Koplák és alkalmazásk Zemplé Arás Valószíőségelmélet és Statsztka Taszék zemple@les.elte.h 009.09.07 Koplák Az összefüggıség strktúra erzáls megjeleítı (többmezós eloszlás egyeletes margálsokkal, Hoeffg, 940) az 990-es éekbe újra felfeezték és azóta széles körbe alkalmazzák s. Tetszıleges -mezós, folytoos eloszláshoz egyértelmőe megaható olya C F kopla, melyre F ( x, x,..., x ) CF ( F ( x ), F ( x),..., F ( x )) A megolás: ( x), F ( x),..., F C(,,..., ) F( F ( x )) Pélák Függetle eset: C(x,xy. Teljes összefüggıség (Frechet) C(x,m(x, C(x,max{(x+y-),0} Gass-kopla C ( ) Φ ( Φ ( ),..., Φ ( )) ahol Φ R az R korrelácós mátrxú, -mezós ormáls eloszlás eloszlásfüggéye. R R, Rgalmasabb moell: t-kopla. C ( ) t ( t ( ),..., t R, ν R, ν, ν ν ahol t R,ν, az R korrelácós mátrxú, ν szabaságfokú - mezós t-eloszlás eloszlásfüggéye. ( )) Extrém-érték koplák t t t C(, ) C (, ) me t>0-ra (maxstabltásból). Pélák: / β / β β Gmbel kopla C( x, exp{ [( l( x)) + ( l( ) } 0<β ; β felel meg a függetleségek, β 0 peg a teljes összefüggıség. Galambos kopla C( x, xy exp{[( l( x)) 0<δ ; δ 0 felel meg a függetleségek, δ peg a teljes összefüggıségek. δ + ( l( ) δ / δ } Arkhméesz koplák C(,)ϕ - (ϕ()+ ϕ()), ahol ϕ:[0, [0,, szgorúa mooto fogyó, koex, folytoos, ϕ(0), ϕ()0. Pélák: Gmbel kopla: ϕ(t)-l(t) ( ). ϑ t Clayto kopla: ϕ( t) ϑ (, ) ( + ) C Cl ϑ ϑ / ϑ ahoa ahol - <0 agy >0. 0 felel meg a függetleségek, a kétfajta teljes összefüggıség s elıáll a paramétertér széle. Koplák összefüggıség exe χ lm ( Cˆ (, )) /( ) lm ( + C (, )) /( ) Nemelfajló Gass koplára χ0, χρ t-koplára χ t ν + ( ν + R + R ) Gmbel koplára χ- /β Galambos koplára χ- /δ (δ>) Ezek az összefüggések becslésre s haszálhatók, hsze köyő a tapasztalat eloszlásból becsül a χ (farok-összefüggıség) értékét.
Összhag-mérıszámok (leárs és emleárs korrelácók) E( X EX )( Y EY ) Leárs korrelácó: r D( X ) D( Y ) hátráya: érzékey a kgró értékekre áltozk, ha traszformáljk a margálsokat Alteratíák: Keall-τ: ~ ~ ~ ~ τ P{( X X )( Y Y ) > 0} P{( X X )( Y Y ) < 0} Spearma-ρ: ~ ~ ρ 3 ( P{( X X )( Y Y ') > 0} P{( X X )( Y Y ') < 0}) ahol ~ ~ ( X, Y ),( X, Y ),( X ', Y ') függetle, azoos eloszlásúak. Kszámításk a kopláal ρ ( X, Y) 4 C(, ) C(, ) τ 0 0 ρ s ( X, Y ) { C(, ) } 0 0 Tlajoságok Mkettı arás a mooto traszformácókra. Legye κρ agy κ τ. Ekkor - κ ; κ X,X, κ X,-X - Ha X és Y függetle, akkor κ X,Y 0 κ X,-Y κ -X,Y - κ X,Y Az egyes koplákra aóó összefüggıség mérıszámok függek a parmétertıl, így becslésükbıl egyúttal a kopla becslése s megkapható. Pélál a Gmbel koplára τ-/β. Alkalmazások A Gass koplára a párokét korrelácókra Rj s( πτ ( X, X j ) / ) Léyeges a álasztás a külöbözı kopla-típsok között (pl. a farok-összefüggıség segítségéel, llete elmélet meggoolások alapjá). Tapasztalat téy, hogy pl. a pézügy portfólóál gyakra me egyes elem extrém értékő (tızsekrach) azaz tt árhatóa fellép a farokösszefüggıség. A külöbözı moellekbıl agyo agy eltérések aóhatak a alószíőségbecslésre. Teljese más strktúrák gyaazzal a Keall-féle τ együtthatóal A farokösszefüggıség szot eltérı Gass- kopla Stet-t kopla sz.f. τ0.4 Gass- kopla Stet-t kopla τ0.7 Gmbel-kopla Clayto-kopla Gmbel-kopla Clayto-kopla
Gass- kopla Stet-t kopla Gass- kopla Stet-t kopla τ-0.5 Clayto-kopla τ-0.8 Clayto-kopla Vízállás-aatok és traszformáltjak A jó aatok Vásárosaméy 00 400 600 800 Ereet ées maxmmok Hbás aatok 00 400 600 800 000 Vásárosaméy A [0,-e egyeletes eloszlásra traszformált aatok Vásárosaméy 300 400 500 600 700 800 900 Taar Taar 00 400 600 800 000 Taar Általáosított extrém-érték (GEV) eloszlás Függetle azoos eloszlású al. áltozók ormalzált maxmmaak lehetséges határeloszlása. ha G µ + ξ z > 0. σ z µ ( z) exp + ξ σ µ, σ, ξ / ξ (Lokácós és skálaparamétert s tartalmazó moell.) Paraméterbecslés: maxmm lkelhoo mószerrel Taar ízállás QQ-Plot Vásárosaméy ízállás QQ-plot Megfgyelt 00 400 600 800 000 Megfgyelt 300 400 500 600 700 800 900 00 400 600 800 300 500 700 900 Moell Moell µ506.8, σ74.4, ξ-0.78 µ63.7, σ 66., ξ- 0.47
A traszformált potok és a kopla katlse Az ereet potok és a kopla katlse Gmbel kopla llesztése az ées maxmmokra τ0.73 q0.5 q0. q0.05 Vásárosaméy 300 400 500 600 700 800 900 q0.5 q0. q0.05 00 400 600 800 000 Taar Moellezés Az ereméyek Természetes alteratíák: Gass, llete t-kopla. Hogya tk álaszta közülük? Természetes ötlet: χ -próba. A margálsokat 5 egyelı részre oszta, a cellák megfgyelt gyakorsága: a ormáls eloszlásál árt gyakorságok: [, [, [,3 [,4 [,5 [, 543 706 53 8 0 [, 65 353 040 33 4 [3, 7 888 3556 63 38 [4, 8 34 593 4594 03 [5, 4 3 88 96 698 [, [, [,3 [,4 [,5 600 58 5.6 0.37 0.000064 58 493 646 4. 0.37 5.6 646 393 646 5.6 0.37 4. 646 493 58 0.000064 0.37 5.6 58 600 A kcs árt gyakorságú cellák összeoása tá s természetese me esetbe eltasítja a próba az lleszkeést. Mel gyaaz a szabaságfok, a relatíe legjobb lleszkeés kálasztható. A próbastatsztkák értéke a t-koplákra: szf. 3 4 5 6 7 8 9 0 7394 349 997 540 39 9 88 8 96 7 A Gass koplára: 36 Ha tehát ezek közül kellee álaszta, a t 8 tők a legjobbak. Moel llesztés a gyakorlatba A yílt forráskóú R programcsomag tartalmaz egy egész kopla csomagot. Ebbe becslés eljárások és szmlácók s aak. Leírás: http://cra.r-project.org/oc/packages/copla.pf Többmezós GEV eloszlások Együttes selkeése a portfóló külöbözı eleme blokkmaxmmaak (agy az ées maxmáls árzekek külöbözı helyeke). Elmélet: peremeloszlások aszmptotksa GEV eloszlások, az összefüggıség moellezése az új, fotos kérés. Lehetséges egyszerősítés: strktráls áltozó moellezés: em a ektoráltozót, haem alamely egymezós Φ(X) függéyét tektjük.
Moellezés A legtöbb moell kétmezós, bár legtöbbször a magasabb mezóra törtéı kterjesztések cspá techka ehézsége aak. A peremeloszlásokat a fetek szert (paraméterese) becsüljük, maj ebbıl tetszıleges eloszlásra traszformálhatjk: G ( Fˆ ( X )) G eloszlású, ha az lleszkeés megfelelı. Az elsı megközelítés expoecáls, a mások egyeletes margáls eloszlást haszál. Összefüggıség függéy Tegyük fel, hogy (X,Y) peremeloszlása staar expoecálsok. A túlélésfüggéye: S(x,P(X>x,Y>. Ismert, hogy ebbe az esetbe (X,Y) potosa akkor kétmezós extrém-érték eloszlású, ha y S( x, exp ( x + α, x > 0, y > 0, ahol x + y 0 {( w) q, w( q) } α( w) max H ( q) Tlajoságok Az X és Y között összefüggıség strktúrát meghatározza az α (w) összefüggıség függéy, mely a max( w, w ) α ( w ), 0 w. tartomáyba esı koex függéy. Paraméteres moellek Logsztks (Gmbel) / ϑ / ϑ ϑ α ( w ) {( w) + w } ( 0 ϑ ) W-exp (Vlla-Dharce), a WX/(X+Y) háyaos sőrőségfüggéyéel (a> a paraméter): a a(w) (0 w / ) f ( w) a a(( w)) (/ w ) Aszmmetrks logsztks (Taw) ( / ϑ / ϑ / ϑ / ϑ ϑ ρ )( w ) + ( ϕ) w + { ρ ( w) + ϕ w } ( 0 ϑ, ρ, ϕ ) Becslések Maxmm lkelhoo a paraméteres moellekre Nemparaméteres becslések Pckas (98) αˆ ( w) m ( w) X, w Y Hall és Taj (000) ˆ αˆ ( w) m ( w) X, ˆ w Y X ahol Xˆ X Belátható, hogy egyeletese kozsztes becslés α- ra, az eltérés / agyságreő. { [ } { [ } Általáos probléma: a becslések em koexek. HTC: koex morása a Hall és Taj által beezetett függéyek. Más megközelítés Az aott paraméteres csalából az az összefüggıség függéy a becslésük, amely mmalzálja a súlyozott égyzetes eltérést az X /(X +Y ) és a moellezett W között. (MWS becslés) Súly: az X /(X +Y ) háyaos magfüggéyes sőrőségfüggéy-becslése. Az algortms gyors, stabl.
Péla Aatok: é maxmmok a Tsza magyarország szakaszáak felsı folyásáál leı két mérıállomásál. Ereméyek A GEV eloszlások jól lleszketek, ezt haszáltk a margálsok traszformácójáál. Katls becsléshez: ML becslés a szmmetrks logsztks moell paraméterere. Küszöb felett értékek moellje Tegyük fel, hogy (X,Y) margálsara X és Y küszöbök eseté teljesül a GPD eloszlással aló approxmácó. Itt s elérhetı, hogy megfelelı traszformácó tá - az {X> X }, {Y> Y } feltételekre ett margálsok aott eloszlásúak legyeek. Ha most a Frechet eloszlást álasztjk, akkor F( x, exp{ V ( ~ x, ~ y )} ahol q ( q) V ( x, max, H ( q) 0 x y Paraméterbecslés Erre az esetre a lkelhoo becslés boyolltabb, hsze egyes megfgyelésekre elképzelhetı, hogy csak az egyk kompoes halaja meg a küszöbértéket. Az egyes elemekre a lkelhoo függéy F járléka: x y ( x, Attól függıe álasztk F az egyes esetek között, hogy ajo mkettı, L( ϑ; x, x ( x, y ) csak az elsı, csak a mások, F y agy egyk kompoes sem ( x, halaja meg a küszöb értékét. F( x, y ) Illeszkeészsgálat Két megolaó felaat. A megfgyelt aatok és a feltételezett moell között eltérést mérı statsztka többmezós. Ha az extrémmok az érekesek, akkor a farok-összefüggıség a fotos K-függéyek Egy lehetséges statsztka a kopla K- függéyé: K(,t) alapl: K( t) P( H ( X ) t) P( C ( F ( X ),..., F ( X )) t), A K-függéy már egymezós Az arkhméesz esetre köyő számol ( ) ( ) K, t t + [ φ ( t) f ( t),ahol,! f (, t) φ ( x) x φ ( t ) x
Péla: Gmbel kopla K-fctos for Gmbel -coplas Keall's ta0. (theta.) ta0.3 (theta.43) ta0.5 (theta.00) ta0.7 (theta3.33) ta0.9 (theta0.00) Asymptotcs Gmbel geerátor: ( ) ( l φ ) Kopla függéy: C Gmbel ( ) [ l + [ l (, ) e K-függéy: φ K Gmbel ( t, ) t φ ( t) ( t) l t t Emprks K-függéy Legye ( X,..., X ),...,( X,..., X ), egy mta X-bıl : K t χ E E ( ) { t}, t [ 0, χ{ X k X,..., X k X } k Mél közelebb a a kopla K(,t) K-függéye a K (t) emprks megfelelıjéhez, aál jobb az leszkeés Keall folyamat & statsztka Az smert tesztek a Keall folyamat κ ( t) ( K (, t) K ( t) ) folytoos függéyet haszálják, mert keezı aszmptotks tlajosága aak. Cramer - o Mses típsú statsztka: S Súlyozott erzó s elképzelhetıek, melyek jobba hagsúlyozzák az extrém értékeket ( κ ( t) ) t 0 Lehetséges tesztstatsztkák Eltérések S K, [ 0+ ε, ε t ( t ) K ( t ) ( K( t ) K( t )) S, [ 0+ ε, ε t ( ) N t Súlyozott eltérések ( K(, t ) K ( t )) S3 K(, t ) t [ 0+ ε, ε ahol a [0, terallm megfelelı felosztása Szmlácóal megkapható a statsztka llhpotézs mellett eloszlása, és eek a tapasztalat eloszlásak a felsı katlse haszálhatóak hpotézszsgálatra S4 t [ 0+ ε, ε ( K(, t ) K( t )) K(, t ), Farok összefüggıség A tızseexekél az extrém magas értékek az érekesek Az tte lleszkeés a lefgotosabb Az elızı súlyozásokat zsgáltk Tızseexek: BUX-WIG-PX
Nemleárs összefüggıség A Pearso korrelácó csak a áltozók között leárs összefüggıséget mér Elképzelhetı emleárs kapcsolat s (pl. a agy értékek erısebbe függek össze, mt a kcsk) Ezért em elég az atokorrelácós függéy zsgálata az ısorok moellezéséél Ezt mér az ısorok egymás tá értékeek a koplája, az úgyeezett atokopla. Alkalmazás: ízhozam-aatok (Taar, Tsza) Nap ízhozamok a Tszá 90-000 A szóba jöı ısoros moelleket az összefüggıségek alapjá teszteljük Atokoplák külöbözı táolságokra Emprks atokopla Gmbel moell -lag Ato-Copla, ta 0.88 5-lag Ato-Copla, ta 0.64 3-lag Ato-Copla, ta 0.7 7-lag Ato-Copla, ta 0.59 Gmbel copla, theta 9.09 Gmbel copla, theta.7 Gmbel copla, theta 3.57 Gmbel copla, theta.38 Illeszkeészsgálat LAG3 Bár a Gmbel moell szmmetrks, a szmlált strktúra szemmel láthatóa hasoló a kssé aszmmetrks megfgyelésekhez Szmlált katlsek S S S3 S4 0.9 3.839 0.058 0.89.868 0.95 4.8 0.068 0..78 0.975 4.98 0.077 0..4 4.696 0.086 0.3.58 Megfgyelt statsztka 3.575 0.047 0.4.497 Megfgyelt katls 0.778 0.754 0.944 0.976 Az extrémmokál külööse jó az lleszkeés. Semelyk teszt sem tasítja el a moellt Ez csak refereca, mert a kapott koplák em tartozak semmlye amks moellhez 0.99 K_Gmb(t)-K_Emp(t) -0.04-0.0 0.00 0.0 Dffereces betwee the Emprcal a Gmbel K-Fctos Dagosztka Dffereces: K_Gmbel(t)-K_Emp(t) 97.5% Cofece Iteral 95 % Cofece Iteral 90 % Cofece Iteral K-függéy eltérések a 3 apos késlekeésre kofeca határokkal A határokat az elmélet moellbıl ett szmlácókból számoltk Heteroszkeasztks moell X t a X t- + b ε t-i ε t σ(x t- )Z t σ (x) α 0 +α (x-m) + Iısoros moellek X t stacoarzált ízhozam aatok ARMA moell ε t oácó (GARCH jellegő, feltételese a megelızı ízhozamra) Z t zaj, E(Z t )0 és D (Z t ) Rezsmáltó moell I t a rejtett, rezsm-meghatározó folyamat X t X t- + ε ;t f I t 0 tartam ~ NegB(b,p 0 ) X t ax t- + ε ;t f I t tartam ~ Geom(p 0 ) a zaj függetle, azoos eloszlású: ε ;t ~Γ(α;λ) és ε ;t ~N(0,σ ) t
Ato-kopla II. Heteroszkeasztks moell Rezsmáltó moell Szmlácó LAG3 Absolte Dffereces of K-fctos for moels a obseratos Statstcs for the 3 smlate moels Heterosc. Moel (lag) ta 0.88 Heterosc. Moel (lag5) ta 0.6 Heterosc. Moel (lag3) ta 0.7 Heterosc. Moel (lag7) ta 0.59 Regme Sw. Moel (lag) ta 0.88 Regme Sw. Moel (lag5) ta 0.6 Regme Sw. Moel (lag3) ta 0.7 Regme Sw. Moel (lag7) ta 0.59 Abs. Dff. 0.000 0.005 0.00 0.05 0.00 0.05 Gmbel moel Heterosc. Regme Sw. 0.7 0.8 0.9.0 Qatles Moel S S S3 S4 Reg.Sw. 4.335 0.6367.794 4.550 Heterosc. 7.08.00 4.5876 38.98 Gmbel 3.579 0.0474 0.40.4967 Statstcs at the qatle rage of 0.8 Moel S S S3 S4 Reg.Sw..083 0.008 0.067 0.0343 Heterosc. 0.449 0.0036 0.0047 0.006 Gmbel 0.5 0.005 0.0069 0.009 Statstcs at the qatle rage of 0.9 Moel S S S3 S4 Reg.Sw. 0.49 0.003 0.006 0.0030 Heterosc. 0.55 0.0009 0.000 0.00 Gmbel 0.57 0.000 0.00 0.00 Összefoglalás Mkét amks moell gyegébbe lleszkek, mt a Gmbel, e a Gmbel moellt em lehet ízhozam-ısorok szmlácójára felhaszál A 0.8 - között katlsekre a heteroszkeasztks moell jobb, am az alkalmazásokál fotos lehet Kérések, felaatok Külöbözı becslés mószerek összehasolítása A kopla lleszkeészsgálat mószerek összehasolítása (most em olt ı megyket bemtat) Alkalmazás aló aatokra: ízállás, tızse stb.