MATEMATIKA ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA FELVÉTELI VIZSGAFELADATOK GYŰJTEMÉNYE

Átírás

1 VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA SUBOTICA SZABADKAI MŰSZAKI SZAKFŐISKOLA ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA MATEMATIKA FELVÉTELI VIZSGAFELADATOK GYŰJTEMÉNYE Subotic/Szbdk 00

2 Zdtke su sstvili i rešenj dli nstvnici i srdnici ktedre z kdemsko-opšteobrzovne predmete VISOKE TEHNIČKE ŠKOLE STRUKOVNIH STUDIJA U SUBOTICI Mr. István Boros Mr. István Boros Mr. István Boros Mr. István Boros Mr. István Boros Mr. Mrt.Tkč Mr. Mrt Tkč Mr. István Boros Mr. Márt Tkács U 999-toj godini nije bilo klsifikcionog ispit Gizell Cs.Pjor Gizell Cs.Pjor Gizell Cs.Pjor Gizell Cs.Pjor Mr. István Boros Mr. István Boros Nstvnici i srdnici ktedre PRIPREMA ZBIRKE ZADATAKA ZA ELEKTRONSKU UPOTREBU I ZA ŠTAMPU Mr. István Boros

3 PREDGOVOR Ovo izdnje je nmenjeno kndidtim koji polžu prijemni ispit iz Mtemtike z upis n jednom od sledećih studijskih progrm: Rzvoj proizvod s mehtronikom, Termotehnik s ekologijom, Elektronik s telekomunikcijm i Automtik s energetikom. Z upis n studijske progrme Informtičko inženjerstvo i Internet i elektronsko poslovnje prijemni ispit se polže iz Osnov rčunrstv. Ov Zbirk sdrži listove s zdcim koje su dobili kndidti n smom ispitu, i slede rešenj. Listovi su dvojezični: n srpskom i n mđrskom jeziku, ili u rnijem peiodu n jednoj strni su bili tekstovi n srpskom, n poleđini n mđrskom jeziku. Ndmo se, d oblik i sdržj ove zbirke dovoljno rečito govori o nčinu polgnj i o zhtevim koji se postvljju pred kndidtim z upis. Želimo Vm prijtn rd, uspešno pripremnje i prijem n Visoku tehničku školu strukovnih studij u Subotici. Autori

4 ELŐSZÓ Ez kidván zoknk diákoknk szól, kik Szbdki Műszki Szkfőiskolár szeretnének Mtemtikából felvételizni következő szkiránok vlmelikére: Termékfejlesztés és mechtronik, Termotechnik és ökológi, Elektronik és telekommunikációk és Automtik és energetik. A Számítástechnik, vlmint z Internet és elektronikus ügvitel szkiránokr Számítástechnik lpjiból kell vizsgát tenniük. A feldtgűjtemén z előző években hsznált vizsglpokt trtlmzz. A feldok után következnek megoldások. Mindegik feldtlp vg szerb és mgr nelvű, vg lp egik oldlán feldtokt szerb nelven, másik oldlán pedig mgr nelven nomtttuk. Reméljük, hog form is és trtlom is lehetővé teszi zt, hog diákok felmérjék, milen követelméneknek kell eleget tenniük felvételi vizsgán. Jó tnulást, eredménes felkészülést és sikeres felvételi vizsgát kívánunk Önöknek Szbdki Műszki Szkfőiskol nevében. A szerzők

5 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE b b b b. Uprostiti izrz b b b b (6 bodov). Rešiti jednčinu: 8 8. (6 bodov) 6. Rešiti eksponencijlnu jednčinu: 9 6. (6 bodov). Rešiti logritmsku jednčinu: log6 log log 7. (6 bodov) sin cos. Nći sv rešenj jednčine:. (6 bodov) 6. Dto je sinα (α<90 o ). Nći sinα, cosα, sinα i cosα. (6 bodov) 7. Temen trougl ABC su tčke: A(0, 0), B(, ) i C(, 6). Npisti jednčinu visine koj je povučen iz temen A. (6 bodov) 8. Dt je krug i prv koj prolzi kroz tčke A(6, 0) i B(9, ). Koj je tčk n prvoj njbliž kružnici i koj je tčk n kružnici njbliž prvoj? (6 bodov) 9. Površin drvene kocke je 86 cm. Kock je ofrbn (cel površin) crvenom bojom, ztim je rzrez n kockice od po cm. ) Kolik je ivic dte kocke? b) Koliko jediničnih kocki dobijmo tim komdnjem? c) Koliko je tih kocki ofrbno s strne? d) S strne? e) S strne? f) Koliko kockic uopšte nije ofrbn? (6 bodov) 0. Proizvod prv tri čln geometrijskog niz je 6. Ukoliko se treći čln smnji z dobijmo prv tri čln jednog ritmetičkog niz. Koji su to brojevi? (6 bodov)

6 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL b b b b. Egszerűsítse kifejezést: b b b b (6 pont). Oldj meg z egenletet: 8 8. (6 pont) 6. Oldj meg z eponenciális egenletet: 9 6. (6 pont). Oldj meg logritmikus egenletet: log6 log log 7. (6 pont) sin cos. Htározz meg z egenlet minden megoldását:. (6 pont) 6. Adv vn sinα (α<90 o ). Htározz meg sinα, cosα, sinα i cosα értékét. (6 pont) 7. Az ABC háromszög csúcspontji: A(0, 0), B(, ) i C(, 6). Írj fel z A ponton áthldó mgsság egenletét. (6 pont) 8. Adott z kör, és z A(6, 0) és B(9, ) pontokhoz illeszkedő egenes. Melik pont vn z egenesen legközelebb körhöz, és melik körnek z egeneshez legközelebbi pontj? (6 pont) 9. A fából készült kock felszíne 86 cm. A kock teljes felszínét befestettük, mjd feldrboltuk cm térfogtú kis kockákr. ) Mekkor z dott kock éle? b) Hán egségkockát nertünk? c) Hán kis kock vn oldláról befestve? d) és oldláról? e) és oldláról? f) Hán kock egáltlán nincs befestve? (6 pont) 0. Eg mértni sorozt első három tgjánk szorzt 6. H hrmdik számot - ml csökkentjük, eg számtni sorozt első három tgját nerjük. Melik mértni soroztról vn szó? (6 pont) 6

7 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K b b b b. b b b b ( b)( b) ( b)( b) ( b)( b) b b b b b b 6 6b ( b)( b) b b 6 b b uz uslov: b, b, b, b. ( b)( b)( b)( b) ( b)( b)( b)( b) 6, ( 9) ( 9)( 9) ( 9) Z 9 i 9 immo: ( 9) ( 9) ili 7 6, 9. Rešenje se ne prihvt, prem tome jednčin nem rešenj. 9 6 Podelimo jednčinu s i dobijmo: Stvimo smenu t t t 0. Rešenj su t i t. Iz t sledi 0, dok t ne prihvtmo, jer mor biti t > 0. :. log6 log log 7 log log log 7 7 log 8 log 6. sin cos.. Zmenimo li sin cos, i stvimo smenu cos t dobijmo: t t t 0 (t ) 0 t. t Iz nvedenog sledi cos cos cos, odnosno cos ±. Prem tome sv tržen rešenj su k z k Z. 7

8 6. Z sinα (α<90 o ) immo cosα sin α. Sledi: sinα sinα cosα, cosα cos α sin α. sinα sin(α α) sinα cosα cosα sinα, cosα cos(α α) cosα cosα sinα sinα 0. C B 6 7. Odredimo prvo koeficijent prvc duži BC: k. Tržen BC C B visin prolzi kroz tčku A i normln je n prvu (BC), zto je koeficijent prvc te prve k ha. Jednčin visine je:. k BC 8. Povučemo normlu kroz centr krug n prvu (AB). Tržene tčke su presek ove nove prve s kružnicom i s prvom (AB). p AB :. Norml n ovu prvu iz tčke (0, 0) je 0. Preseci su tržene "njbliže" tčke: N kružnici (, ) K, n prvoj P(8, ). 9. ) Neposredno se dobij, d je ivic kocke cm, jer je 6 86 cm. b) Broj jediničnih kocki je zpremin, tj 78 cm. c) 8 kocki, koje se nlze n temenim velike kocke ofrbno je s strne. d) s strne ofrbno je n svkoj ivici po 0 kockic, tojest 0 kocki. e) s strne su ofrbne kocke n svkoj od 6 strn po 00, tojest 600 kocki. f) neofrbne su kocke "ispod površinskog sloj" to je kocki. 0. To su brojevi, q i q. Njihov proizvod je q 6, iz čeg sledi d je srednji broj q 6. Koristimo činjenicu, d je (q ) q q. Neposrednom zmenom dobij se kvdrtn jednčin po q: q q 0. Odvde je q, i q /. Ko rešenje dobijmo ist tri broj u obrnutom redosledu, 6 i, odnosno, 6 i. 8

9 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: :. Rešiti jednčinu (odbrti pogodnu zmenu!): 6 6. Rešiti sistem jednčin:. Rešiti jednčinu: log log 0. Svesti izrz n funkcije ostrih uglov, ztim izrčunti vrednost bez upotrebe klkultor: o o o sin70 cos90 tg0 ctg 0 sin860 cos780 o o o 6. Rešiti jednčinu: cos cos cos 7. Centr kružnice se nlzi n prvm 6 i 0, prolzi kroz tčku T(, ). Npisti jednčinu te kružnice. 8. Odrediti jednčine zjedničkih tngenti prbole i elipse U prvilnu četvorostrnu jednkoivičnu pirmidu upisn je lopt. Koliko procent iznosi zpremin lopte od zpremine pirmide? 0. Aritmetički i geometrijski niz imju isti treći čln, koji iznosi. Proizvod prvih člnov je, drugih 6. Koji su ti nizovi? NAPOMENA: svki zdtk se boduje mksimlno s 6 bodov. 9

10 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VISGA MATEMATIKÁBÓL.. Egszerűsítse következő kifejezést: :. Oldj meg következő egenletet: 6 6. Oldj meg következő egenletrendszert:. Oldj meg következő egenletet: log log 0. Vezesse vissz szögfüggvéneket hegesszögek függvéneire, mjd számíts ki o o o sin70 cos90 tg0 kifejezés érékét klkulátor hsznált nélkül: o o o ctg 0 sin860 cos Oldj meg következő egenletet: coscos cos 7. A kör középpontj z 6 és z 0 egenesek metszéspontjábn vn, vlmint áthld T(, ) ponton. Írj fel kör egenletét!. 8. Htározz meg z prbol, és 8. ellipszis közös érintőinek egenletét! 9. A szbálos négoldlú (egenlőélű) gúláb gömböt rjzoltunk. Hán százlék gúl térfogtánk gömb térfogt? 0. Eg számtni és eg mértni soroztnk is hrmdik tgj. Az első tgok szorzt, második tgok szorzt pedig 6. Melik ez két sorozt? MEGJEGYZÉS: mindegik feldt megoldásáért legfeljebb 6 pont jár. 0

11 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. : : : 6 : 6 : :, z i z i 0 stvljmo smenu: 6 t. Sledi jednčin: 0 t t t t. Rešenj su: t, i t ½. Z t immo: 6, z t ½ immo: 6... Zmenimo iz druge jednčine u prvoj jednčini: 0. Nkon stvljnj smene t dobijemo jednčinu: 0 t t. Rešenj su: t 8, i t. Z t 8 immo:., 8 Z t immo:.,

12 . log log 0. Primenom osobin logritm i stvljnj smene z log immo jednčinu: z 0 s rešenjim: z, i z, odnosno : ¼, i.. o o o sin70 cos90 tg0 ctg 0 sin860 cos780 o o o o o o ( ) ( ) ( ) sin 60 0 cos 60 0 tn o o o ( ) ( ) ( ) o o o o o o cot 80 sin cos o o o sin 0 cos0 tn 0 o o cot sin 60 cos60 o coscos cos dobijemo cos cos ( cos cos ). Zmenimo li to u dtoj jednčini immo: cos cos 0.. Primenom formule cos α cos β ( cos( α β ) cos( α β )) Pošto je α β α β cosα cos β sin sin sledi: sin sin 0. Odtle se rešenj: sin 0 k k, ili sin 0, z k Z. 7. Presek prvih 6 i 0 je tčk C(, ). Poluprečnik kružnice je je rstojnje CT 8. Iz tog neposredno sledi jednčin tržene kružnice: ( ) ( ) Jednčine zjedničkih tngenti prbole i 8 tržimo u obliku k n. Uslov dodir prbole je p kn, gde je p prmetr prbole. Sledi k. n Uslov dodir elipse je k b n, gde su i b poluose elipse. Sledi: k. Objedinjvjući zključke dobijmo z k n, i z k n. Slede jednčine zjedničkih tngenti:,.

13 9. Posmtrjmo osni presek KLS. KS h OS H r pirmide H je: V 6, MS H r. Pošto je r OS PS dobijmo r ( 6 ), zpremin lopte je: r ( 6 ) S V.,, PS h ( ) S. Zpremin L M K K P r O r M Q L 00V p. V Trženi procentni broj je 0 ( ) 0,8% 0. Nek su člnovi ritmetičke progresije, i, člnovi geometrijskog niz su b, b i b, pri čemu je b, ztim b i b 6. N osnovu svojstv ritmetičkog i geometrijskog niz zpisujemo: b b d d i d d. dok je b i b. q q q q Po uslovu zdtk je b ( d ) q, i b 6 ( ) d. Iz ove druge q 8 q jednčine sledi: d. Zmenimo li to u prethodnu jednčinu dobijmo: q 6q 8 0. Rešenj po nepozntom q su: q i q. Z q dobijmo d, p je trženi ritmetički niz,,, geometrijski je,,. Z q dobijmo d, p je trženi ritmetički niz 8, 6,, geometrijski je ¼,,.

14

15 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: b b b b b b ( ).. Rešiti jednčinu:.. Rešiti eksponencijlnu jednčinu: Rešiti logritmsku jednčinu: log ( ) log ( ) Rešiti trigonometrijsku jednčinu: 9sin 0sin cos cos. 6. Odrediti vrednosti ostlih trigonometrijskih funkcij ugl α, ko je < α <, i ctgα. 7. Izrčunti površinu trougl obrzovnog tngentm elipse povučene 0 iz tčke P 0,, i ose O. 8. U krug jediničnog poluprečnik upisn je prvougonik s odnosom strnic :. Koliko procent čini površin prvougonik od površine krug? 9. Osnov prve prizme je prvougli trougo ABC. AC dm. Prv ugo je kod temen C, dok ugo kod temen A iznosi Ugo izmedju bočnih dijgonl koje ishode iz tčke A je 0 0. Izrčunti zpreminu prizme! 0. Ako se od broj odbci prvi, ostli čine geometrijsku progresiju. Ako se odbci poslednji, ostje ritmetičk progresij. Zbir brojev iz geometrijske progresije je, zbir tri broj iz ritmetičke progresije iznosi. Nći te brojeve. Npomen: Svki zdtk se boduje mksimlo s 6 bodov.

16 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egszerűsítse kifejezést: b b b b b b ( ).. Oldj meg z egenletet:.. Oldj meg z eponenciális egenletet: Oldj meg logritmikus egenletet: log ( ) log ( ) Oldj meg trigonometrii egenletet: 9sin 0sin cos cos. 6. Htározz meg z α szög többi szögfüggvénét, h < α < és ctgα. 7. Számíts ki nnk háromszögnek területét, melet z ellipszishez 0 P 0, pontból húzott érintők és z O tengel lkotnk. 8. Az egségsugrú körbe tégllpot rjzoltunk mel oldlink rán :. A kör területének hán százlék trtozik tégllphoz? 9. Az egenes hsáb lplpj z ABC derékszögű háromszög. AC dm. A derékszög C pontnál vn, míg z A pontnál lévő szög Az A pontból kiinduló oldlátlók egmás között 0 0 -os szöget zárnk be. Htározz meg hsáb térfogtát! 0. H szám közül elhgjuk z elsőt, megmrdók mértni soroztot lkotnk. H z utolsót hgjuk el, kkor számtni sorozt mrd. A mértni sorozthoz trtozó számok összege, míg számtnihoz trtozók összege. Melik ez szám? Megjegzés: A feldtok mindegike legfeljebb 6 ponttl értékelhető. 6

17 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K ( ) b b b b ( b ). Z 0 i b 0 immo: b b b b b b b ( b )( b ) ( b) b, pod uslovom d je ±(b). ( b) ( b) b b. Z 0 i immo:. Kvdrirmo li jednčinu, dobijmo:. Ponovnim kvdrirnjem: 6. Rešenj ove poslednje jednčine su 0 i 6/, od kojih brojev smo ovj drugi zdovoljv polznu jednčinu! Uočiti, d je moguć smen t ( 0 ) rešenj ± 0, p je 0. Dobij se jednčin t 0 t 0 čij su t. Pošto mor biti t > 0, sledi ( 0 ) Končno rešenje je: ( 0 ) ( 0 ). log ( ) log ( ) 8. t Primenom osobine logritm dobijmo: ( ) 9 log ( ) 7 0 6log. Stvimo smenu t log ( ) : 9 ± 6t 9t 7 0. Rešenj ove poslednje jednčine su t. Negtivno rešenje se odbcuje zbog kvdrt, p će biti t log ( ), 7

18 sledi: log( ) ±. Z dobijmo 0, odnosno ±. Drugo rešenje ( ) odbcujemo jer ne postoji relno z koje je log( ), nime, treblo bi d bude 0 0,9.. 9sin 0sin cos cos. Nkon smene cos sin immo: 6sin 0 sin cos 0 sin (8 sin cos) 0 sin 0, što znči k, ili je 8 sin cos 0, to jest tg 8/. Ovo zdnje rešenje znči 8 6' k, gde je k Z. 6. Pošto je ctgα zto je tg α. ctgα tgα Immo identičnost sinα. Zbog uslov < α < ± tg α ± dobijemo, d je sinα. Slično zbog uslov zdtk je cos α. 7. Nek je jednčin tngente A B C 0. Uslov dodir je A b B C 0, gde su i b poluose elipse. To znči: 0A B C 0. Pored tog prv prolzi kroz tčku P 0 0, : A B C 0. Rešvnjem sistem od ove dve jednčine dobijmo tngente: i 0. Koordinte presek ovih prvih s osom O su tčke A(, 0) i B(0, 0). Prem tome osnov trougl je duž AB, visin trougl je ordint tčke P. Zto je tržen površin p Prvougonik upisn u krug jediničnog poluprečnik im dijgonlu dužine, jedn strnic im dužinu, dok drug. Po Pitgorinoj teoremi je 9, odnosno /. Površin prvougonik je 6/,. Pošto je površin krug, p, trženi procent će biti k 00% 00% 8,%. p 8

19 9. Pošto je osnov "polovin" jednkostrničnog - trougl, dužine ivic su: AC, AB i BC. B A Prv B C je normln n celu bočnu strnu ACC A, p je normln i n duž AC. H C To znči d je trougo AC B prvougli s prvim uglom kod tčke C. Prem tome i to je "polovin" jednkostrničnog trougl, zto B 0 o 60 o A iz B C sledi: AB. 90 o Visinu H rčunmo pomoću Pitgorine teoreme: H ( ) 8. Sledi H, tržen zpremin je: V B H p ABC V 6 AC BC H BB C 0. Nek su prv tri broj, koji čine ritmetičku progresiju oznčeni s, d, d. Četvrti čln je deo geometrijske progresije čiji su prvi i drugi čln d, d, zto je količnik te progresije (d)/( d). Dok je četvrti broj jednk (d) /( d). Po uslovim zdtk immo: ( d ) ( d ) ( d ), i (d) (d) d Iz ovog sistem jednčin slede rešenj. Z d dobijemo 6 i brojeve: 6,,, 6, z d dobijemo i brojeve,,, 9. 9

20 0

21 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz b b b b (6 bodov). Rešiti jednčinu:. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jednčinu: 9 7. (6 bodov). Rešiti logritmsku jednčinu: log log8 log. (6 bodov). Dokzti identičnost sin α sinα sinα 0. (6 bodov) 6. Nći sv rešenj trigonometrijske jednčine: sin sin sin sin 0. (6 bodov) 7. Osnov jednkokrkog trougl ABC je duž AB: A(, ), B(, ). Odrediti površinu tog trougl ko se treće teme nlzi n osi O. (6 bodov) 8. Pod kojim uglom se vidi krug 0 iz tčke P(, ). (6 bodov) 9. Odrediti površinu i zpreminu lopte koj je opisn oko kocke, čij je zpremin V cm. (6 bodov) 0. Tri broj čine ritmetički niz, njihov zbir je. Ako se poslednji poveć z vrednost prvog broj, dobij se geometrijski niz. Koji so to brojevi? (6 bodov)

22 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egszerűsítse kifejezést b b b b (6 pont). Oldj meg z egenletet:. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egenletet: 9 7. (6 pont). Oldj meg logritmikus egenletet: log log8 log. (6 pont). Igzolj z lábbi zonosságot: sin α sinα sinα 0. (6 pont) 6. Htározz meg trigonometrii egenlet minden megoldását: sin sin sin sin 0. (6 pont) 7. Az ABC egenlőszárú háromszög lpj z AB szksz: A(, ), B(, ). Htározz meg háromszög területét, h hrmdik csúcspont z O tengelhez illeszkedik. (6 pont) 8. Mekkor szög ltt látszik z 0 kör P(, ) pontból? (6 pont) 9. Htározz meg kock köré írt gömb felszínét és térfogtát, h kock térfogt V cm. (6 pont) 0. Három szám számtni soroztot lkot, összegük. H z utolsó számot megnöveljük z első szám értékével, kkor mértni soroztot nerünk. Melek ezek számok? (6 pont)

23 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. b b b b b b b b b b b b b b. Jednčin im smisl z 0. Elimincijom rzlomk: ) 8( ) )( ( ) ( Rešenj su i 8. Proverom se utvrdjuje d smo broj 8 zdovoljv polznu jednčinu ( ) log log log 8 ( ) ( ) log log log log log 6.

24 . Z dokz jednkostisin α sinα sinα 0 primenimo identičnost: α β sin α sinβ sin cos sinα sinα Pošto je cos α β sinα cos. Spojimo prvi i treći sbirk n predloženi nčin sinα cos sinα, sledi d je tvrdjenje zdtk tčno: sinα sinα sin sin sin sin 0. Primenimo formulu iz prethodnog zdtk n sbirke i, odnosno n i. sin cos sin sin 0 sin 0 ili cos sin 0. Prv mogućnost neposredno dje k, odnosno k z k Z. Drugu jednčinu npišimo u obliku zbir sinus, ztim opet primenimo formulu z zbir sinus: cos sin 0 sin sin 0 sin cos 0. Iz te jednčine slede još dve serije rešenj: k i k z k Z 7. Npišimo jednčinu visine trougl ABC koj pripd duži AB: To je simetrl duži A(, ), B(, ). Prolzi kroz središte duži to je tčk C (, ) i normln je n (AB). Pošto je k AB /, zto t visin im jednčinu ( ). T prv seče osu O u tčki C(/, 0). Dužin osnovice je AB 0, visin trougl je CC 0. Prem tome, površin je: 0 0 AB CC 0 p.

25 8. Povucimo tngete krug 0 iz tčke P(, ). To će biti prve k ( ) koje s kružnicom imju jednu zjedničku tčku. Situcij se poklp ko posmtrmo centrlni krug i tčku Q(, 0), odnosno prvu k ( ) (jer je centr polzne kružnice C(, ) poluprečnik r ). Uvrstimo u jednčinu kružnice i zhtevmo jedno rešenje. To ns dovodi do izjednčvnj diskriminnte s nulom to je jednčin: ( k ) k ( k ) 8k 6k 0 D 6k ( k )(6k ) 0 k 0 k ± ±. To su koeficijenti prvc tngenti. Tngens ugl izmedju njih je: k k tg ϕ ϕ 60. k k 9. T lopt im prečnik, koji je jednk telesnoj dijgonli kocke: R. Iz zpremine kocke V cm sledi:. Očevidno mor biti t, gde je t zsd nepoznt broj. Odvde je t. Zključujemo: t. P mor biti t 8 odnosno t, p će biti. Pošto je R sledi R. To znči: R. Zpremin te lopte je V 08/ cm, dok je površin P 6 cm. 0. Nek su to brojevi, d i d, pri čemu je d, ili d. d ( d ) Drug jednčin se dobij iz količnik geometrijskog niz:, d d ( d ) ili ( ). Rešvnjem ovog sistem jednčin dobijemo: d. To znči, trženi su brojevi:,, 6.

26 6

27 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE ko je ( ), b ( ). Izrčunti ( ) ( b ). (6 bodov). Rešiti jednčinu:. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jednčinu: (6 bodov) 7. Rešiti logritmsku jednčinu: log log 0. (6 bodov) 6. Ako je tg α i α β odrediti tg β. 7 (6 bodov) 6. Rešiti trigonometrijsku jednčinu: cos sin. (6 bodov) 7. Težište T trougl ABC pripd osi O, teme C pripd osi O, dok temen A i B su dt: A(, ), B(,). Odrediti koordinte tčk T i C. (6 bodov) 8. Oko kružnice 00 opisn je tngentni četvorougo čij su dv suprotn temen A(, ) i C(0,0). Odrediti koordinte temen B i D. (6 bodov) 9. Iz prvog kružnog vljk poluprečnik R cm i visine H0 cm isečeno je kugli poluprečnik r cm. Kolik je zpremin otpd i koliko je to procent od zpremine vljk? (6 bodov) 0. Četiri broj čine geometrijski niz, njihovi logritmi z osnovu čine ritmetički niz čiji je zbir 8, rzlik d. Koji so to brojevi? (6 bodov) 7

28 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A Számíts ki ( ) ( b ) MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL, értékét, h ( ) ( ) b.(6 pont). Oldj meg z egenletet:. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egenletet: (6 pont) 7. Oldj meg z egenletet: log log 0. (6 pont) 6. H tg α és 7 (6 pont), htározz meg tg β értékét. α β 6. Oldj meg trigonometrii egenletet: cos sin. (6 pont) 7. Az ABC háromszög T súlpontj z O tengelhez illeszkedik, míg C csúcspont z O tengelhez trtozik. Ismertek A és B pontok koordinátái: A(, ), B(,). Htározz meg T és C pontok koordinátáit. (6 pont) 8. Az 00 kör köré érintőnégszöget rjzoltunk, melben ismertek z egik átlójánk végpontji: A(, ) és C(0,0). Htározz meg másik átló végpontjink, B-nek és D-nek koordinátáit. (6 pont) 9. Az R cm sugrú és H0 cm mgsságú egenes körhengerből kimetszettünk gömböt, mindegiknek sugr r cm. Mekkor hulldék térfogt, és hán százlék ez henger térfogtánk? (6 pont) 0. Nég szám mértni soroztot lkot, míg hármslpú logritmusik eg számtni sorozt elemei, melek összege 8, különbsége d pedig. Melek ezek számok? (6 pont) 8

29 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ( ) ( ) b ( ) ( ) b ( )( ) ( )( ) ( )( ) Očevidno mor biti i /, tojest /. ( ) ( ) ( )( ) ( ) i. Proverom utvrdjujemo, d se rešenje prihvt dok se odbcuje Pošto je 8 0.,, 0. i sledi: 0 9

30 7 7. log log 0 log 0 6 log 6. Smen: 7 log t t 0 6t 7t 0 t 6 t t t, t 8,.. tg( α β ) tgα tgβ tgα tgβ tgβ 7 7 tg tg β. 7 tgβ 7 tgβ tg β tgβ cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos 0 cos ( cos ) 0 cos 0 ili k ili ± k, z k Z. cos 7. Pošto je T O T(t, 0 ), dok je C O C (0, c ). Tkodje je: t b c i t b c 0 c t i 0, odtle sledi c. Prem tome: T(, 0), C(0, ). 8. Očevidno, potrebno je odrediti tngente t AB i t AD ztim nći B i D. Tngent kružnice koj prolzi kroz tčku A je: k( ). Iz uslov dodir r (k ) l, gde je l k - immo k, k. Tngente kroz tčku C dobijju se n sličn nčin: 0 k( 0 ). P iz uslov dodir sledi k 0, k. 0

31 t AB : t AD :, tcb 0, njihov presek je tčk B(, ). 0, tcd 0, njihov presek je tčk D(, 0). 9. Zpremin vljk je V v R H 70 cm. Zpremin jedne lopte je: V L r / 00 / cm. Otpd je V o V v V L 0 cm. Pošto je to tčno trećin zpremine vljk zto je to u procentim,%. 0. Nek su to brojevi, q, q i q, njihovi logritmi su: log, log log q, log log q i log log q. Zbir tih brojev je: log 6 log q 8, diferencij je log q. Iz nvedenog sledi q, i log log 7. Prem tome trženi brojevi su: 7, 8,, 79.

32

33 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: :. (6 bodov). Rešiti jednčinu: 6. (6 bodov). Rešiti eksponencijlnu jednčinu: (6 bodov) log log. Rešiti jednčinu:. (6 bodov). Izrčunti sin( α β ), ko je sin α, i cos β. 7 (6 bodov) sin sin 6. Rešiti trigonometrijsku jednčinu:. sin sin (6 bodov) 7. Dt je trougo ABC koordintm svojih temen: A(, ), B(, ), C,. Dokzti d je trougo prvougli i izrčunti njegove oštre uglove. Kko glsi jednčin prve koj sdrži strnicu AB? (6 bodov) 9 8. Dt je jednčin kružnice Nći dužinu tetiv, koje kružnc odsec n koordintnim osm. Povući tngentu n kružnicu u krnjoj tčki tetive koj pripd osi O i koj je bliž koordintnom početku. (6 bodov) 9. Nći zbir svih trocifrenih neprnih prirodnih brojev. (6 bodov) 0. Oko kvdr dimenzij cm, bcm, c0cm opisn je sfer. Nći površinu sfere i zpreminu lopte koju ogrničv t sfer. (6 bodov)

34 MŰSZAKI FŐISKOLA SZABADKA MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egszerűsítse kifejezést: :. (6 pont). Oldj meg z egenletet: 6. (6 pont). Oldj meg z eponenciális egenletet: (6 pont) log log. Oldj meg z egenletet:. (6 pont). Számíts ki sin( α β ) értékét, h sin α, cosβ. 7 (6 pont) sin sin 6. Oldj meg trigonometrii egenletet:. sin sin (6 pont) 7. Adottk z ABC háromszög csúcspontji: A(, ), B(, ), C,. Bizoníts be, hog háromszög derékszögű. Htározz meg háromszög minden szögét. Irj fel z AB oldlhoz illeszkedő egenes egenletét is! (6 pont) 9 8. Adott kör egenlete: Htározz meg kör áltl koordináttengelekből kimetszett húrok hosszúságát. Irj fel kör zon érintőjének z egenletét is, mel z O tengelen kimetszett húrnk z O ponthoz közelebb eső végpontjábn érinti kört! (6 pont) 9. Számíts ki háromjegű pártln természetes számok összegét. (6 pont) 0. Az cm, bcm, c0cm élhosszúságú tégltest köré gömböt rjzoltunk. Számíts ki gömb felszínét és térfogtát. (6 pont)

35 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. : ( ) ( ) : ( ) ( )( ) : :. 6 (uslovi rešvnj su: ) ( ) ( 6) 6 6 /6 6 9 R Rešenje zdovoljv gore nvedeni uslov, znči prihvtmo g: { } smen : 6 t 6 t 6 0 / t 6 t 6t 6t 6 0t 0t 6 0 t t / 7 0 ± ( 0) 6 ( 6) t 6 6 t / 0 ± Pošto eponencijlni izrz ne može imti negtinvu vrednost, drugo rešenje ne prihvtmo, znči R {}.

36 . log log uslov rešvnj je > 0 log log ( log ) log log ( log ) log 6log log log 0 Rešenje zdovoljv gore nvedeni uslov, znči prihvtmo g: R 0.. sin( α β ) sinα cos β cosα sin β Pošto je zdto, d je sin α, i cos β, sledi 7 cos α sin α 6 89 sin β cos β sin( α β ) sin sin sin sin (uslovi rešvnj su sin 0 sin 0 sin sin 0 ) sin sin / ( sin ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin ( )( ) ( ) sin sin sin 0 sin sin sin sin 0 ± ( ) ( sin ) ( sin ) ± 7 sin k k 6 6 sin k 6

37 7. A(, ), B(, ), C,. dužin strnice AB ( ( ) ) ( ) BC 0, AC 0 ( ), AC BC < AB, znči AC i BC bi treble biti ktete (jednkokrkog) prvouglo trougl, AB bi trebl biti hipotenuoz. Prem tome po Pitgorinoj teoremi AC BC AB Uslov je zdovoljen, znči trougo je prvougli. cos( A) AB (, ) (, ) (, 0) AC, cos ABo AC (, ), 0 AB AB AC AC o ( A) A cos AB BA AB AC BC BC BAo BC ( B) BA BC BA AB BC, (, 0) 0 AB ABo AC (, ), AC o ( ) cos B B (Pošto je trougo jednkokrki, nsprm jednkih strnic leže jednki uglovi, prem o tome i bez rčun A B ). Jednčin prve kroz dve tčke 7

38 ( ) ) ), gde je ( ) ( ( ) (,, B,, A prem tome jednčin prve AB je ( ) 0 (Pošto A i B imju iste koordinte, one su n prvoj prlelnoj O osi.) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Preseci s osm se rčunju ko rešenj sistem jednčin: A (p,q)(,) B 0 D C t ( ) ( ) ( ) ( ) / ± ± ± ± Preseci kružne linije i O su ,,B, A ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± Preseci kružne linije i O su ,,C, D. 8

39 8 8 Dužin tetive AB 0, CD 7. Treb povući tngentu t : k l u tčci A. 8 ( ) ( ) ( p) ( q) r, 8 A 0,, t : ( p)( p) ( q)( q) r 8 8 t : ( 0 )( ) ( ) jednčin tngente u zdtoj tčci ( ) je 9. zbir , što je zbir prvih n0 člnov ritmetičkog niz s prvim člnom 0 i distncom d. Prem tome zbir Poluprečnik lopte je polovin dijgonle kvdr. D b c 0 00 R cm R 6 00cm P sfere 9

40 0

41 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Uprostiti izrz: : ( ). (6 bodov). Skrtiti rzlomk:. (6 bodov) 8. Rešiti eksponencijlnu jednčinu:. (6 bodov). Rešiti logritmsku jednčinu: lg 0. (6 bodov). Bez upotrebe rčunskih pomgl odrediti u stepenim, ztim u rdijnim uglove četvorougl ko se oni međusobno odnose ko 6:8:9:. (6 bodov) 6. Rešiti trigonometrijsku jednčinu: sin cos 0. (6 bodov) 7. Kroz tčku A(,) n prvoj 9 povučen je norml n ovu prvu. Odrediti površinu ogrničenu ovim prvim i osom O. (6 bodov) 8. Kružnic i prv 0 se seku. Odrediti: ) koordinte presek; b) dužinu zjedničke tetive; c) centrlni ugo koji pripd toj tetivi. (6 bodov) 9. Oko dve lopte koje se dodiruju spolj, opisn je kup. Zpremin jedne lopte je 8 put već od zpremine druge lopte, poluprečnik mnje lopte je cm. Izrčunti površinu omotč kupe. 0. Tri broj su uzstopni člnovi geometrijske progresije, njihov zbir je, proizvod srednjeg čln s zbirom krjnjih člnov iznosi 60. Koji su to brojevi? (6 bodov) (6 bodov)

42 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Egszerűsítse kifejezést: : ( ). (6 pont). Egszerűsítse törtet:. (6 pont) 8. Oldj meg z egenletet:. (6 pont). Oldj meg z egenletet: lg 0. (6 pont). Segédeszközök igénbevétele nélkül htározz meg négszög szögeit fokokbn és rdiánokbn is, h zok rán 6:8:9:. (6 pont) 6. Oldj meg z egenletet: sin cos 0. (6 pont) 7. A 9 egenesen elhelezkedő A(,) pontból merőlegest emeltünk erre z egenesre. Htározz meg két egenes és z O tengel áltl htárolt terület ngságát. (6 pont) 8. A kör és 0 egenes metszik egmást. Htározz meg: ) A metszéspontok koordinátáit; b) A közös húr hosszát; c) A húrhoz trtozó középponti szög ngságát. (6 pont) 9. Két egmást kívülről érintő gömb köré kúpot rjzoltunk. Az egik gömb térfogt másik gömb térfogtánk nolcszoros, kisebb gömb sugr cm. Htározz meg kúp plástfelületének ngságát. 0. Három szám eg mértni sorozt egmás után következő tgji. A számok összege, míg középsőnek és két szélső összegének szorzt 60. Melek ezek számok? (6 pont) (6 pont)

43 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ( ) : ( ) ( )( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ), (pod uslovim 0 ±, ).. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 (pod uslovim, ). / t smen / t t 6 t t 8 t t

44 . Uslov rešvnj > 0 lg lg 0 / lg lg lg0 lg lg lg0 lg smen lg ( ) t ( t ) t t t t ± lg lg α : β : γ : δ 6 : 8 : 9 : o α β γ δ 60 o 6k 8k 9k k 60 o 6k 60 k 0 o o α o o β o o γ o o δ 0 0 o α β γ δ 6k 8k 9k k 6k k 8 α 6 8 β γ 9 8 δ sin cos 0 sin ( cos sin ) 0 sin ( sin sin ) 0 sin sin 0 sin ( sin ) 0 sin 0 sin k k k, k Z 6 6 b 9 7. : 9 A(,) 9 0. A(0,) b b : 0 P ABC B(-9,0) C(,0)

45 8. k:, p: 0. ) p k ±, Tčke presek su.,,b, A b) dužinu zjedničke tetive:. AB 9 c) centrlni ugo koji pripd toj tetivi, n osnovu cosinus prvil ( ) ( AOB cos r r r r AB ) ( ) ( ) o AOB r AB r AOB cos : R : R : :V V 8 R R ( ) ( ) R R R R R R R R R R R R R R R : R R R : R R H H ( ) ( ) 8 R R R

46 ( R) R H R R R H R H R R s R 8 7 Omotc Rs 7 6. R R R R b 0. Uzstopni člnovi geometrijskog niz:,b, bq. Iz uslov q b b Iz zbir tri broj sledi: b bq bq b q q b Iz drugog uslov je: b bq 60. Zmenom iz preve jednčine: q b b bq 60 b( b) 60 b b 60 0 q ± 76 0 b, b, b 0. Pošto je iz prve jednčine b q, slede dve mogućnosti: q Z b 0 dobijmo jednčinu, koj nem relnih rešenj: q q 0. Z b dobijmo jednčinu q q 0 čij su rešenj q i q ½. Prvo rešenje dje brojeve 6,,, drugo rešenje dje iste brojeve u suprotnom redosledu. Obe trojke su rešenj zdtk. 6

47 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Zokružiti tčn odgovor: ( )? ) ; b) ; c). [6 bodov]. Skrtiti rzlomk: ( ) [6 bodov]. Rešiti eponencijlnu jednčinu 6. [6 bodov] 6. Zokružiti tčn rezultt: log ) ; b) ; c) ; d). [6 bodov]. Nći sin α i cos α ko je sinα. [6 bodov] 6. Nći sv rešenj jednčine cos sin 0. [6 bodov] 7. Dt je jednčin prve:. Zokružiti tčku koj pripd toj prvi. 6 A 0, ; B,0 ; C,. [6 bodov] 6 8. Npisti jednčinu tetive i nći koordinte krnjih tčk tetive kružnice 9, koju tčk A(,) deli n dv jednk del. [6 bodov] 9. Zbir svih neprnih prirodnih brojev mnjih od 000 je: ) prn broj b) neprn broj c) nul. [6 bodov] 0. Rvn prleln osi prvog vljk seče g tko d od krug osnove odsec odsečk kome odgovr centrlni ugo od 0 o. Ako je visin vljk 0 cm, rstojnje rvni od ose vljk cm, izrčunti površinu presek. [6 bodov] 7

48 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Krikázz be heles válszt: ( )? ) ; b) ; c). [6 pont]. Egszerűsítse törtet: ( ) [6 pont]. Oldj meg z eponenciális egenletet 6. [6 pont] 6. Krikázz be heles válszt: log ) ; b) ; c) ; d). [6 pont]. Htározz meg sin α és cos α értékét, h sin α [6 pont] 6. Htározz meg z egenlet minden megoldását: cos sin 0. [6 pont] 7. Adv vn z egenes egenlete:. Krikázz be z egeneshez trtozó 6 pontot. A 0, ; B,0 ; C,. [6 pont] 6 8. Írj fel 9 kör zon húrjánk z egenletét, melnek felezőpontj A(,). Htározz meg húr végpontjink koordinátáit is. [6 pont] 9. Az 000-nél kisebb pártln természetes számok összege: ) páros szám, b) pártln szám, c) null. [6 pont] 0. A hengert tengelével párhuzmos síkkl metszettük úg, hog z lpkörből lemetszett körszelethez trtozó középponti szög 0 o. Számíts ki síkmetszet területét, h henger mgsság 0 cm, metszet távolság henger tengelétől pedig cm. [6 pont] 8

49 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A SZABADKA KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički i mšinski odsek) R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villmossági és gépészeti szk) M E G O L D Á S O K. ( ) (zokružiti b.). ( ) ( )( ) ( )( ), / 8 6 z t dobij se t 6t 8 0 t, t ; 6. log log log log (zokružiti d).. sin α cos α cosα ± sin α 0 0 <α<90 0 cosα > 0. cosα sin α sinα cosα cos α cos α sin α 6. cos sin 0 ( sin ) sin 0 sin sin 0. Z sin t immo t t 0 t ; t sin t k, k Z. sin t k ili k, k Z

50 zokružiti B i C. 8. Koeficijent prvc prve p (OA) sledi jednčin tetive t: ( ). Krjnje tčke su preseci prve t: i kružnice 9. Metodom zmene dobijmo: ( ) ± m. Krjnje tčke tetive su: 0 0 M 0, N 0, Prvi neprn prirodn broj je, dok zdnji koji je mnji od 000 je 999. n n Pošto je S ( n ) ( 999) n 00n, p je trženi zbir prn broj. (Zokružiti ) 0. Rvn prleln osi prvog vljk seče g tko d od krug osnove odsec odsečk kome odgovr centrlni ugo od 0 o. Ako je visin vljk 0 cm, rstojnje rvni od ose vljk cm, izrčunti površinu presek. Posmtrjmo bzu. On je presečen po tetivi AB, kojoj pripd centrlni ugo od 0 o r. Neposredno se uočvju sledeće činjenice: rcm, AB, p je tržen površin presek p AB H 0 0. C A 60 o 60 o D r B 0

51 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički i mšinski odsek). Zokružiti tčn odgovor: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 bodov]. Skrtiti rzlomk:? [6 bodov]. Rešiti ircionlnu jednčinu:. [6 bodov]. Zokružiti tčno tvrđenje: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 bodov]. Iz tčke A vrh stub se vidi pod uglom od 0 o. Iz tčke koj j 0 metr bliž, vrh stub se vidi pod uglom od o. Kolik je visin stub? [6 bodov] 6. Nći sv rešenj jednčine: sin sin sin. [6 bodov] 7. Kolik je površin trougl određenog prvm p i q i osom O, ko je: p: 0 i q: 0? [6 bodov] 8. Tčk A(,-) pripd krugu koji je oivičen kružnicom (kružnom linijom) ( ) ( ) 6. ) DA b) NE [6 bodov] 9. Nći br dve trojke prirodnih brojev, koji u dtom redosledu obrzuju ritmetički niz, ko njvećem još dodmo broj, td će obrzovti geometrijski niz. [6 bodov] 0. Površin drvenog kvdr dimenzij!!6cm ofrbn je s nekom bojom. Kvdr je ztim rsečen n kockice dimenzij!!cm. Koliko tkvih kockic se dobije ) neofrbnih; b) ofrbnih s jedne strne; c) ofrbnih s strne; i d) ofrbnih s strne? [6 bodov]

52 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechniki és gépészeti szk). Jelölje meg heles válszt: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 pont]. Egszerűsítse törtet:? [6 pont]. Oldj meg z ircionális egenletet:. [6 pont]. Krikázz be heles válszt: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 pont]. Az A pontból z oszlop csúcs 0 o -os szög ltt látszik. 0 méterrel közelebbről ez szög o. Milen mgs z oszlop? [6 pont] 6. Htározz meg z egenlet minden megoldását: sin sin sin. [6 pont] 7. Mekkor háromszög területe melet p és q egenes zár be z O tengellel, h: p: 0 és q: 0? [6 pont] 8. Az A(,-) pont illeszkedik körhöz, melet ( ) ( ) 6 körvonl htárol. ) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irj fel természetes számok leglább két hármsát, melek z dott sorrendben számtni soroztot lkotnk, de legngobb számot -gel növelve mértni sorozttá lkulnk. [6 pont] 0. A!!6cm kiterjedésű tégltest felszínét befestettük. Ezután testet!!cm-es kiterjedésű kockákr drboltuk. Hán ilen kock vn: ) befestetlen; b) oldláról befestve; c) oldláról besestve; és d) oldláról befestve? [6 pont].

53 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. 6 9 ( ), odgovor ).. ( ) ( )( ) ( ) ( ). Uslovi rešivosti: > 0 > 0 > 0 ( ) ( ) ( ) / : A log log log0 log log log log00, odgovor je ) ( ) ( )

54 6. ( ) ( ) ( ) ( ) k k sin t k k sin t t t t t sin sin sin sin ± ± ± Ako tčk A(,-) pripd krugu koji je oivičen kružnicom (kružnom linijom) 6 ) ( ) (, ond je njeno odstojnje od centr (,-) krug mnje poluprečnik krug r. Proverimo; < ) ( ) (, znči odgovor je DA. 9. Člnovi ritmetičkog niz su:, d, d Člnovi geometrijskog niz su:, d, d d d d ( ) ( ) d d d d d d Prem tome mogući su nprimer sledeći nizovi Z d, p je ritmetički niz:,,,... geometrijski niz:,, 9,... ili z d, p je ritmetički niz:, 8,,...geometrijski niz:, 8, 6, ) neofrbnih b) ofrbnih s jedne strne c) ofrbnih s strne 6 d) ofrbnih s strne8 P

55 Viš tehničk škol S u b o t i c KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Fktoristi sledeće izrze: ) b) 6b b. Rešiti jednčinu : 6.. Rešiti nejednčinu: > 0.. Rešiti jednčinu: log ( ).. Izrčunti ostle trigonometrijske funkcije oštrog ugl α, ko je cos α. 6. Rešiti trigonometrijsku jednčinu: sin 7sin cos cos Sstviti jednčinu prve koj prolzi kroz presek prvih i 8, prleln je s prvom Ispitti međusobni odnos kružnic: i Ncrtti obe krive! 9. Prvougonik s strnicom cm i dijgonlom d cm rotir oko krće strnice. Izrčunti zpreminu i površinu nstlog tel. 0. Zbir prv tri čln ritmetičkog niz je 6. Ako se drugi čln poveć z, treći z, niz postje geometrijski. Odrediti prv tri čln ob niz. Svki zdtk se boduje mksimlno s 6 bodov!

56 Műszki Főiskol S z b d k MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL. Bonts ténezőkre: ) b) 6b b. Oldj meg z egenletet : 6.. Oldj meg z egenlőtlenséget: > 0.. Oldj meg z egenletet: log ( ).. Számíts ki z α hegesszög többi trigonometrikus szögfüggvénét, h dott cos α. 6. Oldj meg trigonometrikus egenletet: sin 7sin cos cos Htározz meg nnk z egenesnek z egenletét mel keresztülhld és 8 egenesek metszéspontján, és párhuzmos z 0 egenessel. 8. Vizsgálj ki z és körök kölcsönös helzetét. Rjzolj le mindkét görbét! 9. A tégllpot, melnek egik oldl cm és átlój d cm megforgtjuk rövidebb oldl körül. Számíts ki z íg kpott test térfogtát és felszínét. 0. Eg számtni sorozt első három tgjánk összege 6. H második tgot megnöveljük -vel hrmdikt pedig -gel, mértni soroztot kpunk. Htározz meg mindkét sorozt első három tgját. Minden feldt legtöbb 6 ponttl értékelhető! 6

57 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ) ( )( ) b) ( ) ( ) 6b b b b b. Jednčin je definisn pod uslovom d je: Rešimo sd jednčinu: 6 6 ( ) zdovoljv uslov /, znči d se prihvt ko rešenje dte jednčine (, ) [ ), 7

58 . ( ) log 0 smen : 0 t t t ± ± t t t t Ob rešenj zdovoljvju dtu logritmsku jednčinu, p je { },0.. cos α, o o 0 < 90 < α sin 9 sin 6 sin cos sin α α α α α tg ctg cos sin tg α α α α α 6. :cos / 0 cos cos 7sin sin t smen :tg 0 7tg tg k k t t t t t ± ± rctg tg tg

59 7. Presek dtih prvih je tčk: 8 (,) A Prv koj prolzi kroz ovu tčku A i prleln je s dtom prvom 0 im isti koeficijent prvc ko i ov prv: k k p je jednčin tržene prve, npisn kroz tčku A: ( ) Prvo rešenje: Trnsformišimo jednčine dtih kružnic u oblik iz kojeg se čit centr i poluprečnik: k : k ( ) 9 : ( ) ( ) ( ) ( ) (-) (, 0) (-) () (, -) Ako ncrtmo ove kružnice u istom kordintnom sistemu, videćemo d se oni dodiruju A,. iznutr u tčci ( ) Drugo rešenje: A,. Jedin zjedničk tčk dtih kružnic je ( ) 9

60 9. b b b 69 b cm bcm dcm cm V BH P B M V r H P r r H V b P b V P 88 0 V 70 cm P 08 cm 0.,, je ritmetički niz, td je :,,., je geometrijski niz, td je : ( ) Iz uslov zdtk sledi d je : Uvrštvjući u uslov geometrijskog niz, dobijmo d je: ( ) ( ) ± ± 7 7 Jedno rešenje je : 8,, je ritmetički niz s d 6 8,,7 je geometrijski niz s q. Drugo rešenje je : 7,, 7 je ritmetički niz s d 7,, 8 je geometrijski niz s q. 60

61 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički i mšinski odsek). Zokružiti tčn odgovor: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 bodov]. Skrtiti rzlomk:? [6 bodov]. Rešiti ircionlnu jednčinu:. [6 bodov]. Zokružiti tčno tvrđenje: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 bodov]. Iz tčke A vrh stub se vidi pod uglom od 0 o. Iz tčke koj j 0 metr bliž, vrh stub se vidi pod uglom od o. Kolik je visin stub? [6 bodov] 6. Nći sv rešenj jednčine: sin sin sin. [6 bodov] 7. Kolik je površin trougl određenog prvm p i q i osom O, ko je: p: 0 i q: 0? [6 bodov] 8. Tčk A(,-) pripd krugu koji je oivičen kružnicom (kružnom linijom) ( ) ( ) 6. ) DA b) NE [6 bodov] 9. Nći br dve trojke prirodnih brojev, koji u dtom redosledu obrzuju ritmetički niz, ko njvećem još dodmo broj, td će obrzovti geometrijski niz. [6 bodov] 0. Površin drvenog kvdr dimenzij!!6cm ofrbn je s nekom bojom. Kvdr je ztim rsečen n kockice dimenzij!!cm. Koliko tkvih kockic se dobije ) neofrbnih; b) ofrbnih s jedne strne; c) ofrbnih s strne; i d) ofrbnih s strne? [6 bodov] 6

62 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechniki és gépészeti szk). Jelölje meg heles válszt: 6 9? ) ( ) b) ( ) c) ( )( ) [6 pont]. Egszerűsítse törtet:? [6 pont]. Oldj meg z irrcionális egenletet:. [6 pont]. Krikázz be heles válszt: A log log ; ) A b) A/ c) A d) A/ [6 pont]. Az A pontból z oszlop csúcs 0 o -os szög ltt látszik. 0 méterrel közelebbről ez szög o. Milen mgs z oszlop? [6 pont] 6. Htározz meg z egenlet minden megoldását: sin sin sin. [6 pont] 7. Mekkor háromszög területe melet p és q egenes zár be z O tengellel, h: p: 0 és q: 0? [6 pont] 8. Az A(,-) pont illeszkedik körhöz, melet ( ) ( ) 6 körvonl htárol. ) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irj fel természetes számok leglább két hármsát, melek z dott sorrendben számtni soroztot lkotnk, de legngobb számot -gel növelve mértni sorozttá lkulnk. [6 pont] 0. A!!6cm kiterjedésű tégltest felszínét befestettük. Ezután testet!!cm-es kiterjedésű kockákr drboltuk. Hán ilen kock vn: ) befestetlen; b) oldláról befestve; c) oldláról befestve; és d) oldláról befestve? [6 pont] 6

63 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K. ( ) 9, zokružiti pod ). 6. ( ) ( )( ) pod uslovom d je ±.. Jednčin je definisn pod uslovom d je: > 0 > 0 > > 0 > 0 Rešimo sd jednčinu: / zdovoljv uslov, p se prihvt ko rešenje dte ircionlne jednčine. log log log log log log log. A ( ) ( ) log00, zokružiti pod ).. Immo dv prvougl trougl. Oznčimo visinu stub s H, odstojnje tčke A od stub s. Iz jednog trougl: tg0 o H H H o Iz drugog trougl: tg H H H

64 ( ) ( ) ( ) 0 0 H znči d je visin stub H ( ) metr. 6. sin sin sin ( ) 0 sin sin u ovoj jednčini uvedimo smenu t sin, ( ) 0 t t ( ) ± t 8 ± t ± t ( ) ( ) ± ± t k k k t t, sin sin 7. Ncrtjmo obe prve u istom kordintnom sistemu: : p : q Ove prve i O os određuju trougo čij su temen tčke ( ) ( ) 0,,,0,,0 C B A ; osnovic leži n O osi i dužin joj je, dok je visin h. Površin trougl je prem tome. 0 h P H A 0 0 o o 6

65 8. Kružnic ( ) ( ) 6 centr u tčki (, ) im C i poluprečnik r. Ako ncrtmo ovu kružnicu i tčku A (, ) u istom kordintnom sistemu, možemo konsttovti d tčk A pripd krugu koji je oivičen dtom kružnom linijom. O C(,-) A(,-) r 9. Nek je n prirodn broj. Td trojku prirodnih brojev koji obrzuju ritmetički niz možemo npisti ko: n, n d, n d, gde je i d prirodn broj. Ako njvećem broju dodmo još dobićemo niz n, n d, n d, koji treb d bude geometrijski niz. n, n d, n d ritmetički iz, n, n d, n d geometrijski niz, iz kojeg se može npisti d je n d n d n n d ( d ) n( n d ) n n nd d n nd n d n d n gde d mor biti prirodn broj, to se može postići npr. z n, n, n 9, n 6,... Z n d, p se dobijju nizovi:,, ritmetički niz,,,9 geometrijski niz. Z n d, p se dobijju niovi:,8, ritmetički niz,,8,6 geometrijski niz. Tržene trojke prirodnih brojev koji zdovoljvju dte uslove mogu biti nprimer:,, ili,8,. 0. Očevidno, zpremin kvdr, to jest broj jediničnih kockic je 0. Kd smo ofrbli telo, td kocke n temenim budu ofrbne s tri strne, kocke n ivicm (bez kocki n temenim) budu ofrbne s dve strne, kocke n strnm tel, bez onih n rubovim biće ofrbne s jedne strne kocke u "dubini" kvdr neće biti ofrbne. ) ; b) ; c) 6; d) 8. 6

66 66

67 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički odsek). Skrtiti rzlomk [6 bodov]. Zokružiti isprvnu vrednost broj X. ) b) c) ± [6 bodov]. Rešiti nejednčinu 7 < 7. [6 bodov]. Rešiti jednčinu: log ( log ( )) [6 bodov]. Dokzti identitet: sin α cosα α tn cos α cosα [6 bodov] 6. Odrediti sv rešenj jednčine sin cos [6 bodov] 7. Odrediti jednčinu prve koj prolzi kroz tčku (, ) i odsec jednke odsečke n koordintnim osm. [6 bodov] 8. Odrediti jednčine onih tngenti kružnice 0 koje s osom O zklpju ugo od o. 9. Odrediti prvi čln i količnik ( i q) geometrijskog niz, ko je: 8 i 600. [6 bodov] [6 bodov] 0. Rotirmo jednkokrki trpez oko veće osnove. Izrčunti zpreminu dobijenog rotcionog tel, ko su osnove trpez 9, b krci: c. [6 bodov] 67

68 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA S U B O T I C A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (mšinski odsek) b. Skrtiti rzlomk: 6b 6b [6 bodov] 6 6. Izrčunti: [6 bodov]. Rešiti jednčinu po nepozntoj : 7 7. [6 bodov]. Odrediti isprvn odgovor: log 8 log 9 log / A ) A b) A c) A 0 [6 bodov]. Dokzti identičnost sinα sin α α tn sinα sin α [6 bodov] 6. Rešiti jednčinu cos sin sin 0 [6 bodov] 7. Odrediti jednčinu prve koj prolzi kroz tčku (, ) i odsec jednke odsečke n koordintnim osm. [6 bodov] 8. Odrediti centr i poluprečnik kružnice 8 0, ko dužinu njene tetive koj pripd O osi. [6 bodov] 9. Odrediti prvi čln i rzliku ( i d) ritmetičkog niz, ko je dto: n, n 7 i S n 0. [6 bodov] 0. Rotirmo prviln šestougo oko duže dijgonle. Izrčunti zpreminu dobijenog rotcionog tel, ko je strnic čestougl 0. [6 bodov] 68

69 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechniki szk). Egszerűsítse törtet [6 pont]. Krikázz be X heles értékét, h X. ) b) c) ± [6 pont]. Oldj meg z egenlőtlenséget 7 < 7. [6 pont]. Oldj meg z egenletet: log ( log ( )) [6 pont]. Igzolj sin α cosα α tn zonsságot! cos α cosα [6 pont] 6. Htározz meg sin cos egenlet minden megoldását! [6 pont] 7. Htározzuk meg nnk z egenesnek z egenletét, mel áthld (, ) ponton és koordináttengelekből egenlő szkszokt metsz le. [6 pont] 8. Htározz meg z 0 körhöz húzhtó érintők közül zokt melek z O tengellel o -os szöget zárnk be. [6 pont] 9. Htározz meg mértni sorozt első elemét és hándosát ( és q), h 8 és 600. [6 pont] 0. Forgssunk meg eg egenlőszárú trpézt ngobb lpj körül! Mekkor kpott forgástest térfogt, h párhuzmos oldlk 9 és b, szárk pedig: c? [6 pont] 69

70 MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szk) b. Egszerűsítse 6b 6b törtet! [6 pont] 6 6. Számíts ki: [6 pont]. Oldj meg z egenletet ismeretlenre 7 7. [6 pont]. Állpíts meg heles válszt: log 8 log 9 log / A ) A b) A c) A 0 [6 pont]. Igzolj sinα sin α α tn zonsságot! sinα sin α [6 pont] 6. Htározz meg cos sin sin 0 egenlet megoldásit! [6 pont] 7. Htározzuk meg nnk z egenesnek z egenletét, mel áthld (, ) ponton és koordináttengelekből egenlő szkszokt metsz le. [6 pont] 8. Htározz meg z 8 0 kör középpontját és sugrát, vlmint O tengelből kimetszett húrjánk hosszúságát. [6 pont] 9. Htározz meg számtni sorozt első elemét és különbségét ( és d), h n, n 7 és S n 0. [6 pont] 0. Forgssunk meg eg szbálos htszöget ngobb átlój körül, és számítsuk ki keletkezett forgástest térfogtát, h htszög oldl 0. [6 pont] 70

71 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički odsek) R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villmossági szk) M E G O L D Á S O K. ( ) ( ) pod uslovom d je 0 i ±. ( ) ( )( ) ( log ( ) ) log ( ) log ( ) log. tg α ctgα tgα sinα cosα tgα sinα cosα sin α cos cosα α 6 cos 9 α cos α cos α 9 cosα ± cosα sinα 6. sin cos sin cos sin sin 0 sin sin 7

72 k k k k k k 6 6 sin 0 sin 7. n n n n n n n m n m 0 je jednčin tržene prve. 8. ( ) 0 0 ( ),0 r C n k n k t tg tg : o α uslov dodir: ( ) ( ) n q kp k r ( ) ( ) ( ) ( ), 0 ± n n n n n p su jednčine trženih tngenti: : t i : t. 9. ( ) ( ) n S n ( ) 6 9 d d d n n trženi niz je:,...,,,,7,9, 9 0. r V kupe V vljk V r BH V kupe 70 0 r BH V vljk V je volumen rotcionog tel. 7

73 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (mšinski odsek) R E Š E N J A MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szk) M E G O L D Á S O K. b 6b 6b 6b ( b) ( b) b pod uslovom d je b 0 i b log 8 - log 9 - log A A A. o sin α 90 < α < 80 o cosα ± sin α cosα sin α zbog drugog kvdrnt, cosα sinα tgα cosα ctgα tgα cos sin sin 0 cos sin sin cos 0 / cos gde je cos 0 7

74 0 tg tg t tg 0 tg tg 0 ± ± t t t ( ) Z k k k t t, rctg tg tg 7. n n n n n n n m n m 0 je jednčin tržene prve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,, r C 9. ( ) ( ) n S n ( ) 6 9 d d d n n trženi niz je:,...,,,,7,9, 9 0. r V kupe V vljk V r BH V kupe 70 0 r BH V vljk V je volumen rotcionog tel. 7

75 VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE KANDIDAT: Konkursni broj: 9. Zokružite tčn rezultt: 6 9 ) b) 6 [6 bodov]. Rešiti jednčinu: 7 [6 bodov]. Rešiti jednčinu: [6 bodov]. Zokružiti tčn odgovor: log log 7 log ) b) 0 [6 bodov]. Izrčunti vrednost od sin (α β) z oštre uglove α i β, ko je sin α i cos β. 7 [6 bodov] 6. Rešiti jednčinu: sin cos cos 0 [6 bodov] 7. Kroz tčku A (,) postviti prvu prlelnu s prvom 0. [6 bodov] 8. Odrediti dužini zjedničke tetive prbole i kružnice.[6 bodov] 9. Izrčunti površinu i zpreminu lopte opisne oko kocke ivice. [6 bodov] 0. Izrčunti zbir prvih 0 člnov ritmetičkog niz, ko je diferencij (rzlik) d, šesti čln je 6 6. [6 bodov] 7