Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőel (pontosan) Valószínűségszámítás, 1 tavasz Dátum Téma Beadandó Feb 8 Sze Alapfogalma és eszözö Feb 15 Sze Konvolúció (normális, Cauchy, exponenciális) Feb Sze Konvolúció (normális, Cauchy, exponenciális) 1 HF Feb 9 Sze Gen fv-e: momentumo, eloszláso reonstruciója HF Már 7 Sze Gen fv-e, elágazó folyamato, bolyongáso 3 HF: Már 9 Már 14 Sze Gen fv-e, elágazó folyamato, bolyongáso 4 HF: Már 19 Már 1 Sze Gyenge és erős onvergencia, Borel-Cantelli lemmá 5 HF: Már 3 Már 8 Sze Kari szünet - Ápr 4 Sze Nagy számo erős törvénye 6 HF: Ápr 6 Ápr 11 Sze Nagy számo erős törvénye 7 HF: Ápr 13 Ápr 18 Sze Karaterisztius függvény, tulajdonságai, példá 8 HF: Ápr Ápr 5 Sze Gyenge onvergencia, feszesség, Centrális határeloszlástétel 9 HF: Ápr 7 Máj Sze CHT, példá, Berry-Esséen tétel 1 HF: Máj 4 Máj 9 Sze Lindeberg CHT, orlátlanul osztható és stabilis eloszláso 11 HF: Máj 11 (Ha marad idő: Kolmogorov -1 tv, Iterált logtétel, nagy eltérés tétele) Házi feladato Valószínűségszámítás, 1 tavasz A házi feladato jelen file-ban erülne itűzésre, és a itűzést övető előadás ezdeteor beadandó Minden feladat számít, és annyi pontot ér, ahány van mellette Minimum elérendő: 4%, azaz 48 pont a félév során Részpontszámoat adun, de válaszoat csa indolással fogadun el Az igazi csoportmuna hasznos, ebben az esetben is mindeni saját maga írja le a megoldást a saját szavaival (épleteivel) A passzív másolás viszont haszontalan: tapasztalatun szerint az így szerzett házi feladat pontszámo többszörösen elveszne a vizsgán, amior iderül, hogy a másolt házi feladat nem hozta meg a ívánt fejlődést 1 HF: (Beadandó: február ) 11 Legyene X 1, X,, X n, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX i = } = PX i = 1} = 1 Legyen Y := n=1 n X n Bizonyítsu be, hogy az Y egyenletes eloszlású a [, 1] intervallumon 1 Legyene P 1 és P valószínűségi mértée ugyanazon az (Ω, F) mérhető téren Legyen A olyan halmazalgebra, amire σ(a) = F Azt mondju, hogy P 1 és P ölcsönösen szinguláris, ha van olyan H F, hogy P 1 (H) = 1 és P (H) = a) Lássu be, hogy a ét mérté aor és csa aor ölcsönösen szinguláris, ha ε > A A : P 1 (A) 1 ε, P (A) ε b) Legyene X 1, X,, X n, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX i = } = 1 PX i = 1} = p 1 Legyen Y := n=1 n X n Bizonyítsu be, hogy az Y valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos, de nem abszolút folytonos, hanem szinguláris (azaz szinguláris a Lebesgue mértére nézve, azaz az egyenletes eloszlásra nézve; lásd előző feladat) 13 a) Mutassu meg inducióval, hogy n > r > egészere n 1 ( ) 1 = r 1 =r ( n 1 b) Bizonyítsu be analitiusan, hogyndarab független, azonos Geom(p) eloszlású valószínűségi változó összege negatív binomiális eloszlású 14 Legyen X és Y független Exp(λ), illetve Exp(µ) eloszlású valószínűségi változó Határozzu meg Z := X + Y sűrűségfüggvényét Mi történi a λ µ határátmenetben? 15 LegyenX egyenletes a, 1,, n 1} halmazon Bizonyítsu be, hogy hannem prím, aorx eloszlása előáll, mint ét egészértéű eloszlás onvolúciója r ) 1
HF: (Beadandó: február 9) 1 Mórica matematiushallgató a BME-n, Valószínűségszámítás 1 gyaorlatból próbál átmenni Ha nem sierül nei az egyi félévben, aor a övetező félévben újra próbálozi Az egymást övető féléve próbálozásaina imenetele független, és minden félévben 3 valószínűséggel bui meg Ha az aláírást megszerezte, még ugyanabban a félévben próbálozi az elméleti vizsgával Ha ez nem sierül, aor a övetező félévben újra próbálozi az elméleti vizsgával, egészen addig, amíg át nem megy ezen is Az egyes féléveben elméletből 1 4 valószínűséggel megy át Határozzu meg Mórica Valószínűségszámítás 1-el töltött félévei számána az eloszlását! Legyene X és Y független azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös sűrűségfüggvénye f(x) = 3x 1x [, 1]} Határozzu meg az U := X + Y és a V := X Y valószínűségi változó (marginális) sűrűségfüggvényét 3 Legyene X 1, X, független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene sűrűségfüggvénye xe x, ha x, és egyébént Legyen továbbá S = és S n = X 1 + + X n, valamint legyen N(t) = maxn : S n < t} a) Adju meg S sűrűségfüggvényét b) Határozzu meg N(t) eloszlását, azaz =,1,,-ra PN(t) = } értéét! (Számolás nélül is megy, ha jól megértettü miről van szó) 4 Legyene X 1, X,, X n, független és azonos E(, 1) eloszlású valószínűségi változó Jelölje f n (x) az S n := n =1 X valószínűségi változó sűrűségfüggvényét Bizonyítsu be, hogy Számítógéppel ábrázolju az f n (x) = x 1 (n 1)! f n (x) := = ( 1) ( n ) (x ) n 1 n ( n n ) 1 f n + 1 x függvényt n = 1,,, 1-re Mit látun? Értelmezzü az eredményt 3 HF: (Beadandó: március 9) 31 Valószínűségeloszláso generátorfüggvényei-e az alábbi függvénye? ( ) z 1 (z +1) 6 (a) exp, λ > ; (b) ; λ 64 (c) z ; (d) 1+z 3 Legyene X 1, X, független (optimista, azaz a sier sorszámát teintjü) Geom(p 1 ) eloszlású valószínűségi változó, és ν egy tőlü független, (szintén optimista) Geom(p ) eloszlású valószínűségi változó Lássu be generátorfüggvény-módszerrel, hogy ν X i Geom(p 1 p ) Adjun valószínűségszámítási értelmet is a apott formulána 33 Egy utca autóforgalmát úgy modellezzü, hogy a) az idősálát fix és oszthatatlan egy másodpercnyi időegységere osztju, b) feltesszü, hogy p (, 1) anna a valószínűsége, hogy az egyes időintervallumoban elhalad az utcán egy autó, c) továbbá azt is feltesszü, hogy az egyes időegységeben történő eseménye egymástól függetlene Egy gyalogos aor tud átmenni az utca túloldalára, ha legalább három másodpercig forgalommentes az utca (Feltesszü, hogy az utca belátható: a gyalogos el tudja dönteni, hogy a övetező három másodpercben lesze forgalom) Határozzu meg a gyalogos váraozási idejéne generátorfüggvényét! Segítség: alalmazzu a teljes várhatóérté tételét (avagy toronyszabályt) arra vonatozóan, hogy az első ocsi mior érezi! 34 Egy majom egymás után függetlenül, egyenlő valószínűséggel üti le az (angol) írógép 6 betűjéne mindegyiét (számot és írásjelet nem üt, ennyire van intelligens) Legyen ν az a szám, ahányadi leütésre először megjeleni az a szó, hogy BAB Határozzu meg ν generátorfüggvényét és várható értéét
35 Mórica rendszeresen gyorshajt, így a rendőr rendszeresen megállítja Ilyenor az esete felében (mindentől függetlenül) 1 Ft a bírság, felében pedig 5 Ft Ráadásul Mórica ezeet a helyzeteet meglehetősen rosszul ezeli, és nagy szája övetezményeént minden rendőri intézedés (függetlenül) p valószínűséggel azzal is jár, hogy bevonjá a jogosítványát Határozzu meg a Mórica által összesen ifizetett büntetés generátorfüggvényét, várható értéét és szórásnégyzetét 36 EgyX valószínűségi változó eloszlása orlátlanul osztható, ha n N-re van olyany n 1,, Y n n független és azonos eloszlású valószínűségi változó n-es, hogy n Y n i X a) Korlátlanul osztható-e Poisson eloszlás? b) Korlátlanul osztható-e a binomiális eloszlás? c) Lássu be, hogy minden < p < 1-hez megadható olyan p 1, p, valószínűségi eloszlás és λ >, hogy ν X i Geom(p), ahol X 1, X, fae és 1-re PX i = } = p, valamint ν tőlü független és Poi(λ) eloszlású Mutassu meg enne segítségével, hogy a geometriai eloszlás orlátlanul osztható 4 HF: (Beadandó: március 19) 41 Mórica eladó egy üzletben, ahol minden egyes vevő iszolgálása 3 percig tart Ennyi idő alatt 6 valószínűséggel beáll ét újabb vevő a sorba, valószínűséggel egy új vevő áll be, és valószínűséggel nem jön új vevő Mórica ávézhat egyet, ha iürült a sor Mi anna a valószínűsége, hogy az első vásárló megjelenése után ez valaha beövetezi? Tipp: mi öze a feladatna elágazó folyamatohoz? Részletesen indooljun 4 Egy elágazó folyamatban m = EZ 1,1 (várható utódszám) és σ = DZ 1,1 (utódszám szórása) segítségével fejezzü i az n generáció egyedszámána D Z n szórásnégyzetét 43 Egy elágazó folyamatban N := n= Z n jelöli a valaha élt összes egyed számát a) Írjun fel egy reurziót N generátorfüggvényére (hány gyeree van az első egyedne?) b) Oldju meg a reurziót ha az utódszám eloszlása Bernoulli(p) c) Oldju meg a reurziót ha az utódszám eloszlása Pesszimista Geom(p) d) Határozzu meg N várható értéét mindét esetben 44 Egy elágazó folyamatban az utódszám generátorfüggvényep(s) = q+ps, ahol < p = 1 q < 1 Legyen τ a ihalás ideje: τ = infn : Z n = } a) Határozzu meg a ihalás valószínűségét: Pτ < } b) Írju fel apτ > n} valószínűséget (én nem találtam szép alaot erre) 5 HF: (Beadandó: március 3 A 1-ből pont bónusz, mert eze a feladato nem olyan önnyűe) 51 Legyene ζ 1, ζ, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, Pζ i = ±1} = 1 Legyen S n = n ζ i egyszerű, szimmetrius bolyongás Z-n Legyen τ = minn S n = 1} az első szint elérési ideje Határozzu meg Pτ = } értéét! 3 Pτ = } =? Tipp: a generátorfüggvény hatványsorána együtthatóit fejezzü i az általánosított binomiális együttható segítségével, határozzu meg ap(τ = ) értéeet, és használja a Stirling-formulát! 5 Teintsü Z helyett a (végtelen) G g, g-ed foú homogén fát mint alapgráfot és rajta a szimmetrius bolyongást Azaz: S n egy véletlen bolyongás G g -n, amely egy megjelölt csúcsról (origóról) indul és időegységenént lép az atuális helyg szomszédja özül egyet egyenletesg 1 valószínűséggel választva Számolju i a Φ, F, L generátorfüggvényeet, ahol Φ(z): egy ijelölt első szomszéd elérési idejéne generátorfüggvénye, F(z): origóba való első viszatérés idejéne generátorfüggvénye; L(z): origóba való utolsó látogatás idejéne generátorfüggvénye 53 Legyene X 1, X, nemnegatív egész független és azonos eloszlású valószínűségi változó Q generátorfüggvénnyel, és legyen n S =, S n = (X i 1), azaz egy bolyongó pozíciója n lépés után, ai az i lépésben X i 1-et lép (vagyis 1-et, ha X i =, -t, ha X i = 1, stb) Legyen továbbá τ = infn > : S n = 1} a 1 szint első elérési ideje, jelöljü enne generátorfüggvényét P -vel 3
a) Az első lépésre feltételezve mutassu meg, hogy P(s) = Q(P(s)) s b) Az a) rész alapján határozzu meg P -t, ha, p valószínűséggel, X i =, 1 p valószínűséggel (Azaz S n egy egyszerű bolyongás) c) Legyene most azx i változó Pesszimista Geom(p) eloszlásúa, az a) rész alapján határozzu megp -t d) A c) rész alapján határozzu meg anna valószínűségét p függvényében, hogy a bolyongó valaha eléri a 1 szintet 6 HF: (Beadandó: április 6) 61 Legyene az X 1, X,, X n, Y 1, Y,, Y n,, X és Y valószínűségi változó egyazon (Ω, F, P) P P valószínűségi mezőn értelmezve és tegyü fel, hogy X n X és Yn Y Bizonyítandó, hogy a) X n Y n P XY b) Ha 1 valószínűséggel Y n és Y, aor X n /Y n P X/Y 6 Legyen f : [, 1] R folytonos Bizonyítandó, hogy 63 Bizonyítsu be, hogy 1 1 1 1 1 f 1 1 1 ( ) x1 +x + +x n f dx 1 dx dx n = f n ( (x 1 x x n ) 1/n) dx 1 dx dx n = f 1 ( ) 1 e x 1 +x + +x n x 1 +x + +x n dx 1 dx dx n = 3 ( ) 1 64 Legyen S n 1 := x R n : x = 1} az n-dimenziós valós eulideszi tér egységgömb-felszíne S n 1 -en egyértelműen meghatározott a ν (n 1) valószínűségi mérté, mely invariáns az R n tér ortogonális transzformációira Azaz: bármely A S n 1 Borel-mérhető halmazra és az R n tér bármely H ortogonális transzformációjára ν (n 1) (HA) = ν (n 1) (A) (Ezt az egyértelműen meghatározott mértéet nevezzü az S n 1 gömbfelszín Haar mértééne Ez nem egyéb, mint az egyenletes eloszlású mérté S n 1 -en) a) Legyen X egy olyan véletlen vetor R n -ben, melyne X 1, X,, X n omponensei független és azonos N(, 1) eloszlású valószínűségi változó Bizonyítsu be, hogy az R n tér tetszűleges H ortogonális transzformációját alalmazva az Y := HX véletlen vetor Y 1, Y,, Y n omponensei szintén független és azonos N(, 1) eloszlású valószínűségi változó leszne Ebből és az egyenletes mérté unicitásából bizonyítsu, hogy X/ X S n 1 eloszlása pontosan ν (n 1) (Azaz: bármely Borel mérhető A S n 1 esetén P ( X/ X A ) = ν (n 1) (A)) b) LegyeneX 1, X, független és azonosn(, 1) standard normális eloszlású valószínűségi változó és R n := ( X 1 +X + +X n) 1/ Bizonyítandó, hogy R n / n P 1, amint n c) Válasszun egy véletlen P pontot az S n 1 gömbfelszínen egyenletes eloszlással (azaz a ν (n 1) Haar mérté szerint) és jelöljü e pontr n -beli oordinátáit(y (n) 1, Y (n),, Y n (n) )-el A fenti a) és b) ponto felhasználásával bizonyítsu az alábbi határeloszlás tételeet: ( ny ) P (n) 1 < y = Φ(y) := 1 y π ( ny P (n) 1 < y 1 ; ) ny (n) < y = Φ(y 1 )Φ(y ) Tipp: P ( ny (n) 1 < y ) = P ( nx 1 /R n < y ), a feladat jelöléseivel 1 π e x / dx, 4
7 HF: (Beadandó: április 13 Megint van benne egy is bónusztartalom) 71 Fogalmazzun meg szüséges és elégséges feltételt arra, hogy független X i Exp(λ i ) valószínűségi változó sorozata mior tart eloszlásban, illetve majdnem biztosan nullához 7 Végtelen so független ísérletet végzün: az n-edi ísérlet n α valószínűséggel sieres, < α < 1 Legyen továbbá 1 Aor örülün, ha végtelen soszor fordul elő, hogy özvetlenül egymást övető ísérletün sieres Meora valószínűséggel örülün? 73 (A leghosszabb tiszta fej sorozat, I) Legyene X 1, X, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása: PX = 1} = p, PX = } = q, ahol p+q = 1 Rögzítsün egy λ > 1 paramétert és jelöljü A (λ) -val a övetező eseményeet: =, 1,, A (λ) := r [ [λ ], [λ +1 ] ] N : X r = X r+1 = = X r+ 1 = 1 Egyszerűen szólva: az A (λ) esemény azt jelenti, hogy [λ ] és [λ +1 ] 1 özött van valahol egy hosszú tisztán 1-eseből álló tömör sorozat Bizonyítandó, hogy a) Haλ < p 1, aor 1 valószínűséggel az A (λ) eseménye özül csa véges so övetezi be b) Ha λ > p 1, aor 1 valószínűséggel aza (λ) eseménye özül végtelen so beövetezi c) Mi történi λ = p 1 esetén? 74 (A leghosszabb tiszta fej sorozat, II) Legyen R n := sup : X n = X n+1 = = X n+ 1 = 1} Azaz: R n az n-el ezdődő tiszta 1-es sorozat hossza (HaX n =, aor R n = ) Bizonyítandó, hogy } R n P sup logn = logp 1 = 1 Tipp: α > rögzített paraméterre legyen B (α) n := R n > αlogn/ logp } Ha α > 1, aor a Borel-Cantelli lemma diret állításából egyszerű számolás útján adódi, hogy 1 valószínűséggel csa véges so B n (α) övetezi be Ha α 1, aor az előző feladat megfontolásaiból övetezi, hogy 1 valószínűséggel végtelen sob n (α) beövetezi 8 HF: (Beadandó: április ) 81 Mutassu meg, hogy EX < pontosan aor, ha n=1n P X > n} < 8 LegyeneX 1, X, független valószínűségi változó Lássu be, hogy pontosan aor leszsup n X n < mb, ha n=1 PX n > A} < valamely pozitív véges A számmal 83 Bizonyítsu, hogy tetszőleges X 1, X, valószínűségi változó sorozathoz létezi olyan determinisztius c 1, c, számsorozat, hogy Xn c n mb 84 A McMillan tétel legegyszerűbb alaja Legyen p = (p 1, p,, p r ), ahol p i, i = 1,,, r pozitív számo, melyere p 1 + p + + p r = 1 Azaz: adott egy valószínűségi eloszlás az1,,, r} halmazon A p eloszlás entrópiáját a övetezőéppen definiálju: H(p) := r j=1 p j logp j Legyene X 1, X, független azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX n = j} = p j Azaz: független azonos ísérleteet végzün, melyene lehetséges imenetelei 1,,, r} indexeel vanna jelölve és X a -adi ísérlet eredményét jelöli Definiálju az R n := n =1 p X valószínűségi változóat Az R n azt mondja meg, hogy mi az a priori valószínűsége a beövetezett X 1, X,, X n sorozatna Bizonyítandó, hogy 9 HF: (Beadandó: április 7) } P n 1 logr n = H(p) = 1 91 Határozzu meg a Binomiális(n, p), a Poisson(λ), az optimista és pesszimista Geometriai(p), az Egyenletes(a, b), a Standard Normális majd ebből a Normális(µ, σ ), az Exponenciális(λ), és a Standard Cauchy eloszláso araterisztius függvényeit Tipp: Ha elaadtun, segíthet a reziduumtétel } 5
9 Legyen ϕ egy X valószínűségi változó araterisztius függvénye Vajon Reϕ illetve Imϕ valószínűségi eloszláso araterisztius függvényei-e? 93 Bizonyítsu be, hogy ét független és azonos eloszlású valószínűségi változó ülönbsége nem lehet E- gyenletes( 1, 1) eloszlású Tipp: Írju fel mindettő araterisztius függvényét és lássu be, hogy eze nem lehetne azonosa 94 Legyenf(x) = 1 x 1, ha x ésf(x) =, egyébént Határozzu meg azf sűrűségfüggvényű eloszlás araterisztius függvényét 95 Magyarázzu a araterisztius függvénye segítségével a sint t = sint/ t/ cos t/ és a azonosságoat sint t = =1 cos t 1 HF: (Beadandó: május 4) 11 Legyen X egy szabályos dobóoca által mutatott szám, Y pedig X-től független, E(, 1) eloszlású a) Határozzu meg X araterisztius függvényét b) Határozzu meg Y araterisztius függvényét c) Határozzu meg X +Y araterisztius függvényét Ebből olvassu le mi X +Y eloszlása d) Határozzu meg X Y araterisztius függvényét Ebből olvassu le mi X Y eloszlása 1 Mutassu meg, hogy ha ϕ egy egész értéű eloszlás araterisztius függvénye, aor a súlyfüggvény p() = 1 π π π e it ϕ(t) dt, Z alaban számolható 13 Emléeztetőül: X Cauchy(b, a) (a >, b R), ha sűrűségfüggvénye f(x) = 1 π a a +(x b), x R, a standard eset az a = 1, b = A standard Cauchy eloszlás araterisztius függvényét meghatároztu: ϕ StCau (t) = e t a) Mutassu meg, hogy a Cauchy(b, a) eloszlás a standard Cauchy eloszlás lineáris transzformáltjaént apható b) Az a) rész és ϕ StCau segítségével határozzu meg a Cauchy(b, a) eloszlás araterisztius függvényét c) A araterisztius függvénye segítségével ellenőrizzü, hogy egy Cauchy(b 1, a 1 ) és egy tőle független Cauchy(b, a ) valószínűségi változó összegéne eloszlása Cauchy(b 1 +b, a 1 +a ) d) Meg tudnán-e ugyanezt csinálni momentumgeneráló függvényeel? Miért? e) Eloszlás araterisztius függvénye-e at e ( t +1) e függvény? 14 a) Legyene X 1, X, X 3,, X n független és azonos standard Cauchy eloszlású valószínűségi változó Határozzu meg az Y n := n 1 (X 1 + X + + X n ) valószínűségi változó araterisztius függvényét b) Mutassu meg egy példával, hogy abból, hogy valószínűségi változó összegéne araterisztius függvénye egyenlő a tago araterisztius függvényeine szorzatával, nem övetezi a tago függetlensége 11 HF: (Beadandó: május 11 A 114 icsit nehezebb, extra pontot ér) 111 Legyene µ n normális N(m n, σ n) valószínűségi mértée, n = 1,, Bizonyítandó, hogy a µ n eloszláscsalád pontosan aor feszes, ha az m n és aσ n számsorozato orlátosa Alább használjun folytonossági tételt, és a araterisztius függvénye onvergenciáját 6
11 LegyenX p Pesszimista Geom(p) Lássu be araterisztius függvény-módszerrel, hogyp X p határeloszlása Exp(1), ahogy p ց 113 Mutassu meg, hogy a Pesszimista Negatív Binomiális(r, p) eloszlás gyengén onvergál a Poi(λ) eloszláshoz, ha r (a soadi sierre várun) úgy, hogy r (1 p) λ (a sier valószínűsége így tart 1-hez) 114 Legyene az Y 1, Y, független és azonos E(, 1) eloszlású valószínűségi változó, és legyen X = Y, S n = X 1 +X + +X n Bizonyítsu be, hogy S n n 4 gy 1, és S n n 4 1 6 n3 gy N(, 1) 7