Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:

1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. Példák a véges számábrázolás miatt elforduló furcsaságokra. Definíció: Az =±2 alakú számot normalizált lebegpontos számnak nevezik, ha, {0,1}, =1 és. (: mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: =±[ ] = m 2 Gépi számhalmaz: = (,, ) = { adef. szerint, } {0} Gépi számhalmaz tulajdonságai: 1) <1 2) a 0-ra szimmetrikus 3) A legnagyobb pozitív szám: =+[111 1 ] = 2 4) A legkisebb pozitív szám: =+[10 0 ]= 2 5) Relatív hibakorlát: az 1-et követ gépi szám 1 =+[10 01 1] [10 0 1] = 1 2 2 =2 Gépi szám megfeleltetése valós számnak: Definíció: Az függvényt input függvénynek nevezzük, ha () = 0 Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája: Következmény: () 1 2 =2 () ha ha ha < ha 1 2 =2 ha Azaz az ábrázolt szám relatív hibakorlátja 2, vagyis csak -tl függ. az -hez legközelebbi gépi szám a kerekítés szabályai szerint ha ha 1

-ben elforduló furcsaságok 1) ( + ) = (), ahol 0 Pl. = [1100 1] [1100 1] = [1000 4] + [0001 1] [1100 1] 2) Asszociativitás nem teljesül: ( + ) + + ( + ) Pl. = [10011 4] [10011 4] = [10000 1] + [00000 4] bal oldal: ( + ) + [10011 4] [10011 4] + [00000 4] + [00000 4] [10011 4] [10011 4] jobb oldal: ( + ) + [10000 1] [10011 4] + [10000 1] + [00001 4] [100000 1] [10000 0] [10100 4] [10011 4] [10100 4] 3) Kivonási jegyveszteség a. [1100 1] = [1001 1] = [0011 1] [1100 1] b. átalakítás a pontosabb számításért: 1 +1= +1+ c. másodfokú egyenlet gyökei d. részeredmény nem ábrázolható, de a végeredmény igen: + = + max{, } 2

2. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba ill. hibakorlát fogalma. Tétel az alapmveletek abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. A függvény pontbeli kondíciószámának fogalma. Definíció: : pontos érték, : közelít érték = : közelít érték (pontos) hibája : közelít érték abszolút hibája : közelít érték egy abszolút hibakorlátja = (gyakorlatban): közelít érték relatív hibája = : közelít érték relatív hibakorlátja Következmény: = = Tétel: Az alapmveletek hibakorlátai = + = = + ± = ± = + = + problémás mveletek: kis számmal osztás, közeli számok kivonása Bizonyítás: Összeadás: Tegyük fel, hogy és azonos eljel. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) Abszolút értéket véve, felülrl becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva: ( + ) = +, tehát Összeg relatív hibakorlátja: ( + ) ( + ) = + = + + + + = + + + + Kivonás: Tegyük fel, hogy és azonos eljel. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Abszolút értéket véve, felülrl becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva: ( ) = +, tehát 3

Különbség relatív hibakorlátja: ( ) + ( ) = = + = + + Szorzás: ( ) = = + = ( ) + ( ) ( )+=++ + ugyanis Numerikus módszerek tételek Tehát + Szorzat relatív hibakorlátja: ( ) + ( ) = = Osztás: Tegyük fel, hogy és azonos nagyságrend. = + = = = ()() () = Hányados abszolút hibakorlátja: = + = + = = + = + Hányados relatív hibakorlátja: = = = + = + + + + ( ) + ( ) = = ( ) = () = = + + = + 4

A függvényérték hibája: Tétel: (), ekkor () =, ahol () = [, ] és = max () () Bizonyítás: Lagrange-tétellel: () () = () () = () ( ) () = () () Tétel: (), ekkor () = () + = max () (), ahol Bizonyítás: Taylor-formulával: () (: középpont) () () + () ( ) = () ( ) 2! () () = () ( ) + () ( ) 2! () () + () 2 Jó közelítés, ha kicsi. Következmény: () () ha kicsi. () + 2 () ( 0) () () = () () = () Definíció: A cond(, ) () mennyiséget az függvény -beli kondíciószámának nevezzük. () 5

3. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a visszahelyettesítés veletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes felemkiválasztás. = =?,, Gauss-elimináció Jelölések: () (eredeti) 1. lépés: 1. egyenlet változatlan új. egyenlet =. egyenlet () () () 1. egyenlet ( = 2,,) //ha 0 () () () = () () =1,, = 1,,,+1 Egyenletek: () () () () + + = () () () + = () () () + =. lépés:. egyenlet változatlan új. egyenlet =. egyenlet () (). egyenlet ( = +1,,) //ha 0 () () () = () () 1. lépés után: felsháromszög alak Visszahelyetteítés: = () () = 1,,1 =+1,, = +1,,,+1 () () () () + + = () () () + = () () () () + + = () () = = 1 () () veletigény 1) Gauss-elimináció () ( = 1,,1) 6

. lépés: osztás ( ) ( +1) szorzás ( ) ( +1) összeadás, kivonás ( ) [ ()+3] ()[()+3] = (2 +3) =2 +3 =2 (1)(21) 6 +3 (1) 2 = 2 3 +( ) ( ): olyan függvény, melyet -tel osztva korlátos függvényt kapunk. 2) Visszahelyettesítés 1 osztás meghatározása: 1 osztás szorzás összeadás, kivonás ()+1 [()+1] +1= (2 +1) +1=2+ ( 1)+ 1 = =2 (1) 2 += () Megjegyzések: () 1) Ha =0, akkor sort vagy oszlopot kell cserélni. Sorcsere nem változtatja a megoldást, oszlopcsere esetén a megoldás komponensei felcseréldnek. 2) A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága menet közben kiderül. = 0 sok megoldás 0 0 nincs megoldás 3) Számítógépes megvalósítások a. Részleges felemkiválasztás () () () A. lépésben az,,, elemek közül a maximális abszolút érték sorát felcseréljük a. sorral. A megoldás nem változik. sor: [1,2,,] vektor Ebben cserélünk. Minden hivatkozás ezen keresztül történik. b. Teljes felemkiválasztás A. lépésben a. sorok,. oszlopok által meghatározott mátrix részben a maximális abszolút értékt keressük. Sorát a. sorral, oszlopát a. oszloppal cseréljük. A megoldás változik. sor: [1,2,,], oszlop: [1,2,, ] vektorok Ezekben cserélünk, (), () hivatkozások. 7

4. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzásokkal. Kapcsolata az LU felbontással. A Gauss-elimináció alkalmazásai: 1) Determináns számítása felsháromszög alakból () () () det() = (1) : a sor- és oszlopcserék inverzióinak együttes száma 2) Azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása =, =, = (Gauss-elimináció végrehajtása) 3) Mátrix inverzének meghatározása = = =,,,, =,,, = = = = mátrixegyenletet kell megoldani. Ez darab mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk, a 2) pont alapján csak egyszer kell eliminálni, tehát az kiegészített táblázatra alkalmazott Gauss-eliminációval meghatározhatjuk az inverzet. Gauss-elimináció felírása speciális mátrix szorzásokkal 1 1 0 1 0, 1 0, 1 0 0 0 0 0 1 0 0 = () () jelentése: 1) Az. oszlopa változatlan 2) Az új. sor =. sor. sor ( = +1,,) 3) A Gauss-elimináció. lépése: () = () Következmény: A felemkiválasztás nélküli Gauss-elimináció felírható a következ alakban: = = = Ahol alsóháromszög mátrix a fátlóban 1-esekkel és felsháromszög mátrix. Állítás: = + Bizonyítás: = + = + = 8 0

Állítás: = + + Bizonyítás: Teljes indukció = + ( =1) Tfh -ra igaz, bizonyítsuk +1-re ( < 1) = + + + = = + + + + + = + + Megjegyzés: -t összepakoljuk,, nem 0 elemeibl. 1. Gausseliminációs lépés után () 2. GE lépés után az eredeti oszlopot -gyel végigosztjuk (1) 2 (1) 22 Egy mátrixban van és. 9

5. Az LU felbontás, tétel az!-rl. A fminorok és az LU felbontás kapcsolata. és elemeinek meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Mveletigénye. Definíció: LU felbontás =, ahol alsóháromszög mátrix fátlóban 1-esekkel és felsháromszög mátrix. = = 1) = 2) = Numerikus módszerek tételek Az LU felbontás ismeretében két háromszögmátrixú egyenletrendszer megoldásával (visszahelyettesítéssel) megoldható a lineáris egyenletrendszer. Tétel: Az LU felbontás GE végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül. () Bizonyítás: Ha a Gauss-elimináció nem akad el =0 miatt (tehát nincs szükség sor- vagy oszlopcserére), akkor a. lépés felírható alsóháromszög mátrixszal történ szorzással. Az elimináció végén kapott = és = mátrixok a felbontásban szerepl mátrixok. Tétel: Jelöljük =, -val a. fminort. Ha det( ) 0(= 1,,1), akkor! = felbontás és 0(= 1,,1) Bizonyítás: teljes indukcióval = ( ) =1 0 Tfh! = felbontás és 0(=1,,1). Készítsük el felbontását! = = 0 1 0 1) = 2) =! 3) = = 4) = +1 = det( ) = det( ) det( ) = = 1 0 és elemeinek meghatározása az szorzásból (,) = : = + = > : = + = 1 Fontos a jó sorrend: sorfolytonos, oszlopfolytonos vagy parketta-szer. veletigény: 2 / 3 n 3 * (n 2 ) 10

6. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigorúan diagonálisan domináns a sorokra ill. oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei. Definíció: 1) szimmentrikus, ha =. 2) pozitív definit, ha, = > 0, 0. >0det( )>0(=1,,) 3) soraira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha > ( = 1,,) oszlopaira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha > ( = 1,,) 4) fél sávszélessége, ha, > =0, de, : = 0. 5) profilja a (,, ) (sorra) és (,, ) (oszlopra) számok, ha rögzített, =0(= 1,, ), de, 0 és rögzített, =0= 1,,, de, 0. 6) Tfh és invertálható. Ekkor az [ ] az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementere. Megmaradási tételek: Tétel: A GE során (LU felbontás) a következ tulajdonságok nem változnak: 1) A szimmetrikus => [A A 11 ] is szimmetrikus 2) Det(A) 0 => det ([A A 11 ]) 0 3) A poz. def => [A A 11 ] is poz. def. 4) A félsévszélessége > [A A 11 ] félsévszélessége 5) [A A 11 ]-ben az l i, k j értékek nem csökkennek 11

7. Az LDU felbontás és a Cholesky-féle felbontás, kapcsolatuk az LU felbontással. Tétel a Cholesky-féle felbontásról. LDU felbontás: A = L * D * U, ahol L fels háromszög, egyes diagonálissal; U alsó, 1-es diagonálissal; D diagonális. Visszavezetjük az LU felbontásra: A = L * U ~ = L * D <=> D -1 * U ~ = U; D diag(u ~ 11,, u ~ nn) Áll.: A szimmetrikus => A = L * D * U-ban U = L T Biz.: L -1 *\ A = L * D * U /* (L -1 ) T L -1 * A * (L -1 ) T = D * U * (L T ) -1 Szimmetrikus [ 0 \ 0 ] [ 0 1 1 - - - ] => U * (L T ) -1 = I => U = L T LL T (Cholesky-féle) felbontás: A szimmetrikus; A = L * L T, ahol L teljes fels háromszög, és l ii > 0. Tétel: Ha A szimmetrikus és poz def, akkor! A = L * L T felbontás. Biz.: : A = L *D * L T felbontásból A poz def => det(a k ) > 0 => u kk > 0 => d kk > 0 D diag(d 11,, d nn ) A = (L * D) * (D * L T ) L ~ L ~T Megj.: LU-ból ugyanígy!: Indirekt TFH L 1 L 2 : A = L 1 * L T 1 = L 2 * L T 2 ; D i = diag(l (i) 11,, l (i) nn ) (L 1 * D -1 1 ) * (D 1 * L T 1 ) = (L 2 * D -1 2 ) * (D 2 * L T 2 ) 1 0 0 1 1 0 \ 1 0 \ Mivel az LU felbontás egyértelm, => D 1 * L T 1 = D 2 * L T 2 <=> D 2 1 = D 2 2 (mivel d ii > 0) D 1 = D 2 => L T 1 = L T 2 ELLENTMONDÁS! 12

8. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval. Tétel a létezésrl, egyértelmségrl. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval: [,,,, ] = [,,,, ] Numerikus módszerek tételek = 1, = TFH q 1,, q k-1 ismert = + = 1 /, =, + +,, =, = = ( =2,,) Tétel: Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = Q * R felbontás. Ha feltesszük, hogy r kk > 0 k-ra, akkor egyértelm is. Biz.: : lásd levezetés.!: Indirekt: TFH két különböz QR felbontás A = Q 1 * R 1 = Q 2 * R 2 Q Q 2 T * Q 1 = R 2 * R 1-1 =: R Q * Q T = (Q 2 T * Q 1 ) * (Q 2 T * Q 1 ) T = Q 2 T * (Q 1 * Q 1 T ) * Q 2 = I I I = Q T * Q = R T * R 1. :1= =1>0 0= = 0 2. :1= + => R = I <=> R 2 * R 1-1 = I => R 2 = R 1 ELLENTMONDÁS. =1>0 13

9. QR felbontás Householder transzformációval. A transzformáció tulajdonságai, alkalmazása LER megoldására: A=QR ahol Q ortogonális mátrix ( = = ), R fels háromszögmátrix. A H(v) = I 2vv T mátrixot Householder mátrixnak nevezzük. v, =1 (vv T =1) A H(v)-vel való szorzást Householder transzformációnak hívjuk A transzformáció tulajdonságai: 1) = 2)()á( = = ) H2 =I 3) v-re merleges tükrözés (n-1)dim mátrixa 4) : = Bizonyítás: 1) = =( ) 2) = 2 2 =4 +4 = 3) = 2 =2 4) = 2 =2 QR felbontás Householder transzformációval: = =( ), =, =, = soronkéntalkalmazva LER megoldása Householder transzformációval: = = 0 = éá1. ( veletigény fels háromszögmátrixra: 4 3 + ( ) 14

10. A vektor- és mátrix norma fogalma, példák. Normák ekvivalenciája. Az indukált mátrix norma konstrukciója, az illeszkedés fogalma. Az 1-es,, Frobenius mátrix norma. A 2-es mátrix norma és kapcsolata a spektrálsugárral. Vektornormák: A. : függvényt vektornormának nevezzük, ha 1) 0 2) =0 =0 3) =, Példák: 4) + + = = = max Ekvivalencia: A. é. vektornormák ekvivalensek, ha, : -en bármely két vektornorma ekvivalens. Mátrixnormák: A. : függvényt mátrixnormának nevezzük, ha 1) 0 2) =0 =0 3) =, 4) + +, 5), Indukált mátrixnorma: Legyen. egy tetszleges vektornorma. Ekkor = mennyiség mátrixnormát definiál. Bizonyítás: 1-4. tulajdonság a vektornormákra is igaz ezért teljesül mátrixnormákra is. 5) =0 0= =0 0= 0 =0 = ( = ) = = Bizonyítás: = = 15

Illeszkedés: A. mátrixnorma és a. vektornorma illeszkedik ha: (, ) Az indukált mátrixnorma mindig illeszkedik az t generáló vektornormához. Bizonyítás: = 0: 0 0: szuprémumdefinícióból Az 1,2 és vektornormát a következ mátrixnormákat indukálják: = = (oszloponkéntiösszegekmaximuma) (soronkéntiösszegekmaximuma) =(( )) =( ( )) = ()) Frobenius mátrixnorma: A Frobenius mátrixnorma nem indukált norma. (Indukált normában =1) 2-es norma kapcsolata a spektrál sugárral: spektrálsugár: () = inf{:. indukáltnorma} =(( )) =( ( )) = 16

11. A lineáris egyenletrendszer érzékenységére vonatkozó tételek. A kondíciószám fogalma és tulajdonságai. A lineáris egyenletrendszer érzékenysége: = helyett: Változhat a jobb oldal: = Változhat a bal oldal: ( = A jobb oldal változása permutációs tétel: Ha A invertálható és b0, akkor: 1 () í á á í á () í á Bizonyítás: fels becslés: alsó becslés: = = = = (illeszkednormák) = = =A = (illeszkednormák) = Permutációs lemma: Ha <1, akkor ( + ) és ( + ) = 1 Bizonyítás: () () <1 (+)= ()+10(( + ) = (1+ ) ( + ) ( + ) = ( + ) = [( + ) ]( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) 1 (1) (+) 1 () A bal oldal (mátrix) változása permutációs tétel: Ha A invertálható és b0 és <1, ekkor 17

á í á () Bizonyítás: ( )= = á í á =0 () ( + ) = -ra alkalmazzuk a lemmát: = <1 (+ )é( + ) 1 (+ ) ( + ) 1 1 () = () Kondíciószám: A () = mennyiséget A kondíciószámának nevezzük. Csak invertálható mátrixon definiáljuk. Értéke függ a használt normától. A kondíciószám tulajdonságai: 1) (A invertálható) () 1 2) : () = () 3) Q ortogonális (unitér) mátrix: () =1 4) A szimmetrikus és pozitív definit: () = () () 5) A szimmetrikus: () = () () 6) A invertálható: () () () Bizonyítás: 1) 1== Numerikus módszerek tételek 2) = ( ) = () = () = = 3) = ( ) = () =1 5) = () = () = ( ) = 1 () 6) () () ( 1 ) () = () () 18

12. A LER megoldásának iterációs módszerei. Banach-féle fixpont tétel -re. Elégséges feltétel a konvergenciára. Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára. A = lineáris egyenletrendszer = + (nem egyértelm) = + fixpont egyenlet = fixpont Kontrakció: kontrakció, ha 1 kontrakciós együttható. () = Banach-féle fixpont tétel -re: Ha kontrakció akkor: 1)! : = ( ) egyértelm fixpont 2) () kezdvektorra: () = ( () )iterációs sorozat konvergens és lim ( () )= 3) Hibabecslés: i. () () () ii. () () ) Bizonyítás: a) folytonos, egyenletesen folytonos > 0, = < < = b) () Cauchy-sorozat () () = () ( () ) () () () () () () = ( () () )++( () () ) () () + () () + () () = = ( + 1) () () < () () 0 () () c) = lim () = lim (() ) = lim () = () = (), áóá = : d) Egyértelmség indirekt Tegyük fel, hogy fixpontja nek: = () ( ) (1) 0 19

e) Hibabecslés i., öí, íá, : ii. Numerikus módszerek tételek () () () () () () = () ( ) () () Elégséges feltétel a konvergenciára: Ha <1, akkor () -ra az () = () + iteráció konvergál az = megoldáshoz. Bizonyítás: teljesülnek a fixponttétel feltételei: = + + =, -re igaz, = kontrakciós együtthatóval a fixponttétel állításai teljesülnek Lemma: () = inf{:. á} áá > 0:. : () + Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára: () kezdvektorra az () = () + konvergál az = megoldáshoz () <1 (B spektrálsugara <1) Bizonyítás: : <1 ez elégséges feltétel a konvergenciára : indirekt tegyük fel, hogy () 1 1, 0: = : () : () = () = () = () + + = () = () = = = () ()á( () )á 20

13. Speciális iterációs módszerek: Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és konvergencia tétele. A szigorúan diagonálisan domináns (sorokra ill. oszlopokra) mátrix fogalma. A csillapított Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és konvergencia tétele. Speciális iterációs módszerekhez: A=L+D+U = ( > ) L alsó háromszög mátrix = 0 D diagonális mátrix = ( < ) U fels háromszög mátrix Jakobi iteráció: ( + + ) = ( + ) + ( + ) + = + iteráció: () ( + ) + = + ( + ) = Koordinátás alak: () 1 () Konvergencia tétele: ( = 1 ), = 0, Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira), akkor <1 <1, azaz J(1) iteráció konvergens () -ra. Bizonyítás: = = <1 <1 óá < 21 úáá: > úáá: > Csillapított Jakobi-iteráció: () ( + + ) = ( + ) + = ()+ = [() ( + )] + () ()

iteráció: () = () + + Koordinátás alak: () = () () () Konvergencia tétele: Ha J(1) konvergens akkor 0 <<1-re () is konvergens. Bizonyítás: () = ()+ () (1) konvergens () <1 : <1 = () =()+ () = ()+ = () + = [ )+ ] < ( )+1=1 = + + () <1()0 <<1 22

14. A Gauss-Seidel-iteráció, a koordinátákra felírt alakja. A Gauss-Seidel relaxáció, a koordinátákra felírt alakja és a konvergencia tételei speciális mátrix osztályokra. Gauss-Seidel-iteráció: ( + + ) = ( + ) + (+) + ( + ) ( + áóá:á0) Iteráció: () (+) + ( + ) Koordinátás alak: ( + ) () + + () () () + () [ () + ] () 1 Konvergencia tétele: () () + áó é ú á Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira), akkor <1 < 1, azaz a Gauss-Seidel-iteráció is konvergens () -ra és legalább olyan gyors mint a Jacobi-iteráció. Gauss-Seidel reláció: ( + ) + =D() + ( + ) = () + (+) = ( + ) [( )] + ( + ) Iteráció: () = ( + ) [( )] () + ( + ) Koordinátás alak: A koordinántánkénti számoláshoz alakítsuk át a formulát, hogy ne kelljen inverzt számolni: ( + ) () = ( ) () () + () () () () + + ( ) () () () + () + ( ) () () () () () + +(1) áó é ú á Konvergencia tétel: Ha a relaxációs módszer konvergens akkor 0 <<2 Bizonyítás: konvergens () <1 <1 <1det () <1 det () = det( + ) det() = 1 det() () det() =(1) <1 <10<<2 23

Ha A szimmetrikus, pozitív definit és 0 <<2, akkor a relációs módszer és a Gauss-Seidel is konvergens. Ha A tridiagonális, akkor ( ) =( ), azaz a Jacobi és a Gauss-Seidel iteráció egyszerre konvergens és divergens és a Gauss-Seidel 2szer gyorsabb a Jacobinál. Ha A szimmetrikus, pozitív definit és tridiagonális, akkor (1), ()é() (0,2)-re konvergens és az optimális paraméter: = ( ) Ha 0, akkor ( ) = 1<( )=( ) Ha =0, akkor = 1, ( ) =, ( ) =( ) =0 24

15. A Richardson-típusú iteráció, konvergencia tétele. Kerekítési hibák hatása az iterációkra. Richardson-iteráció:) 0 0 + = ( ) Iteráció: ) = ( ) ) Reziduum vektorral: ) ) reziduum (maradék) vektor ) ) () () ) ) () () () ) Agoritmus: () () = 1 : ) ) () ) ) () Konvergencia tétel: A szimmetrikus, pozitív definit, sajátértékeit sorba rendezve 0 < () Ha (0, ) konvergens, és az optimális paraméter = = Bizonyítás: sajátértékei: () = 1 ) = 1,. () = 1 ) = 1 <1(0, 2 ) () ) -ra optimális ha: () = ) metszéspont (1 ) ()=2 2 = ) = ( ) = 2 = = = Kerekítési hibák hatása az iterációra: Tegyük fel, hogy ) ) pontos, konvergens iteráció helyett ) ) ), () Hibasorozat: ) ) ) a hibasorozat k. eleme () () () () () () () () () = () () () 25

() = () () () + () = () () + ( () ++ 1) Numerikus módszerek tételek () + = () + + = () konvergens.:<1 () () ++1< lim () = tehát konvergens () iteráció esetén a fenti kerekítési hibák a () hibasorozatra a következ becslést adja: lim () = 26

16. A részleges LU felbontás algoritmusa és az ILU algoritmus. Részleges LU felbontás: Legyen J a mátrix elemek pozíciójának egy részhalmaza, mely a fátlót nem tartalmazza: ((, ) Az A mátrixnak a J pozícióhalmazra illeszked részleges LU felbontása alatt olyan felbontást értünk, melyre L és U alakja a szokásos (L alsó háromszög mátrix, a diagonálisban 1-esekkel, U fels háromszög mátrix) és =0,(, =0,(, =() (, ILU felbontás Gauss-eliminációval: = alak 1. lépés: = k. lépés: 1) = -ban a (, és (, elemeket nullázzuk -ban () (),,(, () (),,(, 2) = -n elvégezzük a k. Gauss-eliminációs lépést n-1 lépésben fels háromszög mátrix alakra hozzuk -t. = = = = Bizonyítás: = = = + = ( + + ) = ( + ) = Ha A szigorúan diagonálisan domináns, akkor az ILU felbontás egyértelmen létezik. Bizonyítás: a szétbontással -ban nem változik a szig.diag. dominancia, (J nem tartalmazza a fátlót) a Gauss eliminációs lépés sem változtatja meg azt. ILU algoritmus iterációs módszerrel: = alakból, = = ( ) = + = + + = + = = legyen P az A-hoz közeli kicsi gyors iteráció () = () + () = () + könny számolni, ha P-vel könny LER-t megoldani Iteráció reziduum vektorral: () = () () = ( ) () + = () + () () () = () () () = () () : () = () + () ( () = () () = () ) () = () = () + () = () + () Algoritmus: () = () 27

= 0 : () = () lineáris egyenletrendszer megoldása () = () + () () = () + () Általánosítva: () () + () = Minden tanult iteráció felírható így. Általános kétréteg iterációs módszerek: = (1) = () = + (1) = + () = () = 28

17. Nemlineáris egyenletek megoldása. Bolzano tétel, intervallum-felezés. A konvergencia rend fogalma. Brouwer-féle fixpont tétel, Banach-féle fixpont tétel -en. Elégséges feltételek a kontrakcióra. Az m-edrend konvergenciára vonatkozó tétel. Nem lineáris egyenletek megoldása: () = 0 () az f gyöke/zérushelye, fixpontja Bolzano tétel gyök létezéséhez: []() ()< 0() []( ) = 0 Bizonyítás: intervallumfelezés módszerével ellentétes eljelek k. lépés: ( 2 ) > 0 ) =, 2 ( 2 ) < 0 ), = 2 ( 2 ) = 0) = 2 Az intervallum hibabecslése: = 2 2 2 Konvergencia rend: Az ( ) konvergens sorozat(lim )= ) p-ed rendben konvergens, ha lim határérték Brouwer-féle fixponttétel: : [] [][] [] ( ) Bizonyítás: Bolzano tétellel: () () ] ()() [] ()0 ()0 1)() =0 2)() =0 3)() <0,()> 0 ()( )= 0 ( ) Banach-féle fixponttétel: [a,b]-re: : [] [] kontrakció 1) [] ( ) 29

2) [, ]: = ( )fixpontiterációkonvergensés = lim ( ) 3) hibabecslés: Bizonyítás: a) folytonos, egyenletesen folytonos > 0, = < < = b) () Cauchy-sorozat () () = () ( () ) () () () () () () = ( () () )++( () () ) () () + () () + () () = = ( + 1) () () < () () 0 () () c) = lim () = lim (() ) = lim () = () = (), áóá = : d) Egyértelmség indirekt Tegyük fel, hogy fixpontja nek: = () ( ) (1) 0 e) Hibabecslés i., öí, íá, : ii. () () () () () () = () ( ) () () Elégséges feltételek a kontrakcióra: [, ]é () <1[,]ó[, ] é = max [,] () Bizonyítás Lagrange-középértéktétellel:,, [, ], () () = () max [,] () <1 ()() max [,] () ó. [, ]é [, ]é0< : () <1, [, + ] Ha :0< () ( ), : [, + ] [, + ]éó[, + ] 30

Bizonyítás: () = () () + () () () + () + ( ) + ( )= Numerikus módszerek tételek Az m-edrend konvergenciára vonatkozó tétel: Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat konvergens, = ( ) és ( ) = ( ) = () ( ) =0 de () ( 0. Ekkor az ( ) sorozat m-ed rendben konvergens és hibabecslése! ( = max [,] () Bizonyítás Taylor formulával középponttal: () = ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) 2! ( 1)! ( ) + ( ) ( )! = ( ) = ( ) + ( ) ( )! = ( ) ( )!! ( ) konvergencia rendje m ( ) lim = lim = ( ) = 0!! 31

18. A Newton-módszer és konvergencia tételei (monoton, lokális). f(x) = 0-ra, x 0 tetszleges kezdérték A k. lépésben az (x k, f(x k )) ponton átmen érintvel közelítjük az f-et. X k+1 az érintnek az x tengellyel vett metszéspontja. Globális vagy monoton konvergencia tétel: TFH f C 2 [a,b] és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f és f állandó eljel 3) x 0 [a,b] : f(x 0 ) * f (x 0 ) > 0 Ekkor x 0 -ból indított Newton módszer konvergens x*-hoz. Biz.: Spec. Eset: f, f > 0 (a többi ugyan így megy) Taylor-formula alkalmazása: x k kp. (x; x k ) v. (x k ; x) x x k+1 : Érint: y - f(x k ) = f (x k ) * (x x k ) m X tengellyel vett metszéspont: -f(x k ) = f (x k ) * (x k+1 - x k ) -f(x k )/f (x k ) = x k+1 x k x k+1 x kf(x k )/f (x k ) () ( ) ( )( )+ () 2 ) ( ) ( ) ( )( ) => f(x k+1 ) > 0 k-ra f(x 0 ) > 0 3. feltétel => f(x k ) > 0 k + ( ) 2 ) ( ) ( ) => ( ) ó 0=( )( )=>, >0=>=>( ). Tehát(x kkonv.: lim ( ) Lokáliskonvergenciatétele: =>()= lim ( ) = ( ) lim ( 2 ) =0. =>, 32

TFH f C 2 [a,b] és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f állandó eljel 3) 0 < m 1 f (x), x [a,b] 4) f (x) M 2, x [a,b] M M 2 /2*m 1 5) X 0 [a,b] mi n { 1 ; ; } Ekkor az x 0 -ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens, és hibabecslése: Biz.: Taylor-formula alkalmazása: x k kp., x x * hely. 0=( )( ) ( )( )+ ( ) 2 ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ), ( ). ( ) Becslés: Belátjuk teljes indukcióval, hogy az x k k r (x * ): x 0 x * < r. OK 5. feltétel TFH x k x * < r k => Vizsgáljuk: =() Hibabecslésbl folytatjuk a konvergencia bizonyítását: k+1 M * k 2 /*M M * k+1 (M * k ) 2 d k+1 d k 2 d k+1 d k 2 (d k-1 2 ) 2 (d 0 ) 2^k+1 M * k+1 (M * 0 ) 2^k+1 k+1 1/M * (M * 0 ) 2^k+1 0 k+1 hiba <1 konvergencia rend bizonyítása: -ból x k x * (k) ( ). ( )=>, ( ) = lim lim () () 2 ( ) = ) 33

19. Húrmódszer, szelmódszer, többváltozós Newton-módszer. Húrmódszer: f(x) = 0-ra, x 0 a, x 1 b, és f(a)*f(b) < 0. A k. lépésben az (x k ;f(x k )) és (x s ;f(x s )) pontokon átmen egyenes közelíti f-et, ahol x s : a legnagyobb index pont, melyre f(x k )*f(x s ) < 0 x k+1 : az egyenes metszéspontja x tengellyel. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Tétel: TFH f C 2 [a,b] és f(a) * g(b) < 0 M M 2 /2*m 1 (mint a Newton-módszernél) M * (b-a) < 1 Ekkor az x 0 -ból indított húrmódszer konvergens, és x k+1 x * 1/M * (M * x 0 x * ) 2 NEM BIZ! Szelmódszer: Húrmódszerbl származtatható, úgy, hogy i k+1, és nincs eljel feltétel. ( )( ), ( ) ( ) Tétel: Ha teljesülnek a Newton-módszer lokális konvergencia tételének feltételei, akkor a szelmódszer konvergens = NEM BIZ! rendben, és Többváltozós Newton-módszer: F-nek az elsfokú Taylor-polinómja: () () () x (k+1) : Taylor-poli = 0 0 () () () () () () () () () () () Végrehajtása: () () () () = ) = ) )= ) ) 34

20. A Horner algoritmus polinom és deriváltja helyettesítési értékeinek gyors számolására. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. Horner algoritmus: Polinomok helyettesítése értékeinek, és derivált értékeinek számolására Algoritmus: () = + + = + + + () : () () : : () () () = 1,,0: + () () = () Állítás: () = + ( () () ) + () + = () é () () = () = Biz.: üó: =? () üó: =? () () () () > = + üó: =? () () () () > = + (. ) () =1 ()+() () ()= ()+0= () : (),, () éü Állítás: () = () + () ( ) + () ( ) + NEM BIZ! Polinomok gyökeinek becslése: () = () ()! ( ) () öüú ( )() () = + +, (= 1,,), 0, 0 Tétel: A P(x) polinom bármely x k gyökére < <, =1+ max 1, = 1+ max Biz.: a)tfh x R belátjuk, hogy P(x) > 0 => x nem gyök () + + ( + + ) 35,

max ( + +1) >! max 1 = max 0 1 b) x1/y hely () = 1 = 1 + 1 + = 1 ( + + ) 0=( )= 1 = 1 ( ) ( )> ( ) = 0, 1 = <1+max = 1 < () 36