VIRTUÁLIS MUNKA ELVE VÉGES ELEM MÓDSZER ALAPJAI
|
|
- Adrián Boros
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 BUDAPSTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI GYTM Műszai Mechaniai Tanszé IRTUÁLIS MUNKA L ÉGS LM MÓDSZR ALAPJAI OKTATÁSI SGÉDLT
2 Összeállította: dr. örös Gábor, egyetemi docens 3. november módosítva: 5. anuár
3 3 TARTALOM. Bevezetés irtuális elmozdulás, virtuális muna irtuális muna elve...5. A virtuális muna elve ontinuumora lmozdulás növeménye Kis növeménye Kis alaváltozáso Lineárisan rugalmas is alaváltozáso éges elem módszer, eleme és mátrixo Analízis Lineáris statia Másodrendű elmélet Lineáris stabilitásszámítás Saátfrevenciá számítása Kiegészítő irodalom...
4 e e 4. Bevezetés A rövid összefoglaló elsődleges céla a ontinuumo mozgásána vizsgálata, mégis célszerű először csa az egy tömegpontra, illetve véges számú tömegpontból álló egyszerű mechaniai rendszerere vonatozó energetiai alapelve átteintése. ze után az elveet általánosíthatu a deformálható testere, ontinuumra... irtuális elmozdulás, virtuális muna Az. ábra szerint egy tömegpont, amelyi a t időpontban az R helyvetorral adott ezdeti helyzetében van, a rá ható erő vagy ényszere által megszabott pályagörbe mentén t> idő után elut az r vetorral megadható helyzetbe, r(t) a tömegpont mozgástörvénye. Az elmozdulás vetor a pillanatnyi és a ezdeti helyzet ülönbsége, u r R. A ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet, illetve az r(t) mozgástörvény ami az adott mechaniai feladat megoldása tuladonságait vizsgálu meg úgy, hogy innen iindulva, változtassu meg az elmozdulás vetort egy igen icsi értéel. A módosított elmozdulás legyen olyan, hogy az (u + ) helyzet is felelen meg az esetleges ényszere által ielölt orlátozásona. z természetesen nem egy ténylegesen megvalósuló, hanem csa egy elépzelt, lehetséges helyzet, mászóval a egy virtuális elmozdulás és az (u + ) pedig egy inematiailag lehetséges elmozdulás. ttől elteintve a virtuális elmozdulás bár icsi, de tetszőleges. A virtuális elmozdulást eze szerint úgy is meghatározhatu, hogy az a ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet és enne is örnyezetében lévő, mási inematiailag lehetséges helyzet ülönbsége, (u + ) u. F e 3 t R r u t >.ábra
5 5 Ha az F vetor elöli a tömegpontra ható erő eredőét, aor enne az erőne a munáa a virtuális elmozduláson a virtuális muna: δw F. (.) gy M elemből tömegpontból - álló mechaniai rendszerre az összes virtuális muna M M δw δw F. (.) Ha a vizsgált tömegpont egy összetett mechaniai rendszer része, aor az F eredő a belső erőet is tartalmazzá... irtuális muna elve gy tömegpont nyugalomban van - illetve állandó sebességgel mozog - ha a rá ható erő eredőe zérus, azaz F és ezért a virtuális elmozduláson végzett (.) virtuális muna δw F. gyensúlyban lévő mechaniai rendszernél a virtuális muná összege zérus: M δw F. (.3) Newton másodi axiómáa szerint a tömegpont mozgásegyenlete F ma, illetve F - ma, ahol a d u/dt a tömegpont gyorsulása és a (-ma) a tehetetlenségi erő. zt az (.) virtuális muna definícióába helyettesítve δw ( F mu& ). Ha a mozgásegyenlet a mechaniai rendszer minden elemére telesül, aor M M δw ( F - m a ) δwf m u&, (.4) ami a virtuális muna elvéne egyi alaa. A inematiailag lehetséges is virtuális elmozdulásoon az erő munáána megváltozása zérus, ha a mechaniai rendszer minden eleméne a ényszere által megszabott mozgására a mozgásegyenlet telesül. A δw F elöli a rendszerre ható összes ülső és belső erő virtuális munáát. z az eredmény anna a övetezménye, hogy Newton másodi axiómáa, vagyis a mozgásegyenlet a rendszer minden elemére telesül.
6 6 Az (.3) és (.4) egyenlete formálisan azonosa, ha a mechaniai rendszerre ható tényleges ülső erőet a (-ma ) tehetetlenségi erőel is iegészítü. Az így iegészített erőrendszer egyensúlyi feltétele a mozgásegyenlete telesülését is biztosíta. z a D'Alambert elv. Az (.4) nem csa egy rögzített t időpillanatban, hanem a mozgás egészére igaz. Integrálu az (.4) egyenlet mindét oldalát egy (t, t ) időintervallumra, t t δw m a dt. M F A másodi tag a szorzat integrálás szabálya szerint átalaítható: t t u& m dt t t t t [ u& m ] u& u& m dt [ u& u m ] ( m u& u& ) dt t δ δ t δ t A másodi tagban az integrandusz δ, a -edi elemne a virtuális mozgásból virtuális sebességből számolt mozgási (inetiai) energiáa. Ha az integrál határait úgy vesszü fel, hogy az első tago összege zérus, és elöli a rendszer összes mozgási energiáát, aor az eredmény ami a Hamilton elv általános alaa. t ( δwf + δ) dt, (.5) t t. Az (.3) elvben az F eredő erő a belső erőet is tartalmazzá. Ha egy rendszerből iemelün egy részt, aor a örnyezet hatását ifeező belső erő a iválasztott rész szempontából ülső erőne minősülne. Bár a belső erő összege zérus, a belső erő virtuális munáána összege nem feltétlenül zérus, mivel a rendszer elemeine távolsága a inematiailag lehetséges mozgáso során változhat. Az összes virtuális muna a belső erő (B) és a ülső erő (K) munáána az összege. δw δw + δw. (.6) F B K
7 7. A virtuális muna elve ontinuumora A övetezőben teintsü a. ábrán vázolt, ezdetben a térrészt elfoglaló ontinuumot, amelyne az A u felületrészén adott az u elmozdulás vetor értée (geometriai vagy inematiai peremfeltétel), az A p felületrészen pedig a p felületi terhelés (dinamiai peremfeltétel). izsgálu a test mozgásána egy tetszőleges özbenső helyzetét, amior feltételezésün szerint ismerü a ülső hatásoat és a test mechaniai állapotát leíró mennyiségeet, vagyis ismerü a megoldást. A ülső hatáso a p p e a felületi erő terhelés - a test A p elű ülső felületén, q q e térfogati erőhatás a test által elfoglalt térrészen uˆ uˆ e a felületi ponto előírt mozgása a test A u elű ülső felületén, H H e e a ülső és belső erőtől független, a ezdeti onfigurációra n n vonatoztatott alaváltozáso, más szóval az expanziós terhelés (például hőtágulás), a mechaniai állapotot ellemző mennyisége pedig az u u e elmozdulás vetor, n K K e e a szimmetrius II. Piola-Kirchhoff féle feszültség tenzor és n n H H e e a Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor. n A Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor oordinátái az elmozdulás vetorral ifeezve: H n ( u + u + u u ) [( δ + u )( δ + u ) δ ] ; n H n; n t; [( δ + D )( δ + D ) δ ] t t tn t t; tn tn n n, (.) ahol I δ e en elöli az egységtenzort, D grad( u) D e en u e en az u elmozdulás n vetormező gradiens tenzora és u ; n a ovariáns derivált. n ; n ze a mennyisége mind a test ezdeti onfigurációához tartozó derészögű oordinátarendszerben adotta, melyne bázis egységvetorai e, e és e 3. Az alaváltozási és feszültségi állapot leírására használatos vetor és tenzor mező származtatásána, valamint az itt használt összegzési onvenció és ovariáns derivált definícióána további részleteivel többe özött - az [] és [] önyve foglalozna.
8 8 Az. feezet gondolatmenetét övetve, egy ismertne teintett egyensúlyi helyzetből iindulva is mértében változtassu meg az u elmozdulás vetormezőt úgy, hogy az így előálló ú (u + ) vetormező is egy inematiailag lehetséges az A u felületen az uˆ u + megtámasztási feltételeet telesítő mozgást íron le, azaz az A u felületen. Az elmozdulás megváltozása, más szóval a virtuális elmozdulás, olyan icsi, hogy a test geometriáána megváltozását és a ülső és belső erő változását is figyelmen ívül hagyhatu. A virtuális mozgáso során az (.4) elv és az (.6) felbontás szerint a ülső erő beleértve a tehetetlenségi erőt is - és belső erő összes virtuális munáa zérus: részletezve, δw B - δw + δw, (.) B K K δh d K n δh n d, δw K q d + p da q d + p da. A (.) alapán számolható a Green-Lagrange féle alaváltozási tenzorna a virtuális mozgáso öveteztében ialauló δh változása, a virtuális alaváltozás: ami az ( δ u ) tn + t; δh [( δ + u ) + ( δ u ) ] tn t; t t;, n + tenzor szimmetrius része. Ha ezt a (.) egyenletbe helyettesítü, és figyelembe vesszü, hogy a K n feszültség tenzor szimmetrius, aor elutun a virtuális muna elvéne általános alaához, K vagy ( δ + u ) d + q d + p da, ( K t + K nu ) t; d + q d + p da, n tn t;, (.3) ami szerint, ha egy u elmozdulás vetormezővel megadott helyzetben bármely virtuális elmozdulásra a (.3) egyenlet telesül, aor az u az adott feladat megoldása, feltéve, hogy az u és a (u+) elmozduláso is inematiailag lehetségese. Az eddigie során nem tettün semmiféle orlátozó iötést a test anyagára, vagy az elmozduláso, alaváltozáso mértéére.
9 9.. lmozdulás növeménye A továbbiaban vizsgálu a test alaváltozási folyamatána ét egymást övető, egyensúlyi helyzetét (. ábra). Az első helyzetben, amit a p és q terhelése hozta létre, és a továbbiaban alapállapotna nevezün, az elmozdulás vetort és a feszültségi tenzort elöle u, K. Az ezt övető, ugyancsa egyensúlyi állapotban a terhelés legyen (p + p) és (q + q), a megváltozott elmozdulás vetor és feszültség tenzor pedig (u + u) és (K + K). A ét állapot özötti változásoat növeményene nevezzü. Mindét egyensúlyi állapotra telesül a (.3) virtuális muna elve: ( δtn + u ) t; d + q d + p da K n, ( K n + K n )( δtn + u + u ) t; d + ( q + q ) d + ( p + p ) da A szorzáso elvégzése után a ét egyenlet ülönbségét épezve a maradé rész: [ K n ( δtn + u + u ) + K nu ] t; d + q d + p da.. (.4) z az elmozdulás vetormező növeményére vonatozó virtuális muna elve, ami szerint egy u egyensúlyi alapállapotból iindulva az u elmozdulás növemény egy mási egyensúlyi helyzetet elöl i, ha bármely virtuális elmozdulásra a (.4) feltétel telesül, feltéve, hogy az (u +u) és az (u +u+) elmozduláso is inematiailag lehetségese. A (.4) a virtuális muna elvéne egy olyan általánosítása, ami a ülönböző végeselem modelle származtatásána alapa. Fontos megegyezni, hogy az anyagtörvényre, a mozgáso és növeménye mértéére vonatozóan változatlanul nem tettün semmiféle orlátozást. P u p e 3 e e A u û q P û u P q + q p +p. ábra A ontinuum mozgása
10 A Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor az alapállapotra és az u elmozdulás növeménnyel ielölt ú állapotra a (.) alapán H H + H [( δ + u )( δ + u ) δ ] [( δ + u + u )( δ + u + u ) δ ]. ze ülönbsége a H alaváltozás növeménye tenzora, tp tp t; p t; p tr t; p tr t; r t; r, t; r [( u + u + u u + u u u u )] H p; r r; p t; p t; r t; p t; r + t; r t; p, (.5) amine oordinátái nagy alaváltozáso esetén az u elmozdulás növemény mellett az alapállapotot ellemző u elmozdulásotól is függene. A (.4) általános alaból iindulva az anyagtuladonságra, a mozgáso mértéére, a ülső hatáso és a mozgáso apcsolatára vonatozó feltételezése alapán ülönböző mechaniai modellere érvényes elveet lehet levezetni. ze özül csa néhány lehetőséget sorolun fel... Kis növeménye Tételezzü fel, hogy az elmozdulás növeménye icsi, pontosabban az u elmozdulás növemény D gradiens tenzora az I egységtenzorhoz épest elhanyagolható. Ilyenor a (.4) elvben az ( + u + u ) ( δ + u ) özelítést lehet alalmazni. zzel a (.4) ú alaa δ (.6) tn t,n t,n [ K n ( δtn + u ) + K nu ] t; d + q d + p da tn t,n. (.7) A (.5) H alaváltozási növemény tenzor - hasonló megfontolás szerint linearizált - alaa az egyszerűsítés után: [( u + u + u u u u ] H p; r r; p t; p t; r + t; r t; p ). (.8) A virtuális muna elvéne (.7) alaából származtathatu az elmozdulás növeményere nézve lineáris egyenleteet. hhez még szüséges a K n feszültség növemény és a H alaváltozás növemény vagy az u t;n elmozdulás növemény gradiens apcsolatána az anyagtörvény onrét alaána ismerete is.
11 .3. Kis alaváltozáso Legyene az alapállapotot elentő alaváltozáso is icsi. bben az esetben az u ezdeti elmozdulás D gradiens tenzora is elhanyagolható az I egységtenzorhoz épest, azaz ( tn + u t,n + u t,n ) δtn δ, (.9) A (.5) vagy (.8) H alaváltozás növemény tenzorból is hagyu i a másodrendben is mennyiségeet: ( u + u ) ( D D ) H ε p; r r; p + rp. (.) Itt a szoásos módon ε elöli a is alaváltozáso tenzorát. Mivel ez csa az u elmozdulás vetor növemény oordinátáina lineáris függvénye, a szuperpozíció elve ettől ezdve használható. Jelölü is alaváltozásonál a feszültség tenzort is a szoásos módon: K σ. ze után a (.7) virtuális muna elve a övetező formában írható, [ σ t + σ u ] t; d + q d + p da n. (.) Ismét érdemes hangsúlyozni, hogy az anyagtuladonságra, az anyagtörvény onrét alaára vonatozóan változatlanul nem tettün semmiféle orlátozást..4. Lineárisan rugalmas is alaváltozáso A is alaváltozásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú testenél a σ feszültségi tenzor és az ε alaváltozási tenzor oordinátái özötti apcsolat az alapállapotban is és az elmozdulás növeménye utáni ú állapotban is az alábbi lineáris egyenleteel - az általános Hooe törvény formáában - írható fel: σ n σ + σ n n C C n n ( ε ε ) ( ε ε + ε ε ), (.) ahol C n az anyagellemző mátrixa, ami anizotróp anyagnál legfelebb, de izotróp test estén csa független anyagellemzőt tartalmaz. Az ε és ε tenzoro a ülső és belső erőtől független alaváltozáso, az expanziós terhelése (például hőtágulás, vagy a fázisátalaulást, száradást ísérő térfogatváltozás, stb.) ezdeti értéét illetve növeményét
12 írá le. A feszültség növemény és az alaváltozás növemény apcsolata a (.) anyagtörvényből, az ott felírt ét egyenlet ülönbsége: ( ε ) σ (.3) n Cn ε ze alapán a (.) virtuális muna elve a övetező formában írható fel: [ Ct ( ε ε ) + σ nu ] t; d + q d + p da, (.4) illetve, mivel a σ feszültség tenzor is és az ε, ε alaváltozási tenzoro is szimmetriusa és a virtuális elmozdulásoból számolt virtuális alaváltozás a (.4) átírható a övetező alara: ( ) δε p; r + r; p, - C ε δε t d u σ n t; d + Ctε δε t d + q d + p da t. vagy a (.3) felhasználása után, is átalaítással, δ [ σ t ( ε t ε t ) + u σ nu t; ] d + q d + p da -. (.5) Ha a ülső erő az elmozdulásotól függetlene, azaz aor a virtuális muna (.5) elvét a δ C q. δ(q.u) és p. δ(p.u), (.6) t ε ε t d u σ nu t; d + Ct ε ε t d q u d p u da + +. (.7) formában írhatu fel, amit a teles potenciális energia szélsőérté elvéne, vagy a lineáris rugalmasságtanban a Lagrange féle szélsőérté elvne is szota nevezni. A (.7) a (.3) anyagtörvény alapán átrendezhető: δ [ σ t ( ε t ε t ) + u σ nu t; ] d + q u d + p u da, vagy ugyanez szimbolius elöléseel:
13 3 δ T [ σ ( ε ε ) + D σ D ] d + q u d + p u da A virtuális muna elve a teles terhelési, alaváltozási folyamat bármely özbenső, pillanatnyi egyensúlyi állapotára érvényes. Ha test mozgása gyors, aor a ülső erő, a terhelése özött figyelembe ell venni a tehetetlenségi erőet is. A D Alambert elv szerint a térfogaton megoszló tehetetlenségi erő értée q ρ& u&, ahol ρ a test tömegsűrűsége és a ét pont elöli az idő szerinti deriváltat, a gyorsulás vetort. zzel iegészítve a (.5) egyenletet,. + C t C t ε ε δε t δε t d d + u q t,n σ n t, d + d p ρu & da d +, (.8) a mérnöi gyaorlatban legtöbbször előforduló, a lineárisan rugalmas szerezete statiai, stabilitási és dinamiai vizsgálatára alalmas alapelvhez utun. A (.8) a övetező formában is megfogalmazható: A lineárisan rugalmas anyagú, is alaváltozásoat végző szerezet terhelése a p felületi és a q térfogati erőrendszere, valamint az ε tenzorral megadott, a p és q terhelésetől független, egyéb ülső hatáso öveteztében ialauló alaváltozás. A szerezet ezdeti - ismertne teinthető - egyensúlyi feszültségi állapotát a σ tenzor mező íra le. Ha egy inematiailag lehetséges, más szóval a geometriai peremfeltételene pontosan megfelelő u elmozdulás vetorra telesül a (.8) feltétel, aor az u vetor az adott rugalmasságtani feladat megoldása. Az ε alaváltozási és σ feszültségi tenzoro valamint az u apcsolata, az eddigie alapán: ε ( u + u ) ( D + D ) σ p; r n C r; p n ( ε - ε ) rp. (.9)
14 4 3. éges elem módszer, eleme és mátrixo A továbbiaban, a virtuális muna elvéne a (.8) alaából iindulva, átteintü a végeselem módszer lényeges lépéseit. A mátrixoat, a vetor és tenzor mennyiségetől megülönböztetve, aláhúzás nélül elölü, és ahol szüséges, a soro és oszlopo számát a elölés alatti záróelben adu meg. A mechaniai mező és a terhelése oordinátáit célszerűen oszlopvetoroba rendezzü el, melye mérete és belső elrendezése az adott feladat ellegétől (rúdszerezet, lemezfeladat, stb.) függ. Az elmozdulás, az elmozdulás gradiens, az alaváltozási, feszültségi és ezdeti feszültségi mátrixo oszlop vetoro - elölése legyen u u, u D D, ε ε, σ σ, σ σ, (3.a) ; n n n n n a terheléseet megadó mennyisége mátrixai p p, q q, ε ε, (3.b) és a rugalmas test anyagellemzőine szimmetrius mátrixa m C n C. (3.c) A vizsgálandó szerezet vagy ontinuum által elfoglalt tartományt felosztu M véges számú és véges méretű e elemre, amelye felületén, esetleg a belseében is, ielölü a csomópontoat. A (.8) elvben szereplő integrálo az egyes elemere vonatozó integrálo összege lesz: M ( ) d (...)d e e.... gy anyagi pont mozgását n adat íra le (például 3 vetor oordináta). Az e sorszámú elemnél az i-edi csomópont elmozdulás ellemzőit rendezzü el a csomóponti mátrixba, melyne mérete (n,), n sor és oszlop. Ha az elem csomópontaina száma p, aor az elemhez tartozó elmozdulás ellemző száma, vagyis az elem szabadságfoa, N pn. Az elem szabadságfoo mátrixa legyen (T a transzponálás ele) i T T T [,, ] T e U..., ( N, ). (3.) A szerezet összes csomóponti elmozdulás paraméterét tartalmazó U mátrix, ha az egész rendszerben a csomóponto száma P : T T T [,, ] T U..., p. (3.) P
15 5 Az eleme belső pontaiban az u elmozdulás vetormező oordinátáina értéét interpolációs függvényeel számolu, melyeet az N interpolációs mátrixban rendezün el: u e N U. (3.3) (n,) (n,n) (N,) Az interpolációs függvénye általában polinomo, foszámuat a csomóponti n szabadságfoo számától függően ell meghatározni. Az interpolációs függvénye onrét formáa ugyan elemtípusonént változó, de a övetező általános szabályoat minden esetben érvényesíteni ell. Az eleme csatlaozó oldalfelületei vagy oldalai mentén a megfelelő elmozdulás oordinátá legyene folytonosa, legyene lineárisan függetlene, továbbá ha a csomóponti elmozduláso az elem merevtestszerű mozgását adá, aor bármely belső pontban az alaváltozáso és feszültsége értée legyen zérus. Az interpolációs függvénye ismeretében a (.9) összefüggéseből i lehet számolni az elem belső pontaiban az elmozdulás gradiens és az alaváltozási tenzor elemeit tartalmazó mátrixoat: D S U, ε H S U B U U B e e e e T T. (3.4) A virtuális elmozdulás és az ebből számolt virtuális mennyisége, mivel most már csa a csomóponti értée változhatna: et u N U D S U U S ε B U U B e e et T e δ δ, δ δ δ, δ δ δ T. (3.5) ze után, a (3.a-c) elölése és a (3.4), (3.5) definíció felhasználásával felírhatu a (.8) virtuális muna elvében szereplő hat integrál egy elemre vonatozó értéeit, amiből az egyes elemmátrixo származna.. Merevségi mátrix Az elem e merevségi mátrixa a származtatás módából övetezően szimmetrius. e T e e T e e C T t ε δε t d δu B C B d U δu U. (3.6) (N,N) e e. Geometriai merevségi mátrix A geometriai merevségi mátrixban megelenne a ezdeti feszültségi állapot oordinátái. e T e e T e e u T t, n σ n t, d δu S σ S d U δu G U. (3.7) e e (N,N)
16 6 3. Tömegmátrix zzel a taggal aor ell számolni, amior a gyorsan változó folyamatonál a tehetetlenségi (inercia) erő az egyéb terhelésehez épest nem elhanyagolhatóa. A csomóponti paramétere ilyenor az idő egyváltozós függvényei leszne. e ρu d δ ρ d && δ et T e et e e && U N N U U m U. (3.8) e (N,N) A tömegmátrixna ezt a formáát onzisztens tömegmátrixna nevezi, és igazolható, hogy a fenti definíció a tömeg azonossága mellett a mozgási energiá azonosságát is biztosíta: e e e ρ u T u d & & U m U. e (N,N) A onzisztens tömegmátrix helyett gyaran használá a diagonál szerezetű, úgynevezett oncentrált tömegű (lumped) tömegmátrixot, amit a transzlációs mozgásohoz tartozó tömege (és esetleg a forgásohoz tartozó tehetetlenségi nyomatéo) azonossága alapán származtathatun. A étféle tömegmátrix használatával természetesen eltérő numerius eredményeet apun, de az eleme méreténe csöentésével az eredménye özötti eltérés is csöen. A diagonál mátrix szerezet a nagyméretű saátérté feladato megoldását elentősen gyorsíta. & & && 4. Terhelése A ülső, elmozdulásotól független erőhatásoat tartalmazó három tagból származtatható az elem P e tehervetora. Az itt szereplő ε tenzor tartalmazza a hőmérsélet változásából adódó terheléseet. Ha az anyag izotróp és α elöli az iránytól független falagos hőtágulási együtthatót, aor ε e αt δ, ahol T e az elem hőmérsélet változása. Az eredő elem tehervetor: C ε δε d + q d+ p da t t e e Aep δ U B C ε d + Nqd + NpdA δu Q e e Aep et T T T et e ( N, ). (3.9) A (.7) virtuális muna elvében szereplő integrálo a fenti ( ), az egyes elemere vonatozó részintegrálo összegeiént írható fel:
17 7 M e ( G + ) et e e e e e e e δ U U U m U && Q. Mivel a szerezet felosztásaor meghatározott eleme csatlaozó csomópontaiban az elmozdulás paramétere (szabadságfoo) értée azonos, az ezehez apcsolódó elem mátrix elemere az összegzést elvégezhetü. Az elemere vonatozó mennyisége összegzése után a fenti egyenlet a ( && G ) T δ U KU K U MU+ Q alara rendezhető, ahol K, K G, M, szimmetrius mátrixo, P és U oszlop vetoro. ze az egész rendszerre vonatozó mátrixo. Mivel a δu virtuális csomóponti elmozdulás az A u megtámasztási felületen ívüli csomópontoban tetszőleges, a KU + K U + MU && Q (3.) G feltételne ell telesülni. A (3.) egyenlet megoldása, feltéve, hogy a szerezet A u elű felületén lévő csomópontoban az U megfelelő elemei azonosa az ott előírt mozgásoal, vagyis eleve telesíti a inematiai ényszerfeltételeet (inematiailag lehetséges mozgás), az egész szerezetre vonatozó megoldást szolgáltat. Az U megoldásból iemelve a (3.) U e elem szabadságfo mátrixoat, a feszültsége az eleme belső pontaiban a (.4) és (3.5) alapán számolhatóa: σ e e ( B U ε ) D. (3.) z természetesen özelítő megoldás, mivel a (3.3) interpoláció a belső ponto mozgását csa özelítőleg íra le. A özelítő megoldás itt azt elenti, hogy a (3.) egyenletrendszer megoldásából iszámított (3.) belső erő, feszültsége ugyan özelítő értée, de - a tehetelenségi erőel iegészítve - egyensúlyi erőrendszert alotna. nne magyarázata az, hogy a virtuális muna elve amine végső formáa itt a (3.) egyenlet - egy özelítő elmozdulás mezőre pontosan telesül. A csomóponto özötti távolságo csöentésével, vagyis az eleme méreténe csöentésével ami elemszám és szabadságfo szám növelést elent a megoldás hibáa is csöen. Természetesen, ha a (3.3) interpolációs függvényeből a pontos elmozdulás vetor előállítható, aor a (3.) U megoldása a csomóponto pontos elmozdulása lesz. rre csa egyszerűbb szerezete - például rúdszerezete - egyszerű terheléseinél lehet számítani.
18 8 3.. Analízis A (3.) egyenlet a is alaváltozásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerezetenél ülönböző feladattípuso megoldására alalmas. A övetező feezeteben ezeet a lehetőségeet teintü át röviden Lineáris statia Ha a szerezet feszültségmentes ezdeti állapotból iindulva, lassú mozgásoat végez, aor a végső egyensúlyi helyzetet a lineáris egyenletrendszer megoldásával lehet meghatározni Másodrendű elmélet K U Q (3.) Szerezetenél a lineáris elmélet alalmazása lényegében azt elenti, hogy az egyensúlyi feltételeet az eredeti, terhelés előtti ala méretei alapán határozzu meg. Nagyobb alaváltozáso esetén azonban figyelembe ell venni a szerezet geometriáána folyamatos változását is. Például a nagy mozgásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerezetere vonatozó végeselem alapegyenlet a virtuális muna elvéne (.7) alaából származtatható, ami nemlineáris egyenletehez vezet. A nemlineáris egyenlete hosszadalmas, iterációs algoritmusoal oldható meg. Haléony rugalmas szerezetenél a oblémána özelítő, de a gyaorlat számára ielégítő pontosságú megoldása a másodrendű elmélet, amior az iterációs elárásna csa az első ét lépését végezzü el. lőször, feszültségmentes ezdeti állapotot feltételezve megoldu a (3.) lineáris egyenletet. A másodi lépésben ebből a megoldásból meghatározzu a (3.) egyensúlyi belső erő eloszlást, amit ezdeti feszültségi állapotna teintve iszámítu a (3.7) geometriai merevségi mátrixot. A ( G ) K + K U Q (3.3) lineáris egyenletrendszer megoldásával iszámítu a pontosított mozgásoat, belső erőet és feszültségeet. A (3.3) egyenlet úgy is értelmezhető, hogy az egyensúlyi egyenleteet a terhelés által deformált alara íru fel. z természetesen további mozgásoat induál és az elárást az így előálló ú alazatra, mint ezdeti állapotra megismételhetnén.
19 9 A másodrendű elmélete alalmazása során az egyenes rudaból és sí lemezeből álló szerezetenél még további egyszerűsítéseet is alalmazna, amior csa a húzó-nyomó igénybevétele és a halító igénybevétele apcsolatánál veszi figyelembe a mozgásoat, a többi igénybevétel vonatozásában az eredeti egyenes vagy sí alazatot használá. A ezdeti feszültségere nézve ez azt elenti, hogy a geometriai merevségi mátrix számításánál a σ ezdeti feszültségene csa a húzásból vagy nyomásból származó tagaival számolun. Lehetséges, hogy a (K + K G ) módosított együttható mátrix szinguláris lesz és a (3.3) lineáris egyenletrendszerne nincs megoldása. z a elenség aor mutatozi, ha a ülső terhelés nagyobb, mint a rendszer ritius, stabilitásvesztést oozó terhelése Lineáris stabilitásszámítás A lineáris stabilitásszámítás céla a ritius terhelés értééne meghatározása. A ritius terhelési szintet elérve a szerezet egésze, vagy egyes elemei elveszíti további teherviselő épességüet, mozgásu határozatlanná váli. A érdés tehát az, hogy egy adott terhelési szinthez egy vagy több egyensúlyi állapot tartozi. Ha csa egy lehetséges egyensúlyi helyzet van, aor az stabil. Meg ell vizsgálni statius esetre, hogy egy egyensúlyi helyzetből, mint alapállapotból iindulva a terhelése változatlan értée mellett (zérus teher növemény) létezhet e zérustól ülönböző elmozdulás növemény, pontosabban, a ( K + K ) U homogén lineáris egyenletrendszerne mior lehet U megoldása. G (3.4) A geometriai merevségi mátrix (3.7) alaából látszi, hogy az a ezdeti feszültsége, illetve ezen eresztül a ezdetine teintett állapotot létrehozó ülső terhelése lineáris függvénye: G ( λ ) λ G ( ) K σ Κ σ. A (3.4) lineáris egyenletrendszerne csa aor lehet U megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, [ K + λ K ( σ ) det ]. (3.5) G z egy saátérté számítási feladat, a legisebb λ saátérté a ritius terhelési paraméter, a hozzá tartozó saátvetor pedig a stabilitásvesztési formát mutata meg. z az egyenlet úgy is
20 értelmezhető, hogy a terhelés növeedésével növevő alaváltozáso miatt a szerezet eredő merevsége is változi. Ha a merevség zérussá váli, az eredő merevségi mátrix szinguláris lesz, a szerezet további terheléseet nem tud felvenni. Természetesen, bizonyos szerezete az első ritius terhelésnél nagyobb terheet is felvehetne, enne számítására azonban a többszörösen linearizált (.3) alaú virtuális muna elv és arra épülő algoritmus nem használható. A ritius terhelés számítását ét lépésben ell végrehatani. lőször a (3.) egyenlettel iszámítu a P ülső terheléseből az egyes elemeben ialauló belső erőet, ez lesz az alapállapot. A másodi lépésben, eze ismeretében számolható a K G geometriai merevség, mad a (3.5) szerint a λ paraméter. A ritius terhelés az eredeti ülső terhelés és a λ paraméter szorzata Saátfrevenciá számítása A terheletlen szerezet lehetséges mozgásaina, a szabad rezgésene a vizsgálatához a K U + M U& (3.6) homogén lineáris differenciálegyenlet rendszert ell megoldani. Tételezzü fel, hogy a statiailag határozott megtámasztású szerezet minden csomóponta ponta periodius mozgást végez: U A sin( ωt) ahol t elöli az időt és A a csomóponto amplitúdó mátrixa, más szóval a lengésép. A feltételezett lengés alaot a (3.6) egyenletbe helyettesítve a ( ω ) K M A homogén lineáris egyenletet apu, amine csa aor lehet A megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, [ K ω ] M det. (3.7) A saátérté feladat megoldásával megapu a rendszer szabad rezgéseine saátfrevenciáit, a saátvetoro pedig a lengésépeet mutatá. A lehetséges [ω, A ] saátfrevencia, saátvetor páro száma nem több mint a rendszer szabadságfoaina száma.
21 A statius ülső terhelése módosíthatá a szerezet merevségét és ezen eresztül a szabad rezgése frevenciáit. A statius terhelése hatását a szerezet merevségére a geometriai merevségi mátrix feezi i és ezért ha ezt a hatást is vizsgálni aaru - a (3.7) helyett a [( K + K ) ω M det ] (3.8) G saátérté feladatot ell megoldani. Ha ezt összevetü a lineáris stabilitásszámítás (3.5) alapegyenletével, megállapítható, hogy ha a statius terhelés eléri a ritius, a stabilitás elvesztését oozó értéet és az eredő (K + K G ) merevségi mátrix szingulárissá váli, a rendszer nem végezhet szabad rezgést, mivel az összes saátérté ω.
22 4. Kiegészítő irodalom. Béda Gyula, ariációs lve gyetemi Jegyzet, Tanönyviadó, Béda, Kozá, erhás, Kontinuummechania, Műszai Könyviadó, Przemienieci, J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, Coo, R.D., Concepts and plications of Finite lement Analysis, nd dition, John Wiley & Sons, Bathe, K. J., Finite lement Procedures in ngineering Analysis, Prentice-Hall, Yang, T.Y., Finite lement Structural Analysis, Prentice-Hall, 986.
1. Egyensúlyi pont, stabilitás
lméleti fizia. elméleti összefoglaló. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan pontoat nevezzü, ahol a tömegpont gyorsulása 0. Ha a tömegpont egy ilyen pontban tartózodi, és nincs sebessége,
RészletesebbenDrótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1
Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
RészletesebbenMechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése
echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.
RészletesebbenMUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK
MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az
RészletesebbenEzt kell tudni a 2. ZH-n
Ezt ell tudni a. ZH-n Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet A sebességi együttható nyomásfüggése 1 Sebességi együttható nyomásfüggése 1. unimoleulás bomlás mintareació: H O bomlása H O + M = OH + M uni is
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenNEM RUGALMAS SZILÁRD TESTEK INSTABILITÁSI VIZSGÁLATÁNAK LEHETSÉGES MODELLEZÉSE
NEM RUGALMAS SZILÁRD TESTE INSTABILITÁSI VIZSGÁLATÁNA LEHETSÉGES MODELLEZÉSE utatási Jelentés (OTA 6 ). Célitőzés: A utatás az instabilitás lefolyásána nemlineáris vizsgálatát alapul véve a modellezés
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)
A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenVirtuális elmozdulások tétele
6. Előadás A virtuális elmozdulás-rendszer fogalma A virtuális munka fogalma A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazás statikailag határozott tartók vizsgálatára 1./ A virtuális elmozdulásrendszer fogalma
RészletesebbenA NEM VÁRT RITMUS. Néda Zoltán 1, Káptalan Erna 2. Plenáris előadás. zneda@phys.ubbcluj.ro
A EM VÁRT RITMUS éda Zoltán, Káptalan Erna 2 Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Elméleti és Számítógépes Fizia Tanszé, zneda@phys.ubblu.ro 2 Báthory István Elméleti Líeum, Fizia Katedra, aptalane@yahoo.om A
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenV É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
RészletesebbenA végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok
A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenLegfontosabb bizonyítandó tételek
Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenTizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
RészletesebbenÁllapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1
Állapottér modelle tulajdonságai 28..22. PTE PMMK MI BSc Kalman-féle rendszer definíció Σ (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T az időhalmaz X a lehetséges belső állapoto halmaza U a lehetséges bemeneti értée halmaza
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenTartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenTERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.
TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenEnergiatételek - Példák
9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l
Részletesebben2.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések
58. FEJEZET. EGY SZABADSÁGI FOKÚ LENGŐRENDSZEREK.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések.4.1. Súrlódási modell A Coulomb-féle súrlódási modellben a súrlódási erő a felületeket
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás
Részletesebben2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL
01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls
RészletesebbenSZÁLLÍTÓ REPÜLŐGÉPEK GÁZTURBINÁS HAJTÓMŰVEI NYOMÁSVISZONYA NÖVELÉSÉNEK TERMIKUS PROBLÉMÁI
Dr. Pásztor Endre SZÁLLÍTÓ REPÜLŐGÉPEK GÁZTURBINÁS HAJTÓMŰVEI NYOMÁSVISZONYA NÖVELÉSÉNEK TERMIKUS PROBLÉMÁI A probléma felvetése, bevezetése. Az ideális termius hatáso (η tid ) folytonosan növeszi a ompresszor
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
RészletesebbenCsillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
RészletesebbenA talajok összenyomódásának vizsgálata
A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)
SZÉHNYI ISTVÁN GYT LKLZOTT HNIK TNSZÉK 6. HNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa gy létrát egy
RészletesebbenHoltsáv és kotyogás kompenzálása mechanikai irányítási rendszerekben
Holtsáv és otyogás ompenzálása mechaniai irányítási rendszereben A mechaniai irányítására alalmazott lineáris vagy folytonos nemlineáris irányítási algoritmusoal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
RészletesebbenA feladatok megoldása
A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,
RészletesebbenFurfangos fejtörők fizikából
Furfangos fejtörő fiziából Vigh Máté ELTE Komple Rendszere Fiziája Tanszé Az atomotól a csillagoig 03. április 5. . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi,
Részletesebben3) Mit fejez ki az B T DBdV kifejezés, és mi a fizikai tartalma a benne szereplő mennyiségeknek?
1) Értelmezze az u=nd kifejezést! Hogyan lehet felírni egy elem tetszőleges belső pontjának elmozdulásait az elem csomóponti elmozdulásainak ismeretében? 3) Mit fejez ki az B T DBdV kifejezés, és mi a
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
Részletesebben3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás:
beütésszám. előadás TARTALOMJEGYZÉK Az alfa-bomlás Az exponenciális bomlástörvény Felezési idő és ativitás Poisson-eloszlás Bomlási sémá értelmezése Bomlási soro, radioatív egyensúly Az a bomlás: A Z X
RészletesebbenBAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3
Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés
RészletesebbenXL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12
XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
Részletesebben6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDigitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)
6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFelvételi, 2018 szeptember - Alapképzés, fizika vizsga -
Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2018 szeptember - Alapképzés, fizika vizsga - Minden tétel kötelező Hivatalból 10 pont jár Munkaidő 3 óra I Az alábbi kérdésekre
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenFogorvosi anyagtan fizikai alapjai 6.
Fogorvosi anyagtan fizikai alapjai 6. Mechanikai tulajdonságok 1. Kiemelt témák: Rugalmas alakváltozás Merevség és összefüggése a kötési energiával A geometriai tényezők szerepe egy test merevségében Tankönyv
RészletesebbenPotenciális energia felület
12 Potenciális energia felület A émia so (legtöbb?) problémája reduálható olyan érdésere, melyere a választ a PES-e adjá meg Moleulá PES-e csa a Born Oppenheimer özelítés eretén belül létezi A PES a moleula
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
RészletesebbenA= a keresztmetszeti felület cm 2 ɣ = biztonsági tényező
Statika méretezés Húzás nyomás: Amennyiben a keresztmetszetre húzó-, vagy nyomóerő hat, akkor normálfeszültség (húzó-, vagy nyomó feszültség) keletkezik. Jele: σ. A feszültség: = ɣ Fajlagos alakváltozás:
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA
Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Győr, 2010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT
RészletesebbenFizikai geodézia és gravimetria / 15. GRAVIMETRIAI SZINTEZÉS. A FÜGGŐVONAL-ELHAJLÁSOK SŰRÍTÉSE.
MSc Fiziai geodézia és avimetria / 15. BMEEOAFML01 GRAVIMETRIAI SZINTEZÉS. A FÜGGŐVONAL-ELHAJLÁSOK SŰRÍTÉSE. A Stoes-féle eáléplettel meghatározott geoid-ellipszoid távolságo elérhető özéphibája a nehézségi
RészletesebbenFelső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
RészletesebbenDinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.
Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenSimított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
RészletesebbenVégeselemes analízisen alapuló méretezési elvek az Eurocode 3 alapján. Dr. Dunai László egyetemi tanár BME, Hidak és Szerkezetek Tanszéke
Végeselemes analízisen alapuló méretezési elvek az Eurocode 3 alapján Dr. Dunai László egyetemi tanár BME, Hidak és Szerkezetek Tanszéke 1 Tartalom Méretezési alapelvek Numerikus modellezés Analízis és
RészletesebbenSpeciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenCAD technikák Mérnöki módszerek gépészeti alkalmazása
Mérnöki módszerek gépészeti alkalmazása XI. előadás 2008. április 28. MI A FEM/FEA? Véges elemeken alapuló elemzési modellezés (FEM - Finite Element Modeling) és elemzés (FEA - Finite Element Analysis).
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenSZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL
SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA KONFERENCIA 2010 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA CSUKA ANTAL TARTALOM A KÍSÉRLET ÉS MÉRÉS JELENTŐSÉGE A MÉRNÖKI GYAKORLATBAN, MECHANIKAI FESZÜLTSÉG
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenDigitál-analóg átalakítók (D/A konverterek)
1.Laboratóriumi gyaorlat Digitál-analóg átalaító (D/A onvertere) 1. A gyaorlat célja Digitál-analóg onvertere szerezeti felépítése, műödése, egy négy bites DAC araterisztiájána felrajzolása, valamint az
RészletesebbenEuleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai
Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai Mona Tamás Időjárás előrejelzés speci 3. előadás 2014 Differenciál, differencia Mi a különbség f x és df dx között??? Differenciál, differencia
RészletesebbenGaljorkin módszerek Spektrális módszer
Galorin módszere Spetrális módszer Előadó: Szépszó Gabriella szepszo.g@met.hu 07. otóber 6. Véges ülönbséges módszer Legyen a vizsgálandó függvény egy egyváltozós függvény: f=f) A 0 L intervallumon vizsgálódun
RészletesebbenGyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz. Fekete Ferenc. 5. gyakorlat. Széchenyi István Egyetem, 2015.
Gyakorlati útmutató a tárgyhoz Fekete Ferenc 5. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 015. 1. ásodrendű hatások közelítő számítása A következőkben egy, a statikai vizsgálatoknál másodrendű hatások közelítő
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenA gyors Fourier-transzformáció (FFT)
A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11.
Matematia szigorlat, Mérnö informatius sza I. 007. jún. 11. Megoldóulcs 1. Adott az f(x) = (x ) függvény. (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! D f = R \ {} 13 zérushely: x = y-tengelyen a metszet:
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
RészletesebbenA V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki
RészletesebbenLemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben