1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük. (A H halmaz a üggvény értelmezési tartománya, a K halmaz a üggvény képhalmaza.) Megjegyzés: A enti típusú hozzárendeléseket egyértelmű hozzárendeléseknek nevezzük. Példa: a) b) c) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. d) e) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. (Különböző elemekhez ugyanaz az elem is rendelhető.) Ez a hozzárendelés nem üggvény, mert a H halmaz egyik eleméhez két elemet is rendelt a K halmazból. (Egy elemhez csak egy elem rendelhető.) Ez a hozzárendelés üggvény, mert a H halmaz minden eleméhez hozzárendelte a K halmaz egy-egy elemét. (A két halmaz elemszáma megegyezhet.) Ez a hozzárendelés nem üggvény, mert a H halmaznak van olyan eleme, amelyhez nem rendeltünk elemet a K halmazból. (Minden elemhez kell rendelni.) Deiníció: A üggvény lehetséges változóinak halmazát a üggvény értelmezési tartományának nevezzük. (Jele: ÉT; D.) A üggvényértékek halmazát a üggvény értékkészletének nevezzük. (Jele: ÉK; R.) Megjegyzés: A enti a) példában H {a; b; c; d} halmaz a üggvény értelmezési tartománya, a K {A; B; C; D; E; F} halmaz a üggvény képhalmaza és az {A; B; D; F} halmaz a üggvény értékkészlete. A továbbiakban olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok egy-egy részhalmaza. Deiníció: Azt az egyértelmű hozzárendelést, amelyekben a képhalmaz minden eleme ellép képelemként és a hozzárendelés különböző elemekhez különböző elemeket rendel, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. (Az ilyen hozzárendelés visszaelé is üggvény. Ilyet szemléltet az előző példa d) része.) 1
Függvények pontos megadásánál megadjuk: - az értelmezési tartományát; - a képhalmazát; - a hozzárendelési szabályát. 1. Függvények megadása Megjegyzés: A üggvények hozzárendelési szabálya több módon is megadható: - képlettel (ormulával); - utasítással; - táblázattal; - graikonnal vagy valamilyen ábrával. Példa: : RR, 1, vagy : RR, ( ) 1. Deiníció: Az üggvény által -hez rendelt -szel jelölt értéket az -hez tartozó üggvényértéknek, vagy helyettesítési értéknek nevezzük. Példa: a) Számítsuk ki az előző üggvény esetén az ( 3) 31 7. 1 b) Határozzuk meg az ( ) üggvény értelmezési tartományát! 1 Mivel 1 0, azaz 1, ezért a üggvény értelmezési tartománya: 3-hoz tartozó helyettesítési értéket! R\{-1; 1}. 1.3 A üggvények szemléltetése A üggvényeket általában síkbeli Descartes-éle (derékszögű) koordináta-rendszerben szemléltetjük. Az ábrázolt pontok összességét a üggvény görbéjének vagy képének, graikonjának nevezzük. Megjegyzés: Függvényeket szemléltethetünk még nyíldiagrammal vagy Venn-diagrammal. (Ilyen megadás látható az első példa ábráinál.)
. Függvények jellemzése Deiníció: Az üggvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazon értékeit, amelyeknél ( ) 0. Megjegyzés: A üggvény ezeken a helyeken metszi vagy érinti az tengelyt. Példa: Az ( ) 4 ügvény zérushelyei leolvashatóak a graikonjáról: 1 0 és 4. Ha nem olvasható le közvetlenül, akkor az ( ) 0 egyenletet kell megoldani, pl. az 3 ( ) 1 üggvény zérushelye: 3 1 0 / 3 0 / 3 3 / : 3 Deiníció: Az üggvénynek minimuma (ill. maimuma) van a változó 0 értékénél, ha az ott elvett 0 üggvényértékeknél a üggvény sehol sem vesz el kisebb (ill. nagyobb) értékéket. A szóban orgó értékeket (abszolút) szélsőértékeknek nevezzük. Példa: Az előző példában szereplő másodokú üggvény szélsőértékei: - minimum hely: ; - minimum érték: y 4 ; - maimum hely és érték: nincs. Deiníció: Az üggvénynek lokális minimuma (ill. lokális maimuma) van a változó 0 értékénél, ha 0 -nak van olyan környezete, hogy ebben 0 minimum (ill. maimum) lesz. 3
3 3 üggvényt! Példa: Vizsgáljuk szélsőérték szempontjából az A üggvénynek nincs (abszolút) szélsőértéke. Beszélhetünk azonban lokális szélsőértékekről az 1 (lokális maimum) és 1 (lokális minimum) helyeken. Deiníció: Az üggvényt alulról korlátosnak (ill. elülről korlátosnak) nevezzük, ha van olyan k (ill. (ill. ). Megjegyzés: K) valós szám, hogy k K - Egy üggvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és elülről is korlátos. - A korlátok nem eltétlenül szerepelnek a üggvényértékek között, azaz ha egy üggvény korlátos, még nem biztos, hogy szélsőértékei is vannak. Példa: Vizsgáljuk korlátosság szempontjából az 1 üggvényt! A üggvény alulról korlátos, de elülről nem. (Pontos) alsó korlátja a 0. (A deiníció szerint nyilvánvaló, hogy minden 0-nál kisebb szám is alsó korlát lesz.) 4
Deiníció: Ha az üggvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely értékeinél a megelelő üggvényértékekre ennáll, hogy ( 1 ) ( ), akkor ott a üggvény monoton csökkenő, ha ) ( ), akkor ott a üggvény monoton növekvő. ( 1 1 Megjegyzés: Ha egyenlőséget nem engedünk meg, akkor szigorúan monoton csökkenő, illetve szigorúan monoton növekvő üggvényről beszélünk. Példa: Az ábrán látható ( ) üggvény menete: - monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans) a (-; -] intervallumon; - szigorúan monoton növekvő a [-; ] intervallumon; - monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans) a [; ) intervallumon. Ha azonban a (-; ) intervallumon vizsgáljuk, akkor a üggvény monoton növekvő. Deiníció: Az üggvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p 0 szám, hogy a üggvény értelmezési tartományának minden elemére p is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( p). A legkisebb ilyen p számot (ha létezik ilyen) a üggvény periódusának nevezzük. Példa: Az ( ) { } törtrész üggvény periodikus, periódusa p 1. Megjegyzés: Periodikus üggvény szemléletes jelentése: a üggvény graikonjának p hosszúságú szakasza ismétlődik. Nem minden periodikus üggvénynek van legkisebb pozitív periódusa. Pl. az ( ) c konstans üggvény periodikus, de nincs legkisebb pozitív periódusa. 5
Deiníció: Az üggvényt párosnak nevezzük, ha a üggvény értelmezési tartományának minden elemére - is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( ). Deiníció: Az üggvényt páratlannak nevezzük, ha a üggvény értelmezési tartományának minden elemére - is az értelmezési tartományhoz tartozik és ( ) ( ). Megjegyzés: Páros üggvény képe az y tengelyre, páratlan üggvény képe az origóra szimmetrikus. Van olyan üggvény, amely egyszerre tekinthető párosnak és páratlannak is. Ilyen pl. az ( ) 0 konstans üggvény. g( ) Példa: a) Az ( ) és az üggvények paritása közvetlenül az ábráról leolvasható: az első üggvény páros, a második páratlan. 3 b) Ha nem olvasható le közvetlenül, akkor helyére --et írva vizsgáljuk az ( ) ( ) és az ( ) ( ) egyenlőségeket. Pl. az ( ) üggvény esetében: 1 ( ), azaz ( ) ( ), tehát a üggvény nem páros; 1 1 ( ) 1, azaz ( ) ( ), tehát a üggvény páratlan. 1 3. Nevezetesebb üggvénytípusok 3.1 Konstans üggvény Deiníció: Az : RR, c (c konstans) üggvényt konstansüggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A konstans üggvény képe az tengellyel párhuzamos egyenes. Az ( ) 0 konstans üggvény zérushelye a valós számok halmaza, paritás szempontjából pedig tekinthető páros és páratlan üggvénynek is. 6
Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: maimum és minimum hely: R, maimum és minimum érték: y c, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó és első korlátja: c, - Menete: monoton növekvő és monoton csökkenő (konstans), - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, de nincs legkisebb pozitív periódusa, - Értékkészlete: y c. 3. Elsőokú üggvény Deiníció: Az : RR, ( ) a b ( a 0) üggvényt elsőokú üggvénynek nevezzük. (A legegyszerűbb elsőokú üggvény az ( ) üggvény.) Megjegyzés: Az elsőokú üggvény képe egyenes. Azokat az elsőokú üggvényeket, amelyeknél b=0, egyenes arányosságnak nevezzük. Képe az origón áthaladó egyenes. Mind a konstans, mind az elsőokú üggvényeket lineáris üggvényeknek nevezzük. 7
Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: b a, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 0, szigorúan monoton csökkenő, ha, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R. a 0 Deiníció: Az : RR, ( ) a b c ( 3.3 Másodokú üggvény legegyszerűbb másodokú üggvény az a 0) üggvényt másodokú üggvénynek nevezzük. (A ( ) üggvény.) Megjegyzés: A másodokú üggvény képe parabola. Ábrázolás előtt célszerű teljes négyzetté alakítani. Pl. ( ) 4 1, vagy g( ) 4 5 3,5 1 1,5 1 3. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: 0, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0]-ban, szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y 0. 8
Megjegyzés: Az előzőek mintájára harmad-, negyed, magasabbokú üggvényeket is bevezethetnénk. Összeoglaló néven ezeket polinomüggvényeknek nevezzük. üggvényeket hatványüggvényeknek ne- A polinomüggvények közül az vezzük., 3,, Velük nem oglalkozunk, mindössze két példát említünk meg, az üggvényeket: n 3 és 4 3.4 Abszolútérték üggvény Deiníció: Az : RR, ( ) üggvényt abszolútérték üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: Az abszolútérték üggvény képe töröttvonal. A törés a belső üggvény előjelváltásánál lesz. A hozzárendelési szabálya intervallumonként is megadható:, ha 0, ( ), ha 0. 9
Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely:, - Szélsőérték: minimum hely:, minimum érték:, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0]-ban, szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y 0. 0 0 y 0 3.5 Négyzetgyök üggvény Deiníció: Az : R Jellemzése: ( ) üggvényt négyzetgyök üggvénynek nevezzük. 0 R, - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: 0, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton növekvő [0; )-ban, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y 0. 0 10
Megjegyzés: A négyzetgyök üggvény képe élparabola. Az : R egyenletű egyenesre vo- üggvények egymásnak inverzei. Képük az natkozóan egymásnak tükörképei. g( ) 0 R, y ( ) és a g: R 0 R, Megjegyzés: Az előzőek mintájára bevezethetjük az n-edik gyöküggvényeket is az hozzárendelési szabállyal. Ezek értelmezési tartománya páros gyökkitevő esetén a nemnegatív számok halmaza, páratlan gyökkitevő esetén a valós számok halmaza. n Ha az hatványüggvényt csak azon az intervallumon tekintjük, amelyen monoton növekedő, akkor ennek inverze az üggvény. n Velük nem oglalkozunk, mindössze két példát említünk meg, az 3 és 4 üggvényeket: n 3.6 Elsőokú törtüggvény d a b Deiníció: Az : R\ R, ) c c d ( c, ad bc nevezzük. (A legegyszerűbb elsőokú törtüggvény az 0 üggvényt elsőokú törtüggvénynek 1 ( ) üggvény.) 11
Megjegyzés: Az elsőokú törtüggvény képe hiperbola. Az elsőokú törtüggvények nevezőjében elsőokú kiejezés, számlálójában vagy elsőokú kiejezés, vagy konstans áll. Az 1 ( ) elsőokú törtüggvényt, illetve ennek c 0 konstansszorosát ordított arányosságnak nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R\{0}, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton csökkenő (-; 0)-ban és (0; )-ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R\{0}. 3.6 Egészrész üggvény Deiníció: Az valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb, vagy egyenlő - nél. Jele: []. Deiníció: Az : RR, ( ) [ ] üggvényt egészrész üggvénynek nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: [0; 1), - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: monoton növekvő, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, 1
helyeken olytonos (az egész szá- - Folytonosság: csak az egész számoktól különböző mokban jobbról olytonos), - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y Z. 0 Megjegyzés: Az egészrész üggvény képe egyik végpontjukat tartalmazó vízszintes egyenesszakaszokból áll, un. lépcsős elrendezésű. 3.7 Törtrész üggvény Deiníció: Az valós szám törtrésze az [] szám. Jele: {}. Deiníció: Az : RR, ( ) { } üggvényt törtrész üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A deinícióból következik, hogy valós számra: [ ] { }. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: Z, - Szélsőérték: minimum hely: Z, minimum érték: y 0, maimuma nincs, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a 0, első korlátja az 1, a; a 1 -ban, ahol az, - Menete: szigorúan monoton növekvő 13
helyeken olytonos (az egész szá- - Paritás: se nem páros, se nem páratlan üggvény, - Folytonosság: csak az egész számoktól különböző mokban jobbról olytonos), - Periodikusság: periodikus, periódusa: 1, - Értékkészlete: y [0; 1). 0 3.8 Szignum üggvény Deiníció: Az : RR, -1, ha 0, ( ) 0, ha 0, üggvényt szignum üggvénynek nevezzük. Jele: 1, ha 0. sgn. Megjegyzés: A szignum üggvény képe egy pontból és két élegyenesből áll, melyek végpontjai nem tartoznak a üggvény képéhez. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: 0, - Szélsőérték: minimum hely: (-; 0), minimum érték: y 1, maimum hely: (0; ), maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: monoton növekvő, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az 0 0 pont kivételével az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y {-1; 0; 1}. 14
3.9 Sinusüggvény Megjegyzés: Trigonometrikus üggvények ábrázolásánál az változó valós szám, a szögeket az tengelyre radiánokban mérjük el. Deiníció: Az : RR, sin üggvényt sinusüggvénynek nevezzük. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: minimum hely: k, minimum érték: y 1, maimum hely: k, maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: 3 szigorúan monoton csökkenő k; k -ban, szigorúan monoton növekvő k; k -ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, y 1;1. - Értékkészlete: k Z, k Z, k Z, 3.10 Cosinusüggvény Deiníció: Az : RR, cos üggvényt cosinusüggvénynek nevezzük. 15
Megjegyzés: A sinusüggvény képéből a v ; 0 vektorral történő eltolással megkapjuk a cosinus- üggvény képét, azaz ennáll a következő összeüggés: sin cos, illetve cos sin. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: minimum hely: k, minimum érték: y 1, maimum hely: k, maimum érték: y 1, - Korlátosság: korlátos üggvény, alsó korlátja a -1, első korlátja az 1, - Menete: szigorúan monoton csökkenő k ; k-ban, szigorúan monoton növekvő k; k-ban, - Paritás: páros üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, y 1;1. - Értékkészlete: k Z, k Z, k Z, 3.11 Tangensüggvény Deiníció: Az : R\ k, k Z R, tg üggvényt tangensüggvénynek nevezzük. Megjegyzés: A tangensüggvény nem értelmezett a k, k Z értékeknél. 16
Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R\ k, k Z, - Zérushely:, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő k; k -ban, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, - Értékkészlete: k y R. k Z, k Z, Deiníció: Az : R\ k Z 3.1 Cotangensüggvény k, R, ctg Megjegyzés: A cotangensüggvény nem értelmezett a Jellemzése: üggvényt cotangensüggvénynek nevezzük. k, k Z értékeknél. - Értelmezési tartomány: R\k, k Z, - Zérushely: k, k Z, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton csökkenő k ; k-ban, k Z, - Paritás: páratlan üggvény, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: periodikus, periódusa:, - Értékkészlete: y R. 17
3.13 Eponenciális üggvény Deiníció: Az : R R, () = a (a > 0 és a 1) üggvényt a alapú eponenciális üggvénynek nevezzük. Megjegyzés: Ha a = 1, akkor az () = 1 üggvényt konstans üggvénynek tekintjük. Mivel a = ( 1 a ), ezért az a alapú eponenciális üggvény és az 1 alapú eponenciális a üggvény graikonja az y tengelyre vonatkozólag egymásnak tükörképei. Jellemzése: - Értelmezési tartomány: R, - Zérushely: nincs, - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: első korlátja nincs, alsó korlátja: 0, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 1, szigorúan monoton csökkenő, ha 0 a 1, 18
- Paritás: se nem páros, se nem páratlan, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete:. y 0 3.14 Logaritmusüggvény Deiníció: Az : R + R, log Jellemzése: nevezzük. 1, ( a 0 és a 1) üggvényt a alapú logaritmusüggvénynek a - Értelmezési tartomány: R +, - Zérushely: - Szélsőérték: nincs, - Korlátosság: nem korlátos üggvény, - Menete: szigorúan monoton növekvő, ha a 1, szigorúan monoton csökkenő, ha, - Paritás: se nem páros, se nem páratlan, - Folytonosság: az értelmezési tartományának minden pontjában olytonos, - Periodikusság: nem periodikus, - Értékkészlete: y R. 0 a 1 a ( a 0 és a 1) a alapú eponenciális üggvény és a g: R + R, loga a és a 1) a alapú logaritmusüggvények egymásnak inverzei. Képük az y egyenletű egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Megjegyzés: Az : RR +, ( 0 19
4. Függvénytranszormációk Függvénytranszormációkkal egy-egy üggvénytípus alapüggvényéből, a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával ugyanolyan típusú üggvényeket állíthatunk elő. A változtatás kétéle módon történhet: - üggvényérték megváltoztatása, - változó megváltoztatása. Mindkét esetben a változtatás lehet: - konstans hozzáadása, - az előjel ellentetté változtatása, - pozitív konstanssal történő szorzás. Példa: Az ( ) üggvény (mint alapüggvény) néhány transzormációja: 1 változó transzormáció, érték transzormáció, 1 1 változó és érték transzormáció. 0
A üggvényérték transzormációi ( ) c A üggvény képe az y tengellyel párhuzamosan c egységgel eltolódik. A változó transzormációi ( c) A üggvény képe az tengellyel párhuzamosan c egységgel eltolódik. () A üggvény képe az tengelyre tükröződik. ( ) A üggvény képe az y tengelyre tükröződik. c () A üggvény képe az y tengellyel párhuzamosan nyúlik vagy zsugorodik c szeresére. ( c ) A üggvény képe az tengellyel párhuzamosan nyúlik vagy zsugorodik 1 c szeresére. Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az ( ) 3 4 ( ) üggvényt! Az alapüggvény képe kétszeresére megnyúlik az y tengely mentén, tükröződik az tengelyre, 3 egységet balra, 4 egységet elelé tolódik. 1 Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az ( ) 1 üggvényt! Ábrázolás előtt célszerű átalakítani a következő ormára: 1 1 ( ) 1. 1
( ) Az alapüggvény képe kétszeresére megnyúlik az tengely mentén, egységet jobbra, egységet leelé tolódik. Példa: Ábrázoljuk üggvénytranszormáció segítségével az 4 Ábrázolás előtt célszerű átalakítani a következő ormára: 4. Az alapüggvény képe az y tengelyre, egységet jobbra, egységet leelé tolódik. 1 üggvényt! -szeresére zsugorodik az tengely mentén, tükröződik