Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00.
Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = - f) log 5 0,04 = - g) log 7 9 = h) log = -. ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) 5 = 4 c) - = 8 d) e) 4 = 9 4 f) g) 7 = 64 = 9 = h) = 0,5. ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log 5 d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log.
4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = - c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = - f) log 0, f = - g) log g = h) log 5 h = -. 5) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = - d) log d 5 = e) log e 0,5 = f) log f = 0 g) log g = h) log h 5 =. 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét! log 4 a) b) 0 lg 8 log ( 5) c) 5 5 d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log 4 5 7 log 5 log log 49. 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg (5 x) c) log 5 x d) log 5 5 x
e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg. x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9]. 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, 5 d) log 7 4 vagy log7 5 9 e) log 4 vagy log 4 6 9 f) log vagy log. 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = - x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) +. ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = 5bc b) x = a b 4
ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b 5 a h) x =. b ) Fejezd ki x értékét! a) lg x = lg,4 + lg 5 b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg 5 c) lg x = lg lg 8 d) lg x = - lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg 5 f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg 5 h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg. ) Fejezd ki x-et a és b segítségével! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0,5 lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b). 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg 5 + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log 7 7 + log 7 e) lg 676 + lg 5 lg f) lg + 6 lg 5 + lg 8 lg 5
g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04. 5) Határozd meg a következő hatványok számértékét! lg 5 a) 0 + log b) lg 5 c) 0 5 lg d) 00 log + log e) log5 4 log5 7 f) 5 log log 4 g) 0,5 h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg(5 x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ). 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 5 x = d) log (x + ) = - e) log (x 6x + 8) = f) log 8 5 x = - g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0.. 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log 5 c) log 7 (x 5) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) 6
f) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) g) lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7). 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 c) log x log x = d) log x + log x = 8 e) log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x ) = 7 f) log 9 (x + ) log 7 (x + ) = g) log x + log x =. 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x 5) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0. x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba 00000 forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra. Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire 50000 forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára 40000 forint. A gép értéke 0%-kal csökken évente. A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7
Megoldások ) a. = 9 b. = 4 c. 7 = d. 0 = 0 e. 0 - = 0 f. 5 - = 0,04 g. 7 = 9 h. ( ) =. = 5 ) a. log 7 49 = b. log 4 = 5 c. log 8 = - 4 d. log = 9 e. log 64 = - 4 f. log 9 = g. log 7 = h. log 0,5 = 0,5 =. 8 ) a. lg 000 =, mert 0 = 000 b. lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c. log 5 = 0, mert 5 0 = d. log nem értelmezhető, mert x = (x R) e. log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f. log 49 = -, mert = 49 7 7 g. log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h. log =, mert ( ) =. 8
4) a. a = 4 = 6 b. b = 0 - = 000 = 0,00 c. c = = 9 d. d = e. e = 4 7 = 49 f. f = 0, = g. g = h. h = 5 = 5 = 5 = = 9 = =. 5 5 5) a. a = 7 a = b. b = 4 b = c. c - = 7 c = d. d = 5 d = 5 e. e = 0,5 e = 7 f. nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\{0}) g. g = g = = = 8 h. h 4 = h =. 5 5 6) log 4 a. = 4 b. 0 lg 8 = 8 log ( 5) c. 5 5 nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d. e. f. g. 9 4 7 log 4 5 7 log log 5 = 5 log = ( ) = ( ) log = ( ) log 5 log log = ( ) = 5 = 5 = ( ) log = = = 4 = 9
h. 7 log 49 = log 49 49 = ( ) log 49 49 = =. 7) 7 7 a. (x 7) > 0 x >, azaz: É.T.: x b. (x + 6) > 0 - < x és (5 x) > 0 x < 5, azaz: É.T.: x ]-5[ 5 5 c. 5 x > 0 x <, azaz: É.T.: x 5 5 d. 5 x > 0 x, azaz: É.T.: x R\ e. (x 4) > 0 x 4, azaz: É.T.: x R\{4} 7 7 f. > 0 x 7 > 0 < x, azaz: É.T.: x x 7 g. x 8x + > 0 x < vagy 6 < x, azaz: É.T.: x ]- [U ]6 [ h. x 4 > 0. eset: x 4 > 0 és x > 0 - < x. x. eset: x 4 < 0 és x < 0 < x <. Így: É.T.: x ]- -[U ][. 0
8) a. f(x) = log x É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan b. f(x) = log x + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) É.T.: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan c. f(x) = log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x = - Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan
d. f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan e. f(x) = -log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre É.T.: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan f. f(x) = log (x) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan
g. f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h. f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása - egységgel az y tengely mentén v(0-) É.T.: x ]9] É.K.: y ]- ] Zérushely: x = 5 Monotonitás: szig. monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. < 6 log < log 6 b. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. > log < log c. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 4 < 5 log 0, 4 > log 0, 5
d. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. > log7 > log7 4 5 4 5 e. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 9 9 > log 4 < log 4 6 9 6 9 f. log < és log > log < log. 0) Az egyenletek bal oldalából képezzük az a(x) függvényt, jobb oldalából a b(x) függvényt, majd ábrázoljuk grafikonjukat közös koordináta-rendszerben. a. log x = Az ábráról leolvasható megoldás: x = 9, más megoldás nincs. b. log x = -x + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. c. log x = - x + Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x =, más megoldás nincs. 4
d. log x + = x Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x = 9, más megoldás nincs. e. log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása. f. log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x = 5, más megoldás nincs. g. log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. 5
h. log x = log (x ) +. Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \{}. a. log k x = log k 5 + log k b + log k c b. log k x = log k a + log k b c. log k x = log k + log k a + log k b log k d. log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T a ab a( a b) e. =, log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c bc bc f. log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g. log k x = log k a + logk b h. log k x = 5 logk a log k b. ) a. lg x = lg (,4 5) = lg 6 x = 6 b. lg x = lg ( 4 5) = lg 5! = lg 0 x = 0 44 c. lg x = lg = lg = lg 8 x = 8 8 8 d. lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = 49 49 e. lg x = lg f. lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = 5 5 7 = lg = lg x = 8 9 9 8 5 4 5 g. lg x = lg = lg 7 h. lg x = lg 4 4 = lg x = 00 6 4 = lg x =. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a. lg x = lg ab x = ab ab ab b. lg x = lg x = c c 6
a c. lg x = lg bcd a x = bcd d. lg x = lg a b x = a b e. lg x = lg a b x = a b (= 6 6 6 a b = a b ) f. lg x = lg a a a = lg x = b b b g. lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h. lg x = lg (a b) x = a b, (a > b). = lg a b x = a b 4) a. lg 5 + lg 4 = lg 00 = b. log 7 log 7 = log 7 = log7 7 = 7 c. log 6 + log 6 7 log 6 = log 6 = log 6 6 = d. log 7 7 + log 7 = + = e. lg 676 + lg 5 lg = lg 676 5 = lg 6 6900 = lg 0 = 5 8 4 5 8 f. lg + 6 lg 5 + lg 8 lg = lg = lg = 9 = lg 000 = 4 g. log 4 + log log 9 log 6 + log = log 9 6 78 = log = log 44 = h. log 7 log 04 = 0 = 0. = 5) a. 0 -lg 5 lg 5 = ( 0 ) = 5 - = 5 b. + log = log = 7 = 54 c. 0 lg 5 0 0 0 = = lg 5 = vagy 0 -lg 5 = 0 lg 0 lg 5 lg = 0 5 = 0 lg = 0 5 5 lg 00 00 00 d. 00 = = = 5 = 6 lg 5 lg 00 5 0 4 log + log log e. = log log = = vagy log = = log 4 4 5 log5 4 log5 7 5 4 log 5 4 f. 5 = = log5 7 = vagy 5 7 = = 5 7 7 7
g. 0,5 h. = 4 log log 4 6 = 9 log log + = = 4 log log 4 log = = 5 =. log log 4 log log 4 = ( ) = ( ) log = = log 4 log ( ) log = = 6) a. 0 < x É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. x = É.T., más megoldás nincs b. x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs c. x > 0 x 0 és 0x 4 > 0,4 < x É.T.: x ],4 [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 0x 4. Az egyenlet megoldása x = 4 és x = 6, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x és x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - É.T.: x U ]- [ (másképp: x \{-}). log( x + ) = log (x + ) = log (x + ). log(x + ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = 0 É.T., más megoldás nincs e. x > 0 x 0 és x > 0 É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x. Az egyenlet azonosság, megoldása x R + f. 5 x > 0 x < 5 és x > 0 < x és lg (x ) 0 x É.T.: x ][U ]5[, (másképp: x ] 5 [\{}). lg(5 x ) = lg (5 - x) = lg (x ). lg( x ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x = (x ). 7 Az egyenlet megoldása x = + 7 megoldása x = + É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat 8
g. + x > 0 - < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = (x + ). Az egyenletnek nincs megoldása h. x + > 0 x - és x + > 0 - < x É.T.: x U ]- [, (másképp: x \{-}) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = - 4 É.T., más megoldás nincs. 7) a. 0 < x É.T.: x R +. log x = log x = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 4. x = 4 É.T., más megoldás nincs b. x 4 > 0 4 < x É.T.: x ]4 [. log 7 (x 4) = log 7 (x 4) = log 7 7. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 4 = 4. Az egyenlet megoldása x = 47 É.T., más megoldás nincs 5 5 c. 5 x > 0 x É.T.: x R\. log 9 5 x = log9 5 x = log 9 9. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 9 5 x =. Az egyenlet megoldása x = és x = 8, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x É.T.: x. log (x + ) = - log (x + ) = log -. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + =. Az egyenlet megoldása x = - 4 5 É.T., más megoldás nincs e. x 6x + 8 > 0 x < vagy 4 < x É.T.: x ] [ U ] [ 4. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log (x 6x + 8) = log (x 6x + 8) = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 6x + 8 =. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek
5 5 f. 5 x > 0 x < É.T.: x. log 8 5 x = - log8 5 x = log 8 8. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x =. 9 404 Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 4 g. x + 8 > 0-4 < x és x + > 0 - < x és x + x 0 É.T.: x ]-0[U ]0 [. log x+ (x + 8) = log x+ (x + 8) = log x+ (x + ). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ). Az egyenlet megoldása x = - 7 É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat megoldása x = 7 h. Az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük. A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64. Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek. 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a. x > 0 É.T.: x R +. lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs b. x > 0 É.T.: x R +. log x = log + log 4 + log 5 log = log ( 4 5). x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40. x Az egyenlet megoldása x = 40 9 É.T., más megoldás nincs c. x 5 > 0 5 < x és x > 0 x < és 0 < x É.T.={}, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d. x > 0 < x és x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x ] [. log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8]. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek 0
e. x 4 > 0 4 < x és x + > 0 - < x és 5x + 4 > 0-5 4 < x É.T.: x ]4 [. lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (5x + 4). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = 5x + 4. Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = 8 É.T., tehát a feladat megoldása x = 8 f. x + > 0 - < x és x + 8x + 6 > 0 x -4 É.T.: x. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) log 5 (x + ) = log 5 x + 8x + 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6. Az egyenlet megoldása x = 8 57 + É.T. és x = 8 57 É.T., tehát a + 57 feladat megoldása x = 8 8 8 g. 5x 8 > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x 5 5. lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( 5x 8)(x + ) = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( 5x 8)(x + ) = 6. 5 Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = É.T., tehát a feladat 5 megoldása x = 5 h. x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - és x 7 > 0 7 < x É.T.: x ]7 [. log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 É.T. vagy log (x + ) = 0 x = - É.T. (Megjegyzés: ezen eset vizsgálata szükségtelen, hiszen az É.T. miatt kizárt). A feladat megoldása x = 8. logc b 9) Használjuk fel, hogy log a b =, ahol a, b, c R +, a, c. logc a a. 0 < x É.T.: x R +. log x + log 4 x = log log x + x = log 4 log x + log x = 6. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs
b. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 log5 ( x + ) log 5 (x + ) + =,5 log5 5 log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs c. 0 < x É.T.: x R +. log x log x = log x log log x = log x log x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs d. 0 < x É.T.: x R +. log x + log x = 8 log x + log x = log 8 log x + log x = 9. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 5 e. x > 0 < x É.T.: x ] [. log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x )= 7 log5( x ) log5( x ) log 5 (x ) + + = 7 log5 5 log5 65 4 log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 5 (x ) = 8. Az egyenlet megoldása x = 68 É.T., más megoldás nincs f. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 9 (x + ) log 7 (x + ) = log (x + ) log (x + ) = log 9 log 7 log (x + ) log (x + ) = 6. Az egyenlet megoldása x = 64 É.T., más megoldás nincs g. x > 0 és x É.T.: x ]0[U ] [. log x + log x = log + log x = log x + (log x) = log x. Vezessünk be új ismeretlent: a = log x. Így az egyenlet + a = a a =.
log x = x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs. 0) a. x + > 0 -< x és x + > 0 - < x É.T.: x. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: x + > x +. Az egyenlőtlenség megoldása: x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x 5 5 b. x 5 > 0 < x és 6 x > 0 x < 6 É.T.: x 6. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért: x 5 6 x Az egyenlőtlenség megoldása: x. 5 Az értelmezési tartománnyal összevetve x c. 7 + x > 0-7 < x és x > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. log (7 + x) + log (x ) log (x + ) log [(7 + x) (x )] log (x + ). A alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (7 + x) (x ) (x + ). Az egyenlőtlenség megoldása: -6 x 4. Az értelmezési tartománnyal összevetve x ]4] d. 7x > 0 < x É.T.: x 7 7. log 7 (7x ) < log7 (7x ) < log 7. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: 7x <. Az egyenlőtlenség megoldása: x < 7 4. e. 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x 7 7 x > 0 - < x < É.T.: x x +. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett választható a gyökök ellenőrzése.) x x log < 0 log < log x + x +. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért:
x >. x + Az egyenlőtlenség megoldása: - < x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x. ) a. 00000,06 n 50000,06 n,75. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,75 lg,06 n lg,75 n. lg,06 Az egyenlőtlenség megoldása: n 9,6. Legalább 0 évnek kell eltelnie, hogy 50000 forintunk legyen b. 40000 0,9 n 40000 0,6 0,9 n 0,6. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg0,6 lg 0,9 n lg 0,6 n (negatív számmal osztottunk!). lg0,9 Az egyenlőtlenség megoldása: n 4,8. Legalább 5 évnek kell eltelnie, hogy a gép értéke az új árának 60 %-át érje. 4