A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni a címbeli témakör bizonos ismereteit Ehhez tekintsük az ábrát is! ábra tt eg tetszőleges alakú ( rúdkeresztmetszeti ) síkidomot eg tetszőleges O pontjában felvett tetszőleges állású ( O ) valamint eg hozzá képest φ szöggel elforgatott hel - zetű ( O u v ) derékszögű koordináta - rendszerben adunk meg úg hog megadjuk bár - mel P pontjának ( P P ) illetve ( u P v P ) koordinátáit Először leírjuk a kétféle k r közti kapcsolatot Az ábra szerint: u P rp cos P ( ) vp rp sin P Az ismert trigonometriai azonosságokkal elhagva a P indeet: u rcos r cos cos sin sin rcos cos rsin sin cos sin u cos sin ( ) Hasonlóan: v rsin r sin cos cossin rsin cos rcos sin cos sin
v sin cos ( 3 ) Most képezzük az def u v d ( 4 ) másodrendű nomaték [ ] kifejezését! ( 3 ) és ( 4 ) szerint: u v d sin cos d sin sin cos cos d sin d sin cos d cos d u cos dsin dsin cos d ( 5 ) Bevezetve az eredeti k r- ben értelmezett másodrendű nomatékokra az d d d jelöléseket ( 5 ) és ( 6 ) - tal: cos sin sin cos ( 7 ) u ( 6 ) Most bevezetjük a q cos q sin ( 8 ) jelöléseket is majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal: u q q q q f q q ( 9 ) Keressük tehát az f q q függvén szélső értékeit a
3 q q q q 0 ( 0 ) mellékfeltétel esetén Az eljárás [ ] [ 3 ] [ 4 ] : képezzük a λ Lagrange - féle multiplikátorral a q q f q q q q ( ) függvént majd keressük ennek feltétel nélküli szélsőértékét A feltételi egenletek: q q 0 q q q ( ) 0 q Most ( ) és ( ) - vel: q q f q q q q 0 q q q q q f q q q q 0 q q q Majd ( 9 ) ( 0 ) és ( 3 ) szerint: f q q q q q q q q q q f q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q vagis ( 3 ) és ( 4 ) - gel: q q q 0 q q q 0 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Rendezve:
q q 0 q q 0 Ez eg lineáris homogén egenletrendszer melnek triviális megoldása : 4 ( 6 ) q q 0 ( 7 ) Ámde ( 8 ) és ( 7 ) szerint ekkor sin cos 0 ami lehetetlen Ezért ( 6 ) nem triviális megoldása létezésének feltétele amint azt a lineáris egenletrendszerek elmé - letéből tudjuk ld pl: [ 5 ]! az egenletrendszer determinánsának zérus értéke: 0 ( 8 ) Kifejtve: 0 0 0 ( 9 ) A ( 9 ) másodfokú egenletet a megoldó - képlettel megoldva: 4 4 4 4 4 4 4 4 A szokásos jelöléssel: ( 0 )
5 ( ) ahol ( ) a szélsőértékeket jelentő főmásodrendű nomatékok jelölése melekre ( 0 ) és ( ) szerint: 4 ma 4 min ( ) ( ) - ből azonnal adódik hog ( 3 ) A főtengelek iránainak meghatározása érdekében visszatérünk ( 6 ) - hoz; ( 8 ) - cal is: cos sin sin cos Most ( ) és ( 4 ) - gel: cos sin sin cos ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) - ből kapjuk: tg tg ( 6 ) ( 6 ) - ot részletezve:
6 tg tg ( 7 ) Most ( ) - vel és ( 7 ) első részével: tg 4 4 tg ( 8 ) Hasonlóképpen: tg ( 9 ) Majd ( ) - vel és ( 7 ) második részével:
tg 4 7 4 4 tg ( 30 ) Hasonlóképpen: tg ( 3 ) Most ( 8 ) és ( 9 ) összeszorzásával: tg tg
8 tg tg ( 3 / ) Hasonlóképpen: ( 30 ) és ( 3 ) összeszorzásával: tg tg tg tg ( 3 / ) A ( 3 ) képlet két egenes merőlegességének feltételét fejezi ki [ 5 ] tehát kimondhatjuk hog a főtengelek merőlegesek egmásra: 90 ( 33 ) Még azt kell eldöntenünk hog ( 33 ) - ban melik előjel veendő ezért vegük alapo - sabban is szemügre a ( 6 / ) képleteket! Ezek: tg ( 34 ) tg Emlékeztetünk arra a ténre ábra hog a φ és φ szögeket az előzetesen felvett - tengeltől mérjük Tekintsük az 0 eseteket! Ekkor további két eset lehetséges: a ) eset: > 0 b ) eset: < 0 Az esetek követését ábrákkal segítjük a ) eset: 0 ( * ) Ekkor ( 34 / ) - gel és ( * ) - gal:
9 tg 0 ma arctg < 0 ma 80 > 0 Majd ( 34 / ) - el és ( * ) - gal: tg 0 min arctg 0 min 80 > 0 ( 35 ) ( 36 ) A ábra a ( 35 ) és ( 36 ) szerinti szögeket valamint a hozzájuk tartozó ( ) tengel - kereszteket mutatja A képletekben azért nem 80 szerepel mert mindkét előjel uganazt az iránt jellemzi és a többféle méretmegadás csak rontotta volna a rajzok áttekinthetőségét b ) eset: 0 ( ** ) ábra
0 Ekkor ( 34 / ) - gel és ( ** ) - gal: tg 0 ma arctg 0 80 > 0 Majd ( 34 / ) - el és ( ** ) - gal: tg 0 min arctg 0 80 > 0 ( 37 ) ( 38 ) A 3 ábra a ( 37 ) és ( 38 ) szerinti szögeket szemlélteti 3 ábra
Látjuk hog mindkét ábrán 4-4 darab ( ) tengelkeresztet rajzoltunk fel Ezek alapján azt válaszolhatjuk a ( 33 ) kapcsán feltett kérdésre hog ha 0 akkor + ha 0 akkor Ezek szerint ( 33 ) és (! ) szerint kapjuk hog ha 0 akkor arctg arctg 90 ; ha 0 akkor arctg arctg 90 (! ) (!! ) Mivel azonban a b ) esetben jó a 80 érték is ezért (!! ) helett választhatjuk az alábbi értékpárt is: ha 0 akkor arctg arctg 90 ; ha 0 akkor (!!! ) arctg arctg 90 80 Ámde (!!! ) - ból kiolvasható hog ha 0 akkor arctg arctg 90 ( 39 ) Na de mi van akkor ha = 0? Ez esetben ( 39 ) szerint: 0 90 0 0 vagis a választott ( 0 ) tengelrendszer már eleve főtengelrendszer ( 40 ) Most foglaljuk össze az eredméneket! A ( ) és ( 39 ) képletek szerint eg síkidom tetszőlegesen választott ( 0 ) tengelrendszerében fennáll hog a főtengelek irána és a rájuk vonatkoztatott fő - másodrendű nomatékok nagsága:
arctg arctg 90 ; 4 ma 4 min ( 4 ) Megjegzések: M Bár sokat dolgoztunk látszólag nem nagon jutottunk előrébb a feladat megoldá - saként először kapott tg tg 4 ma 4 min ( 4 ) képleteknél Ez íg nem egészen igaz mert a kezdő elég rendesen el tud tévedni a szögek és tengelek útvesztőjében ld pl: ( 6 )! Másfelől pedig fontos hog a témát behatób - ban tanulmánozni kívánó tanuló ne csak a tankönvekben favorizált kétszeres szöges tg0 képlet - alakot lássa hanem a többi képletet és azok egmással való összefüggéseit is megismerje ( 43 )
M Nem érdektelen hog az eredetihez képest elforgatott tengelekre vonatkozó másodrendű nomatékok szerkesztéssel való előállítása során az egszeres szögek tangensével adódó ( 6 ) összefüggések viszonlag können előállnak sok magasabb matematika nélkül is Ez azt is jelzi hog a tanulónak érdemes lehet a grafikus eljárásokkal behatóbban is megismerkednie 3 M3 A fentihez hasonló feladatok a mechanika más területein is előfordulnak Például [ 6 ] - ban a merev testek főtehetetlenségi tengeleinek és az ezekre vonatkoz - tatott másodrendű fő - nomatékoknak a meghatározására írnak fel ( ) és ( ) - höz hasonló egenleteket Míg a síkidomoknál két addig testeknél három egenletből áll a főtengelek iránának meghatározását lehetővé tevő homogén lineáris egenletrendszer A nehézségek fokozódnak mert amíg itt λ értékeit eg másodfokú addig ott λ 3 érté - keit eg harmadfokú algebrai egenlet gökei adják stb rodalom: [ ] Muttnánszk Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könvkiadó Budapest 98 [ ] N Bronstejn ~ K A Szemengajev: Matematikai zsebkönv kiadás Műszaki Könvkiadó Budapest 963 [ 3 ] A Bermant: Matematikai analízis rész Tankönvkiadó Budapest 95 [ 4 ] D Raskovit: Otpornoszt materijala Naucsna Kniga Beograd 984 [ 5 ] Obádovics J Gula: Matematika 5 kiadás Scolar Kiadó Budapest 998 [ 6 ] Cholnok Tibor: Mechanika kötet: Kinematika és kinetika Tankönvkiadó Budapest 968 Sződliget 0 július 6 Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár