EGYSZERŐ PÉLDÁK ponendszeeke (a poszemekıl a csllagokg Az ún. Kees pobléma és a cenáls eıé Az elızıekben egy ömegponnak a cenáls eıében öénı mozgásá vzsgáluk. Az eıé cenuma ögzíe vol. Az eddg apaszalaunk szen egy ese haó eı foása mndg valamlyen másk es. ég akko s, ha az valamlyen fzka mezı (pl gavácós vagy elekomágneses eıé közveí. Így oggal meül fel a kédés, hogyan valósulha meg egy ögzíe eıcenum. A kölcsönhaás ma (ewon3. ugyans az eıé foásáa s ha eı. Temészeesen, ha a vzsgál es ömege sokkal, de sokkal ksebb, mn a máské, akko ez uóbb ól közelíéssel ögzíenek eknheı. Azonban az eseek öbbségében a ké kölcsönhaó ömeg közö nncsen lyen nagy eléés. ézzük meg ehá, hogy m lyenko a helyze!.ába A mozgásegyenleek m & F m & F Hasson a ké ömegpon közö cenáls, konzevaív eı. A kölcsönhaáshoz endelheı poencáls enega V (,. Ekko az eık defnícószeően adódnak F V F V Ahol k az k veko szen gadens elöl ( k,. Vezessük be a ké ömegpon közö ávolságveko, azaz és e A kölcsönhaásból számazó poencáls enega csak a ké pon ávolságáól függhe, így V (, V ( V ( V ( Ezzel a ponoka haó eık dv F V e F ( e F( d F V F ( e
Alakísuk á a mozgásegyenleeke a kövekezı képpen & e m & e m Ebbıl adódk, hogy F( F( & & & e F( m m Áendezés uán az kapuk, hogy ahol & & µ e F(, m m µ m m Ez pedg egy ögzíe eıcenum eében mozgó µ ömegő pon mozgásegyenlee. Ponosan ez vol, am keesünk..ába Tehá mnden ún. kées pobléma vsszavezeheı egyelen fkív ömegpon mozgásáa. I pedg má gond nélkül használhaók az elızıekben megbeszél számíás echnkák. Konsuáluk meg a munkaéel a szokásos módon, azaz µ & & F ( & & & µ F ( & d µ & ( V & V dx dv d x d d Áendezéssel d µ & V ( 0 d Tehá alálunk egy (a mozgás soán megmaadó (enega ellegő mennysége µ & V ( Eµ Joggal meül fel a kédés, hogy mlyen enega ez? Ponosabban csak a knekus enega (ellegő elsı ag édekel bennünke, hszen egy fkív ömegpon mozgásához endel mennységıl van szó.
A ömegponendszeek álalános vzsgálaako mad lán foguk, hogy a ömegközépponnak ( kulcsfonosságú szeepe van. emelegíınek az oanakhoz olduk meg a kées poblémánka a felhasználásával s. A defnícóa ( m m Ezzel a ké ömegpon helyvekoa os csak a ké pon közö kölcsönhaásból adódó ún. belsı eık hanak A mozgásegyenleek ehá (a fen elölésekkel m & F m & F Azaz m ( & & F m & & ( F Összeadva a ké egyenlee & ( m m ( m & m & 0 Illeve & ( m & m & 0 De a másodk ag zéus, hszen ebben a defnícóa szeepel egy olyan koodnáaendszeben, amelynek az ogóa maga a. Ez az elen, hogy a gyosulása nulla, azaz egyenes vonalú egyenlees mozgás végez. Haáozzuk meg a kées endsze knekus enegáá. E m& m & KI m ( ( & & m & & Elvégezve a kelöl négyzee emeléseke E KI & m& m& { & ( m& m & } A hamadk (összevon ag nulla, me ebben sznén a helyé aduk meg a endszeben. Tehá végül s az kapuk, hogy E & m & m& belsı KI E KI EKI Láhaó, hogy a endsze eles knekus enegáa ké függelen agból áll, nevezeesen, a ömegközépponba képzel összömeg knekus enegáának ( E és a endszeben megelenı ún. belsı knekus enega ( E mozgásokól belsı KI Keessük meg a kapcsolao az összege. Azaz a ömegközéppon mozgása leválaszhaó a belsı belsı EKI és a koábban kapo KI µ közö. & 3
4 3.ába Ehhez kapcsolao kell eemenünk az { } és az { }, helyvekook közö. Könnyen beláhaó m m És ezé nylván valóan m m belsı Ezzel kszámíhaó a E KI belsı knekus enega Azaz E belsı KI belsı KI m & m m m & E ( m m & µ m m & & m m & m m ( m & m & Tehá az egyelen, fkív µ ömegpon knekus enegáa éppen a ké ömegponból álló endsze belsı knekus enegáá ada. A vál éel Eddg a ponendszeekkel kapcsolaosan olyan éeleke smeeünk, amelyek má az alapozó mechanka anulmányankban s szeepelek. os egy olyan éel kövekezk, melyk úszeőségével klóg ebbıl a soból. Az ún. vál éelıl van szó. A val szó a lan vs (enega, eı szóból számazk. Lásd. még éleeı vs vals. evezeése Clausus nevéhez főzıdk (870. A éel lényege az, hogy egy kölcsönhaó ömegponokból álló endsze eseén kapcsolao udunk eemen az álagos knekus enega és a ömegponoka haó (külsı- és belsı- eık (poencálok valamféle álaga közö.
5 Rudolf Julus Emmanuel CLAUSIUS (8-888 Lán foguk, hogy fogalom skeesen használhaó mnd a eáls gázok (emodnamka mnd pedg a galaxsok (csllagásza vlágában. Ado egy db ömegponból álló endsze. nden ömegpona belsı eık ( F és külsı eık K ( F hanak. A mozgásegyenleek ehá K p& F F F, (,,3,..., n az smeees az -k észecskée haó belsı eık F, F ahol F a -k ömegpon álal kfee eı. Legyenek a belsı eık olyanok, hogy csak páosával hanak, azaz F ( F F Vezessük be a vál fogalmá a kövekezı defnícóval G p Láhaó, hogy az öle nem egészen légbıl kapo. Hszen csak az mpulzus momenumnál használ veko szozao kell skalás szozaa kcseéln. Temészeesen ez fzkalag óás válozás elen, de maemaka áéknak ökéleesen megfelel. Deváluk mnd a ké oldal az dı szen, ekko adódk, hogy G& p& p & ( Felhasználva a mozgás egyenleeke és a knekus enega, valamn az mpulzus defnícó, kapuk a kövekezı egyenlısége
G ( F & m &, azaz G& ( F m & ( F EKI E KI. Vegyük az egyenle mndké oldalának egy T dıaama ve álagá, azaz Temészeesen a endsze eles knekus enegáa dıben válozk, ( 6 T Gd & T ( F T T d EKI d T T 0 0 Hasuk vée a T haáámenee, azaz G( T G( 0 lm ( F T T 0 E KI Ahol a a fen bevezee dıbel álago elen. Ha a ponendszeünk lokalzál, azaz R (mnden -e, akko G ( mndg véges maad. Ezé az egyenle bal oldala nullához a. Így azán adódk, hogy E KI ( F Azaz a ömegpon endsze álagos knekus enegáa (dıbel álag! smeeében kövekezeheünk a endszeben(en haó eıke. Haáozzuk meg mos a obboldal szumma ééké! K ( F ( F ( F A obb oldal másodk (belsı eıke aalmazó összegzés ovább bonhaó, a má koábban alkalmazo ( ndexcseés módszeel ( F F F F ( F Ez pedg övden így szokuk elöln: F F, ahol (,, és ( az elen, hogy a szummázás mnden leheséges, páa el kell végezn. (olyan ez, mn pl. egy ásaságban a leheséges kézfogások halmaza. Végül s kapuk ehá, a vál éel egyk alaká: K E KI ( F F, A kövekezıkben egy-ké példán keeszül bemuauk a éel alkalmazásának gen hasznos eedménye. A legegyszeőbb mechanka endsze, ha csak egyelen ömegponunk van, azaz. Ekko emészeesen nncsen belsı eı. Tehá a vál éel a kövekezı egyszeőbb alako vesz föl E KI F K
Ha az eı cenáls és konzevaív, akko K U F e és ezé K U U F e A legöbbszö elıfoduló eseben az U ( (vonzó poencáls enega egy haványfüggvény, azaz α U (, n akko U F K n α n U n Ezzel pedg kapuk a a kövekezı n E KI U Tehá egyelen észecske eseén a vál éel a knekus enega álaga és a poencáls enega álaga közö kapcsolao ada meg. Például Coulomb, vagy gavácós ében mozgó ömegpon eseén az n és ezé E KI U Jól sme összefüggés adódk. 7 A kövekezı feladaban eknsünk egy eáls gáz. I a ömegponok közö egy hosszú ávú kölcsönhaás van. Azaz a észecskéknek nem kell énkeznük egymással a kölcsönhaás soán. (Pl. gavácó vagy, Coulomb eık. Emlékezzünk á, hogy deáls gáznál a észecskék közö csak ugalmas üközés leheséges. Ez pedg egy övd haó ávolságú ( 0 és pllanaszeő kölcsönhaás. A gáz egy a él hosszúságú, kocka a alakú aályba záuk. ába Ekko a külsı F K eıke nylvánvalóan a akkal való F kölcsönhaás ada. A gavácóól mos eleknünk! Illeszkedék a kocka alakú aály az (x,y,z koodnáa engelyeke. A kocka egyk saka az Ogóban van és nnen méük a ömegponok helyvekoa s. A akkal üközı észecskéke haó meıleges és a aály belsee felé ányul. Ezé, ha az a síkában van, akko F 0,,3,... F eı a a
8 Ez akko van így, ha a aály oldallapa éppen valamelyk koodnáa síkban helyezkedk el. Háom lyen oldallap van, amely ehá nem ad áuléko. A másk háom (az x a, y a és a z a azonban gen. Ekko ugyans (mvel a eık befelé muanak [ F ] F x a x a [ F ] F y a y a [ F ] F z a (,,3,... z a Ezek felhasználásával az kapuk, hogy K ( F ( Fx a Fy a Fz a a Fx Fy Fz A endsze zoóp, ema mden ány (oldallap ekvvalens. Tehá Fx Fy Fz F P a Hszen ponosan a P nyomás knekus gázelméle defnícóáól van szó. K ( F 3a ( P a 3P a A P gáznyomás azonban éppen a nyomás (--szeese, azaz 3 P P Ezzel ehá 3 E KI P V F, Ha a észecskék közö nncsen kölcsönhaás (azaz nem hanak belsı eık, F 0, akko P V E KI 3 Az ekvpaco éele ma (lásd Temodnamka 3 E KI kt 3 3 Tehá P V kt Ez pedg a ól sme deáls gázövény. Reáls gázoknál a molekulák közö van egy F hosszú ávú kölcsönhaás így ekko az kapuk, hogy P V kt F 3, AE Ha a gázaomok (molekulák közö haó cenáls (vonzó eı konzevaív, akko mn az má egyelen ömegponnál láuk
Ekko U vel az α. ( n F U n n α, páok száma ( /, ezé >> eseén 9 F 3, α n n 6 6 n U Kézenfekvı felevés, hogy sok ömegpon eseén a poencáls enega dıbel álaga ó közelíéssel a ébel álaggal egyezk meg. Hszen, ha egy ado pllanaban lefényképeznénk a endsze, akko abban a észecskék közö ávolsága szne mnden ééke megalálnánk. U U V Ez beíva az AE egyenlebe és bevezeve a a állandó paamée az kapuk, hogy kt P a V V Fgyelembe véve a gázaomok véges méeé b, adódk, hogy kt P a V b V Ez pedg éppen a Van de Waals féle gázövény A hamadk példa a csllagásza émaköébe aozk. anapság a söé anyag lée közudo, szne endszees émáa a bulvá udománynak s. Sokan flozófa válasz póbálnak adn ee az gen fonos és édekes fzka poblémáa, evvel s gazdagíva az áludományos közbeszéd amúgy s színes paleáá. De m fzkusok mbıl kövekezeheünk a söé anyag elenléée? Van-e olyan alapveı méés, amely ez a hpoézs kkényszeí belılünk. os ez foguk megvzsgáln. Teknsünk egy (véges méeő galaxs halmaz! A véges mée ellemzésée egy gen szemlélees mennysége fogunk használn ez a é egy ponáa számol eheelenség nyomaék. A bevezeı fzka anulmányankban má alálkozunk egy ponhalmaznak (pl. meev esnek egy ado engelye számío eheelenség nyomaékával. ahol az Θ a m R, m ömegő ponnak az a engelyıl ve ávolsága Θ m R.Ennek az álalánosíásakén vezessük be a ennysége, ahol az m ömegő ponnak az Ogóól mé ávolsága. Láhaó, hogyha a galaxs halmaz méee véges, akko a Θ s az. A endsze növekedésé pedg a Θ & -al uduk ellemezn. Θ& m & m & G
0 Ez, mn az áhaó, a Clausus-féle válnak a készeese. Az elızıekben láuk, hogy a G gen hasznosnak bzonyul a ponendsze álagos dnamka ellemzésée. Alkalmazva a má láoaka adódk a kövekezı G& Θ && m & m & A galaxs halmaz elemee csak belsı, gavácós vonzóeı ha. Ezé G Θ F m & && & EKI F eíva de a vonzó (! gavácós kölcsönhaás, azaz G & Θ & E KI mm Γ,, g E KI E POT F mm Γ e, kapuk, hogy g Az összenega a knekus és a poencáls enegák összege ( E < 0 g E E KI E POT Így ehá g g G & Θ & E EPOT E EPOT. Azaz fennáll a kövekezı egyenlılenség Θ & > E. Idı szen késze negálva az adódk, hogy Θ ( > E c c Láhaó, hogy a { },c c negácós állandók éékéıl függelenül, a endsze akko sabl, ha E < 0 Ez az ún. Jacob-féle sablás kéum. Azaz egy galaxshalmaz akko sabl (azaz nem águl a végeleng, ha az összenegáa negaív. Az egyes enegaagok nagyságának a (közelíı számíása gen egyszeő EKI EKI mv m v m v v A levezeésko feleük, hogy a halmaznak mnden eleme kb. ( ugyanakkoa ömegő (azaz m Ha a galaxshalmaz egy R 0 sugaú gömbben lokalzálhaó, akko összes poencáls enegáa E g POT α Γ, ahol 0 < α < a és a ömeg eloszlásól függ. R 0 EGJEGYZÉS: A halmaz gavácós poencáls enegáának a kszámíása ugyanúgy öénk, mn az az elekoszakában csnáluk amko pl. egyenleesen ölö gömbfelüle, vagy az egyenlees éfoga öléssel endelkezı gömb össz enegáá haáozuk meg. POT A sablás feléele ehá E v α Γ R0 Azaz < 0
R 0 > αγ v De mvel a ében mnden ány egyen éékő, ezé v v Ahol a 3 v adáls sebesség komponens álagos ééke. Így végül s adódk, hogy: 3R0 > v VIR (neve a vál ömeg α Γ Pédául a COA gömbhalmaz eseén a kövekezı méés eedményenk vannak v 930 km / s R0 0 7 fényév A méések anulsága szen mé VIR 0 Ába Tehá a galaxshalmaz ömegének kb 0%-á láuk, me fény bocsá k, azaz vlágí. A öbb 90% azé nem láhaó, me nem bocsá k fény. Ee ual a neve s söé anyag. A mbenlée ma még százalan bá öbb aspáns s van a csllagászok és a észecskefzkusok feében. A helyes válsz valószínőleg egy úabb, gazdag, eddg ee Vlág felfedezésé elen mad. A övı fzkus nemzedéke sem fog unakozn.
A VIRGOHI galaxs, amely szne csak söé anyagból áll (005. Jelenlée csak a hdogéngáza kfee haásában elenkezk. Ezen haások méése elen a deekálás.