MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT Ergodelmélet Dávid Szabolcs Papp Dániel Stippinger Marcell 2009.12.11
2 Definíció: A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f L 2 függvényre f const. (Miután általában az L p -függvények csak μ-m.m. értelmezettek, azért ezek egyenlőségéről is csak ilyen értelemben beszélünk). Innen azonnal következik, hogy T csak akkor ergodikus, ha minden invariáns függvény konstans. Lemma: Az (M,F, μ, T ) endomorfizmus csak akkor ergodikus, ha minden invariáns halmaz triviális, azaz mértéke 0 vagy 1.
3 Definíció: Az (S d,f, μ, T ) automorfizmust csoport-automofizmusnak nevezzük, ha: (i) T és T 1 folytonosak, (ii) x,y S d -re T(x + y) = Tx + Ty. Legyen A =(a jk ) 1 j,k d egész elemű mátrix, amelyre det A =1 Lemma: S d -nek a Tx Ax (mod Z d ) reláció által értelmezett automorfizmusa csoport-automorfizmus.
4 Lemma folyt.: d Jelölje általában az x R elem valamely felemeltjét. ~ x S d deta = 1 miatt A 1 létezik, sőt elemei egészek, tehát T jól értelmezett és a Lebesgue-mérték invariáns.t(x + y) A(x + y)=ax+ay T x + T y, ahol a kongruencia mindig (mod Z d ). 2 1 0 1 2
5 Definíció: A χ: S d C nem azonosan eltűnő, folytonos függvényt karakternek nevezzük, ha x, y S d re χ(x + y) = χ(x)χ(y). Következmények: (i) Az összes karakter ilyen alakú: χ n (x) = exp(2πi(n, x)) ahol n Z d (ezek ugyanis a Cauchy-függvényegyenlet folytonos megoldásai). (ii) Az d Ŝ := {χ n : n Z d } csoportot duális csoportnak nevezzük d (iii) Ŝ n is tekinthetjük az indukált leképezést: χ S d re Tˆ Tˆ valóban karakter, mert Tˆ x y Tx y Tx Ty (x) : (Tx) Tˆ xtˆ y
6 Tétel: A tórusz T algebrai automorfizmusa csak akkor keverő, ha χ(nem 1) S d karakterre a {( Tˆ ) k χ: k Z} trajektória végtelen, azaz aperiódikus. Ebben az esetben T keverő is.
7 Elliptikus példa: 0 1 Legyen A Az egyenes fix pontokból áll, a többi pont periodikus, a 1 0 periódus értéke 2, mert T 2 A I. A T A térkép megfordítja a toruszt az főátló körül. Nincsenek sűrű pályák, így a leképzés nem ergodikus. Vegyük észre, hogy A sajátértékei: 1 x y
8 Parabolikus példa: 1 m Legyen A ahol m Z. Az 0 egyenes fix pontokból áll. Minden 0 1 egyenes invariáns T A ranézve. Nincsenek sűrű pályák, így a leképzés nem ergodikus. Vegyük észre, hogy A sajátértéke 1, kétszeres multiplicitással. y y const. Amennyiben Tor 2 t egy x, y : 0 x 1, y 0 alapkörű, y függőleges koordinátájú hengerként képzeljük el, akkor az összes vízszintes y const. szeletet my szöggel elforgatja, hiszen a hozzárendelés: x x my(mod1). Mivel magasabban van az elforgatott szelet, annál nagyobb az elforgatás szöge, így az egész henger felfele csavarodik. Az ilyen leképzéseket csavaró leképezéseknek nevezzük.
9 Definíció: A tórusznak az A mátrix által származtatott (S d,f, μ, T ) automorfizmusát hiperbolikusnak nevezzük, ha spec A z 1 Tétel: 0 Ha a T tórusz algebrai automorfizmusa hiperbolikus, akkor T ergodikus és keverő.
10 Tétel bizonyítás: Ha az A mátrix által származtatott T automorfizmus nem ergodikus, ha k d és n 0 Z hogy T x n x,vagyis n A k n. Ekkor természetesen n A*-nak és egyúttal A-nak van sajátértéke az egységkörön. Vagyis ha ez nincs így, akkor T ergodikus, sőt keverő. Pld. d=2 esetén mindkét sajátérték az egységkörön van, vagy mindkettő valós és egyikükre S 1, a másikra U > 1 (s a stable, u az unstable szó kezdőbetűje). k 0
11 Tétel: A tórusz hipebolikus algebrai automorfizumsa ergodikus. Biz.: Egyszerűség kedvéért legyen d=2 vagyis mindkét sajátérték valós és legyen. Ebben az esetben A-nak vannak R 2 S 1 U > 1 -beli sajátvektorai: e s és e u. A bizonyítás fontos eszközei a szűkülő illetve táguló vonalak.
12 Definíció: A T leképezés ponton keresztül átmenő szűkülő (stabil) vagy táguló fonala s d n n x y S : lim dist T x,t y 0 n És táguló (instabil fonala) u d n n x y S : lim dist T x,t y 0 n Valójában T stabil (instabil) fonala éppen a leképezés stabil (instabil) fonala. Esetünkben e fonalak könnyen leírhatóak: s 2 u 2 x x~ t e mod Z :t R x x~ t e mod Z :t s Tehát ténylegesen mindkettő a tórusz e s illetve e u irányú feltekerésének pályája. u R
13 Automorfizmusról lévén szó, hivatkozunk az ergodtételre: egyrészt μ-m.m. 2 Esetén: x S re n n n f (x) f (Tx)... f (T x) f (x) 1 1 f f -re áll m.m. x-re. Jelöljük: Mivel f egyenletesen is folytonos, igazak a következő megállapítások: 1.: Ha 2.: Ha 1 1 1 n f (x) f (T x)... f (T x) f (x) n 2 J : x S : f (x) f (x) x, y s és f (x) létezik, akkor f (y) is létezik, és f (x) f (y) x, y s és f (x) létezik, akkor f (y) is létezik, és f (x) f (y)
14 f egyenletes folytonossága miatt > 0 -hoz > 0,hogy hacsak x, x < 0 f x f x < k k Mivel T x,t y ha k (valójában a konvergencia sebessége λ sk k k vagyis exponenciális), ezért T x,t y<,ha k k 0 Ekkor elég nagy n mellett: n n1 k0 1 n1 k k 1 k k k k f T x f T y f T x f T y f T x f T y < 2 k0 n k0 kk 2max f 1 0 0 n k 1 y 1 γ s y 2 0 x γ u 1
15 Források: Szász Domonkos: Dinamikai rendszerek Nikolai Chernov: Dynamical Systems
Köszönjük a figyelmet!