em látszik, így em is et áryékot. Az m < 0 értékekhez tartozó x, y kooriátákat üres karakterrel célszerû helyettesítei. A számításokat a táblázatkezelô mukalapjá éremes úgy szerezi, hogy a t iô függéyébe és a 3 7 δ ekliációal, mit paraméterrel számoluk. A apóra mûköési korlátját jeletô A α <90 láthatósági korlátot is az m < 0 feltételhez hasolóa be lehet iktati. A hiperbolák egyei kirajzoltatásához kissé ehézkes móo, még egy külö létrehozott táblázatba kell bemásoli a megfelelô helyrôl ett t, x, y aatokat, ha em elégeük meg az óraoalako léô függéypotok látáyáal. Ebbe egy-egy skálaoalhoz (t iôparaméterhez) kell hozzáreeli a 3 7 ekliáció 3 7 arab x függetle áltozóját és ezekhez a 3 7 arab y (x ) függô áltozót. A táblázatkezelôt ezek utá már rutimûeletekkel lehet rajzolásra bíri. A láthatósági feltétel miatt e másoik táblázatak azokat a sorait, amelyekbe az üres karakterek jeleek meg, em töröli, haem ieigleese elrejtei kell. A siófoki móló léô Agyal szobor talapzatára került apóra (lás a címlapot) skálájához haszált Excelrajzot, mit a kiitelezés alapját, az. ábra mutatja. A apóra az itáliai reszerû számozásokhoz hasoló, e egyeletes óraközökkel és fekete szíû skálaegyeesek segítségéel az északok hosszához igazoóa azt mutatja, hogy háy óra a még hátra a Nap leyugásáig. A téli és a yári apforulók közti szíes hiperbolaíek, a Nap északok szeriti mozgásához igazoóa az éppe eseékes hóapok/apok leolasását (agy máskét értelmeze: a Nap éppe iôszerû ekliációjáak mértékét) teszik láthatóá. A körülbelül 60 60 cm méretû apóra felszerelését a 2. ábra ábra mutatja. Iroalom Molár J.: A apórákról. Kairos, uapest, 202. A FIZIKA TANÍTÁA A MAXWELL-EGYENLETEK INTEGRÁLI ALAKJA IDÔEN ÁLTOZÓ FELÜLETEK EETÉN I. RÉZ Gäig Péter ELTE Fizikai Itézet A klasszikus elektroiamika töréyeiek matematikai megfogalmazásáal ismerkeô egyetemi hallgatók elôtt jól ismert, hogy ezek a töréyek kétféleképpe, iffereciális és itegrális formába is megahatóak. Emlékeztetôül (a ákuumbeli esetre szorítkoza): illete F F Γ i E, () i 0, (2) rot E rot μ 0 j E F, (3) μ 0 E, (4), ( ) F 0, (2 ) E r t F, (3 ) Γ r μ 0 j F μ 0 t E F. (4 ) A feti itegrálokba F egy tetszôleges térfogatot határoló zárt felület, Γ peig egy tetszôleges felület zárt határgörbéje. (A zárt felület ormálektorait kifelé iráyítjuk, az felület iráyítása ökéyes, e a Γ görbe iráyítottsága a jobbkézszabályak megfelelô kell legye.) Két a toábbiak szempotjából fotos olgot kell még figyelembe eük:. A (3 ) és (4 ) itegrálokba szereplô felület iôbe állaó, rögzített helyzetû kell legye, így az iô szeriti eriálás beihetô az itegráljel alá: t F F t E F E F. (5) 2. A (4 ) jobb olalá szereplô két itegrált ugyaazo felületre égzeô el. ( egyébkét a Γ határgörbére illeszkeô tetszôleges felület lehet.) A és 6 FIZIKAI ZEMLE 204 /
j és E ektormezôk külö-külö em forrásmetesek, csupá az összegük iergeciametes; lás ()-et és a töltésmegmaraást kifejezô i j kotiuitási egyeletet! Ha pélául az eltolási áramot és a töltések áramát más-más felületre számítaák ki, yilá hibás ereméyt kapák! Egy ismert péla erre a fokozatosa feltöltôô, emiatt áltozó elektromos térrel jellemezhetô síkkoezátor (. ábra). Ha a koezátortól messze akarjuk meghatározi az iukált mágeses mezôt, és hibása az elektromos áram járulékát az, az eltolási áramét peig az 2 felületre számítjuk, mikét itegrál ulla lesz, jóllehet az iukált mágeses mezô oalitegrálja em tûik el! Az ()-(4) és az ( )-(4 ) egyeletreszer (az említett feltételek teljesülése eseté) matematikailag ekiales, mit az a ektoraalízis eezetes itegráltételei, a F Gauss Osztrograszkij-tétel és a Γ 0 w(r)f i w(r) w(r)r rot w(r)f (6) (7) tokes-tétel segítségéel köye belátható. A Maxwell-egyeletek iffereciális megfogalmazása az elektroiamika teljes leírását aja, matematikai alakja azoba (a ektoraalízis egész apparátusáak alkalmazása miatt) em túl szemléletes és em köyyû. Az itegrális megfogalmazás sokkal szemléletesebb, akár középiskolásokak is elmagyarázható, alkalmazása azoba csak az erôse szimmetrikus esetekbe álik egyszerûé. (Ilye pélául egy pottöltés gömbszimmetrikus, agy egy agyo hosszú, egyeletese töltött, egyees szigetelô szál hegerszimmetrikus elektrosztatikus tere, alamit az áramjárta, egyees ezetô mágeses tere.) Mozgási iukció Az itegrális egyeletek a határfeltételek kezeléséél látszólag gazagabb jeletéssel bírak, ameyibe csak a hagyomáyos matematikai aalízis eszköztárára szorítkozuk. Felületi töltéssûrûség agy felületi áramok fellépte eseté is éréyesek a iffereciális egyeletek, ameyibe a sziguláris meyiségeket (a fizikai realitásak megfelelôe) egy agyo ékoy rétegbe szétketek gooljuk, agy ha a isztribúcióelmélet (Dirac-elta és társai) alkalmazásától se riauk issza. 2. ábra I I Et () Felmerül a kérés, alkalmazhatók-e (és ha ige, milye móo) az itegrális Maxwell-egyeletek olya esetekbe is, amikor az F felület és ele együtt aak esetleges határgörbéje mozog, tehát iôbe áltozik. Ezt a kérést az iokolja, hogy a külöbözô alkalmazásokba (pélául egy illaymotor forgórészéél) téylegese megalósítható a mágeses térbe mozgó zárt görbe, illete az arra illeszkeô iôbe áltozó helyzetû és alakú felület. Az ( ) és(2 ) egyeletek yilá ebbe az esetbe is éréyesek maraak, mert beük semmi em utal az iôbeli áltozásra, azok egy aott iôpillaatba érteôk. Nem ilye egyszerû a helyzet a másik két egyelettel! Az iukciótöréy (3 ) alakja yilá em igaz, eek belátásához lássuk egy ellepélát. Mozogjo az felület ihomogé, sztatikus mágeses mezôbe, és az elektromos térerôsség legye ulla! A mágeses fluxus iôbe áltozik, az elektromos mezô köritegrálja peig ulla! ajo lehet-e úgy móosítai (pélául alamilye járulékos tagok hozzáaásáal) az iukciótöréy itegrális alakját, hogy az iôbe áltozó felületek eseté is egyeértékû legye a (3) iffereciális alakkal, agyis helyese írja le a megfigyelhetô jeleségeket? A álaszt már körülbelül 80 éel ezelôtt megata M. Faraay, amikor megfogalmazta az iukció töréyét: U i Φ t, (8) ahol a Φ mágeses fluxus iôbeli áltozását akár a mágeses iukcióektor iôfüggése (yugalmi iukció), akár a felületet és az azt határoló görbe elmozulása (mozgási iukció) okozhatja. Aak kierítésére, hogy az iukált feszültség (amelyet mûszerrel lehet méri) hogya függ össze az elektromágeses térerôsségekkel, toábbi 60 éet kellett ári. H. Loretz fogalmazta meg a ma ismert alakba, hogy egy Q töltésû, sebességgel mozgó töltött részecskére F Q E(r, t) (r, t) (9) erô, az úgyeezett Loretz-erô hat, és az iukált feszültség (egységyi töltés eseté) eze erô köritegrálja. Eek megfelelôe a harmaik Maxwellegyelet itegrális alakja A FIZIKA TANÍTÁA 7
E(r, t) (r, t) (r, t) r t (r, t)f, (3 ) ahol (r,t) az itegrációs kotúr egyes potjaiak sebessége, és a Γ(t ), alamit az (t ) jelölések az itegrálási tartomáyok iôbeli áltozását hagsúlyozzák. ebizoyítjuk, hogy a harmaik Maxwell-egyelet immár helyese alkalmazott (3 ) itegrális alakja és a (3) iffereciális alak egymással egyeértékû, matematikailag ekiales. Ehhez felhaszáljuk az alábbi matematikai azoosságot, melyek bizoyítása a Függelékbe található: t w(r, t)f w(r, t) F i w(r, t) w(r, t) (r, t) r (r, t)f, (0) ahol w(r,t) tetszôleges (megfelelô eriálhatósági tulajoságokkal reelkezô) ektormezô, (r, t) peig a felület potjaiak sebességét jelöli. (Megjegyezzük, hogy a (r,t) ektorok megaása em egyértelmû, a felületi potok átparaméterezéséek megfelelô mozgás erejéig határozatla. Egy aott móo mozgó felületél a felületi potok sebességéhez szabao hozzáahatuk egy olya *(r,t) sebességmezôt, amely miehol merôleges a felület ormálisára, a határgörbéél peig aak éritôjéel párhuzamos. Ez a határozatlaság azoba (0)-be em jeleik meg, ott * em a járulékot.) Alkalmazzuk (0)-et a w (r,t) ektormezôre, és haszáljuk ki, hogy (r, t) forrásmetes, agyis i 0. Ekkor (3 ) így írható: azaz E(r, t) (r, t) (r, t) r (r, t) F E(r, t)r (r, t) (r, t) r, (r, t) F, A(3 ) egyelet fizikai iterpretációjához a köetkezôket éremes megfotoli. (i) Látható, hogy a Faraay-féle iukciótöréy (8) alakjából (ha azt tetszôleges, akár mozgó felületekre is éréyesek fogajuk el) matematikai lépésekkel eljuthatuk a Loretz-erô (9) képletéhez, mitegy leezethetjük azt. (A leezetés szót em kell agyo komolya ei, miössze arról a szó, hogy az említett fizikai töréyek em függetleek egymástól.) (ii) A (3 ) egyelet úgy is értelmezhetô, mit az iukciótöréy azo alakja, amelyet a Γ(t ) kotúrral együttmozgó megfigyelôk íráak fel (a féysebességhez képest) kis sebességû mozgások eseté. Az együttmozgó megfigyelôk fogalma természetese csak lokálisa, egy-egy íelemarabkára értelmezhetô, hisze a Γ(t ) görbe arabkái általába külöbözô agyságú és külöbözô iráyú sebességgel reelkezek. A térerôsségek traszformációs szabálya kis sebességek (Galilei-traszformáció) eseté: E E, ha a K kooriáta-reszer sebességgel mozog a K reszerhez képest. Ez leolasható pélául a relatiisztikus traszformációs képletek << c közelítésbe éréyes alakjából. A oltmérô által mutatott feszültség (ami az egységyi agyságú töltések a kotúr meti körbemozgatásához szükséges mukáal egyelô) a kotúr kis részekre osztása utá az egyes íelemarabkákkal együttmozgó megfigyelôk által észlelt E elektromos térerôsség és az álló oalarabka r iffereciáljáak szorzatösszegekét is megkapható. Ez a körfeszültség jeleik meg pélául a Kirchhoffegyeletekbe, amikor azokkal (kázistacioárius közelítésbe) boyolultabb áramkörökbe folyó áramerôsségeket számoljuk. Hagsúlyozi kell, hogy eze az alkalmazások szempotjából ige fotos iterpretáció csak << c esetbe és iôbe em túl gyorsa áltozó (kázistacioárius) terekre éréyes, míg maga a (3 ) egyelet közelítésmetes, egzaktul igaz. (iii) Az iukciótöréy (8) alakja csak akkor aja biztosa helyese a oltmérôel is mérhetô iukált 2. ábra tehát (a tokes-tétel szerit) rot E(r, t) (r, t) ami alóba egyeértékû (3)-mal. F 0, 8 FIZIKAI ZEMLE 204 /
x ( t) 3. ábra x () t feszültséget, ha a töréybe szereplô zárt görbe potjait egy ezetô test (pélául egy rézrót) miig ugyaazo ayagi részei képezik. Ha a zárt görbét pélául csúszóéritkezô alkalmazásáal iôbe áltozóa más és más ayagarabkák alósítják meg, akkor az itegrális töréy éha jó, éha iszot hibás ereméyre ezet (lás pélául az alább köetkezô két pélát)! Tekitsük pélául (R. Feyma: Mai Fizika, I. kötet alapjá) a 2. ábrá látható elreezést! Az egyeletes ω szögsebességel forgó rézkorog közelébe egy állaó mágest helyezük el. A korog tegelyéhez és a kerületéhez csúszóéritkezôkö keresztül galaométert csatlakoztatuk. A mûszer iukált feszültséget jelez, hisze a Loretz-erô sugáriráyba hajtja az elektrookat, jóllehet a mágeses fluxus (tetszôlegese álasztott felületre) yiláalóa iôbe állaó! Egy másik pélába, a párhuzamos síeke, a síek síkjára merôleges, homogé, iôbe állaó mágeses mezôbe csúszó rú esetébe (3. ábra) az iukált feszültség agyságát, akár a Loretz-erô segítségéel, a középiskolából ismert képletbôl számoljuk, akár peig a fluxusáltozásból: U Φ t t U 4. ábra x(t) x(t) t helyes ereméyt kapjuk. (Az iukciótöréybe szereplô elôjellel itt most azért em kellett törôi, mert csupá a feszültség agyságát akartuk meghatározi.) Mi lehet az oka, hogy az egyik csúszóéritkezôs esetbe hibás, a másikál peig helyes ereméyt kapuk az ilyekor em feltétleül megbízható itegrális töréybôl? A párhuzamos síeke csúszó rú esetébe egy kis trükkel csúszásmetes, zárt áramkör alakítható ki (4. ábra). A rúhoz és a síekhez erôsített hajlékoy ezetékekbe a Loretz-erô em a járulékot az iukált feszültséghez, mert merôleges r-re. Ha ugyaezt a trükköt próbáljuk alkalmazi a forgó rézkorogál, és pélául az 5. ábrá látható zárt, csúszóéritkezô élküli ezetéket kapcsoljuk a oltmérôre, egy olya körülölelt területet kapuk, amelyek agysága a ezeték forgatása közbe csökke, emiatt a mágeses fluxus iôbe áltozik, összhagba az iukált feszültség em ulla értékéel. A gerjesztési töréy mozgó felületek eseté Térjük most rá megfotolásaik legfotosabb részére, aak izsgálatára, hogy megfogalmazható-e a egyeik Maxwell-egyelet (a gerjesztési töréy) itegrális alakba akkor, ha a felület (és ele együtt aak határoló görbéje) iôbe áltozik. Ha ige, az biztosa em (4 )-el megegyezô alakú lesz, haem a felület mozgása köetkeztébe toábbi járulékos tagok megjeleésére számíthatuk. Iuljuk ki a biztosa éréyes iffereciális alakból, agyis (4)-bôl, és itegráljuk aak mikét olalát egy tetszôlegese álasztott (t ) felületre, melyet a Γ(t ) zárt görbe határol: rot F μ 0 5. ábra j F μ 0 E F. () (A ektorterek hely- és iôfüggését a tömörség keéért em írtuk ki, e értelemszerûe mie ektormezô r és t függéye.) A () egyelet bal olala (a tokes-tétel felhaszálásáal) oalitegrállá alakítható, a jobb olal peig (0) értelmébe kifejezhetô az elektromos fluxus iôeriáltjáal: x () t A FIZIKA TANÍTÁA 9
r μ 0 μ 0 ε 0 t E F j F (E )r i E F. (2) A feti képletbe a felület potjaiak sebessége, ami természetese szité r és t függéye. Reezzük a oal- és felületi itegrálokat az egyelet bal és jobb olalára, haszáljuk ki, hogy i E / : μ 0 c E r 2 j F t c 2 E F. (3) (Kihaszáltuk, hogy μ 0 /c 2, ahol c a ákuumbeli féysebesség.) Az áramsûrûség kifejezhetô a töltéshorozók töltés sebességéel is: j töltés, (ii) A jobb olal elsô itegrálja a töltött részecskék mozgásából aóó áramot eszi figyelembe, e azokból csak a mozgó felülete iôegységekét téylegese átlépô töltéseket számítja, emiatt szerepel a képletbe a töltések és a felület relatí sebessége. (iii) A jobb olal utolsó tagja az elektromos fluxus iôeriáltja, ez felel meg az eltolási áramak a iffereciális leírásba. Cikkük II. részébe éháy egyszerû és boyolultabb pélát mutatuk maj be az iukciótöréy és a gerjesztési töréy iôbe áltozó felületekél törtéô alkalmazására. Aig is goolkohat rajta az Olasó: elképzelhetô-e, hogy egy mágeses tértôl metes elektrosztatikus mezôbe ami, mit jól tujuk, kozeratí egy egyeletes sebességgel mozgó megfigyelô körfeszültséget észlelje, agyis azt tapasztalja, hogy az elektromos mezô em kozeratí? Függelék Az F-. ábrá látható (t ) felület egyes potjai kicsiy Δt iô alatt (r, t) Δt ektorral mozulak oébb, így az egész felület az (t+δt ) alakzatba, határgörbéje peig a Γ(t+Δt ) görbébe megy át. Felaatuk aak izsgálata, hogy egy aott w(r,t) ektormezô (t)-re ett és így a gerjesztési töréy égül a μ 0 c E r 2 felület töltés felület F t c 2 E F (4 ) Φ(t) w(r, t)f fluxusa milye gyorsa áltozik iôbe, agyis mekkora az iô szeriti eriáltja. Φ (t) Φ(t ) Φ(t) alakot ölti. (A jelölések egyértelmûé tétele keéért a felületi potok eig -el jelölt sebességét felület móo írtuk fel.) A (4 ) egyelet egyes tagjai a gerjesztési töréyél megtaultak mitájára jól iterpretálhatók. (i) A bal olalo mellett megjelet a Loretz-erô elektromos megfelelôje is; egységyi agyságú mágeses töltéssel reelkezô moopólusra (ha léteze ilye) éppe ekkor erô hata, ha elektromos merôbe felület sebességgel mozog. Máskét is iterpretálhatjuk a (4 ) egyelet bal olalá a zárójelbe szereplô ektort: ilye mágeses iukciót érzékel az a megfigyelô, aki a Γ(t ) görbe egyes íelemarabkáial együtt mozog. (Ez az iterpretáció ismét csak Galilei-traszformációs közelítésbe, tehát << c esetbe igaz, míg a (4 ) egyelet tetszôleges sebességekre egzaktul teljesül.) Elsô pillaatba zaarba ejtô lehet, hogy miért em hagyjuk el az /c 2 -tel aráyos, tehát kicsiek élhetô tagot ebbe a em-relatiisztikus határesetbe. Ne felejük azoba, hogy E agyságától függôe ez a tag még kicsiy sebességekél is számotteô értéket ehet fel. w(r, t (t ) w(r, t (t ) w(r, t)f (t ) w(r, t) F )F )F w(r, t)f w(r, t)f (t ) w(r, t)f w(r, t) F (t ) w(r, t)f Az utolsó sor másoik tagjába két egymáshoz közeli felületre itegráljuk a w(r, t) ektormezôt. Az elreezés egy metszetét az F-2. ábra mutatja. (Az ábrá feltütettük a zárt térrészbôl kifelé mutató felületi ormálektorokat is.) Ha a számlálóba szereplô itegrálokat kiegészíteék a két felület határoalai-. 20 FIZIKAI ZEMLE 204 /
( t + t) ( t ) ( t + t) ( t + t) ( r,t) t r t F ( t ) ( t ) F-. ábra ra illeszkeô jelzésû szalagra törtéô itegrállal, akkor egy zárt felületre képezett itegrálhoz jutuk, amelyet a Gauss Osztrograszij-tétel segítségéel térfogati itegrállá alakíthatuk. w(r, t)f (t ) I. II. w(r,t)f i w(r, t) w(r, t)f Miel a térfogati itegrálba a térfogatelem feáll, hogy w(r, t)f w(r, t)f. F () F ( F), F-3. ábra Hátra a még a szalagra ett felületi itegrál kiértékelése. A felületelem az F-3. ábrá látható jelölésekkel így írható fel Eszerit F r. w(r, t)f w ( r) Ezzel beláttuk, hogy feáll: t w(r, t)f w(r, t) F (w )r. w(r, t) (r, t) r i w(r, t) ( i w)f. i w(r, t) (r, t)f. ( t ) F-2. ábra ( t + t) ( r,t) I. II. (Ha a felületi potok elmozulása a felület ormálisá- ra merôleges, illete ha a határgörbe potjaiak elmozulása a görbe éritôjéel párhuzamos, akkor ezek a feti egyelet jobb olaláak másoik és harmaik tagjába em aak járulékot. Ez természetes, hisze az említett Δt ektorok csupá átparaméterezést jeleteek, és em járak együtt a felület agy a határgörbe téyleges elmozulásáal.) A szerkesztôbizottság fizika taításáért felelôs tagjai kérik miazokat, akik a fizika ozóbbá tétele, a taítás ereméyességéek fokozása érekébe új mószerekkel, elképzelésekkel próbálkozak, hogy ezeket osszák meg a zemle hasábjai az olasókkal! A FIZIKA TANÍTÁA 2