159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A. f A A A, 0; A, A > 0, 0; f A A f 0 1 1 6A 1 0 nem jöhet számításba, 1 1 6A > 0 lehetséges minimum. f 6, 0; A. f 1 6A > 0, így f-nek az helyen minimuma van. 5.. A téglalap oldalai: és k. k A területfüggvény: f k 0;,. k A függvény értéknél veszi fel maimumát, tehát a k 4 4 oldalhosszúságú négyzet a legnagyobb területű k kerületű téglalap. 5.4. A doboz űrtartalma a 6 értékre lesz maimális.
160 5.5. Jelöljük az alapélt -szel. 1 1 Az f térfogatfüggvény, 0; maimumát keressük. 4 Megoldás: a doboz alapéle: 0, 816m, 1 a doboz magassága: m = 0,408 m. 5.6. Megoldás: a medence alapéle : 00 magassága: m 100 00 = 5,85 m, =,9 m. 10000, ahol a rövidebb oldal hosszát jelöli. Megoldás: a téglalap oldalai: 70,71 m, 141,4 m, 70,71 m. 5.7. A kerítés hosszát megadó függvény: f 5.8. f 5.9. f 1 00, R +. f 400,, f 800 0. R+ 4800 f, R+. A függvénynek az 800 8, 8 helyen minimuma van. Tehát leggazdaságosabb 8 zuhanykar felszerelése. 15, 4, ha 0; 1,, 5, ha 1; 4. 15 ha 0; 1 5 ha 1; 4,,, f,,. Az 1 pontban f nem differenciálható, de f 1 < 0 és f 1 > 0, tehát minimum van. Tehát a B gazdaságban célszerű a központi gyűjtőhelyet létesíteni, mert ekkor lesz a szállítási összköltség a legkevesebb: f(1) =,5.
5.10. P-vel jelöljük az ABC áruház helyét. Legyen a K-tól való távolság = KP, nyilván nem lehet 0-nál kisebb és 15-nél nagyobb. Az f 1000 000 5 800015, 0 15 abszolút minimumát keressük. f 9000 10000, ha 0; 5, 5000 110000, ha 5; 15. 9000, ha f 0; 5, 5000, ha 5; 15. 161 ; függvény Stacionárius pontja nincs. A függvény szigorúan monoton csökkenő, így minimumát az intervallum végpontjában veszi fel: = 15. Ez ezt jelenti, hogy az M nyaralótelepen kell létrehozni az ABC üzletet. 5.11. Legyen sebessége a földúton 1, a műúton 1,5. Jelöljük a B pont műútra eső merőleges vetülete és az elágazási pont közötti távolságot -szel. 8 Keressük az f 6, 0; 8 függvény minimumát. 15, A függvénynek az 5, 4 helyen van minimuma. Tehát A-tól,6 km távolságra kell letérni a műútról. Kó v 0, 0v 480, v 0, 480 ahonnan a kilóméterenkénti költség: Kv 0, 0v, v 0. v 480 Kv 0, 06v, v 0. v v 0 km/h sebességgel kell haladnia minimális kilóméterenkénti költség eléréséhez. 5.1. a.) Óránként a költség: b.) K0 6, mértéke 0,99 %-os. K 6, 8,ahonnan kiszámíthatjuk, hogy a növekedés
16 5.1. f a50 b 400 0 50 keressük. A függvénynek az 0a b a, ; függvény minimumát helyen minimuma van. 5.14. f 1 9 8 0 8 keressük. A függvénynek az helyen van minimuma., ; függvény minimumát 5.15. Az egyidejű elindulás utáni -edik percben a két vonat közötti távolságot,, függvény. adja meg az f 40 0 8 50 0 6 A két vonat közti távolság az indulás után 6 perccel lesz a legkisebb. 5.16. Az A ponttól az elágazásig terjedő szakaszt jelöljük -szel. A költségfüggvény: 100 806 60 1 4 K Ennek az, 65 helyen van minimuma.. 5.17. Jelöljük -szel az A város folyóra eső merőleges vetületének és az útnak a folyót elérő pontjának távolságát. A teljes szállítási költséget a következő függvény fejezi ki: 11 60 K c c ahol "c" a szállítási egységköltséget jelenti, kilométerenként. A függvénynek az 11 helyen van minimuma. Ez azt jelenti, hogy a szóban forgó utat a folyóra merőleges iránytól = 0-os szögben kell vezetni a folyóig a B város irányába., 5.18. A minimális önköltség a 0, mázsás termésátlaghoz tartozik.
16 5.19. a.) f, 0. Ebből következik, hogy a függvény az értelmezési tartomány mindenpontjában szigorú monoton csökkenő. b.) E f 1, 0. 5 E f 0, 8, vagyis a toikus anyag-koncentráció 0,8% - kal 6 csökken. 5.0. f 4 1, 0. 1 Absz MIN (1; 0), mert 0; 1 csökken és 1; nő a függvény. a.) Kezdetben: 0 C, újraindításkor 0 0 C volt a szobákban. b.) Mivel lim f, ezért R f 0;. 0, 4 6 100 0 7 1000 1000 100 17,. f 0, 4 6 10000 0. 7 1000 1000 100 5.1. f Ami azt mutatja, hogy a 17, Ft - os téttel egyben globális maimumot tud elérni. 5.. h B 6, 1 R. 6, 1 R.
164 6 1 B, R+. 1 B h 1 1 0, MAX ;,. 1 4. 18 h ( ), R+. 1 h Elaszticitás: E y ( ), h( ) E y 15,, tehát 1,5%-kal csökken. 1 5.. a.) f ( ) 1, 0; 10 5 f, 15 0, 5 10 f ( ), 0,10 9 f,15 < 0 MAX,15; 4,. b.) 0;,15 monoton nő a kereslet 5 f c.) E y 1 1 ' ( ) f ( ) 4 1 6 K 016,., 0; 00 függvény adja 5.4. Az egységre eső átlagköltséget a meg. Ez a függvény a 0; 106, 8 intervallumon monoton csökken, utána pedig monoton nő. Tehát, körülbelül 107-es darabszám esetén lesz minimális az egységre eső átlagköltség.
165 5.5. B p 60 0, 015 maimumát kell meghatározni. A maimumhely: = 000. 5.6. a.) B( p) = p f ( p) = 4p 80p. A derivált zérushelye p 5, B grafikus képe konkáv parabola, így B ma = 4900. b.) f 5 140. B N K 4 0 68 5.7.,, Stacionárius pont, és egyben maimumhely: = 40. B 8 0. 5.8. a.) Maimumhely: p = 100. b.) A p = 100 egységárhoz tartozó kereslet: f 11 100 e 59874. 5.9. A h függvény maimumát kell meghatározni. Ennek érdekében képezzük az első és második deriváltfüggvényt: h: R, a 40 860, A h4, 8 0. Mivel forgalom mellett várható. h: R, a 6 40. h 4, 8 0, a maimális eredmény 4,8 mó forint 5.0. Jelöljük -szel az egyenlő időközönként rendelendő azonos darabszámot. Az egy évre szóló összköltség-függvény (leszámítva a félkész termék beszerzési árát, hiszen ez nem befolyásolja a minimumot): K 50 600 00 00, R +. 50 Megoldás: minimális az összköltség, ha 10.
166 5.1. Az együttes költségfüggvény ( darab termelése esetén): A K: a a c d A, B, \ b + c b. ac c K : a d A, B, \. b c b K 0 egyenlet ( és a feladat) megoldása : 5.. Az összköltség darab termelése esetén: K a d A b c. 0 1 b ac d A c. E függvény deriváltja mindenütt negatív, a költség növekedésével állandóan fogy, minimuma nincs. Az optimális darabszám tehát az a maimális mennyiség, amit az üzem termelni képes. 5.. Megoldott feladat. + 5.4. PQ: Q R, Q a 114Q 0, 5Q + C: Q R, Q a 10Q Q + 0, 0Q + ( PQ) : Q R, Q a 114 0, 5 Q + C: Q R, Q a 10 Q + 0, 06Q 114 0, 5Q 10 Q 0, 06Q Q = 0.,, Q 0; 400, C50 170, C100 50, C150 1170. A határbevétel: PQ : Q a 114Q 0, 4Q, Q 0; 400, PQ 50 5100, PQ 100 9000, PQ A határprofit: R: Q a 0, Q 116Q 10,. R50 490, R100 8480, R150 1050. 5.5. a.) A határköltség: C: Q a 10 Q 0 06Q 150 11700. Q 0; 400,
167 b.) 10 Q 0, 06Q 114Q 0, 4Q, Q 1 85, 69, Q 1077,. A feltételnek mindkét megoldás eleget tesz. 5.6. a.) g t b.) 50 01, t, ahonnan MAX (500; 1500). g t 50t 0, 05t, a 6. hónap eleje az az 5. hónap vége + 1nap: g16 5506, (m), a 7. hónap vége: g175 718, 75(m). c.) K 4 C ( K-ből integrálással kaptuk!). g 5 5 1 5506 g 7 5 718 75 g 00 8000 d.),, K8000 74754, K5506, 1558975, tehát K 718, 75 669779, a 6. hónapban végzett munka költsége: 11 107 654; a 7. hónapban végzett munka költsége: 6 050 16,9. K 10 18, 77. e.) f.) E K 8. 8 5.7. A tiszta bevételt nyilván a z a 5 5 1000 0 5 8 1000, :,, 1 1 1 1 Dz R R. kétváltozós függvény írja le. A feladat megoldása pedig a z függvény szélsőértékének megkeresését jelenti. A függvénynek maimuma van az 1 = 6,5, = 6,5 pontban. A kapott eredmény tíz forintokban értendő, vagyis az eladási ár 6,5 Ft illetve 65 Ft. 5.8. Az 1 és árú termékek eladásából származó tiszta összbevételt az, 0 10 f 1 10000 1 0000 1 1 függvény adja meg. Ennek akkor van maimuma, ha 1 = 40 Ft és = 0 Ft.
168 5.9. Tegyük fel, hogy a feladatban említett meghatározott idő T napból áll, továbbá, hogy egy-egy sorozat legyártásához t 1, illetve t idő (nap) szükséges az A, ill. B jelű termékből. A kérdéses sorozatnagyságot jelöljük 1 -gyel, ill. -vel. Ez esetben - egyenletes termelést feltételezve - a t 1, ill. t napra eső átlagos raktárkészlet 1 és, így az ezen időre eső átlagos raktárköltség 1 r 1t 1, ill. r t Ft. Mivel T idő alatt T i 1, sorozatot gyártanak le, így a T napra eső összes raktárköltség: t1 r T r T Kr 1 1. A fi költségek, amelyek egy-egy sorozat gyártásának beindításához szükségesek, T idő alatt K k T T k k N 1 N f 1 1 k Ft-ot tesznek ki. t 1 t 1 T ti költségfüggvény ezek alapján: i Ui. Nyilvánvaló, hogy i 1 r1t1 K K K k N 1 r T N 1, r f 1 k. 1 Megoldásul az 1 N i k1n1 k N é s r1t r T,. A minimalizálandó adódik, és könnyen belátható, hogy ezek az értékek valóban a K, függvény minimumhelyét szolgáltatják. 1 5.40. Behelyettesítve az előző általános feladat eredményeibe kapjuk, hogy a leggazdaságosabb termelés megvalósítására körülbelül 7, illetve 179 darabot kell legyártani a kétféle termékből sorozatonként.