Döntéselmélet OPERÁCIÓKUTATÁS
Operációkutatás Az operációkutatás az a tudomány, amely az optimális döntések előkészítésében matematikai módszereket használ fel. Az operációkutatás csak a döntés-előkészítés eszköze, nem egyenlő magával a döntéssel, így az embert nem iktathatjuk ki a döntési folyamatból. Ahhoz, hogy optimális döntéseket tudjunk hozni, a következőkre van szükség: ismerni kell az összes cselekvési lehetőséget; ismerni kell a cselekvési változatok eredményét; és ismerni kell az eredmények preferencia sorrendjét is;
Operációkutatás Az operációkutatás lényeges jegyei: döntéselőkészítő eszköz; a döntéseket valamilyen szempont szerint lehet optimalizálni; a döntés-előkészítéshez matematikai módszer alkalmazható; Operációkutatás segítségével tehát minden olyan probléma megoldható, amely matematikai modellben leírható és analitikailag optimalizálható. Az élet nagy részében a döntéseink esetében nincs lehetőség optimalizálni, ezekben az esetekben leginkább kielégítő döntéseket hozunk. Az információ hiány együtt jár a bizonytalansággal.
Operációkutatás Az operációkutatás ismertebb elméletei/problémái: Szimulációk; Lineáris programozás; Szállítási feladatok; Hozzárendelési feladatok; Sorbaállási feladatok; Hálótervezési feladatok; Lineáris programozás Szállítási feladatok Operáció kutatás Hozzárendel ési feladatok Játékelmélet Hálótervezés Sorbanállási feladatok
Operációkutatási modellek Modell: a valóság nagyjából hű tükörképe (segítségével a valóság egyes, számunkra fontos jellemzőjét ismerjük meg). A cél a legfontosabb tényezők kiemelése. Modellek fajtái: Anyagi és eszmei modellek: Anyagi modellek: alapvetően fizikailag létező modellek. Eszmei modellek: csak gondolati szinten létező modellek. Szimulációs modellek: az időtényezőt is számba vevő modellek. Normatív és leíró modellek: Normatív modellek: bizonyos szabályok betartását feltételezik (minek kellene lenni). Leíró modellek: tényeket és összefüggéseket írnak le (mi van akkor, hogyha). Ilyenek:
Operációkutatási modellek Módszerek szerinti csoportosítás: Verbális modellek: a változókat emberi nyelven tartalmazza. Grafikus modellek: a verbális modellek szemléletesebbé tételére szolgálnak. Ilyenek: Hálótervezési diagram. Döntési fa. Kauzális elemző diagram. Halszálka diagram. Matematikai modellek: szimbolikus nyelven megfogalmazott modellek, amelyben a folyamatelemeket és kapcsolataikat logikai, matematikai jelekkel helyettesítjük.
Operációkutatási modellek Matematikai modellek csoportosítása: Változók közötti kapcsolat alapján: Lineáris. Nem lineáris. Időtényező függvényében: Statikus. Dinamikus. Véletlen szerepe szerint: Determinisztikus. Sztochasztikus.
Lineáris programozás Definíció. Az olyan feltételes szélsőérték-feladatokat, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek, és egy lineáris függvény szélsőértékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük Általánosítások: Ha a feltételek lineárisak, de a célfüggvény nem, akkor nemlineáris programozási feladatról beszélünk. Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.
Kétváltozós LP-feladat grafikus megoldása Lineáris egyenlőtlenség megoldása 3x + 2y 6 Először ábrázoljuk a megfelelő egyenlet megoldásait, pl. tengelymetszet segítségével: 3 Utána el kell dönteni, hogy melyik félsík lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ez legegyszerűbben behelyettesítéssel történhet. 2 Pl. origó: 3 0 + 2 0 6 teljesül Az a félsík a megoldás, amiben az origó van.
Egyenlőtlenség-rendszer megoldása: Tekintem az egyes félsíkok metszetét. Ez lehet: Üres halmaz Egyetlen pont Szakasz Félegyenes Egyenes Konvex sokszög Nem korlátos konvex sokszög
Lineáris programozás Egy lineáris programozási feladat esetén a következő lehetőségek fordulhatnak elő: a lehetséges megoldások halmaza üres; van lehetséges megoldás, de a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán; van lehetséges megoldás, és a célfüggvény korlátos is a kívánt irányból; ekkor kétféle eset lehetséges egyetlen optimum van; több (végtelen sok) optimum van.
A Szimplex módszer A feladat: Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény; Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A; Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b; A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*; n dimenziós sorvektor;
A Szimplex módszer A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő: A x <= b; x >= 0 z = c* x max.! Észrevételek: A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is. Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel. A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.
A Szimplex módszer A lineáris programozási feladat kanonikus alakja a következő: A x = b; x >= 0 z = c* x max.! Észrevételek: Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek; Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.
A Szimplex módszer Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek: A 1 x = b 1 A 2 x <= b 2 A 3 x >= b 3 x >= 0 z = c* x max.!.
A Szimplex módszer Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira: A 1 x = b 1 A 2 x + E q u = b 2 A 3 x - E r v = b 3 x >= 0; u >= 0; v >= 0 z = c* x max.!.
A Szimplex módszer A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:
A Szimplex módszer Az algoritmus lépései: A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív; Ha van c j > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk; Megkeressük azt a a k,j > 0 számot, amelyre az x k /a k,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem; Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással; Az eljárást az elejével folytatjuk.
A Szimplex módszer Megállási feltétel: Nincs c j > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást; Bár még van c j > 0, de ebben az oszlopban minden a k,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás
Nagy M módszer A szimplex módszer alkalmazásánál egy x lehetséges bázismegoldástól kell elindulnunk. Ugyanúgy, mint lineáris programozásban, előfordulhat, hogy a feladat Aj vektorai közül könnyen ki lehet választani olyanokat, amelyek m vektorból álló lineárisan független vektorrendszert alkotnak. Ebben az esetben nincs akadálya a szimplex módszer "beindításának". Vannak olyan speciális hiperbolikus programozási feladatok, amelyeknél az induló lehetséges bázismegoldás meghatározása nem okozhat nagy gondot. Azonban leggyakrabban nem ismeretes a megadott feladatnak egyetlen bázismegoldása sem. Ez utóbbi esetben alkalmazhatjuk Nagy M módszert.
Nagy M módszer A megoldáshoz az első lépés, hogy az egyenlőtlenségeinket egyenlőségekké alakítjuk, vagyis minden egyenlőtlenséghez hozzáadunk egy olyan változót, aminek az értéke pont annyi, amivel az egyenlőtlenség egyenlőségé változik. Tehát az eredeti LP egyenlet helyett, σn j=1 Z x = σn j=1 c j x j max, a ij x j = b j, ahol i = 1,2, m és x j 0, ahol j = 1,2,, n.
Nagy M módszer a következő M feladat kell megoldani: n σ j=1 n Z x = σ j=1 c j x j max, a ij x j + x n+j = b j, ahol i = 1,2, m és x j 0, ahol j = 1,2,, n + m. ahol x n+i, i = 1,2,, n + m, mesterséges változók Az új feladathoz tartozó A együtthatómátrix a következőképpen fog kinézni: a 11 a 1n 1 0 0 A = 0 1 0 a m1 a mn 0 0 1 A mérete m sor és n+m oszlop.
Szállítási feladat Ez egy speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből a 1, a 2,, a m mennyiséget tárolnak. Adott továbbá n felvevőhely, amelyek b 1, b 2,, b n mennyiséget igényelnek ebből a termékből. Egységnyi terméknek az i-edik telephelyről a j-edik felvevőhelyre való szállítási költsége c ij -vel legyen jelölve. Jelölje továbbá x ij az i-edik telephelyről a j-edik felvevőhelyre szállítandó egyelőre ismeretlen mennyiséget. i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n
Szállítási feladat Feltesszük, hogy m a i = i=1 n j=1 azaz, hogy a tárolt áru összmennyisége megegyezik az igényelt áru összmennyiségével. Ez nem jelenti az általánosság megszorítását, hiszen vagy fiktív telephely, vagy fiktív felvevőhely beiktatásával mindig elérhető az előbbi egyenlőség. Olyan szállítást kell megvalósítanunk, amelynek során minden telephelyről minden árut elszállítanak, az egyes felvevőhelyek igényeit kielégítik, és ezt mind úgy teszik, hogy az összszállítási költség minimális. b j
Szállítási feladat A szállítási problémát matematikailag a következőképpen fogalmazhatjuk meg: Legyen adott egy c 11 c 1j c 1n C = c i1 c ij c in c m1 c mj c mn m n-es mátrix, a költségmátrix. Legyenek továbbá adva az illetve a 1 0,, a m 0( tárolt mennyiségek) b 1 0,, b m 0( igényelt mennyiségek)
Szállítási feladat melyekre a m a i = i=1 teljesül. Meghatározandók az olyan x ij mennyiségek, amelyek eleget tesznek a feltételeknek, σn j=1 σ m i=1 n j=1 b j x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n
Szállítási feladat s amelyekkel a m n c ij x ij i=1 j=1 költségfüggvény felveszi a minimumát. A szállítási probléma egy minimum lineáris programozási feladat.
Megoldási módszerek Szimplex módszer m*n változós speciális termelésprogramozási feladat. (hosszadalmas, nehézkes) lásd lineáris programozás általános esete. Disztribúciós módszer induló megoldás meghatározása után optimalizálás
Disztribúciós módszer 1. Induló program készítése 2. Értékelés, hogy optimális-e (a hurok módszerrel) 3. A program javítása, ha még nem optimális. (Ismétlés addig, amíg nem az) 4. Módosítás megváltozott feltételeknek megfelelően. (Ahol szállítunk azt kötött elemnek, ahol nem szállítunk azt szabad elemnek hívjuk. A kötött elemek száma megegyezik a sorok+oszlopok száma-1-el.)
Induló programok Északnyugati sarok módszer Az adott eljárás nem használja a megoldandó feladathoz tartozó C = cij m n költség mátrixot. Legkisebb költségű helyek választása Frekvenciák módszere Vogel-Korda módszer
Induló program javítás Hurok módszer Lényege: megvizsgáljuk, hogy áttolhatunk-e bizonyos szállítandó mennyiséget magas költségű kötött helyről alacsonyabb költségű szabad helyre. Potenciálok módszere Lényege: a költségmátrix soraihoz is és oszlopaihoz is egy-egy számot rendelünk (ezek a potenciálok) úgy, hogy a két potenciál összege minden esetben egyenlő legyen az illető sorban és oszlopban lévő kötött elemmel.
Rendkívüli esetek. Degeneráció az indulóprogramban. Előfordulhat, hogy az indulóprogram meghatározásakor egy elem sorának és oszlopának aktuális kapacitása megegyezik. Ilyenkor csak a sorát vagy az oszlopát húzzuk ki, a másik kapacitása nulla lesz. Ilyenkor biztosan szükség lesz egy olyan viszonylat kiválasztására, amelyben nulla mennyiségű árut szállítunk. Degeneráció menet közben. Előfordulhat, hogy egy javításkor egy hurokban több helyen is megjelenik a szűk keresztmetszet. Fontos viszont, hogy ilyenkor csak az egyiket vegyük ki a programból, a másikat hagyjuk benne nulla szállított áruval. Mindkét előző esetben előfordulhat, hogy az optimális megoldás már nem lesz degenerált, de az is lehet, hogy az marad. Alternatív optimum. Ha a mátrixban nincs negatív elem, de szabad elemnek megfelelő helyen is van benne nulla, akkor szállítási feladatnak alternatív optimuma van. Ezt úgy lehet megtalálni, ha a "javítást" ennél a szabad elemnél végezzük el. Eltérő kereslet és kínálat. Ha pl. nagyobb a kereslet, mint a kínálat, akkor egy névleges feladóhelyet iktatunk be, akkora kapacitással, minta amekkora a túlkereslet. Azokat az igényeket, amiket innen kellene kielégíteni az optimális megoldásban, nem elégítjük ki. Tiltott viszonylatok. Ha egy feladóhely és egy rendeltetési hely között tilos a szállítás, akkor oda végtelen költséget kell írni. Ilyenkor szokás szerint c =. Korlátozott útvonal. Előfordulhat, hogy egy viszonylatban szállíthatunk ugyan, de csak korlátozott mennyiségben
Hozzárendelési feladat Feladat meghatározása Speciális szállítási feladat, ahol az elszállítandó mennyiség mindenhol egyformán 1 egység. Vagyis létezik n alkalmazott, m feladat és m = n. A feladatokhoz tartozó költségmátrix: C = c 11 c 1j c 1n c i1 c ij c in c m1 c mj c mn Célunk a feladatok olyan kiosztása az alkalmazottaknak, hogy minden alkalmazott egy feladatot kapjon, és minden feladat el legyen látva, úgy hogy ez összessé-gében a legkisebb költséggel teljesíthető legyen.
Hozzárendelési feladat Megoldási módszerek: Szimplex módszer m*n változós speciális termelésprogramozási feladat. (hosszadalmas, nehézkes) lásd lineáris programozás általános esete. Disztribúciós módszer induló megoldás meghatározása után optimalizálás (hosszadalmas, nehézkes) - lásd szállítási feladat. Magyar módszer független nullák keresése, majd javítás.
Hozzárendelési feladat 1. a táblázat redukálása sor/oszlop minimumok segítségével. 2. független nullák keresése 3. ha nincs elég független nulla, akkor javítás keresése.
Hozzárendelési feladat Független nullák keresése: 1. Jelöljük meg azokat a sorokat/oszlopokat amiben csak egy nulla van. 2. Válasszuk ki az egyik ilyen nullát, és húzzuk ki a sorát vagy oszlopát egy fedővonallal. (Ha sorban találtuk a nullát akkor az oszlopot, ha oszlopban akkor a sort.) Hiszen azok a nullák már nem választhatóak mert akkor nem lesz független. 3. Csináljuk az első 2 lépést addig, amíg nincs meg az n db független nulla, vagy nincs már választható nulla.
Hozzárendelési feladat Javítás keresése: Ha nincs meg az n db független nulla, akkor javítást kell alkalmazni. 1. Meg kell nézni, hogy a le nem fedett költség között mennyi a minimális érték. (MIN) 2. A le nem fedett elemekből le kell vonni a MIN értékét 3. A kétszer lefedett elemekhez hozzá kell adni a MIN értékét. 4. A többi elemet változatlanul leírjuk. Utána újra független nullák keresése, amig meg nem találtuk az optimumot.
Hálótervezés A munkafolyamatot részekre, tevékenységekre bontják. Rögzítik a fontosabb, állapotokat ezeket eseménynek nevezzük. Feltárják a tevékenységes (események) közötti soros ill. párhuzamos kapcsolatokat, majd ábrázolják egy gráfnak megfelelően. A tevékenységekhez időtartamot, erőforrás adatokat, stb. rendelnek, s elvégzik a konkrét modellre vonatkozó számításokat. A terv alapján megszervezik a munkafolyamatot. Végrehajtás közben aktualizálják a hálót úgy, hogy a tervezett végrehajtási idő lehetőleg ne növekedjék.
A hálós módszerek osztályozása Számszerűsítés szerint: Logikai: ha csak kapcsolatokat fejez ki. Technikai: ha számszerű adatokat, súlyokat is tartalmaz. Az alkalmazott gráf szerint: Esemény orientált: ha a gráf pontjainak az események ábráit feleltetik meg (CPM, PERT). Tevékenység orientált: ha a gráf pontjainak a tevékenységek ábráit feleltetik meg (MPM). Meghatározottság szerint: Determinisztikus: ha adatfajtánként egyetlen, határozott determinált adatot rendelnek a tevékenységekhez (CPM, MPM). Sztochasztikus: ha az adatoknál a véletlen hatását is számításba veszik (PERT).
CPM Critical Path Method Tervütemháló definíciója: 1. Az irányított gráfnak 1 db kezdő és 1 db végpontja van. 2. Nem tartalmaz irányított kört. 3. A kezdőpontból minden egyes esemény elérhető. 4. Bármely közbülső ponttól a végpontig el lehet jutni. 5. Nincs párhuzamos él. A háló megszerkesztésekor szükség lehet ún. látszat-tevékenység felvételére, amelyhez 0 végrehajtási idő tartozik
Látszattevékenységek nem lehet párhuzamos él 2 pontot nem köthet össze 2 tevékenység 1 A B 2 3 2 helyett 2 A 2 0 1 B 3 az A tevékenység egy része B-vel párhuzamosan működik - látszat 3 A 1 A 2 a D tevékenység A-tól és B-től, a C csak az A-tól függ. látszat B A C látszat B D
Tevékenységek tartalékideje Négyféle időtartalék van. 1. Maximális (teljes) tartalékidő m ij =q j p i t ij ennyivel később kezdhető meg a t ij tevékenység az i- edik esemény legkorábbi megvalósulása után, hogy a j- edik esemény legkésőbbi megvalósítási határidejét még biztosítsa. 2. Szabad (saját) tartalékidő s ij =p j p i t ij ennyivel később kezdhető meg a t ij tevékenység az i- edik esemény legkorábbi megvalósulása után, hogy a j- edik esemény legkorábbi megvalósulását ne késleltesse.
Tevékenységek tartalékideje 3. Biztos (minimális) tartalékidő b ij =p j q i t ij ennyivel később kezdhető meg a t ij tevékenység az i-edik esemény legkésőbbi megvalósítási határideje után, hogy a j-edik esemény legkorábbi megvalósítását biztosítsa. 4. Feltételes időtartalék f ij =q j q i t ij ennyivel később kezdhető meg a t ij tevékenység az i-edik esemény legkésőbbi megvalósítása után, hogy a j-edik esemény legkésőbbi megvalósítását biztosítsa.
PERT módszer Program Evaluation and Review Technique Program értékelési és felülvizsgálási technika szintén eseményorientált, az esmények a gráf csomópontjai, a tevékenységek a gráf élei. ez egy valószínűségi sztochasztikus háló. Minden (i,j) tevékenységhez 3 időt adnak meg, s ezt a 3 becsült időt tekintik a számítások alapjának:
PERT módszer Optimista időbecslés: Reális időbecslés: Pesszimista időbecslés: o ij r ij p i A három becsült időtartamra: o ij < r ij < p ij r ij a legvalószínűbb időtartam Annak valószínűsége, hogy a tényleges időtartam o ij -nél kisebb, vagy p ij -nél nagyobb, gyakorlatilag 0. ún. béta.eloszlás
PERT módszer Az egyes tevékenységek várható időtartama: t ij t ij o ij 4r 6 ij p ij Innentől kezdve a kritikus út meghatározása visszavezethető a CPM módszerre, az így meghatározott kritikus utat várható kritikus útnak nevezzük.
Ellenőrző kérdések 1. Mutassa be a lineáris programozást! 2. Mutassa be a grafikus módszer lényegét! 3. Mutassa be a szimplex módszer lényegét! 4. Mutassa be a szállítási feladatokhoz kapcsolódó különböző indulóprogramokat! 5. Mutassa be a magyar módszer lényegét!