I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D) 8 y z (E) Ezek egyike sem. BME 06. február 9. (6A) Törtkitevőjű htványokkl érdemes dolgozni. n n m m A htványozás zonosságit hsználjuk: ( ) =, n m n m, n m nm 7 7 8 7 7 8 8 y z y z y z z y y z z y z y Tehát jó válsz z (A).. Gyöktelenítse nevezőt! (A) 6 (B) 6 (C) 6 6 A nevező konjugáltjávl, ( 6 + )-vel bővítjük törtet. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Tehát jó válsz (B). (D) (E) Ezek egyike sem. BME 0. szeptember. (6A)
. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! ELTE 0. december A négyzetgyök kkor vn értelmezve, h 0 és 0. Mivel bloldl nemnegtív, jobboldlr 0 feltétel dódik. Ezek együtt kkor teljesülnek, h 9 Mivel mindkét oldl nemnegtív, így négyzetre emelhetünk: 9 9 6 0 A bloldli kifejezés zérushelyeit másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kpjuk: és 7. A pozitív főegyütthtójú másodfokú függvény zérushelyek között negtív. Vessük össze kpott eredményt z értelmezési trtománnyl: Tehát megoldás: 7.. Oldj meg z egyenletrendszert vlós számok hlmzán! 7 y y ELTE 0. október
A htványozás zonosságit hsználjuk: y y 9 7 6 y 6 y 7 y Vezessünk be új ismeretleneket: : ; : b. 6b 6 b 7 96 b 90 b 90b 96b 70b 0 96b 66b Visszhelyettesítve változókt kpjuk megoldást: 6, vgyis ; Ellenőrzés: y ; miből y. b 90 6 I. Egyenlet: II. Egyenlet: B: 7 7 J: A megoldás jó. 6
II. Ismételjünk!. Htványozás, gyökvonás értelmezése, zonossági https://users.itk.ppke.hu/itk_dekni/files/mtemtik/pdfs/0.pdf -.oldl. Négyzetgyökös egyenletek https://users.itk.ppke.hu/itk_dekni/files/mtemtik/pdfs/08.pdf.oldl. Eponenciális egyenletek https://users.itk.ppke.hu/itk_dekni/files/mtemtik/pdfs/09.pdf.oldl
III. Gykorló feldtok. Számíts ki z lábbi htványok pontos értékét! ) b) 8 c) 6 d) e) 8 7 f) 8 g) 8 6 h) 0,00. Fejezze ki z, b, c és d pozitív prméterek htványink szorztként z lábbi kifejezést! b c d b c d (A) bc d (B)c d (C)bc d (D) bc d (E) Egyik sem. Számíts ki z lábbi kifejezés pontos számértékét! BME 0. szeptember. (B) 0 06 6 ELTE 0. szeptember (tnárszk). Melyek igzk z lábbi egyenlőségek közül, h z ismeretlenek tetszőleges pozitív számokt jelölnek? ) b) 0 7 c) d) b b b e) f). Gyöktelenítse z lábbi törtek nevezőjét! ) c) 7 b) d) 6. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! (A) (B) 6 (C) 8 (D) (E) 6 BME 06. február 9. (6A)
7. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! 0 8 6 7 8. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 6 0 9. Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) b) 8 0. Mely vlós értékekre teljesül z lábbi egyenlőtlenség: 0 ELTE 0. szeptember (fizik, földtudományi, környezettn BSc). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! 8 9 7 7. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán!. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! 8 7 0. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! 6 6 ELTE 0. szeptember (mtemtik BSc). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: 6 6 ELTE 0. december 6
IV. Megoldások. Számíts ki z lábbi htványok pontos értékét! ) b) 8 c) 6 d) e) 8 7 f) 8 g) 8 6 h) 0,00 ) b) c) d) e) f) g) 9 8 8 6 6 6 8 7 7 7 8 8 8 8 8 8 7 8 6 6 6 6 8 8 8 7 h) 0,00 000 000 0 000. Fejezze ki z, b, c és d pozitív prméterek htványink szorztként z lábbi kifejezést! b c d b c d (A) bc d (B)c d (C)bc d (D) bc d (E) Egyik sem BME 0. szeptember. (B) 7
A htványozás zonosságit hsználjuk: ( ) = ; n m n m ; n m b c d b c d = b c d b c d = b c d = c d Tehát jó válsz (B).. Számíts ki z lábbi kifejezés pontos számértékét! 0 06 6 nm ELTE 0. szeptember (tnárszk) 6 6 6 6 0 06 06 06 06 06 6 6 6 Megjegyzés: A megoldás során következő zonosságokt hsználtuk: b b b. n b b b ; nk k ;. Melyek igzk z lábbi egyenlőségek közül, h z ismeretlenek tetszőleges pozitív számokt jelölnek? ) b) 0 7 c) d) b b b e) Dolgozhtunk gyökökkel vgy törtkitevőjű htványokkl. Ennek megfelelően némely részfeldtnál többféle megoldási lehetőséget is muttunk. f) ) HAMIS 6 vgy: HAMIS 8
b) 6 0 0 0 7 IGAZ 0 vgy: 0 7 0 0 0 7 IGAZ c) IGAZ d) b b b b b b IGAZ 8 9 vgy: e) 8 9 b b b b b b b b b 6 6 IGAZ HAMIS f) 9 0 IGAZ Összefogllv: ) HAMIS b) IGAZ c) IGAZ d) IGAZ e) HAMIS f) IGAZ. Gyöktelenítse z lábbi törtek nevezőjét! ) c) 7 b) d) 9
) b) c) d) 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! (A) (B) 6 (C) 8 (D) (E) 6 BME 06. február 9. (6A) 8 8 6 8 A helyes válsz (D). 7. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! 0 8 6 7 A négyzetgyök ltti számokt igyekezzünk szorzttá bontni oly módon, hogy z egyik tényező négyzetszám legyen. Ebből tényezőből gyököt vonhtunk. 0 8 6 7 7 9 7 7 7 7 7 7 7 9 7 8 7 8. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 6 0 0
Vizsgáljuk meg z egyenlet értelmezési trtományát! A négyzetgyök ltt nem állht negtív szám, emitt 0, így. Mielőtt négyzetre emelnénk z egyenletet, át kell rendezni oly módon, hogy z egyik oldlon egyedül mrdjon négyzetgyök. A négyzetre emelés nem ekvivlens átlkítás, emitt vgy további vizsgáltokt kell tennünk z előjelekre vontkozón, vgy ellenőriznünk kell z egyenletet, hogy kiszűrjük z esetleges hmis gyököket. Ez utóbbi lehetőséget válsztjuk., 6 0 6 6 6 0 89 7 8 8 8 és Mindkét gyök benne vn z értelmezési trtománybn. Még ellenőriznünk kell megoldásokt, hisz négyzetre emelés mitt hmis gyököt is kphttunk. H : 8 9 9 6 9, tehát ez nem megoldás. H : 6 0. Tehát z egyenlet egyetlen megoldás z. Megjegyzés: Jól látszik, hogy vlóbn hmis gyök (és nem számolási hib). H négyzetre emelés előtti egyenletbe helyettesítjük értéket, z egyik oldlr 9, másikr 9 dódik. Ezek négyzete vlóbn egyenlő. 9. Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) b) 8 ) Vizsgáljuk meg z egyenlet értelmezési trtományát! A négyzetgyök ltt nem állht negtív szám, emitt 0, vgyis,, ugynkkor 0, vgyis. A két
intervllumnk nincs közös része, emitt z egyenlet értelmezési trtomány üres hlmz. Az egyenletnek nincs megoldás. b) Mivel négyzetgyök értéke nemnegtív szám, emitt z egyenlet bloldl, míg jobboldl 0 A két kifejezés nem lehet egyenlő, így z egyenletnek nincs megoldás. 0. Mely vlós értékekre teljesül z lábbi egyenlőtlenség: 0 ELTE 0. szeptember (fizik, földtudományi, környezettn BSc) Mivel négyzetgyök ltt csk nemnegtív szám állht és nevező értéke nem lehet null, bloldli kifejezés csk kkor értelmes, h és, tehát z lphlmz. Hozzunk közös nevezőre, mjd közös nevezővel vló beszorzás után rendezzük z egyenletet és emeljünk négyzetre! Ezt megtehetjük, mivel z egyenlőtlenség mindkét oldlán pozitív kifejezés áll. 0 0 0 0 A feltétel és 0 összevetéséből megoldáshlmz 0.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! 8 9 7 7 A htványozás zonosságink felhsználásávl mindkét oldlt átlkítjuk htványává. 7 8 9 7 7
A -s lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt kitevők lesznek egyenlők. Rendezzük kpott egyenletet! Ellenőrzés: 9 7 B: 77 8 9 8 J: 7 8 7 A megoldás jó.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! A htványozás zonosságink segítségével lkítjuk bl oldlt. Célunk, hogy -t kiemelhessünk. Ellenőrzés: 8 6 A megoldás jó. 7 (Mivel z eponenciális függvény szigorún monoton.). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! 8 7 0
Mivel, vlójábn egy másodfokú egyenlettel vn dolgunk. Bevezetünk egy új ismeretlent: :. Behelyettesítés után megoldjuk kpott másodfokú egyenletet, mjd visszhelyettesítünk: 8 7 0 8 7 0, 8 8 7 8 és 7 Visszhelyettesítünk:. H, kkor =; míg z 7 nem d megoldást. ( értéke nem lehet negtív.) Ellenőrzés: 8 7 8 7 6 0 7 0 A megoldás jó.. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! 6 6 6 6 0 6 ELTE 0. szeptember (mtemtik BSc) Mivel -es lpú eponenciális függvény szigorún monoton növekedő, z egyenlőtlenség kitevőkre is igz, tehát: Oldjuk meg külön két egyenlőtlenséget! 0 6 Az 6 kifejezés zérushelyeit másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kpjuk: és. Mivel másodfokú függvény főegyütthtój pozitív, így kifejezés pozitív, h vgy. Az 6 egyenlőtlenséget 0-r rendezve: 0. A másodfokú kifejezés 7 7 zérushelyei: 0, és,6. Most negtív értékeket keressük, emitt: 7 7.
Ábrázoljuk közös számegyenesen kpott intervllumokt: Összevetve két egyenlőtlenség megoldását, mindkettő teljesül, h 7 7 vgy.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: 6 6 ELTE 0. december A htványozás tuljdonsági lpján átlkítjuk z egyenletet, mjd -nel (nem null) elosztjuk mindkét oldlt. Ellenőrzés: 6 6 6 6 7 7 0 Az eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt. B: 0 0 6 6 6 7 J: 0 0 0 7 A megoldás jó.