86 Verseyre előészítő feladato VIII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII Verseyre előészítő feladato (7 oldal) Két samtás, 66 lletve 88-cm agyságú szőyegdarab (mde mező cm agyságú) segítségével le ell fed egy cm agyságú égyzetet úgy, hogy a lefödés s satáblamtás legye, továbbá egy szőyeget se vágju ettőél több darabra és egyetle mezőt se vágju etté Tervezz lye szétvágásoat! Megoldás A melléelt ábrá lye szétvágáso látható Egy labrtus folyosó egy oldalú ove soszög oldala és átló Legalább háy mécsest ell elhelyezü ahhoz, hogy mde folyóso legye legalább egy lámpa? Megoldás Nylvávaló, hogy egy lámpa aor vlágít be a legtöbb folyosót, ha a ove soszög valamely csúcsába va (tt folyosó találoz, máshol legfeljebb folyosó találozhat)
Verseyre előészítő feladato 87 Igazol fogju, hogy lámpa szüséges s és elégséges s mde folyosó bevlágításához Ha egy csúcs vételével mde csúcsba helyezü lámpát, aor a ove soszög mde átlójáa lletve oldaláa legalább egy végpotjába va lámpa, tehát mde folyosó meg va vlágítva Így lámpa elégséges Ha lámpát helyezü el, aor a ove soszög ét csúcsába cs lámpa Az egy lye csúcsból duló dszjut folyosót em lehet megvlágíta lámpával, tehát lámpa em elégséges a folyosó megvlágításához a) Egy 56-os téglalap alaú égyzetrács átlója háy egységégyzetet ért? b) Egy m-es téglalap alaú égyzetrács átlója legfeljebb háy egységégyzetet érthet? Fogalmazz meg egy térbel aalóg feladatot majd oldd s meg! Megoldás a) Először vzsgálju meg, hogy az OC átló háy rácspoto megy át és melye eze Tetsü egy derészögű oordáta redszert, és legyee O (, ), A ( 56, ), B (, ) lletve C (56,) a téglalap csúcspotja Meg aarju határoz, hogy az [ OC ] szaasz háy egész oordátájú poto halad át Az OC egyees egyelete: y, azaz 4 y Meg ell határozu az 56 ( y, ) [,56 ] [,] ( ) pároat, melye teljesít a fet egyeletet Vlágos, hogy y és 4, mert (, 4) Tehát y d és d Ebből övetez, hogy 4d 4d d d Továbbá d [,] d {,,,, 4} Tehát ( y, ) {(, ),( 4, ),( 8, 6 ),( 4, 9 ),( 56, )}, vagys öt rácspoto megy át az [ OC ] szaasz Vlágos, hogy ez a szaasz égy 4-es téglalapo halad át Tehát elégséges meghatároz, hogy egy lye téglalapba háy egységégyzetet ért Az előbbe alapjá, ezebe a téglalapoba egyetle belső rácspoto sem halad át az [ OC ] átló Tetsü egy bogarat, amely eldul a 4-es téglalap bal alsó sarából és eljut a jobb felső sarába úgy, hogy csa azoo az egységégyzetee halad át, amelyee a téglalap átlója Mvel ez az átló em halad át rácspotoo, a bogár éyelmese átmehet ezee a égyzetee Sőt, az s vlágos, hogy csa jobbra és felfele léphet Ahhoz, hogy felérje a jobb felső saroba, 4 -et ell lépje jobbra és -et felfele Tehát összese + 5 lépést tesz meg A 5 lépés alatt 6 egységégyzetet ért, tehát az [ OC ] átló 4 6 64 egységégyzetet ért b) Hasoló godolatmeet alapjá meg ell határozu, hogy a derészögű oordáta redszer O (, ) és M( m, ) potjat összeötő szaasz háy egész oordátájú potot tartalmaz Az OM egyees egyelete y, tehát meg ell m határozzu azo ( y, ) {,,,, m } {,,,, } pároat, amelyere my Legye d ( m, ) m md és d úgy, hogy ( m, ) Tehát my és ( m, ), övetez,hogy m és y, sőt y és m, {,,,, d} Eszert d + rácspoto megy át az [ OM ] szaasz (beleértve az O és M potoat s), azaz d darab m -es téglalapo halad át Egy-
88 Verseyre előészítő feladato egy lye téglalap belsejébe m + egységégyzetet ért, tehát az átló összese d( m + ) m + ( m, ) egységégyzetet ért 4 Határozd meg a legagyobb páros számot, amely em írható fel ét páratla összetett szám összegeét! Megoldás Egy páros természetes szám hattal való osztás maradéa, vagy 4, tehát a szám 6, 6 +, vagy 6 + 4 alaba írható fel I Ha >, aor 6 6 9+ 9 ( ) + >, tehát 6 felírható ét páratla összetett szám összegeét > esetbe Ha, aor 6 em írható fel ét páratla összetett szám összegeét II Ha > 6, aor 6 + 6 + 5 ( ) + 5 7 és >, tehát 6 + felírható ét páratla összetett szám összegeét > 6 esetbe Ha 6, aor 6 + 8 em írható fel ét páratla összetett szám összegeét III Ha > 4, aor 6 + 4 6 + 5 ( 7) + 5 5 és 7 > Tehát 6 + 4 felírható ét páratla összetett szám összegeét, ha > 4 Ha 4, aor 6 + 4 8 em írható fel ét páratla összetett szám összegeét A fete alapjá 8 a legagyobb páros szám, amely em írható fel ét páratla összetett szám összegeét 5 Háy olya -él em agyobb poztív egész szám va, amelye mde prímosztója legalább étjegyű? Vzsgáld meg az sajátos esetet s! Megoldás Tulajdoéppe azoat az -él sebb vagy -el egyelő természetes számoat eressü, amelye em oszthatóa -vel, -mal, 5-tel lletve 7-tel Keressü meg azoat, amelye oszthatóa eze valamelyével Az Mp { } * p és jelöléssel az M M M5 M 7 halmaz számosságát ell meghatározu N M M M M M + M + M + M 5 7 5 7 M M M M M M M M M M M M + 5 7 5 7 5 7 + M M M + M M M + M M M + M M M 5 7 7 5 7 5 M M M M m 5 7 Tudju, hogy ha m,,, m pároét relatív príme, aor Mm M M m Mm m m, ez pedg magával voja az -él sebb m többszörösö esetébe s a tulajdoságot Mvel,, 5, és 7 prímszámo, pároét relatív príme s, tehát N M + M + M + M M M M M 5 7 6 4 5 M M + M + M + M + M M 5 4 7 5
Verseyre előészítő feladato 89 Másrészt az -él sebb vagy vele egyelő, -val osztható poztív egésze,,,,, tehát darab lye szám va Ebből övetez, hogy M Tehát N + + + + 5 7 6 4 5 5 + + + + 4 7 5 az -él sebb vagy vele egyelő, a,, 5, 7 príme valamelyével osztható poztív egésze száma Követezéséppe az -él em agyobb olya poztív egésze száma, amelyee mde prímosztója legalább étjegyű N Az esetbe ez a szám 5 48 + + 666 + + 74 + 666 + 476 + 85 8 4 95 + 47 85 6 Egy 5-ös téglalap alaú égyzetrácso találomra választu három potot M a valószíűsége aa, hogy a választott poto által meghatározott háromszög belsejébe vagy az oldala va legalább egy tovább rácspot? Megoldás A 5-ös téglalap 4 6 4 rácspotot tartalmaz Tehát a lehetséges esete száma C 4 4 Számolju meg azoat az eseteet, amor a háromszög belsejébe, vagy oldala cs tovább rácspot Egy lye háromszög oldala egyegy téglalap átló (esetleg elfajult téglalap) A feladat alapjá ahhoz, hogy eze átló e legye tovább rácspot, az oldalhosszaa legagyobb özös osztója ell legye Ilye ( m, ) {,,, } {,,,, 4, 5} páro az A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 4 ), (, 5 ), (, ), (, ), (, 5 ), (, ), (, ), (, 4 ),(, 5 )} halmazba vaa Vzsgálju azoat az eseteet, amor a háromszög leghosszabb oldala m -es téglalap átlója, ahol ( m, ) A (az ( m, ) és ( m, ) eseteet em ell ülö vzsgál) ( m, ) (,) Ebbe az esetbe cs olya háromszög, amelye ez legye a leghosszabb oldala ( m, ) (, ) Egy -es téglalapba 4 lye háromszög létez A 5-ös téglalap 5 5 -es téglalapot tartalmaz, tehát 4 5 6 lye háromszög va a téglalapba ( m, ) (, ) Egy -es téglalapba 4 lye háromszög létez A 5-ös téglalap pedg 4+ 5 darab -es vagy -es téglalapot tartalmaz Tehát 4 88 lye háromszög va a téglalapba 4 ( m, ) (, ) Egy -mas téglalapba 4 lye háromszög va A 5-ös téglalap tehát +5 4 darab -mas vagy -es téglalapot tartalmaz, vagys 4 4 56 lye háromszög va a téglalapba
9 Verseyre előészítő feladato 5 ( m, ) (, 4) Ismét 4 lye háromszög található egy 4-es téglalapba, a 5-ös téglalap pedg 6 darab 4-es téglalapot tartalmaz, tehát 4 6 4 lye háromszög va a téglalapba 6 ( m, ) (, 5) Egy 5-ös téglalap 4 lye háromszöget tartalmaz, míg a 5- ös téglalap darab 5-ös téglalapot tartalmaz, tehát 4 lye háromszöget tartalmaz 7 ( m, ) (, ) Egy -mas téglalap 4 lye háromszöget tartalmaz Ebbe az esetbe a 5-ös téglalapba 4 lye háromszög található 8 ( m, ) (, 5) A 5-ös téglalap 8 lye háromszöget tartalmaz 9 ( m, ) (, 4) A 5-ös téglalap 8 lye háromszöget tartalmaz ( m, ) (, 5) A téglalap 4 lye háromszöget tartalmaz Tehát összese 6 + 88 + 56 + 4 + + 4 + 8 + 8 + 4 esetbe a háromszög oldala és belsejébe cs rácspot Követezéséppe 4 74 esetbe va tovább rácspot a háromszög oldala vagy 74 4 belsejébe Tehát a eresett valószíűség P 4 56 7 Oldd meg a * z z egyeletet ( )! Megoldás Szorozzu az egyelet mdét oldalát z-vel z z z, tehát az egyelet a z z alaba írható Ha számítju mdét oldal modulusát a z z egyelőséghez jutu Ha, aor az egyetle megoldás a z Ha, aor mde valós szám megoldása az egyelete, tehát feltételezhetjü, hogy Ebbe az esetbe a z z egyelőségből övetez, hogy z, tehát z és így z Tehát a megoldáshalmaz π π M cos + s, 8 Határozd meg z legsebb és legagyobb lehetséges értéét ha z + a és a z egy szgorúa poztív valós szám Megoldás A modulusfüggvéy tulajdoságaból övetez, hogy z z z + z Tehát, ha z r, aor r a r ar r a a 4 a a 4 + + + r, Sőt, a a + 4 a + a + 4 <, r Tehát a z lehetséges legagyobb értée a + a + 4 z számra gaz a feladatbel összefüggés a + a + 4, és ezt fel s vesz, mert a
Verseyre előészítő feladato 9 Mvel z -be és legsebb, ha z z -be a z + a összefüggés szmmetrus, és z aor a z a legagyobb, övetez, hogy a z legsebb lehetséges értéét aor vesz fel, ha a + a + 4 z, azaz a + a + 4 z a + a + 4 a + a + 4 Ezt az értéet z eseté vesz fel π 9 Oldd meg a természetes számo halmazába a l og s egyeletet! 8 Megoldás Mvel s π π, N log s, amor a logartmus 8 8 π értelmezett (azaz s > ) Iducóval gazolható, hogy >, 5 8 eseté, tehát csa a {,,,, 4 } halmazból vehet fel értéet Eze özül csa az 4 megoldás Oldd meg az + 4 egyeletet a valós számo halmazába! Megoldás Az egyelete em lehet egatív megoldása, mert < eseté az egyelet bal oldalá álló fejezés egatív Ha > a számta és a mérta özéparáyoso özött egyelőtleség alapjá + + De +, > eseté, tehát + 4 4 Az egyelőtleségebe aor és csa aor áll fe egyelőség, ha Tehát ez az egyelet egyetle megoldása 4 4 + + 5 5 Oldd meg az ( ) ( ) + egyeletet a valós számo halmazába! + 4 + 4 5 5 Megoldás A feladatbel egyelet a + alaba s írható Észrevesszü, hogy és megoldáso, majd bzoyítju, hogy több megoldása cs az egyelete Belátható, hogy >, mert ha, aor + 4 + 4 4 5 5 5 5 + + < + 5 Az f, g, f, g :(,+ ) f ( ), 4 g ( ) 5 + + 4, f 5 ( ) és g ( ) függvéye ovee, tehát az 5 f g és f g függvéye s ove függvéye A feladatbel egyeletü pedg ( f g )( ) + ( f g )( )
9 Verseyre előészítő feladato Mvel f g és f g ove függvéye, f g + f g s ove függvéy, tehát az egyelete legtöbb ét megoldása lehet A gyöö tehát és Oldd meg az ( + ) + ( + ) egyeletet! ( és ) Megoldás Ha, aor ( + ) + ( + ) > ( + ) 4 és, ha, aor ( + ) + ( + ) > ( + ) 4, tehát az egyelete csa aor lehet megoldása, ha 4 Eszert {,, } I eset Ha, aor + és cs megoldás II eset Ha, aor ( ) ( + + + ) + + ( ) log 5 6 ( ) + és log( 5 6) III eset Ha, aor ( + ) + ( + ) ( + ) + ) Az + ( + + y jelöléssel y + y 6 Ebből y 8 és y, tehát csa + teljesülhet, ahoa Határozd meg az a + b c egyelet valós megoldásat ha a, b és c poztív valós számo és a + b c a b Megoldás Az f :, f ( ) + c c függvéy szgorúa ove, tehát az eredet egyelete ettőél több megoldása em lehet Másrészt az és számo megoldása az egyelete, tehát M {, } Megjegyzés Igazolható, hogy a + b c + d (a, b, c és d pároét ülöböző ) eseté az a + b c + d egyelete s csa az és számo a megoldása y z 4 A természetes számo halmazába oldd meg a + 4 5 egyeletet! y z y z Megoldás + 4 5 y + ( + ) ( 6 ) ( + ) M +, z z M ( 6 ) 6P + ( ), P Tehát + M + 6P + ( ) z () Ha, aor M + 6P ) z y z + ( z páratla Ebbe az esetbe + 4 5 y y z z + ( 5 ) 5 ( 5 ) 5K + ( ), K Tehát + 5 M + ( ) 5 Ebből övetez, hogy y páratla (mert z >, páratla) Másrészt y 4 5 z ( ) ( 5 ) 5 z + + y és 5 z + + páratla, mert páratla számú páratla szám összege, tehát z és y ell legye ebbe az esetbe Követezéséppe egy megoldás, y és z Ha, aor () alapjá z páros Tehát z z és z Másrészt y z y ( 4 ) + 4 ( 4+ ), e 4L + ( ) + 4 4P +, ahol L, P Tehát s páros és Az egyeletü a övetezőéppe alaul y
Verseyre előészítő feladato 9 y + 5 z z ( y z 5 )( 5 + y ) z y a 5 () ab,, ahol a < b és a + b A fet ét egyeletet z y b 5 + 5 + b z a z a a összeadva, apju, hogy 5 + b z De 5 em z osztható -mal, így a és b, tehát 5 + 9 Ha z, aor y 5 +, am lehetetle Követezéséppe z em lehet, tehát z és 5 osztható -zel, tehát ( + ) páratla Ha a () ét y egyeletét voju egymásból, apju, hogy: + b y + 9 y + ( 9 )( 9 + + ) Mvel páratla, övetez, hogy 9 + 9 + + 9 a s páratla, tehát és y + ell legye, vagys és y z Tehát a másod megoldás, y és z ( ) 5 Határozd meg azt az ( a természetes számsorozatot, amelyre a, * a és a ) * *, Megoldás eseté a, tehát a a a + + a 4a eseté az egyelethez jutu, tehát a és így a a 4 eseté az + + + 4+ a egyelethez jutu, tehát a a és így a A matemata ducó módszerével gazolju, hogy a 9 9 *, Tetjü a övetező állítást: P : a, ha ( ) Az előbbe alapjá P (), P () és P () gaz Ha feltételezzü, hogy P( ) gaz, aor a feladatba szereplő egyelőség alapjá a+ + + + + + + + + + ( + ) + + a, ( + ) a+ ( + ) tehát + + ( + ) a+ Ebből övetez, hogy + a+ ( + ) a+, tehát a + ( + ) Így P ( ) -ből övetez P( + ), tehát * a matemata ducó elve alapjá a, eseté 6 Határozd meg azoat az f : függvéyeet, amelyere + y f ( + y) f ( ) fy ( ) a, y,, ha a > és a Megoldás Ha az egyelőtleségbe y -t helyettesítü, aor az f ( ) f ( ) f ( ) a egyelőtleségehez jutu a >, R f ( ) >, R A fete alapjá f ( ) és ugyaaor az ( ) f f ( ) f ()
94 Verseyre előészítő feladato egyelőtleségből övetez, hogy f ( ), tehát f ( ) A továbbaba, ha az eredet egyelőtleségebe y -et helyettesítü, aor f ( ) f ( ) f ( ), R Tehát f ( ) f ( ), Másrészt f ( ) f ( ) a a, ebből övetez, hogy f ( ) a, 7 Bzoyítsd be, hogy ha az a, b, c és d valós számo teljesít a 4a + b és 4c + d egyelőségeet, aor + + c + d a b + ( a c ) + ( b d) 7,68 Megoldás Tetsü egy O özéppotú derészögű oordátaredszert Azoal belátható, hogy az A( a, b) és B( c, d) poto a d :4 + y, lletve a d : 4 + y egyeesee vaa, és a feladatbel egyelőtleség egyeértéű az OA + OB + AB 7, 68 egyelőtleséggel Ha O és O az O pot szmmetrusa a d és d egyeesere ézve, aor OA OA és OB OB, tehát OA + OB + AB OA + OB + AB Másrészt OA + OB + AB OO, tehát OA + OB + AB OO A továbbaba határozzu meg az OO hosszúságát! Ha O oordátá és y, aor az O oordátá és y (mert szmmetrusa az Oy tegelyre ézve) és OO OO egyelete y m és OO d m Tehát OO egyelete y 4 Ha { M} OO d, és az 4 M pot oordátá és y, aor és y y, mert M az OO felezőpotja + 4y { M} O y 48 96 O d 48 és Tehát y 5 4 5 5 4 9 OO 7, 68 Tehát 5 a b c + d + ( a c) + b d OA OB AB + + ( ) + + 7,68 y O A O VIII ábra B O d d
Verseyre előészítő feladato 95 8 Bzoyítsd be, hogy ha a,, bc +, aor a ab + b + a ac + c b bc + c Megoldás Ha OA a, OB b, OC c, mboa ( ) 6 és mcoa ( ) 6, aor a BOA háromszögbe a oszusz tétel alapjá AB a + b tétel alapjá cos 6 a + b a ab b A COA háromszögbe a oszusz A C a + c accos6 a + c ac és a BOC háromszögbe BC b + c bccos b + c + ac Másrészt az ABC háromszögbe a háromszög egyelőtleség alapjá AB + AC BC, tehát a ab + b + + a ac + c b bc + c, 9 Jelöljü f -el az f :[,] [,] f ( ) függvéy -, ed teráltját f f f f Háy darab megoldása va az f ( ) egyelete? Megoldás A matemata ducó módszerével gazolju, hogy +, ha, f ( ) + + + +, ha, Így az f( ) egyelete megoldása va Az f : és f : függvéyere a g( ) ma ( f( ), f( ) ) bármely függvéy szürjetív és a h ( ) m( f( ), f( ) ) összefüggéssel értelmezett függvéy jetív Bzoyítsd be, hogy az f és f függvéye bjetíve és f f Megoldás A g függvéy szürjetív, tehát létez úgy, hogy g ( ) f ( ) De f ( ), tehát f ( ),, A g szürjetvtásából övetez, hogy, amelyre g ( ) Ha valamely -re f( ) <, aor h( ) h ( ) és ez elletmodaa h jetvtásáa, tehát f ( ),, Ezt a godolatmeetet megsmételve gazolható, hogy f( j) j, j, ahol h ( ) j j, tehát f f Jelöljü f ( )-el az, tervallumba levő teljes égyzete számát * * Taulmáyozd az f : függvéy jetvtását és szürjetvtását!
96 Verseyre előészítő feladato Megoldás ( + ) +, azaz ( ) Az előbb egyelőtlesége alapjá f ( ) + ( ), f () + és f () +, tehát f em jetív Az f ( ) egyelőség potosa aor teljesül, ha + ( ), vagys ha, Mvel az előbb tervallum hossza + >, legalább ét természetes számot tartalmaz Így az f függvéy szürjetív Megjegyzés Általába f( ) f( ), Bzoyítsd be, hogy ha f :[ a, b] egy tetszőleges függvéy, aor létez olya g : függvéy, amelyre ( g g) ( ) f( ) bármely [ a,b] -re! Megoldás Legye [, cd] egy olya tervallum, amelye cs [ ab], -vel özös d c ad bc potja (c > b) és g :[ a, b] [ c, d], g ( ) (ez az elsőfoú b a b a függvéy az [ ab], tervallumot a [ cd, ] tervallumba traszformálja és bjetív) Értelmezzü az r : függvéyt a övetezőéppe: gf (()), ha [ a,b] g ( ), ha [ c, d] r ( ) [ bc, ] elsőfoú egyébét ostas Látható, hogy f ( ), ha [ a, b] ( g f g )( ), ha [ c, d] r ( ), h ( ) ha [ bc, ] ostas egyébét tehát az így szeresztett függvéy teljesít a ért feltételt Ha az A és B véges halmazo elemee száma m lletve Határozd meg a) Az f : A B függvéye számát! b) Az f : A B jetv függvéye számát! (ha m ) c) Az f : A B szürjetív függvéye számát! (ha m ) Megoldás a) Mde f ( ) érté megválasztására lehetőségü va, tehát a m függvéye száma
Verseyre előészítő feladato 97 b) Az f-et értelmezzü potoét Ha A {,,, m } aor f ( ) megválasztásáál lehetőség va, f ( ) megválasztásáál már csa (-) Mvel az f ( ) mde értééhez f ( ) -t (-) féleéppe választhatju az első ét függvéyérté megválasztását (-) ülöböző módo végezhetjü Mde lye megválasztás utá f ( ) megválasztására (-) lehetőség marad, tehát az első három értéet (-)(-) ülöböző módo lehet megválaszta Hasoló godolatmeet alapjá az első darab függvéyértéet (-)(-)(-+) ülöböző módo rögzíthetjü -a m-et választva az f : A B jetív függvéye száma m V ( )( )( m + ) m c) Az összes f : A B függvéye száma mert az f ( ), f ( ),, f ( m ) értée özül mdegy megválasztására lehetőségü va és eze a választáso egymástól függetlee Legye A { f : A B y Imf}, ahol B { y, y,, y } Vlágos, hogy az A A halmaz éppe a em szürjetív függvéyeet tartalmazza, tehát a szürjetív függvéye száma m A A A A A A + A A A j j < j << j Másrészt + ( ) A (a loga sztaformula alapjá) Mvel a A A összeg C A tagot tartalmaz és mde tag értée ( ) m (ey azoa a függvéyee a száma, amelye A-t a B \{,,, } halmazba épez) írhatju, hogy < < < m m m m A C ( ) C ( ) + C ( ) + ( ) C Ebből övetez, hogy a szürjetív függvéye száma m m ( ) m ( ) m ( ) ( ) C + C C + + C ( ) ( ) + + 6 4 Értelmezzü az f :, f( ) függvéyt 48 Bzoyítsd be, hogy a) f ( ),! b) f ( ) potosa aor természetes szám ha páratla! (7 + 4 ) + (7 4 ) 4 Megoldás f ( ) Newto bomáls tétele 48 alapjá létez olya ( ) és ( B ) természetes számsorozat, amelyre A
98 Verseyre előészítő feladato (7 + 4 ) A + B és (7 4 ) A B, Így A 7 ( ) f A bomáls tétel alapjá 4 4 4 A 7 7 7+ C7 6 + C7 6 +, tehát az A 7 száma a 4 -gyel való osztás maradéa egyelő a 7 7 szám 4- gyel való osztás maradéával Ha +, aor ( ) 7 7 7 7 7 48 M, ( míg eseté 7 7 7 (8 ) és ez em osztható 8-cal, tehát f ( ) potosa aor egész szám, ha páratla 5 Bzoyítsd be, hogy ha a z, z és z omple számo modulusa r és z z, aor m a z + ( a ) z z z a R r z z z! Megoldás A VIII ábra jelöléset haszálju Ha a a paraméter a valós számo halmazába változ, aor a z az + ( a) z omple szám épe a z és a z omple számo épe által meghatározott egyeese mozog a z + ( a) z z fejezés az M( a z + ( az ) ) és az Az ( ) poto A ) távolsága, és ez aor mmáls, ha az AM szaasz merőleges a BC egyeesre Ebbe az esetbe T[ ABC ] AB AC s( BAC ) AB AC AM z z z z BC BC r r Az ( ) VIII ábra Bz ( ) M ( z ) Mz () Cz ( ) 6 Adott az XOY szög belsejébe egy M pot Határozd meg azt a d egyeest, amely átmegy M-e és az OX lletve OY egyeeseel meghatározott háromszög területe mmáls! Fogalmazz meg egy térbel aalóg feladatot és oldd s meg! megoldás Az M poto át húzzu párhuzamost O -szel és Oy -al Jelöljü A -val és B -vel az O pota az A -re és B -re voatozó szmmetrusát, ahol A és B az előbb párhuzamosoa az O lletve Oy félegyeeseel való metszéspotja A szeresztés alapjá az A, az M és a B pot egy egyeese va, és M az [AB] szaasz felezőpotja Ha AB az M-e áthaladó tetszőleges egyees ( A ( O és B Oy ) és A ( O A ), aor az A- át az OB-hez húzott párhuzamos ( metsz az AM szaaszt (N-be) Ebbe az esetbe T[ M BB ] TA [ MN], tehát
Verseyre előészítő feladato 99 TOAB [ ] TOAB [ ] TMBB [ ] + TAAM [ ] TOAB [ ] + TAAN [ ] > TOAB [ ] Hasoló egyelőtleséghez jutu aor s, ha A (OA) (a B - át húzu párhuzamost az OA-hoz) Az előbbe alapjá a mmáls területű háromszög éppe az OAB háromszög megoldás Az OA, A VIII ábra OB y, OA a és OB b A y b y jelölése alapjá a, tehát N b A y Ez a fejezés aor a M mmáls, ha a, és ebbe az esetbe éppe az OAB háromszög O területét apju, tehát ez a eresett mmáls területű háromszög B B Térbel általáosítás Az Oyz B tréder belsejébe fevő M poto átmeő sío özül az határoz meg a legsebb térfogatú tetraédert, amelyre M a metszetháromszög súlypotja 7 Az ABCD ortocetrus tetraéderbe M [CD] egy mozgó pot Bzoyítsd be, hogy ha AM + MB mmáls, aor az AM B szög szögfelezője merőleges CD-re! Megoldás Vegyü fel az A ( B CD) potot úgy, hogy a CD A és CDA háromszöge egybevágó legyee A M + MB A M + MB, tehát az AM + MB összeg aor mmáls, ha M a CD és AB metszéspotja ABCD ortocetrus, tehát AB CD és így BM CD és AM CD Ebből övetez, hogy ( AMB) CD, tehát MN CD TA [ CD] AM Megjegyzés mamc ( ) mbmd ( ), tehát és így NCD a CD TBCD [ ] BM élhez tartozó lapszög szögfelező síja 8 Az ABCD ove égyszög síjába létez három em olleárs pot, M, M és M úgy, hogy MA + MC MB + MD ha {,, } Bzoyítsd be, hogy ABCD téglalap! Fogalmazz meg egy térbel aalóg feladatot és bzoyítsd s be! Megoldás Ha E és F az AC lletve BD felezőpotja, aor 4EM + AC 4FM + BD ( MA + MC ) ( MB + MD ), BD AC MF E F tehát ME De eseté azo M poto mérta 4 helye, amelyere az ME MF ülöbség álladó egy EF-re merőleges egyees Mvel három em olleárs pot teljesít az előbb egyelőséget, E F és így BD AC Eszert ABCD téglalap
Verseyre előészítő feladato Térbel általáosítás Ha A, B, C, A, B és C poto a térbe és égy, M potra teljesül az + + + + + + em egy síba fevő MA MB MC MB MA MC MC MB MA egyelőség, aor ABCA B C egy háromoldalú hasáb 9 Az ABC egyelő oldalú háromszög belsejébe levő M pota az oldalara eső vetületet jelöljü M, M és M -mal Bzoyítsd be, hogy az MMM háromszög súlypotja az OM szaasz felezőpotja, ahol O az ABC háromszög özéppotja Megoldás Lásd a IV5 paragrafus 7 feladatát Lehet-e egy ocáa és egy sía a metszete egy szabályos a) háromszög? b) égyszög? c) ötszög? d) hatszög? Megoldás a) A metszet szabályos háromszög, ha a metszet síja párhuzamos az valamely csúcsba összefutó éle em özös végpotja által meghatározott síal és a 5 ee a sía az éle özös csúcsától való távolsága em agyobb mt b) A metszet lehet égyzet s Például ha a metszet síja párhuzamos valamely oldallappal (de más esetbe s) c) A metszet em lehet szabályos ötszög, mert mde ötszög alaú metszete va legalább ét párhuzamos oldala d) Válasszu egy élet és ét rá lleszedő élet úgy, hogy e legyee egy síba Ee a három éle és a szembefevő élee a felezőpotja egy szabályos hatszög alaú símetszetet határoza meg Egy egységy átmérőjű hegert metszü egy α síal, amely a heger tegelyével 45 -os szöget zár be, majd a heger palástját terítjü a síba úgy, hogy az orgóba az O pot és az OX tegelyre az OA örív erüljö Így a sí és a heger metszete egy görbét származtat a síba Mlye függvéye a grafus épe ez a görbe? Megoldás Az α sí alapsíal való metszete az alapsíba az O potba OA ra állított merőleges, ez vszot merőleges az (A AO) síra, tehát merőleges az OA és OA egyeesere egyarát Ie a ét sí által meghatározott szög mértée egyelő az AOA szög mértéével m A OA' 45 A, P M A, P M, M O O M, A, A
Verseyre előészítő feladato Legye M egy pot a símetszete és legye M az M pot vetülete az alapsíra Eor az M pot terítés utá (, f() oordátá az OM örív hossza és az [MM ] szaasz f() hossza (Nylvávaló, hogy [, π] ) Tulajdoéppe meg ell határozzu az [MM ] szaasz hosszát függvéyébe Legye P az M pot vetülete az [AO] szaaszra Az (MM P) sí az OA egyeest a P potba metsz ( AA' O) ( AM ' O) MP AO MP ( AAO ' ) MP PP' ( AA' O) ( AM ' O) AO ( AM O) ( M PP ') M P MP MP' ( AMO ' ) ( MPP') MP' A fet eredméyeből azoal övetez, hogy MM PP téglalap Tehát PP ' MM ' f ( ), de az OPP egyelőszárú és derészögű, övetez, hogy PP ' OP Tehát meg ell határozu egy örbe egy örív átmérőre eső vetületée hosszát a örív hosszáa függvéyébe Legye O az alapör özéppotja OP r y y, ahol y az O P szaasz ráyított hossza (O felé poztív, A felé egatív) Tulajdoéppe cos( MOO ) y r cos( MO O) Tudju, hogy m MO' O cos Tehát OP s Követezéséppe a r eresett függvéy: f :[, π], f ( ) s Az ABCD tetraéderbe S A, SB, S C és SD -vel jelöljü az A, B, C és D potoból a szembefevő lapora bocsátott merőleges vetoroat, amelye agysága a megfelelő szembefevő lap területée mérőszámával egyelő Bzoyítsd be, hogy SA + SB + SC + SD (südszó tétel) Megoldás Bzoyítju, hogy az S A + SB + SC + S D vetorösszeg merőleges az S A, S B, S C és S D vetorora S + S + S + S S S + S S + S S + S S S S S cos AB ( ) A B C D A A A B A C A D A A B S ASC cos AC SASD cos AD SA( SA SB cos AB SC cos AC SD cos AD) Az deeet felcserélgetve A + SB + SC + SD A S B S állíthatju, C S hogy az S vetorösszeg merőleges az S,, és D, em egy síba levő vetorora, tehát S + S + S + S A B C D
Verseyre előészítő feladato Az ABCD tetraéder lapjaa súlypotját jelöljü redre G A, G B, G C és GD -vel GA Határozd meg azoat a G potoat a térbe, amelyere a GG, GB A GG, GC B GG és C GD aráyo egye sem sebb mt GG D Megoldás GA GGA, tehát AG 9GG A Hasoló egyelőtlesége érvéyese a B, C és D potora s, tehát AG + BG + CG + DG GG + GG + GG + GG ( ) 9 A B C BC + CD + DA De GG A GB + GC + GD (Lebz tétel) és így AB + BC + CD + DA + AC + BD GA + GB + GC + GD 4 Másrészt a térbel Lebz tétel alapjá (V 8 feladat) AB + BC + CD + DA + AC + BD GA + GB + GC + GD, 4 tehát éppe egyelőség áll fe és így G a tetraéder súlypotja Megjegyzés Az AGA, BG B, CG C és DG D szaaszo aráyú Apolóusz gömbje a G-be metsz egymást, tehát a ülső tartomáya metszete üres Így G- ívül más pot em teljesíthet a feltételeet 4 A teljes valószíűség tételét haszálva bzoyítsd be a Newto bomáls tételt! Megoldás Egy ísérlet sorá az A eseméy valószíűsége legye p, és az A eseméy valószíűsége q p Aa a valószíűsége, hogy a ísérlet -szer smétlése utá az A eseméy potosa -szor övetez be D A teljes valószíűség tétele alapjá p, tehát C p q Ha a és b tetszőleges valós számo, aor a a p a + b és övetez, hogy Ca b ( a+ b) b q a + b p C p q számora az előbb egyelőségből + 5 Mlye és természetes számo eseté alota a C, és C számo számta haladváyt? Négy egymás utá ombácós együttható alothat-e egy számta haladváyt? Megoldás A C, C és C + számo potosa aor alota számta haladváyt, ha 4 4 + Az egyelet dszrmása ± + 6( + ) és a gyöö Eze a gyöö potosa aor természetes számo, ha + teljes égyzet, azaz ha létez olya l N szám, C
Verseyre előészítő feladato l + l l l amelyre l Ebbe az esetbe vagy Tehát a, és számo potosa aor alota számta haladváyt, ha C C C + l + l l l l és vagy valamlye l természetes szám eseté Eszert égy, egymás utá ombácós együttható em alothat számta haladváyt, mert az l l l + l + egyelőség csa l eseté teljesülhet, és erre az értére l em természetes szám 6 a) Bzoyítsd be, hogy az 5y 4 egyelete végtele so megoldása va a természetes számo halmazába! + b) Bzoyítsd be, hogy a C + C C egyelete végtele so megoldása va a természetes számo halmazába! ( ) Megoldás a) Matemata ducóval gazolható, hogy ha (, y) megoldása az 5 egyelete, aor az y +, y + s természetes számpár és megoldása az egyelete Mvel a (, ) számpár megoldása az egyelete, az előbb tulajdoság alapjá végtele so megoldás szereszthető Megjegyzés Bzoyítható, hogy az egyelet összes megoldása ( L m F m ahol L és a páros redű Lucas- lletve Fboacc-számo + ( a + ) + C + a a a 8 Legye P, P, P, P és P egy véges számsorozat ( P,, ) A sorozat hosszúságát a övetező lépés segítségével csöethetjü: A P és P számo özül a sebbet voju mdettőből és hozzáadju a ét özépsőhöz (ha ét szám va özépe) vagy a étszeresét adju hozzá a özépsőhöz (ha egy szám va özépe) A övetező táblázatba ét lye példát mutatu be: m, F m ) alaú, b) A C + C egyelet az a helyettesítés utá alaba írható Ee a fejezése a dszrmása telejs égyzet ell legye, tehát az 5 + 4 egyelet megoldásat eressü Ee a dszrmása s teljes égyzet ell legye, tehát az 5y 4 egyelethez jutu Mvel ee az egyelete végtele so megoldása va, az eredet egyelete s végtele so megoldása va 7 Egy szabályos p-szög csúcsa özt egy örutat tervezü úgy, hogy mde csúcso potosa egyszer mejü eresztül Ezt háyféleéppe tehetjü meg ha az elforgatással egymásba vhető utaat em tetjü ülöbözőe és p prímszám? Bzoyítsd be, hogy ha p prímszám, aor p ( p! ) + Megoldás Lásd az Adrás Szlárd és Kovács Lajos által írt "Függvéyegyelete" című öyv függeléée másod részét (86-9 oldal, Ábel Kadó )
4 Verseyre előészítő feladato 4 5 6 7 4 5 5 5 8 4 9 5 8 4 7 Látható, hogy juthatu ét számból álló lletve egy számot tartalmazó sorozathoz (a szélee megjeleő -at mde lépésbe elhagyju) Mtől függ az, hogy egy vagy ét szám marad a végé? Megoldás Egy lépés sorá a p p fejezés értée em változ (ez a redszer súlypotjáa abszcsszája), tehát potosa aor apu egy számot végeredméye, ha a p p tört értée egész szám 9 Az a + b + c, b + c + a és c + a + b egyelete mdegyée va egy egész gyöe Bzoyítsd be, hogy ha a, b, c R *, aor a három egyelete va legalább egy özös gyöe! Megoldás Jelöljü az egyelete gyöet redre -gyel, -vel és -mal Az a + b + c a + b + c, a-ba, b-be és c-be leárs egyeletredszere potosa a + b + c aor va ullától ülöböző megoldása (eor összeférhető a redszer), ha teljesül az + + + + egyelőség Ebből övetez, hogy az, és számo pároét relatív príme és ( ), ( ) és ( ) Tehát léteze olya, és egész számo, amelyere +, + és + Így ( + ) ( + ), tehát létez olya v Z szám, amelyre ( + ) v és ( + )v Ie övetez, hogy ( + ) ( + ) v, tehát {, } Hasoló meggodoláso alapjá {,} és {,} Mvel az a, a b és a c számo ullától ülöböze csa az eset lehetséges, tehát az egyeletee va özös gyöe
Verseyre előészítő feladato 5 4 Bzoyítsd be, hogy ha az és y poztív valós számora [ ][ y] bármely y -re, és y, aor, y és egész számo! [ y] y Megoldás Az f ( ) függvéy aszmptotusa özeled a g ( ) [ ] ostas függvéyhez A feladat feltétele alapjá az f értéészletébe csa egész számo vaa, tehát y s egész szám ell legye, az f egy -ál agyobb értéere y ostas és éppe -szel egyelő Ha az előbb aráy értéét -val jelöljü, írhatju, hogy [ ] [ ], és eseté Ha [ ] + α, aor [ ] + α, tehát az [ ] [ ] egyelőség csa aor teljesülhet mde eseté, ha α, Hasoló godolatmeet alapjá az utóbb összefüggés csa aor teljesülhet, ha egész része ulla Így, y N és y 4 Botsd téyezőre a P + PQ + Q polomot ha P X Y + Y Z + Z X és + + Q Y X Z Y X Z Megoldás! ( y )( y z )( z ) P Q P + P Q + Q P Q ( y)( y z)( z ) ( )( )( + y + y y + yz + z z + z + * 4 Bzoyítsd be, hogy ha a, b, és a b, aor Megoldás A osztható az ( a + b ) ( a + b) ( a b) ( ) PX ( ) X + b ( X+ b) ) polomról ell gazol, hogy ( ) ( X b) polommal Másrészt Pb () b + b ( b+ b) és P ( X) b ( b), tehát a P polom osztható az ( X b) polommal A háyados egész együtthatós polom (megapható a Horer-séma segítségével), tehát a feladatba szereplő fejezés értée egész szám 4 Az X {,,, } halmaz em üres részhalmazat jelöljü R, R,, R -el és tetszőleges j {,,,, } eseté legye P az R elemee a szorzata Számítsd a j P j összeget! Megoldás Tetsü az ( X + )( X + )( X + ) szorzatot A Véte- összefüggése alapjá X együtthatója éppe a elemű részhalmazohoz tartozó Rj - összege, tehát + Pj az előbb polom együtthatóa összege Másrészt az j j j
6 Verseyre előészítő feladato együttható összege a polom -be számolt behelyettesítés értée, tehát j P ( + )! j 44 Bzoyítsd be, hogy ha a P () egyelet,,, és gyöere teljesüle az Im ( ) egyelőtlesége, aor a P ( ) egyelet gyöee s poztív a épzetes része Megoldás A P ( ) egyelet alaba írható Ha z a + b a P () egyelet gyöe és z a + b a P () egyelet egy gyöe, aor π π π π ( ) b) cos cos cos cos ; π π π ( ) π c) s s s s, ha páros + Megoldás a) A ( cos α+ s α) fejtéséből övetez, hogy az + s(( + ) α) s α C ctg α C ctg α +, tehát π számo gyöe a + 5 C C + C + ( ) C + ctg ( a a) ( b b), tehát ( a a) + ( b b) ( a a) + ( b b) b b ( a a) + ( b b) ( a a) + ( b b) Ebből az egyelőségből övetez, hogy ha b, aor b Megjegyzés Általába, ha P gyöe egy tartomáyba vaa, aor P gyöe s ugyaabba a tartomáyba vaa 45 Bzoyítsd be, hogy π π π π a) tg tg tg tg + ; + + + + ( ) + egyelete A Véte-összefüggése alapjá π tg + + π π b) Az egyelet gyöe cos + s, ahol, Így
Verseyre előészítő feladato 7 + π π π, tehát cos cos + s + π ( ) cos Másrészt az y számo az y + y egyelet gyöe, tehát a π ( ) Véte-összefüggése alapjá cos c) 4 + + + π cos + π egyelőséghez jutu, ahoa övetez, hogy eseté az s π 4s 46 Bzoyítsd be, hogy ha ε, ε,, ε és ε az -ed redű egységgyöö valamt P [ X ] egy ( ) -ed foú polom, aor a P j-ed foú tagjáa együtthatója P ( ε ) j ε Megoldás Alalmazzu a VI 9 paragrafus 5 feladatát l l j P( ε) j a j lε a l ( ε ) a j ε ε l l 47 Bzoyítsd be, hogy ha P [ X], aor bármely z és r + eseté létez olya z C ( z, r), amelyre ma Pz ( ) Pz ( ) Megoldás A * z z r z z r ma Pz ( ) fejezés létez és P-e valamlye z potba számolt behelyettesítés értée Azt ell tehát gazol, hogy z em belső potja a z z r örlapa Tételezzü fel, hogy ez cs így, tehát z z < r Ebbe az esetbe létez olya ω > valós szám, hogy a z özéppotú ω sugarú ör ért a z z r ört Pz ( ) Pz ( + ω ε ) Pz ( + ω ε) Pz ( ), tehát Pz ( + ω ε ) Pz ( ) Az ω omple számot úgy választju, hogy a modulusa ω legye és a z omple szám épe a helyezedje el Az előbbe alapjá a felvesz * + ω z z r z z r örö ma Pz ( ) értéet P a z z r örö s
8 Verseyre előészítő feladato * 48 Rögzített -ra jelöljü S -el a P( X ) X + ax + + a X+ alaú polomo halmazát ( PX ( ) [ X] ) Megoldás A PX ( ) X + polomra ( Pz ) P S z Bzoyítsd be, hogy ( Pz ) m ma ( ) P S z ma P ( ), tehát m ma ( ) Ha az előbb egyelőtleség szgorú, aor létez olya P S P( ε ) (+ ), tehát polom, amelyre < Re(P( ε )) <, bármely {,,,, } eseté Másrészt (lásd VI 9 5) a feladatbel polom osztály tagjara m P S ( ma Pz ( ) ) z 49 Bzoyítsd be, hogy ha a P( X ) X + ax + + a X+ a omple együtthatós polom gyöe, aor a + a + a + + a Megoldás Ha M a + a + a + + a és > M, aor a a a a P ( ) M M M M, tehát P ( ) M M a M a a M ( ) + + + + >, mert M M a a a a M a Másrészt ( ) M ( ) M M a M és így M a > M a Az előbb egyelőtlesége alapjá P( ) >, ha > 5 Bzoyítsd be, hogy ha a > a > a > > a > a >, aor a PX ( ) ax + a X + + ax + a polom gyöee modulusa -él sebb (Kaeya tétele) Megoldás ( X ) P( X) a X + ( a a ) X ( a a ) X a, tehát ( ) P ( ) a ( a a ) ( a a ) a és így + > eseté + ( ) P( ) ( a ( a a ) ( a a ) a ) > Ha, aor a ( a a ) ( a a ) a, de az első egyelőtleségbe aor és csa aor va egyelőség, ha a, a, +,,, omple számoa megfelelő poto egy egyeese vaa Ebbe az esetbe {,} és eze özül egy sem gyöe az egyelete, tehát a P polom mde gyöée egyél sebb a modulusa
Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 VIII Összefoglaló gyaorlato és feladato Sorozato (4 oldal) Határozd meg az a sorozat általáos tagjáa épletét, ha a + a+ a + Megoldás Az adott reurzó a a a *, bármely alaba + + írható Ez egy leárs reurzó, amelye a aratersztus egyelete A gyöö és, tehát a sorozat általáos tagja α a + β a α β() * +, Az α és β álladóat a α a + β 4 egyeletredszerből számíthatju α 4 ( a a ) és β a + a, tehát 4 a ( a a ) * + a +, bármely eseté a Bzoyítsd be, hogy ha (,), mde, eseté, vagy (, + ) mde, és ) + Megoldás eseté, aor log (értelmezés alapjá + + + lg log ( log log + + ) + + + + + + lg lg + + Alalmazzu a számta és mérta özepe özt egyelőtleséget az lg () lg a, lg + lg +, és b,, számora Eze a számo poztíva az (, ), lg +,, vagy (, + ),, feltétel alapjá, tehát írhatju, hogy és lg lg a a lg lg + + () lg lg + + b b lg lg + +, ()
Összefoglaló gyaorlato és feladato (a gyöö alatt szorzatoba a számláló és a evező egyarát tartalmazza az összes lg,, téyezőt) Az (), () és () összefüggése alapjá log + + + Legye S +, ahol és az a b + c egyelet gyöe Igazold, hogy ha az ( S ) sorozat számta haladváy és b, aor az a, b és c számo s számta haladváyba vaa Megoldás Ha gyöe az a b + c egyelete, aor a + b c +, ha {, } és Ezeből az összefüggéseből ( és eseté összeadva) övetez, hogy a S + bs, ha + cs () Ha ( S ) számta haladváy, aor S S r és S S r, ha + + + Így () alapjá ( a b + c) S + (a b) r, Ha ezt az összefüggést felírju + -re s, majd a ét egyelőség megfelelő oldalat egymásból voju az ( a b + c )( S ), összefüggéshez jutu Ha az S ( S sorozat ostas sorozat, aor az as ) bs + cs egyelőség + alapjá a b + c (ha S,, aor b c ) Ha az ( S ) sorozat em ostas, aor az ( a b + c)( S S egyelőség alapjá ) övetez, hogy a b + c Tehát az a, b és c számo mdét esetbe számta haladváyba vaa 4 Határozd meg az, y és z számjegyeet, ha az, y és zy számo mérta haladváyt alota Megoldás A mérta sorozat tulajdosága alapjá y, ahoa apju, y zy y hogy ( z + y + ) ( y + ) Ebből z y, ahoa övetez, hogy y osztható -zel Két esetet ülöböztetü meg A trváls eset, ha y z, ez em lehetséges, mert az y jelölés alapjá y Első eset, ha 5 és y, ahol {,,, 4} Eor 5z 4 és 5z ( 4 +), ahoa övetez, hogy 4 + osztható 5-tel, tehát és z Ebbe az esetbe 5, y és z Másod eset, ha y 5 és, ahol {,,, 4} Eor z 5 és ( z ) 5 Tehát z osztható 5,-tel, de z és z < 5, övetez, hogy ebbe az esetbe cs megoldás, tehát az egyetle megoldás 5, y és z
Összefoglaló gyaorlato és feladato 5 Igazold, hogy ha az a a,, a, számo egymás utá tagja egy számta haladváya, aor mde természetes szám eseté feáll a ( ) a C a + C a + C a + egyelőség Igaz-e az fordított állítás s? Megoldás Ha a ( a ) sorozat számta haladváy, aor a a + ( ) r, és így a a + ( ) a C a C + ( ) ( ) ( ) ( ) a a + r C + a + r C a + r C a ( C ( ) ) ( ( ) + C C r C C+ C) a ( C + C ( ) C ) r ( C + ( ) C ) C + C ( ) C ( ) Mvel ( ) Fordítva eseté övetez, hogy a a + a, tehát az a, a és a számo számta haladváyba vaa A matemata ducó módszerét haszálva gazolju, hogy ha az adott egyelőség mde eseté teljesül, aor az ( ) sorozat számta haladváy Feltételezzü, hogy az ( ), haladváyba vaa Az adott összefüggésből ( ) a ac + ac a C () + ( ) a a számo számta Másrészt ha a a + a a, aor a már bzoyított egyelőség alapjá + ( ) a ac + a C a C + ( ) a C () + Az () és () alapjá a a, tehát az ( ) + + a, + számo s számta haladváyba vaa A matemata ducó elve alapjá gaz a övetező jeletés: Ha ( ) a C,, aor ( ) számta a + C a + C a + a haladváy 6 Találj 5 számta haladváyba levő prímszámot! Megoldás Öt, számta haladváyt alotó prímszám a például az ( 5,,7,,9) vagy a ( 7, 67, 97,7,57) 7 Egy test szabado es, és az első másodpercbe 4,9 m utat tesz meg Ezutá, mde övetező másodpercbe 9,8 m-rel agyobb utat tesz meg, mt az azt megelőzőbe a) Meora utat tesz meg a test másodperc esés alatt? b) Mey dő alatt ér a földre egy szabado eső test, ha m magasról dul?
Összefoglaló gyaorlato és feladato Megoldás I megoldás Fzából felhaszálju az egyees voalú egyeletese gyorsuló mozgás egyeletét ( + v t + at ) a), v m, 9, 8 m a, t s Tehát 9, 8 49 m s s b), v m, a 9, 8 m, m Behelyettesítve az egyeletbe s s apju, hogy 4, 9t, ahoa t, s II megoldás A számta haladváy összegépletét haszálju ( ) a) a 4, 9, r 9, 8, és S a + r Tehát a megtett út 9 S 4, 9 + 8 49 9, méter b) Az S egyelőség a 4, 9 egyelethez vezet Ee az egyelete cs természetes megoldása, ezért megözelítjü a megoldást A 4, 9 < < 4, 9 egyelőtlesége alapjá a szüséges dő t + alaba írható A feltétele alapjá a test gyorsulása 9, 8 m és így mde tzedperc s alatt 9, 8cm -rel több utat tesz meg, mt az azelőtt tzedmásodpercbe Az első s alatt 96m a megtett út és az utolsó tzedmásodpercbe 9, 55m a megtett út, tehát a övetező ét tzedmásodpercbe 955, + 98 99, 6cm -t tesz meg Ha még egy tzedmásodpercet halada, aor már több mt m lee a megtett út, y ezért t, + Ez a özelítgetés em ér véget, vszot mutatja, hogy tetszőleges potossággal számítható a ívát érté 8 Igazold, hogy mde és m természetes szám eseté létez olya tagú és m rácójú számta sorozat, melye tagja összetett egész számo Megoldás Egy, a feladat feltételee eleget tevő számta haladváy a övetező: a ( +! ) + ( + ) m, ahol {,,, } Mde tag összetett szám, hsz a ( +! ) ( + ) m + +, ahol {,,, } (! ) azoívül sem ( + ), sem + m + + em lehet, mvel agyobb vagy egyelő -vel 9 Két egymástól m távolságra levő erépáros A és B egymás felé dula v m/h és v 5 m/h sebességgel Egy madár A -tól B fele repül gázva a ét erépáros özött, amíg ő találoza Mlye távolságot repül be a madár, ha a sebessége 5 m/h?
Összefoglaló gyaorlato és feladato Megoldás A madár ay deg repül, amey dő alatt találoz a ét erépáros A ét erépáros által a találozásg megtett út egyelő az eredet távolságual, tehát m a találozásg eltelt dő t 4h Ez alatt a madár összese m / h + 4 m / h m távolságot repül be megoldás Jelöljü az eredet távolságot d -vel és a madár sebességét v -vel A madár a B -ből duló erépárost először t d v + v + v dő utá ér el Ez alatt az ét erépáros özt távolság d d d v ( v + v ) d v + v + v v + v + v -re d dv csöe A madár az A -ból duló erépárost t v + v + v v + v + v ( ) dő utá ér el és általába a madár -ad és ( + ) -ed találozása özt dv t + + + ( v v v ) + vd ( v + v + v) dő tel el Így a madár által megtett út az, végtele mérta haladváy összegeét s felfogható Ez az összeg az vd vd + + v v v v +v v értéhez özeled v + v + v Megjegyzés Az aedotá szert Neuma Jáos egy taára feladta ezt a feladatot az fjú Neuma-a, a éháy másodperc alatt megadta a helyes választ A taára megérdezte, hogy hogya jött rá a megoldásra, mre a válasz: Összegeztem egy mérta sort Határozd meg az a, a, a, a valós számoat tudva, hogy egy számta sorozat 4 egymásutá tagja és az + a, a, a, a + számo mérta sorozatot 4 alota Megoldás A feladat alapjá a övetező összefüggése írható fel: a a + ( ) r, ha, 4, + a a a ahol r a számta haladváy rácója és q, ahol q a a a a + 4 + a a mérta haladváy rácója Az egyelőségből apju, hogy a a a ( r ) ()
4 Összefoglaló gyaorlato és feladato + a a a a + egyelőségből apju, hogy ( r )( r ) a () Az 4 Az () és () alapjá az r -re a övetező egyelet írható fel: ( r ) ( r )( r ), ame megoldása r vagy r 4 Ha r aor a, a, a a 5, amre em teljesül, hogy + a, a, a, a + számo mérta 4 4 haladváyt alota Ha r 4 aor a, a 5, a és a, am 9 teljesít a feladat feltételet Bzoyítsd be, hogy ha s( b + c a), s( c + a b), s( a + b c) számta haladváyt alot aor tga, tgb és tg c s számta haladváyt alot (ha léteze eze a számo) Megoldás Mvel számta haladváyt alota az egymásutá tago ülöbsége álladó: s( c + a b) s ( b + c a) s ( a + b c) s ( c + a b) Ez az egyelőség a övetező alaba írható, ha átírju a szuszo ülöbséget: coscs( b a) cosas( c b), am a övetezővel evvales: cosc( sbcosa sacosb) cosa( sccosb sbcosc) Mvel tg a, tgb, tg c értelmezette, tehát cosa, cosb, cos c özül egy sem ulla az utolsó egyelőség mdét oldalát elosztju cosacosbcosc-vel Így a tgb tga tgc tgb, egyelőséghez jutu, am azt jelet, hogy tga, tgb, tgc számo számta haladváyt alota Bzoyítsd be, hogy ha számta sorozat, r,, r rácóval a természetes számo egy partícóját alotjá, aor a) r, r,, r em md ülöböző, b) + + + r r r r Megoldás Jelöljü a -vel j, a partcó j -ed halmazáa első elemét és j tetsü az S összegeet Mvel az ( számta 4 aj a + r j j j a + r rj j j) egy partícóját alotjá, írhatju, hogy S j j a j aj haladváyo az Tehát és így r r j j j j + + + + Ha özeled az
Összefoglaló gyaorlato és feladato 5 -hez, aor a jobb oldal és a bal oldal j j -hez özeled, tehát r j r Ugyaaor ha r ma{ r j, }, aor legalább ét olya j {,,, } érté létez, amelyre r r j Elleező esetbe ha özeled egy r -ed redű prmtív egységgyöhöz, aor a jobb oldal marad és a bal oldal -hez özeled Bzoyítsd be, hogy végtele so prím tagja va az a 4 sorozata Megoldás Feltételezzü, hogy véges so 4 alaú prímszám va és eze a, p,, Ha m p p p, aor vzsgálju az a 4 p p p számot a p m p p p em osztható a,,, príme egyével sem, tehát vagy prímszám, vagy csa 4 + alaú prímtéyező vaa De ét 4 + alaú szám szorzata s lye alaú, tehát a -e bztosa va 4 alaú osztója, ugyaaor a p ha j,, tehát a m em prím A feltételezésü alapjá az a m 4 alaú prímosztója a p, p,, p számo valamelye ell legye (mert felsoroltu az príme egyével sem Az a feltételezésü, hogy véges so 4 alaú prímszám va hams, tehát végtele so 4 alaú prímszám va 4 Bzoyítsd be, hogy létez a természetes számoa egy három osztályból álló partícója úgy, hogy bármely számra, 5 és + ülöböző osztályba legyee Megoldás Csoportosítsu a számoat a -mal való osztás maradéu szert Ha valamlye eseté az, 5 és + számo özül ettő ugyaabba a csoportba va, aor a ülöbsége osztható -mal Mvel ( 5) 5, + és + ( 5 ) 5 és eze özül egy sem osztható -mal a ívát csoportosítás elérhető 5 Bzoyítsd be, hogy egy háromszögbe a ctg A, ct g B és ctgc számo aor és csa aor alota számta sorozatot, ha a co s A, cos B és cos C s számta sorozatot alot Megoldás A feladat alapjá ctg B ctg A ctgc ctg B Az egyelőség bal oldala a övetezőéppe alaítható át: cos Bs A cos As B sc s( A B) ctg B ctg A s As B s As BsC j p p összes lye alaú prímet) Ez elletmodás, mert a em osztható a,,, p s( π A B) s( A B) s( A+ B) s( B A) cosb cosa s As BsC s As B sc s As BsC cos C cos B Hasolóa ct g B ctg A s As BsC Az egyelőség a övetezővel evvales: cos B cos A cos C cos B m m m > j j p m
6 Összefoglaló gyaorlato és feladato Tehát co s A, cos B és co s C számo s számta haladváyt alota 6 Bzoyítsd be, hogy a övetező számo egy számta haladváyt alota bármely : + + +, ( )( ) + +, + + ( + )( + + ) Megoldás Egy tört evezője sem lehet ulla, mert természetes szám Továbbá + + + + + + + + + + + + +, ( )( ) ( )( ) ahoa övetez a feladat állítása 7 Határozd meg az m paraméter értéét úgy, hogy az, m ( ), m ( ) számo egy rácójú számta haladváy alossaa Megoldás Ahhoz, hogy a törte értelmezette legyee R \{,} Észrevehető, hogy m m m m és ( ) ( ) ( ) ( ) Ebből övetez, hogy a özépső tag ell legye Első eset, ha m A művelete elvégzése utá a 4 + m ( ) egyelethez jutu Ee az egyelete potosa aor létez valós gyöe, ha az egyelet dszrmása em egatív Tehát 6 ( m) Ie apju a 6 ( m) egyelőtleséget Ee az egyelőtleség megoldása m Másod eset, ha m ( ) Eor az + m egyelethez jutu, ame szté ell létezze valós megoldása Tehát 4 ( m ) Ie az m -re apott egyelőtleség megoldásával apju, 4 hogy m 8 I Bzoyítsd be, hogy a övetező jeletése evvalese: a) Az ( a ) sorozat egy számta sorozat b) Létez a, b R úgy, hogy a a +b, bármely -re c) Létez c, d R úgy, hogy S c + d bármely -re a + a + d) a bármely -re
Összefoglaló gyaorlato és feladato 7 II Helyettesíthető-e a d) pot az a + a + a bármely + -re fejezéssel Megoldás a) b) Legye r a sorozat rácója, eor a a + ( ) r bármely -re Ha a r és b a r aor a a + b, bármely -re b) c) Felírju az S értelmezését és elvégezzü a műveleteet ( + ) a a S ( a + b) a + b a + b + b + a a Tehát, ha c és d b + aor S c + d bármely -re c) d) Az alább egyelősége evvalese: a + a + a, a a + a, + a S S + Az előző pot alapjá apju S S c ( + ) + d ( + ) c ( ) d ( ) [ c ( ) + d] + Tehát a c( ) + d S S, am gaz jeletés, tehát gaz az a + a + a egyelőség s bármely -re d) a) Legye r a a, e övetez, hogy a a Az előző pot alapjá + r a + a a, ahoa övetez, hogy a a r, tehát a a + r Matemata ducóval bzoyítju, hogy a a + ( ) r Feltételezzü, hogy ez az egyelőség feáll egésze -g és bzoyítju, hogy feáll re s Tehát a a ( ) r és a a + ( ) r A d) pot alapjá a + a a, ahoa fejezve a -et apju, hogy a a a a + r ( ) a r ( ) a + r ( ), amt bzoyíta aartu II A válasz em Például, ha és legye ( ) és ( b ) ét számta a haladváy és ( c ) egy sorozat úgy, hogy c a és c bármely l -re, l l b l l aor ( c ) em számta sorozat teljesít a megadott feltételeet
8 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Bzoyítsd be, hogy ha a, b, c számta haladváy alot aor a b + b c + c, cac+ a, a + a b + b számo s számta haladváyt alota Bzoyítsd be, hogy ha a + b + c aor az állítás fordítottja s gaz Megoldás Észrevehető, hogy c + ac + a b + bc + c a b a + b + c r a + b + c), () ( ) ( ) ( )( ) ( )( ahol r az a, b, c haladváy rácója Hasolóa a + ab + b c + ca + a b c a + b + c r a + b + c) () ( ) ( ) ( )( ) ( )( + c + c cac+ a a + ab + b haladváyt alota Ugyaaor () és () alapjá b + ab + a + c + bc + b c + ca + a b a c a + b + c), Az () és () alapjá b b,, számo számta ( ) ( ) ( ) ( )( + c + c cac+ a a + ab + b alota, aor ( a + b + c) ( b a c ) Mvel a + b + c, az a, b és c számo s számta haladváyba vaa I Bzoyítsd be, hogy ha az ( a ) sorozat egy mérta haladváy, aor tehát ha a b b,, számo számta haladváyt ( ) ( aa a aa ), II Igaz az állítás fordítottja? Megoldás I ( ) ( aa a ) a a q a q ( a q ) ( aa ) II Az állítás fordítottja em gaz, például ha a, bármely -re, mvel a ) ( ) aa a aa és így ( gaz, de a sorozat em mérta haladváy Határozd meg, hogy mely számta haladváy teljesít az alább feltételeet: a + a + a aaa 8 A apott számta haladváy eseté határozd meg az a a ülöbséget 7 5 Megoldás Mvel ( a ) számta haladváy az alább feltételredszere evvalese: a + a + a, ( a + r) a + r 4,, aaa 8 a ( a + r)( a + r) 8 a ( a + r)( a + r) 8 a + r 4, a + r 4, a + r 4 a a ( + r ) 7 a ( 4+ r) 7 r 9
Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Mvel r 9 ezért ét eset lehetséges Első eset, ha r Eor a és a a r 6 Másod eset, ha r Eor a 7 és a a r 6 7 5 7 5 a) Határozd meg azo mérta haladváy első tagját és rácóját, amely teljesít a övetező feltételeet: a a 4 a a 8 b) A apott haladváyra számold az első tag összegét Megoldás a) Átalaítással a övetező evvales redszerehez jutu: a a 4 a ( q ) 4 a ( q ) 4,, a a a 8, a ( q ) 8 q + q b) S a + a + + a ( ) a ( + q + q + + q ) ( ( ) ) 4 4 Határozd meg azo ( a ) számta haladváy első tagját és rácóját amely teljesít az alább feltételt: a a + a 7 6 4 a a a 8 7 4 a a + a 7 Megoldás Az 6 4 redszerbe helyettesítjü az a, a, a, a, a 4 6 7 8 a a a 8 7 4 tagoat az a a + r, a a + r, a a + 5r a a + 6r, a a + 7r 4 6 7 8 egyelősége alapjá Így az a r 7 egyeletredszert apju, amelye a a + 5r megoldása a 5 r 4 Számold az alább összeget 7 7 7 S + + + 8 8 5 ( 7 6) ( 7 + ) Megoldás Az általáos tagot szét botju ét tört ülöbségére: 7 ( 7 6)( 7 + ) 7 6 7 + Ezt behelyettesítve az összegbe apju, hogy 7 S + + + + 8 8 5 7 6 7 + 7 + 7 +
Összefoglaló gyaorlato és feladato 5 Száz mlló lej összeget ölcsö adu % -os év amattal Mlye összeget apu vssza 4 év múlva? Megoldás Legye a a ölcsö adott összeg Az év utá összeg az a 6 a 5 lejt apu vssza 8 egyelőség alapjá számítható Tehát a 4 4 6 4 a ( ) 76 5 6 Bzoyítsd be, hogy ha az b a, b, számo számta haladváyt b c alota, aor a, b, c mérta haladváyt alota Megoldás A számta haladváy egymásutá tagjaa ülöbsége álladó, tehát b b a b c, b tehát + Ebből fejezve a b -t apju, hogy b ac Mvel b b b a b c b övetez, hogy a, tehát a rácó q és az első tag a a 7 Adjál példát olya mérta haladváyra, amelye végtele so racoáls és végtele so rracoáls tagja va Megoldás Az a első tagú és q rácójú mérta haladváy teljesít a feladat feltételet A haladváy általáos tagja ( ) aor a ( ) a + ( ) a Ha páros ( ) rracoáls, ha páratla ( +), aor racoáls 8 Bzoyítsd be, hogy ha egy számta haladváya va ét egész tagja, aor végtele so egész tagja va Megoldás Legye a számta haladváy ( a ) és a és a ( < l) a haladváy l ét egész tagja Így a a r( l ) s egész, aholr a haladváy rácója Tehát az l a a + p ( l ) r pl ( ) + tago bármely p eseté egész számo Mvel végtele so lye tag va, a haladváya végtele so egész tagja va 9 Bzoyítsd be, hogy ha egy számta haladváya va ét racoáls tagja aor az összes tag racoáls Megoldás Legye ( a ) a feladatba szereplő számta haladváy és a és a a ét racoáls tag ( l > ) Az a a ( l ) r ülöbség racoáls, tehát mvel l l