Dinamikai rendszerek, 2017 tavasz

Dinamikai rendszerek, 2017 tavasz Napló: erről volt szó az órákon Február 6. Diszkrét idejű dinamikai rendszer fogalma. Pálya, periodicitás, aszimptotikus viselkedés. Invertálhatóság kérdése. Dinamikai rendszerek elmélete a további invariáns struktúrától függően: topológikus dinamika, ergodelmélet, sima dinamikai rendszerek. Folytonos idejű dinamikai rendszerek: csoport tulajdonság, autonóm differenciálegyenletek. Körvonal forgatása. S 1 mint fázistér. Racionális α: minden pont periodikus azonos periódiussal. Irracionális α: minden pont pályája sűrű (kitekintés: topológikus tranzitivitás és minimalitás fogalma). Lebesgue mérték invariáns. Periodikus pontokra koncentrált invariáns mértékek. Kitekintés: egyféleképp ergodicitás irracionális α-ra. Február 9. Bináris leképezés avagy 2x (mod 1). Alaptulajdonságok: nem invertálható, tágít, Lebesgue invariáns. 0 fixpont és minden diadikus racionális végperiodikus. További periodikus pontok? Teljes egyoldali shift leképezés két szimbólummal. Σ + = {0, 1} N mint topológikus tér, metrika, σ : Σ + Σ + baleltolás. Dinamikai rendszerek ekvivalenciája. Konjugáció, szemi-konjugáció, faktor. Folytonosság, mérhetőség, mértékőrzés. (Majdnem)konjugáció a bináris leképezés és a shift között, tulajdonságai. Ez alapján: periodikus pontok jellemzése. Sűrű pályájú pont létezése. Lebesgue mértéknek mi felel meg a shift téren? Kitekintés: további invariáns mértékek. Még a shift tér topológiájáról: triadikus Cantor halmaz. Február 13. Bináris leképezés, mint T z = z 2 a komplex egységkörön. f : [ 1, 1] [ 1, 1], f(x) = 2x 2 1 mint ennek faktora, ez alapján invariáns sűrűség. (Emlékeztető: sűrűségfüggvény transzformációja.) Dinamikai rendszerek szorzata, forgatások szorzata. Lineáris folyam T 2 -n. Kapcsolat folytonos és diszkrét dinamikai rendszer között: Poincaré szelés, felfüggesztett folyam. Példa: lineáris folyam Poincáré szeléseként megjelenik a körvonal forgatása. A számegyenes önmagára való lineáris leképezései, lehetséges dinamikai viselkedések. Emlékeztető: lineáris egydimenziós leképezések. Egydimenziós leképezések vizsgálata: grafikus analízis, hiperbolikus (taszító és vonzó) fixpontok. A logisztikus család, azaz T µ x = µx(1 x). Fixpontok. µ 1 tárgyalása. Február 16. Implicitfüggvény-tétel. Transzverzális fixpontok megmaradása. Logisztikus család, µ > 1: viselkedés x [0, 1] esetén, populációdinamikai interpretáció. Vonzó fixpont 1 < µ 2 és 2 < µ < 3 esetén. µ = 3: második iterált vizsgálata, inflexió, periódus-kettőző bifurkáció. Kitekintés: bifurkációs diagram 3 < µ < 4 esetén. µ > 4, pontosabban µ > 2+ 5 esete. I 0 és I 1 intervallumok, inverz ágak, Cantor halmaz konstrukciója. Topologikus konjugáció a shift leképezéssel. Repellor. Nyereg-csomó bifurkáció. Február 23. 1

T : R R folytonos leképezések periodikus pontjainak vizsgálata. 3 periódusú pálya létezése esetén létezik minden n N-re n periódusú pálya is. Sarkovszkij tétel (bizonyítás nélkül). C r 1 metrika. Strukturális stabilitás. x 2 C1 -strukturálisan stabil, logisztikus µ > 2 + 5 esetén C 2 - strukturálisan stabil. Hartman tétele hiperbolikus fixpont strukturális stabilitásáról. Gauss leképezés. Kapcsolat lánctörtekkel. Aranymetszés, mint a Gauss leképezés (egyik) fixpontja. Február 27. Perron-Frobenius operátor. Invariáns sűrűség a Gauss leképezésre. A sík önmagára való lineáris leképezései. Emlékeztető: mátrixok valós Jordan-alakja. Fáziskép a spektrumtól függően: nyereg, csomó, fókusz, centrum. Stabilitásvizsgálat Ljapunov függvénnyel. Stabil és instabil alterek. Kétdimenziós leképezések: viselkedés hiperbolikus fixpont körül. Összehasonlítás differenciálegyenletekkel. Nem-hiperbolikus fixpont taszító és vonzó is lehet. Hopf bifurkáció. Március 2. 0 1 1 1 A tórusz algebrai automorfizmusai. Egy elliptikus ( ) és egy parabolikus ( ) eset. 1 0 0 1 2 1 A hiperbolikus eset, konkrétan : szemléltetés, periodikus pontok jellemzése. Az origó stabil és 1 1 instabil fonalai, stabil és intabil fóliázás (előre és hátra aszimptotikus pontok), irracionális meredekség következményei. Origóhoz homokilinikus pontok sűrűsége és következményei. Topologikus tranzitivitás kétféle jellemzésének ekvivalenciája (Baire kategória tétel). Topologikus tranzitivitás bizonyítása hiperbolikus tórusz automorfizmusra homoklinikus pontok segítségével. Március 6. Smale patkó szemléltetése. H 0, H 1, V 0, V 1, H 00, H 10, H 11, H 01 stb. halmazok. Λ = Λ + Λ = Λ 1 Λ 2, mint két Cantor halmaz direkt szorzata. A kétoldali shift leképezés. Toplógia, metrika, invertálhatóság. Topológikus konjugáció a Smale patkóval. Fixpontok, periodikus pontok, stabil és instabil halmazok, homoklinikus pontok jellemzése, tulajdonságai a shiftre és ezen keresztül a Smale patkóra. Ergodelméleti gyorstalpaló. Bevezető példák: 2x (mod 1) és két további leképezés konstans 2 meredekséggel. Az ergodelmélet tárgya: invariáns mérték és dinamika viszonya. Invariáns halmaz, invariáns függvény. Ergodicitás definíciója invariáns halmazzal és invariáns mértékkel, a kettő ekvivalenciája. Március 9. Birkhoff ergodtétel ergodikus leképezésekre (bizonyítás nélkül), analógia: nagy számok törvénye. Keverés definíciója halmazokkal és függvényekkel, analógia: korreláció-lecsengés. X kompakt metrikus tér: C(X) folytonos függvények tere, M Borel mértékek X-n, mint C (X) részhalmaza: pozitív korlátos lineáris funkcionálok, Riesz reprezentációs tétel. Gyenge- topólógia, Banach- Alaoglu tétel. T : X X folytonos dinamikai rendszer, asszociált leképezések: ˆT : C(X) C(X) függvény visszahúzása és T : M M mérték fejlesztése. T a gyenge- topológiában folytonos. M inv mint T fixpontjainak halmaza, zárt és konvex. Krülov-Bogoljubov tétel, bizonyítás Dirac mérték ergodikus átlagaival, diszkusszió, alternatív bizonyítás Schauder fixpont tétellel. Példa: T : [0, 1] [0, 1], T x = x/2 esetén M inv = {δ 0 }. Kitekintés: M inv irracionális forgatásra és bináris leképezésre. Konvex halmaz extremális pontjai. Ha µ extremális M inv -ben, akkor µ M erg. 2

Március 13. (dupla óra) Rögzített µ M inv mellett ˆT, mint L p izometria. p = 2 esetén ˆT értelmezése, f = ˆT f f = ˆT f. µ M erg akkor és csak akkor, ha extremális M inv -ben. Ha µ M erg, µ 1 M inv, µ 1 µ, akkor µ 1 = µ. Ha µ, m M erg, µ m, akkor µ m. Konvergencia majdnem mindenütt és L p -ben. Birkhoff és Neumann ergodtételei. Ergodicitás ekvivalens jellemzései halmazok, illetve L 2 függvények kiátlagolt keverésével. Keverés definíciója, jelentése. Irracionális forgatás ergodicitása, egyféleképp ergodicitása (Haar mérték). Arnold feladata 2 n első jegyeinek gyakoriságáról. Irracionális forgatás nem keverő. Március 16. Az 1. hf megbeszélése. Shift leképezés, hengerhalmazok, Bernoulli shift. Március 20. Emlékeztető: irreducibilis, aperiodikus Markov láncok véges állapottéren. Átmenetmátrix és többlépéses átmenetmátrix, stacionárius eloszlás. Perron tétele. Átmenetmátrix spektruma, spektrális rés, exponenciális konvergencia a stacionárius eloszláshoz. Szomszédsági mátrix. Topologikus Markov lánc: állapottér, mint kompakt invariáns halmaz a teljes shift térben. Kitekintés: véges típusú szubshiftek. Markov shift, hengerhalmazok mértékének megadása a staci eloszlás és az átmenetmátrix segítségével. Március 27. Markov shift keverő, becslés a keverés sebességére hengerhalmazok esetén. Hölder folytonos függvények. Exponenciális korreláció-lecsengés fogalma. Feltételes várható érték az l hosszú hengerhalmazok által generált σ-algebrára. Markov shiftre a korreláció-lecsengés sebessége exponenciális. Március 30. Téglalap, helyes átmetszés, Markov felbontás fogalma és következménye: Hölder folytonos izomorfia Markov shifttel. Markov felbontás konstrukciója a macska leképezésre a fixpont stabil és instabil sokaságainak segítségével. Április 3. Csapda halmaz, attraktor, tranzitív attraktor, szolenoid leképezés. Markov felbontás konstrukciója a szolenoidra, topológikus konjugáció a full shift-tel. Riemann sokaság, érintőtér, diffeomorfizmus fogalma. Hiperbolikus fixpontok és periodikus pályák fogalma kétdimenziós esetben: nyelő, forrás, nyeregpont. Instabil sokaság tétel kimondása nyeregpont esetén. Redukció λ > 2, µ < 1 esetre. Stabil és instabil 2 kúp az érintőtérben. ε megválasztása: a kúpok invariancia- és tágítási tulajdonságai érvényesülnek a kis környezetben. Április 6. Vízszintes görbék halmaza, mint teljes metrikus tér. A grafikon transzformáció: a vízszintes görbék invariánsak. A vízszintes görbéken a grafikon transzformáció kontrakció. Banach fixpont tétele: az instabil sokaság, mint a grafikon transzformáció fixpontja. Hiperbolikus halmazok általános fogalma, az insabil sokaság tétel általánosítása. δ-pszeudo-pálya, ε-árnyékolás, árnyékolási tulajdonság és jelentősége. Április 10. 3

A körvonal forgatása nem rendelkezik az árnyékolási tulajdonsággal. Az árnyékolási tulajdonság bizonyítása a bináris leképezésre és a macska leképezésre. Expanzivitási tulajdonság shift leképezésekre. Árnyékolási tulajdonság és expanzivitás együttes következményei: nemvándorló pontok halmaza a periodikus pontok halmazának lezártja, stabilitás. Szubadditív konvergenciatétel. Április 13. ε-fedések, ε-hálók, ε szeparált halmazok kompakt metrikus téren és ezek kapcsolata. d n, mint dinamika által generált metrika. Topológikus entrópia definíciója és ekvivalens kiszámítási lehetőségek. Topológikus entrópia meghatározása forgatásra és full shiftre. Véges partíciók: α β, α β, két partíció d(α, β) távolsága, α β. Április 20. Véges partíció entrópiája, mint a várható információ. A Φ(x) = x log x függvény konkavitása és következményei. Feltételes entrópia. Feltételes entrópia és entrópia tulajdonságai (i-xii). 2. hf megbeszélése. Véges partíciókra vonatkozó entrópia és feltételes entrópia tulajdonságai: (i) H(α γ β) = H(α β) + H(γ α β). (ii) H(α γ) = H(α) + H(γ α). (iii) Ha α γ, akkor H(α β) H(γ β). (iv) Ha α γ, akkor H(α) H(γ). (v) Ha α γ, akkor H(β α) H(β γ). (vi) H(α) H(α γ). (vii) H(α γ β) H(α β) + H(γ β). (viii) H(α γ) H(α) + H(γ). (ix) H(T 1 α T 1 β) = H(α β). (x) H(T 1 α) = H(α). (xi) H(α γ) = 0 H(α γ) = H(γ) α γ. (xii) H(α γ) = H(α) H(α γ) = H(α) + H(γ) α γ. Április 23. ρ(α, β) = H(α β) + H(β α) is metrika. ρ(α, β) egyenletesen folytonos d(α, β)-ban. H(α β) feltételes várható érték segítségével. Ez alapján H(α F) definíciója tetszőleges F σ-algebrára. H(α F n ) H(α F), ha F n egy bővülő véges σ-algebra sorozat (filtráció). h(t, α) definíciója, a limesz létezésének bizonyítása kétféleképpen. h(t ) definíciója. Faktorra az entrópia csak csökkenhet, izomorfia esetén invariáns. h(t, α) és h(t ) alaptulajdonságai (1-4). 4

h(t, α) és h(t ) tulajdonságai: (1) h(t, α) H(α). (2) h(t, α β) h(t, α) + h(t, β). (3) Ha α β, akkor h(t, α) h(t, β). (4) h(t, β) h(t, α) + H(β α). (5) h(t, α) = h(t, T 1 α). (6) h(t, α) = h(t, k 1 i=0 T i α), k Z +. (7) Ha T invertálható, akkor h(t, α) = h(t, (8) h(t k ) = kh(t ), k Z +. k i= k (9) Ha T invertálható, akkor h(t k ) = k h(t ), k Z. T i α), k Z +. Április 27. h(t, α) és h(t ) alaptulajdonságai (5-9). Következmények: h(t, α) h(t, β) ρ(α, β), h(t, α) = lim H(α T 1 α n ) (itt α n = n 1 T i α). n i=0 Ha B halmazalgebra, F = σ(b), minden ε > 0-ra és α F-re van β B, hogy ρ(α, β) < ε. Következmény: ha α n finomodó, γ α n, akkor H(γ α n ) 0. n=1 Generátor, féloldali generátor fogalma. Kolmogorov-Sinai tétel. Invertálható leképezés féloldali generátorral: h(t ) = 0. Példák h(t ) számítására: identitás, racionális és irracionális forgatás. Bernoulli shift észrevétel: h µ (σ) h top (σ), µ. Május 4. Entrópiáról és topológikus entrópiáról tanultak áttekintése. Kitekintés (biz. nélkül): Shannon-McMillan- Breiman tétel, Ornstein izomorfia tétele, variációs elv. Markov shift topológikus entrópiája. Perron-Frobenius tétel. Markov shift metrikus entrópiája. Parry mérték, mint maximális entrópiájú mérték. Hölder folytonos potenciálok shift téren. Topológikus nyomás definíciója szubmultiplikativitás, a limesz létezése. Május 8. (dupla óra) Variációs elv. Gibbs mérték definíciója. Gibbs mérték egyensúlyi mérték (egyenlőség a variációs elvben). Gibbs mérték létezésének bizonyítása. Redukció féloldali shiftre (homológ függvények). L operátor definíciója, tulajdonságai. Ruelle-Perron-Frobenius tétel kimondása. µ Gibbs mérték konstrukciója Lg = λg és L ν = λν segítségével. µ invariáns és keverő a shiftre. µ Gibbs mérték. Május 11. Ruelle-Perron-Frobenius tétel bizonyítása. Gibbs mérték konstrukciójának áttekintése. 5