TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 Rezgések A rezgés általános érteleben valailyen ennyiség értékének bizonyos határok közötti periodikus vagy ne periodikus ingadozását jelenti. Mivel az ilyen típusú jelenségek rendkívül gyakoriak, a rezgésekkel külön is érdees foglalkozni. Fontos, hogy a fizikában rezgés alatt ne csak a hétköznapi érteleben rezgésnek nevezett általában echanikai ozgással összekapcsolt jelenségeket értjük, hane bárilyen ennyiség "rezgés-típusú" változását. Rezgés lehet például egy töegpont ozgása, az ára ingadozása egy elektroos árakörben, az elektroos- vagy ágneses erőtér változása. A rezgés során ingadozó ennyiség időbeli változása nagyon bonyolult lehet. Egy ilyen bonyolult esetet utatunk be a ellékelt ábrán, ahol egy az -tengely entén rezgő töegpont kitérésének időfüggése ((t)) látható. A gyakorlatban szűkebb érteleben rezgésnek egy ennyiség többé-kevésbé periodikus ingadozását nevezik. A ennyiség időbeli változása ég ebben a leegyszerűsített esetben is nagyon bonyolult és sokféle lehet. A következő ábrán egy ilyen periodikus, de eléggé bonyolult rezgés kitérés-idő függvénye látható. A bonyolult rezgések leírását jelentősen egkönnyíti az a ateatikából isert tény, hogy bárilyen periodikus függvény felírható egfelelően választott szinusz és/vagy 1 koszinusz, ás néven haronikus függvények összegeként. (Ez az eljárás elékeztet egy függvénynek hatványsor alakjában történő felírására, csak itt a sor tagjai ne a változó hatványai, hane annak haronikus függvényei.) Mateatikai ódszerekkel az is kiutatható, hogy ha a rezgés ne periodikus, akkor haronikus függvények integráljaként állítható elő. Ez azt jelenti, hogy bárilyen bonyolult rezgés előállítható olyan, ún. haronikus rezgések összegeként, aelyeknek időfüggését haronikus függvény adja eg. Ez az egyik oka annak, hogy a rezgések tanulányozásánál kitüntetett szerepet kap a haronikus rezgés sajátságainak egiserése. A haronikus rezgés azonban azért is fontos, ert nagyon sok valóságos rezgés közelítőleg haronikus rezgésnek tekinthető (ás szavakkal ez azt jelenti, hogy a fent elített összegzésben a rezgést leíró függvény egyetlen taggal jól közelíthető). Annak ellenére, hogy a rezgés során változó ennyiség terészete és a rezgés echanizusa az egyes esetekben ás és ás, a különböző rezgések forális leírása hasonló. A különböző rezgési jelenségek azonban a fizika ás és ás területéhez kapcsolódnak, ezért azokat részletesebben a egfelelő helyen tárgyaljuk. Elsőként a hétköznapi tapasztalatainkhoz legközelebb álló echanikai rezgésekkel foglalkozunk, aelyeknek tárgyalása egyben intául szolgál ás típusú rezgések leírásához is. (t) (t) t t 1 Az összeg általában indkét függvényt tartalazza, ha azonban az előállítandó függvény páros, akkor csak koszinusz-, ha pedig páratlan, akkor csak szinusz függvények szerepelnek az összegben. A rezgéseknek haronikus rezgésekre történő felbontásáról később ég lesz szó.
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) Szabad echanikai rezgések Szabad rezgésről akkor beszélünk, ha a rezgésre képes rendszert a rezgés elindulása után agára hagyjuk. Ilyen rezgés jön létre például, ha egy rugóra felfüggesztett töeget az egyensúlyi helyzetéből kiozdítunk, és agára hagyjuk, vagy egy kondenzátort és tekercset tartalazó elektroos rezgőkörben a kondenzátort feltöltjük és a rendszert agára hagyjuk. Az alábbiakban szabad echanikai rezgéseket vizsgálunk. Először az energiaveszteség nélkülinek feltételezett ideális, haronikus rezgésekkel-, ajd az energiaveszteség iatt csillapodó rezgésekkel foglalkozunk. Szabad haronikus rezgések Definíció szerint a haronikus rezgés egy ennyiség olyan változása, aelynek időfüggése haronikus (szinusz- vagy koszinusz) függvénnyel írható le. Kísérletileg szabad haronikus rezgést ne könnyű beutatni, ivel a valóságban a szabad rezgések kisebb-nagyobb értékben indig csillapodnak. Közelítőleg haronikus rezgést azonban többféleképpen is egvalósíthatunk. KÍSÉRLETEK: Jó közelítéssel haronikus rezgést végez egy rugóra felfüggesztett töeg, ha az egyensúlyi helyzetéből kitérítjük, és elengedjük (ábra). Az egyensúlyi helyzettől lefelé A aiális távolságra kitérített töeg a egnyújtott rugó hatására felfelé indul, ajd felfelé elérve az A kitérést, egfordul, és lefelé halad, aíg újra eléri az induló helyzetet. A rezgés időfüggése is könnyen beutatható, ha a rezgő testre egy írószerkezetet teszünk, és egy sík lapot egyenletes sebességgel elhúzunk a rezgő test alatt. Ekkor az írószerkezet által különböző időpontokban felírt nyook a síklap különböző helyeire kerülnek, és kirajzolják a kitérés időfüggését. Az ábrán egy rezgő acéllap végére szerelt tű karcol nyoot egy korozott üveglapon, ait a rezgésre erőlegesen v sebességgel ozgatunk. A görbén egy adott y y helyhez tartozó időt a t = összefüggés adja v eg, egy teljes periódus ideje, a rezgésidő az s ábra jelöléseivel: T =. v egyensúlyi helyzet t=y/v y A s A A v
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 3 KÍSÉRLETEK: Ha egy körozgást végző töeget a körpálya síkjával párhuzaosan egvilágítunk, akkor az árnyéka a vetítés irányára erőleges ernyőn haronikus rezgőozgást végez (ábra). Haronikus rezgést kapunk akkor is, ha ágneses erőtérben egy drótkeretet egyenletesen forgatunk az erőtérre erőleges tengely körül (ábra). Ekkor a keletkezett indukált feszültség időben haronikus függvény szerint változik, ait katódsugár oszcilloszkóp segítségével könnyen beutathatunk. egvilágítás ω α=ωt ágnes ernyő =Asinωt A haronikus rezgések tanulányozását azzal ω kezdjük, hogy felírjuk az ilyen rezgést leíró függvények különböző alakjait, ezután echanikai példán beutatjuk a haronikus rezgés alapegyenletét, ajd konkrét echanikai- és U=U sinωt elektroos rezgéseket tárgyalunk, végül foglalkozunk a rezgések során bekövetkező energiaátalakulásokkal. A haronikus rezgést leíró függvény alakjai Az -tengelyen ozgó töegpont akkor végez haronikus rezgőozgást, ha koordinátájának időfüggését az t ( ) = Asin( ω t, vagy t ( ) = Acos( ω t+ ϕ ) típusú függvény írja le 1, ahol A a legnagyobb kitérés értéke, ait a rezgés aplitúdójának neveznek, ω a rezgés T rezgésidejét (egy periódus hosszát) π eghatározó körfrekvencia ( ω = ), ϕ pedig az időérés kezdetétől függő T fázisállandó. A rezgések jellezésére gyakran használt f frekvencia száértéke az egységnyi idő alatt lezajló rezgési periódusok száa, aely a fenti jellezőkkel az 1 ω f = = összefüggésben van. A továbbiakban általában a körfrekvenciát T π használjuk, de ebből a vele arányos frekvencia a fenti összefüggés segítségével indig egkapható. Korábban ár szó volt arról, hogy a haronikus rezgés ne csak rezgőozgást jelent. Haronikus rezgésről beszélünk akkor is, ha egy árakörben ért I áraerősség- vagy U feszültség időbeli változása például az I( t ) = I sin( ω t, U( t ) = U cos( ω t összefüggésekkel adható eg (itt I és U az áraerősség- illetve feszültség aiális értékét egadó áraerősség- illetve feszültség-aplitúdó). 1 1 A két függvény a haronikus rezgés leírása szepontjából egyenértékű, csak egy állandó fázisszöggel különböznek egyástól: cos( ω t + ϕ + π/ ) = sin( ωt.
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 4 Ha a szögek összegének szinuszára (koszinuszára) vonatkozó isert trigonoetriai összefüggést alkalazzuk, akkor a fenti kifejezéseket fázisszög bevezetése nélkül is felírhatjuk. Ez például az ( t ) = Asin( ω t rezgés esetében az alábbi ódon történhet: ( t ) = Asin( ω t = Asinωt cosϕ + Acosωt sinϕ. Bevezetve a B = Acosϕ, C = Asinϕ jelöléseket, a haronikus rezgést leíró függvény az alábbi (az eredetivel egyenértékű) alakba írható: ( t ) = B sinω t + C cos t. ω Gyakran előfordul, hogy a száolások egyszerűsítése érdekében a haronikus rezgés leírására kople függvényt használnak. Ez első pillanatban különösnek tűnik, hiszen a fizikai ennyiségeket valós száokkal adjuk eg. A kople függvények használata a rezgések esetében azt jelenti, hogy a száolásoknál kople ennyiségekkel dolgozunk, de a száolás végén kapott kople végeredényből leválasztjuk a valódi fizikai eredényt egadó valós függvényt. Erre a száolástechnikai trükkre az ad lehetőséget, hogy egyrészt egy kople szá a kople szásíkon egy vektorként fogható fel, és haronikus függvények lineáris kobinációjaként állítható elő (ábra) képzetes rész z = Acosα + iasinα, z A ásrészt az ún. Euler-összefüggés segítségével eponenciális alakban is felírható: α valós iα z = Acosα + iasinα = Ae Acosα rész ( i = 1 a kople egység). Az eponenciális alak többek között azért egyszerűsíti a száolásokat, ert ennek a függvénynek a differenciálhányadosa és integrálja önaga konstans-szorosával egyenlő. Egy haronikus rezgést a fentiek alapján az i ( t ) ~ ω + ϕ ( t ) = A cos( ωt + ia sin( ωt = Ae kople függvénnyel jelleezhetünk, hozzátéve, hogy a rezgést fizikai érteleben leíró függvény a kople függvény ( t ) = Re ~ ( t ) = A cos( ω t valódi része vagy ( t ) = I ~ ( t ) = A sin( ω t képzetes része. Az eponenciális alakkal száolva, végeredényül kople függvényt kapunk, de kiutatható, hogy ennek valós vagy képzetes része egegyezik azzal az eredénnyel, ait (sok esetben jóval bonyolultabb ódon) valós, haronikus függvénnyel száolva kaptunk volna. Töegpont egydienziós, haronikus rezgése, a haronikus rezgés alapegyenlete Asinα Egydienziós a rezgés, ha a rezgő töegpont egy egyenes entén ozog. Kísérletileg jól egvalósítható ez a ozgás a ár elített rugóra felfüggesztett töeg függőleges ozgásával, vagy az ábrán látható elrendezéssel, aely kiküszöböli a nehézségi erő hatását, és kis kitéréseknél jó közelítéssel vízszintes irányú ozgást hoz létre. Egy egyenes, pl. az -tengely entén ozgó töegpont kitérését az ( t ) = Asin( ω t
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 5 vagy az ( t ) = Acos( ω t összefüggéssel adhatjuk eg. Ha kiszáítjuk a rezgő pont gyorsulását, akkor kiderül, hogy ilyen erő hozhat létre ilyen ozgást. A szinusz függvényt használva, a gyorsulás d ( t ) a = = ω Asin( ωt = ω, a koszinusz függvényt használva pedig d ( t ) a = = ω Acos( ωt = ω. Vagyis akár a szinusz-, akár a koszinusz függvényt használjuk a haronikus rezgés leírására, a gyorsulásra ugyanazt a kifejezést kapjuk: a gyorsulás arányos a kitéréssel, és indig azzal ellentétes irányú. Ebből a ozgásegyenlet alapján következik, hogy a haronikus rezgőozgást létrehozó erő is ugyanilyen jellegű: F = a = ω. Mint várható, a ozgást létrehozó erőre kapott kifejezés ne függ attól, hogy elyik függvényt használjuk. Ha bevezetjük a D= ω jelölést, akkor az erő az egyszerűbb F = D alakba írható. Ennek az erőnek két fontos jellegzetessége van. Egyrészt ez az erő a indenkori kitéréssel ellentétes irányú, tehát indig a rezgés centruaként felfogható egyensúlyi helyzet felé utat (vagyis ún. centrális erő), eiatt jöhet létre rezgőozgás. Másrészt ez az erő arányos a kitéréssel (vagyis ún. lineáris erő), ez ahhoz szükséges, hogy a rezgés haronikus legyen. A egfeszített vagy összenyoott ideális rugó éppen ilyen erőt fejt ki, ezért végez a rugóhoz rögzített töeg haronikus rezgőozgást. A ozgásra felírható F d = ozgásegyenlet a lineáris erő behelyettesítésével az alábbi alakot ölti d ( t ) d ( t ) = ω illetve = D. Az egyenleteket -el végigosztva, végül az időfüggő helykoordinátára a d ( t ) d ( t ) D + ω ( t ) = illetve + ( t ) = egyenletet kapjuk. Az egyenlet ateatikailag egy differenciálegyenlet, aely a eghatározandó függvény ellett annak differenciálhányadosát is tartalazza. Az egyenletnek eleget tevő (t) függvény(ek) egkeresése, vagyis a differenciálegyenlet egoldása ateatikai ódszerekkel lehetséges. Ezekkel itt ne foglalkozunk, száunkra ost csak az egyenlet alakja fontos. Mateatikai elezés nélkül is belátható, hogy ennek az egyenletnek egoldása a haronikus rezgést leíró ( t ) = Asin s( ω t vagy ( t ) = Acos( ω t függvény, hiszen a differenciálegyenletet ebből vezettük le. (Egyébként ugyanerre a következtetésre jutunk akkor is, ha az egyenlet eredetéről seit ne tudva, ateatikai ódszerekkel keressük eg a egoldást.) A differenciálegyenletet forailag vizsgálva egállapíthatjuk, hogy ha összeadjuk a keresett függvény ásodik deriváltját és a függvénynek egy állandóval
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 6 egszorzott értékét, akkor eredényül nullát kapunk. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy ennek az egyenletnek egoldása pl. a haronikus rezgést leíró D ( t ) = Asin( ω t illetve ( t ) = Asin( t függvény, ahol ω = D, a rezgés körfrekvenciája. Vegyük észre, hogy a egoldás-függvényben az idő szorzója, vagyis a rezgés körfrekvenciája (ω = D ) azonos a differenciálegyenletben a függvény D szorzójaként szereplő állandó ( ω = ) négyzetgyökével. Ebből az az általános következtetés adódik, hogy ha egy folyaatban egy f(t) ennyiség változására fizikai eggondolások alapján egy d f( t) + Kf ( t ) =, alakú differenciálegyenletet kapunk, akkor inden további ateatikai elezés nélkül állíthatjuk, hogy a ennyiség változása haronikus rezgés, ait az f ( t ) = f sin( Kt = f sin( ωt vagy az f ( t ) = f cos( Kt + ϕ ' ) = f cos( ωt + ϕ' ). függvénnyel írhatunk le. Itt f a ennyiség aiális értéke, ω = K pedig a ) i( ω t +ϕ ) rezgés körfrekvenciája. (A kople leírásnál a függvény alakja: f ( t ) = fe ) Használhatjuk ég az f ( t ) = f1 sin Kt + f cos Kt = f1 sinω t + f cosωt alakot is. Mivel a fenti differenciálegyenlet egoldása haronikus függvény, az ilyen típusú egyenletet a haronikus rezgés differenciálegyenletének vagy a haronikus rezgés alapegyenletének nevezik. Megjegyzés: A egoldások bárelyik alakját vizsgáljuk, azt találjuk, hogy azokban két olyan ennyiség szerepel, aelyek ateatikai úton ne határozhatók eg egyértelűen, értéküket csak a rezgési folyaat fizikai körülényeinek iseretében tudjuk egadni (f és ϕ illetve f 1 és f ). Az f ( t) = f sin( ω t + ϕ) típusú egoldásnál ilyen ennyiségpár az f aplitúdó és a ϕ fázisszög. Ha ez a egoldás például egy töegpont haronikus rezgését írja le, akkor az aplitúdót az határozhatja eg, hogy az időérés kezdetén ekkora a töegpont sebessége, a fázisszög pedig attól függ, hogy az időérés kezdetén ilyen a kitérés. A egoldás tehát csak akkor teljes, ha ezeket az ún. kezdeti feltételeket iserjük. Példa Most az ún. fonálinga (vagy ateatikai inga) példáján beutatjuk, hogy egy jelenség vizsgálatánál fizikai eggondolások alapján hogyan juthatunk el olyan egyenletre, aelyből ránézésre egállapítható, hogy haronikus rezgésről van szó vagy ne.
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 7 Egyszerűen tárgyalható eset az l hosszúságú fonálon függő töegű pontszerű test (ateatikai- vagy fonálinga) lengése. A töegpont ilyenkor l sugarú körpályán ozog, körozgását a ϑ szög változásával jelleezhetjük (l. a ellékelt ábrán), a ozgásegyenlet pedig d ϑ GT = g sinϑ ( t) = at = lβ = l, ϑ l vagyis d ϑ( t) g F + sin ϑ( t ) =. K l Mivel az egyenletben a ϑ( t ) függvény helyett annak G T G szinusza áll, egállapíthatjuk, hogy az inga ozgását N ϑ G leíró differenciálegyenlet ne olyan alakú, int a haronikus rezgés alapegyenlete, vagyis az inga ozgása általában ne haronikus rezgés. Ha azonban az inga kitérése (vagyis a ϑ szög) kicsi, akkor sinϑ ϑ, és így az egyenlet a d ϑ( t) g + ϑ( t ) =, l alakot ölti, ai ár haronikus rezgést ír le. A egoldás ϑ t ) = ϑ sin( ω t, ( ahol a körfrekvencia ω = g l. Ebből kapjuk a közisert rezgésidő-összefüggést: T π l = =. ω g π ω Egy ilyen szabadon rezgő rendszer esetén a rezgés f = frekvenciáját de π gyakran agát az ω körfrekvenciát is a rendszer sajátfrekvenciájának nevezik. A haronikus rezgés energiaviszonyai Egy fizikai ennyiség változásai így a rezgések is általában energiaátalakulásokkal járnak. Most a echanikai- és elektroágneses haronikus rezgés energiaviszonyait vizsgáljuk eg. Energiaátalakulások egydienziós echanikai rezgésnél Egy D állandójú rugalas erő hatására az -tengely entén rezgő töegpont energiája 1 1 E = Eh + E = D + v. Írjuk be az összefüggésbe a helykoordináta- és a sebesség ( t ) = Asin( ω t v( t ) = Aω cos( ωt = v cos( ωt időfüggését ( v = ω A a sebesség aiális értéke). Ekkor az időfüggő helyzetiés ozgási energia összegére azt kapjuk, hogy 1 1 ) = DA sin ( ω t + v cos ( ω t. E ( t
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 8 A sebesség aiális értéke és a rezgés aplitúdója közötti kapcsolat: 1 v = ω A = D A (itt felhasználtuk a D = ω összefüggést). Ezzel a teljes energia az alábbi alakba írható: 1 1 1 E ( t ) = DA ( sin ( ω t + cos ( ωt ) = DA = v = állandó. Eszerint a rezgés során ind a helyzeti-, ind pedig a ozgási energia változik, de ez csupán helyzeti energia ozgási energia átalakulásokat jelent, iközben a két energia összege indig ugyanannyi. Fontos eredény, hogy a rezgő töegpont energiája a rezgés aplitúdójával szoros összefüggésben áll, az egyik ennyiség egyértelűen eghatározza a ásikat. Az összefüggés jellegzetessége az, hogy az energia arányos az aplitúdó- vagy a sebességaplitúdó négyzetével. A csillapodó rezgés Az előbb tárgyalt rezgések indegyike ideális rezgés, ert a rezgés során nincs energiaveszteség. A valóságos rezgéseknél a echanikai energia a rendszerből fokozatosan eltávozik, aiből az energiára vonatkozó előbbi egállapításaink alapján következik, hogy a rezgés aplitúdója is csökken. Az ilyen csökkenő aplitúdójú rezgéseket csillapodó (vagy csillapított) rezgéseknek nevezik. Csillapodó, egydienziós echanikai rezgés A echanikai rezgéseknél a csillapodás azt jelenti, hogy a rezgő töegpont aiális kitérései egyre csökkennek, és a rezgés előbb-utóbb egszűnik. Ezt a jelenséget könnyű kísérlettel is beutatni, hiszen a szabad rezgések kisebbnagyobb értékben indig csillapodnak. KÍSÉRLETEK: Ha a korozott üveglappal korábban elvégzett kísérletben a korot karcoló tűt úgy állítjuk be, hogy erősebben súrlódjon, akkor a rezgés jól láthatóan csillapodóvá válik (ábra). Ha egy rugón függő testet folyadékba erítve rezgetünk, akkor rezgése a nagy közegellenállás iatt erősen csillapodik. t=y/v y v A csillapodó rezgés sajátságait kísérletekkel fel lehet deríteni, de a kitérés időfüggését legalábbis egyszerűbb esetekben fizikai eggondolásokkal eléletileg is eg lehet határozni. Ehhez azt kell figyelebe venni, hogy a csillapodás oka indig az, hogy a rezgést létrehozó rugalas erő ellett egy a rezgést fékező, csillapító erő (F cs ) is űködik. Ennek egfelelően az -tengelyen rezgő töeg ozgásegyenlete ilyenkor d ( t ) = D( t ) + F cs.
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 9 Az egyik leggyakoribb ilyen erő egy közegben ozgó testre ható közegellenállás, ai gyakran arányos a ozgás sebességével, és azzal ellentétes irányú: F kv t k d ( t ) cs = ( ) =. Most egy ilyen erő által csillapodó rezgést vizsgálunk eg. Ennek a csillapító erőnek a figyelebe vételével a rezgő test ozgásegyenlete az alábbi alakba írható d ( t ) D t k d ( t ) = ( ). Végigosztva -el, felhasználva az ω = D összefüggést, és bevezetve a β = k jelölést, végül a d ( t ) d t + β ( ) + ω t ( ) = differenciálegyenletet kapjuk, ai szeel láthatóan ne haronikus rezgés egyenlete (az egyenletben egjelent a függvény első deriváltja is). Ez az eredény várható volt, hiszen a csillapító erő iatt a rezgés aplitúdója csökken, a csökkenő aplitúdójú rezgés pedig ne írható le egyetlen haronikus függvénnyel. A fenti egyenlet ateatikai egoldása ne egyszerű feladat, ezért itt az ún. próbafüggvény eljárást alkalazzuk. Ennek lényege az, hogy a kísérleti tapasztalatok alapján egpróbáljuk kitalálni a egoldást, ajd ezt a feltételezett egoldást az egyenletbe behelyettesítjük, és egnézzük, hogy ilyen feltételek ellett lesz ez valóban egoldás. A csillapodó rezgésre vonatkozó kísérletek alapján felrajzolhatjuk egy ilyen rezgés jellegzetes kitérés-idő függését, ait seatikusan az alábbi ábra utat. Az ábrán szaggatott vonallal az aplitúdó időbeli változását (A(t)) is feltüntettük. A kísérleti görbék (sebességgel arányos csillapító erő esetén) azt sugallják, hogy a kitérés időfüggése tulajdonképpen egy torzított haronikus függvény, aely egy időfüggő (időben csökkenő) aplitúdó és egy haronikus függvény szorzata: ( t ) = A( t )sin( ω t. A kísérletek alapján ennél konkrétabb feltevéssel is élhetünk, ugyanis a tapasztalat szerint a sebességgel arányos csillapító erő esetén az aplitúdó csökkenése jól leírható egy eponenciális függvénnyel: A( t ) = A e. Itt a egyelőre iseretlen állandó. Ezzel a feltételezett egoldás az ( t ) = A e sin( ω t + ϕ alakot ölti. A probléa csak az, hogy ne tudjuk az a állandó értékét, és azt se, hogy ennyi a haronikus rész ω körfrekvenciája. Ahhoz, hogy kiderüljön, hogy egy ilyen függvény valóban lehet egoldása a rezgést leíró differenciálegyenletnek, be kell helyettesíteni az egyenletbe. Ebből az is kiderül, hogy ilyen a és ω érték ellet lehet egoldás a fenti függvény. )
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 A behelyettesítéshez ki kell száítani a függvény deriváltjait: d = A ae sin( ω t + A e ω cos( ωt + d = A a e sin( ωt A ae ω cos( ωt A ae A e ω sin( ωt. ϕ at ), ω cos( ωt Ezeket és az eredeti (t) függvényt behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az alábbi összefüggést kapjuk: A a e sin( ωt A ae ω cos( ωt A ae ω cos( ωt A e ω sin( ωt βa ae + ω A e sin( ωt =. Rendezzük az egyenletet az alábbi ódon: ( A a e A e ω βa ae sin( ωt + βa e + ω A e ω cos( ωt + )sin( ωt + + ( A ae ω A ae ω + βa e ω )cos( ωt =. Az egyenlet baloldalán szereplő kifejezésnek indig nullával kell egyenlőnek lenni, ai tekintve, hogy az időfüggő cos és sin függvények és 1 között bárilyen értéket felvehetnek csak úgy teljesülhet, ha ezeknek a függvényeknek a szorzója nulla, vagyis A a e A ω e βa ae + ω A e = A ae ω A aωe + βa e ω =. Egyszerűsítés után ebből az a és ω állandókra az alábbi egyenletrendszert kapjuk: a ω βa + ω = aω + βω =. A ásodik egyenletből azt kapjuk, hogy k a = β =. vagyis az eponenciálisan csökkenő aplitúdó kitevőjében szereplő állandó éppen a csillapítást eghatározó állandóval arányos. Ezt felhasználva, az első egyenletből egkapjuk a haronikus rész körfrekvenciáját: ω = ω β. A feltételezett egoldásnak a differenciálegyenletbe való behelyettesítésével valóban egkapjuk a keresett két állandót, és ezzel a egoldás βt ( t ) = A e sin( ωt + ), ϕ k ahol β = és ω = ω β. Eszerint az idővel eponenciálisan csökkenő aplitúdó kitevőjében szereplő állandó éppen a csillapítást eghatározó k állandóval arányos, a haronikus rész körfrekvenciája pedig kisebb, int a töegpont csillapítatlan, haronikus rezgésének egfelelő ω körfrekvencia. Ez a egoldás visszaadja a csillapodó rezgés kísérletekből ár isert sajátságait: inél nagyobb a csillapításra jellező β állandó (vagyis inél nagyobb a csillapítás), annál gyorsabban csökken a rezgés aplitúdója, és annál nagyobb a rezgés körfrekvenciájának eltérése a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájától. Nagyon kis β érték (kis csillapító hatás) esetén a rezgés közelítőleg haronikus,
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 11 körfrekvenciája közelítőleg egegyezik az ideális, csillapítatlan rezgés körfrekvenciájával. Megjegyezzük, hogy a fenti egoldás csak akkor érvényes, ha a csillapítás ne túl nagy. Ez a körfrekvencia kifejezéséből látszik, hiszen fizikailag érteles k körfrekvenciát csak akkor kapunk, ha a csillapítást jellező β = állandóra fennáll a β < ω feltétel. Ha ez ne teljesül, akkor ne alakul ki több periódusból álló szokásos érteleben vett rezgés. A csillapítás különböző eseteit kísérletekkel vizsgálva, a) háro jellegzetes esetet találunk, aelyeket a ellékelt t ábrán szeléltetünk. Az a) ábra a β < ω esetnek egfelelő csillapodó rezgést utat, a b) ábrán az ún. aperiodikus határesetet látjuk, aikor rezgés ár éppen b) ne jön létre, vagyis a szélső helyzetből induló töegpont az egyensúlyi helyzet ásik oldalára ár ne t tér ki (ez a β = ω ω = esetnek felel eg), a c) c) ábra pedig a nagy csillapításnak ( β > ω ) egfelelő aperiodikus ozgást utatja, aikor a kitérés nagyon t lassan közeledik az egyensúlyi helyzet felé. A csillapodó rezgés fenti differenciálegyenlete indenféle fizikai egfontolás nélkül, pusztán ateatikai ódszerekkel is egoldható. A száolás eredénye ugyanaz, int ait a fenti kevésbé egzakt ódszerrel kaptunk. A ateatikai egoldásból kijön az aperiodikus határeset és az aperiodikus ozgás időfüggése is. A rezgések csillapodása gyakorlati szepontból is fontos jelenség (ne kívánatos rezgésnél a gyors csillapodás, szándékosan előidézett rezgésnél a lassú csillapodás elérése a cél), ezért a csillapodás jellezésére a β állandó ellett egyéb többnyire szeléletes ennyiségeket is bevezettek. Az egyik ilyen jellező a K csillapodási hányados, aely két egyás utáni rezgési aplitúdó hányadosa (ábra): βtn 1 n e βt K = = = = = e. β ( tn + T ) 3 4 n+ e Gyakran használják a csillapodási hányados terészetes logaritusát, az ún. logaritikus dekreentuot is: Λ = ln K = βt. A haronikus rezgés vizsgálatánál láttuk, hogy a rezgés energiája és aplitúdója között szoros összefüggés áll fenn:
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 1 E = DA. Ha az aplitúdó időben változik, akkor ennek egfelelően változik a rezgés energiája is. A csillapodó rezgésnél a súrlódás jellegű fékező erő iatt csökkenő rezgési energia időfüggését az aplitúdócsökkenés segítségével kaphatjuk eg: E( t ) 1 1 βt βt = DA ( t ) = DA e = Ee, 1 ahol E = DA, a rezgés kezdeti energiája. Látható, hogy a sebességgel arányos csillapító erő esetén a rezgési energia is eponenciálisan csökken. Ha a kis csillapítású rendszert tekintjük jónak, akkor a rezgő rendszer annál jobb, inél lassabban fogy az energiája. Ezért a rendszer jóságát jelleezni lehet az energia csökkenési sebességével, ait a de βt = βee = βe ennyiség ad eg. Látható, hogy ez a ennyiség a csillapításra jellező β-val arányos. A rendszer jóságának jellezésére azonban ez a ennyiség égse használható, ert függ a rendszer aktuális energiájától is. Ezért erre a célra a relatív energiaváltozási sebességet használják, aelynek segítségével definiálják a rezgő rendszer jósági tényezőjét (Q ~ ). A definíció szerint a jósági tényező a teljes rezgési energia és az 1 radián fázisszög-változás alatt bekövetkező energiaveszteség hányadosa. Az 1 radián 1 fázisszög-változás Δ t = T idő alatt következik be (T a periódusidő), így az erre π az időre eső energiaveszteség nagysága kis csillapításnál ( ω ω ) közelítőleg de de T βte βe ΔE1rad Δt = = = βe. π π ω ω Ezzel aq ~ jósági tényezőre azt kapjuk, hogy E ω Q ~ =. ΔE β 1rad Látható, hogy az így definiált jósági tényező az eredeti céllal összhangban annál nagyobb, inél kisebb a csillapítás (β). A jósági tényező kapcsolatba hozható a logaritikus dekreentual is, hiszen ω π π Q ~ = =. β βt Λ Végül, ha a β csillapítást a rendszer adataival fejezzük ki, akkor a Q ~ ω = k kifejezést kapjuk.