A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje

A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje Bozóki Sándor 1,2, Csató László 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 2013. június 11. p. 1/24

Intranzitív dobókockák A valószínűségi változókon értelmezett XRY prob(x > Y ) > 1 2 bináris reláció nem feltétlenül tranzitív. p. 2/24

Előzmények Steinhaus és Trybula (1959) McGarvey (1959) Usiskin (1964) Moon és Moser (1967) Efron (1970)... p. 3/24

Moon és Moser (1967) példája A csapat B csapat C csapat 1. játékos 2 1 3 2. játékos 6 5 4 3. játékos 7 9 8 p. 4/24

Moon és Moser (1967) példája A csapat B csapat C csapat 1. játékos 2 1 3 2. játékos 6 5 4 3. játékos 7 9 8 p. 5/24

Intranzitivitás a pókerben (Schmidt Miklós, 2013) p. 6/24

Oskar van Deventer dobókockái három játékosra p. 10/24

Dobókocka-készlet n játékosra Olyan dobókocka-készlet is konstruálható, amellyel n játékos játszhat: akárhogy is választ kockát az első n 1 játékos, az n. játékos fog találni a megmaradó kockák között olyat, amely az első n 1 játékos kockáinak mindegyikét megveri, azaz 1 2-nél nagyobb valószínűséggel dob vele nagyobbat (B.S., 2013). p. 11/24

Dobókocka-készlet n játékosra Tetszőleges n csúcsú tournament megvalósítása dobókockákkal és a p = 8k + 7 csúcsú Paley-tournament megvalósítása (p 1)/2 oldalú dobókockákkal (Bednay Dezső, B.S., 2013) p. 12/24

A Condorcet-paradoxon (1785) Tekintsünk egy 60 szavazóból álló csoportot, amelynek három jelölt, A, B és C közül kell győztest hirdetnie. Minden szavazó egyértelmű preferenciasorrenddel rendelkezik: A B C : 23 fő; A C B : 0 fő; B A C : 2 fő; B C A : 17 fő; C A B : 10 fő; C B A : 8 fő. Ha a jelölteket páronként hasonlítjuk össze, akkor A B 33 fő, B C 42 fő és C A 35 fő véleménye szerint, ami mindhárom esetben több, mint a szavazók fele. p. 13/24

A Condorcet-paradoxon megvalósítása dobókockákkal Állítás: A P(A = 1) = 333 35 460, P(A = 3) =, P(A = 5) = 828 828 828 ; P(B = 4) = 99 1, P(B = 7) = 100 100 ; P(C = 2) = 23 10, P(C = 6) = 33 33 dobókockák megvalósítják a Condorcet-paradoxonnak megfelelõ valószínűségeket: P(A > B > C) = 23 60 ; P(A > C > B) = 0; P(B > A > C) = 2 60 ; P(B > C > A) = 17 60 ; P(C > A > B) = 10 60 ; P(C > B > A) = 8 60. p. 14/24

A Condorcet-paradoxon megvalósítása dobókockákkal Írjuk fel az A, B, C diszkrét valószínűségi változókat az alábbi paraméteres formában: P(A = A 1 ) = p, P(A = A 2 ) = q, P(A = A 3 ) = 1 p q; P(C = C 1 ) = r, P(C = C 2 ) = s, P(C = C 3 ) = 1 r s; P(B = B 1 ) = t, P(B = B 2 ) = u, P(B = B 3 ) = 1 t u. p. 15/24

A Condorcet-paradoxon megvalósítása dobókockákkal Intuitív alapon és néhány próbálkozás után az P(A = 1) = p, P(A = 4) = q, P(A = 7) = 1 p q; P(C = 2) = r, P(C = 5) = s, P(C = 8) = 1 r s; P(B = 3) = t, P(B = 6) = u, P(B = 9) = 1 t u dobókockákat vizsgáltuk, mert így mindhárom valószínűségi változó felvehet kis, közepes és nagy értéket is, ezért az egyes sorrendek kellően sokféleképpen fordulhatnak elő. p. 16/24

többváltozós polinomrendszer (1 p)rt + (1 p q)(r + s)u = 23 60 (1 p q)st = 0 qr(1 t) + (1 p q)(r + s)(1 t u) = 2 60 pr + (p + q)s(1 t) + (1 r s)(1 t u) = 17 60 q(1 r)t + (1 p q)(1 r s)(t + u) = 10 60 p(1 r)t + (p + q)(1 r s)u = 8 60 p. 17/24

megoldás Maple-lel s szabad változó, t = 0, u = 99 100, 176s 111 p = 12(33s 23), q = 35 36(23 33s), r = 23 33 s. Ha 0 s 111/176 = 0.6306 8 1, akkor 0 p,q,r 1, tehát végtelen sok olyan kockakészlet adható meg, amely reprodukálja a Condorcet-paradoxont. Speciálisan, ha s = 0, akkor p = 333 828, q = 35 828, r = 23 33. p. 18/24

Minimalitás Állítás: A fenti dobókockakészlet a Condorcet-paradoxont megvalósítók közül összoldalszám tekintetében (az egyik) minimális. p. 19/24

Korlátok Steinhaus és Trybula három diszkrét valószínűségi változót (A,B,C) adott meg, amelyekre P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = 5 1 2 0.618. Azt is megmutatták, hogy az aranymetszés arányának reciproka egyben felső korlát a valószínűségekre, ha azok egyenlők: Tétel (Steinhaus, Trybula, 1959): Tetszőleges p > ( 5 1 ) /2 valószínűség esetén nem léteznek A,B,C független valószínűségi változók, amelyekre P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = p. p. 20/24

Korlátok Trybula megvizsgálta azt az esetet is, amikor a P(A > B), P(B > C), P(C > A) valószínűségek nem feltétlenül egyenlők, és felső becslést adott ezek összegére, illetve szorzatára. Tétel (Trybula, 1961): Tetszőleges A, B, C független valószínűségi változókra P(A > B) + P(B > C) + P(C > A) 2, P(A > B)P(B > C)P(C > A) 1 4. p. 21/24

Egy nyitott kérdés Keressük annak szükséges és elégséges feltételét, hogy létezzenek olyan A, B, C független valószínűségi változók, amelyekre P(A > B > C) = p 1, P(A > C > B) = p 2, P(B > A > C) = p 3, P(B > C > A) = p 4, P(C > A > B) = p 5, P(C > B > A) = p 6, 0 p i 1, i = 1, 2,...,6 6 i=1 p i = 1. p. 22/24

Egy nyitott kérdés Ahhoz, hogy egyáltalán paradoxonról beszélhessünk, fel kell tennünk, hogy p 1 + p 2 + p 5 > 1/2, p 1 + p 3 + p 4 > 1/2 és p 4 + p 5 + p 6 > 1/2. Trybula tétele alapján a (p 1 + p 2 + p 5 ) + (p 1 + p 3 + p 4 ) + (p 4 + p 5 + p 6 ) 2; (p 1 + p 2 + p 5 )(p 1 + p 3 + p 4 )(p 4 + p 5 + p 6 ) 1/4 egyenlőtlenségeknek biztosan teljesülniük kell, de szükséges és elégséges feltételek még nem ismertek. Biztató, hogy a Maple parametrikusan is megoldja a fenti egyenletrendszert, ha ismét (legfeljebb) három oldalú kockákkal dolgozunk. Már csak azt kell tisztázni, hogy a megoldások mikor lesznek a [0, 1] intervallumban. p. 23/24

Köszönöm a figyelmet. bozoki.sandor@sztaki.mta.hu http://www.sztaki.mta.hu/ bozoki p. 24/24