VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk meghtározás területszámítás segítségével, Pitgorsz-tétel összefüggésének megerősítés. A feldtsor áltl fejleszthető kompeteniák Tájékozódás téren + Ismeretek lklmzás + Tájékozódás z idően Prolémkezelés és -megoldás + Tájékozódás világ mennyiségi viszonyin + Alkotás és kretivitás + Tpsztltszerzés + Kommunikáió + Képzelet + Együttműködés Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A mtemtik épülésének elvei Ismerethordozók hsznált Felhsználási útmuttó Megkönnyíti feldolgozást, h z első feldthoz elkészítjük négyszögeket, és vlón felvágjuk ezeket, mjd kpott drokól kirkjuk tégllpokt. Az első feldt megmuttj, hogyn lehet területet meghtározni ismert területek elhgyásánk segítségével. A második feldtn megismert módszer segítségével szkszok hosszát htározzuk meg; tlán ez feldtsor legtnulságos része. Feltételezzük, hogy szemlélet lpján tnulók már elfogdták, hogy minden szkszhoz rendelhető egy hosszúságérték, mi nem feltétlenül rionális szám. Az összemérhetőség kérdését itt most nem tárgyljuk. A tnár döntése szerint zonn jól kpsolhtó feldtsor megoldásához z összemérhetőség és z irrionális viszony megeszélése, rionális számkör ővítésének tárgylás. A hrmdik feldtn mely Pitgorsz-tétel állításánk mintegy felfedezését, illetve megerősítését teszi lehetővé sem fogllkozunk zzl, hogy mely szkszok hossz lesz irrionális szám, megelégszünk két tizedesjegyig pontos értékek táláztól vló kikeresésével. A feldtsorhoz mellékeltünk egy négyzettáláztot. Een négyzetgyök foglmánk ismerete nélkül megtlálhtjuk nnk számnk közelítő értékét, melynek négyzete egy dott szám. A táláztn minden lpszám két, négyzete négy tizedesjegy pontossággl vn megdv, függvénytáláztokn szokásos módon. VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 1.oldl/7
PITI FELFEDEZÉSEK Feldt sor Az lái feldtokn négyzetráson dolgozunk. A feldtokn területegységnek négy szomszédos ráspont áltl meghtározott kis négyzet területét, hosszúságegységnek két szomszédos ráspont távolságát (vízszintesen vgy függőlegesen mérve) tekintjük. 1 1 ÖLELŐ KAROK 1. Htározzuk meg z lái négyzetek területének ngyságát! A terület meghtározásához vágjunk ki olyn tégllpot, melynek oldli rásvonlk mentén helyezkednek el, továá vizsgált négyzet súsi z oldlir esnek! A felesleges drok területét vonjuk ki ngy tégllp területéől, így megkpjuk négyzet területét! Az egyes négyzetek területéől számítsd ki z dott négyzet oldlánk hosszát feldtsorhoz mellékelt négyzettálázt segítségével két tizedesjegy pontossággl! ) ) ) d) VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések.oldl/7
NÉHA HASZNOS A FERDE ÚT.... Milyen hosszúk szkszok? (Az előző feldtn szereplő négyzetek segítséget dnk megoldáshoz!) ) ) ) d) K ÉTSÉGEK NÉLKÜL (EGYSÉGBEN AZ ERŐ) 3. Mennyi háromszögek oldlir rjzolt négyzetek területe, h négy szomszédos ráspont áltl meghtározott kis négyzet területét tekintjük egységnyinek? A) B) C) D) E) A B C D E Szögeik szerint milyenek háromszögek? Mit veszel észre táláztn? VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 3.oldl/7
1 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0001 0,0004 0,0009 0,0016 0,005 0,0036 0,0049 0,0064 0,0081 0,1 0,011 0,0144 0,0169 0,0196 0,05 0,056 0,089 0,034 0,0361 0, 0,0441 0,0484 0,059 0,0576 0,065 0,0676 0,079 0,0784 0,0841 0,3 0,0961 0,104 0,1089 0,1156 0,15 0,196 0,1369 0,1444 0,151 0,4 0,1681 0,1764 0,1849 0,1936 0,05 0,116 0,09 0,304 0,401 0,5 0,601 0,704 0,809 0,916 0,305 0,3136 0,349 0,3364 0,3481 0,6 0,371 0,3844 0,3969 0,4096 0,45 0,4356 0,4489 0,464 0,4761 0,7 0,5041 0,5184 0,539 0,5476 0,565 0,5776 0,599 0,6084 0,641 0,8 0,6561 0,674 0,6889 0,7056 0,75 0,7396 0,7569 0,7744 0,791 0,9 0,881 0,8464 0,8649 0,8836 0,905 0,916 0,9409 0,9604 0,9801 1,0 1,001 1,0404 1,0609 1,0816 1,105 1,136 1,1449 1,1664 1,1881 1,1 1,31 1,544 1,769 1,996 1,35 1,3456 1,3689 1,394 1,4161 1, 1,4641 1,4884 1,519 1,5376 1,565 1,5876 1,619 1,6384 1,6641 1,3 1,7161 1,744 1,7689 1,7956 1,85 1,8496 1,8769 1,9044 1,931 1,4 1,9881,0164,0449,0736,105,1316,1609,1904,01 1,5,801,3104,3409,3716,405,4336,4649,4964,581 1,6,591,644,6569,6896,75,7556,7889,84,8561 1,7,941,9584,999 3,076 3,065 3,0976 3,139 3,1684 3,041 1,8 3,761 3,314 3,3489 3,3856 3,45 3,4596 3,4969 3,5344 3,571 1,9 3,6481 3,6864 3,749 3,7636 3,805 3,8416 3,8809 3,904 3,9601,0 4,0401 4,0804 4,109 4,1616 4,05 4,436 4,849 4,364 4,3681,1 4,451 4,4944 4,5369 4,5796 4,65 4,6656 4,7089 4,754 4,7961, 4,8841 4,984 4,979 5,0176 5,065 5,1076 5,159 5,1984 5,441,3 5,3361 5,384 5,489 5,4756 5,55 5,5696 5,6169 5,6644 5,711,4 5,8081 5,8564 5,9049 5,9536 6,005 6,0516 6,1009 6,1504 6,001,5 6,3001 6,3504 6,4009 6,4516 6,505 6,5536 6,6049 6,6564 6,7081,6 6,811 6,8644 6,9169 6,9696 7,05 7,0756 7,189 7,184 7,361,7 7,3441 7,3984 7,459 7,5076 7,565 7,6176 7,679 7,784 7,7841,8 7,8961 7,954 8,0089 8,0656 8,15 8,1796 8,369 8,944 8,351,9 8,4681 8,564 8,5849 8,6436 8,705 8,7616 8,809 8,8804 8,9401 3,0 9,0601 9,104 9,1809 9,416 9,305 9,3636 9,449 9,4864 9,5481 3,1 9,671 9,7344 9,7969 9,8596 9,95 9,9856 10,0489 10,114 10,1761 3, 10,3041 10,3684 10,439 10,4976 10,565 10,676 10,699 10,7584 10,841 3,3 10,9561 11,04 11,0889 11,1556 11,5 11,896 11,3569 11,444 11,491 3,4 11,681 11,6964 11,7649 11,8336 11,905 11,9716 1,0409 1,1104 1,1801 3,5 1,301 1,3904 1,4609 1,5316 1,605 1,6736 1,7449 1,8164 1,8881 3,6 13,031 13,1044 13,1769 13,496 13,35 13,3956 13,4689 13,544 13,6161 3,7 13,7641 13,8384 13,919 13,9876 14,065 14,1376 14,19 14,884 14,3641 3,8 14,5161 14,594 14,6689 14,7456 14,85 14,8996 14,9769 15,0544 15,131 3,9 15,881 15,3664 15,4449 15,536 15,605 15,6816 15,7609 15,8404 15,901 4,0 16,0801 16,1604 16,409 16,316 16,405 16,4836 16,5649 16,6464 16,781 4,1 16,891 16,9744 17,0569 17,1396 17,5 17,3056 17,3889 17,474 17,5561 4, 17,741 17,8084 17,899 17,9776 18,065 18,1476 18,39 18,3184 18,4041 4,3 18,5761 18,664 18,7489 18,8356 18,95 19,0096 19,0969 19,1844 19,71 4,4 19,4481 19,5364 19,649 19,7136 19,805 19,8916 19,9809 0,0704 0,1601 4,5 0,3401 0,4304 0,509 0,6116 0,705 0,7936 0,8849 0,9764 1,0681 4,6 1,51 1,3444 1,4369 1,596 1,65 1,7156 1,8089 1,904 1,9961 4,7,1841,784,379,4676,565,6576,759,8484,9441 4,8 3,1361 3,34 3,389 3,456 3,55 3,6196 3,7169 3,8144 3,911 4,9 4,1081 4,064 4,3049 4,4036 4,505 4,6016 4,7009 4,8004 4,9001 VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 4.oldl/7
1 3 4 5 6 7 8 9 5,0 5,1001 5,004 5,3009 5,4016 5,505 5,6036 5,7049 5,8064 5,9081 5,1 6,111 6,144 6,3169 6,4196 6,55 6,656 6,789 6,834 6,9361 5, 7,1441 7,484 7,359 7,4576 7,565 7,6676 7,779 7,8784 7,9841 5,3 8,1961 8,304 8,4089 8,5156 8,65 8,796 8,8369 8,9444 9,051 5,4 9,681 9,3764 9,4849 9,5936 9,705 9,8116 9,909 30,0304 30,1401 5,5 30,3601 30,4704 30,5809 30,6916 30,805 30,9136 31,049 31,1364 31,481 5,6 31,471 31,5844 31,6969 31,8096 31,95 3,0356 3,1489 3,64 3,3761 5,7 3,6041 3,7184 3,839 3,9476 33,065 33,1776 33,99 33,4084 33,541 5,8 33,7561 33,874 33,9889 34,1056 34,5 34,3396 34,4569 34,5744 34,691 5,9 34,981 35,0464 35,1649 35,836 35,405 35,516 35,6409 35,7604 35,8801 6,0 36,101 36,404 36,3609 36,4816 36,605 36,736 36,8449 36,9664 37,0881 6,1 37,331 37,4544 37,5769 37,6996 37,85 37,9456 38,0689 38,194 38,3161 6, 38,5641 38,6884 38,819 38,9376 39,065 39,1876 39,319 39,4384 39,5641 6,3 39,8161 39,944 40,0689 40,1956 40,35 40,4496 40,5769 40,7044 40,831 6,4 41,0881 41,164 41,3449 41,4736 41,605 41,7316 41,8609 41,9904 4,101 6,5 4,3801 4,5104 4,6409 4,7716 4,905 43,0336 43,1649 43,964 43,481 6,6 43,691 43,844 43,9569 44,0896 44,5 44,3556 44,4889 44,64 44,7561 6,7 45,041 45,1584 45,99 45,476 45,565 45,6976 45,839 45,9684 46,1041 6,8 46,3761 46,514 46,6489 46,7856 46,95 47,0596 47,1969 47,3344 47,471 6,9 47,7481 47,8864 48,049 48,1636 48,305 48,4416 48,5809 48,704 48,8601 7,0 49,1401 49,804 49,409 49,5616 49,705 49,8436 49,9849 50,164 50,681 7,1 50,551 50,6944 50,8369 50,9796 51,15 51,656 51,4089 51,554 51,6961 7, 51,9841 5,184 5,79 5,4176 5,565 5,7076 5,859 5,9984 53,1441 7,3 53,4361 53,584 53,789 53,8756 54,05 54,1696 54,3169 54,4644 54,611 7,4 54,9081 55,0564 55,049 55,3536 55,505 55,6516 55,8009 55,9504 56,1001 7,5 56,4001 56,5504 56,7009 56,8516 57,005 57,1536 57,3049 57,4564 57,6081 7,6 57,911 58,0644 58,169 58,3696 58,55 58,6756 58,889 58,984 59,1361 7,7 59,4441 59,5984 59,759 59,9076 60,065 60,176 60,379 60,584 60,6841 7,8 60,9961 61,154 61,3089 61,4656 61,65 61,7796 61,9369 6,0944 6,51 7,9 6,5681 6,764 6,8849 63,0436 63,05 63,3616 63,509 63,6804 63,8401 8,0 64,1601 64,304 64,4809 64,6416 64,805 64,9636 65,149 65,864 65,4481 8,1 65,771 65,9344 66,0969 66,596 66,45 66,5856 66,7489 66,914 67,0761 8, 67,4041 67,5684 67,739 67,8976 68,065 68,76 68,399 68,5584 68,741 8,3 69,0561 69,4 69,3889 69,5556 69,75 69,8896 70,0569 70,44 70,391 8,4 70,781 70,8964 71,0649 71,336 71,405 71,5716 71,7409 71,9104 7,0801 8,5 7,401 7,5904 7,7609 7,9316 73,105 73,736 73,4449 73,6164 73,7881 8,6 74,131 74,3044 74,4769 74,6496 74,85 74,9956 75,1689 75,344 75,5161 8,7 75,8641 76,0384 76,19 76,3876 76,565 76,7376 76,919 77,0884 77,641 8,8 77,6161 77,794 77,9689 78,1456 78,35 78,4996 78,6769 78,8544 79,031 8,9 79,3881 79,5664 79,7449 79,936 80,105 80,816 80,4609 80,6404 80,801 9,0 81,1801 81,3604 81,5409 81,716 81,905 8,0836 8,649 8,4464 8,681 9,1 8,991 83,1744 83,3569 83,5396 83,75 83,9056 84,0889 84,74 84,4561 9, 84,841 85,0084 85,199 85,3776 85,565 85,7476 85,939 86,1184 86,3041 9,3 86,6761 86,864 87,0489 87,356 87,45 87,6096 87,7969 87,9844 88,171 9,4 88,5481 88,7364 88,949 89,1136 89,305 89,4916 89,6809 89,8704 90,0601 9,5 90,4401 90,6304 90,809 91,0116 91,05 91,3936 91,5849 91,7764 91,9681 9,6 9,351 9,5444 9,7369 9,996 93,15 93,3156 93,5089 93,704 93,8961 9,7 94,841 94,4784 94,679 94,8676 95,065 95,576 95,459 95,6484 95,8441 9,8 96,361 96,434 96,689 96,856 97,05 97,196 97,4169 97,6144 97,811 9,9 98,081 98,4064 98,6049 98,8036 99,005 99,016 99,4009 99,6004 99,8001 VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 5.oldl/7
1. MEGOLDÁSOK ) A vizsgált négyzet egy 6 6 egység oldlú négyzete fogllhtó ele, leeső drok 3 3 területe egyenként, összesen 18, tehát z dott négyzet területe 36 18 = 18, oldlánk hossz körülelül 4,4 egység. ) A vizsgált négyzet egy 6 6 egység oldlú négyzete fogllhtó ele, leeső drok 4 területe egyenként, összesen 16, tehát z dott négyzet területe 36 16 = 0 egység, oldlánk hossz körülelül 4,47 egység. ) A vizsgált négyzet egy 5 5 egység oldlú négyzete fogllhtó ele, leeső drok 3 területe egyenként, összesen 1, tehát kise négyzet területe 5 1 = 13 egység, oldlánk hossz körülelül 3,61 egység. d) A vizsgált négyzet egy 5 5 egység oldlú négyzete fogllhtó ele, leeső drok 4 1 területe egyenként, összesen 8, tehát z dott négyzet területe 5 8 = 17 egység, oldlánk hossz körülelül 4,1 egység. VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 6.oldl/7
. A szkszokól készítsünk olyn négyzeteket, melyek z 1. feldtn szerepeltek! d ) A vizsgált szkszól készített négyzet egy 3 3 egység oldlú négyzete fogllhtó 1 ele, leeső drok területe egyenként, összesen 4, tehát szkszól készített négyzet területe 9 4 = 5 egység, így z eredeti szksz hossz körülelül,4 egység. ) A vizsgált szkszól készített négyzet [zonos z 1. ) feldtn szereplő négyzettel] egy 5 5 egység oldlú négyzete fogllhtó ele, leeső drok területe egyenként 3, összesen 1, tehát szkszól készített négyzet területe 5 1 = 13 egység, így z eredeti szksz hossz körülelül 3,61 egység. ) A vizsgált szkszól készített négyzet egy 4 4 egység oldlú négyzete fogllhtó 1 3 ele, leeső drok területe egyenként, összesen 6, tehát szkszól készített négyzet területe 16 6 = 10 egység, így z eredeti szksz hossz körülelül 3,16 egység. d) A vizsgált szkszól készített négyzet egy 8 8 egység oldlú négyzete fogllhtó 4 4 ele, leeső drok területe egyenként, összesen 3, tehát szkszól készített négyzet területe 64 3 = 3 egység, így z eredeti szksz hossz körülelül 5,66 egység. 3. A B C D E 4 4 8 16 16 9 4 8 9 4 13 8 16 5 0 Mindegyik háromszög derékszögű. A efogók négyzetének összege egyenlő z átfogó négyzetével. VI. Síkgeometri VI.8. Piti felfedezések 7.oldl/7