Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Hasonló dokumentumok
Absztrakt vektorterek

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

Néhány szó a mátrixokról

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok (folytatás)

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

17. előadás: Vektorok a térben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Algebrai struktúrák, mátrixok

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

Matematika A1a Analízis

Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok I.

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. zárthelyi,

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

f (ξ i ) (x i x i 1 )

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

A gyakorlati jegy

4. Absztrakt terek elmélete

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

A Riemann-integrál intervallumon I.

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes. Források, ajánlott irodalom:

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Matematika (mesterképzés)

1. Bázistranszformáció

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

Numerikus módszerek 2.

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok

A valós számok halmaza

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

A közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Gyakorló feladatok I.

Lineáris egyenletrendszerek

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

Minta feladatsor I. rész

Környezetfüggetlen nyelvek

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja


Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Környezetfüggetlen nyelvek

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

4. Hatványozás, gyökvonás

3.1. Halmazok számossága

Alkalmazott algebra. Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK

1. feladatsor Komplex számok

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor

2, 1. annyi, hogy merőleges legyen a másik két vektorra, például választható egész koordinátájú vektor is:

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Átírás:

Dr. Vincze Szilvi

Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás

Vektortér foglm A V hlmzt vektortérnek (vgy lineáris térnek) nevezzük, h értelmezve vn benne két művelet: z összedás és sklárrl vló szorzás (zz x, y V esetén létezik z x + y V és x V, V esetén létezik x V) z lábbi tuljdonságokkl:.) x, y V esetén: x + y = y + x, zz kommuttív;.) x, y, z V esetén: (x + y) + z = x + (y +z), zz sszocitív; 3.) V (nullelem, vgy zéruselem), hogy x V esetén: x + = x 4.) x V esetén létezik - x V úgy, hogy: x + (-x) = ; 5.), R, x V esetén ( + ) x = x + x; 6.) R, x, y V esetén (x + y) = x + y; 7.), R, x V esetén ( ) x = ( x); 8.) x V esetén x = x.

Péld vektorterekre. A sík vgy tér szbdvektorink hlmz szokásos vektorműveletekkel.. A vlós számokból álló (x)-es mátrixok mátrixösszedásr és mátrix számml vló szorzásár nézve. 3. Az [, b] hlmzon értelmezett folytonos függvények hlmz szokásos műveletekkel.

Lineáris kombináció foglm Az,,, n vektorok,,, n lineáris kombinációj z sklárokkl vett + + + n n kifejezés. Megjegyzés:.) A kifejezés egy vektort htároz meg..) A,,, n sklárokt lineáris kombináció együtthtóink nevezzük.

Péld lineáris kombinációr Számítsuk ki z lábbi vektoroknk z = 3 és = sklárokkl vett lineáris kombinációját! 3 ; 3 3 3 9 3 4

Péld lineáris kombinációr 3 3 3 9 4 3 5

Lineáris függetlenség foglm Definíció. Az,, 3,..., n vektorok lineárisn független vektorrendszert lkotnk, h z α + α + α 3 3 +... + α n n = egyenlőség csk z α = α = α 3 =... = α n = esetben áll fenn. Megjegyzés. A lineáris függetlenség zt jelenti, hogy z,,..., n vektorokból nullvektort csk csup null sklárokkl vett lineáris kombinációvl (zz csk triviális lineáris kombinációvl) lehet előállítni.

Lineáris függőség foglm Definíció. Az,, 3,..., n vektorrendszer lineárisn függő, h nem lineárisn független. Megjegyzés. A lineáris függőség zt jelenti, hogy z,,..., n vektorokból nullvektort nem csk csup null sklárokkl vett lineáris kombinációvl lehet előállítni.

Példák lineáris függőségre, függetlenségre Állpítsuk meg, hogy z lábbi vektorok lineárisn függő vgy független vektorrendszert lkotnk-e! 3, 9 3 (3),, (), 4, () 3 3

Tételek. H z,, 3,..., n vektorrendszer lineárisn függő, kkor közülük leglább egy előállíthtó többi lineáris kombinációjként.. H egy vektorrendszer lineárisn függő, kkor újbb vektort hozzávéve vektorrendszer továbbr is lineárisn függő mrd. 3. H egy vektorrendszer lineárisn független, kkor bármely vektorát elhgyv vektorrendszer továbbr is lineárisn független mrd.

Példák lineáris kombinációr Vn-e olyn lineáris kombinációj z és vektorrendszernek, mely előállítj b vektort?,, b

Példák lineáris kombinációr Megoldás: b vektor nem állíthtó elő z és vektorok lineáris kombinációjként, mely úgy értelmezhető, hogy b nincs benne z, vektorok áltl kifeszített síkbn.

Példák lineáris kombinációr Vn-e olyn lineáris kombinációj z,, 3 vektorrendszernek, mely előállítj b vektort? 9 7, 5 3, 3 b és A megoldás során lklmzz Crmer-szbályt, mennyiben lehetséges!

Generátorrendszer Definíció. Az,, 3,..., n vektorrendszer generátorrendszer, h vektortér minden eleme előállíthtó z,, 3,..., n vektorok lineáris kombinációjként. Megjegyzés. A generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként ugyn vektortér bármely vektor előállíthtó, de nem egyértelmű módon.

Bázis Definíció: Az,, 3,..., n vektorrendszer bázis, h lineárisn független és generátorrendszer. Megjegyzés: Az R 3 vektortér e, e, e 3 bázisát természetes bázisnk nevezzük. e e e 3

Péld A geometrii térben bázist lkot bármely három, nem egy síkbn fekvő vektor.

Dimenzió definíciój. H V vektortérnek vn véges sok elemből álló bázis, kkor véges dimenziósnk mondjuk.. A V vektortér n dimenziós, h benne lévő bázisok tgszám n.

Tétel - Dimenzió. Az n dimenziós V vektortér bármely vektor egyértelműen kifejezhető bázisvektorink lineáris kombinációjként.. Az n dimenziós V vektortérben legfeljebb n drb lineárisn független vektor lehet, zz z n dimenziós V vektortérben n-nél több vektor lineárisn függő vektorrendszert lkot.

Koordinát Definíció. H z,, 3,..., n vektorrendeszer V vektortér egy bázis, és x V esetén x = x + x + x 3 3 +... + x n n, kkor z x, x, x 3,..., x n számokt z x vektor,, 3,..., n bázisr vontkozó koordinátáink nevezzük.

Péld - Koordinát Állpítsuk meg P pont koordinátáit természetes bázisr vontkozón. A definíció lpján P pont koordinátái p = 3e +e lineáris kombináció együtthtói.

Péld - Koordinát Számítsuk ki b vektor koordinátáit z, vontkozón! bázisr 3 b és,

Péld Legyen dott z R 3 egy vektor: T = (,, 3). Tekintsük továbbá z R 3 két bázisát, melyek következők: () e, e, e 3 4, 5, 3 ) ( 3 Írjuk fel z vektor koordinátáit mindkét bázisr vontkozón!

Szemléltetés Bázisvektorok: e, e Bázisvektorok:,. Ennek htás: koordinát Rendszer nem derékszögű.

Altér definíciój Definíció: H V vektortérnek vn olyn részhlmz, mi szintén vektortér, kkor ezt ltérnek (vgy lineáris ltérnek) nevezzük. Megjegyzés: Az ltér olyn tuljdonságú, hogy z összedás és sklárrl szorzás nem vezet ki belőle, vgyis, h K V ltér, kkor minden x, y K esetén λ x + μ y K.

Generált ltér definíciój Definíció: Az,, 3,..., n vektorokkl generált ltéren z L(,,..., n ) = {α +α +... +α n n α i R, i =,, 3,..., n} hlmzt értjük.

Rng definíciój Definíció: Az,, 3,..., n vektorrendszer rngján z L(,,..., n ) generált ltér dimenzióját értjük. Jele: rg(,,..., n ). Megjegyzés: A vektorrendszer rngj megegyezik benne lévő mximális számú lineárisn független vektorok számávl.

Komptibilitás definíciój Definíció: A b vektor komptibilis z,, 3,..., n vektorrendszerrel, h b L(,, 3,..., n ). Megjegyzés: A b vektor komptibilis z,, 3,..., n vektorrendszerrel, h előállíthtó zok lineáris kombinációjként.