MÁTRIXOK DETERMINÁNS, SJÁTÉRTÉKE ÉS SJÁTVEKTOR DEFINÍCIÓ: H z gy d( ) p I ( p) i ip( i) -s mári, kkor drmiás hol p mári lmik oszlopidik prmuációi, I(p) pdig zkk prmuációkk z irziószám. Ez gy igzá rmk dfiíció, d gy kis mgyrázo igéyl. Vlójáb máriok drmiás sokkl gyszrűbb foglom. rról szó, hogy mári mid sorából és oszlopából kiálszuk gy és csk gy lm, és zk z lmk összszorozzuk. Ez z összs lhségs módo mgsszük és szorzok llájuk gy lőjlll, égül z így kpo lőjls szorzok összdjuk. MINDEBBŐL ELEGENDŐ NNYIT MEGJEGYEZNI, HOGY mkig.hu EGY -ES MÁTRIX DETERMINÁNS c b d c b d d d d bc EGY -S MÁTRIX DETERMINÁNS ( szrrusz szbállyl kiszámol) Fogjuk mário és lírjuk sjá mg mögé még gyszr (lég csk z lső ké oszlopá mgisméli, d lgyük gyolúk) d + Ez módszr csk -s máriokr működik és m úl kllms. Sokkl öbb érlm mgjgyzi z úgyz kifjési él, mi mid -s márir jó és mos jö:
mkig.hu KIFEJTÉSI TÉTEL (mi midig szupr) H z gy -s mári, kkor drmiás j ij ij j i d d I ij d ij lmhz rozó ldrmiás. GYKORLTBN MINDEZ SOKKL EGYSZERŰBB. NÉZZÜNK MEG EGY PÉLDÁT. I gy -s mári: drmiás modjuk z lső sor szri fjjük ki. z lső sor lmi skkábl-szbály szri álkozó lőjlll kll i. Egy lm ldrmiás úgy klkzik, hogy z do lm sorá és oszlopá kihúzzuk: 9 d d d ) d( Ugyz mgcsiálhjuk úgy is, h modjuk m z lső, hm második sor szri fjük ki. Tökugyk kll kijöi, csk i skkábl-szbály mi z lőjlk máshogy lszk 9 d d d ) d( -s drmiások már kimodo kllms kiszámoli c b d d c b d skkábl-szbály + + skkábl-szbály + +
mkig.hu SJÁTÉRTÉK ÉS SJÁTVEKTOR SJÁTÉRTÉK: z -s mári sjákor gy oly m ullkor, mlyhz lmi lós szám, hogy SJÁTVEKTOR: z -s mári sjáérék gy oly lós szám, mlyhz lmi m ullkor, hogy ggodlomr zob smmi ok, ézzük mg gy kokré példá. I z rmk mári, és lássuk, hogy sjákor- k modjuk z u és Elsőké z u kor ézzük mg. kkor sjákor, h lézik oly szám, hogy u u 9 u Sjálos módo zob ily m lézik, mr bármily számml szorozzuk b z u kor, shogy sm lsz blől 9. H ugyis -ml szorozzuk b, kkor 9 m fog kijöi, h 9-l, kkor pdig m jö ki. Próbálkozhuk prsz még gyéb számokkl is, d kkor pdig s, s 9 m jö ki. Vgyis z u kor m sjákor z márik. Lássuk mi hlyz korrl. kkor sjákor, h lézik oly szám, hogy u Ily lézik, mégpdig. kor há z márik sjákor, és hozzá rozó sjáérék. kökzőkb rról lsz szó, hogy udjuk mgláli gy mári összs sjáéréké és sjákorá.
SJÁTÉRTÉK ÉS SJÁTVEKTOR KISZÁMOLÁS Számoljuk ki z mári sjáéréki és sjákori.. KRKTERISZTIKUS EGYENLET d I főáló lmiből kiooguk -k, mjd z így kpo drmiás gylőé sszük ullál. Ez krkriszikus gyl. d. SJÁTÉRTÉKEK d I krkriszikus gyl mkig.hu mgoldási sjáérékk.. SJÁTVEKTOROK z I gylrdszr -s mgoldási sjákorok. Egy márik midig koordiáából álló sjákori k. Ím z gylrdszr: Bázisrszformációl oldjuk mg: z gylrdszrk midig égl sok mgoldás lsz. főáló lmiből kioogjuk -k d kifjjük drmiás: 6 z így kpo gyl krkriszikus gyl z gyl mgoldási sjáérékk: és Lássuk sjáérékkhz rozó sjákorok! Mil z mári -s zér sjákorok ké koordiáásk lszk: sjákorok z gylrdszr mgoldási. Először -höz rozó sjákor számoljuk ki: z gylrdszr bázis rszformációl oldjuk mg: mgoldás sjákor pdig másik sjákor hsoló izglms módo:
mkig.hu Nézzük mg gy boyolulbb s is.. KRKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁS főáló lmiből kioogjuk -k, és sszük drmiásá: d drmiás z lső sor szri fjjük ki: d mgmrd -s drmiás is kifjjük, így kpjuk krkriszikus gyl.. KRKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSI SJÁTÉRTÉKEK Mos három sjáérék, ; és. Midhárom sjáérékhz mgkrssük hozzá rozó sjákor.. SJÁTÉRTÉKEKHEZ TRTOZÓ SJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE Mil mári -s, zér sjákorok koordiáásk. sjákorok úgy kpjuk mg, h mgoldjuk z I gylrdszr: Először lássuk -höz rozó sjákor!
6 mkig.hu sjáérékhz rozó sjákor: hol Mos jöh öbbi sjákor. Mgi z I gylrdszr kll mgolduk: Blrkjuk - Bázisrszformációl oldjuk mg: sjáérékhz rozó sjákor: hol és - Bázisrszformációl oldjuk mg: sjáérékhz rozó sjákor: hol hlyz kkor álik boyolulá, mikor krkriszikus gyl hrmdfokú, és mgoldásához rükkökr szükség. Ím három rükk: I. II. III. 6
mkig.hu Nézzük mg gy kllmlbb s!. KRKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁS főáló lmiből kioogjuk -k, és sszük drmiásá: d drmiás z lső sor szri fjjük ki: d d d Kifjjük -s drmiások is, zá fárdságos mukál kicsi hlyrpofozzuk: ) ( Bcs szór z lsz blől: Mos forélyos III.-s módszr lklmzzuk z gylmgoldáshoz. másodfokú izé szorzá lkíjuk Kimlük: I összouk:. KRKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSI SJÁTÉRTÉKEK Mos három sjáérék, mi lójáb csk kő, mr készr is kijö, z készrs sjáérék: Jöhk sjákorok!
mkig.hu. SJÁTÉRTÉKEKHEZ TRTOZÓ SJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE Mil mári -s, zér sjákorok koordiáásk. Mgi z I gylrdszr kll mgolduk, hogy mgkpjuk sjákorok: Z -ES MÁTRIXOKNK VN EGY ÚGYNEVEZETT DIGONÁLIS LKJ, MI KKOR LÉTEZIK, H VN FÜGGETLEN SJÁTVEKTOR. MOST ÉPP VN: X X dig hol X gyis három sjákor gymás uá digoális lk pdig gy oly mári, hol sjáérékk k főálób, öbbi lm ull X X dig Blrkjuk - Bázisrszformációl oldjuk mg: Há z kész! H ké is fö mrd, z gyik, másik s: s s s s sjáérékhz rozó sjákorok: s s s hol s És - Bázisrszformációl oldjuk mg: sjáérékhz rozó sjákor: hol
SZINGULÁRIS ÉS REGULÁRIS MÁTRIXOK Z MÁTRIX REGULÁRIS Z MÁTRIX SZINGULÁRIS LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX NEM LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX d RNG= Z MÁTRIX OSZLOPVEKTORIBÓL ÁLLÓ VEKTORRENDSZER LINEÁRISN FÜGGETLEN d RNG< Z MÁTRIX OSZLOPVEKTORIBÓL ÁLLÓ VEKTORRENDSZER LINEÁRISN ÖSSZEFÜGGŐ mkig.hu Z b EGYENLETRENDSZERNEK CSK EGY MEGOLDÁS VN Z b EGYENLETRENDSZERNEK VGY VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VN VGY NINCS MEGOLDÁS Z HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLETRENDSZERNEK MINDIG VN LEGLÁBB EGY MEGOLDÁS. ( TRIVIÁLIS MEGOLDÁS, MIKOR MINDEN X=) Z HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLETRENDSZERNEK CSK EGY MEGOLDÁS VN ( TRIVIÁLIS MEGOLDÁS) B Z MÁTRIXNK SJÁTÉRTÉKE B NEM Z HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLETRENDSZERNEK VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VN Z MÁTRIXNK NEM SJÁTÉRTÉKE 9
DETERMINÁNSOK TULJDONSÁGI. LSÓ ÉS FELSŐ HÁROMSZÖG MÁTRIXOK DETERMINÁNS FŐÁTLÓ ELEMEINEK SZORZT péld: d 6 6. H B MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK Z MÁTRIXBÓL, HOGY EGY SORÁNK VGY OSZLOPÁNK MINDEN ELEMÉT -VL SZOROZZUK, d B d B MINDEN SORÁNK MINDEN ELEMÉT -VL SZOROZZUK, d B d C KÉT SORÁT VGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK d B d D EGY SORÁHOZ VGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VGY OSZLOPOK LINEÁRIS mkig.hu KOMBINÁCIÓJÁT DJUK B d d. Z MÁTRIX DETERMINÁNS NULL, H VN CSUP NULL SOR VGY CSUP NULL OSZLOP B VN KÉT ZONOS SOR VGY KÉT ZONOS OSZLOP C EGYIK SOR VGY OSZLOP MÁSIK SOR VGY OSZLOP SZÁMSZOROS D EGYIK SOR VGY OSZLOP MÁS SOROK VGY OSZLOPOK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJ