!"#$% &'()*+,-.,',/0,#$1

Átírás

1 !"#$% &'()*,-.,',/0,#$

2 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE b b b b. Uprostiti izrz b b b b (6 bodov). Rešiti jedninu: 8 8. (6 bodov) 6. Rešiti eksponencijlnu jedninu: 9 6. (6 bodov). Rešiti logritmsku jedninu: log log log 7. 6 (6 bodov). sin cos Ni sv rešenj jednine:. (6 bodov) 6. Dto je sinα (α<90 o ). Ni sinα, cosα, sinα i cosα. (6 bodov) 7. Temen trougl ABC su tke: A(0, 0), B(, ) i C(, 6). Npisti jedninu visine koj je povuen iz temen A. (6 bodov) 8. Dt je krug y i prv koj prolzi kroz tke A(6, 0) i B(9, ). Koj je tk n prvoj njbliž kružnici i koj je tk n kružnici njbliž prvoj? (6 bodov) 9. Površin drvene kocke je 86 cm. Kock je ofrbn (cel površin) crvenom bojom, ztim je rzrez n kockice od po cm. ) Kolik je ivic dte kocke? b) Koliko jedininih kocki dobijmo tim komdnjem? c) Koliko je tih kocki ofrbno s strne? d) S strne? e) S strne? f) Koliko kockic uopšte nije ofrbn? (6 bodov) 0. Proizvod prv tri ln geometrijskog niz je 6. Ukoliko se trei ln smnji z dobijmo prv tri ln jednog ritmetikog niz. Koji su to brojevi? (6 bodov)

3 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL b b b b. Egyszersítse kifejezést: b b b b (6 pont). Oldj meg z egyenletet: 8 8. (6 pont) 6. Oldj meg z eponenciális egyenletet: 9 6. (6 pont). Oldj meg logritmikus egyenletet: log log log 7. 6 (6 pont). sin cos Htározz meg z egyenlet minden megoldását:. (6 pont) 6. Adv vn sinα (α<90 o ). Htározz meg sinα, cosα, sinα i cosα értékét. (6 pont) 7. Az ABC háromszög csúcspontji: A(0, 0), B(, ) i C(, 6). Írj fel z A ponton áthldó mgsság egyenletét. (6 pont) 8. Adott z y kör, és z A(6, 0) és B(9, ) pontokhoz illeszked egyenes. Melyik pont vn z egyenesen legközelebb körhöz, és melyik körnek z egyeneshez legközelebbi pontj? (6 pont) 9. A fából készült kock felszíne 86 cm. A kock teljes felszínét befestettük, mjd feldrboltuk cm térfogtú kis kockákr. ) Mekkor z dott kock éle? b) Hány egységkockát nyertünk? c) Hány kis kock vn oldláról befestve? d) és oldláról? e) és oldláról? f) Hány kock egyáltlán nincs befestve? (6 pont) 0. Egy mértni sorozt els három tgjánk szorzt 6. H hrmdik számot -ml csökkentjük, egy számtni sorozt els három tgját nyerjük. Melyik mértni soroztról vn szó? (6 pont)

4 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K b b b b. b b b b ( b)( b) ( b)( b) ( b)( b) b b b b b b 6 6b ( b)( b) b b 6 b b uz uslov: b, b, b, b. ( b)( b)( b)( b) ( b)( b)( b)( b) 6, ( 9) ( 9)( 9) ( 9) Z 9 i 9 immo: ( 9) ( 9) ili 7 6, 9. Rešenje se ne prihvt, prem tome jednin nem rešenj. 9 6 Podelimo jedninu s i dobijmo: Stvimo smenu t t t 0. Rešenj su t i t. Iz t sledi 0, dok t ne prihvtmo, jer mor biti t > 0. :. log log log 7 log log log log 8 log 6. sin cos.. Zmenimo li sin cos, i stvimo smenu cos t dobijmo: t t t 0 (t ) 0 t. t Iz nvedenog sledi cos cos cos, odnosno cos ±. Prem tome sv tržen rešenj su π π k z k Z. 6. Z sinα (α<90 o ) immo cosα sin α. Sledi:

5 sinα sinα cosα, cosα cos α sin α. sinα sin(α α) sinα cosα cosα sinα, cosα cos(α α) cosα cosα sinα sinα 0. y y C B 6 7. Odredimo prvo koeficijent prvc duži BC: k BC C B kroz tku A i normln je n prvu (BC), zto je koeficijent prvc te prve k. Jednin visine je: y. ha k BC. Tržen visin prolzi 8. Povuemo normlu kroz centr krug y n prvu (AB). Tržene tke su presek ove nove prve s kružnicom i s prvom (AB). p AB : y. Norml n ovu prvu iz tke (0, 0) je y 0. Preseci su tržene "njbliže" tke: N kružnici (, ) K, n prvoj P(8, ). 9. ) Neposredno se dobij, d je ivic kocke cm, jer je 6 86 cm. b) Broj jedininih kocki je zpremin, tj 78 cm. c) 8 kocki, koje se nlze n temenim velike kocke ofrbno je s strne. d) s strne ofrbno je n svkoj ivici po 0 kockic, tojest 0 kocki. e) s strne su ofrbne kocke n svkoj od 6 strn po 00, tojest 600 kocki. f) neofrbne su kocke "ispod površinskog sloj" to je kocki. 0. To su brojevi, q i q. Njihov proizvod je q 6, iz eg sledi d je srednji broj q 6. Koristimo injenicu, d je (q ) q q. Neposrednom zmenom dobij se kvdrtn jednin po q: q q 0. Odvde je q, i q /. Ko rešenje dobijmo ist tri broj u obrnutom redosledu, 6 i, odnosno, 6 i.

6 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: :. Rešiti jedninu (odbrti pogodnu zmenu!): 6 6. Rešiti sistem jednin: y y. Rešiti jedninu: log log 0. Svesti izrz n funkcije ostrih uglov, ztim izrunti vrednost bez upotrebe klkultor: o o o sin 70 cos90 tg0 ctg 0 sin860 cos780 o o o 6. Rešiti jedninu: cos cos cos 7. Centr kružnice se nlzi n prvm y 6 i y 0, prolzi kroz tku T(, ). Npisti jedninu te kružnice. 8. Odrediti jednine zjednikih tngenti prbole y i elipse y U prvilnu etvorostrnu jednkoivinu pirmidu upisn je lopt. Koliko procent iznosi zpremin lopte od zpremine pirmide? 0. Aritmetiki i geometrijski niz imju isti trei ln, koji iznosi. Proizvod prvih lnov je, drugih 6. Koji su ti nizovi? NAPOMENA: svki zdtk se boduje mksimlno s 6 bodov.

7 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A MINSÍT VISGA MATEMATIKÁBÓL.. Egyszersítse következ kifejezést: :. Oldj meg következ egyenletet: 6 6. Oldj meg következ egyenletrendszert: y y. Oldj meg következ egyenletet: log log 0. Vezesse vissz szögfüggvényeket hegyesszögek függvényeire, mjd számíts ki o o o sin 70 cos90 tg0 kifejezés érékét klkulátor hsznált nélkül: o o o ctg 0 sin860 cos Oldj meg következ egyenletet: cos cos cos 7. A kör középpontj z y 6 és z y 0 egyenesek metszéspontjábn vn, vlmint áthld T(, ) ponton. Írj fel kör egyenletét!. 8. Htározz meg z y prbol, és y 8. ellipszis közös érintinek egyenletét! 9. A szbályos négyoldlú (egyenlél) gúláb gömböt rjzoltunk. Hány százlék gúl térfogtánk gömb térfogt? 0. Egy számtni és egy mértni soroztnk is hrmdik tgj. Az els tgok szorzt, második tgok szorzt pedig 6. Melyik ez két sorozt? MEGJEGYZÉS: mindegyik feldt megoldásáért legfeljebb 6 pont jár. 6

8 7 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. : : : 6 : 6 : :, z i z i 0 stvljmo smenu: 6 t. Sledi jednin: 0 t t t t. Rešenj su: t, i t ½. Z t immo: 6, z t ½ immo: 6.. y y. Zmenimo iz druge jednine y u prvoj jednini: 0. Nkon stvljnj smene t dobijemo jedninu: 0 t t. Rešenj su: t 8, i t. Z t 8 immo:., 8 y Z t immo:., y. log log 0. Primenom osobin logritm i stvljnj smene z log immo jedninu: 0 z s rešenjim: z, i z, odnosno : ¼, i.

9 . o o o sin 70 cos90 tg0 ctg 0 sin860 cos780 o o o o o o ( ) ( ) ( ) sin 60 0 cos 60 0 tn o o o ( ) ( ) ( ) o o o o o o cot 80 sin cos o o o sin 0 cos0 tn 0 o o cot sin 60 cos60 o cos cos cos. Primenom formule cos α cos β ( cos( α β ) cos( α β )) dobijemo cos cos ( cos cos ). Zmenimo li to u dtoj jednini immo: cos cos 0. Pošto je α β α β cosα cos β sin sin sledi: sin sin 0. Odtle se rešenj: sin 0 kπ kπ, ili sin 0, z k Z. 7. Presek prvih y 6 i y 0 je tk C(, ). Poluprenik kružnice je je rstojnje CT 8. Iz tog neposredno sledi jednin tržene kružnice: ( ) (y ) Jednine zjednikih tngenti prbole y i y 8 tržimo u obliku y k n. Uslov dodir prbole je p kn, gde je p prmetr prbole. Sledi k. n Uslov dodir elipse je k b n, gde su i b poluose elipse. Sledi: k. Objedinjvjui zkljuke dobijmo z k n, i z k n. Slede jednine zjednikih tngenti: y, y. 9. Posmtrjmo osni presek KLS. KS h OS H r, MS H r 6 r. Pošto je r OS PS dobijmo ( ),, PS h ( ). Zpremin pirmide 8

10 H je: V 6 π, zpremin lopte je: r π ( 6 ) S V. S 00V Trženi procentni broj je p 0π ( ) 0,8%. V 0. Nek su lnovi ritmetike progresije, i, lnovi geometrijskog niz su b, b i b, pri emu je b, ztim b i b 6. N osnovu svojstv ritmetikog i geometrijskog niz zpisujemo: b b d d i d d. dok je b i b. q q q q Po uslovu zdtk je b ( d ) q, i b 6 ( ) d. Iz ove druge q 8 q jednine sledi: d. Zmenimo li to u prethodnu jedninu dobijmo: q 6q 8 0. Rešenj po nepozntom q su: q i q. K L M M Z q dobijmo d, p je trženi ritmetiki niz,,, geometrijski je,,. Z q dobijmo d, p je trženi ritmetiki niz 8, 6,, geometrijski je ¼,,. K P r r O Q L 9

11 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: b b b b b b ( ).. Rešiti jedninu:.. Rešiti eksponencijlnu jedninu: Rešiti logritmsku jedninu: log ( ) log ( ) Rešiti trigonometrijsku jedninu: 9sin 0sin cos cos. 6. Odrediti vrednosti ostlih trigonometrijskih funkcij ugl α, ko je π < α < π, i ctgα. y 7. Izrunti površinu trougl obrzovnog tngentm elipse povuene 0 iz tke P 0,, i ose O. 8. U krug jedininog poluprenik upisn je prvougonik s odnosom strnic :. Koliko procent ini površin prvougonik od površine krug? 9. Osnov prve prizme je prvougli trougo ABC. AC dm. Prv ugo je kod temen C, dok ugo kod temen A iznosi Ugo izmedju bonih dijgonl koje ishode iz tke A je 0 0. Izrunti zpreminu prizme! 0. Ako se od broj odbci prvi, ostli ine geometrijsku progresiju. Ako se odbci poslednji, ostje ritmetik progresij. Zbir brojev iz geometrijske progresije je, zbir tri broj iz ritmetike progresije iznosi. Ni te brojeve. Npomen: Svki zdtk se boduje mksimlo s 6 bodov. 0

12 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egyszersítse kifejezést: b b b b b b ( ).. Oldj meg z egyenletet:.. Oldj meg z eponenciális egyenletet: Oldj meg logritmikus egyenletet: log ( ) log ( ) Oldj meg trigonometrii egyenletet: 9sin 0sin cos cos. 6. Htározz meg z α szög többi szögfüggvényét, h π < α < π és ctgα. y 7. Számíts ki nnk háromszögnek területét, melyet z ellipszishez 0 P 0, pontból húzott érintk és z O tengely lkotnk. 8. Az egységsugrú körbe tégllpot rjzoltunk mely oldlink rány :. A kör területének hány százlék trtozik tégllphoz? 9. Az egyenes hsáb lplpj z ABC derékszög háromszög. AC dm. A derékszög C pontnál vn, míg z A pontnál lév szög Az A pontból kiinduló oldlátlók egymás között 0 0 -os szöget zárnk be. Htározz meg hsáb térfogtát! 0. H szám közül elhgyjuk z elst, megmrdók mértni soroztot lkotnk. H z utolsót hgyjuk el, kkor számtni sorozt mrd. A mértni sorozthoz trtozó számok összege, míg számtnihoz trtozók összege. Melyik ez szám? Megjegyzés: A feldtok mindegyike legfeljebb 6 ponttl értékelhet.

13 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K ( ) b b b b ( b ). Z 0 i b 0 immo: b b b b b b b ( b )( b ) ( b) b, pod uslovom d je ±(b). ( b) ( b) b b. Z 0 i immo:. Kvdrirmo li jedninu, dobijmo:. Ponovnim kvdrirnjem: 6. Rešenj ove poslednje jednine su 0 i 6/, od kojih brojev smo ovj drugi zdovoljv polznu jedninu! Uoiti, d je mogu smen ( ) rešenj ± 0, p je 0 t 0. Dobij se jednin t 0 t 0 ij su t. Pošto mor biti t > 0, sledi ( 0 ) 0 Konno rešenje je: ( ) ( ). log ( ) log ( ) 0 8. t Primenom osobine logritm dobijmo: ( ) 9 log ( ) log. Stvimo smenu t log ( ) : 9 ± 6t 9t 7 0. Rešenj ove poslednje jednine su t. Negtivno rešenje se odbcuje zbog kvdrt, p e biti t log ( ), sledi: log( ) ±. Z dobijmo 0, odnosno ±.

14 Drugo rešenje ( ) odbcujemo jer ne postoji relno z koje je log( ), nime, treblo bi d bude 0 0,9.. 9sin 0sin cos cos. Nkon smene cos sin immo: 6sin 0 sin cos 0 sin (8 sin cos) 0 sin 0, što zni kπ, ili je 8 sin cos 0, to jest tg 8/. Ovo zdnje rešenje zni 8 6' kπ, gde je k Z. 6. Pošto je ctgα Immo identinost zto je tg α. ctgα sinα ± dobijemo, d je sinα tgα tg α ±. Slino zbog uslov zdtk je. Zbog uslov π < α < π cos α. 7. Nek je jednin tngente A By C 0. Uslov dodir je A b B C 0, gde su i b poluose elipse. To zni: 0A B C 0. Pored tog prv prolzi kroz tku P 0 0, : A B C 0. Rešvnjem sistem od ove dve jednine dobijmo tngente: y i y 0. Koordinte presek ovih prvih s osom O su tke A(, 0) i B(0, 0). Prem tome osnov trougl je duž AB, visin trougl je ordint tke P. Zto je tržen površin p Prvougonik upisn u krug jedininog poluprenik im dijgonlu dužine, jedn strnic im dužinu, dok drug. Po Pitgorinoj teoremi je 9, odnosno /. Površin prvougonik je 6/,. Pošto je površin krug π, p, trženi procent e biti k 00% 00% 8,%. p π

15 9. Pošto je osnov "polovin" jednkostrninog - trougl, dužine ivic su: AC, AB i BC. B A Prv B C je normln n celu bonu strnu H ACC A, p je normln i n duž AC. To zni d je trougo AC B prvougli s C prvim uglom kod tke C. Prem tome i to B 0 o je "polovin" jednkostrninog trougl, zto 60 o A iz B C sledi: AB. 90 o Visinu H runmo pomou Pitgorine C teoreme: H ( ) 8. Sledi H, tržen zpremin je: V B H p AC BC H BB V 6 0. Nek su prv tri broj, koji ine ritmetiku progresiju ozneni s, d, d. etvrti ln je deo geometrijske progresije iji su prvi i drugi ln d, d, zto je kolinik te progresije (d)/( d). Dok je etvrti broj jednk (d) /( d). Po uslovim zdtk immo: ( d ) ( d ) ( d ) ABC, i (d) (d) d Iz ovog sistem jednin slede rešenj. Z d dobijemo 6 i brojeve: 6,,, 6, z d dobijemo i brojeve,,, 9.

16 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz b b b b (6 bodov). Rešiti jedninu:. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jedninu: 9 7. (6 bodov). Rešiti logritmsku jedninu: log log log. (6 bodov) 8 π π. Dokzti identinost sin α sinα sinα 0. (6 bodov) 6. Ni sv rešenj trigonometrijske jednine: sin sin sin sin 0. (6 bodov) 7. Osnov jednkokrkog trougl ABC je duž AB: A(, ), B(, ). Odrediti površinu tog trougl ko se tree teme nlzi n osi O. (6 bodov) 8. Pod kojim uglom se vidi krug y y 0 iz tke P(, ). (6 bodov) 9. Odrediti površinu i zpreminu lopte koj je opisn oko kocke, ij je zpremin V cm. (6 bodov) 0. Tri broj ine ritmetiki niz, njihov zbir je. Ako se poslednji pove z vrednost prvog broj, dobij se geometrijski niz. Koji so to brojevi? (6 bodov)

17 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egyszersítse kifejezést b b b b (6 pont). Oldj meg z egyenletet:. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egyenletet: 9 7. (6 pont). Oldj meg logritmikus egyenletet: log log 8 log. (6 pont) π π. Igzolj z lábbi zonosságot: sin α sinα sinα 0. (6 pont) 6. Htározz meg trigonometrii egyenlet minden megoldását: sin sin sin sin 0. (6 pont) 7. Az ABC egyenlszárú háromszög lpj z AB szksz: A(, ), B(, ). Htározz meg háromszög területét, h hrmdik csúcspont z O tengelyhez illeszkedik. (6 pont) 8. Mekkor szög ltt látszik z y y 0 kör P(, ) pontból? (6 pont) 9. Htározz meg kock köré írt gömb felszínét és térfogtát, h kock térfogt V cm. (6 pont) 0. Három szám számtni soroztot lkot, összegük. H z utolsó számot megnöveljük z els szám értékével, kkor mértni soroztot nyerünk. Melyek ezek számok? (6 pont) 6

18 7 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. b b b b b b b b b b b b b b. Jednin im smisl z 0. Elimincijom rzlomk: ) 8( ) )( ( ) ( Rešenj su i 8. Proverom se utvrdjuje d smo broj 8 zdovoljv polznu jedninu ( ) log log log 8 ( ) ( ) log log log log log 6.. Z dokz jednkosti 0 sin sin sin π α π α α primenimo identinost:

19 α β sin α sinβ sin cos α β. Spojimo prvi i trei sbirk n predloženi nin π π π π sinα sinα sinα sinα cos sinα Pošto je π π cos cos, sledi d je tvrdjenje zdtk tno: π π sinα sinα 0. π 6. sin sin sin sin 0. Primenimo formulu iz prethodnog zdtk n sbirke i, odnosno n i. sin cos sin sin 0 sin 0 ili cos sin 0. Prv mogunost neposredno dje k π, odnosno kπ z k Z. Drugu jedninu npišimo u obliku zbir sinus, ztim opet primenimo formulu z zbir sinus: cos sin 0 π sin sin 0 π π sin cos 0. Iz te jednine slede još dve serije rešenj: π kπ i π kπ z k Z 7. Npišimo jedninu visine trougl ABC koj pripd duži AB: To je simetrl duži A(, ), B(, ). Prolzi kroz središte duži to je tk C (, ) i normln je n (AB). Pošto je k AB /, zto t visin im jedninu y ( ). T prv see osu O u tki C(/, 0). Dužin osnovice je AB 0, visin trougl je CC 0. Prem tome, površin je: 0 0 AB CC 0 p. 8. Povucimo tngete krug y y 0 iz tke P(, ). To e biti prve y k ( ) koje s kružnicom imju jednu zjedniku tku. Situcij se poklp ko posmtrmo centrlni krug y i tku Q(, 0), odnosno prvu y k ( ) (jer je centr polzne kružnice C(, ) poluprenik r ). 8

20 Uvrstimo u jedninu kružnice i zhtevmo jedno rešenje. To ns dovodi do izjednvnj diskriminnte s nulom to je jednin: ( k k ) ( k ) 8k 6k 0 D 6k ( k )(6k ) 0 k 0 k ± ±. To su koeficijenti prvc tngenti. Tngens ugl izmedju njih je: k tgϕ k kk ϕ T lopt im prenik, koji je jednk telesnoj dijgonli kocke: R. Iz zpremine kocke V cm sledi:. Oevidno mor biti t, gde je t zsd nepoznt broj. Odvde je t. Zkljuujemo: t. P mor biti t 8 odnosno t, p e biti. Pošto je R sledi R. To zni: R. Zpremin te lopte je V 08π/ cm, dok je površin P 6π cm. 0. Nek su to brojevi, d i d, pri emu je d, ili d. d ( d ) Drug jednin se dobij iz kolinik geometrijskog niz:, d ili ( d ) ( d ). Rešvnjem ovog sistem jednin dobijemo: d. To zni, trženi su brojevi:,, 6. 9

21 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE ko je ( ) ( ). Izrunti ( ) ( b ), b. (6 bodov). Rešiti jedninu:. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jedninu: (6 bodov) 7. Rešiti logritmsku jedninu: log log 0. (6 bodov) 6. π Ako je tg α i α β odrediti tg β. 7 (6 bodov) 6. Rešiti trigonometrijsku jedninu: cos sin. (6 bodov) 7. Težište T trougl ABC pripd osi O, teme C pripd osi Oy, dok temen A i B su dt: A(, ), B(,). Odrediti koordinte tk T i C. (6 bodov) 8. Oko kružnice y 00 opisn je tngentni etvorougo ij su dv suprotn temen A(, ) i C(0,0). Odrediti koordinte temen B i D. (6 bodov) 9. Iz prvog kružnog vljk poluprenik R cm i visine H0 cm iseeno je kugli poluprenik r cm. Kolik je zpremin otpd i koliko je to procent od zpremine vljk? (6 bodov) 0.etiri broj ine geometrijski niz, njihovi logritmi z osnovu ine ritmetiki niz iji je zbir 8, rzlik d. Koji so to brojevi? (6 bodov) 0

22 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A Számíts ki ( ) ( b ) MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL értékét, h ( ) ( ) b,.(6 pont). Oldj meg z egyenletet:. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egyenletet: (6 pont) 7. Oldj meg z egyenletet: log log 0. (6 pont) 6. H π tg α és α β, htározz meg tg β értékét. (6 pont) 7 6. Oldj meg trigonometrii egyenletet: cos sin. (6 pont) 7. Az ABC háromszög T súlypontj z O tengelyhez illeszkedik, míg C csúcspont z Oy tengelyhez trtozik. Ismertek A és B pontok koordinátái: A(, ), B(,). Htározz meg T és C pontok koordinátáit. (6 pont) 8. Az y 00 kör köré érintnégyszöget rjzoltunk, melyben ismertek z egyik átlójánk végpontji: A(, ) és C(0,0). Htározz meg másik átló végpontjink, B-nek és D-nek koordinátáit. (6 pont) 9. Az R cm sugrú és H0 cm mgsságú egyenes körhengerbl kimetszettünk gömböt, mindegyiknek sugr r cm. Mekkor hulldék térfogt, és hány százlék ez henger térfogtánk? (6 pont) 0. Négy szám mértni soroztot lkot, míg hármslpú logritmusik egy számtni sorozt elemei, melyek összege 8, különbsége d pedig. Melyek ezek számok? (6 pont)

23 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ( ) ( ) b ( ) ( ) b ( )( ) ( )( ) ( )( ) Oevidno mor biti i /, tojest /. ( ) ( ) ( )( ) ( ) i. Proverom utvrdjujemo, d se rešenje prihvt dok se odbcuje Pošto je 8 0.,, 0. i sledi: log log log log. Smen: t log t t t t

24 t t t, t 8,.. tg( α β ) tgα tgβ tgα tgβ tgβ 7 7 π tg 7 tg β. tgβ 7 tgβ tg β tgβ cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos 0 cos ( cos ) 0 cos 0 ili π kπ π ili ± kπ, z k Z. cos 7. Pošto je T O T(t, 0 ), dok je C Oy C (0, c y ). Tkodje je: t b c i t y y by c y 0 c y t i 0, odtle sledi c y. Prem tome: T(, 0), C(0, ). 8. Oevidno, potrebno je odrediti tngente t AB i t AD ztim ni B i D. Tngent kružnice koj prolzi kroz tku A je: y k( ). Iz uslov dodir r (k ) l, gde je l k - immo k, k. Tngente kroz tku C dobijju se n slin nin: y 0 k( 0 ). P iz uslov dodir sledi k 0, k. 0 t AB : y, tcb y, njihov presek je tk B(, ). 0 t AD : y, tcd y 0, njihov presek je tk D(, 0).

25 9. Zpremin vljk je V v R π H 70 π cm. Zpremin jedne lopte je: V L r π/ 00 π/ cm. Otpd je V o V v V L 0 π cm. Pošto je to tno trein zpremine vljk zto je to u procentim,%. 0. Nek su to brojevi, q, q i q, njihovi logritmi su: log, log log q, log log q i log log q. Zbir tih brojev je: log 6 log q 8, diferencij je log q. Iz nvedenog sledi q, i log log 7. Prem tome trženi brojevi su: 7, 8,, 79.

26 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA SUBOTICA Uprostiti izrz: :. (6 bodov). Rešiti jedninu: 6. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jedninu: (6 bodov) log log. Rešiti jedninu:. (6 bodov). Izrunti sin( α β ), ko je sin α, i cos β. 7 (6 bodov) 6. sin sin Rešiti trigonometrijsku jedninu:. sin sin (6 bodov) 7. Dt je trougo ABC koordintm svojih temen: A(, ), B(, ), C,. Dokzti d je trougo prvougli i izrunti njegove oštre uglove. Kko glsi jednin prve koj sdrži strnicu AB? (6 bodov) 9 8. Dt je jednin kružnice 6 y 8y 0. Ni dužinu tetiv, koje kružnc odsec n koordintnim osm. Povui tngentu n kružnicu u krnjoj tki tetive koj pripd osi Oy i koj je bliž koordintnom poetku. (6 bodov) 9. Ni zbir svih trocifrenih neprnih prirodnih brojev. (6 bodov) 0. Oko kvdr dimenzij cm, bcm, c0cm opisn je sfer. Ni površinu sfere i zpreminu lopte koju ogrniv t sfer. (6 bodov)

27 MSZAKI FISKOLA SZABADKA Egyszersítse kifejezést: :. (6 pont). Oldj meg z egyenletet: 6. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egyenletet: (6 pont) log log. Oldj meg z egyenletet:. (6 pont). Számíts ki sin( α β ) értékét, h sin α, cos β. 7 (6 pont) 6. sin sin Oldj meg trigonometrii egyenletet:. sin sin (6 pont) 7. Adottk z ABC háromszög csúcspontji: A(, ), B(, ), C,. Bizonyíts be, hogy háromszög derékszög. Htározz meg háromszög minden szögét. Irj fel z AB oldlhoz illeszked egyenes egyenletét is! (6 pont) 9 8. Adott kör egyenlete: 6 y 8y 0. Htározz meg kör áltl koordináttengelyekbl kimetszett húrok hosszúságát. Irj fel kör zon érintjének z egyenletét is, mely z Oy tengelyen kimetszett húrnk z O ponthoz közelebb es végpontjábn érinti kört! (6 pont) 9. Számíts ki háromjegy pártln természetes számok összegét. (6 pont) 0. Az cm, bcm, c0cm élhosszúságú tégltest köré gömböt rjzoltunk. Számíts ki gömb felszínét és térfogtát. (6 pont) 6

28 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. : ( ) ( ) : ( ) ( )( ) : :. 6 (uslovi rešvnj su: ) 6 ( 6) ( ) 6 /6 6 9 Rešenje zdovoljv gore nvedeni uslov, zni prihvtmo g: R { } smen : 6 t 6 t 6 0 / t 6 t 6t 6t 6 0t 0t 6 0 t t / 7 0 ± ( 0) 6 ( 6) t 6 6 t / 0 ± Pošto eponencijlni izrz ne može imti negtinvu vrednost, drugo rešenje ne R. prihvtmo, zni { }. log log uslov rešvnj je > 0 7

29 log log ( log ) log log ( log ) log 6log log log 0 Rešenje zdovoljv gore nvedeni uslov, zni prihvtmo g: R 0.. sin( α β ) sinα cos β cosα sin β Pošto je zdto, d je sin α, i cos β, sledi 7 cosα sin α 6 89 sin β cos β sin( α β ) sin sin sin sin (uslovi rešvnj su sin 0 sin 0 sin sin 0 ) sin sin / ( sin ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin ( )( ) ( ) sin sin sin 0 sin sin sin sin 0 ± ( ) ( sin ) ( sin ) ± 7π π sin kπ kπ 6 6 π sin kπ 7. A(, ), B(, ), C,. dužin strnice AB ( ( ) ) ( ) 8

30 BC 0, AC 0 ( ), AC BC < AB, zni AC i BC bi treble biti ktete (jednkokrkog) prvouglo trougl, AB bi trebl biti hipotenuoz. Prem tome po Pitgorinoj teoremi AC BC AB cos A Uslov je zdovoljen, zni trougo je prvougli. ( ) AB (, ) (, ) (, 0) AC, cos AB AC (, ), 0 AB AB AC AC ( A) A cos AB BA AB AC BC BC BA BC ( B) BA BC BA AB BC, 0 (, 0) AB AB AC (, ), AC cos( B) B (Pošto je trougo jednkokrki, nsprm jednkih strnic leže jednki uglovi, prem tome i bez run A B ). Jednin prve kroz dve tke (, y ) (, ) (, y ) (, ) y y A y y ( ), gde je B prem tome jednin prve AB je y ( ) y 0 y (Pošto A i B imju iste y koordinte, one su n prvoj y prlelnoj Oy osi.) 9

31 y 8y 0 8 ( ) ( y ) ( 6 9) ( y 8y 6) Preseci s osm se runju ko rešenj sistem jednin: ( ) ( y ) 0 ( 0 ) ( y ) y 8y 6 9 y 8y 0 / y y 9 0 t A y 6 B 8 C (p,q)(, ) D y ± ± 70 8 ± 8 8 ± Preseci kružne linije i Oy su 8 8 A 0,,B 0, ( ) ( y ) y 0 ( ) ( ) ± ± 7 Preseci kružne linije i O su C, 0,D, Dužin tetive AB 0, CD 7. Treb povui tngentu t : y k l u tci A. 8, ( ) ( y ) ( p) ( y q) r 0

32 8 jednin tngente u zdtoj tci A 0, (, y ) t : t : ( p)( p) ( y q)( y q) 8 ( 0 )( ) ( y ) r 8 je 9. zbir , što je zbir prvih n0 lnov ritmetikog niz s prvim lnom 0 i distncom d. Prem tome zbir Poluprenik lopte je polovin dijgonle kvdr. D b c 0 00 R cm R π 6π 00πcm P sfere

33 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: : ( ). (6 bodov). Skrtiti rzlomk:. (6 bodov) 8. Rešiti eksponencijlnu jedninu:. (6 bodov). Rešiti logritmsku jedninu: lg 0. (6 bodov). Bez upotrebe runskih pomgl odrediti u stepenim, ztim u rdijnim uglove etvorougl ko se oni meusobno odnose ko 6:8:9:. (6 bodov) 6. Rešiti trigonometrijsku jedninu: sin cos 0. (6 bodov) 7. Kroz tku A(,) n prvoj y 9 povuen je norml n ovu prvu. Odrediti površinu ogrnienu ovim prvim i osom O. (6 bodov) 8. Kružnic y i prv y 0 se seku. Odrediti: ) koordinte presek; b) dužinu zjednike tetive; c) centrlni ugo koji pripd toj tetivi. (6 bodov) 9. Oko dve lopte koje se dodiruju spolj, opisn je kup. Zpremin jedne lopte je 8 put ve od zpremine druge lopte, poluprenik mnje lopte je cm. Izrunti površinu omot kupe. 0. Tri broj su uzstopni lnovi geometrijske progresije, njihov zbir je, proizvod srednjeg ln s zbirom krjnjih lnov iznosi 60. Koji su to brojevi? (6 bodov) (6 bodov)

34 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egyszersítse kifejezést: : ( ). (6 pont). Egyszersítse törtet:. (6 pont) 8. Oldj meg z egyenletet:. (6 pont). Oldj meg z egyenletet: lg 0. (6 pont). Segédeszközök igénybevétele nélkül htározz meg négyszög szögeit fokokbn és rdiánokbn is, h zok rány 6:8:9:. (6 pont) 6. Oldj meg z egyenletet: sin cos 0. (6 pont) 7. A y 9 egyenesen elhelyezked A(,) pontból merlegest emeltünk erre z egyenesre. Htározz meg két egyenes és z O tengely áltl htárolt terület ngyságát. (6 pont) 8. A y kör és y 0 egyenes metszik egymást. Htározz meg: ) A metszéspontok koordinátáit; b) A közös húr hosszát; c) A húrhoz trtozó középponti szög ngyságát. (6 pont) 9. Két egymást kívülrl érint gömb köré kúpot rjzoltunk. Az egyik gömb térfogt másik gömb térfogtánk nyolcszoros, kisebb gömb sugr cm. Htározz meg kúp plástfelületének ngyságát. 0. Három szám egy mértni sorozt egymás után következ tgji. A számok összege, míg középsnek és két széls összegének szorzt 60. Melyek ezek számok? (6 pont) (6 pont)

35 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ( ) : ( ) ( )( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ), (pod uslovim 0 ±, ).. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 (pod uslovim, ). / t smen / t t 6 t t 8 t t. Uslov rešvnj 0 > lg / lg 0 lg lg lg 0 ( ) t lg lg lg lg lg smen 0 ( ) t t t t ± t lg lg

36 . α : β : γ : δ 6 : 8 : 9 : α β γ δ 60 6k 8k 9k k 60 6k 60 k 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ π 6k 8k 9k k π π 6k π k 8 π π α 6 8 π π β π π γ 9 8 π π δ cos 0 sin cos sin sin ( ) 0 sin sin sin sin sin 0 sin sin sin 0 sin π π kπ kπ kπ, k Z 6 6 ( ) 0 ( ) 0 7. b A(0, ) 9 : y 9 y A(,) y 9 0. b b : y 0 P ABC B(-9,0) C(,0 ) 8. k: y y, p: y 0 y. y ) k p y ± 9 8, 700 6

37 6 R R R R R R y Tke presek su.,,b, A b) dužinu zjednike tetive:. AB 9 c) centrlni ugo koji pripd toj tetivi, n osnovu cosinus prvil ( ) ( ) AOB cos r r r r AB ( ) ( ) AOB r AB r AOB cos : R : R : :V V π π 8 R R π π ( ) ( ) R R R R R R R R R R R R R R R : R R R : R R H H

38 y y 8 ( R R ) R ( 6) ( y R) y R H Ry R R H R H y y s y R 8 7 Omotc Rsπ 7 π 6π. b 0. Uzstopni lnovi geometrijskog niz:,b, bq. Iz uslov q b b Iz zbir tri broj sledi: b bq bq b q q b Iz drugog uslov je: b bq 60. Zmenom iz preve jednine: q b b bq 60 b( b) 60 b b 60 0 q ± 76 0 b, b, b 0. Pošto je iz prve jednine b q, slede dve mogunosti: q Z b 0 dobijmo jedninu, koj nem relnih rešenj: q q 0. Z b dobijmo jedninu q q 0ij su rešenj q i q ½. Prvo rešenje dje brojeve 6,,, drugo rešenje dje iste brojeve u suprotnom redosledu. Obe trojke su rešenj zdtk. 7

39 S U B O T I C A Zokružiti tn odgovor: ( y)? ) y ; b) y y ; c) y. [6 bodov]. Skrtiti rzlomk: ( ) [6 bodov]. Rešiti eponencijlnu jedninu 6. [6 bodov] 6. Zokružiti tn rezultt: log ) ; b) ; c) ; d). [6 bodov]. Ni sin α i cos α ko je sinα. [6 bodov] 6. Ni sv rešenj jednine cos sin 0. [6 bodov] 7. Dt je jednin prve: y. Zokružiti tku koj pripd toj prvi. 6 A 0, ; B,0 ; C,. [6 bodov] 6 8. Npisti jedninu tetive i ni koordinte krnjih tk tetive kružnice y 9, koju tk A(,) deli n dv jednk del. [6 bodov] 9. Zbir svih neprnih prirodnih brojev mnjih od 000 je: ) prn broj b) neprn broj c) nul. [6 bodov] 0. Rvn prleln osi prvog vljk see g tko d od krug osnove odsec odsek kome odgovr centrlni ugo od 0 o. Ako je visin vljk 0 cm, rstojnje rvni od ose vljk cm, izrunti površinu presek. [6 bodov] 8

40 S Z A B A D K A Krikázz be helyes válszt: ( y)? ) y ; b) y y ; c) y. [6 pont]. Egyszersítse törtet: ( ) [6 pont]. Oldj meg z eponenciális egyenletet 6. [6 pont] 6. Krikázz be helyes válszt: log ) ; b) ; c) ; d). [6 pont]. Htározz meg sin α és cos α értékét, h sin α [6 pont] 6. Htározz meg z egyenlet minden megoldását: cos sin 0. [6 pont] 7. Adv vn z egyenes egyenlete: y. Krikázz be z egyeneshez trtozó 6 pontot. A 0, ; B,0 ; C,. [6 pont] 6 8. Írj fel y 9 kör zon húrjánk z egyenletét, melynek felezpontj A(,). Htározz meg húr végpontjink koordinátáit is. [6 pont] 9. Az 000-nél kisebb pártln természetes számok összege: ) páros szám, b) pártln szám, c) null. [6 pont] 0. A hengert tengelyével párhuzmos síkkl metszettük úgy, hogy z lpkörbl lemetszett körszelethez trtozó középponti szög 0 o. Számíts ki síkmetszet területét, h henger mgsság 0 cm, metszet távolság henger tengelyétl pedig cm. [6 pont] 9

41 S U B O T I C A SZABADKA ! "#$ % &%' R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villmossági és gépészeti szk) M E G O L D Á S O K. ( y) y y (zokružiti b.). ( ) ( )( ) ( )( ), / 8 6 z t dobij se t 6t 8 0 t, t ; 6. log log log log (zokružiti d).. sin α cos α cosα ± sin α 0 0 <α<90 0 cosα > 0. cosα sin α sinα cosα cos α cos α sin α Z sin t immo t t 0 t ; t π sin t kπ, k Z. π π sin t kπ ili kπ, k Z cos sin 0 ( sin ) sin 0 sin sin

42 7. y 6 y zokružiti B i C. 8. Koeficijent prvc prve p (OA) sledi jednin tetive t: y ( ). Krjnje tke su preseci prve t: y i kružnice y 9. Metodom zmene dobijmo: ( y ) y 9 0 y 0y 0 y M 0 ±. Krjnje tke tetive su: 0 0 0, N 0, Prvi neprn prirodn broj je, dok zdnji koji je mnji od 000 je 999. n n Pošto je S ( n ) ( 999) n 00n, p je trženi zbir prn broj. (Zokružiti ) 0. Rvn prleln osi prvog vljk see g tko d od krug osnove odsec odsek kome odgovr centrlni ugo od 0 o. Ako je visin vljk 0 cm, rstojnje rvni od ose vljk cm, izrunti površinu presek. Posmtrjmo bzu. On je preseen po tetivi AB, kojoj pripd centrlni ugo od 0 o r. Neposredno se uovju sledee injenice: rcm, AB, p je tržen površin presek p AB H 0 0. C A 60 o 60 o D r B

43 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A (elektrotehniki i mšinski odsek). Zokružiti tn odgovor: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 bodov]. Skrtiti rzlomk:? [6 bodov]. Rešiti ircionlnu jedninu:. [6 bodov]. Zokružiti tno tvrenje: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 bodov]. Iz tke A vrh stub se vidi pod uglom od 0 o. Iz tke koj j 0 metr bliž, vrh stub se vidi pod uglom od o. Kolik je visin stub? [6 bodov] 6. Ni sv rešenj jednine: sin sin sin. [6 bodov] 7. Kolik je površin trougl odreenog prvm p i q i osom O, ko je: p: y 0 i q: y 0? [6 bodov] 8. Tk A(,-) pripd krugu koji je oivien kružnicom (kružnom linijom) ( ) ( y ) 6. ) DA b) NE [6 bodov] 9. Ni br dve trojke prirodnih brojev, koji u dtom redosledu obrzuju ritmetiki niz, ko njveem još dodmo broj, td e obrzovti geometrijski niz. [6 bodov] 0. Površin drvenog kvdr dimenzij 6cm ofrbn je s nekom bojom. Kvdr je ztim rseen n kockice dimenzij cm. Koliko tkvih kockic se dobije ) neofrbnih; b) ofrbnih s jedne strne; c) ofrbnih s strne; i d) ofrbnih s strne? [6 bodov]

44 MSZAKI FISKOLA S Z A B A D K A (elektrotechniki és gépészeti szk). Jelölje meg helyes válszt: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 pont]. Egyszersítse törtet:? [6 pont]. Oldj meg z ircionális egyenletet:. [6 pont]. Krikázz be helyes válszt: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 pont]. Az A pontból z oszlop csúcs 0 o -os szög ltt látszik. 0 méterrel közelebbrl ez szög o. Milyen mgs z oszlop? [6 pont] 6. Htározz meg z egyenlet minden megoldását: sin sin sin. [6 pont] 7. Mekkor háromszög területe melyet p és q egyenes zár be z O tengellyel, h: p: y 0 és q: y 0? [6 pont] 8. Az A(,-) pont illeszkedik körhöz, melyet ( ) ( y ) 6 körvonl htárol. ) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irj fel természetes számok leglább két hármsát, melyek z dott sorrendben számtni soroztot lkotnk, de legngyobb számot -gyel növelve mértni sorozttá lkulnk. [6 pont] 0. A 6cm kiterjedés tégltest felszínét befestettük. Ezután testet cm-es kiterjedés kockákr drboltuk. Hány ilyen kock vn: ) befestetlen; b) oldláról befestve; c) oldláról besestve; és d) oldláról befestve? [6 pont].

45 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA MSZAKI FISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINSÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. 6 9 ( ), odgovor ).. ( ) ( )( ) ( ) ( ). Uslovi rešivosti: > 0 > 0 > 0 ( ) ( ) ( ) / : A log log log0 log log log log00, odgovor je ).. o 0 m 0 o ( ) ( )

46 6. ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π π π π π k k sin t k k sin t t t t t sin sin sin sin ± ± ± Ako tk A(,-) pripd krugu koji je oivien kružnicom (kružnom linijom) 6 ) ( ) ( y, ond je njeno odstojnje od centr (,-) krug mnje od poluprenik krug r. Proverimo: < ) ( ) (, zni odgovor je DA. 9. lnovi ritmetikog niz su:, d, d lnovi geometrijskog niz su:, d, d d d d ( ) ( ) d d d d d d Prem tome mogui su nprimer sledei nizovi Z d, p je ritmetiki niz:,,,... geometrijski niz:,, 9,... ili z d, p je ritmetiki niz:, 8,,...geometrijski niz:, 8, 6, ) neofrbnih b) ofrbnih s jedne strne c) ofrbnih s strne 6 d) ofrbnih s strne8 y - C(,0 ) B(-/,0) A(0,) y P

47 !"##$% S u b o t i c Fktoristi sledee izrze: ) y b) 6b b. Rešiti jedninu : 6.. Rešiti nejedninu: > 0.. Rešiti jedninu: log ( ).. Izrunti ostle trigonometrijske funkcije oštrog ugl α, ko je cos α. 6. Rešiti trigonometrijsku jedninu: sin 7sin cos cos Sstviti jedninu prve koj prolzi kroz presek prvih y i y 8, prleln je s prvom y Ispitti meusobni odnos kružnic: 8 y 7 0 i 8 y y 9 0. Ncrtti obe krive! 9. Prvougonik s strnicom cm i dijgonlom d cm rotir oko kre strnice. Izrunti zpreminu i površinu nstlog tel. 0. Zbir prv tri ln ritmetikog niz je 6. Ako se drugi ln pove z, trei z, niz postje geometrijski. Odrediti prv tri ln ob niz. (# )#&##%*&,"#% "#%#-*&(#. 6

48 &'(#)'#&% S z b d k Bonts tényezkre: ) y b) 6b b. Oldj meg z egyenletet : 6.. Oldj meg z egyenltlenséget: > 0.. Oldj meg z egyenletet: log ( ).. Számíts ki z α hegyesszög többi trigonometrikus szögfüggvényét, h dott cos α. 6. Oldj meg trigonometrikus egyenletet: sin 7sin cos cos Htározz meg nnk z egyenesnek z egyenletét mely keresztülhld y és y 8 egyenesek metszéspontján, és párhuzmos z y 0 egyenessel. 8. Vizsgálj ki z 8 y 7 0 és 8 y y 9 0 körök kölcsönös helyzetét. Rjzolj le mindkét görbét! 9. A tégllpot, melynek egyik oldl cm és átlój d cm megforgtjuk rövidebb oldl körül. Számíts ki z így kpott test térfogtát és felszínét. 0. Egy számtni sorozt els három tgjánk összege 6. H második tgot megnöveljük -vel hrmdikt pedig -gyel, mértni soroztot kpunk. Htározz meg mindkét sorozt els három tgját. &/#&#0**-#. 7

49 S U B O T I C A S Z A B A D K A R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ) y ( y)( y) b) 6b b ( b b ) ( b). Jednin je definisn pod uslovom d je: Rešimo sd jedninu: ( ) zdovoljv uslov /, zni d se prihvt ko rešenje dte jednine. 8

50 (, ) [ ),. log ( ) smen : t t t t t t ± 6 6 ± 6 t Ob rešenj zdovoljvju dtu logritmsku jedninu, p je {,0}.. cos α, sin α cos α 6 sin α 9 sin α sinα 0 < α < 90 sinα tgα cosα ctgα tgα 6. sin 7sin cos cos 0 / :cos tg 7tg 0 smen :tg t 9

51 t t t tg 7t 0 7 ± π kπ ± 8 6 t 8 tg rctg kπ 7. Presek dtih prvih je tk: y y 8 y (,) A Prv koj prolzi kroz ovu tku A i prleln je s dtom prvom y 0 im isti koeficijent prvc ko i ov prv: y k k p je jednin tržene prve, npisn kroz tku A: y ( ) y y 0 0. y 8. Prvo rešenje: Trnsformišimo jednine dtih kružnic u iz kojeg se it centr i poluprenik: k : 8 y y ( ) y (-) y (, 0) (-) (y) oblik k : 8 y y 9 0 ( ) 6 ( y ) (, -) ( ) ( y ) Ako ncrtmo ove kružnice u istom kordintnom sistemu, videemo d se oni dodiruju 0

52 iznutr u tci (, ) A. Drugo rešenje: 8 y y 7 y 9 0 y y 9 0 y 8 y 7 A,. Jedin zjednik tk dtih kružnic je ( ) 9. b b b 69 b cm bcm dcm cm V BH P B M V r π H P r π rπ H V π b P π π b V π P 88 π 0π V 70π cm P 08π cm 0.,, je ritmetiki niz, td je :,,. je geometrijski niz, td je : ( ), Iz uslov zdtk sledi d je : Uvrštvjui u uslov geometrijskog niz, dobijmo d je: ( ) ( ) ± 78 ±

53 8 7 7 Jedno rešenje je : 8,, je ritmetiki niz s d 6 8,,7 je geometrijski niz s q. Drugo rešenje je : 7,, 7 je ritmetiki niz s d 7,, 8 je geometrijski niz s q.

54 S U B O T I C A (elektrotehniki i mšinski odsek). Zokružiti tn odgovor: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 bodov]. Skrtiti rzlomk:? [6 bodov]. Rešiti ircionlnu jedninu:. [6 bodov]. Zokružiti tno tvrenje: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 bodov]. Iz tke A vrh stub se vidi pod uglom od 0 o. Iz tke koj j 0 metr bliž, vrh stub se vidi pod uglom od o. Kolik je visin stub? [6 bodov] 6. Ni sv rešenj jednine: sin sin sin. [6 bodov] 7. Kolik je površin trougl odreenog prvm p i q i osom O, ko je: p: y 0 i q: y 0? [6 bodov] 8. Tk A(,-) pripd krugu koji je oivien kružnicom (kružnom linijom) ( ) ( y ) 6. ) DA b) NE [6 bodov] 9. Ni br dve trojke prirodnih brojev, koji u dtom redosledu obrzuju ritmetiki niz, ko njveem još dodmo broj, td e obrzovti geometrijski niz. [6 bodov] 0. Površin drvenog kvdr dimenzij 6cm ofrbn je s nekom bojom. Kvdr je ztim rseen n kockice dimenzij cm. Koliko tkvih kockic se dobije ) neofrbnih; b) ofrbnih s jedne strne; c) ofrbnih s strne; i d) ofrbnih s strne? [6 bodov]

55 S Z A B A D K A (elektrotechniki és gépészeti szk). Jelölje meg helyes válszt: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 pont]. Egyszersítse törtet:? [6 pont]. Oldj meg z irrcionális egyenletet:. [6 pont]. Krikázz be helyes válszt: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 pont]. Az A pontból z oszlop csúcs 0 o -os szög ltt látszik. 0 méterrel közelebbrl ez szög o. Milyen mgs z oszlop? [6 pont] 6. Htározz meg z egyenlet minden megoldását: sin sin sin. [6 pont] 7. Mekkor háromszög területe melyet p és q egyenes zár be z O tengellyel, h: p: y 0 és q: y 0? [6 pont] 8. Az A(,-) pont illeszkedik körhöz, melyet ( ) ( y ) 6 körvonl htárol. ) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irj fel természetes számok leglább két hármsát, melyek z dott sorrendben számtni soroztot lkotnk, de legngyobb számot -gyel növelve mértni sorozttá lkulnk. [6 pont] 0. A 6cm kiterjedés tégltest felszínét befestettük. Ezután testet cm-es kiterjedés kockákr drboltuk. Hány ilyen kock vn: ) befestetlen; b) oldláról befestve; c) oldláról befestve; és d) oldláról befestve? [6 pont]

56 S U B O T I C A S Z A B A D K A R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. 6 9 ( ), zokružiti pod ).. ( ) ( )( ) pod uslovom d je ±.. Jednin je definisn pod uslovom d je: > 0 > 0 > > 0 > 0 Rešimo sd jedninu: / zdovoljv uslov, p se prihvt ko rešenje dte ircionlne jednine.. A log log log log ( log log ) log( ) log00, zokružiti pod ).. Immo dv prvougl trougl. Oznimo visinu stub s H, odstojnje tke A od stub s. Iz jednog trougl: tg0 H H H Iz drugog trougl: tg H H H

57 6 ( ) ( ) ( ) 0 0 H zni d je visin stub H ( ) metr. 6. sin sin sin ( ) 0 sin sin u ovoj jednini uvedimo smenu t sin, ( ) 0 t t ( ) ± t 8 ± t ± t ( ) ( ) ± ± t π π π π π π k k k t t, sin sin 7. Ncrtjmo obe prve u istom kordintnom sistemu: : y y y p : y y y q Ove prve i O os odreuju trougo ij su temen tke ( ) ( ) 0,,,0,,0 C B A ; osnovic leži n O osi i dužin joj je, dok je visin h. Površin trougl je prem tome. 0 h P H A 0 0 o o

58 8. Kružnic ( ) ( y ) 6 centr u tki (, ) im C i poluprenik r. Ako ncrtmo ovu kružnicu i tku A(, ) u istom kordintnom sistemu, možemo konsttovti d tk A pripd krugu koji je oivien dtom kružnom linijom. O y C(,-) A(,-) r 9. Nek je n prirodn broj. Td trojku prirodnih brojev koji obrzuju ritmetiki niz možemo npisti ko: n, n d, n d, gde je i d prirodn broj. Ako njveem broju dodmo još dobiemo niz n, n d, n d, koji treb d bude geometrijski niz. n, n d, n d ritmetiki iz, n, n d, n d geometrijski niz, iz kojeg se može npisti d je n d n d n n d ( d ) n( n d ) n n nd d n nd n d n d n gde d mor biti prirodn broj, to se može postii npr. z n, n, n 9, n 6,... Z n d, p se dobijju nizovi:,, ritmetiki niz,,,9 geometrijski niz. Z n d, p se dobijju niyovi:,8, ritmetiki niz,,8,6 geometrijski niz. Tržene trojke prirodnih brojev koji zdovoljvju dte uslove mogu biti nprimer:,, ili,8,. 0. Oevidno, zpremin kvdr, to jest broj jedininih kockic je 0. Kd smo ofrbli telo, td kocke n temenim budu ofrbne s tri strne, kocke n ivicm (bez kocki n temenim) budu ofrbne s dve strne, kocke n strnm tel, bez onih n rubovim bie ofrbne s jedne strne kocke u "dubini" kvdr nee biti ofrbne. ) ; b) ; c) 6; d) 8. 7

59 S U B O T I C A (elektrotehniki odsek) y y y. Skrtiti rzlomk y y y [6 bodov]. Zokružiti isprvnu vrednost broj X. ) b) c) ± [6 bodov]. Rešiti nejedninu 7 < 7. [6 bodov]. Rešiti jedninu: log ( log ( )) [6 bodov]. Dokzti identitet: sin α cosα α tn cos α cosα [6 bodov] 6. Odrediti sv rešenj jednine sin cos [6 bodov] 7. Odrediti jedninu prve koj prolzi kroz tku (, ) i odsec jednke odseke n koordintnim osm. [6 bodov] 8. Odrediti jednine onih tngenti kružnice y 0 koje s osom O zklpju ugo od o. 9. Odrediti prvi ln i kolinik ( i q) geometrijskog niz, ko je: 8 i 600. [6 bodov] [6 bodov] 0. Rotirmo jednkokrki trpez oko vee osnove. Izrunti zpreminu dobijenog rotcionog tel, ko su osnove trpez 9, b krci: c. [6 bodov] 8

60 S U B O T I C A (mšinski odsek) b. Skrtiti rzlomk: 6b 6b [6 bodov] 6 6. Izrunti: [6 bodov]. Rešiti jedninu po nepozntoj : 7 7. [6 bodov]. Odrediti isprvn odgovor: log 8 log 9 log / A ) A b) A c) A 0 [6 bodov]. Dokzti identinost sinα sin α α tn sinα sin α [6 bodov] 6. Rešiti jedninu cos sin sin 0 [6 bodov] 7. Odrediti jedninu prve koj prolzi kroz tku (, ) i odsec jednke odseke n koordintnim osm. [6 bodov] 8. Odrediti centr i poluprenik kružnice y y 8 0, ko dužinu njene tetive koj pripd O osi. [6 bodov] 9. Odrediti prvi ln i rzliku ( i d) ritmetikog niz, ko je dto: n, n 7 i S n 0. [6 bodov] 0. Rotirmo prviln šestougo oko duže dijgonle. Izrunti zpreminu dobijenog rotcionog tel, ko je strnic estougl 0. [6 bodov] 9

61 S Z A B A D K A (elektrotechniki szk) y y y. Egyszersítse y y y törtet [6 pont]. Krikázz be X helyes értékét, h X. ) b) c) ± [6 pont]. Oldj meg z egyenltlenséget 7 < 7. [6 pont]. Oldj meg z egyenletet: log ( log ( )) [6 pont]. Igzolj sin α cosα α tn zonsságot! cos α cosα [6 pont] 6. Htározz meg sin cos egyenlet minden megoldását! [6 pont] 7. Htározzuk meg nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld (, ) ponton és koordináttengelyekbl egyenl szkszokt metsz le. [6 pont] 8. Htározz meg z y 0 körhöz húzhtó érintk közül zokt melyek z O tengellyel o -os szöget zárnk be. [6 pont] 9. Htározz meg mértni sorozt els elemét és hánydosát ( és q), h 8 és 600. [6 pont] 0. Forgssunk meg egy egyenlszárú trpézt ngyobb lpj körül! Mekkor kpott forgástest térfogt, h párhuzmos oldlk 9 és b, szárk pedig: c? [6 pont] 60

62 S Z A B A D K A (gépészeti szk) b. Egyszersítse 6b 6b törtet! [6 pont] 6 6. Számíts ki: [6 pont]. Oldj meg z egyenletet ismeretlenre 7 7. [6 pont]. Állpíts meg helyes válszt: log 8 log 9 log / A ) A b) A c) A 0 [6 pont]. Igzolj sinα sin α α tn zonsságot! sinα sin α [6 pont] 6. Htározz meg cos sin sin 0 egyenlet megoldásit! [6 pont] 7. Htározzuk meg nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld (, ) ponton és koordináttengelyekbl egyenl szkszokt metsz le. [6 pont] 8. Htározz meg z y y 8 0 kör középpontját és sugrát, vlmint O tengelybl kimetszett húrjánk hosszúságát. [6 pont] 9. Htározz meg számtni sorozt els elemét és különbségét ( és d), h n, n 7 és S n 0. [6 pont] 0. Forgssunk meg egy szbályos htszöget ngyobb átlój körül, és számítsuk ki keletkezett forgástest térfogtát, h htszög oldl 0. [6 pont] 6

63 S U B O T I C A S Z A B A D K A ! &%' R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villmossági szk) M E G O L D Á S O K. y y y y y y ( y) y ( y) pod uslovom d je y 0 i ± y. ( y) ( y)( y) y ( log ( ) ) log ( ) log ( ) log. tg α ctgα tgα sinα cosα tgα sinα cosα sin α cos cosα α 6 cos 9 α cos α cos α 9 cosα ± cosα sinα 6

64 6 6. cos sin cos sin sin sin 0 sin sin π π π π π π π π π π k k k k k k 6 6 sin 0 sin 7. n n n n n y n n m n y m 0 y y y je jednin tržene prve. 8. ( ) 0 0 y y y ( ),0 r C n y k n k y t tg tg : α uslov dodir: ( ) ( ) n q kp k r ( ) ( ) ( ) ( ), 0 ± n n n n n p su jednine trženih tngenti: : y t i : y t. 9. ( ) ( ) n S n ( ) 6 9 d d d n n trženi niz je:,...,,,,7,9, 9

65 0. r V V kupe V vljk V kupe V vljk BH r π BH r π 0π 70π π π 000π π 8 8 V π 70π 000π je volumen rotcionog tel. 6

66 S U B O T I C A S Z A B A D K A "#$ % &%' R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szk) M E G O L D Á S O K. b 6b 6b 6b ( b) ( b) b pod uslovom d je b 0 i b log 8 - log 9 - log A A A. α 90 α sin < < 80 cosα ± sin α cosα sin α zbog drugog kvdrnt, cosα sinα tgα cosα ctgα tgα cos sin sin 0 6

67 cos sin sin cos 0 / cos gde je cos 0 tg tg 0 tg tg 0 tg t ± t t 0 t ± t tg tg π kπ t rctg ( ) kπ, k Z y y 7. m n n m n n n n n n y y y 0 je jednin tržene prve. 8. y y 8 0 y y 8 0 ( ) ( y ) 8 0 ( ) ( y ) 0 C(, ), r 0 n 9. S n ( ) 0 ( ) 9 ( n ) d 9 6d d n trženi niz je: 9,,,,7,9,, r V V kupe V vljk V kupe V vljk BH r π BH r π 0π 70π π π 000π π 8 8 V π 70π 000π je volumen rotcionog tel. 66

68 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA SUBOTICA KANDIDAT: 9. Zokružite tn rezultt: 6 9 ) b) 6 Konkursni broj: [6 bodov]. Rešiti jedninu: 7 [6 bodov]. Rešiti jedninu: [6 bodov]. Zokružiti tn odgovor: log log 7 log ) b) 0 [6 bodov]. Izrunti vrednost od sin (α β) z oštre uglove α i β, ko je sin α i cos β. 7 [6 bodov] 6. Rešiti jedninu: sin cos cos 0 [6 bodov] 7. Kroz tku A (,) postviti prvu prlelnu s prvom y 0. [6 bodov] 8. Odrediti dužini zjednike tetive prbole y i kružnice y.[6 bodov] 9. Izrunti površinu i zpreminu lopte opisne oko kocke ivice. [6 bodov] 0. Izrunti zbir prvih 0 lnov ritmetikog niz, ko je diferencij (rzlik) d, šesti ln je 6 6. [6 bodov] 67

69 SZABADKAI MSZAKI FISKOLA A PÁLYÁZÓ NEVE:, Jelentkezési szám: 9. Krikázz be helyes válszt: 6 9 ) b) 6 [6 pont]. Oldj meg z egyenletet: 7 [6 pont]. Oldj meg z egyenletet: [6 pont]. Krikázz be helyes válszt: log log 7 log ) b) 0 [6 pont]. Számíts ki sin (α β) értékét, h α és β, hegyes szögek és sin α i cos β. 7 [6 pont] 6. Oldj meg z egyenletet: sin cos cos 0 [6 pont] 7. Az A (,) ponthoz illesszen y 0 egyenessel párhuzmos egyenest. [6 pont] 8. Htározz meg z y prbol és z y kör közös húrjánk hosszúságát. [6 pont] 9. Számíts ki z cm él kock köré írt gömb felszínét és térfogtát. [6 pont] 0. Számíts ki számtni sorozt els 0 tgjánk összegét, h sorozt differenciáj (különbsége) d, htodik tgj pedig 6 6. [6 pont] 68

70 S U B O T I C A S Z A B A D K A R E Š E N J A MINSIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K ( )( ) ( ) pod usovom d je. Zokružiti b).. Jednin je definisn pod uslovom d je : Rešimo sd jedninu: ( ) zdovoljv uslov /, zni d se prihvt ko rešenje dte ircionlne jednine.. je rešenje dte eksponencijlne jednine.. log log 7 - log 0, zokružiti ). 69

71 . 0 < α < 90, 0 < β < 90 sinα cosα sin α 9 6 cos β sin β cos β sin ( α β ) sinα cos β cosα sin β sin ( α β ) sin cos cos 0 cos ( sin ) cos 0 π kπ 0 sin 0 sin π kπ 6 π kπ 6, k Z 7. Odredimo prvo koeficijent prvc dte prve: y 0 y k. Zbog prlelnosti koeficijent prvc druge prve je k k. Jednin prve kroz dtu tku glsi: y ( ). y 9 y 0 je jednin tržene prve. 8. Nimo prvo presene tke prbole i kružnice: y y 0 ± 9 6 z prbol nije definisn, zni d je pscis presenih tk. 70 (, ), (, ) y y ± A B su presene tke.

72 Dužin zjednike tetive je dužin duži AB : ( ) ( ) 0 AB je dužin zjednike tetive. 9. Površin lopte je P R π, zpremin je V R π, gde je R poluprenik lopte. Kod lopte opisne oko kocke poluprenik je polovin od prostorne dijgonle: D R, P 9π 6π, 7π V 6π d 6 6 je prvi ln niz. Trženi zbir prvih deset lnov ritmetikog niz je: n 0 S 0 ( ( n ) d ) ( 9 )

73 VIŠA TEHNIKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (Zokružite odgovor ili odgovore koje smtrte isprvnim!) 9. Ni uprošeni oblik izrz: 9 A. B. 7 7 C Odrediti vrednost izrz: 00 6 ( 00 6) A. B. C.. Ni rešenje ircionlne jednine 7 A. B. C.. Rešiti nejedninu 6 0 A. (-,] B. [,] C. [, ). Odrediti rešenje eksponencijlne jednine A. B. C. 6. Koj su rešenj trigonometrijske jednine tg ctg 6 π A. kπ B. π k π C. π 6 kπ 7. Ni jedninu prve, koj je normln n prvu y 0, i prolzi kroz tku A(,). A. y 0 B. y 9 0 C. y Kolik je dužin tetive koju odsec kružnic y n prvoj y? A. 7 B. 7 C. 9. Prvougli trougo s jednom ktetom dužine i hipotenuzom dužine rotirmo oko duže ktete. Kolik je zpremin tko nstlog tel? A. 00π B. 000π C. 0π 0. Tri broj obrzuju ritmetiki niz, njihov zbir je. Dodmo li prvom broju, drugom broju, treem 9, dobij se geometrijski niz. Ni t tri broj! A.,, 8 B. 6, 6, 7 C., 8, SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVIŠE SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60. 7