SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK. ECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Trisz Pétr, g. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Síkbli rőrndszr rdő vktorkttős, vonal mntén mgoszló rőrndszrk.. Példa Adott: az ábrán látható rőrndszr. kn, kn, kn, kn, kn, R m. R/ R ladat: a. Határozza mg az rdő, vktorkttőst, valamint az rdő hatásvonalának hlét! b. Határozza mg az rdő rőt szrksztéssl! goldás: a. Első lépésként az rők vktorait kll mghatározni. Az ábráról lolvashatók az rők hatásvonalainak irán-gségvktorai. i i j j cos i sin j i j cos i sin j, i, j i i kn. kn, kn, kn, kn, Az rdő rő: i i j i,8,8 kn. -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
Az rőrndszr origóra számolt nomatékához mg kll határozni az gs rők origóra vtt nomatékát, majd zkt összgzzük: r i i. r r r r r i i i,,i j k knm, i i j k, i, j, i, j j i k knm.,8k knm. knm,, Az rdő rő hatásvonalának hl is mghatározandó: z,8,7 m,,8 z,8, m.,8 R b. Részrdő-sokszög szrksztésénél azt az alaptétlt használjuk fl, miszrint két rő rdőjénk hatásvonala átmg a két rő hatásvonalának mtszéspontján. Elsőként mgszrksztjük az és rők rdőjét, majd az és rőkét, stb.., míg mgkapjuk az rőrndszr rdőjét, illtv annak hatásvonalát. P P P P -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
Szrkzti ábra Erőábra -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.. Példa Adott az ábrán látható rőrndszr. kn, kn, kn, kn. ladat: Kötélsokszög módszrt alkalmazva határozza mg az rőrndszr rdőjét és hatásvonalának hlét! goldás: A szrksztéshz alapul vsszük az lőző pontban lírt részrdő-sokszög módszrt, azzal a különbséggl, hog itt működttünk még két olan rőt, mlk az rdti rőrndszrtől függtlnül gnsúlban vannak, azaz: Szrkzti ábra -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
Az gs részrdők hatásvonalai g olan szrkzti ábrát adnak ki, mintha az rők g súltalan kötlt trhlnénk, és fszítnénk ki. Innn rd magának a módszrnk a nv is. Erőábra -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.. Példa Ismrt g rőrndszr rdő vktorkttős. i j kn, k knm. ladat: a. Határozza mg az rdő rő hatásvonalának hlét, és b. a hatásvonal origótól vtt távolságát! goldás: a. b. h z m, z m., m. h h h, m. -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.. Példa Adott: az ábrán látható párhuzamos rőrndszr.,,, hatásvonal és kn, 7 kn, kn, kn. ladat: ghatározni az rőrndszr rdő rővktorát és az rdő hatásvonalát., m m m a. Szrksztéssl b. Számítással goldás: a. Szrksztéssl A kötélsokszög szrksztést alkalmazzuk az rdő vktor mghatározásához. Az rőábrán a három rőt gmásután rndr flmérjük. (Az P pont hl ttszőlgsn mgválasztható.) Az P pontból az rők végpontjaiba húzott sgédvonalak a részrdőkt képvislik, a szrkzti ábrán zkkl párhuzamosat rajzolunk az rők hatásvonalaival képztt mtszéspontjaiból. Végül az lső ( jlű) és az utolsó ( IV jlű) sgédvonal mtszéspontján mg át az rdő vktor. Szrkzti ábra Erőábra P -Rd.vktorkttős.goszló ER 7/9
b. Számítással i j 7 j j j j kn i r r r r r i i i, i j i 7 j j i j k knm r z m m -Rd.vktorkttős.goszló ER 8/9
.. Példa Adott: Az ábrán vázolt nrgs vontató tngltrhlés j kn, 7 j kn, az rők jármű ljétől mért távolságai rndr: l,m l l m. 9 j kn és,,m és ladat: Határozza mg számítással és a kötélsokszög szrksztés alkalmazásával a párhuzamos rőrndszr G rdőjét (azaz a jármű súlát), és a súlpontjának s koordinátáját! l l l Számítással: A tngl trhlésk g párhuzamos rőrndszrt alkotnak. Az rőrndszr rdőj mggzik a jármű súlvktorával: A jármű súla: G G kn. A három G j 7 j j j kn,, ' rőből álló rőrndszr-, valamint az rdő tnglr mggzik: ' " z z z G súlrő nomatéka a z- ' l l l l l l, 7 9 knm, " G knm, z s s azaz s z ' 9 8, m. s 8,m G -Rd.vktorkttős.goszló ER 9/9
Szrksztéssl: A kötélsokszög szrksztést alkalmazzuk az rdő vktor mghatározásához. A szrksztés lépési a szrkztábrán és az rőábrán flváltva is végrhajtható. A két ábrán az azonos típusú vonalak párhuzamosak. Az rőábrán a három rőt gmásután rndr flmérjük. Az O pont hl ttszőlgsn mgválasztható. Az O pontból az rők végpontjaiba húzott sgédvonalak a részrdőkt képvislik, a szrkzti ábrán zkkl párhuzamosat rajzolunk az rők hatásvonalaival képztt mtszéspontjaiból. Végül az lső (foltonos) és az utolsó (szimpla pontvonal) sgédvonal mtszéspontján mg át az rdő súlrő vktor. SZERKEZETÁBRA l l l s ERŐÁBRA G G O -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.. Példa Adott az ábrán látható mgoszló rőrndszr intnzitásának lgnagobb érték: 8 kn/m m m ladat: Határozza mg a mgoszló rőrndszr rdőjét, illtv hatásvonalának hlét! goldás: Síkbli mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk mghatározása: d, thát itt most ( ) j, azaz l l d ; r d i ( ) d j ( ) d k l l l l d. A határozott intgrálok a Simpson-formulával is számíthatók, ml közlítő formula lső-, másod- és harmadfokú polinomokra pontos értékt ad: b a l f d fa fk ff, ab ahol a, b, l b a, fa f a, fk f, ff f b. ivl az intgrálás gik szükségs fltétl az, hog csak foltonos függvénkn értlmztt, zért fladatunkban szakaszonként kll zt lvégzni. () () m Az rdők kiszámítása: d kn, a függvén alatti trült 8 kn, l d kn, a függvén alatti trült 8 kn. l m -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
A nomatékok kiszámítása: d, knm, l d 7 knm l Az gs rdő rők hatásvonalainak kiszámítása: m (a háromszög alakú trhlés súlpontján krsztül hat), valamint m(a téglalap alakú trhlés súlpontján krsztül hat). A vonal mntén mgoszló tljs trhlés rdőjénk és hatásvonalának kiszámítása: kn ;,8m. -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.7. Példa Adott az ábrán látható mgoszló rőrndszr intnzitásának lgnagobb érték: kn/m. ladat: Határozza mg a mgoszló rőrndszr rdőjét, illtv annak hatásvonalának hlét! goldás: m m m Síkbli mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk m mghatározására az alábbi két összfüggés szolgál: l d, f d k k r d j i d. l l l d i i i d i i i i kn. kn, kn, f a f k k a a f a k d k, k 8k d k 9 k knm. knm, 88 k k knm, oz 9, m, m -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.8. Példa Adott az ábrán látható mgoszló rőrndszr intnzitásának lgnagobb érték: m kn/m. m ladat: m Határozza mg a mgoszló rőrndszr rdőjét, illtv hlét! m goldás: di i i kn. f d k, k 8k oz 8 m annak hatásvonalának knm f k a m k a -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
.9. Példa Adott: Az ábrán látható mgoszló rőrndszr intnzitásának lgnagobb érték: 8 kn/m, a m. a a ladat: a. A vonal mntén mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk?,?, valamint az rdő hatásvonalának mghatározása?. b. A vonal mntén mgoszló rőrndszr hlttsítés koncntrált rőkkl, majd az rdő rő (nagságának és hatásvonalának) mghatározása számítással, és szrksztéssl. goldás: a. Síkbli mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk mghatározására az alábbi két összfüggés szolgál: l d és l l l r d i j d d k A határozott intgrálok a Simpson-formulával is számíthatók, ml közlítő formula lső-, másod- és harmadfokú polinomokra pontos értékt ad: b a f ahol l d f f f, a k b a b a, b, l b a, f f a, f f, f f b. a ivl az intgrálás gik szükségs fltétl az, hog csak foltonos függvénkn értlmztt, zért fladatunkban szakaszonként kll zt lvégzni. 8 d j 8j 8 j kn, d j 8 8 8 j j kn, kn j j k kn, b -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
,, 8 d k, 8 8 k knm d k 8, 8 8 k 8 k knm, k k knm. knm, z,98 m,98 m b. A mgoszló rőrndszrt koncntrált rőkkl hlttsítv:,, A fnt már számolt rőkből és nomatékokból az gs hatásvonalak mghatározhatók: j k 8 kn, 8 knm, j k kn, 8 knm, 8, m 8 8, m -Rd.vktorkttős.goszló ER /9
Szrkzti ábra Erő ábra O -Rd.vktorkttős.goszló ER 7/9
.. Példa Adott: Az ábrán látható mgoszló rőrndszr intnzitásának lgnagobb érték: kn/m, a m b m a b ladat: c. A vonal mntén mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk?,?, valamint az rdő hatásvonalának mghatározása?. d. A vonal mntén mgoszló rőrndszr hlttsítés koncntrált rőkkl, majd az rdő rő (nagságának és hatásvonalának) mghatározása számítással, és szrksztéssl. goldás: a. Síkbli mgoszló rőrndszr rdő vktorkttősénk mghatározása: d j j 8 j kn, 7 d j 9 j j kn, 7 kn j j 7 kn, i j d = k 9 k knm 7 d k, 9 7 k k knm, k 9 k knm. 9 knm, -Rd.vktorkttős.goszló ER 8/9
a b Az rdő rő hatásvonala: z 9, m 7, m b. A mgoszló rőrndszrt koncntrált rőkkl hlttsítv: A fnt már számolt rőkből és nomatékokból az gs hatásvonalak mghatározhatók: j k 8 kn, j kn, k 9 9 knm, m 8 knm,, m Szrkzti ábra Erő ábra 7 P -Rd.vktorkttős.goszló ER 9/9