1. LEMEZHENGERLÉS FOLYAMATAINEK ELEMZÉSE

Hasonló dokumentumok
Oktatási segédlet kúpos csatornában való anyagáramlás vizsgálatára

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

KÉPLÉKENYALAKÍTÁS ELMÉLET

Fémtechnológiák Fémek képlékeny alakítása 1. Mechanikai alapfogalmak, anyagszerkezeti változások

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Tevékenység: Tanulmányozza a ábrát és a levezetést! Tanulja meg a fajlagos nyúlás mértékének meghatározásának módját hajlításnál!

KÉPLÉKENYALAKÍTÁS ELMÉLETI ALAPJAI

Vasbeton tartók méretezése hajlításra

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3

Szilárd testek rugalmassága

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

Járműelemek. Rugók. 1 / 27 Fólia

Folyásgörbe felvétele. Forgácsnélküli alakítás (LGB_AJ010_1) Győr,

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

Frissítve: Csavarás. 1. példa: Az 5 gyakorlat 1. példájához hasonló feladat.

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Tartószerkezetek I. (Vasbeton szilárdságtan)

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Többváltozós függvények Feladatok

ERŐVEL ZÁRÓ KÖTÉSEK (Vázlat)

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

5. gy. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

Anyagvizsgálatok. Mechanikai vizsgálatok

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

TARTALOMJEGYZÉK. 1. KIINDULÁSI ADATOK Geometria Anyagminőségek ALKALMAZOTT SZABVÁNYOK 6.

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

X i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y =

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne:

X = 0 B x = 0. M B = A y 6 = 0. B x = 0 A y = 1000 B y = 400

5. fejezet. Differenciálegyenletek

1. Feladat. a) Mekkora radiális, tangenciális és axiális feszültségek ébrednek a csőfalban, ha a csővég zárt?

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

Alumínium ötvözetek aszimmetrikus hengerlése

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár

II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban)

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

GEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Acélszerkezetek. 3. előadás

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

BMEGEÁTAT01-AKM1 ÁRAMLÁSTAN (DR.SUDA-J.M.) 2.FAKZH AELAB (90MIN) 18:45H

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ

TARTÓSZERKEZETEK II. NGB_se004_02 Vasbetonszerkezetek

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

ANALÍZIS II. Példatár

9. ábra. A 25B-7 feladathoz

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Reológia Mérési technikák

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

2014/2015. tavaszi félév

A szerkezeti anyagok tulajdonságai és azok vizsgálata

Differenciálegyenletek december 13.

T s 2 képezve a. cos q s 0; 2. Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról

A= a keresztmetszeti felület cm 2 ɣ = biztonsági tényező

Lemez- és gerendaalapok méretezése

Szélsőérték feladatok megoldása

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

EC4 számítási alapok,

Szádfal szerkezet tervezés Adatbev.

A lengőfűrészelésről

Csavarorsós emelőbak tervezési feladat Gépészmérnök, Járműmérnök, Mechatronikai mérnök, Logisztikai mérnök, Mérnöktanár (osztatlan) BSC szak

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)

Végeselem analízis. 1. el adás

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!

Pere Balázs október 20.

Matematikai geodéziai számítások 10.

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

HÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE

Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Szádfal szerkezet ellenőrzés Adatbev.

Erőtani számítás Szombathely Markusovszky utcai Gyöngyös-patak hídjának ellenőrzéséhez

időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyú y j ú tás y j Hooke törvény, Hooke törvén E E o Y un un modulus a f eszültség ffeszültség

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Segédlet a gördülőcsapágyak számításához

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

Átírás:

LEMEZHENGERLÉS 1 1. LEMEZHENGERLÉS FOLYAMATAINEK ELEMZÉSE Hengerléskor a munkadarab két ellentétes irányban forgó henger között halad miközben kersztmetszete csökken és hosszúsága növekszik. F keresztül, b A D h v v k n v 1 A 1 hengerrés h 1 v k b 1 F 1.1 ábra Lemezhengerlés elrendezési sémája A kiinduló darabból a legtöbb esetben nem lehet egyetlen szúrással a kívánt méretű és alakú terméket előállítani. Ilyenkor a hengerlés több szúrással történik. A lemez és a henger geometriai viszonyaitól függően előállhat olyan eset, amikor a munkadarab szélessége a hengerlés során gyakorlatilag nem változik. b 2, b (1.1) l d b - a próbatest szélessége, ld - a nyomott ív hossza Ebben az esetben az alakváltozási folyamatokat sík alakváltozási állapotban lehet vizsgálni, ami azt jelenti, hogy a próbatest szélességirányú alakváltozása zérus. 1.1. Lemezhengerlés vizsgálata az energetikai módszerrel Az energetikai módszer alkalmazásakor a belső erők teljesítményét ( W bel ) a szakadófelületi ( szak W ) és a surlódő erők ( sur W ) teljesítményét, a külső kényszerek teljesítményét ( k W ) kell meghatározni. Fontos megjegyezni, hogy a munkadarab gyorsításából származó teljesítményét jelen esetben elhanyagoljuk.az elemzéshez szükséges, hogy a kinematikai peremfeltételeket és az összenyomhatatlanság feltételét kielégítő sebességmezőt használjunk az alakváltozás zónájában.a fenti feltételeket kielégitő sebességmezők közül a feladat megoldása minimalizálja az alábbi kifejezést.

LEMEZHENGERLÉS 2 J Wbel Wszak Wsur Wk (1.2) 1.2 ábra Lemezhengerlés sebességi viszonyai A v h sebességgel forgó hengerek közé a h vastagságú lemez v sebességgel érkezik és h 1 vastagsággal, valamint v 1 sebességgel távozik. Feltételezésünk szerint a hengerek közé belépő tengelyre merőleges keresztmetszetek merőlegesek maradnak az alakváltozás során, vagyis a sík keresztmetszetek síkok maradnak a teljes folyamat alatt. Ennel megfelelően az x tengelyirányú sebesség és alakváltozási sebesség a következő egyenlettel írható fel. v1 vx v1 dh vx x h1, xx h1 2 h x h dx Amennyiben kihasználjuk, hogy sík alakváltozási állapotban lévő, összenyomhatatlan testet vizsgálunk, felírható vy v1 dh xx yy yy xx vy x, y h1 y C 2 y h dx A fenti egyenletből látható, hogy a míg a v x sebesség az y koordinától független, a v y sebesség változik az y mentén valamely rögzített keresztmetszetnél.az integrálási állandót abból a feltételből lehet meghatatározni, hogy a munkadarab hengerrel érintkező pontjának v k sebességvektora a henger érintőjének az irányába mutat. Estünkben C=. Az henger és a munkadarab érinkező tartományában van egy olyan felületi pont illetve hozzákapcsolódó keresztmetszet (semleges pont illetve semleges keresztmetszet) amely két részre bontja az alakváltozási zónát, a visszamaradási és az előresietési tartományra. Ebben a pontban (keresztmetszetben) a henger és a munkadarab közötti relatív sebesség zérus. vx h1 v1 h1 v 1 h1 v1 vrel vh vh 1, vrel vh 1 1 cos h cos hn cos n hn cos n Az alakváltozási sebességtenzor vegyes tagja a sebességmező ismeretében az alábbi egyenlettel számítható ki. 1 v v x y xy 2 y x (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)

LEMEZHENGERLÉS 3 A fenti kifejezés első tagja zérus, a második tag az (1.4) egyenlet alapján határozható meg, és igy az alakváltozási sebesség 1 h h 2hh xy h1v 1y (1.7) 4 2 h 2 2 ahol h dh / dx, h d h / dx.a sebességmező és az alakváltozási sebességmező meghatározásához szükség van a hengerrés egyenletére, amely a következő alakban írható fel. 2 2 R x h h1 1 2R R ahol x ld x, R- a henger sugara. Amennyiben ismert a semleges keresztmetszet helyzetét jellemző x n koordináta, az (1.8) egyenlet alapján a h n résmagasság is ismert. A számítások elvégzéséhez szükség van még az és n szögekre, amit az alábbi egyenletek alapján lehet meghatározni a geometriai adatokból. h h h h cos 1, cos 1 2R 2R (1.8) 1 n 1 (1.9) Az alakváltozási sebességek ismeretében az egyenértékű alakváltozási sebesség és az alakváltozás mértéke a következő. 2 2 2 xx xy, dt, 3 t x dx v (1.1) Fontos aláhúzni, hogy az integrálást az anyagi pont pályája mentén kell végrehajtani. A fenti egyenletben a t az időt jelöli. Az áramvonal egyelete x h y y (1.11) h ahol y, h - a belépő keresztmetszetben kijelölt anyagi pont y koordinátája és a lemez kezdeti vastagsága. Az alakváltozás mértéke jól közelíthető a logaritmikus alakváltozással, 2 y ln 3 y (1.12) és a továbbiakban az anyag keményedésének kifejezésérere ezt a mennyiséget használjuk. Feltételezésünk szerint a folyamat elemzés egy adott pillanatában ismert a semleges keresztmetszet helyzete. Ekkor egyértelmű kapcsolat írható fel a hengersebesség és a lemez ki valamint a belépő sebessége között. h h v v v v n 1 1 hcos n, 1 (1.13) h1 h Az eddigi elemzések alapján megállapítható, ha ismert a semleges kereszmetszet helyének x n koordinátája a henger sebessége és a hengerlés elrendezésének geometriai adatai, a feladat sebességi viszonyai egyértelműen meghatározhatók. Az energetikai módszer alkalmazásával lehetőség van a ténylegesen ismeretlen x n koordináta kiszámítására. A szakirodalomban gyakran használt állandó alakítási szilárdsággal rendelkező anyag helyett figyelembe vesszük a keményedés hatását. A belső erők teljesítményét az alábbi kifejezés írja le.

LEMEZHENGERLÉS 4 h/2 W k dv 2b k dxdy ld (1.14) bel f f V x A k f alakítási szilárdság esetünkben a logaritmikus alakváltozástól függ, amelyet az anyagi pont pályájának pillanatnyi helyzete határoz meg, ez vonatkozik az egyenértékű alakváltozási sebességre is. Az y és az y változó közötti kapcsolatot az (1.11) egyenlet írja le. Ennek dy dy h / h, így a belső erők teljesítménye megfelelően ld h /2 h x W 2 b k x, y x, y dxdy bel (1.15) x f h A sebességmezőben a belépő keresztmetszetnél van szakadás. Az anyagi pontok ezen való áthaladása többlet teljesítményt igényel, ami a következő egyenlettel írható fel. W szak k f v da (1.16) A 3 szak A fenti egyenletben v a sebességmező szakadását jelöli, ami a szakadófelület érintőjének irányába mutat, k f a szakadófelelületen áthaldó anyagi pont átlagos alakítási szilárdsága, ami az alakváltozás növekedés miatt van. v (1.17) 3v n ahol v n - a szakadó felületen áthaladó anyagi pont normális irányú sebessége. Feladatunknál v v, v v. A szakadófelület átlagos alakítási szilárdsága az alábbi kifejezéssel n y x határozható meg. k f 1 k fd (1.18) Az (1.16) egyenletbe behelyettesítve az (1.17) és (1.18) egyenleteket a szakadófelületi nyírófeszültségek teljesítménye h /2 k f Wszak 2b vy dy (1.19) 3 x A henger és a lemez érintkező felületén (A surl ) ébredő surlódás hatásának legyőzésére a súrlódó feszültségek teljesítményt kell az alakításkor befektetni. k f W m v da 3 (1.2) surl rel surl Asurl ahol m-a surlódási tényező, amely a következő egyenlettel határozható meg. m 2 v arctan rel C m m,c- állandók. Az adott feladatnál a surlódó feszültségek teljesítménye (1.21)

LEMEZHENGERLÉS 5 l d k f Wsurl 2b m v 3 dx cos rel (1.22) Lemezhengerlésnél, a technológiai folyamat pontos megvalósítása, valamint a hengernyomás csökkentése érdekében a kilépő keresztmetszetre a mozgás irányába mutató ismert nagyságú x1 feszültség hat, mig a belépő keresztmetszetnél a mozgásirányával ellentétesen ható ismert nagyságú x feszültség hat. Az első esetben az adott külső kényszer teljesítménye W T v da bh v k1 1 1 x1 1 1 A1 Míg a belépő keresztmetszetnél fellépő külső kényszer teljesítménye W T v da bh v k 1 x A Összegezve az egyes teljesítmény tagokat, a következő kifejezést kapjuk bel szak sur k k1 (1.23) (1.24) J W W W W W (1.25) Mechanikailag igazolható, hogy a fenti kifejezés jobb oldalának minimális értéke mellett meghatározott kinematikailag lehetséges sebességmező, a feladat megoldását adja. Feladatunknál a J mennyiség - adott anyag és adott geometriai, sebességi és surlódási feltételek esetén - a semleges keresztmetszet helyétől (x n ) függ, és minimális értékét J*-gal jelöljük. A minimum meghatározására eljárást dolgoztunk ki. A minimum ismeretében a hengérlési erő és nyomaték a következő módon határozható meg. R R F J, M J (1.26) l v v d h A fentiekben ismertetett számítások elvégzésére Maple programot dolgoztunk ki, amely adott kiinduló adatok mellett a hengerlési erőt és nyomatékot határozza meg merevnek feltételezett henger esetén. Az alakváltozás mértékének kezelése az alábbiak szerint történik. Az alakváltozás zónája elött a vizsgált anyagi pont kezdeti alakváltozással rendelkezik. Ez adott esetben zérus is lehet. Az anyagi pont deformációs zónába történő belépésekor a szakadófelülen való áthaladáskor az (1.17) egyenlettel meghatározott alakváltozás történik, amelyhez hozzáadódik az (1.12) egyenlettel meghatározott mennyiség. Így az alakváltozás mértéke, amit a vizsgált pont pályája mentén lehet meghatározni a következő összefüggéssel határozható meg. 2 y xy, ln 3 y x h (1.27) A kilépő kereszmetszetnél a sebességmezőnek nincs szakadása, emiatt nincs járulékos alakváltozás növekedés az anyagi pont áthaladásakor. 1.2. Lemezhengerlés feszültségi vizsgálata Az előző fejezetrészben elvégzett elemzés alapján meghatároztuk sik alakváltozási állapothoz tartozó egyszerűsített sebességmezőt, a henger és a lemez közötti relatív sebességet, valamint az alakváltozás mértékét. A vizsgálat során alapvető hipotézis volt, hogy a kezdeti állapotban tengelyre merőleges sík keresztmetszetek síkok maradnak az alakváltozás során.

LEMEZHENGERLÉS 6 Az átlagfeszültség módszerét használjuk a feszültségek meghatározására. Az előző fejezethez képest annnyi változás történik, hogy az 1.2 ábra x tengelyét használjuk a továbbiakban x jelöléssel.az alakváltozási zónában kijelölt dx szélességű testre ható erők egyensúlyát írjuk fel a tengely és a tengelyre merőleges tartományban, elhanyagolva a lemezvastagság mentén a nyírófeszültségeket (1.3 ábra). Mivel a súrlódó feszültség előjelet vált a semleges pontban, ezért külön egyenletek írják le az erők egyensúlyát az előresietés és a visszamaradás tartományában. A tengelyirányú erők egyensúlya a visszamaradás tartományában: Fx xxh xxh d xxh 2 dacos 2pdAsin (1.28) 1.3 ábra Lemezhengerlés elrendezési sémája a feszültségek számitásához A tengelyirányú erő egyensúly az előresietés tartományában: Fx xxh xxh d xxh 2 dacos 2pdAsin (1.29) Figyelembe véve, hogy da 1 dx / cos, az x irányú feszültségi egyenlet a visszamaradás (-) és az előresietés (+) tartományában d xxh 2 ptan dx (1.3) A probléma megoldásához szükség van még egy egyensúlyi egyenletre. Először a visszamaradás tartományában vizsgáljuk az erők egyensúlyát az alábbi egyenlet alapján. F pdacos dasin dacos y p tan yy Az előresietés tartományában vizsgálva az erők egyensúlyát, az alábbi összefüggés adódik F pdacos dasin dacos y p tan yy yy yy (1.31) (1.32)

LEMEZHENGERLÉS 7 A feszültségek (,,, ) nem függetlenek egymástól, ezért további összefüggések írhatók xx yy p fel közöttük.a henger és a lemez felületén ébredő csusztató feszültség különböző surlódási törvényszerűségek alkalmazásával határozható meg. Coulomb surlódás esetén Kudó surlódás esetén p (1.33) k f m (1.34) 3 Mivel sík alakváltozási állapotról van szó, és a koordináta tengelyek irányába mutató normális feszültségekről feltételezzük, hogy főfeszültségek, ezért a folyási feltétel alkalmazásával még egy egyenlet írható fel. 2 2 1 3 xx yy kf yy xx kf (1.35) 3 3 A továbbiakban külön foglalkozunk a két súrlódási esettel. Először nézzük a Coulomb -féle surlódás esetét az előresietés tartományában. Az (1.3) egyenletbe helyettesítsük be az (1.32) és (1.33) és (1.35) egyenleteket. d dx 2 tan 2 d 2 3 1 tan dx 3 h k h k C xx xx f xx xx f 1 A fenti egyenlet átrendezése után egy elsőrendű lineáris differenciál egyenletet kapunk. (1.36) dxx 1 2 C1 dxx xx tan C1 k f, xx f1 x f2 x (1.37) dx h 3 h dx A Kudo-féle surlódás esetén is vizsgáljuk az előresíetés tartományában. Ehhez felhasználjuk az (1.3), (1.32), (1.34) és (1.35)egyenleteket. d 2 kf kf xxh 2 xx k f m tan m dx 3 3 3 Az átrendezés után a következő elsőrendű lineáris differenciál egyenlet adódik. (1.38) dxx tan 1 2 dxx xx k f tan 2 m, xxg1 x g2x (1.39) dx h h 3 dx Az m és surlódási tényezők relatív sebességfüggő alkalmazásakor az alakváltozás zónájában nem kell külön az előresietés és a hátramaradás tartományban a differenciál egyenletet megoldani, mivel a relatív sebesség előjel váltása a surlódó feszültség előjel váltását is bíztosítja. 2 dv 2 dv mm arctan, arctan C C (1.4) A számítások során az anyag keményedését figyelembe vettük, ehhez az (1.26) egyenlettel megadott alakváltozást használtuk. Az (1.37) és az (1.39) egyenletek numerikus megoldása során figyelembe vettük a peremfeltételeket, ami szerint az 1. xx x xx 1, x xx xl d A peremfeltételek teljesülése esetén kiadódik a neutrális keresztmetszet helye x n. Ennek ismeretében kiszámitható a p nyomás és a surlódó feszültség. A nyomás és a súrlódó feszültség eloszlás ismeretében a hengerlés erő és nyomatékigénye egységnyi szélességű lemezre vonatkoztatva az alábbi egyenletekkel határozható meg.

LEMEZHENGERLÉS 8 l l l l d d d d cos sin F p dx dx pdx tan dx cos cos (1.41) 2 2 2 dx M R d R cos l d (1.42) A hengerlési erő hatására a rugalmas henger változtatja méretét és egyszerűsített feltételezés szerint egy megváltozott méretű, de szintén kör alakű henger jön létre, amelynek Rsugara a következő egyenlettel határozható meg: 2 16 1 F R R 1 E bh (1.43) ahol F-hengerési erő, E-rugalmassági modulusz,v-poisson szám, b-lemezszélesség, h - magasságcsökkenés. Az első számítás után a következő számítást a modosított hengersugárral végeztük el, majd ezt a folyamatot addig ismételtük, amig az egymást követő lépéseknél az erőváltozás egy megadott korláton belül esett. Az anyag a TÁMOP-4.2.1.B-1/2/KONV-21-1 projekt keretében készült.

LEMEZHENGERLÉS 9 Mellékletek 1. Az 1.1 ponthoz tartozó Maple program restart;with(curvefitting): with(plots): fajlagos_teljesitmenyek:=proc(r,h,h1,y,vh,xn,ld,m,c1,x,eps_,sig_,sig_1) local xv,xv_n,h_v,exx,eyy,y,dh,cos_alf_n,h_n,q,f,vy_h,v_k,eps_h1,dv h,d_eps_h,ep s_h,m; global vx,vy,exy,eps,ep,dv_,v,cos_alf,w_belso,w_szak,p,p1,p2,n,munka,d_eps,v1,kf,kf_szak,w_sur,kf_k,dv,h,wk,wk1; P:=128: P1:=234: P2:=1: f:=p+p1*(1-exp(-p2*(s+eps_))):#f:=p+p1*s^n: munka:=int(f,s=..s): xv:=ld-x;dh:=h-h1:xv_n:=ld-xn: h_n:=h1+(1-sqrt(r^2-xv_n^2)/r)*2*r; cos_alf_n:=1-(h_n-h1)/(2*r): cos_alf:=1-(h-h1)/(2*r): v1:=vh*cos_alf_n*h_n/h1:v:=v1*h1/h: h:=h1+(1-sqrt(r^2-xv^2)/r)*2*r: h_v:=diff(h,x): y:=h/h*y: vx:=h1*v1/h: vy:=h1*v1/h^2*h_v*y: vy_h:=subs(y=h/2,vy): v_k:=sqrt(vy_h^2+vx^2): dv:=v_k-vh: exx:=diff(vx,x): eyy:=-exx: exy:=1/2*diff(vy,x): dv_:=abs(subs(x=,vy)): d_eps:=abs(dv_/v)/sqrt(3): ep:=2/sqrt(3)*sqrt(exx^2+exy^2): eps:=2/sqrt(3)*ln(y/y)+d_eps: eps_h1:=subs(y=h/2,2/sqrt(3)*ln(y/y)): dv h:=abs(subs(x=,vy_h)): d_eps_h:=abs(dv_/v)/sqrt(3): eps_h:=eps_h1+dv h: kf_k:=subs(s=eps_h,f): kf:=subs(s=eps,f):#p+p1*(1-exp(-p2*eps)): w_belso:=kf*ep: kf_szak:=subs(s=d_eps,munka/d_eps): m:=m*2/pi*arctan(dv/c1): w_szak:=kf_szak/sqrt(3)*dv_: w_sur:=subs(y=h/2,m*kf_k/sqrt(3)*dv/cos_alf): Wk:=sig_*h*v: Wk1:=sig_1*h1*v1: end proc: SZAMITASOK B:=1:mm:=.1:R_heng:=15:h_:=.9:h_1:=.75:v_heng:=1:d_h:=h_- h_1:l_d:=sqrt(r_heng*d_h+(d_h/2)^2);ns:=2:c1:=v_heng/1: for i from 1 by 1 to ns do par:=(1/ns)*i: x_n:=par*l_d:xn(i):=x_n: fajlagos_teljesitmenyek(r_heng,h_,h_1,y_,v_heng,x_n,l_d,mm,c1,x,,,):

LEMEZHENGERLÉS 1 W_szak:=2*B*evalf(Int(w_szak,y_=..h_/2)):W_belso:=2*B*evalf(Int(h/h_*w_be lso,y_=..h_/2,x=..l_d,method = _Gquad)):W_sur:=2*B*evalf(Int(w_sur,x=..l_d,method = _Gquad)): WW(i):=W_szak+W_belso+W_sur+Wk-Wk1; end do: W_m:=min(WW(1),WW(2),WW(3),WW(4),WW(5),WW(6),WW(7),WW(8),WW(9),WW(1),WW(11), WW(12),WW(13),WW(14),WW(15),WW(16),WW(17),WW(18),WW(19),WW(2)); for i from 1 by 1 to ns do #print(i_=i,xn_=xn(i),ww_=ww(i)/w_m): if (WW(i)/W_m)=1 then a:=i end if: end do: print(min_i=a,par_=par*1/ns*a);force:=w_m*r_heng/(l_d*v_heng); Torque:=W_m*R_heng/v_heng; 2.Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program merev henger esetén restart; with(linalg): with(plots): with(detools): Függvénykönyvtárak betöltése flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q,qn; dv:=vhh*(qn*tn/t-q): q:=1-(t-tk)/(2*rr):qn:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: # INPUT t_ki:=.75: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_be:=.9: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: C:=vh/2: vh:=1: # hengersebesség [mm/sec]: R:=15: # hengersugár [mm]: m:=.5: # friction factor sigh_be:=: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_ki:=: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás eps:=.1:

LEMEZHENGERLÉS 11 ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if; #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do: print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): i_ 14, tn_.775872827, ff_.81889539999428 xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*rt_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot(

LEMEZHENGERLÉS 12 p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf,x=..xb,thickness=1,color=black, legend=["kf"])}); ero és nyomaték szamitas patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):print(xb_=xb,"mm"); xb_ 4.742823526, "mm" M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad)):Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)): S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))-1:F:=Fb+Ft: Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)): print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain);

LEMEZHENGERLÉS 13 Slip_.3447852, Force_ 3181.485, "MPa/mm", Torgue_ 14.1496954, "Nm/mm", Strain_.215267998 3.Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program rugalmas henger esetén restart; with(plots): with(detools): Függvénykönyvtárak betöltése Függvénykönyvtárak betöltése flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q_,qn_; dv:=vhh*(qn_*tn/t-q_): q_:=1-(t-tk)/(2*rr):qn_:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: szamolas:=proc(t_ki,t_be,vh,r,m,sigh_be,sigh_ki,c,eps_,c1,c2,n ) local eps,ff,t1,t2,xn,xb,q,q1,i,t,m,ab1,phi,kf,de,perem_be,perem_ki,si gma_be_plot,p,tau,sigma_ki_szam,sigma1_be,ss,x:global tn: eps:=.1: ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: m:=-2*m/pi*arctan(vh*((1-1/2*(tn-t_ki)/r)*tn/t-1+1/2*(tt_ki)/r)/c): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=c1*(1+c2*(phi+eps_))^n: Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): DE:=diff(sigma(x),x)+Ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if;

LEMEZHENGERLÉS 14 #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do: #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): end proc: t_ki:=.82: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_be:=.958: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: vh:=1: C:=vh/2: # hengersebesség [mm/sec]: R:=125: # hengersugár [mm]: m:=.51: # friction factor sigh_be:=: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_ki:=: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás C1:=15:C2:=234:n:=.251:# kf gorbe adatok E:=2: nu:=.3: R1:=R:R2:=2*R: dh:=t_be-t_ki: fff:=1:epss:=.5: for k from 1 by 1 while fff epss do R:=(R1+R2)/2: # print(r_=evalf(r),k_=k); qq:=szamolas(t_ki,t_be,vh,r,m,sigh_be,sigh_ki,c,eps_,c1,c2,n) ; xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=-2*m/pi*arctan(vh*((1-1/2*(tn-t_ki)/r)*tn/t-1+1/2*(tt_ki)/r)/c):phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=c1*(1+c2*(phi+e ps_))^n: Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf,x=..xb,thickness=1,color=black, legend=["kf"])}); patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad));Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method

LEMEZHENGERLÉS 15 =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)):S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))- 1:F:=Fb+Ft:Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)): #print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain): Ff:=evalf(1/16*Pi*E*dh*(R-R)/R/(-1+nu^2)):#print(R_=R,Rv_=R): if Ff<=F then R1:=R: else R2:=R end if; print(k_=k); fff:=abs(f-ff):#print(fff_=fff,rv_=evalf(r),f_=f,ff_=ff); end do: print(slip_=s, Force_=F,"MPa/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain); print(r_=r,rv_=evalf(r)); display({odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]),plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]),plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]),plot(1*phi,x=..xb,thickness=1,color=blue, legend=["1*strain"]),plot(kf/sqrt(3),x=..xb,thickness=1,colo r=black, legend=["tau_f"])}); k_ 1 k_ 2 k_ 3 k_ 4 k_ 5 k_ 6 k_ 7 k_ 8 k_ 9 k_ 1 k_ 11 k_ 12 k_ 13 Slip_.2851244, Force_ 368.47474, "MPa/mm", Torgue_ 16.948518, "Nm/mm", Strain_.17966914 R_ 125, Rv_ 189.473486

LEMEZHENGERLÉS 16 4.Az 1.2 ponthoz tartozó Maple program többlépéses hengerlés esetén (merev henger) restart;with(plots):with(detools): flow_stress:=proc(eps,eps) local C1,C2,n: C1:=15:C2:=234:n:=.251: C1*(1+C2*(eps+eps))^n end proc: friction_factor:=proc(mm,t,tn,tk,rr,cc,vhh) local dv,q,qn; dv:=vhh*(qn*tn/t-q): q:=1-(t-tk)/(2*rr):qn:=1-(tn-tk)/(2*rr): -mm*2/pi*arctan(dv/cc): end proc: t_k:=[.75,.6,.5]: # lemezvastagsag kilepesnel [mm]: t_b:=[.9,.75,.6]: # lemezvastagsag belepesnel [mm]: C_:=[v_h[1]/2,v_h[2]/2,v_h[3]/2]: v_h:=[1,1,1]: # hengersebesség [mm/sec]: R_h:=[15,15,15]: # hengersugár [mm]:

LEMEZHENGERLÉS 17 m_:=[.5,.5,.5]: # friction factor sigh_b:=[1,1,1]: # elofeszites belepesnel [MPa] sigh_k:=[5,5,5]: # elofeszites kilepesnel [MPa] eps_:=: # kezdeti alakváltozás B_:=[5,5,5]: # szélesség [mm] for j from 1 by 1 to nops(t_k) do t_ki:=t_k[j]:t_be:=t_b[j]:c:=c_[j]:vh:=v_h[j]:c:=c_[j]:r:=r_h[j] :m:=m_[j]:sigh_be:=sigh_b[j]:sigh_ki:=sigh_k[j]:b:=b_[j]: eps:=.1: ff:=1: t1:=t_ki: t2:=t_be: for i from 1 by 1 while ff eps do tn:=(t1+t2)/2: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be: perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plot-m*kf/sqrt(3)*q1: tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb): ss:=sigma1_be(.): sigma_ki_szam:=op(2,op(2,ss)): if sigma_ki_szam<=sigh_ki then t1:=tn: else t2:=tn end if; #print (i_=i,tn_=tn,ff_=ff): ff:=abs(sigh_ki-sigma_ki_szam): end do:#i: xb:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*t_be+4*t_be*r-t_be^2)^(1/2): xn:=1/2*(-t_ki^2-4*t_ki*r+2*t_ki*tn+4*tn*r-tn^2)^(1/2): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3): q:=1-(t-t_ki+.1)/(2*r):q1:=sqrt(1-q^2)/q: t:=t_ki+(1-sqrt(r^2-x^2)/r)*2*r: m:=friction_factor(m,t,tn,t_ki,r,c,vh): Ab1:=4/sqrt(3)*kf*q1: Ab(x):=Ab1-2*m*kf/sqrt(3)*(q1^2+1): phi:=2*ln(.1+(t_be/t))/sqrt(3):kf:=flow_stress(phi,eps_): DE :=diff(sigma(x),x)+ab(x)/t: perem_be:=sigma(xb)=sigh_be:perem_ki:=sigma()=sigh_ki: sigma_be_plot:=op(2,op(2,dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb,output=piecewise))): p:=2/sqrt(3)*kf-sigma_be_plotm*kf/sqrt(3)*q1:tau:=m*kf/sqrt(3): sigma1_be:=dsolve({de, perem_be}, numeric, range=..xb):

LEMEZHENGERLÉS 18 sigma1_plot j :=odeplot(sigma1_be,thickness=2,legend=["sigma1"]): p_plot j :=plot( p,x=..xb,thickness=4,color=green, legend=["pressure"]): tau_plot j :=plot(tau,x=..xb,thickness=4,color=blue, legend=["tau"]): patl:=evalf(int(p,x=..xb,method =_Gquad))/(xb):print(j_=j,xb_=xb,xn_=xn, "mm"); M1:=2*R*evalf(Int(tau/q,x=..xb,method =_Gquad)):Fb:=evalf(Int(p,x=..xb,method =_Gquad)):Ft:=evalf(Int(tau*q1,x=..xb,method =_Gquad)): S:=tn/t_ki*(1-(tn-t_ki)/(2*R))-1:F:=Fb+Ft: Strain:=evalf(2/sqrt(3)*ln(t_be/t_ki)):eps_:=eps_+Strain: print(slip_=s, Force_=F,"N/mm", Torgue_=M1/1,"Nm/mm",Strain_=Strain,Total_Strain_=eps_);prin t(force_=f*b/1,"kn", TORGUE_=M1*B/1,"Nm"); end do:#j: j_ 1, xb_ 4.742823526, xn_ 1.882637644, "mm" Slip_.314251, Force_ 2797.579799, "N/mm", Torgue_ 19.938115, "Nm/mm", Strain_.215267998, Total_Strain_.215267998 FORCE_ 139.87899, "KN", TORGUE_ 996.9575, "Nm" j_ 2, xb_ 4.742823526, xn_ 1.986967154, "mm" Slip_.43777432, Force_ 4194.433279, "N/mm", Torgue_ 25.787424, "Nm/mm", Strain_.2576639788, Total_Strain_.468197786 FORCE_ 29.721664, "KN", TORGUE_ 1285.43712, "Nm" j_ 3, xb_ 3.87266584, xn_ 1.73294634, "mm" Slip_.38617114, Force_ 3894.78219, "N/mm", Torgue_ 2.271918, "Nm/mm", Strain_.215267998, Total_Strain_.6787175784 FORCE_ 194.739195, "KN", TORGUE_ 11.355459, "Nm" print("1.szúrás");display({sigma1_plot1,p_plot1,tau_plot1}); print("2.szúrás");display({sigma1_plot2,p_plot2,tau_plot2}); print("3.szúrás");display({sigma1_plot3,p_plot3,tau_plot3}); "1.szúrás"

LEMEZHENGERLÉS 19 "2.szúrás"

LEMEZHENGERLÉS 2 "3.szúrás"

LEMEZHENGERLÉS 21