalékában adják meg a változást, sokkal több információt tudunk meg vele. Tehát a tényez k parciális termelési rugalmassága azt mutatja meg, hogy hány százalékkal változik a termelés az adott inputtényez 1%-os változásának következtében, mialatt a többi tényez konstans. A termelési rugalmasság (elaszticitás) a következ hányadossal határozható meg: ε L = dq/q dl/l, ahol a dq Q a termelés változása százalékban kifejezve, a dl L átrendezve pedig a munkaer változása szintén százalékban kifejezve. Ezt ε L = dq/q dl/l = dq dl : Q L = MP L AP L Tehát a termelési rugalmasság egy tényez adott ponton vett határtermékének és átlagtermékének a hányadosa. 3.1.5. A termelési tényez k hozadéka Ebben az alfejezetben a korábban megismert alapfogalmakat és összefüggéseket használva vizsgáljuk meg a rövid távú termelés törvényszer ségeit, majd a fejezet végén alkalmazzuk egy konkrét példára. Továbbra is feltesszük, hogy a vállalat technológiai feltételrendszere állandó rövid távon, vagyis a parciális termelési függvénye változatlan. A K t ketényez x, 22
az L munkaráfordítás pedig növekedhet. A tényez k és a termék ára küls befolyás alatt áll, a termelés korlátlanul növelhet (a piac nem korlátozza). A parciális termelési függvény hozadéki függvény elnevezése arra utal, hogy azt vizsgáljuk, hogyan változik a termelés nagysága a tényez pótlólagos módosításával, növelésével. Ekkor a változást a tényez hozadékának tekintjük. A következ példán szeretném szemléltetni a törvényeket: T ke Munka Termelés Munka átlagterméke Munka határterméke K 0 L(f /év) Q(kg/év) AP L = Q L MP L = Q L 10 0 0 0 10 1 1000 1000 1000 10 2 2700 1350 1700 10 3 5000 1667 2300 10 4 7000 1750 2000 10 5 8300 1660 1300 10 6 9000 1500 700 10 7 9300 1329 300 10 8 9300 1163 0 10 9 9000 1000-300 3.2. táblázat. Egy üzem adatai. Hogy eljussunk a törvényekig, össze kell hasonlítanunk az összterméket az átlagtermékkel, a határtermékkel, valamint az átlagterméket a határtermékkel. Ehhez segítségül hívjuk ezek grakonjait (lásd 3.5 és 3.6 ábra). A határtermék függvény a termelési függvény növekedési ütemét mutatja, hiszen ez a függvény a termelési függvény deriváltja. Meggyelhet az ábrákon, hogy a termelés szintje egészen addig a pontig n, míg a határtermék pozitív. A termelés L = 8-ban éri el a maximumát, ahol a határtermék értéke 0 (D). Itt a termelési függvényhez húzott érint meredeksége is 0, vagyis vízszintes lenne az érint, a D pont el tt pozitív volt a meredekség, utána pedig negatívvá válik. Meggyelhet továbbá az is, hogy a határtermék függvény L = 3-ig n, eddig a termelési függvénynek nagy a meredeksége, majd ett l a ponttól kezdve lelassul a növekedési ütem, bár még n a termelés. Vagyis az össztermék csökken ütemben n, amikor a határtermék pozitív 23
3.5. ábra. A termelés függvénye. 3.6. ábra. Az átlagtermék és a határtermék függvény és csökken. Ezen jellemzésb l kapjuk meg a csökken hozadék törvényét, mely azt mondja ki, hogy a fokozatosan növelt változó inputtényez határterméke csökken, amennyiben minden más inputtényez változatlan. Ezek alapján a termelésünket tartományokra tudjuk bontani. A Q függvénynek B-ben inexiós pontja van, ami el tt növekv a függvény, utána pedig csökken, ez összefügg a határtermék függvénnyel, ami az F pontig n, F -ben eléri a maximumát, majd elkezd csökkenni. Tehát L < 3 esetén a munka hozadéka növekv, míg 3 < L < 8 esetén pozitív, de már csökken hozadékú, L > 8 esetén a munka már csökken és negatív hozadékú. Ezek voltak a tényez hozadéki szférái. Az össztermék és a munkaráfordítás hányadosa a munka átlagterméke. A 3.5 ábra alapján ki tudjuk számolni, hogy az egyes pontokhoz húzott érint (bármely 24
pontra igaz) meredeksége megegyezik e pontokban az átlagtermékkel. Érdekes eset az OD szakasz, amely nem csak D-n, hanem A-n is átmegy, vagyis nem csak a D pontban 1000 az átlagtermék nagysága, hanem A-ban is. Ez a jelenség addig gyelhet meg, míg el nem érjük a legnagyobb meredekséget, az OC egyenest. Tehát az átlagtermék maximumát a hozadéki függvény origón átmen érint je adja. Ez alapján látható, hogy addig a pontig n az átlagtermék (G), amíg el nem érjük a hozadéki függvényen a legnagyobb meredekséget (OC). E pont után az átlagtermék csökkenni kezd. Ezt a G pontot nevezzük a tényez hozadéki optimumának, mert adott t keráfordításnál az egységnyi munkaráfordítás ekkor eredményezi a legtöbb terméket. Az átlagok természetéb l következik, hogy az átlagtermék szoros kapcsolatban áll a határtermékkel. Ugyanis a termelés folyamatát úgy is felfoghatjuk, hogy az inputnövekedés tulajdonképpen nem más, mint a korábbi össztermeléshez hozzáadódó határtermék. Ennek következtében változik az átlagtermék is. Tehát ha az átlagterméknél nagyobb a határtermék, akkor az átlagtermék n, ha pedig kisebb, az csökkenti az átlagterméket. Ez jól meggyelhet a 3.6 ábrán, ahol a határtermékgörbe a G pontig az átlagtermékgörbe felett van, eddig a pontig az átlagtermék n, innent l pedig elkezd csökkenni. (Az eltérés abból fakad, hogy Maple-ben az adott pontokra illesztett görbe nem teljesen pontos ábrát ad.) Tehát az átlagtermék ott éri el a maximumát, ahol az átlagtermékgörbe metszi a határtermékgörbét. Példa: Legyen Q = 100L 2 20L 3 = f(l) a termelési függvény. Ekkor a határtermék: MP L = dq dl = 200L 60L2, az átlagtermék pedig AP = Q L = 100L 20L 2. A termelés akkor lesz maximális, ha a határtermék 0, valamint D < 0. Q MAX dq = dl 0, vagyis 200L 60L2 = 0 = L 1,2 = { } 0, 10 3. Behelyettesítve az eredeti egyenletbe Q(0) = 0, Q( 10) = 10000 370, 37. 3 27 Q = 200 120L, ebbe behelyettesítve 10 3 -ot D ( 10 ) = 200 < 0, mindkét feltétel 3 teljesül, vagyis L = 10 -ban maximális a termelés. 3 Az átlagtermék maximumának kiszámításához ugyanígy teljesülnie kell a fenti két feltételnek, vagyis ( Q L ) = 0 és ( Q L ) < 0. Ennek megfelel en Q L = 100L 20L2, vagyis az els deriváltja ( Q L ) = 100 40L, ami L = 2, 5-ben teljesül. Ezt behelyettesítjük a második deriváltba, ami a következ : ( Q L ) = 40, vagyis konstans, tehát ugyanazt kapjuk; ez is teljesíti a feltételünket, tehát megkaptuk az átlagtermék maximumhelyét is, az ehhez tartozó függvényérték pedig 25
Q(2, 5) = 100 2, 5 2 20 2, 5 3 = 625 312, 5 = 312, 5. A határtermék (MP L = 200L 60L 2 ) maximuma annyiban módosítja az els számításunkat, hogy eggyel "eltoljuk" a deriváltakat, vagyis MP L = 0 = Q és MP L = Q < 0 teljesüljön. Q = 200 120L = 0 = L = 5 3. Q = 120 < 0 szintén teljesül, ekkor a termelés szintje Q( 5 ) 277, 7 92, 6 185, 1. 3 Ezek alapján ellen rizhet, hogy ha L = 2, 5, akkor AP = Q = 312,5 = 125, L 2,5 a határtermék L = 2, 5-ben pedig MP = 200 2, 5 60 2, 5 2 = 125, tehát valóban az átlagtermék maximumában egyenl az átlagtermék a határtermékkel. 3.1.6. Az isoquant és a határtermék A termelési függvényeket úgy is képzelhetjük, mint egy hegyet. A turistatérképen találunk szintvonalakat, melyek az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat kötik össze. Ilyenekkel találkozhatunk a grakonon is, csak ezeknek a szintvonalaknak a jelentése annyiban módosul, hogy az azonos termelési szinteket jelölik különböz inputkombinációkhoz. Vagyis az isoquant (egyenl termék-görbe) azon pontok mértani helye a termelési függvény felületén, amelyek az inputok adott termelési szinthez tartozó összes lehetséges inputkombinációt jelölik. Természetesen ezeket az isoquant görbéket nézhetnénk egyre nomodó felosztással, és ez végtelen sok görbét eredményezne, ezért csak néhányat szoktak ábrázolni. Egy ilyen szintvonal sorozatot isoquant térképnek nevezünk, ami reprezentálja a termelési függvényt. A 3.7 ábrán két isoquant görbe látható különböz inputkombinációkkal. 3.7. ábra. Egy termelési függvény két isoquantja. 26
Mint látható, az A termelési összetétel (K 1 és L 2 tényez kkel) az I 1 egyenesen helyezkedik el, míg B is K 2 és L 1 összetételb l. Ha például K 1 -hez növeljük L értékét L 2 -r l L 3 -ra, akkor már az I 2 egyenes mutatja a termelés volumenét D-ben. Hasonló a helyzet, ha az L 2 munkamennyiséghez növeljük a t kemennyiséget K 1 -r l K 2 -re, ahol a C pont másik isoquantra esik (csak a véletlen m ve, hogy a K 2 és L 2 metszete pont I 2 -re esik). A C és D termelési programok között látható az az összefüggés, hogy ha csökkentem a D termelési szinthez felhasznált munkaer t, viszont növelem a befektetett t ke mennyiségét, a C termelési programot kapom, viszont ezek egy isoquanton helyezkednek el, vagyis közömbös tényez kombinációk. Hogyan függ össze mindez a határtermékkel? Nézzük a következ ábrát! 3.8. ábra. Kapcsolat az isoquant és a határtermék között A 3.8 ábrán három fontos pontot emeltem ki. Az A pontot nézve észrevehet, hogy itt mindkét tényez határterméke pozitív (MP K > 0 és MP L > 0), hiszen bármely tényez t növelve egy új, nagyobb termelési szint isoquantra térünk át (I 2 -ra). A B pont esetében hiába növelem a munkaráfordítást (közben a t kefelhasználás változatlan), a termelési szint csökken I 1 -re, míg ha a munkamennyiség változatlan, a t kemennyiséget növelve n a termelés I 3 -ra. A C pont ennek ellenkez je, ugyanis ha L munkamennyiség n, akkor a termelés volumene is n ni fog I 3 -ra, míg ha a K t ketényez t növelem, a termelés visszaesik I 1 szintre, ugyanis itt csökken a határterméke L-nek. Tehát addig racionális egy tényez felhasználásának növelése, míg a határtermék pozitív, bár nem ez a f szempont az inputösszetétel szempontjából. A B pontban MP K > 0, C-ben pedig MP L > 0, viszont B-ben MP L < 0, C-ben MP K < 0, amit túlzottan megnövelt tényez nek nevezünk, mert az adott 27
határtermékek negatívak. Ahol a határtermék pozitív, ott az I görbék érint inek meredeksége negatív, míg negatív határtermék esetén az érint k meredeksége pozitív, vagyis az isoquant görbe "visszahajlik". Ez alapján a következ szférákra oszthatjuk az isoquant térképet: - túlzott t kefelhasználás: MP K < 0 és MP L > 0 - túlzott munkafelhasználás: MP K > 0 és MP L < 0 - helyettesíthet ség: MP K > 0 és MP L > 0 Rövid távon változnak az inputok, a vállalatoknak érdemes a túlzott tényez ráfordítást elkerülni. Ám az input rövid távú változása miatt id nként érdemes a negatív határterméket elfogadnia. Például bár csúcsid n kívül lényegesen kevesebb az utas, egy tömegközlekedési cégnek érdemes a napközbeni "pangást" is vállalni, hiszen ez hosszabb távon (csúcsid vel együtt nézve) pozitív határterméket eredményez. Az OF és OG görbéket gerincvonalnak nevezzük (3.8 ábra), melyek behatárolják az isoquant egyes szféráit. A két gerincvonal közötti területet helyettesítési felületnek vagy releváns tartománynak nevezzük, amelyen belül a tényez k határterméke pozitív, vagyis ezen belül egymás rovására is növelhet k, helyettesíthet k azonos output mellett. Ebb l következ en a gerincvonalak és az egyes I görbék metszéspontjaiban a határtermék 0. 3.1.7. A technikai helyettesítési határráta A helyettesítési tartományban mindkét határtermék pozitív, de joggal merül fel a kérdés, hogy mennyivel növeljük az egyik tényez t, ha a másik egységnyivel csökken, és nem akarjuk, hogy a termelés szintje változzon. Diszkrét esetben a technikai helyettesítési ráta (rate of technical substitution): RT S LK = K L Folytonos esetben a következ re változik a képlet: K lim L 0 L = dk dl = MRT S LK A technikai helyettesítési határráta (MRTS - marginal rate of technical substitution) az az arányszám, mely megmutatja, hogy az egyik inputtényez "icipici", végtelen 28
kicsi csökkentésével a másik inputtényez t a csökkentés hányszorosával kell növelni, hogy a termelés szintje változatlan maradjon. Belátható az is, hogy dk > 0, mert dl ha csökkentem az egyik inputtényez t, akkor annak deriváltja negatív lesz, míg a növelt tényez é pozitív, ezek hányadosa szintén negatív, melyet (-1)-es szorzó tesz pozitívvá. Tehát a technikai helyettesítés határrátája az isoquant görbe adott pontjában egyenl az ezen pontban a görbéhez húzott érint meredekségének (-1)- szeresével. Tehát ha egyik pontból a másikba szeretnénk lépni, hogy a t keráfordítás dk mértékben csökken, a munkaráfordítás pedig dl mértékben n, az egyes határtermékek pedig MP K és MP L, akkor dl MP L + dk MP K = 0 dl MP L = dk MP K MP L = dk MP K dl = MRT S LK Ebb l látható, hogy a technikai helyettesítési határráta egyenl az isoquant görbe adott pontjában a két tényez ezen pontban vett határtermékeinek arányával, valamint a tényez k változásarányának (-1)-szeresével. Tökéletes helyettesíthet ség esetén az isoquant görbék egyenesek, s t párhuzamosak, ebb l következ en az M RT S pedig konstans. Ez látható a következ ábrán. 3.9. ábra. Tökéletes helyettesíthet ség isoquant görbéi. 29
3.1.8. A költségvetési egyenlet és az isocost Miután áttekintettük az inputkombinációkra vonatkozó törvényeket, jelenségeket, még mindig nem tudjuk, hogy egy cégnek mi alapján érdemes termelési összetételt választania. Feltételezzük, hogy a cég termelési célja ( Q) adott, így az maradt hátra, hogy meghatározzuk, mely inputkombinációt érdemes választani Q termelési mennyiség el állításához. Költségvetési egyenletnek nevezzük azt a kifejezést, amely a vállalat összköltségét a különböz költségek és ráfordítások függvényeként fejezi ki. Ha a két tényez ára és termelés költségvetése (budget) adott, akkor a költségvetési egyenes negatív meredekség, amely a T C P K és T C P L pontokban metszi a tengelyeket (TC - total cost = összköltség), és a meredeksége P L P K. Ezt a költségvetési egyenletb l kaphatjuk meg, amely a következ : Átrendezve: T C = K P K + L P L. K = L PL P K + T C P K. Ezzel az átalakítással egy egyenes explicit képletét kaptuk, amely azt határozza meg, hogy két input mely kombinációit engedi meg a büdzsé adott árak mellett. Ezt az egyenest isocostnak, vagy egyenl költség-görbének nevezik, amely a teljes költségre (TC-re) utal. Vagyis az isocost egyenes azon pontok mértani helye, amelyek összköltsége megegyezik. Ha módosítjuk a költségvetésünket, az egyenes árarány változik, úgy az egyenes mere- párhuzamosan eltolódik. Amennyiben a P L P K deksége is változik. 3.1.9. Az inputköltség minimalizálása, maximális output A továbbiakban a már ismertetett isoquant és isocost görbék közti összefüggésekre világítanék rá. Ha egy koordinátarendszeren belül ábrázolom e két görbét, meggyeléseket tehetek. Ezeket a következ ábrán szemléltetném. Mint láthatjuk, a 3.10 ábrán két isoquant és két isocost görbe van. A C 1 és C 2 isocost egyenesek érintik az egyes isoquant görbéket, ám C 2 metszi I 1 -t B és C pontokban. Ez azt jelenti, hogy az A, B, C pontoknak megegyezik az el állítási költsége, ám az inputösszetételük különböz termékmennyiséget eredményeznek. B, C 30
3.10. ábra. Minimális költség tényez kombinációk. pontok ugyanazon az I 1 görbén helyezkednek el, vagyis ezekb l az inputösszetételekb l azonos termelési szintet érünk el, míg az A pont egy nagyobb termelési szintet jelent I 2 görbén helyezkedik el, vagyis ugyanazon C 2 költséggel több Q termék állítható el. Tehát ahol az isocost egyenes érinti az isoquant görbét, ott a termelés optimális. Összefoglalva az eddig leírtakat, az optimális tényez kombináció az 3.11. ábra. Az optimális tényez kombináció. a termelési program, amely a lehet legkisebb költséggel biztosítja egy cég számára adott output elérését. Ebb l következtethetünk az alábbiakra: A maximális outputot az adott isocost egyeneshez húzható legnagyobb, az isocost 31
egyenest érint isoquant görbe adja. Minimális az összköltség, ha a tényez k áraránya egyenl a tényez k technikai helyettesítési határrátájával, vagyis P L P K = MP L MP K. Optimális tényez -összetétel mellett az inputtényez k egységnyi költségnövekményére jutó határtermék azonos, vagyis a rájuk költött pénz határterméke egyenl. Ez utóbbit abból kapjuk, hogy MP K P K = MP L, ahol P L P K, P L a tényez k egységára. 3.2. Költségek A termel k, valamint a fogyasztók költségkimutatásai (melyek többnyire diszkrét pontokra vonatkoznak) tulajdonképpen költségfüggvények. Ezen függvények e- lemzése segít a döntésekben, valamint a múltbeli értékek áttekintésével az elveszett kiadásokat feltételekként vehetik gyelembe a jöv ben. 3.2.1. A rövid távú költségfüggvények Mint a leírásokból észrevesszük, ez a téma szoros kapcsolatban áll a termeléssel, az ott ismertetett fogalmakat könnyen transzformálhatjuk a költségekre (C) és a termelés (q) mint független változó viszonyára. Rövid távon a K 0 t ketényez t adottságnak tekintjük, vagyis változatlan, az ehhez tartozó parciális termelésfüggvény q = f(l, K 0 ) volt, ami a költségekre vonatkozóan a változóköltségnek felel meg: V C = g[f(l, K 0 )], amit rövidebben írva V C = g(q, K 0 ). Hosszú távon pedig az össztermelés és az inputok függvényében vizsgáljuk a költségeket, vagyis T C = h[q(k, L)], melyben minden tényez változó. Ez abból adódik, hogy feltesszük azt, hogy rövid távon egy vállalat nem tud jelent sen változtatni a t keösszetételén (felszerelés, technológia). A termelés összköltsége (TC - total cost) rövid távon két költségfajtából tev dik össze: az állandó- (FC - xed cost) és változóköltségekb l (VC - variable cost), képlettel kifejezve T C = F C + V C. A x- és változóköltségek elhatárolása id függ, hiszen minél rövidebb id tartamot veszünk gyelembe, annál több költséget tekinthetünk xnek. A 30 napos felmondási id 30 napnál rövidebb intervallumban tekintve xköltségnek tekinthet, viszont hosszabb távon minden költség változó. Ez abból ered, hogy például a nem 32
m köd gépek is igényelnek karbantartást, vagyis költségek merülhetnek fel a termelés nagyságától függetlenül. A vállalat rövid távon x inputtényez inek folyó költségét állandó költségnek (FC) nevezzük. Ám a termelés változása természetes velejárója az inputtényez k megváltoztatásának, viszont a tényez k felhasználási arányában változni fog a termelés költsége is; a tényez k költsége termelés híján nulla. A költség változása nem áll egyenes arányban a termelés változásával, hanem eltér arányú. A változó költség (VC) tehát a rövid távú termelés függvényében változó inputok költségeinek összege. Az alábbi ábrán egy hozadéki függvény és a hozzá tartozó változó költség függvény kapcsolata látható: 3.12. ábra. Az a) ábrán a hozadéki függvény látható, a b) ábrán a változó költség függvény. A változó költség függvény nem más, mint a változó inputtényez höz tartozó termelési függvény pénzügyi kifejezése. Tegyük fel a példánkban, hogy egységnyi munkaer X egység költségnek felel meg. Az a) ábra azt mutatja, hogy mekkora munkaer mennyiség felhasználásához (L) milyen termelési szint tartozik, míg a b) ábra azt hivatott megmutatni, hogy a termelés növekedése mekkora változó költséget jelent. Leolvashatjuk az ábráról, hogy Q i termelési szint mekkora változó költéseget jelent (Q i L i X = K i ). Vagyis ha a termelésünk Q 1 -r l Q 2 -re n, akkor a változó költség (L 2 L 1 ) X-szel n ni fog. Tehát a vállalat rövid távú költségfüggvénye a rövid távú parciális termelési függvényt fejezi ki költségek formájában. 33
A következ ábra a x-, a változó- és az összköltség függvény kapcsolatát ábrázolja egy x K 0 szint t keköltség esetén. 3.13. ábra. Az összköltség összetétele. Ekkor a termelés szintje [0, Q 3 ] intervallumban mozog. Q 3 a vállalat zikai kapacitásának maximuma; ahhoz, hogy ez az érték nagyobb legyen, a rögzített K 0 szint t keinputot növelni kell, ami már egy újabb parciális függvényt eredményez. Tehát az üzemméret adott. Látható, hogy az összköltség a x- és a változó költség összege, mint azt már a denícióból is tudjuk. A xköltség a termelést l független, így az a termelés tengelyével párhuzamos. Ebb l és a T C = F C + V C egyenletb l következik, hogy az összköltség változását a változó költség alakulása határozza meg. Ha meggyeljük az ábrát, látható, hogy a T C és V C függvények párhuzamosak, a különbségük pontosan F C. Az állandó tényez k nem elhanyagolhatók, hiszen ezek határozzák meg az üzemméretet, vagyis mekkora a maximális Q termelési szint, tehát nélkülük nem lehetne termelni. Ha módosítom az állandó tényez ket, akkor változik a x- és a változó költség is (, valamint az összegük is), emellett a változó költség függvényének alakja is módosulhat a korábbihoz képest. Az I és I pontokban a T C és V C függvényeknek inexiós pontjuk van, ami a függvényt két szakaszra bontja. A Q 2 pont el tt a növekedési ütem csökken (például a Q 1 pontban is), ami azt jelenti, hogy eddig a pontig, azaz a [0, Q 2 ] intervallumon a termelés egységnyi növekedésével a költségek egységnél kevesebbel n nek; a [Q 2, Q 3 ] intervallumon a növekedési ütem növekv, vagyis a termelés egységnyi növekedéséhez 34
a költségek több mint egy egységgel való növekedése tartozik. Sok esetben azonban nem az összköltség érdekes, hanem az egy termékre jutó költség. Egy termék akkor jó, ha az eladási ára több, mint a termelésének a költsége. Ebb l adódnak a következ fogalmak: Az átlagköltség (AC - average cost) az összköltség egy termékre es része adott termelési szint esetén. Képletben: AC = T C. Vagyis egy termék el állításának költ- Q sége függ az el állított mennyiségt l. Az átlagos x költség (AFC - average xed cost) az egy termékre es állandó költség. Képletben: AF C = F C. Ennek a meghatározása egyszer, hiszen rövid távon Q állandó FC értékr l van szó, így a termelt darabszám növelésével az egy termékre es érték folyamatosan csökken, koordinátarendszerben ábrázolva egy negatív meredekség egyenes. Az átlagos változó költség (AVC - average variable cost) az egy termékre jutó változó költség. Képletben: AV C = V C Q. Ha egy vállalat rövid távú termelési függvényének változó inputja L munkaráfordítás, melynek ára konstans P L, akkor a következ t kapjuk: AV C = V C Q = L P L Q = P L 1 Q L 1 = P L AP L Vagyis a munka átlagköltsége nem más, mint az átlagtermék reciprokának és a munka egységárának szorzata. A termelés és a költségek kapcsolatát a határköltség (MC - marginal cost) fejezi ki, ami az az arányszám, ami megmutatja, hogy a termelés egységnyi növekedésével az összköltség hány egységgel változik. Képletben: MC = dt C dq. Hasonlóan az átlagos változó költséghez, itt is észre vehetünk összefüggéseket: MC = dt C dq = dv C dq = dl dq P L = 1 MP L P L, vagyis a határköltség fordítottan arányos a határtermékkel, ha P L konstans. Tehát a határköltség akkor csökken, ha a határtermék n, illetve ha a határtermék csökken, akkor a határköltség n ni fog. A 3.1.2 fejezetben láttuk, hogy AP = MP helyen a munkának optimális hozadéka van. Amennyiben egy tényez ára állandó (jelen esetben P L ), akkor a határtermék és a határköltség fordítottan arányos; hasonlóan igaz ez az átlagtermékre és az átlagos 35
változó költségre. (AV C = V C = L P L = P Q Q L 1Q 1 = P L ) Tehát ha az átlagtermék AP L L n, akkor az átlagos változó költség csökken, valamint ha az átlagtermék csökken, akkor az átlagos változó költség növekedni fog. Ez látható a következ ábrán: 3.14. ábra. a) Átlagtermék és határtermék. b) Határköltség és átlagos változó költség. A termék átlagköltsége (AC) az átlagos x költség (AFC) és az átlagos változó költség (AVC) összege: AC = AF C + AV C. Az átlagköltség függvénye U alakú, mert az átlagos változó költség függvénye U alakú, az átlagos x költség függvénye szigorúan monoton csökken L alakú függvény, így az összegük U alakú lesz. 3.15. ábra. Rövid távú átlagköltségek és kapcsolatuk. A 3.15 ábrán további két fontos összefüggés látható. A határköltség görbe (MC) az átlagköltség- (AC) és átlagos változó költség (AVC) függvényeket a minimumpontjaikban metszi. Az AC = MC pontot az üzem technikai optimumának szokták 36
nevezni, mert ennél kisebb költséggel nem lehet egyetlen terméket sem el állítani adott K 0 mellett. Amennyiben a vállalat célja a munkaráfordítást minimalizálni, akkor az AV C és M C görbék metszéspontjánál lesz az ideális termelési szint. Ezt a munka tényez optimumának szokták nevezni. 3.2.2. Bevétel és prot Minden vállalatnak célja az el állított termékek értékesítése, amelyb l bevételhez jut, ám nem szabad megfeledkezni, hogy a termék el állításánál költségek is felmerülnek az egyes inputtényez kre. A továbbiakban feltételezzük, hogy minden megtermelt árut eladunk, és azonnal kizetik, nem marad követelésünk egy vev vel szemben sem. Így tehát bevételhez (TR - total revenue) jutunk, ami az eladott áruk és szolgáltatások ellenértéke. Mint már a határterméknél meggyelhettük, hogy ha "túl sok" munkaer t alkalmaztunk, egy id után az új munkaer re es termelés csökkenni kezdett. Ez hasonlóképpen történik a bevételnél is, ha egy vállalatnak növekv kínálata van, azt a piac csökken áron fogadja, vagyis egy parabolával írható le, melynek függvénye T R = q P (q), ahol q a termelt mennyiség, P(q) pedig a termelés függvényében meghatározott ár. A határbevétel (MR - marginal revenue) megmutatja, hogy ha egységnyivel növeljük a terméket, mennyivel n az összbevétel. Képletben: MR = dt R dq. Tiszta verseny esetén ez egy lineáris függvény, és a határbevétel megegyezik a piaci árral (MR=P). (Tiszta versenynek nevezzük azt a helyzetet, mikor egy termék el állításában egyetlen termel sincs monopol helyzetben, termékeiket nem lehet megkülönböztetni.) Amennyiben a határbevétel függ a termelt mennyiségt l, az alábbiak szerint módosul: MR(q) = dt R(q) dq = d[q P (q)] dq = P + q dp dq. Természetesen felvet dik az a kérdés, hogy miért nem volt szó eddig az átlagbevételr l (AR- average revenue)? Átlagbevételr l jelen esetben nincs értelme beszélni, hiszen azonos termékünk van azonos áron, így az átlagbevétel meg fog egyezni magával a termék árával (AR=P). 37
Protnak (T π) nevezzük a bevétel és a költségek különbségét, vagyis T π(q) = T R(q) T C(q) = q P (q) T C(q). A maximális prot eléréséhez a széls értékkeresés feltételeinek megfelel en fontos, hogy T π els deriváltja, vagyis a határprot 0 legyen: vagyis: dt R dq dt π dq = T π (q) = dt R(q) dq dt C(q) dq = 0 = dt C, mib l azt kapjuk, hogy MR(q) = MC(q). Következ lépésben dq az vizsgáljuk, hogy a maximumpontban a határprot negatív-e, azaz d 2 T π dq 2 = dt π (q) dq < 0, amib l dm R(q) dq dmc(q) dq < 0, ezért dm R(q) < dmc(q). dq dq Tehát egy vállalat protja akkor maximális, ha a határbevétele és határköltsége egyenl, és a határbevétel változása kisebb mérték, mint a határköltségé. Ezt úgy lehet szemléltetni (3.16. ábra), hogy a határbevétel függvényt "alulról metszi" a határköltség függvénye. 3.16. ábra. A maximális prot elérése 38