Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás: Alkalmazzuk a következő módszereket: amennyiben mindkét egyenletben ugyanazok a kifejezések szerepelnek, akkor vezessünk be új ismeretleneket, ha pedig különbözőek, akkor a két egyenletet külön külön hozzuk egyszerűbb alakra. 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 Legyen a = 3 x és b = 2 y. Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5a 2b = 7 2a + b = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 3 és b = 4. Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket: a = 3 3 x = 3 x = 1 b = 4 2 y = 4 y = 2 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (1; 2). 1
7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) Alakítsuk át az egyenletrendszert a következőképpen: 7 7 x 6 3 6 y = 1 6 2 6 y 7 x = 5 (6 y + 1) Legyen a = 7 x és b = 6 y. Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 7a 216b = 1 36b a = 5 (b + 1) Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 1111 és b = 36. Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket: a = 1111 7 x = 1111 x = log 7 1111 = b = 36 6 y = 36 y = 2 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (log 7 1111 ; 2). lg 1111 lg 7 3,6 c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 5 2+xy = 5 0 az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt 2 + xy = 0 3 y+3x = 3 az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt y + 3x = 1 2
2 + xy = 0 y + 3x = 1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 1; x 2 = 2 és y 3 1 = 2; y 2 = 3. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 2), ( 2 3 ; 3). 2. (K) Oldd meg a következő logaritmikus egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) c) 5 log 2 x 3 log 3 y = 9 2 log 2 x + log 3 y = 8 lg x + lg y = 2 lg y lg x = lg 25 log 2 [log 3 (x + y)] = 1 lg x + lg y = 3 lg 2 Megoldás: Alkalmazzuk a következő módszereket: amennyiben mindkét egyenletben ugyanazok a kifejezések szerepelnek, akkor vezessünk be új ismeretleneket, ha pedig különbözőek, akkor a két egyenletet külön külön hozzuk egyszerűbb alakra. 5 log 2 x 3 log 3 y = 9 2 log 2 x + log 3 y = 8 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 Legyen a = log 2 x és b = log 3 y. Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5a 3b = 9 2a + b = 8 3
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 3 és b = 2. Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket: a = 3 log 2 x = 3 x = 8 b = 2 log 3 y = 2 y = 9 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (8; 9). lg x + lg y = 2 lg y lg x = lg 25 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 lg(xy) = 2 definíció szerint xy = 100 lg y x = lg 25 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt y x = 25 xy = 100 y = 25 x Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 2; x 2 = 2 és y 1 = 50; y 2 = 50. Az első értékek nem felelnek meg a feltételnek. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (2; 50). 4
c) log 2 [log 3 (x + y)] = 1 lg x + lg y = 3 lg 2 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 log 3 (x + y) > 0 log 3 (x + y) = 2 definíció szerint x + y = 9 lg(xy) = lg 8 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt xy = 8 x + y = 9 xy = 8 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 1; x 2 = 8 és y 1 = 8; y 2 = 1. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 8), (8; 1). 3. (K) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) log 5 x + log 5 y = 1 2 x 4 8 y = 0 10 1+lg(x+y) = 50 lg(x y) + lg(x + y) = 2 lg 5 5
Megoldás: Ezen egyenletrendszereknél a két egyenletet külön külön hozzuk egyszerűbb alakra. log 5 x + log 5 y = 1 2 x 4 8 y = 0 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 log 5 (xy) = log 5 5 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt xy = 5 2 x = 2 2+3y az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt x = 2 + 3y xy = 5 x = 2 + 3y Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 5 és y 1 = 5 3 ; y 2 = 1. Az első értékek nem felelnek meg a feltételnek. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (5; 1). 6
10 1+lg(x+y) = 50 lg(x y) + lg(x + y) = 2 lg 5 Értelmezési tartomány: x + y > 0 x y > 0 10 1 10 lg(x+y) = 50 10 lg(x+y) = 5 definíció szerint x + y = 5 lg[(x y) (x + y)] = lg 100 lg 5 lg(x 2 y 2 ) = lg 20 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 2 y 2 = 20 x + y = 5 x 2 y 2 = 20 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 és y = 1. 2 2 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: ( 9 2 ; 1 2 ). 7
4. (E) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 2 x + 3 y 6 = 5 9 y 4 x = 23 (2 x + 3 y ) x log 3 x y log 3 y = 243 x log 3 y y log 3 x = 81 c) log 3 x + log 9 y = 3 2 log x 3 + log y 9 = 3 d) lg (x 2 + y 2 ) = 2 lg 5 lg (x + y) + lg (x y) = lg 1, 2 + 1 e) 3 x 2 y = 576 log 2 (y x) = 4 Megoldás: 2 x + 3 y 6 = 5 9 y 4 x = 23 (2 x + 3 y ) Értelmezési tartomány: 2 x + 3 y 6 0 Négyzetre emelés és rendezés után a következőt kapjuk: 2 x + 3 y = 31. Nevezetes azonossággal felírhatjuk a következőt: (3 y 2 x ) (3 y + 2 x ) = 23 (2 x + 3 y ). 8
2 x + 3 y = 31 (3 y 2 x ) (3 y + 2 x ) = 23 (2 x + 3 y ) Az első egyenletből kapott értéket helyettesítsük a másodikba: 31 (3 y 2 x ) = 23 31. Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 3 y = 23 + 2 x. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: 2 x + 23 + 2 x = 31. Ebből rendezés után a következőt kapjuk: x = 2. Ezt visszahelyettesítve 3 y = 27 adódik, amiből y = 3. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (2; 3). x log 3 x y log 3 y = 243 x log 3 y y log 3 x = 81 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt log 3 (x log 3 x y log 3 y ) = log 3 243 log 3 x log 3 x + log 3 y log 3 y = 5 log 3 x log 3 x + log 3 y log 3 y = 5 (log 3 x) 2 + (log 3 y) 2 = 5 9
a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt log 3 (x log 3 y y log 3 x ) = log 3 81 log 3 x log 3 y + log 3 y log 3 x = 4 log 3 y log 3 x + log 3 x log 3 y = 4 log 3 x log 3 y = 2 (log 3 x) 2 + (log 3 y) 2 = 5 log 3 x log 3 y = 2 Legyen a = log 3 x és b = log 3 y. Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: a 2 + b 2 = 5 ab = 2 Ezt megoldva: a 1 = 1; a 2 = 1; a 3 = 2; a 4 = 2 és b 1 = 2; b 2 = 2; b 3 = 1; b 4 = 1. Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket: a 1 = 1 b 1 = 2 x 1 = 1 3 és y 1 = 1 9 a 2 = 1 b 2 = 2 x 2 = 3 és y 2 = 9 a 3 = 2 b 3 = 1 x 3 = 1 9 és y 3 = 1 3 a 4 = 2 b 4 = 1 x 4 = 9 és y 4 = 3 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: ( 1 ; 1 ), (3; 9), 3 9 (1 ; 1 ), (9; 3). 9 3 10
c) log 3 x + log 9 y = 3 2 log x 3 + log y 9 = 3 Értelmezési tartomány: x > 0 x 1 y > 0 y 1 Alakítsuk át az egyenletrendszert a következőképpen: log 3 x + log 9 y = 3 2 1 + 1 = 3 log 3 x log 9 y Legyen a = log 3 x és b = log 9 y. Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: a + b = 3 2 1 + 1 = 3 a b Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 1 2 ; a 2 = 1 és b 1 = 1; b 2 = 1 2. Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket: a 1 = 1 2 b 1 = 1 x 1 = 3 és y 1 = 9 a 2 = 1 b 2 = 1 2 x 2 = 3 és y 2 = 3 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: ( 3; 9), (3; 3). 11
d) lg (x 2 + y 2 ) = 2 lg 5 lg (x + y) + lg (x y) = lg 1,2 + 1 Értelmezési tartomány: x + y > 0 x y > 0 lg (x 2 + y 2 ) = lg 100 lg 5 lg (x 2 + y 2 ) = lg 20 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 2 + y 2 = 20 lg (x + y) + lg (x y) = lg 1,2 + lg 10 lg (x 2 y 2 ) = lg 12 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 2 y 2 = 12 x 2 + y 2 = 20 x 2 y 2 = 12 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4; x 2 = 4 és y 1 = 2; y 2 = 2. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (4; 2), (4; 2). 12
e) 3 x 2 y = 576 log 2 (y x) = 4 Értelmezési tartomány: y x > 0 Tekintsük először a második egyenletet: log 2 (y x) = 4 definíció szerint y x = ( 2) 4 y = x + 4 A kapott kifejezést helyettesítsük az első egyenletbe: 3 x 2 x+4 = 576 3 x 2 x 2 4 = 576 (3 2) x 16 = 576 6 x = 36 definíció szerint x = 2 Ebből visszahelyettesítés után a következő adódik: y = 2 + 4 = 6. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (2; 6). 13
5. (E) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) log 4 x log 2 y = 0 x 2 5y 2 + 4 = 0 3 y 9 x = 81 lg(x + y) 2 lg x = 2 lg 3 xy = 256 7 (log x y + 1 ) = 50 log x y xy = 300 x lg y = 9 Megoldás: log 4 x log 2 y = 0 x 2 5y 2 + 4 = 0 Értelmezési tartomány: x > 0 y > 0 log 2 x log 2 4 log 2 y = 0 log 2 x 2 log 2 y = 0 log 2 x = log 2 y 2 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x = y 2 A kapott kifejezést helyettesítsük a második egyenletbe: x 2 5x + 4 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 1 és x 2 = 4. 14
Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: x 1 = 1 y 2 = 1 y 1 = 1 és y 2 = 1 x 2 = 4 y 2 = 4 y 3 = 2 és y 4 = 2 Az y 1 és az y 3 nem felel meg a feltételnek. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 1), (4; 2). 3 y 9 x = 81 lg(x + y) 2 lg x = 2 lg 3 Értelmezési tartomány: x > 0 x + y 0 3 y (3 2 ) x = 81 3 y+2x = 3 4 az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt y + 2x = 4 lg (x+y)2 x (x+y) 2 x = 9 = lg 3 2 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt y + 2x = 4 (x+y) 2 x = 9 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 1; x 2 = 16 és y 1 = 2; y 2 = 28. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 2), (16; 28). 15
c) xy = 256 7 (log x y + 1 log x y ) = 50 Értelmezési tartomány: x > 0 x 1 y > 0 y 1 Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: y = 256 x. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 7 (log x 256 x + 1 256 log x x ) = 50. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7 (log x 256 x )2 50 log x 256 x + 1 = 0. Legyen a = log x 256 x. Ezt behelyettesítve a következő másodfokú egyenlet adódik: 7a 2 50a + 1 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 7 és a 2 = 7. Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: a 1 = 1 7 log x 256 x = 1 7 x 1 = 128 a 2 = 7 log x 256 x = 7 x 2 = 2 Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: x 1 = 128 y 1 = 256 128 = 2 x 2 = 2 y 2 = 256 2 = 128 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (128; 2), (2; 128). 16
d) xy = 300 Értelmezési tartomány: y > 0. x lg y = 9 Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: y = 300 x. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: x lg300 x = 9 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x lg300 x = lg 9 lg 300 x lg x = lg 9 (lg 300 lg x) lg x = lg 9 (lg x) 2 lg 300 lg x + lg 9 = 0 Legyen a = lg x. Ezt behelyettesítve a következő másodfokú egyenlet adódik: a 2 a lg 300 + lg 9 = 0. a 1,2 = lg 300± lg2 300 4 lg 9 2 = lg 3+2± (lg 3+2)2 4 lg 3 2 2 = lg 3+2± (lg 3 2)2 2 = lg 3+2±(lg 3 2) A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = lg 3 és a 2 = 2. 2 Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: a 1 = lg 3 lg x = lg 3 x 1 = 3 a 2 = 2 lg x = 2 x 2 = 100 Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: x 1 = 3 y 1 = 300 3 = 100 x 2 = 100 y 2 = 300 100 = 3 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (3; 100), (100; 3). 17