Vktorlgr. Liáris komiáió kooriát ázis Guss. Aott z árá láthtó CD prllogrmm. Htározz mg z és vktorok kooriátáit z és vktorok ázisár votkozttv! Mgolás AC BD ). Aott z lái szályos szrt li) htszög j mg z árázolt vktorok kooriátáit z vktorok ázisá!. Bizoyíts hogy v 8 vktor lőállíthtó z vktorok liáris komiáiójkét! Aj mg zt liáris komiáiót! Aj mg v vktor kooriátáit z vktorok ázisá!
Mgolás A kövtkző vktorgylt mgolásit krssük: v Ez gy liáris gyltrszr ismrtlkkl Guss-J. lgoritmussl mgolhtó: 8 8 Thát liáris komiáió: v v. Mily t értékk) mlltt NEM állíthtó lő v 8 vktor z t liáris komiáiójkét? 8 8 t t Csk kkor v mgolás h t thát h t kkor tiltósort kpuk és kkor v vktor m állíthtó lő z vktorok liáris komiáiójkét.. Előállíthtó- vktor z vktorok liáris komiáiójkét? H ig hogy? R Ig lőállíthtó méghozzá végtl sok mgolás v! Pélául gy mgolás: ) ) )
. Aott égy vktor: Előállíthtó- vktor z vktorok liáris komiáiójkét? H ig hogy? És z vktor z vktorok liáris komiáiójkét? Ig lőállíthtó és potos gy mgolás v rá: Ig 8 8. Előállíthtó- vktor z vktorok liáris komiáiójkét? H ig hogy? Mgolás Ig lőállíthtó: 8. Aott z lái három sík. Aj mg három sík közös potjik hlmzát! Mily gomtrii ojktumot htározk mg? y x = z = S y = x = S y x = z = S Mgolás A három síkgylt áltl mghtározott liáris gyltrszrt kll mgoli. y z R y y x Végtl sok mtszéspot v síkok mtszt gy gys.
. Vktorlgr. Aott gy prllogrmm három sús. D B A Htározz mg gyik pot kooriátáit Htározz mg prllogrmm krültét! Aj mg prllogrmm szögit! Htározz mg z háromszög C súsához trtozó mgsság vktorát! Htározz mg prllogrmm trültét Mgolás Két ollvktor: AC C pot kooriátái: AC OA Lgy két ollvktor: és A vktorok hossz: ) Thát krült: K és vktorok sklárszorzt: ) és vktorok szög: os 8 -vl párhuzmos gységvktor: / / A vktor vktorrl párhuzmos kompos: / / / / ) ) Mgjgyzés: A párhuzmos kompos képlték gy másik lhtségs flírás: ) )
A krstt mgsságvktor mggyzik vktor vktorr mrőlgs komposévl: / 8/ / / m Az és vktorok vktoriális szorzt: 8 8 ) ) ) ) ) k j i k j i k j i A vktoriális szorzt hossz mgj prllogrmm trültét: ) 8 log T rmm prl Emlékzttő: log T T rmm prl háromszög ). Aott két vktor és illtv tér gy potj A. Írj fl pot és két vktor áltl mghtározott sík gyltét! Lgy P tér gy másik potj. Rjt v- z lőző flt mghtározott síko? Mguk gy hrmik vktort 8 -t. Myi z vktorok áltl kifszíttt prllpipo térfogt? Az iokláshoz hszálj vktorlgrá tult ismrtkt! Mgolás A két vktor vktoriális szorzt mrőlgs mikét vktorr zért mrőlgs síkr is így z lsz sík ormálvktor: k j i k j i A sík gylték képlt Ax+By+Cz = Ax +By +Cz hol C B A ormál vktor és z y x sík gy ttszőlgs potj. SÍK EGYENLETE: 8 z y x 8 ) P is rjt síko mrt m tljsíti z gyltt.
A prllpipo térfogt három vktor vgys szorztávl gyzik mg: V prllpi po Emlékzttő: 8 V ttrér Vprllpipo ). Számíts ki x+y+z= és x-y+z=- gyltű síkok áltl zárt kisik) szögt! A két sík áltl zárt szög mggyzik ormálvktorik áltl zárt szöggl. A ormálvktorok kooriátái pig z gyltkől lolvshtók. A két ormálvktor: =) =-) A ormálvktorok hossz: =gyök) =gyök8) A zárt szög: os lf=8-+)/gyök)gyök8)= lf=. Számíts ki P pot és x-y+z= gyltű sík távolságát! Mgolás Mgkrssük sík gy ttszőlgs potját mi kilégíti z gyltt lgy z pot: A A P pot síktól vtt távolságát mgkpjuk h z A potól P- muttó vktor mrőlgs vtültét vsszük sík ormálvktorár. AP Normálvktorrl párhuzmos gységvktor: ) APmrőlgs vtült ormálvktorr: AP + -)/ = -/ Azért ltt gtív mrt síkk m zoos ollá volt pot és ormálvktor. A P pot távolság síktól: / / / /. Aottk tér z lái potok: A[;;] B[;;-] C[;;-] D[-;;] ) Aj mg z és C potok áltl mghtározott sík gyltét és láss hogy pot is gy sík! ) Számíts ki potok áltl mghtározott ttrér térfogtát! ) Aj mg ttrér D pothoz trtozó mgsságát! ) Aj mg ttrér D pothoz trtozó mgsságvktorát!
Mgolás ) Az és C potok mghtározk két vktort: A sík ormálvktor: és i j k 8 8i j k A sík gylt: 8x y z AC D pot kooriátáit hlyttsítv: 8 ) Nis síko D pot. ) A ttrért mghtározó hrmik vktor: 8 Térfogt: V 8 ) V ttrér V prllpi po prllpipo ) A ttrér mgsságát kétfél móo is számolhtjuk: ) V m T ttrér lpháromszög V T prllpipo lpprl log rmm 8 ) A ttrér mgsság = D sús távolság z C síktól pot és sík távolság) m ) 8 8/ / / ) A ttrér mgsságvktor mrőlgs z lplp síkjár zért párhuzmos sík ormálvktorávl hossz pig ) flt kiszámolt m zért mgsságvktor = m * ormálvktor iráyú gységvktor: m m 8/ / / 88/ 8/ /
. Az ókori Egyiptom gyszr tmplomot építttk Hórusz tisztltér. A tmplom érksség hogy kpuj m szokásos tégllp hm háromszög lkú volt még sk m is gylőszárú. A háromszögltű jtó flső súsá gy kő véstt szm jlzt z rr járókk hogy Hórusz tmplomához tévtk. A kpu potos szm ltt gy pró kígyó tkrgőzött és őrizt z gytl jártot. A tmplom trvik készítéskor ógyiptomi kooriátrszrt hszáltk mly járt három súsák: A B C Itt A és B háromszög lpják két sús C flső sús. Vjo ógyiptomi kooriátrszr mik k vktork kooriátái mi kígyótól szmhz mutt? AC AC AC 8 8 8. A mtmtikusok pikikt szrvzk és lhtározzák hogy rr z lklomr sütk gy szép gy prlllpipo lkú tortát. Sjos zo m tuják hogy potos myi mssz szükségs tésztához zt még ki kll számoli. Azt tujuk hogy z lplp hosszik oll m szélsség m és z ollk fokos szögt zárk. A hrmik oll és hosszik lpél áltl mghtározott sík mrőlgs z lplp síkjár. A hrmik oll hossz és végpotjáól hosszik ollr állított mrőlgs z ollt közös potjuktól m távolságr mtszi. Számítsuk ki szükségs tészt térfogtát! A prllpipot mghtározó három vktor: = ) = -) = ) Atérfogt vgys szorzt lpjá: V = 8 8. Aottk tér z lái potok: A[;;] B[;-;-] C[;;] ) Számíts ki z áltluk mghtározott háromszög trültét! ) Számíts ki háromszög lggyo szögét! ) Aj mg C súsól iuló mgsságvktor kooriátáit! mgolás: ) T = ) lggyo szög C súsál v fok ) m = [- -8/; /8]
. Lgyk ottk z lái potok Tkitsük z és vktorok áltl kifszíttt prllogrmmát mlyk gyik súsát jlölj! ) Számíts ki prllogrmm krültét! ) Htározz mg z háromszög súsához trtozó mgsság vktorát! ) ). Lgyk ottk z lái potok z ázis). Tkitsük z és vktorok áltl kifszíttt prllogrmmát mlyk gyik súsát jlölj! ) Számíts ki prllogrmm krültét! ) Htározz mg z háromszög súsához trtozó mgsság vktorát! ) ). Egy oly ttrér lkú prizmát szrték gyárti üvgől mlyk súsi z lái potok kll illszkk. ) Ahhoz hogy prizmát készítő gép potos tujo vági mg kll uk z olllpok síkjik gyltit. Az olllp kivétlévl mi oll síkják gylt ismrt. Htározz mg hiáyzó olllp síkják gyltét! ) Szrték tui hogy prizm ollit mgvilágítv mkkor szögű féytörés fog kövtkzi. Ehhz ismri kll z olllpok áltl zárt szögkt. Htározz mg z és z olllpok síkji áltl zárt szögt! ) Szrték mghtározi prizm várhtó súlyát még z lkészítés lőtt. Mivl ismrt z lklmzott üvg sűrűség hhz lég mghtározuk prizm térfogtot. Mkkor z térfogt? ) Szrték tui hogy mily mgs prizm h z olllpjár állítjuk. Htározz mg zt mgsságot!
) ) ) ). Egy oly ttrér lkú prizmát szrték gyárti üvgől mlyk súsi z lái potok kll illszkk. ) Ahhoz hogy prizmát készítő gép potos tujo vági mg kll uk z olllpok síkjik gyltit. A olllp kivétlévl mi oll síkják gylt ismrt. Htározz mg hiáyzó olllp síkják gyltét! ) Szrték tui hogy prizm ollit mgvilágítv mkkor szögű féytörés fog kövtkzi. Ehhz ismri kll z olllpok áltl zárt szögkt. Htározz mg z és B olllpok síkji áltl zárt szögt! ) Szrték mghtározi prizm várhtó súlyát még z lkészítés lőtt. Mivl ismrt z lklmzott üvg sűrűség hhz lég mghtározuk prizm térfogtot. Mkkor z térfogt? ) Szrték tui hogy mily mgs prizm h z olllpjár állítjuk. Htározz mg zt mgsságot! ) ) ) )
. Htározz mg z CD prllogrmm C súsát és szögit h z A z origó és továi két sús kooriátái: B ) D -) ) Aj mg z E - ) D és C potok áltl mghtározott sík gyltét Mgolás Jlöljük z ott súsok muttó vktorokt kis tűkkl. C kooriátái: =+= -) Szögk:? Két síkli vktor kooriátái: -=- ) -= - ) Két síkli vktor vktoriális szorzt j ormálvktort: -)x-) = i j = ) A sík gylt y+z = k =i+ j+k. Olszország gyik kisvárosák lkos Giovi lhtározt hogy ttrér lkú mét építtt mrt szrttt vol kitűi z gyhgú szomszéok közül. A trvző Giovi krtjé kijlölt m súsák kooriátáit gy áltl válsztott kooriátrszr mlyről yit tuuk hogy gység = métr. O= ) ) ) ) A= B= C= ) Elkészült utá háy kömétr víz fér mj mé? ) Giovi szrté tél poyvávl lfi mét. Háy égyztmétr poyvár lsz szükség h ttrér O lpj sik víztükör síkjá? ) A trvző mét íszkövkkl szrté szgélyzi. Háy métr hosszú lsz íszkősor m körül?. Az S sík mrőlgs v= ) vktorr és trtlmzz z A= ) potot. ) Htározz mg z S sík gyltét! ) ) Mily távol v B= pot z S síktól? ) Írj fl B pot muttó hlyvktort z S síkr mrőlgs és párhuzmos vktorok összgkét!
. Mily szögt zár gymássl z S és S sík? S = x y z = S =x y+=. Aott égy pot: A - ) B- ) C ) D- - ). Írj fl z C potok áltl mghtározott S sík gyltét! Számíts ki z C háromszög trültét tult vktorlgri móo! Mily mssz v D pot z.-li S síktól? Aj mg z C háromszög B súsá muttó mgsságvktor kooriátáit! 8. Mkkor kövtkző vktorok áltl mghtározott prllpipo térfogt? [ ] [ - ] [- -]. Aott gy ttrér mlyk súsi z láik: ) Htározz mg z olllp síkják gyltét! ) Htározz mg z és olllpok síkji áltl zárt szögt h ismrt hogy z olllp síkják gylt! ) Htározz mg ttrér térfogtát! ) Htározz mg ttrér súsához trtozó mgsság gyságát!