BUDAPESTI MÛSZAKI EGYETEM Folyamatszabályozási Tanszék. dr. Benyó Zoltán KOMPARTMENT MODELLEK ADAPTÍV SZABÁLYOZÁSOK

Átírás

1 BUDAPESI MÛSZAKI EGYEEM Folyamatszabályozás aszé dr. Beyó Zoltá KOMPARMEN MODELLEK ADAPÍV SZABÁLYOZÁSOK Otatás ayag a mûszer- és ráyítástecha szaos hallgató részére Folyamatszabályozás és Folyamatszmulácó címû tárgyahoz Budapest, 99.

2 Szamalag elleôrzte: Laatos Gábor oleveles vllamosmérö

3 ARALOM KOMPARMEN (REKESZ) MODELLEK. BEVEZEÉS...4. DEFINICIÓK, ALAPFOGALMAK ALKALMAZO JELÖLÉSRENDSZER KOMPARMEN ( REKESZ ) MODELLEK ELMÉLEE Kompartmet- ( reesz ) modelle leírása álladósult állapotba levô redszere eseté Zárt redszere Nytott redszere Specáls esete Lác redszer Mammllary ( aya ) redszer Néháy gyaorlat eset vzsgálata Egy-ompartmet redszer Két-ompartmet lác redszer Egy-ompartmet redszer, melye bemeeteálladó forrás öbbszörös dózs Két-ompartmet zárt redszer Két-ompartmet ytott redszer Kompartmetcsatoláso Elôrecsatolás Vsszacsatolás Három-ompartmet redszere Zárt redszer Nytott redszer Lác redszer Mammllary ( aya ) redszer Ihomogetás razes állapotba lévô redszere razes redszer fogalma Idege ayago etája Nyomjelzôvel jelölt redszere Nemleárs redszere Általáos modell Perturbácós és relaxácós módszere

4 4.4.. Relaxácó Perturbácó SZÁMÍÓGÉPES SZIMULÁCIÓ Lác redszer modellje Eterohepatus ergés modellezése Oldott állapotú ayago tárolása poletlé otéerebe A pajzsmrgy jódfelvétel folyamatáa modellezése öbbszörös dózs ( Ats ísérlete ) INVERZ FELADA MEGOLDÁSA Iverz feladat megoldásáa grafus módszere Bleeha-Fsher módszer Coh-Brues módszer A módszere potossága Számítógépes paramétermeghatározás Clearece-vzsgálato mérés adataaszámítógépes értéelése Au olloddal végzett májáramlás vzsgálato értéelése...48 ADAPÍV SZABÁLYOZÁSOK. BEVEZEÉS...5. ADAPÍV SZABÁLYOZÁS...5. Modell-referecás adaptív szabályozó ( MRASZ ) Ljapuov tervezése...5. Paraméter detfácó MRASZ haszálatával MRASZ tervezése hperstabltással Adaptív megfgyelés ÖNHANGOLÓ ( SELF-UNING ) SZABÁLYOZÁS Mmáls varacájú szabályozás Mmáls varacájú öhagoló szabályozó Általáosított legsebb varaca IRODALOMJEGYZÉK

5 KOMPARMEN (REKESZ) MODELLEK

6 . BEVEZEÉS Az orvos - életta utatásoál és vzsgálatoál md gyarabba merül fel valamely vattatv vzsgálatértéelés módszer dolgozásáa géye, o - oozat összefüggése feltárása, azo matemata megfogalmazása. Mvel az élõ szervezete és a beü lejátszódó folyamato általába boyolulta, ezért a vzsgálatuhoz a teljes redszert részere (alredszerere) ell botau, majd eze alredszere status és damus tulajdoságaa megsmerése utá vállalozhatu a teljes redszer, vagy folyamat aalízsére. Az életmüödés sorá - fõleg a fejlettebb élõléyeél - emeledõ szerepet játszaa a ülöbözõ edvergése ( pl. vérergés ). Eze traszport jelesége, melyeet extezív fza meysége ( tömeg, térfogat, eerga, stb. ) által meghatározott szubsztaca áramlása jellemez. Eze jelesége vzsgálatára yújt jó lehetôséget a ülöbözõ yomjelzõ ayago traszportjáa számítógépes ompartmet aalízse. etve, hogy az említett extezív meysége az ayaghoz ötött sajátosságo, traszportju szüségéppe az ayag részecsée ( moleuláa, atomoa, stb. ) mozgásával apcsolatos, így a traszport jelesége az ayag specfus mozgásformáa tethetõ. Mutá a traszport eloszlásbel egyelõtlesége egyelítéseét jö létre, a traszportált szubsztaca árama aál tezívebb, mél agyobb az homogetás a redszerbe. Az olya folyamatoat, amelye valamely extezív meyység traszportjára ráyula, traszport folyamatoa evezzü. A traszport folyamato alapjeleséget a moleulárs fza tárgyalja. A traszport folyamato gyaorlat számítása olya feomeologus jellemzõel és összefüggéseel törté, amelye legtöbbje hasolóság elmélete alapsz. Az ú. feomeologus szemléletû leírásmód ylvá em türöz az ayag moleulárs, atomos felépítését, stb., ezért csa aor alalmazhatju, ha az ú. "mroszópus" vseledés em épez a vzsgálat tárgyát. Az életta traszport folyamato megsmeréséhez és taulmáyozásához meg ell teremteü a megfelelõ mérõ- és értéelõ redszert. Eze általába modellreferecás tellges mérõredszere. Segtségüel egyre boyolultabb életta folyamato taulmáyozható. ovábbaba tetszõleges életta traszport folyamatot olya redszere tetjü, amely véges számú maroszópus alredszerbõl vagy elembõl épül fel. Ezeet homogé egyeletes eloszlású elemee, ompartmetee ( vagy reeszee ) evezzü. A ompartmete ayagcseré eresztül erüle egymással ( esetleg a öryezettel ) ölcsöhatásba. M a jeletõsége a ompartmet redszeree? Elõször s ge eredméyese felhaszálható a bológa, éma stb. számos területé végzett ísérlete elemzéséél, vattatív összefüggése feltárására a fzológába és a farmaológába. A leárs ompartmet redszeree vszoylag boyolult aaltus elmélete va, em s szólva az ú. verz problémáról, a redszer detfácó és paraméter meghatározás feladatáról. A utató számára fotos feladat, hogy a ísérlet adatoból a vzsgált redszer plauzbls leírásához eljusso. Ehhez agy segítséget yújt a ompartmet aalízs. Még eél s boyolultabb feladat a emleárs redszere és azo redszere - 4 -

7 vzsgálata, melyebe a ompartmete özt cserélõdés folyamatora clus, valamt véletle perturbácó hata. A ompartmet ( reesz ) aalízs hasoló jeletõséggel bír az életta folyamato vzsgálatáál, mt a lasszus szabályozástechába jól smert frevecatartomáybel vzsgálat módszere, vagy a moder szabályozás elméletbe alalmazott állapotegyeletes redszerleírás. A ompartmet aalízs elméletét és alalmazásat három fõ részre oszthatju: l. Plauzbls modell észítése bármely bológa redszerhez. Ehhez szüséges a folyamat hátterée alapos smerete, ehhez regeteg ísérletet, mérés sorozatot ell elvégez és értéel. Az így szerzett tudás és felhalmozott smerete brtoába rtával vseledü mde ompartmet modellel szembe. A modell szerezetée és paraméteree meg ell egyeze a valóságos redszer vagy folyamat megfelelõ jellemzõvel. Elleezõ esetbe a ompartmet redszerrel való leírása agyo s öze lesz a valósághoz.. Adott egy specfált ompartmet modell, feladat a redszer aaltus elméletée dolgozása. Ez matematalag a legjobba defálható feladat. 3. A legehezebb feladat egy ú. verz feladat. Adott egy redszer egy vagy több plauzbls modellje, mlye adatora va szüségü és hogya haszálju fel azoat, hogy a modellparamétereet megapju, és hogya dötsü el, hogy mely a legjobb modell. Az verz feladat elméletée és megoldásáa dolgozása általába azért ehezebb, mert eleve boyolultabb feladatról va szó, mt pl. egy jól specfált ompartmet redszer aaltus megoldásaor. A téma terdszcpláls jellegû mûvelõ özött egyarát megtalálható orvoso, bofzuso, élettaászo, programozó matematuso és természetese méröö. etettel a téma határterület jellegére fotos a özös yelv, fogalomredszer, stb. megalotása, az azohoz való övetezetes ragaszodás és ülöös godot ell fordíta arra, hogy a téma fejtése md a mérö, md pedg a em mûszaa számára jól érthetõ legye

8 . DEFINICIÓK, ALAPFOGALMAK Redszer: boéma, vagy fzológa elredezés, melybe valamely ayag vseledését taulmáyozzu. A redszere ísérlete sorozatát végezzü, valamlye elõre meghatározott céllal. Redszer lehet pl. egy állat, övéy, élõ szerv, élõ sejt, vagy sejte mtochodrum összetevõ ( mtochodrum: sejtplazma-területe, amelyebe a legfotosabb és legtezívebb ayagcsere-folyamato zajlaa le ). A vzsgálat lehet pl. a 3 I ürülése egy állat plazmájából. Ebbe az esetbe a megfgyelt redszer a jód traszport folyamata a vérbe és a vérbõl. A redszer lehet: zárt vagy ytott. Zárt redszer: redszer, melybe em lép be és em s hagy el ayag. Nytott redszer: olya redszer, mely ayagcserét folytat öryezetével. Egy állat ( szerv, vagy sejt ) ayagcseréjée alotó ( metabolc pool ) olya vegyülete összessége, melye a szövete építésébõl, vagy lebomlásából származa, melyeet az állat ( szerv, vagy sejt ) a szövet alotóa sztézsére haszál. A ompartmet etalag elhatárolható, homogé, egyeletes eloszlású ayagmeység, melyet traszformácójáa, vagy traszportjáa etája jellemez. A ompartmetet meg ell ülöböztet a fza térfogattól és fzológa tértõl, bár éháy vegyület lye esetbe s lehet ompartmet. Egy ayaga az egy ompartmetbõl a másba törtéõ átvtele lehet az lletõ ayaga az egy fzológás helyrôl a másra való átvtele, vagy az lletõ ayaga ugyaazo fzológás határoo belül törtéõ átalaulása. A ompartmet méretét a bee lévõ ayag meysége határozza meg, mértéegysége tömegegység ( mol, gramm ). Elmélet modell egy bológa redszer valamely ayaga etájáa leírása. Matemata modell az elmélet modellbõl származtatott egyelete redszere, mely a vzsgált ayag ocetrácójáa és meységée a változását írja le az dõ függvéyébe. A ompartmet aalzs azo eljáráso összessége, melye lehetõvé tesz, hogy egy bológa redszer vseledését leírhassu elmélet, vagy matemata modellel. A ompartmet redszere szmbolus jelölése háromféleéppe törtéhet: Egymástól elválasztott dobozo, öztü yla Körö, öztü yla Háló ( gráfo ) segítségével. Az ayag örforgása (turover): Egy több vegyületbõl álló redszer álladósult állapotba va, ha e vegyülete a redszerbe mozoga, egymásba átalaula, és ocetrácóju mde ompartmetbe álladó a megfgyelés deje alatt. Zárt redszer eseté az álladósult állapot damus egyesúly de mhelyt a redszer ytottá vál, az egyesúly - 6 -

9 megszû. A damus egyesúly fogalma csa zárt redszerre haszálható, az álladósult állapotot pedg ytott redszerre szotá haszál. A turover mérésére a felezés dõt haszálju. Haszálata azo alapsz, hogy hasoló elsõredû dfferecál egyeleteet haszálu rádoatív bomlásoál, éma etáál és álladósult állapotú redszere ompartmet aalzséél. Azora a redszerere, melye leírható a d = egyelettel, a felezés dõ számítható a sebesség ostasból () a övetezõéppe: l. 693 = = Boyolultabb redszereél, ahol az expoecáls tevõt ísérlet adatoból határozzu meg, a,693/-a cs fzológa jeletése. A turover dõ az az dõ, amelybe cserélõd egy ompartmet ayagtartalma és a ompartmetbe lévõ ayag moleulájáa átlagos élettartama. A fete alapjá a turover dõ ( t ): t = A turover dõ alatt em mde moleula cserélõd. Mél tovább tart a megújulás folyamat, aál evesebb "rég" moleula lesz az "úja" özött és ayval sebb lesz a valószíûsége aa, hogy egy "rég" moleula átalaul, vagy eltávoz a redszerbõl. A turover dõ alatt a "rég" moleulá 63%-a pótlód. Nyomjelzõ Egy redszer éma aalízse csa aa status állapotáról ad formácót. Általába a redszer ülöbözõ részebe lévõ ayago ocetrácóját, vagy a redszer által felvett, vagy választott ayago meységét mérjü. Azért, hogy a redszer etáját s megvzsgálhassu, meg ell jelölü ayagát. Ezt egy yomjelzõvel vhetjü végbe. A yomjelzõe jól mérhetõe ell lee, ugyaúgy ell vselede, mt a megfgyelt ayaga és etájua sem szabad ülöböz. A yomjelzõ lehet egy elem zotópja, lehet rádoatív, vagy stabl. Ma már leggyarabba zotópot haszála, ezért vzsgálataat elsõsorba zotópus yomjelzõs hgításra ocetrálju. ermészetese eredméye más yomjelzõ vzsgálato eseté s alalmazható. A yomjelzõvel szembe támasztott övetelméye a övetezõ: l. A bológa redszer e tehesse ülöbséget a vzsgált ayag és yomjelzõje özött, vagys ugyaazo a metabolus változásoo mejee eresztül.. A yomjelzõt olya s meységbe adhassu a redszerhez, hogy aa álladósult állapotát e zavarja meg. Ehhez megfelelõe agy ocetrácó ell. 3. Kezdetbe a redszerhez adott yomjelzõ cs egyesúly állapotba és meység változásat matematalag aalzálhatju, az dõ függvéyébe - 7 -

10 leírhatju. Eze a változáso türözzé a megfgyelt ayag traszfer és traszformácós sebességét. 4. Ha a yomjelzõ zotóp, e cserélõdjö a jelzett ayag és más ayago özött. 5. Az zotóp felezés deje olya hosszú legye, hogy az álladó csöeés elleére a mérés értée mdg elég agyo legyee. 6. A yomjelzõ em oozhat a szervezetbe abormáls ayagcsere reacóat ( sugáreffetus, ocetrácótartalom változás ). A yomjelzô meység változásat a vzsgált ayago belül ocetrácójával mérjü. Festéayagoál és a bológa redszerebe elõ em forduló ayagoál ez özvetleül törté. Rádoatív yomjezõ rádoatvtását mérjü. Egy jelzett ayag relatív specfus atvtása az ayag egy adott dõpotba mért specfus atvtásáa aráya ugyaazo ayag egy más dõpotba mért specfus atvtásához, vagy egy más ayag ugyaazo dõpotba mért specfus atvtásához. A stabl zotópo ocetrácóját a yomjelzõ zotóp atomja számáa és a legagyobb többségbe lévõ természetes zotóp atomja számáa aráyával fejezzü. Ezért ezt többség aráya evezzü. Ha ezt százaléosa írju le, aor atomszázalé a eve. Néha a yomjelzõ lehet a vzsgált redszerbe eleve elõforduló természetes zotóp. Eor a természetes ocetrácót voju a ísérlet ocetrácóból és az eredméyt atomszázalé emeledésbe írju le. Eze eljárás jogosságát ísérlet téye gazoljá. A természetbe elõforduló zotópo majdem mdg álladó többség aráyba vaa jele, tetet élül a forrásra. A legtöbb redszerbe a gyógyszere a yomjelzõhöz hasolóa a leárs etát övet, ezért a yomjelzõ eta özvetleül haszálható gyógyszerere és bármlye dege ayagora

11 3. ALKALMAZO JELÖLÉSRENDSZER A hasoló témával foglalozó emzetöz szarodalommal összhagba egysége jelölésredszert alalmaztu, ez a övetezô: t dô ( függetle változó ) a redszer ompartmetjee száma j a j-ed ompartmet ayagáa meysége ( tömeg ) q j a j-ed ompartmet yomjelzôjée meysége ( tömeg ) a j = q j c j a j-ed ompartmetbe levô stabl zotópo többség aráya, vagy a rádoatív yomjelzô specfus atvtása a j a j( ) a j-ed ompartmetbe lévô yomjelzô relatív specfus atvtása j a j-ed ompartmetbôl az -edbe törtéô mozgás sebesség álladója ( dô - ) R j a jelöletle ayag traszportjáa sebessége a j-ed ompartmetbôl az -edbe ( tömeg x dô - ) q j ( ) a j-ed ompartmet ezdet yomjelzô meysége a j ( ) a j-ed ompartmetbe lévô yomjelzô ezdet specfus atvtása. A yomjelzô többség aráyát fejezhetjü a j = q j j alaba. Ha a yomjelzô rádoatív, aor a specfus atvtás=( számlálás hatásfo )x( többség aráy ), a E q j =. j X az -ed expoecáls fejezés együtthatója λ az -ed expoecáls fejezés tevôje ( dô - ) s Laplace-operátor m a mérés adato száma K a becsült paramétere száma t,k t m mtavétel dôpoto ( függetle változó ) y,k y m mért adato a t,k t m mtavétel dôpotoba ŷ, ŷ m becsült értée a t,k t m mtavétel dôpotoba b,k a becsül ívát paramétere ezdet értée b j - 9 -

12 4. KOMPARMEN ( REKESZ ) MODELLEK ELMÉLEE Ebbe a fejezetbe a leárs és emleárs ompartmet redszere matemata leírásával és azo aaltus megoldásával foglalozu. 4. Kompartmet- ( reesz ) modelle leírása álladósult állapotba levô redszere eseté Az álladósult állapotba lévô redszere leársa, a beü zajló mozgásoat és átalaulásoat elsôredû leárs dfferecál egyelete írjá le. A ompartmetebe lévô ayagmeység és turover ( forgás ) segesség álladó és a sebesség ostas teremt öztü leárs apcsolatot. Álladósult állapotú ompartmat redszere aalízséél a övetezô feltételezéseel élü: a eta folyamato rreverzblse, a ompartmet "rég" és "új" moleulá özött em teszü ülöbséget, a ompartmetebe mde pllaatba homogé a moleulá eloszlása. Feltételezzü, hogy a everedés dô soal sebb, mt a turover dô, a yomjelzô deálsa, a redszer vseledésée leírásához a legsebb számú ompartmetet haszáltu fel, vagys evesebb ompartmettel már em lehet modellez a redszert. Ha egy redszert yomjelzôvel vzsgálu, aor a övetezô lépéseet ell végrehajtau:. Ismert meységû jelzôayagot juttatu a redszer egy ompartmetjébe.. Megfelelô dôét mtát veszü ebbôl és/vagy egy más ompartmetbôl és meghatározzu a specfus atvtást. 3. A redszer elmélet és matemata modelljée felhaszálásával a ísérlet adatoból meghatározzu a modell paraméteret. 4. Ha a modell em megfelelô, egy újat választu. A yomjelzôs hígításos módszer elvét a 4.. ábra mutatja. q (q,a ()) a (t) 4.. ábra A 4.. ábrá látható ompartmet jelöletle ayagot tartalmaz. Adju hozzá a ( ) specfus atvtású q meységû yomjelzôt és várju meg, amíg elevered. Ezutá meghatározzu a ompartmet specfus atvtását. A yomjelzô ezdet atvtásáa egyelôe ell lee a ompartmet everedés utá atvtásával: Átredezve: ( ) = ( q ) a ( t) ( 4. ) q a - -

13 Ha a ( ) ( ) = q ( 4. ) a t >> q q a ( ) = a ( t) A ( 4.3 ) alapjá a ompartmet meysége vagy specfus atvtása számolható. 4.. Zárt redszere ( 4.3 ) Vzsgálju meg egy ompartmetbôl álló, damus egyesúlyba lévô zárt redszert. Az általáosság edvéért feltételezzü, hogy mde ompartmet mde ompartmethez apcsolód és a redszer cs apcsolatba a öryezetével. Egy lye redszert mutat a 4.. ábra j q a q a j j...,- q a 3... j -, ábra A redszert a övetezô matemata modellel tudju leír: d = M ( 4.4 ) d =......,, Itt jj természetese cs értelmezve, mert egy ompartmet ömagával em folytat ayagátvtelt. A ( 4.4 ) egyelet felírható: d = j j j= j j= j j ( 4.5 ) Mvel a redszer álladósult állapotba va, a ompartmetebe belépô és lépô ayago egyelô, így - -

14 d = A yomjelzôre ( 4.5 )-höz hasoló egyelet írható fel: dq = q dq j j j= j j= j da = j ( 4.6 ) Ez a ( 4. ) egyeletbôl és álladóságából övetez. A ( 4.6 ) egyelet tovább alaítva: da = ja j j a j= j= j j j ( 4.7 ) Mvel yomjelzôt csa egy ompartmetbe juttattu, ezért ocetrácója cs álladósult állapotba da vszot a yomjelzô meysége a redszer zártsága matt álladó, ezért ehát a redszert leíró egyeletbôl csa (-) függetle. dq = ( 4.8 ) Legye A Laplace-traszformáltja a -e ( A = (a ) ). Így a ( 4.7 ) egyelet: j= sa a A A 3 ( ) =... A A 3 sa a A A A A ( ) =..., 3 j j= M ( 4.9 ) Redezve az egyeletet: s j= j A A s A j j j = A A = a A = a A A... s j A = a j= j j= () () () ( 4. ) Ezt az eredméyt mátrxos alaba s leírhatju, am egy sajátérté problémát eredméyez. - -

15 I = = A A A = A = a() = a a a () () () λ λ = λ λ X X X = X Mvel dagoál eleme csee defálva, legye X X X X X X = j= j = det( si ) j ( si ) mátrx aldetermásáa ( ) j -szerese j ehát az smert matemata tétel alapjá: Így a ( 4. ) egyelet felírható: j ( si ) = ( si ) A = a( ) = adj( si ). ( 4. ) ovább alaítva: ( si ) A = a( ) A = ( si ) a( ) ( 4. ) ( 4. )-et behelyettesítve A egy eleme A j A = ( si ) a( ) j = = a j ( ) ( 4.3 ) Bebzoyítható, hogy = egyelete valós egatív gyöe va és λ > λ > K > λ sorba állítható, ahol λ =. Így ( 4.3 )-at felbothatju A j X j = ( s λ ) = alaba. Ee verz Laplace-traszformáltja adja a j = = X e j λ t ( 4.4 ) ( 4.5 ) - 3 -

16 X és λ a ísérlet adatoból számítható valamely ésôbb smertetett görbellesztô eljárással. Éppe ez az eljárás az oa, hogy többszörös gyö általába em fordul elô, mert az eljárás lye gyööet em tud szétválaszta. Ha ( 4.5 )-öt ( 4.7 )-be helyettesítjü, ² egyeletet apu. X M j= j j X 3 X X X 3 3 K = λ X X 3 X X X 3 3 K j = λ j= j ( 4.6 ) ahol =,.... ( ulajdoéppe em tettü mást, mt behelyettesítettü a sajátértéet és sajátvetort a sajátérté feladatba. ) A ( 4.6 ) mátrxos alaba -ra megoldva Legye X X = Xλ X = Xλ = XλX = XλX = det( X), X jl pedg X aldetermásáa ( ) j l -szerese. Így egy eleme: j = j Xlλ l l= X jl X ( 4.7 ) Mvel X és λ a ísérlete értéeléséél, pedg az zotóphígításál látott ( 4.3 ) egyeletbôl adód, így meghatározható ( 4.7 )-bôl. 4.. Nytott redszere Ebbe az esetbe a redszert a 4.3. ábrá látható modell jellemz. Mde ompartmet apcsolatba va a ülsô térrel. Az ayag R ( =,... ) áramlás sebességgel lép be és yomjelzôt em tartalmaz. A yomjelzôt valamely ompartmethez ezdetbe au és most sebesség álladóval hagyja el a redszert

17 Külsô tér q a R 3 q a ábra A matemata modell: d = R j j j= j l= l l ( 4.8 ) ( 4.6 )-hoz hasolóa: ( 4.7 ) pedg ez alapjá da dq = q q j j j= j l= l = ja j j a j= l= j l Mvel a yomjelzô most elhagyhatja a redszert, ( 4.8 ) már em gaz l l ( 4.9 ) ( 4. ) dq ( 4. ) j= Ezutá a megoldás megegyez az elôzô fejezetével, azzal a módosítással, hogy = l= l l ( 4. ) és ezért λ em lesz ullával egyelô. Néha elôfordul, hogy csa a redszer teljes ayagára voatozó méréseet tudu végrehajta. Ilyeor a yomjelzô teljes ayagára a = q függvéyt apju,melyet a redszer mosás függvéyée evezü. A függvéy dô szert derváltja a redszer meet jelgörbéje Specáls esete A fetebe smertettü, hogy méppe határozzu meg -t zárt és ytott redszer eseté. A gyaorlatba a mátrx soszor egyszerûbb alaú lesz. Ilyeor a megoldás leegyszerûsöd

18 . Állhat a redszer több egymástól elülöült alredszerbôl. Eze a modellbôl felsmerhetô és a ompartmete úgy számozható, hogy a mátrx a fôátlójamet égyzetes mátrxoból álljo. Ilyeor a dfferecál egyelet több alredszerre es szét.. Szeparálható redszere evezzü a redszert, ha //, //... // alredszerre botható úgy, hogy //-e cs bemeete //, /3/... //-ból, //-e /3/, /4/... //-ból, de //-bôl lehet bemeet, /3/-a csa // és //-bôl lehet bemeete és így tovább. Így // öálló alredszer lesz, öállóa megoldható, megoldása a több alredszerre bemeetét hata. Így // s megoldható most már a többtôl függetleül és így tovább. 3. A gyûjtô redszer olya ompartmet alredszer, amelye a redszer több részébôl va bemeete, de egyetle ompartmetjée scs meete ülsô ompartmethez. Ez természetese egyetle ompartmetbôl s állhat, melye gyûjtô ompartmet a eve. Ha egy redszerbe va egy gyûjtô, aor va egy zérus sajátértée. Az állítás fordítva s gaz. Ha va egy zérus sajátérté, aor a redszere va gyûjtôje, vagy az egész redszer gyûjtô, tehát zárt. A zérus sajátérté és a gyûjtô apcsolata szemléletbôl s belátható. Ha egy sajátérté cs, az azt jelet, hogy az alredszer tároló jellegû, meet átvtele a redszer több részéhez vszoyítva lassú. A továbbaba ét esettel - gyaorlat jeletôsége matt - részletesebbe foglalozu Lác redszer Ha egy redszert úgy redezü el, hogy mde ompartmete csa a szomszédjával va apcsolata, lác redszert apu. Ilyet ábrázol a 4.4. ábra. q a 3 j,j, j j q q q q j j a... a a... a j j 3 j,j -, 4.4. ábra A mátrx lyeor a övetezô alaú lesz: = ( ) 3 3 ( ) ( ), ( 4.3 ) ( 4.6 ) így alaul ebbe az esetbe: - 6 -

19 3 3 X X X 3 ( 3 ) X 3X3 = λx ( ) 3, X, 43 X X 34 X = λ X 4 (, ) X = λx = λ X 3 ( 4.4 ) Látható, hogy bár az egyeletredszer egyszerûbb lett, az smeretlee meghatározása most sem öyû feladat. Soal egyszerûbb a megoldás arra az esetre, mor egy ompartmet csa az ôt övetôe szállít ayagot, mt a 4.5. ábrá, tehát =, =,... =. 3 R qa q 3 j,j,- qa j j qa j j qa a j j 4.5. ábra Ilyeor az elsô ompartmetbe szotá a ( ) és a ( ) = a3( ) = K =. si leegyszerûsöd: a yomjelzôt fecsedez, ezért (s si = ) (s 3 3 ) (s 43 ) (s ) ( 4.5 ) = ( s )( s )( s ) K ( s ) 3 43 = ( s )( s ) K ( s ) 3 43 = ( s ) K ( s ) 43 = ( s ) K ( s ) Így A ( 4.3 ) felyezésébe helyettesítve: M = ( ) ( )( )( ) K ( ) A A = a ( s ) 3 43 ( ) = ( s )( s ) a 3 ( ) ( 4.6 ) Az elsô ompartmetbôl mtát véve és számítható. A másod ompartmet még smeretle 3, -je eze utá szté meghatározható és az eljárást így folytathatju tovább

20 4..3. Mammllary ( aya ) redszer Ez a redszer egy özpot ompartmetet tartalmaz, melyet a több örülvesz. Ayagcsere csa a özpot és szélsô ompartmete özött foly. A 4.6. ábrá látható az ompartmetbôl álló zárt mamllary redszer elmélet modellje. Ezt a redszert gyara haszáljá a csa szövetöz térbe és em a szerve sejt-terébe bejutó ayag eloszlása etájáa vzsgálatára. A yomjelzôt csa a özpot ompartmetbe szotá fecsedez. a ( ) és a ( ) = a 3 ( ) = K = a ( ) =. Így a ( 4.3 ) egyelet: A j = a ( ) ( 4.7 ) j Ebbe az esetbe md a özpot, md az ôt örülvevô ompartmete egy ostas és (-) expoecáls fejezést tartalmaza. A redszert leíró A, a( ), és λ mátrxo em változa, vszot egyszerûbb lesz. = 3 j 3 3 ( 4.8 ) qa qa 3 qa qa.. j j 3.. qa j j j 4.6. ábra Eze utá vzsgálju meg a gyaorlatba legább elôforduló eseteet

21 4. Néháy gyaorlat eset vzsgálata Követezôbe olya ompartmet-redszereet mutatu be, amelye vszoylag egyszerûe, gyaorlat jeletôségü agy. Eze az egy-, ét- és három-ompartmet redszere és azo specáls esete. Foglalozu továbbá az homogetás érdésével s. 4.. Egy-ompartmet redszer Az elmélet modell a 4.7. ábrá látható: A redszer vseledését a R q a d 4.7. ábra dfferecál egyelet írja le. A redszer álladósult állapotba va, ezért: = R ( 4.9 ) d = és R = ( 4.3 ) A redszerbe t = -ba fecsedezett jelzôayag vseledését a övetezô egyelete írjá le: Átredezve és tegrálva: a t = a dq da = t = l a ()e Vegyü ee tzes alapú logartmusát: a a () t = q = a da a a l a() = l a() lg a = lg a ( ), 4343 t ( 4.3 ) ( 4.3 ) ehát, ha adatoat féllogartmus papíro ábrázolju, egyeest apu, melye meredesége: (lg a( t) lg a( t )) ( t t ) Eze utá a eresett értée öye számítható: ( 4.33 ) - 9 -

22 meredeség =, 4343 az y tegellyel való metszéspotja adja a ezdet specfus atvtás értéet ( a ( ) ). Az zotóphígítás elve alapjá aq = a ( ) ( 4.34 ) ahol q a yomjelzô meysége és a a specfus atvtása volt a befecsedezés elôtt. Az elmélet modell: 4.. Két-ompartmet lác redszer R q a q a 4.8. ábra A redszert leíró dfferecál egyelete: lletve dq dq da da = q = q q = a = a a ( 4.35 ) ( 4.36 ) a = a ( ) e a t a( ) e t e t = ( ) ( ) ( 4.37 ) a ( ), és az elôzô fejezet eljárársával számítható. és egy ésôbb smertetett görbe aalzálás eljárással yerhetô. -t eze utá öye megaphatju a fejezésébôl Egy-ompartmet redszer, melye bemeete álladó forrás A 4.9.a. ábrá látható az elmélet modell: - -

23 a R q a a R q a a. b ábra A dfferecál egyelet, mely ezt a redszert jellemz, leírja az álladó fúzó estét s. Az álladó fúzót a 4.9.b. ábra mutatja. ehát a ét redszert leírhatju a övetezô egyeleteel: Álladósult állapotba: R Jelzôayagra: Átírva: =. d dq da = R ( 4.38 ) = R a q ( 4.39 ) = ( a a ) ( 4.4 ) A ( 4.4 ) egyeletet megaphatju Laplace-traszformácóval, de egyszerûbb, ha az elôzô fejezet specáls esetée tetjü. Eor a redszer olya ét-ompartmet redszer, ahol a. ompartmet végtele. Ez alapjá: a a t t = e e ( ) ( ) ( 4.4 ) Az elsô ompartmet álladósult állapota matt: Így Ha és a = a t t = e e ( ) ( ) ( 4.4 ) a = a ( e t ) ( 4.43 ) a a t = e lm a ( t) = a. ehát ha a t fejezést ábrázolju féllogartmus papíro, aor a( ) a paramétereet az elôzô módszerrel megállapíthatju. Haszálhatóbb módszer ésôbb erül smertetésre öbbszörös dózs A yomjelzôt egyelô dózsba t egyelô dôözöét adju egy egy-ompartmet redszerbe. Egy-egy dózs em zavarhatja meg az egyesúly állapotot. - -

24 A redszerre, a yomjelzô beadása özött dôtartamba, gaz az egy-ompartmetre orábba felírt dfferecál egyelet, vagys dq = q ( 4.44 ) t = -ba a ( ) specfus atvtású yomjelzôt juttatu a redszerbe. t -be a specfus atvtása a övetezô: a ( t ) = a ( ) e t Eor újabb dózst adu be. A specfus atvtás agyo s dô (δt) múlva: Egy újabb tervallum elteltével: A harmad befecsedezés utá: Az -ed befecsedezés utá: ( 4.45 ) a t t a e t ( δ ) = ( )( ) ( 4.46 ) a t a e t e t ( ) = ( )( ) ( 4.47 ) t t a ( t δt) = a ( )( e ) e a ( ) = t t = a ( )( e e ) t t ( ) t a ( t δt) = a ( )( e e K e ) = Ha befecsedezés utá: a = t ( )( e ) t ( e ) a ( ) lm a ( t) = t ( e ) A hatásmechazmus a 4.. ábrá jól övethetô. ( 4.48 ) ( 4.49 ) ( 4.5 ) 4.. ábra 4..5 Két-ompartmet zárt redszer Az elmélet modell a 4.. ábrá látható: - -

25 qa qa A matemata modell: A yomjelzôre (q d d q = álladó): A specfus atvtásora: dq dq da da 4.. ábra = = = = = q q = q q a = a a = a ( 4.5 ) ( 4.5 ) ( 4.53 ) A megoldás például Laplace-traszformácóval törtéhet. Ha -be fecsedezü t = -ba yomjelzôt, a ( 4.53 ) egyelete megoldása a övetezô: a a a( ) a( ) ( ) = e = X Xe ( ) ( ) t λt a( ) t t = e = X e ( ) ( ( ) ) ( λ ) a és a épét a 4.. ábra mutatja. a () ( 4.54 ) Specfus atvtás a (t) a (t) Idô 4.. ábra,, és -et többféle módo határozhatju meg: vagy az ú. Bleeha-Fsher módszerével, vagy X -át és X -et valamlye görbellesztéssel - 3 -

26 meghatározzu és -re felírju az zotóphígítás alapegyeletét. Egy harmad módszert s smertetü, e szert: Ezért ( 4.54 )-et átredezve: lm a ( t) = X t a X a X e t ( ) = λ ( 4.55 ) A ( 4.55 ) egyeletet féllogartmus papíro ábrázolju és a paramétereet az egyeesbôl meghatározzu. Ez azoba egy hosszabb ísérletsorozatál redívül boyodalmas, fáradságos értéelés módszer Két-ompartmet ytott redszer A redszer elmélet modellje a 4.3. ábrá látható. A redszer dfferecál egyelete: dq dq = q q a = q q ( 4.56 ) R q a q a A specfus atvtásoal felírva: da da 4.3. ábra a = a a a = a ( 4.57 ) Ha az. ompartmetbe juttattu a yomjelzôt, a fet egyelete megoldása a övetezô lesz: λ a a, a() = ( λ λ a() = ( λ λ ( = ) λt λt ( λ )e ( λ )e ) ) (e λt e ) ± λt ( ) ) 4 ( 4.58 ) - 4 -

27 Az egyeleteet leírhatju λ t a = X e X e λt λ t a = X e X e λt 3 4 ( 4.59 ) formába s. A specfus atvtás-dô függvéyt a 4.4. ábrá övethetjü. A paramétereet a görbe aalízs segítségével határozhatju meg. a () a (t) Specfus atvtás a (t) Idô 4.4. ábra 4..7 Kompartmetcsatoláso Elôrecsatolás Elépzelhetô, hogy egy ompartmetbe em erül be a felé ráyuló összes ayag, haem egy része erül, és a ompartmet utá egyesül smét a áramló ayaggal. Ilyeor elôrecsatolásról beszélü, mt azt a 4.5. ábra s mutatja. a R r q a q a 4.5. ábra Vzsgálju meg, hogy egy elôrecsatolt tag hogya változtatja meg az ôt övetô - például egy gyûjtô ompartmet - bemeetét. A bemeet legye álladó fúzó és ee r -szerese jut az elsô ompartmetbe. Megoldva a ( 4.6 ) egyeletet: q dq = rr a q ( 4.6 ) rra e = ( t ) ( 4.6 ) A más ágo az elôrecsatolás em változtatja meg az ayag meetét. Így a övetezô ompartmet bemeete: dq rr a t = ( e ) ( r) Ra ( 4.6 ) - 5 -

28 dq R a rr a e = t ( 4.63 ) Vsszacsatolás Az elmélet modellt a 4.6. ábrá láthatju: a R q a r q a 4.6. ábra Az elsô ompartmetet a övetezô dfferecál egyelet írja le: dq = a R ( r) q q ( 4.64 ) dq Ee megoldása az elôzôhöz hasolóa: q = a R r q ( 4.65 ) Ra e r = ( t ) ( 4.66 ) r Kérdés: mlye hatással va ez a övetezô ompartmetre? Írju fel ee a dfferecál egyeletét. dq r R a e r = ( t ) ( 4.67 ) r dq = R a ( e r t ) ( 4.68 ) A vsszacsatolás tehát megváltoztatja a görbe dôálladóját s. A vsszacsatolás matt az ayag jobba evered a ompartmetbe. Léyegébe úgy épzelhetjü el az egész folyamatot, mtha egy belsô "everô észüléet" au vola a redszerhez. Kompartmeteet párhuzamosa s csatolhatu. Eor meetü összeadód és ét expoecáls görbe összege lesz Három-ompartmet redszere Vzsgálju meg a 4.7. ábrá látható három-ompartmet redszert

29 R qa qa qa R 3 R 3 dq dq dq ábra = ( ) q q q = q ( ) q q = q q ( ) q ( 4.69 ) Illetve: da da da A aratersztus polom: ( = 3 a a 3 = ( ) a 3 3 a a 3 = ( ) a 3 3 a = a ( ) a s) Ee gyöe a redszer sajátértée. 3 3 ( s) ( s) ( 4.7 ) ( 4.7 ) Vzsgálju meg a legfotosabb specáls eseteet Zárt redszer Ha = = 3 =, a ( 4.7 ) egyelet a övetezô alara egyszerûsöd: 3 s s ( ) s ( ) ( ) ( ) = ( 4.7 ) - 7 -

30 A sajátértée: zérus és a ( 4.7 ) megmaradó másodfoú fejezésée gyöe Nytott redszer ételezzü fel, hogy a ( 4.7 ) egyeletbe mde j =. Eor a aratersztus polom a övetezô: 3 s 9s 4s 6 = ( 4.73 ) A sajátértée λ =, λ = 4 és λ 3 = 4, vagys λ = 4 gyö multplctása ettô. Aa elleére, hogy ez egy három-ompartmet redszer, csa ét ülöbözô bomlás ostas va Lác redszer Lác redszerél 3 = 3 = = =. Újra megvzsgálju azt a specáls esetet, amor = = 3 = 3 = 3 =. A sajátértée a övetezô egyelet gyöe: 3 s 4s 3s = ( 4.74 ) Ee az egyelete három ülöbözô egatív valós gyöe va Mammllary ( aya ) redszer A három-ompartmetû mammllary redszerbe 3 = 3 = = 3 =. Ha = = 3 = 3 = =, a sajátértée az alább aratersztus polom gyöe: Újra három ülöbözô valós gyööt apu. 3 s 6s 9s 3 = ( 4.75 ) 4..9 Ihomogetás Idág a ompartmeteet mdg homogéee feltételeztü. Ha egy homogé ompartmet s jele va, aor azt ét al-ompartmettel helyettesítjü. Az egy gyors ayagcserébe va a redszer több részével, a más pedg lassú forgalmat boyolít az elôzôvel. Egy lye példa a 4.8. ábrá látható: q a 4.8. ábra q a a a a A yomjelzô meysége az elsô ompartmetbe: q q a b b b = a ( 4.76 ) A yomjelzô teljes meysége a másod ompartmetbe: q = q q = a a = a ( 4.77 ) a b a a b b ahol a a. ompartmet specfus atvtásása átlaga

31 Mvel és özött gyors a cserélôdés, ezért a a majdem egyelô a -gyel: a a a a b b a a a b b a ( 4.78 ) ételezzü fel, hogy a yomjelzôt az elsô ompartmethez adju, a b ( ) =. Így t = -ba: a ( ) a ( ) = a ( ) = a b b a a = a ( ) ( ) ( 4.79 ) Az al-ompartmete agysága tehát meghatározható. Más úto s megözelíthetjü az homogetást. Feltételezhetü az homogé ompartmetbe egy ocetrácó gradest. Eor az homogé ompartmetet végtele számú al-ompartmettel helyettesítjü. 4.3 razes állapotba lévô redszere A gyaorlatba soszor merül fel a trazes állapotú fzológa folyamato leírásáa géye razes redszer fogalma A 4.7. ábrá látható modellt leíró egyelet: d = R ( 4.8 ) Ha R és álladó, de R, aor, vagys a ompartmet mérete változ az dô függvéyébe. Ha cs yomjelzô a redszerbe, aor ( 4.8 ) leárs dfferecál egyeletet - melye függô változója - oldju meg. Ha va yomjelzô a redszerbe, aor lletve dq = q ( 4.8 ) d( a) = a ( 4.8 ) függvéyt ell megoldau, ahol és a s változ az dô függvéyébe. A szerzô olya redszereet s taulmáyozta, melyebe a ormál örülméye özött álladósult állapotba lévô ayago egyesúly ocetrácója megbomlott, és/vagy új egyesúly állapotba erült, vagy vsszatért az elôzô álladósult állapotba. Feltételezté, hogy a változás em agy, a eta leárs Idege ayago etája Általába az dege ayag etájáa vzsgálatáál az elôzôhöz hasoló em álladósult modellt haszála. Az ayagcsere vzsgálatába már a radotív yomjelzô elôtt eredméyese haszáltá az dege ayagoat. 9-ba Wdmar acetot fecsedezett a yula bôre alá és mérte a vérbe az aceto ocetrácóját. Kmutatta, hogy az adatora llesztett görbe expoecáls

32 Gehle 933-ba már éháy olya elmélet öveteztetésre jutott, am már a ét-ompartmet redszerre utal. eorell 937-be magaa egy állat szerve és szövete özt gyógyszer mozgásáa ( átalaulásáa ) eta leírását. A legtöbb redszerbe a gyógyszere áramlás sebessége a ompartmetbôl egyeese aráyos a ompartmetbe lévô gyógyszer ocetrácójával. Bray, horpe, Whte olya dege ayagot fecsedezett a ísérlet állatba, mely részbe változatlaul, részbe evésbé toxus ayagét vál. A toluol etáját a 4.9. ábra mutatja. q q oluol Bezol-sav 4.9. ábra Az. ompartmetbe lévô toluol egy része változatlaul vált ( ), más része oxdálódott ( ). Így a. ompartmetbe bezol eletezett, mely elhagyta a redszert ( ). Ee a vált bezola mérté a teljes meységét. A. ompartmetet gyûjtô ompartmete tetetté. Egyelete: dq = ( ) q ( 4.83 ) dq = q ( 4.84 ) Egy adott pllaatba a vált bezol teljes meysége q ( t), a végsô összes vált bezol meysége q ( ). A t dôpotba vsszamaradó toluol q( t), a beadott toluol q ( ). Így a ét egyeletet elosztva egymással: A ( 4.85 ) egyeletet megoldva: t = -ba Legye q ( ) q ( t) = B. Eor q dq dq = ( ) q q = q ( ) = q ( ) ( 4.85 ) ( 4.86 ) ( 4.87 ) ( ) B = q ( 4.88 ) Ezt ( 4.84 )-be helyettesítve: - 3 -

33 dq = ( ) B ( 4.89 ) ehát, ha lg B-t dô grafoo ábrázolju, az egyees meredesége ( ) -t adja. q ( ) és q ( ) smeretébe ( 4.87 ) felhaszálásával és számítható. Ez azt jelet, hogy a yúlból váló tuluol sebesség ostasa felbotható a bezollá válás oxdálódásáa és a változatlaul váló ayaga a sebesség ostasára Nyomjelzôvel jelölt redszere Vzsgálju meg azt az esetet, amor em csa a yomjelzô meysége ( q ), haem a ompartmet ayagáa a meysége ( ) s változ az dô függvéyébe. A modell az általáos -ompartmet redszer. Az -ed ompartmetbe áramló ayag teljes meysége: j= j A ompartmetbôl való áramlás sebessége: R j ( 4.9 ) = j R j ( 4.9 ) Az eredô sebesség, mellyel az ayag az -ed ompartmetbe felhalmozód, e sebesség ülöbsége: d j j= j= j j = R A yomjelzô mozgását leírja a övetezô egyelet: Míg ( 4.9 )-t a -vel megszorozva: d( a ) dq = = a jrj a j R a d ( 4.94 ) egyeletet ( 4.93 )-ba helyettesítve: Mvel q = a, ezért: dq ( 4.95 ) és ( 4.96 ) egyeletebôl: R j j= j= j j = a R a R j j= j j= j = a R a R a d j j j j= j= j j dq j j ( 4.9 ) ( 4.93 ) ( 4.94 ) ( 4.95 ) a d da = ( 4.96 ) - 3 -

34 da = a R a R = R ( a a ) ( 4.97 ) j j j j= j j= j j= j j j 4.4 Nemleárs redszere Nagyo so, számura fotos redszer emleárs. A övetezôbe a emleárs redszere egy általáos megfogalmazásával, valamt a perturbácós és relaxácós módszere smertetésével foglalozu Általáos modell Általáos emleárs ompartmet redszerbe az -ed ompartmetbôl a j-edbe törtéô ayagátvtel sebessége az összes,, K, meysége és több p, p, K, p paraméter függvéye. Így a sebesség ostaso és P vetoro függvéye. Egy lye redszer -ed ompartmetjét mutatja a 4.. ábra. R (t) qa 4.. ábra j (, P) j (, P) So esetbe j, j és még egy vagy több paraméter függvéye. R ( t) jelethet a redszerbe sztetzált ayagot éppúgy, mt a öryezetbôl belépôt. A redszer matemata modellje: Legye Eor: = j= j j. d d = j j j R( t) ( 4.98 ) j= j= j j = j j R( t) ( 4.99 ) j= j Általába eveset modhatu a megoldásról az álladósult állapot vételével. Ilyeor álladó és d =, mde R ( t) bemeet álladó R. Így: j = R j j= j ( 4. ) 4.4. Perturbácós és relaxácós módszere Csa az álladósult állapotú redszereet vzsgálju. Perturbácó az álladósult állapotba lévô redszer s változását értjü, mely egy vagy több - 3 -

35 ompartmetbe fecsedezett s ayagmeység hatására jö létre. Ezutá a redszer vsszatér ugyaabba az álladósult állapotba. A relaxácó az állapotváltozó hrtele s megváltozása ( eze az állapotváltozó em a ülöbözô ompartmete meysége ), lye állapotváltozó például a hômérsélet és a yomás. Az álladósult állapot megszû és egy új állapot felé tart a redszer, mely em egyez meg az eredetvel Relaxácó Vszsgálju meg a ( 4. ) egyelettel megadott redszerrel m törté, ha például a hômérsélet ssé megváltoz. j o az új álladósult állapotbel érté, mely felé a redszer tart. j legye j -e az álladósult állapotbel értétôl való pllaaty elmozdulása. o = ( 4. ) j A redszert, mt láttu a ( 4.9 ) dfferecál egyelet írja le. A bemeete megváltoztatható az állapotváltozó ( hômérsélet ) eltolásával. Feltételezzü, hogy így új álladó értéhez tartaa és eor R s egy új álladó lesz. P paraméter vetor s új P x x o o x -re változhat. j így j (, P ) és az új álladósult állapot j = j (, P ) sebesség álladóal jellemezhetô. Ha az eltérése már elég cs ( %-ál sebbe ), j -t aylor-sorba o fejthetjü j örül és az elsô derváltaál magasabbredû fejezéseet elhayagolhatju. Eor így alaul a ( 4.9 ) egyelet: ahol o j állapotra: d = o o j j j = = = o j j o j o ( ) ( ) R o j j ( 4. ) az álladósult állapotra számított parcáls derváltat jelet. Álladósult o o o o = j j R ( t) ( 4.3 ) j= j Ezt felhaszálva és a magasabbredû tagoat elhagyva: d = = o o o o j j = j j = o o j o j o j ( 4.4 ) és együttható ostaso, így az új álladósult állapothoz tartozó relaxácó egy álladó együtthatójú leárs dfferecál egyeletredszer

36 4.4.. Perturbácó A redszer egy ompartmetjébe fecsedezett s ( ) ayagmeységgel mozdítható az álladósult állapotból. Ezutá magára hagyju, hogy vsszatérhesse eredet álladósult állapotába. most se legye agyobb az álladósult állapotbel o érté %-áál. A ( 4.4 ) egyeletet most s tudju haszál azzal az eltéréssel, hogy most P paramétere em változa meg és ezdet eltérés csa ompartmetbe va. Gyara még jobba leegyszerüsíthetô az egyelete. Ha a ( 4.4 ) egyelete együttható mátrxa dagoálsa domás, aor egy ompartmetbe beövetezô s változás bármely más ompartmetbe csa magasabbredû változásra vezet. Ilyeor már a övetezô egyelet s jó özelítést ad: d = o o o j j = j ahol K a ( 4.4 ) egyelet fôátlóbel együtthatója. Így: o j = K ( 4.5 ) o K t = = ( ) e ( 4.6 ) Eor az elsô megözelítésbe az álladósult állapotba expoecálsa tér vssza és a több ompartmetbe csa másodredû hullámzás ( lütetés ) va

37 5. SZÁMÍÓGÉPES SZIMULÁCIÓ Az elôzô fejezetebe tágyalt, elsôsorba életta folyamato ( redszere ) leírására alalmas matemata modelle megoldásával soa foglalozta, de még apjaba s számos új özleméy jele meg, fôleg egy új feladat vagy specáls alalmazás eseté. éy azoba, hogy ompartmet aalízssel leírt életta folyamato aaltus megoldása három ompartmetszámg áttethetô. Ha eél több ompartmetel írható csa le a vzsgál ívát folyamato, aor számítógépes megoldás módszereet ell alalmaz. A fete fgyelembevételével a Budapest Mûsza Egyetem Folyamatszabályozás aszéé folyó tudomáyos utatáso eredméyeét több számítógépes szmulácós program redszer erült fejlesztésre és a gyaorlatba való bevezetésre. Eze programredszere segítségével tetszôleges felépítésû életta redszer vagy folyamat számítógépes vzsgálata elvégezhetô, a ompartmete száma cs orlátozva. A redszer lehet zárt vagy ytott. A ezdet paramétere megadásaor a program automatusa döt abba a érdésbe, hogy mlye redszerrôl ( lác redszer, Mamllary redszer, stb. ) va szó. A program meü-vezérelt, IBM PC ompatbls számítógépee futtatható, az eredméyeet táblázatosa és grafusa s szolgáltatja, ezzel s segítve a gyaorlat haszálhatóságot. A övetezôbe - a teljesség géye élül - bemutatu éháy példát a KOMPAR számítógépes szmulácós program alalmazására. 5. Lác redszer modellje q ábra A vszoylag agy tömegû -es ompartmetbôl agy sebességû áramlás zajl a -es ompartmet felé. A yomjelzôt a 4-es ompartmetbe adju, mely a 3-as és az 5-ös ompartmet felé ürül. A redszer a övetezô matemata modellel írható le: d d d d d = = ( ) = ( ) = ( ) = ( 5. )

38 A számítógépes értéeléshez a övetezô adatoat haszáltu: = 5; = ; = ; = ; = = 5; = ; = ; = 5; = ; = = 5; = ; q = Az egyes ompartmete ayagáa és yomjelzôe dôbel változását az ábrá szemléltet. 5. ábra

39 5.3 ábra 5.4 ábra

40 5.5 ábra Ahogy várható volt, a yomjelzô meysége leggyorsabba a 3-as és az 5-ös ompartmetbe ezd változ, s csa ez utá a -es és az -es ompartmetbe. Látható tehát, hogy egy tetszôleges fzológa folyamat egyszerûe értéelhetô, hatásmechazmusa potról-potra yomoövethetô. 5. Eterohepatus ergés modellezése A máj a szervezet fotos választó szerve, amely élülözhetetle szerepet játsz abba, hogy a szervezet a felesleges ayagcsereterméetôl megszabaduljo. Az elmácós mûödés érthet ívülrôl bejutó ayagoat ( pl. gyógyszere, mérge ) és a szervezetbe eletezô ayagcsereterméeet. Redszert ább lpofl vegyületerôl va szó, melye elmácója a vesébe orlátozott. A májsejtebe lejátszódó átalauláso öveteztébe a érdéses moleula polársabb, hdroflebb természetûvé vál, és gy az epébe, vérbe választódhat. Az elmácós mûödés szempotjából a bélcsatora mtegy a "ülvlág" folytatásaét fogható fel: az epével törtéô választás tehát azt jeleteé, hogy a szervezet az lletô ayagtól megszabadult. A valóságba azoba ez a "ülvlág" redívül szoros apcsolatba va szervezettel, és a választott, a béllumebe jutott vegyülete a hámsejte és a batérumo hatására átalaulhata, a bélhámo eresztül vsszaerülhete a ergésbe. Számos olya vegyületet smerü, am eze "eterohepatus örforgalom" révé újból és újból vsszajut a szervezetbe, és így az edogé sztézsét a szervezet részbe megtaaríthatja. ermészetese ee bológa célszerûsége csa olya ayago esetébe va, amelye a szervezet számára fotosa lehete ( epesava, oleszter ), és a örforgalom redívül hátráyosa bzoyul olya ayago esetébe, melye árosa ebbe a voatozásba. Az eterohepatus ergés modellezhetô a ét ompartmetes holtdôs taggal redelezô modellel, mely az 5.6. ábrá látható

41 dózs. ompartmet τ. ompartmet 5.6. ábra Az. ompartmet a testet ( potosabba a májat ), a. ompartmet pedg az emésztés csatorát jelet. A gyógyszer ( yomjelzô ) tavéás befecsedezés útjá erül a szervezetbe t = dôpllaatba az. ompartmetbe ( D dózsba ). Md a ét ompartmet tömege ezdetbe. A yomjelzô molelulá a t dôpllaatba elhagyva az. ompartmetet csa ( t τ ) dôbe ér el a. ompartmetet. Az áramlás agyságát a j együttható szabjá meg ( a em epével választott ayagelmácó mértéét, a belebôl eltávolított ayag meységét, az epével törtéô ürítés agyságát, pedg a reabszorpcó mértéét jelöl ). ahol A modell leírható a övetezô dfferecál egyeletredszerrel: δ( t ) pedg a Drac-delta függvéy. dq( t) = ( ) q( t) q ( t) Dδ( t) dq ( t) = ( ) q ( t) U( t τ) q( t τ) U (t ha t < τ τ) = hat > τ ( 5. ) A dfferecál egyeletredszer megoldható valamely umerus módszerrel ( Euler algortmus, Ruge-Kutta módszer ). Az verz Laplace-tramszformácót haszálva tudju fejez a q( t)-t az dô függvéyébe a holtdô ( τ ) fgyelembevételével. Pl. ha t < τ:q (t) = De bt haτ t τ:q (t) = De bt Dc a b a(t τ) e b(t τ) t τ e a b a b ( 5.3 ) A fet modell számítógépes szmulácóját az alább három számszerû példa szemléltet. ( A értéét célszerû mél sebbre választa, mert az eterohepatus ergés mértée = eseté maxmáls. ) Az ábrá vlágosa mutatjá, hogy md a holt dô, md a j értée erôse befolyásoljá a yomjelzô ( gyógyszer ) dôbel eloszlásáa a jellegét s. Így a ísérlet

42 adato alapjá öye modellezhetôvé és elemezhetôvé vál a gyógyszer szétterjedése a szervezetbe. =. 9 =. 5 =. =. 8 τ = D = ábra =. 9 =. 5 =. =. 8 τ = 3 D = ábra - 4 -

43 =. 9 = 4 =. =. 9 τ = D = ábra 5.3 Oldott állapotú ayago tárolása poletlé otéerebe Amor valamlye ayagot ratározu ( mûayag csomagolásba, fém dobozba, otéerebe ), aor az dô múlásával az ayag ölcsöhatásba lép a doboz, lletve a otéer falával, és eze eresztül a öryezetével s. Számos utató mua foly eze a területe választ eresve arra a érdésre, hogy mlye mértéû ez a ölcsöhatás, hogya függ a ülsô téyezôtôl, és mely eleme hajlamosa a legább az áramlásra. E jelesége vzsgálata redívül fotos techológa, fza, vegy és egészségügy szempotból. Eze folyamato vzsgálatára, az ayagáramláso megfgyelésére az 5.. ábrá látható ét ompartmetes modell haszálható. 5.. ábra Az ábrá az. ompartmet az ayagot, a. pedg a otéer falát jelet. A -ás ompartmet a öryezet. A modell leírható a övetezô egyeletredszerrel: - 4 -

44 d d Illetve a specfus atvtásora felírva: da da = = ( ) = a a a = ( ) ( 5.4 ) ( 5.5 ) A megoldás pl. Laplace-traszformácóval törtéhet, a és paramétere többféle módo meghatározható ( pl. a görbeaalízs segítségével ). A asmáa Egyeteme a Gyógyszerta aszée végzett ísérletsorozat so haszos formácót adott a poletlé otéere szvárgásáa mértéérôl és a otéerebe tárolt oldott állapotú ayag áramlásáról. A ísérleteet ülöféle vegyületeel és oldószereel végezté: trobezollal, acetofeoal, lororezollal, bezl alohollal, fel etaollal. A poletlé típusú ayago esetébe az áramlás ( szvárgás ) bexpoecáls jellegû, míg a poletlétôl távolabb álló ayagoál mooexpoecáls. Példaét vzsgálju meg a KOMPAR program segítségével a trobezol áramlását a otéer falá eresztül. =.577; ( = ) = % t ; =.885; = = ábra - 4 -

45 A trobezol poletlé típusú ayag, az áramlás görbéje erôse expoecáls jellegû. A szvárgás szté expoecáls, s a mértée erôse függ a ülsô téyezôtôl ( pl. a levegô hômérsélete, edvességtartalma, stb. ). A szvárgás vzsgálatáa jeletôsége a gyaorlatba s bebzoyosodott. Így például a gyógyszergyártó - felhaszálva a ísérlete eredméyet - a gyógyszer hatóayagával elôzetese mpregált ayagba csomagoljá a gyógyszert, és így csöet a gyógyszer môség és meység változását. 5.4 A pajzsmrgy jódfelvétel folyamatáa modellezése A folyamat a övetezô három-ompartmetes modellel írható le: 3 zotóp ábra Az ábrá az. ompartmet a vért, a. a vzeletet, míg a 3. a pajzsmrgyet jelöl. a megfelelô ompartmete jóartalmát adja, j a j-ed ompartmetbôl az -ed be való átmeet sebesség álladóját jelet. A folyamat a övetezô dfferecál egyeleteel írható le: d = d = ( 5.6 ) Az összes jóartalom megmaradása matt pedg mde dôpotba: ( ) =

46 5.3 ábra A ezdet feltétele: 5.4 ábra ( ) = ( ) = 3 A megfelelô ompartmete ( vér, vzelet és pajzsmrgy ) jóartalmáa változását az alább ábrá mutatjá. Látható, hogy a vérbe jetált jódmeység végül

47 a vzeletbe halmozód fel, míg a pajzsmrgy jóartalma a ezdet zérus értérôl dulva egy rövd deg övesz, majd újra zérusra csöe. 5.5 öbbszörös dózs ( Ats ísérlete ) Ebbe az esetbe egy egyetle ompartmetbôl álló redszert vzsgálu, melye elmélet modellje az 5.5. ábrá látható. A redszer vseledését a R q a d 5.5. ábra = R ( 5.7 ) dfferecál egyelet írja le. A redszerbe t = -ba befecsedezett jelzôayag vseledését a övetezô egyelete írjá le: Az egyelet megoldása: dq da = q = a ( 5.8 ) a = a ( ) e t ( 5.9 ) A redszerbe egyelô dózsba t egyelô dôözöét yomjelzôt adu. ( Ats a ísérletébe agy meységû aszorbt adott, 3 C oxálsavval jelölte a vzsgált személy aszorbsavát, és több héte át fgyelte a ürülést. ) A redszerre a yomjelzô beadása özött dôtartamba a övetezô dfferecálegyelet írható fel: dq = q A t = dôpllaatba a ( ) specfus atvtású yomjelzôt juttatu a redszerbe, aor t -be a specfus atvtás: a ( t ) = a ( ) e t Eor újabb dózst adu be. Egy agyo s dô utá, ( t δt) -be a specfus atvtás: Egy újabb tervallum elteltével: A harmad befecsedezés utá: a t t a e t ( δ ) = ( )( ) a t a ( ) = ( )( e ) e t t

48 Az -ed befecsedezés utá: t t a ( t t) = a ( )( e δ e ) t ( ) t a ( t δt) = a ( )( e K e ) = a t ( )( e ) t ( e ) Az befecsedezés utá: a ( ) lm a ( t ) = ( e t ) A hatásmechazmus az ábrá jól övethetô. 5.6 ábra

49 6. INVERZ FELADA MEGOLDÁSA Iverz feladata evezzü a ompartmet aalízsbe a megfelelô modell, lletve paramétere meghatározását a redelezésüre álló adato ( mérése, formácó stb. ) alapjá. Va, amor eheze apható meg az aaltus megoldáso, lyeor umerus módszereet haszálu. A méredô adato megválasztása a ísérletezô orább smeretetôl s függ. Elôfordulhat az, hogy agyo eveset tudu a redszer szerezetérôl, lletve a redszert leíró matemata modellrôl. Ilyeor a feladatot redszer detfácóa, vagy specfácóa evezzü. A más véglet, hogy va olya formácó, mely specfálja a modellt. Eor a modell paraméteree meghatározása a feladat. Lehet, hogy e ét szélsô eset özött va a probléma, tudu valamt a redszer szerezetérôl, de az em teljese specfált. Az verz feladat eor paraméter maghatározás és redszer specfácó everée. A fetebôl látsz, hogy az verz feladat több szte jelehet meg. Az verz feladat megoldásához ísérlet tervere, becsléselméletre és statsztus aalízsre va szüség. A redszer detfácós feladatoál fotos az egyértéûség. Általába rtá va lehetôség arra, hogy megmodju, a redszer detfácót s tartalmazó feladat megoldása meyre jó, mvel em áll redelezésüre az összes lehetôség, hogy összehasolítást tehessü. Gyara találhatu egy redszerre ompartmet leírást. Hogy célszerû-e és haszálható-e a ompartmettel törtéô leírás, az csa a redszerrôl apott más formácó segítségével döthetô el. 6. Iverz feladat megoldásáa grafus módszere Az verz feladat megoldásáa agyo so módszerét smerjü. Jele esetbe a feladat fotos része az expoecáls ürülés görbé paraméteree meghatározása. A paramétereet legpotosabba dgtáls számítógéppel lehet meghatároz, de más módszere s elterjee. Modellezhetjü a redszert aalóg számítógéppel, és a paramétereet a modell alapjá aphatju meg az eredet redszer és az aalóg modell értéee összehasolításával. Az orvos gyaorlatba ma még agyo elterjee a grafus eljáráso. Eze özül most ét módszert rövde smertetü. 6.. Bleeha-Fsher módszer A módszerrel y = p e t alaú fejezése paraméteret lehet meghatároz, ha egyelô dôözöét aptu az adatoat. ( y t dôözöét mért értée legye y, y, K, y. ) Az egymást övetô dfferecá: = y y = y y 3 M = y y ( 6. )