Folyadékok és gázok mechanikája (hidrodinamika)

Átírás

1 Folyadékok és gázok mechankáa (hdodnamka) A héköznap éleben mndenk meg uda különbözen a halmazállapooka. Így beszélünk szlád, olyékony és légnemő anyagokól. Az eddg mechanka zsgálódásunk má megmuaa, hogy a szlád halmazállapoon belül dnamka szemponból meg kell hogy különbözessük egymásól a mee eseke és a szlád de ugalmas közegeke (ksályos anyagoka). Mos az oguk megmuan, hogy a olyékony és a légnemő anyagok (olyadékok és gázok) mnd emodnamkalag, mnd pedg mechankalag nagy hasonlóságo muanak. Ennek köekezében sokszo nem s ndokol közöük különbsége enn. Ezé azán Hdodnamkán (pl. deáls eseben) olyadékok és gázok konnuum mechankáá éük. MEGJEGYZÉS: A gyökeek a emodnamkág nyúlnak ssza. Az oan anulmányankban oglalkozunk a ázsáalakulásokkal. Részleesen elemezük a ázsáalakulás ( p, T ) dagammá a K kkus pon könyékén. Láuk, hogy a gázállapoból a olyadékállapoba (az ábán az ponból a ponba) Kééle úon uhaunk el. Az egyk soán pl egy zoem állapoálozással nöelük a nyomás. Ekko a ( p, V ) dagammon a középskolás okon s ól sme ázsáalakulás olyamao gyelheük meg. Ennek soán a olyadék és a gáz egyszee an elen a aályban. A ké ázs a olyadék elülee ( menszkusz ) álasza el egymásól. A olyama soán a olyadék mennysége nı, a gázé (helyesebben a gızé) csökken, Végül a aály csak a olyadék öl k. Mnden dıponban ponosan meg uduk különbözen egymásól a olyadéko és a gız. Nem ez a helyze, ha a másk ua köeük. Ekko soha nem apaszaluk az, hogy olyadék és gız egyszee lenne elen (nncsen menszkusz ). A aály a olyama soán állandóan egy homogén anyag öl k, amelynek sőősége olyamaosan álozk. A olyama égén az egész aály olyadék oga kölen. Az azonban nem uduk megmondan, hogy kezdeben nylánalóan elen léı gız mkoól neezheı olyadéknak (emészeesen a olyama égén bzosan). Ez olyonos ázsáalakulásnak (agy másodendő ázsáalakulásnak) neezzük. ába. ába

2 A olyadék (gáz) olyan homogén és zoóp konnuum közeg, amelyben nyugalm állapoban nem ébed nyíóeszülség. Ez az oka annak, hogy pl. sakus egyensúly eseén eleszk a mndenko aály alaká, elesen köle az. Mn uduk a nyíó eszülségek elenléé egyaa belsı súlódáskén szokuk éelmezn. Hszen az egymással énkezı anyagéegeknek az egymáshoz képes elcsúszaásához eı kell keenünk (lásd a káyacsomag analógá). Tehá a olyadékokban (gázokban) sakus belsı súlódás (sakus nyíó eszülség) nem lép el. Reáls olyadékoknál közsme a szkozás elensége (pl. a méz). Nyugalm állapoban sncsen belsı súlódás, de mozgás (áamlás) soán an. Reáls olyadékok ehá dnamkus szkozással endelkeznek. Ideálsnak neezzük az a olyadéko (gáz) amelyben a mozgás soán sem lép el belsı súlódás (dnamka szkozásuk nncsen). Elıszö a legegyszeőbbel, az deáls olyadékok mozgás egyenleéel ogunk megsmekedn, mad áéünk a eáls olyadékok alapegyenleének a ázlaos smeeésée. Az áamlásan a (gépész)ménök alapudományok egyk legonosabb és legnehezebb eülee. A zkus számáa az akualásá a plazmadnamka ada, amely a úzós enegaemelés alappoblémáa. M az az elızıekben láuk, a konnuum mechanka alapegyenlee a köekezık olak: A Newon ponmechanka mozgásöény alapán kapuk a mozgásegyenle, amelyk a Lagange-éle (ponköeı) szemléle ma, a szubszancáls dıdeála aalmazza. ρ d = σ + (=,,3) (LME) A ömegmegmaadás öénye: ρ + ( ρ ) = Homogén zoóp eseben a Hooke-öény σ µε + λδ Θ (HH) = A dnamka egyenleekben használ ogalmak közö denícós összeüggések a köekezık: A szubszancáls és a lokáls deálás közö kapcsola d = + Az elmozdulás mezı és a deomácó enzo kapcsolaa: ε = ( s + s ) A sebességmezı és az elmozdulás mezı kapcsolaa = s Áéünk éelméle szemlélee. Ekko kapuk (a csak lokáls deálak aalmazó) Eule-éle mozgás egyenlee. ρ ( + ) = σ + Ideáls olyadéknál nem lép el semméle (sem sakus, sem dnamkus) nyíó eszülség, azaz σ = ( ) Ez az elen, hogy az deáls olyadék Hooke öényében szeeplı anyagállandók közül µ = kell, hogy legyen, azaz egyelen egy ugalmas állandó (Lamé állandó) maad, a λ σ λδ Θ =

3 A olyadékok (gázok) eseén a ellépı elüle eıke p nyomásnak neezzük, ezé (a nyomás elıel konencó ma) σ = p δ Ez beía a Hooke öénybe kapuk, hogy p = λ Θ (H) Mel uduk, hogy a Θ a elaí éogaálozás, azaz dv Θ = V Ezé dv p = λ V Valóában a dnamka az egyensúly nyomásól aló eléés elen, ezé p helyébe dp - íhaunk És ezzel = dv V κ λ dp Ez pedg a ól sme (κ ) kompesszblás denícóa. Ennek a ecpoka az ún. kompesszó modulus, am mos egyben λ s. K = κ = λ Könnyő belán, hogy a K = λ csak olyadékoknál (gázoknál) gaz. Homogén, zoóp szlád (ugalmas) anyagnál, ahol elléphe sakus nyíó eszülség, a K ééke más lesz. Ennek oka a köekezı. Mn az uduk, egyenlees összenyomás eseén az génybeéel σ = σ = σ 33 = p A Hooke öény szen σ µε + λδ Θ = Azaz észleesen σ = µε + λ Θ σ = µε + λ Θ σ 33 = µε 33 + λ Θ Ezeke összeada és khasznála az egyenlees összenyomás ényé kapuk, hogy 3p = µ Θ + 3λ Θ µ + 3λ p = Θ 3 Azaz (ahogyan az az elızı eezeben kmonduk) homogén, zoóp, ugalmas anyagnál a kompesszó modulus ééke a Lamé állandókkal keeze a köekezı µ + 3λ K = 3 Így azán a olyadékoknál alóban K [ ] λ µ = = Mn az láuk a munkaéel konnuum közegek eseén egy mélegegyenle alakában lehe (kell) elín, a köekezı képpen 3 ( ρ ) + ( ρ Folyadékok eseén σ ) = σ ( )

4 Ezé σ = pδ ( ρ ) + ( ρ + pδ ) = + pδ ( ) 4 Elégeze a kelöl szummázásoka, adódk, hogy ρ + ρ + = + A baloldal másodk agában a kemelheı ( ) p p( ) ρ + ρ + p = + p( ) A obboldal másodk aga áíhaó a köekezıképpen p ( ) = p = p ( s &) = p ( s ) = p Θ (EME) Ugyanakko uduk, hogy a ugalmas poencáls enega sőősége denícó szen ρ ER = σ ε Homogén zoóp anyag eseén ez ρ ER = µε ε + λθδ ε Folyadékok eseén µ = és ema K = λ, ezé ρ ER = λθδ ε = K Θ ER = K Θ Θ Má láuk, hogy (H) ρ és így p = λ Θ = K Θ ER = p Θ Ez meg ponosan a (EME) knekus enega mélegegyenleében szeeplı oásag. Ez áheı a baloldala és ezzel kapuk, hogy ρ ρ + ρer + ρ + p = (EME) Az egyenlenek nagyon lágos zka aalma an. A baloldal elsı aga a ébel eles enegasőőség (knekus és ugalmas) dıbel megálozása. A másodk agban egy konekí enega áamsőőség an. A obboldal oássőőség pedg a éoga eı elesíménye Mnden, am eddg csnálunk egyomán onakozo deáls olyadéka és gáza. Mos nézzük meg, hogy m az az anyag uladonság, am különbsége esz a kééle halmazállapoú közeg közö. Ez a kompesszblásuk. Azaz a gázoka szonylag könnyen összenyomhaók, míg a olyadékok nem

5 5 Mos oglalkozzunk az összenyomhaalan olyadékokkal. Ez az elen, hogy Θ =, aagy = = Ennek köekezében pedg a ugalmas enegasőőség s zéus lesz, hszen ρ ER = K Θ = Téelezzük el oábbá, hogy a éoga eısőőség egy U alagos (azaz ömegegysége esı) skalá J poencáls enegából számazahaó, amelynek méékegysége láhaóan [ U ] =. A alagos kg poencáls enegáka szokuk poencálnak neezn. Azaz ρ U Ezzel az enegaméleg egyenle oás aga így alakul = ρ U = ( ρ U ) + U ( ρ ) Az uolsó agban a szoza deálása elégezheı ρ = ρ + ρ = ρ Θ + ( ) ρ Összenyomhaalan olyadéka ( Θ = ) ehá az enega oásagáa adódk, hogy = ( ρ U ) + U ρ = ( ρu ) + ( ρu ) Az uolsó agnál khasználuk az, hogy U poencál dı üggelen kell, hogy legyen. Eedményünke beía az enegaméleg obboldaláa az kapuk, hogy ρ + ρ + p Áendezés uán pedg = ( ) ( ) ρu + ρu ρ + ρu + ρ + p + ρu = Legyen az áamlás saconáus, azaz nncsen sehol dıüggés. Tehá az egyenleünk elsı aga zéus lesz, ezé az enegaméleg így alakul ρ + p + ρu = Toábbá elégeze a szoza deálásá, kapuk, hogy ρ + p + ρu + ρ p ρu + + = A olyadékunka mos összenyomhaalannak ekneük, azaz = = és ezé az elsı ag kesk. Maad ehá, hogy ρ + p + ρu = Ha egy áamonal menén zsgáluk az áamlás, akko mndg a sebességgel páhuzamosan haladunk. Azaz a egy áamonal men gadens elen. V

6 6 3.ába Így az enega megmaadás öényé egy áamonal menén a köekezı módon ogalmazhauk meg ρ + p + ρu = állandó Megkapuk a ól sme Benoull-éle öény. Ez ehá összenyomhaalan deáls olyadék áamonal men áamlás öényszeőségé haáozza meg Az mén gondolamene meggyızıen bemuaa a mélegegyenleek egységes szemléleé és haékonyságá. A konnuum mechanka alapozásko (eeze) megkapo enega mélegbıl lépésıllépése halada uounk el Benoull egyenlehez. Danel BERNOULLI (7-78), MEGJEGYZÉS: A Benoull család szellem hagyaéka gen elenıs mnd a zka mnd pedg a maemaka eén. 3 é ala ( ) nyolc ol csak az alább háom édekes: Jacob Benoull (654 75) aknek a neé a Benoull számok, a óla elneeze deencálegyenle és a Benoull eloszlás ız Johann Benoull ( ) a bachsochone pobléma kőzéséel aácószámíás megndíóa ol. (lásd: Elm.Fz. /Mechanka ele) Danel Benoull (7-78) az áamlásan Benoull gyenleének a megalkoóa.

7 7 A Benoull egyenlee ödebben s megkaphauk. Ennek azonban an egy ks ddakka szépséghbáa. Neezeesen az, hogy használn kell néhány ekoanalízsbıl sme azonosságo míg az elızıekben égg leezeésben nem kelle külsı maemaka mankóhoz olyamodnunk. Az ú eláásnak ugyanakko an egy elınye s. Ennek soán nylánalóá álk mad a olyadékoknak egy eddg ee maad uladonsága, amely azán úabb specáls áamlásokhoz eze Indulunk k az Eule-éle mozgás egyenlebıl és a olyadékoka onakozó Hooke öénybıl ρ ( + ) = σ + σ = p δ Azaz behelyeesíés uán ρ + ρ = δ p + Áosza a ömegsőőséggel adódk, hogy p + = + (=,,3) ρ ρ Célszeő lesz a nablásío álozao használn, azaz olyadékok mozgásegyenlee ekoos alakban a köekezı. p + ( ) = + ρ ρ A baloldal másodk agának az áíásához elhasználhauk a ekoanalízsbıl sme azonosságo, amely szen. = ( ) + ( ) Ezzel kapuk, hogy p + ( ) = + ρ ρ Ha a éoga eısőőség konzeaí, akko mn az láuk beezeheı az (alkalmazkoda a ekoos elöléshez) ρ U Saconáus áamlásko =, így azán áendezés uán kapuk, hogy U poencál p + U + = ( ) ρ Szoozzuk meg mnd a ké oldal a sebességgel páhuzamos e egységekoal. Ekko a obboldal meıleges a -e. zéus lesz, me a ( ) e + U + e p = (VV) ρ Vegyük még a ömegmegmaadás öényé ρ + ( ρ ) = Mel saconáus az áamlás a ömegsőőség dıben nem álozk, ezé ez így alakul ( ρ ) = Azaz elégeze a deálás

8 ( ρ ) = ρ + ρ = Legyen a olyadék összenyomhaalan = = Azaz kapuk, hogy ρ = Am ekoos alakban ρ = e ρ =, azaz ( ) ( ) e ( ρ ) = Ema azán a (VV) egyenle másodk agában a ρ beheı az áamonal men gadens képzésbe, azaz adódk, hogy p e + U + = ρ Így az áamonal menén halada p + U + = állandó (BEM) ρ Ugyanakko együk észe, hogy az e ( ρ ) = keezésben ké eko skalá szozaa egyenlı zéussal. Azaz ebbıl még nem köekezk az, hogy ρ = állandó, csak anny, hogy összenyomhaalan olyadék eseén az áamonal menén halada a olyadék sőősége állandó. (Temészeesen az áamonala meılegesen álozha.) De ez nekünk éppen elég ahhoz, hogy az áamonal menén éényes (BEM) egyenlee ρ -al beszoozhassuk. Így eluounk smé a ól sme Benoull egyenlehez ρ + p + ρu = állandó A köekezıkben még egy specáls olyadékmozgással smekedünk meg ez pedg az összenyomhaalan, deáls olyadék saconáus, öénymenes áamlása. Indulunk k a mozgásegyenle ekoos alakából p + ( ) = + ρ ρ Az szeeplı másodk ag leheısége ad egy áamlás oma denálásáa. Az áamonal men zsgálaunkban (pl. a Benoull egyenle) ez auomakusan előn. Egy áamlás öénymenesnek neezünk, ha = Legyen az áamlás saconáus, a nyomás állandó és külsı eık se hassanak. Ekko: ( ) = így öénymenes eseben ehá = A ekoanalízsbel maemaka összeüggés ma ee szon gaz, hogy = ( ) = = azaz = Összenyomhaalan olyadék eseén ennél öbb s gaz 8

9 9 = (DD) Mel a sebességmezı oácó menes, így léezne kell egy olyan Ψ ( ) sebességpoencálnak, amelye gaz az, hogy = Ψ Ez beía az összenyomhaalan közege denáló (DD) egyenlebe az kapuk, hogy. Ψ = Ez a ól sme Laplace egyenle. Ez a zka eléelek álal megszabo peemeléelekkel megolda Ψ sebességpoencál és ebbıl a olyadék áamlásá megadó sebességmezı. megkapuk a ( ) Hanghullámok olyadékokban és gázokban Mndennap apaszalaunk az, hogy a olyadékokban és a gázokban (hang)hullámok képesek eedn. Ekko a közeg maga nem áamlk, mégs enega és mpulzus eedés apaszalunk. Ez a hullámmozgás egyk onos saáossága. A köekezıkben ez oguk megzsgáln. Indulunk k a olyadékok, gázok Eule egyenleébıl p + = + ρ ρ Nemlneás ago elhagyuk, azaz az elköekezıkben csak a lneás hullámelenségekkel oglalkozunk Ne legyen éoga eı sem, me ez csak elbonyolía a eladaunka, ugyanakko a hullámeekus lényegéhez nem ad hozzá semm. Maad ehá = p ρ A hullámelenség eseén a p nyomás és a ρ sőőség a p és a ρ egyensúly éék köül ngadozk p p + p = 4.ába ρ = ρ + ρ ahol (mn az az ábából kőnk) p << p de ugyanakko p >> p ρ << ρ de ugyanakko ρ >> ρ (KF) Ezen meggondolások eedményekén azán íhauk, hogy a mozgásegyenle + p = ρ és a ömeg megmaadás öénye

10 ρ + ρ = Deáluk ez uóbb egyenlıség mnd a ké oldalá az dı szen és használuk k az, hogy az dı és a hely szen deálás elcseélheı ( = ) Így íhaó, hogy ρ + ρ = A a mozgásegyenlebıl keezheı és ezé ρ p = (MHE) Láhaóan ez azonban még nem hullámegyenle. De uduk, hogy az egyenleben szeeplı ké keese, p, p ρ p. Ezé bámlyen üggény { ρ } { ρ } kızö (emodnamka) kapcsola an. Azaz ( ) álozás eseén íhaó, hogy ρ d ρ = p olya ma dp A elenleg zsgál olyamaok olyan gyosak, hogy nncsen dı aa, hogy a közeg és a könyezee közö hıcsee öhessen lée, ezé dq =, azaz S = állandó Így ee az adabakus állapoálozása ρ d ρ = dp p S De akko ez gaz az egyensúly éékıl aló ks (éges) elééseke s, azaz (gyelembe ée a (KF) eléelenke) ρ ρ = p p S Ez beíhaó a (MHE) mozgásegyenlebe, amelye kapuk a ól sme hullámegyenlee ρ p p =, p S azaz opeáoos alakba ía p = p c Ahol a hullám sebessége ehá c p = ρ S Hasonló módszeel ugyanlyen hullámegyenle adódk a sőőségálozása s, azaz ρ = ρ c

11 Súlódó olyadékok áamlása, a Nae-Sokes egyenle Eddg deáls olyadékok áamlásáal oglalkozunk. Az deáls olyadékokban sem sakus, sem pedg dnamkus szkozás (belsı súlódás) nem lép el. Reáls olyadékok ugyan sakus szkozással nem endelkeznek, de dnamkussal gen. A dnamka mos az elen, hogy a belsı súlódás a deomácó sebességéıl ügg. A üggés lneás. Mndennap apaszalaok muaák, hogy a olyadékok gens endelkeznek szkozással. Gondoluk el az, hogy pl. egy golyó olyadékban (pl. ízben) mozgaunk. Ha a íz deáls olyadék lenne, akko a meglökö golyó mnden ellenállás nélkül udna mozogn benne és magáa hagya egyenlees mozgás égezne. Ha úgy eszk soha nem állna meg. Temészeesen lye (nomáls köülmények közö) még soha nem apaszalunk. Egy eáls olyadékmodell kdolgozása ehá egyálalán nem édekelen elada. A köekezıkben eıl lesz szó. MEGJEGYZÉS: A Temésze és az aomok zkáa azonban sokkal édekesebb és ucsább, mn az gondolnánk. Igen alacsony hımésékleen egyes anyagok (pl. He) elesz a dnamkus szkozásá. Ennek köekezében meglepı makoszkopkus mozgásoka ud podukáln. Például elkúszk a aóedény belsı alán és mnegy kmászk az edénybıl A dnamkus szkozás előnése pkus kanummechanka eekus. A kanumsaszkák anulása soán még alálkozhaunk ele. 5. ába A belsı súlódás egy elüle eı, hszen a szomszédos olyadékéegek egymáshoz képes csúszásako lép el. Mn mnden elüle eı, ez s egy enzoal ellemezheı. Legyen ehá a dnamka szkozás megadó enzo Ahol és ˆ σ ( ˆ ε ) &. &, azaz máx alakban σ ( ε ) & ε = & + & = s&. ( s s ) kl Mel a σ és az ε& kl közö lneás kapcsola an, ezé homogén, zoóp olyadékok eseén ugyanaz a gondolamenee lehe köen, mn a ugalmas uladonságok eseén. O az láuk, hogy σ µε + λδ Θ, (ugalmas eeze HH) = ahol Θ = ε + ε + ε33 = ε Ennek a mnááa adódk, hogy σ = µ & ε + λ δ Θ &, am a elaí éogaálozás. A obb oldal másodk agában léı elaí éogaálozás dıdeála Θ & = & ε = s = s& = = k ( ) kk k k k k k k

12 Beía de az ε& denícóá a köekezı keezéshez uunk ( ) ( ) σ = µ + + λ δ k k Am az elen, hogy µ ( + ) ha σ = µ + λ kk ha = k Az ( = ) eseben azé íuk k a kk szumma ele, me az elsı agban szeeplı µ -ben k emészeesen nem kell az -e szummázn. I azonos áalakíással a köekezı alak kaphaó σ µ µ = λ 3 3 k k k k k k σ = µ kk λ µ kk k 3 k Ú elölés ezeünk be, legyen η µ ζ λ + µ 3 Ezekkel íhaó, hogy σ = η + δ kk + ζ δ kk 3 k k Az elıbbek alapán ehá a szkózus olyadék Eule-éle mozgásegyenlee a köekezı. ρ( + ) = σ + Ebben szeepel a σ szkozás enzo degencáa. Végezzük el a deálás és az összegzés (a -e). Láhaó, hogy mos mnden azonos ndexe összegezn kell ezé elhagyuk az összes ( ) ele. (Fgyelünk az Ensen-éle szummázás, egyoma ndex konencóa!) Ezzel az kapuk, hogy σ = η + δ ( kk ) + ζ δ ( kk ) 3 A obboldal elsı és hamadk aga összeonhaó, azaz δ = = Az uolsó ag pedg δ = ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k ( ) ( ) k k k k k Ezek uán adódk, hogy η σ = η + ζ + 3 ( ) k k (=,,3) Vagy ugyanez eko alakban η σˆ η ζ = ( )

13 A mozgásegyenle ennek alapán ehá a köekezı ( ) p η ρ + = + + η + ζ + 3 ( ) ( ) 3 Legyen a olyadék összenyomhaalan, azaz = és ezé ρ { + ( ) } = p + + η Áía a szokásos komponensenkén egyenleeke ρ { + ( ) } = p + + η k k Az egyenle nee Nae-Sokes egyenle, amely leheısége ad összenyomhaalan, szkózus sebességeének a meghaáozásáa. ( Nae eése naé ) Ehhez olyadék saconáus ( ) emészeesen smen kell peemeléeleke, azaz egy zá elüle menén meg kell adnunk sebességé ééké. Lous Mae Hen NAVIER ( ). Geoge Gabel STOKES (89-93) A Nae-Sokes (NS) egyenle számíása nem egyszeő elada. De ugyanakko a mőszak éleben nagyon onos. Az áamlásan modellezések numekus szmulácóa manapság s ezeı helyen an a Vlág gépdı elhasználásának a saszkáában. Így azán mnden hasznos öle ól ön. Egy ó közelíı modellhez uunk akko, ha a ala apadónak képzelük el, amely menén a olyadék nem mozog. A szkozás köekezében a olyadék sebessége, a alól áoloda okozaosan nöekszk. Ez a aomány haáéegnek neezzük. Ebben a aományban a olyadék eáls (NS) modellé kell használnunk. A haáéegen kíül a olyadéko má deálsnak eknheük.

14 4 6. ába A NS egyenle maemaka alakából oább onos zka köekezeéseke onhaunk le. Ehhez csak a ekoanalízsben anulaka kell eldéznünk. Mn az smeees egy eszıleges ( ) ekomezıe gaz, hogy ( ) = ( ) Ha a ( ) az NS egyenleben szeeplı sebességé, akko =, hszen összenyomhaalan olyadék áamlásáól an szó. Így az NS egyenle a köekezı alako öl. ρ { + ( ) } = p + + η[ ( )] Azaz ha a súlódás alóban beleszól a olyadék mozgásába (mápedg az NS egyenle éppen ez állía) akko a = nem lehe az áamlás é mnden ponában gaz. Hszen akko η előnne az egyenlebıl. Tehá súlódásos olyadék áamlás eében kell lenne öényeknek! Pl magában a haáéegben ez pkusan elesül. Eıl könnyen meggyızıdheünk. Ugyans, ha eleszünk egy zá göbé és a sebességee ennek a menén knegáluk, ekko az eedmény láhaóan nem lesz zéus. d = a a = ( ) a 7. ába Az eedmény nylánaló, hszen a haáéegben, az álló alól áoloda a sebesség nagysága egye nagyobb lesz ( ). A eáls olyadékok áamlása és a emodnamka A eáls olyadékok áamlásá ehá a Nae Sokes (NS) egyenle ía le. ρ { + ( ) } = p + + η k k

15 5 Az deáls olyadékoknál anulak alapán a knekus enega álozásá leíó (méleg) egyenle könnyen megkonsuálhaó. Mos s a konnuum mechanka álalános enega méleg egyenleébıl kell kndulnunk. ρ + ρ σ = σ ( ) Ideáls olyadékok eseén a eszülség enzo sakus nyíás nem aalmazhao, ezé σ = pδ Vszkózus olyadéknál a sakus szkozás oábba sem lép el, de dnamkus szkozás gen, ezé σ = pδ + σ' Ez beía az álalános mélegegyenlebe az kapuk, hogy- ( ) σ ( ) ρ + ρ + pδ σ = + pδ Ahol a dnamka szkozás a sebesség mezı ébel álozásáól, agys a szomszédos olyadék éegek egymáshoz képes sebességéıl ügg. Azaz a denícó szen σ' =η + ( ) I az álalános σ µ ( ) λ δ ( ) = + + denícós összeüggésben elhasználuk az, hogy k k mos összenyomhaalan olyadékól an szó ( k k = ) és, hogy a elölésben η µ Vegyünk egy álló V éogaú éész, amelye a mozgó olyadék emészees haáa esznek köül (pl. a csı ala, agy az áamló olyadékba meülı álló akadályok, sb ). Legyen a éoga elülee A. Teknsük a olyadéko összenyomhaalannak ( = ) és a éoga eıke (pl. gaácó) hanyagoluk el ( = ). Íuk el az enega mélege ee a megado makoszkopkus éésze: V ρ dv + A ρ + p σ da = V σ' dv Tuduk, hogy a haáéeg elméle éelmében a olyadéko haáoló álló elüleek menén a olyadék sebessége zéus. Ezé a elüle negál kesk, hszen mnden aga aalmazza a sebessége. Az egyenle obb oldalán léı oás agban a súlódásból adódó belsı elüle eıhaásoka a σ' =η + dnamkus eszülség enzo ía le. ( ) Ennek kszámíásához égezzük el az alább maemaka áalakíás. I mos kíuk a [ ] keıs szumma ele, hogy ezesse a szemünke. [ ]= ( + ) ( + )( + ) = ( ) + + ( ), [ ( ) + ] = ( + )( ) = σ =,,, η Ez pedg éppen a mélegegyenle bal oldalán szeeplı (negaí) enegaoás sőőség. Azaz megada a knekus enega dsszpácóá (előnésé) a súlódásos áamlás soán. A en egyenle baloldalán uladonképpen a deomácós enzo dıbel álozás sebessége áll.,,k

16 6 ( + ) ( ε )( ε ) =,,, & ε Ez beíhaó az enega méleg egyenlebe és eel a munkaéhez hasonló összeüggés kapunk: η dq ρ dv = & ε dv d V V, Azaz a olyadék knekus enegáá a belsı dnamkus súlódás (szkozás) csökken. Ez az a mechanka enega, amelyk előnk a endszebıl. Tuduk azonban, hogy az enega megmaadás unezáls elének mos s elesülne kell. Ezé a dsszpácós enega nem lehe más, mn az a mechanka enega, amelyk eddg a endeze ( ) áamlás sebességhez kapcsolódo, ( / ρ ), de mos áalakul endezelen mozgás égzı észecskék a knekus enegááá. Ez pedg nem más, mn a ól sme (dq) hımennység. Ahogyan az a emodnamka knekus alapanál meganuluk. A alóságban ez a hımennység nem ud mnd eláozn a olyadékból, hanem emel annak a T ( ) hımésékle eloszlásá. Ezálal megáloz(ha)nak a szkozás uladonságok. Így η má nem lesz állandó, hanem η ( T{ }). Ezé azán a Nae-Sokes egyenleeke k kell egészíen a emodnamka egyenleeel s. Ezálal pesze a dolog eményelenül elbonyolódk, sok hasznos munká ada ezzel a szmulácós (zkus) szakembeeknek és a szoe eleszı cégeknek. Egyszeő elada a Nae-Sokes egyele megoldásáa: a Hagen-Poseule gyenle ( Poseulle eése poaszı ) Láuk, hogy a Nae-Sokes egyenle az smeelen ( ) sebességkomponensek helykoodnáák szen pacáls deála aalmazza. Ugyanakko megelenk benn a ( ) nem lneás ag s. Tehá egy nemlneás pacáls deencálegyenlee kellene megoldanunk, ado peem-és kezde eléelek eseé. (A peemeléelek ébel, a kezde eléelek dıbel knduló adaoka elen.). A nemlneás egyenleek megoldása gen bonyolul elada legöbbszö csak közelíı, agy numekus megoldások öhenek szóba. A mos köekezı pobléma azé onos, me ebben az eseben a Nae-Sokes egyenle egzakul megoldhaó. A megoldás egyszeő méésekkel könnyen ellenızheı. Ezálal eszelheük az NS egyenlee Beezeésül eknsük a köekezı modell eladao! Vegyünk ké, egymással páhuzamos, égelen nagy síklapo. Az egyk állon az (x,y) síkban, a másk nagyságú sebességgel mozogon pl. az x ányban. A mozgó lemez helyzeé az y=a egyenle denála. A lemez sebessége ehá L (,,). A ké sík közö alód olyadék an. Egyéb (eı)haás nncsen. Az elızményekbıl uduk ( haáéeg elméle ), hogy a olyadéknak a lapokkal énkezı éege laphoz képes áll..ába

17 Ez az elen, hogy a olyadék áamlás sebességének csak x komponense lehe, és az csak az y y. Valamn elege kell enn a köekezı peemeléeleknek. koodnááól ügghe, azaz x ( ) x ( ) = x ( a) = Haáozzuk meg a olyadék sebesség polá, azaz a x ( y) üggény. Azé eük k a elada legeleén modell elzı, hogy udaosísuk az, hogy a zka elendezés alóságban nem kelezheı, hszen mn az láuk, égelen nagy síkokól an szó. A elada megoldása nylánalóan a Nae-Sokes egyenle megoldásá elen. ρ { x + ( ) x} = x p + x + η k kx A elada kíása éelmében p =, = kapuk, hogy: ρ + = η és csak egyelen ( y) { x ( x x ) x} k k x = és x ( y) ma a ( x x ) x = ( y) = Saconáus áamlás eseén Azaz k y x k x ( y) = Ennek álalános magoldása áls x ( y) = c y + c Az negálás állandók a peemeléelekbıl adódnak, azaz és ezzel ( ) = c = x x ( a) = ca = ( y) = y x a Ez pedg a ól sme Newon éle szkozus áamlás öény. Ezen bemelegíés uán éünk á a alód eladaunka. A elada a köekezı. x 7 sebességkomponens an. Ezzel. Adódk ehá az, hogy.ába Ado egy z engelyő, L hosszúságú, a sugaú,ízsznes csı, amelyben súlódó olyadék áamlk. a.) Az áamlás saconáus, azaz ( x, y, z) =. b.) Az áamlás legyen lamnás. c.) A csı eleén a nyomás p ( x = ) = p, a égén p ( x = L) = p L d.) Tömegeık nem hanak (pl a gaácó elhanyagolhaó) azaz = e.) A olyadék összenyomhaalan, =

18 Haáozzuk meg a csöön áolyó (olyadék) áamo! 8 Elıszö mos s a sebességpol kell meghaáoznunk, amhez a Nae-Sokes egyenlee kell megoldanunk. ρ + = p + + η { ( ) } k k Az a.) és a d.) eléelek ma, az NS így alakul. ρ = p + η {( ) } k k Mel az áamlás z ányú, ezé x y Az e.) éelmében = és így z z = Ennek a megoldása pedg z x, y álozóú üggény, amelye beía az N-S egyenlebe ( ) ρ {( z z ) z } = z p + η k kz A baloldal azonban zéus, hszen ( x y) z, nem ügg a z -ıl. Maad ehá a köekezı η k kz = z p Egy onos dolog öén mos: a nemlneás ag kese!.. Nem elhanyagoluk, hanem egzak számolás soán előn az egyenlebıl. Ennek köekezében a keese z ( x, y) -e egy lneás egyenle (egy ún. Posson egyenle) adódo, amelyk mnden nehézség nélkül megoldhaó. Használa a nablásío elölés k η z k = z p Mos célszeő lesz a elada peemeléelehez (henge alakú csı) obban lleszkedı, {, z} koodnáa endszee áén. Ekko a hengees szmmea ma ( x, y) ( ) lesz. A z z,ϕ henge maemakából smeük a (ún. Laplace) opeáo hengekoodnáás alaká: + + ϕ z Ez beía a leegyszeősödö Nae-Sokes egyenleünkbe az kapuk, hogy z η = z p Az egyenle bal oldala z ( ) ma csak álozóól ügg, míg a obboldal a p ( z) nyomás üggény ma csak a z -ıl. Temészeesen ez a deencál egyenle a é mnden (,ϕ, z) ponában meg,ϕ, z álozók egymásól üggelenek, kell, hogy haáozza az áamlás szonyoka. Mel pedg az ( ) a en Posson egyenle csak akko elesülhe, ha az egyenle mndké oldala ugyanazzal az C állandóal egyenlı. A C -e a peemeléelek haáozzák meg. Íhauk ehá, hogy és η z = C

19 z p = C 9 Ezek egymásól üggelenül megoldhaók. A másodk az egyszeőbb, hszen ennek megoldása szne ebıl adódk: A nyomása kó peemeléeleknek megelelıen az kapuk, hogy pl p p( z) = z + p L Azaz pl p C = C L A másk egyenle má bonyolulabb, de nem sokkal nehezebb a megoldása. z η = C Áendezés uán z C = η Inegáluk mnd a ké oldal z C = + C η Ismé áendezünk z C C = + η Inegálás uán adódk, hogy C z = + C ln + C3 4 η A engely menén ( = ) a z sebességnek égesnek kell lenne, ezé ln nem lehe ó megoldás. Ezé C = kell, hogy legyen. Maad ehá, hogy C z = + C3 4 η De a peemeléelek szen a csı alánál a olyadék sebessége zéus, ehá C z ( a) = + 3 = 4 C η = a Azaz C C3 = 4η a És ezzel kapuk, hogy z ( ) = C ( a ) 4η Beía de a C enebb, ( C )-ben kapo ééké z p pll ( ) = ( a ) L 4η V.

20 Mel a ( ) 3.ába z, és a, ezé p pl kell, hogy legyen. Azaz a nyomás a belsı súlódás ma az áamlás ányában csökken. Ne eledük, hogy deáls olyadék eseén a nyomás a csı menén állandó maadna.(lásd a Benoull egyenle) ahol 4.ába A V. smeeében a csıben olyó olyadékáam eıssége könnyen kszámhaó, hszen I m dm = d = ρ z da, A A = a π, a csı keeszmeszee. I m a dm π = = π zd = a d ρ ρ η 8 4 p p L L Ezzel megkapuk az ún. Hagen-Poseule gyenlee, amely megada egy szkózus (eáls) olyadék áameısségé egy kö keeszmeszeő csıben öénı áamlás soán. A megoldásunk elesen ponos ol. Közelíés sehol nem alkalmazunk. Ugyanakko a méések anulsága szen ez a öény csak egy kkus sebesség ala éényes. E ölö ugyans megszőnk az áamlás lamnásnak lenn és ubulenca ndul el. Ez azé édekes, me ezek szen a ubulencá nem a nemlneás ag okozza. Há akko m? meül el a ogos kédés! A lamnás és a ubulens áamlás Mn az láuk a hdodnamka Eule-éle éelméle szemlélee eseén a (, ) sebességmezı dnamkáá haáozzuk meg. Reáls olyadékoknál ez a Nae-Sokes egyenle

21 megoldásá elen. Egy ado áamlás kíséle zsgálaa nagyon onos, hszen az NS egyenle közelíı (numekus, szmulácós) eedmények ellenızése csak így leheséges. Az áamlások szemléleésée öbbéle ogalma használunk. Ha egy kszemel észecske mozgásá köeük, akko a pályá kapuk meg. Pl az áamló olyadékban egy poszem mozgása ó közelíéssel egy olyadékészecske pályáá köe. Ha egy szélcsaonában a üscsíkoka leényképezzük, akko ezek az ún. nyomonalaka adák. Egy ado dıpllanaban egy nyomonal menén azok a koomszemcsék helyezkednek el, amelyek elızıleg a ének ugyanazon a ponán menek á. Láhaólag az nem azonos a pályáal. Míg az áamonal a (, ) sebességmezınek a dıponban e bukológöbée. Álalános eseben ez háom áamlás ellemzı emészeesen különbözn og egymásól. Könnyen beláhaó azonban, hogy (dıüggelen) saconáus áamlás eseén ez a háom egybeesk. A kíséle áamlásan a en emlíe áamlás képek echnka megeleníéséel, az ezzel kapcsolaos gyakola módszeek kalakíásáal és a méés eedmények kéékeléséel oglakozk. Ee sok ölees eláás léezk. Ezek soán álalában az áamló közegbe, aal könnyen együ mozgó paány esecskék (ényszóó szemcsék, üsszemcsék, olaszemcsék, hdogén buboékok sb ) sokaságá uanak és azok mozgásá ényképésze módszeekkel ögzík. A gyakolo áamlásan, áamlás ée (sebességmezıe). szakembe ebbıl ud köekezen a ( ) Az áamlások oszályozása a zuáls élmény köe. Ekko azonban nem csak egy elszínes lászaból íélünk. Az áamlás kép megálozása alapeı zka olyamaoka ual. Lamnás áamlásko (a megneezés a lan éege ual) az egymással páhuzamosan mozgó olyadékéegek nem keeednek össze. A saconáus áamlás megeleníéseko olyamaos áamonalaka láunk. 5.ába Ez emészeesen nem az elen, hogy a szomszédos olyadékéegek közö nncsen kapcsola, hszen a dnamkus szkozás elen an. Ez azonban az énkezı olyadékéegek közö csak egy endezelen dúzós kölcsönhaás elen. Eıl a Kíséle Fzka anágyban má anulunk. Lamnás áamlásnál ehá a ké szomszédos éeg közö a kölcsönhaás dúzós mpulzus áadás alósía meg. MEGJEGYZÉS: Emlékezeıül sméelük öden á az o anulaka. A knekus elméle alapán láuk, hogy a dúzó annak a köekezménye, hogy a ében a ( ) n észecskesőőség nem állandó. A észecskék élelenszeő hımozgásának az lesz a köekezménye, hogy álagosan öbb észecske og mozogn a ksebb koncenácóú helyek elé, mn odía. Ennek eedıekén egy leezeés uán a köekezı összeüggés kapuk: D = D n dúzós áamsőőség lép el. Elem D

22 Ahol a dúzós állandó az álagsebesség és az l álagos szabad úhosszal keezheı D = l 3 A emkus mozgás köekezében az egyk éegbıl a máskba, élelenszeően álépı molekulák szk magukkal az mpulzusuka s. Ezek az ámen molekulák a helyekkel üköze azoknak agy mpulzus adnak á, agy esznek el. Ezálal lassía, agy gyosía ez a éege. Azaz a szomszédos éegek közö, a makoszkopkus skálán egy nyíó eı x, y sík és a á meıleges ány a z. A lép el. A elenség nee a szkozás. A ké éege elálaszó elüle legyen az { } éegek az x ányban mozognak u x ( z) sebességgel. Ekko a számolás eedménye a köekezı le: du τ = η x dz A szkozás ényezıe pedg adódo, hogy η = D ρ m Ahol D az elıbb beezee dúzós ényezı, és ρ a ömegsőőség. m Láhaó ehá, hogy a szkozás csak egyelen η ényezı ellemz. Ezeke a olyadékoka Newon olyadékoknak neezzük. Láhaó, hogy a szkozás egy mpulzus dúzó elen. Elegendıen kcs sebességeknél a alód olyadékok áamlása lamnás lesz. Ha nöekszk a olyadék sebessége, akko egy bzonyos sebességhaá ele az áamlás kép lassan megálozk. (Tubulenca a lmmőészeben: Humphey Boga) 6.ába Az áamonalak összekuszálódnak, a olyadék gomolygó, dıben állandóan álozó öényekbıl álló mozgás og égezn. Ez a ubulenca elensége. Mn az láuk, lamnás áamlásko az énkezı olyadékéegek közö állandó mpulzus dúzó öénk (ez a dnamkus szkozás oka). Tubulens áamlásnál a éegek egymásba haolása a éegek közö mpulzus áamlása (konekcó) ual. Ennek kalakulásá a köekezı képpen lehe elképzeln. Megelelıen ks sebességeknél a élelenszeően kalakuló (éegek közö ámenı) ks mpulzus áamoka a szkózus eık még udák csllapían. Egy bzonyos sebesség ele azonban ez a csllapíás má nem lesz elegendı és kalakul az mpulzus konekcó. Az áamlás képbıl aa lehe köekezen, hogy egy ado ponban a (, ) sebességeko élelenszeő mozgásoka égez. Ennek molekulás oka kell, hogy legyen. Ugyans a NS egyenle egzak megoldásako kapo Hagen-Poseulle öény a apaszalaok szen egy bzonyos sebesség ele éényelenné álk a kalakuló ubulens mozgások ma. Ez pedg csak úgy lehe, hogy a

23 3 háében olyan eekusok annak, amelyek a NS-egyenleben nncsenek benne. Ezek pedg csak a mkoszkopkus mozgások lehenek. A lamnás áamlás megszőnéseko eddg mndg megelelıen kcs, bzonyos nagyságú sebességekıl beszélünk. I az dee, hogy ez számszeően s megogalmazhassuk állíásanka Ee szolgál az ún. Reynolds szám. A kíséle áamlásan egyk gen onos és hasznos eszköze e modellezés. Egy alód áamlás kép kszámíása néha gen bonyolul elada. Hába smeük a NS egyenlee, annak konké magoldásához a peemeléelek s kellenek. A alóságban ezek gen bonyolul geomeáú elüleek lehenek. Ezé csak közelíı numekus eláások öhenek számíásba. Ekko azonban nem á, ha a számíásanka ellenızn s uduk. Ez különösen onos a ménök eezésben. A megépíendı mőágyak (hdak, épüleek, gáendszeek, epülıgépek, haók, gépkocsk, sb ) eseén egy eezés hba égzees lehe, embeleg és anyaglag egyaán. Ha skeül laboméeő makeeken mééseke égezn, akko ez sok kudacól menhe meg a eezı. De mko ó egy make? Könnyen beláhaó, hogy nem egyszeő geomea kcsnyíésıl an szó. A modell áamlás szonyanak kell ugyanolyannak lenne, mn a alóságos mőágyé. A nöekı áamlás sebesség soán kalakuló ubulenca 7.ába Azoka a számoka, amelyeknek az egyezése eseén a modell és a alóságos obekum álal podukál elenség zkalag hasonló, hasonlóság számoknak neezzük. A ménök gyakola sok lye sme, ezek mndegyke egy ado elenség hasonlóságá elen. M mos csak az áamlásan hasonlóság számmal az ún. Reynolds számmal ogunk megsmekedn. A modellezés udománya és a hasonlóság elek máa má ól kmőel mőszak szakeüleek. Könyány szakodalommal, benne engeny kíséle eedménnyel. M mos csak a ózan zkus eszünke hallgaa mondunk el egy-ké alapeı dolgo. Abból az egyszeősíe apaszalaból ndulunk k, hogy ha ké zka elensége ugyanaz a dnamka egyenle (mozgásegyenle) ía le, akko a ké elenség zkalag s hasonló é-dı olyamaoka og muan. Jól sme elem zka meggyelés például a mechanka és az elekomos áamkö oszclláo hasonlósága.

24 4 8.ába A csllapío mechanka oszclláo mozgásegyenlee: m & x + kx& + Dx = A soos ezgıköe (elekomágneses oszclláo) a Kccho öény alapán és az elhasználásáal adódk,hogy: L Q& + RQ& + Q = C Mnd a keı ugyanaa a közös alaka hozhaó: & ξ + αξ& + ω ξ = Ahol I = Q& denícó ξ x Q k R α m L D ω m LC Ez azonban még nem gaz hasonlóság, me a ξ egy méékegységgel endelkezı mennység. És ezé csak kalaí összehasonlíása ad leheısége. Azaz, ha a ké endszeben a ξ ( ) üggénye ugyanaz a száméék adódk, akko az nem elen semm, hszen az 5 mée az 5 Coulombbal összehasonlíhaalan. Más lenne a helyze, ha ξ egy pusza szám lenne. Ez má alód hasonlóságo elenene. Póbálkozzunk meg ezzel! A mozgásegyenle m & x + kx& + Dx = A szokásos áalakíással & x + α& x + ω x = Válasszunk méékegysége, úgy, hogy ahol [ ] = és [ ] = [ dı ] x ξ ahol [ ξ ] = és [ x ] = [ hosszúság] x (A az elen, hogy legyen helyee.) Ezzel a mozgásegyenle így alakul x & ξ x + αξ& + xωξ = x & ξ + αξ& + ωξ = Válasszuk meg az dıskálá úgy, hogy = ω Így adódk, hogy

25 & α ξ + & ξ + ξ = ω Legyen ω Dm Q =. α k És ezzel && ξ + & ξ + ξ = Q Ebben a mozgásegyenleben egyk mennységnek sncsen méékegysége. Ez egy abszolú mozgásegyenle. A Q egy hasonlóság szám nee az oszclláo óság ényezıe. Ugyanez égg csnálhauk a soos ezgıköe s. Eedményül az adódk, hogy 5 && ξ + & ξ + ξ = Q L Q = R C Tehá a ké oszclláo akko hasonló, ha a óság ényezıük (ez egy szám) megegyezk. Azaz úgy kell az áamkö és a mechanka elemeke megálaszan, hogy elesülön a köekezı egyenlıség: L Dm = R C k Ekko elmondhauk, hogy az egyk oszclláo, a másknak a modelle. Azé oglalkozunk ezzel az egyszeő eladaal lyen hosszan, me elesen hasonló módsze kell alkalmaznunk a sokkal bonyolulabb áamlásan eseekben s. Teknsük az összenyomhaalan, eáls(szkózus) olyadék áamlásá leíó NS egyenlee. ρ { + ( ) } = p + + η k k Vezessük be köekezı méékegységeke (ezek a ndexő mennységek) ρ η x ρ ρ η η p p p Láhaó, hogy az ú dnamka mennységek mos számok. Ezeke beía az NS egyenlebe adódk p η ρ ρ + ( ) = p + + η k k x x x Mel a dnamka mennységek mos mnd méékegység nélkül számok ezé az összes ag együhaóának a méékegysége ([xx]) ugyanaz kell, hogy legyen. Azaz (balól obba soendben)

26 ρ = ρ x = p x = η [ ] = x 6 Ezekbıl s számoka kell csnáln. Ez öbbéleképp megeheı, hszen az egyenlıséglánc bámelyk agáal éggoszunk, akko az eedmény [ ] lesz. x Szoozzuk há meg mnden ago el ρ Ekko az egyes együhaóka, a megelelı soendben a köekezı kapuk x p x η = [ ] = = = ρ ρ ρ x Temészeesen csak a méékegységek egyeznek meg., de a száméékek nem. Mnden ago elneezek és egy ele s adak nekk. Ezek a hasonlóság számok. Ezek megneezése és ele a köekezı: Souhal szám S Eule szám Eu Foude szám F Reynolds szám Ry x Ezek uán, ha a HS egyenlee s beszoozzuk a keezéssel, akko hasonlóság számok és ρ méékegység nélkül dnamka mennységek ognak benne szeepeln. Kapuk ehá, hogy ρ S + ( ) = p + + η k k Eu F Re Ké áamlás mámos akko hasonló, ha mnden hasonlóság számuk megegyezk. Ekko ugyans azonos maemaka egyenleeke kapunk méék egységek nélkül. A gyakolaban azonban nem kell mnden hasonlóság számnak megegyezne. Elég, ha csak a zsgál eekus szemponából hasonló a modell a alód obekummal. A lamnás, ubulens áamlás kalakulása a Reynolds szám nagyságáól ügg.. A apaszalaok szen, egyenes csıben áamló eáls olyadék eseén az áamlás lamnás lesz, ha ρ x Re= < (kb) 3 η A Reynolds számnak szemlélees elenése s an Vegyünk egy ks A keeszmeszeő, hosszúságú, sebességgel áamló olyadékéeg daabo Ekko a kszemel olyadékdaab mpulzusa ρ A ( ) Ha ez dı ala meg akanánk állían, akko ehhez ρ ( A ) Nagyságú eı kellene, amely pedg egy nyomóeszülsége ( elüle egysége esı eı ) elen F = ρ A ól sme Newon-éle szkozíás öény szen a olyadékéegek közö csúszó eszülség

27 7 d τ = η dξ Ahol a ξ a áamlás sebessége meıleges ány elen. Ee pedg a dmenzólaníás uán kapuk d η τ = η = ττ dξ x Azaz η τ = x Képeze a ké aa eszülség hányadosá, az kapuk, hogy F ρ x = =Re τ η Tehá e Reynolds szám az áamlásból adódó eheelenség eı, és az mpulzusdúzóból adódó nyíó eı hányadosa. Ha a Reyolds szám nagy, akko elae kcs a súlódás az áamláshoz képes. Az deáls olyadék Reynolds száma álsan égelen nagy [ Re ] = deáls Ez az elen, hogy az áamlás mnden sebesség ééknél lamnás lesz. Osbone REYNOLDS (84-9) Végezeül állon egy képála a ubulenca álozaos lágából Rég kızeben a hadan ubulenca nyoma Láaolyam lamnás áamlása ubulens észekkel Khől (megköesede) láa a lamnás és ubulens áamlás eleel.

28 8 Tubulens gázáamlás a elhıkben Repülıgép álal kele ubulens légáamlás A Jupe légköében léı ellegzees óás ubulenca ( Jupe szeme ) Tubulenca az Unezumban léı csllagköz po és gázködökben Fanáza eemee ubulenca mn az zaklao lelk állapo keezıe (Van Gogh).

29 9