II.4. A SZÁZHOLDAS PAGONY. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 II.4. A SZÁZHOLDAS PAGONY Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Kombintorik, kombinációk számánk meghtározás, z ezzel kpcsoltos ismeretek elmélyítése. Előzmények Cél Lehetőségek fáj, szorzási szbály. A gykorlti problémákbn felvetett kombintorikus kérdésekre megfelelő modell keresése; lépésről lépésre történő felismerés és képletlkotás, vlmint szövegértés és modelllkotás képességének fejlesztése. A feldtsor áltl fejleszthető kompetenciák Tájékozódás térben Ismeretek lklmzás + Tájékozódás z időben Problémkezelés és -megoldás + Tájékozódás világ mennyiségi viszonyibn Alkotás és kretivitás + Tpsztltszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A mtemtik épülésének elvei + Ismerethordozók hsznált Felhsználási útmuttó Célszerű kiscsoportokbn (3 4 fő) vgy párokbn feldolgozni feldtokt. Az első feldthoz szükség esetén djunk kezdőlökést részkérdésekkel vezessük rá diákokt rekurzív megközelítésre. (Például hányféleképpen lehet eljutni második sorbn lévő L-hez?), mjd miután z első feldtot többség megoldott, érdemes közös megbeszélést trtni. Ezek után minden csoport hldht sját tempójábn előre, mikor megoldottk egy feldtot, kpják következőt (ez kár feldtsor sokszorosításávl, mjd ppírok feldrbolásávl és z egyes részek folymtos kiosztásávl is megvlósíthtó). A 2. feldt továbbgondolhtó. További kérdésként feltehető, hogy mi vn z ellenkező helyzetben, zz mikor vn egy (esetleg két) olyn betű, melyre muszáj rálépnünk; továbbá két problém kombinációj is érdekes lehet, zz mikor vn olyn betű (hely), mire nem léphetünk, és vn olyn, mire muszáj rálépnünk. Az elején ngyon figyelni kell, hogy mindenhol beinduljon munk, továbbikbn pedig életben kell trtni folymtot, zz mindenkit ellátni feldttl. Nehéz tnári feldt, hogy csptot többé-kevésbé együtt trtsuk feldtsor megoldás során. Ez feldtsor rekurzív gondolkodásmód kilkítását is segíti. II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 1.oldl/6

2 A SZÁZHOLDAS PAGONY Feldt sor Micimckó és Mlck egy ngy odvs f ltt ücsörgött Százholds Pgonybn. Micimckó nevüket írt le homokb. De nem csk úgy egyszerűen, hnem következőképpen: M A L A C M I C I M A C K A L A C K I C I M A C K Ó L A C K A 1. ) Azon gondolkodtk, melyikük hányféleképpen tudj kiolvsni nevét. (Természetesen bl felső srokból indulnk, és minden lépésnél jobbr vgy lefelé hldnk egyet.) Szerinted hányféleképpen lehetséges ez Micimckónk és hányféleképpen Mlckánk? Miután Micimckó rájött, hogy Mlck nevét így jóvl többféleképpen lehet kiolvsni, zon törte fejét, hogyn kellene egy tégllpb írni nevét úgy, hogy most már z ő nevét lehessen több módon kiolvsni, sőt, lehető legtöbb módon. b) Hányszor hánys tégllpb kellene írni Micimckónk nevét, hogy célját elérje? Mlckát kissé zvrt, hogy z ő neve rövidebb, és ezért fenti módon kevesebbszer tudj kiolvsni. Hirtelen gondolt egyet, kitörölte homokból nevéből készített ábrát, és következőt írt helyette (ő csk kisbetűket ismeri): m l c k l c k l c k c k c k k Mlck ngyon elégedett volt z irományávl. Érezte, hogy ebből biztosn többféleképpen lehet z ő nevét kiolvsni, mint hányféleképpen Micimckó nevét korábbi ábrából. De sehogy sem tudt összeszámolni, hányféleképpen. Az igzság z, hogy Mlck csk 50-ig tudott számolni. c) Szerinted, h tovább gondolkozik, képes lenne összeszámolni lehetőségeket? Mennyi is ez vlójábn? II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 2.oldl/6

3 Hirtelen egy szellő suhnt végig z erdőn, így homokb rjzolt írások is megrongálódtk. A következők mrdtk meg belőle: m l c k M I C I M A C l k I C I M C K l c k C I M A C K Ó c k c k k 2. Most vjon melyikük nevét lehet többször kiolvsni? Aztán feltámdt szél, így homokb rjzolt betűk teljesen eltűntek. Más játék után kellett tehát nézniük. Egy pénzérme volt náluk, zt kezdték el dobálni. Megfigyelték, hogy milyen ht dobásból álló soroztok jönnek ki. Ngyon tetszett nekik játék, és úgy döntöttek, hogy z összes különböző ht dobásból álló soroztot összegyűjtik. H szerencséjük vn, előbb-utóbb vlmennyi sorozt dobás bekövetkezik. 3. ) Hány lehetőség is vn összesen? Miután ezt megszámolták, zt tlálták ki, hogy most egymás után nyolcszor dobják fel pénzt (nyolcs soroztokt dobnk), de most csk zokt jegyzik fel, melyekben pontosn két fejet dobtk. b) Ekkor hány lehetőség vn összesen? Miután ezt is megszámolták, felfedezték, hogy neveik felírás és pénzérmék dobálás között érdekes összefüggés vn: Mlck nevét pontosn nnyiszor tudták kiolvsni z áltl kisbetűkkel felírt elrendezésből, mint hányféle dobássoroztot pénzérme htszor történő feldobásávl kilkíthttk. c) H Micimckó nevét is felírnánk hsonló módon, kkor nevének kiolvsás esetén tlálnánk-e hsonló összefüggést? Hány betűből áll Micimckó, illetve Mlck neve? H Füles is részt vett voln játékbn, kkor z ő nevének kiolvsás pénzérme hányszori feldobásávl lenne kpcsoltb hozhtó? Micimckó és Mlck is eltöprengett zon, hogy ez csk véletlen, vgy vn vlmi ok is rejtélynek. Micimckó zt mormolt mgábn: Gondolj! Gondolj! Aztán egyszer csk homlokár cspott. Fej vgy írás, jobbr-blr morogt mgábn. Erre Mlck is homlokár cspott, mert éppen od szállt egy szúnyog. d) Meg tudnád-e mgyrázni kpott összefüggést Micimckó ötletének segítségével? II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 3.oldl/6

4 MEGOLDÁSOK 1. ) Minden betű helyére írjuk be, hogy od hányféleképpen tudunk eljutni, így jobb lsó srokbn lévő szám pont kérdésre felel, hiszen h szbályoknk megfelelően jutunk el od, kkor mindenképpen z ktuális nevet olvssuk ki. Azt pedig, hogy egy pontb hányféleképpen lehet eljutni, úgy tudjuk meghtározni, h fölötte és tőle blr lévő számot összedjuk. Lehet, hogy nem mindig vn mindkét helyen szám. A bl felső srokb először írjunk egy egyest, hisz od egyféleképpen tudunk eljutni. A tábláztok z lábbik lesznek: b) Formálisn kilenc lehetősége vn Micimckónk rr, hogy nevét tégllpb írj (1 9, 2 8, 3 7,, 9 1), de ezek közül csk öt z, mi lényegesen különbözik. Az 1 9-es elrendezés nyilván csk egyféle kiolvsást tesz lehetővé. Felírv mrdék három lehetőséget (hisz 2 8 már rendelkezésre áll) z lábbikt kpjuk: Így empirikus úton láthtják, hogy középső elrendezés, zz jelen esetben z 5 5- ös dj legtöbb kiolvsási lehetőséget. c) Ebben feldtbn is működik rekurzív megoldás, de új gondolt, hogy mezőkben kpott számokt végén össze kell dni. A jobb képességűektől érdemes megkérdezni, hogy vjon véletlen-e, hogy z eredmény kettőhtvány. II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 4.oldl/6

5 Vgyis végeredmény: = 64. Mlck tehát odáig eljutn, hogy részeredményeket kiszámolj, de végeredmény meghtározás már meghldná ismereteit. 2. Meglepő, de ebben komplikáltbbnk tűnő esetben is tökéletes rekurzív megoldás, csk fokozottn kell figyelni z elmosódott betűk környékén Végeredmény: Végeredmény: = ) Akiknek ez nehezebben megy, zoknk segítsünk zzl, hogy nem kell rögtön ht dobásból álló soroztbn gondolkodniuk. Nézzék sorbn, hogy két dobásból, három dobásból stb. álló soroztból mennyi vn. Ezeket fel is írhtják, és végül próbálják megsejteni helyes szbályt. Mivel z események függetlenek egymástól, és minden esetben kétféle dolog következhet be, így végeredmény: 2 6 = 64. b) Ez feldt már binomiális együtthtók felé vezet. El kell dönteni, hogy hol lesz két fej nyolc lehetséges helyet figyelembe véve. H ezeknek lehetőségeknek szám megvn, kkor kész vgyunk, hisz kimrdt helyekre csk írások jöhetnek. Nyilván z első fej nyolc helyen lehet, második pedig hét helyen, hisz nem lehet ott, hol korábbi. Azonbn két fej minden elhelyezkedését kétszer számoljuk, mert egyszer z egyik fej z első, egyszer pedig másik. Ezért szorztként kiszámolt eredményt II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 5.oldl/6

6 kettővel osztni kell. (Ezt diákoknk is részletesen mgyrázzuk esetleg mgyráztssuk el.) A válsz tehát 28. c) Micimckó neve kilenc betűből áll, Mlckáé hétből. Micimckó nevét felírtkból 8 pénzérme dobássoroztávl lehet kpcsoltb hozni, Mlckáét 6 pénzérme dobásivl. Az első feldtbn Mlck nevét ht lépésben olvshtjuk ki, melyből kétszer kell lefelé lépnünk, ez megfelel ht dobásból két fej eseteknek. H Füles is részt vett voln, kkor z ő nevének kiolvsás pénzérme négyszeri feldobásávl lenne kpcsoltb hozhtó. d) Egy lehetséges nlógi: mikor pénzérmével fejet dobunk, kkor kiolvsásnál jobbr lépünk, mikor pedig írást, kkor blr. Így nyilvánvlón ugynnnyi féle kiolvsás lehetséges, hány fej-írás sorozt. II. Kombintorik, gráfok II.4. A Százholds Pgony 6.oldl/6