Szárítási folyamatok matematikai modellezése irreverzibilis termodinamikai és perkolációelméleti módszerekkel

Átírás

1 Szárítási olyaatok ateatikai odellezése irreverzibilis terodiaikai és perkolációeléleti ódszerekkel észáros Csaba Bálit Áges Klaus Gottschalk 3 Farkas Istvá Szet Istvá Egyete Gödöllő, Fizika és Folyaatiráyítási aszék Gödöllő, Páter K. u.., H-03 el.: (06-8) 5055, Fax: (06-8) 40804, E-ail: cseszaros@t.gau.hu Szet Istvá Egyete Gödöllő, Kéia és Biokéia aszék Gödöllő, Páter K.u.., H-03 Hugary 3 Istitut ür Agrartechik Bori e.v. (AB), ax - Eyth Allee 00, Potsda, Geray Összeoglaló A szárítási olyaatok disszipatív jellege olytá id az irreverzibilis terodiaika, id pedig a perkolációelélet egyre jeletősebb szereppel bírak a porózus közegeke keresztül törtéő egyidejű hő-, és ayagátvitel ateatikai odellezésébe. A terjedési sebességek véges értéke olytá a lokális egyesúly hipotézisét eladva dolgozuk ki egy olya új szárítási odellt, aely egelel a kiterjesztett irreverzibilis terodiaika és a statisztikus izika legújabb követeléyeiek is. Az átviteli olyaatokra jellező relaxációs is időálladókat elhaszálva egy új, sztochasztikus jellegű traszportelélet alapjait vetjük eg a jele ukába.. BEVEZEÉS A porózus közegeke keresztül zajló egyidejű hő-, és ayagátvitel jeleségeiek irreverzibilis jellege viszoylag régóta iseretes pl. (Luikov és ikhailov, 965) és ez a teatika ég idig yitott kutatási területet képvisel száos egválaszolatla kérdéssel és sürgetőe egoldadó eladattal a szárítási olyaatokat is ideértve (Farkas et al., 000). ivel a akroszkopikus disszipatív kotiuuok következetes leírása csak a eegyesúlyi terodiaika keretei között lehetséges (Gyarati, 967, Vá, 996, Jou et al., 00), kézeekvő eljárásak tűik e diszciplía hatékoy eszközeit a éröki gyakorlat olya területei is alkalazi, ahol ez eddig ég e törtét eg. Az elített traszportolyaatok sziulációjára is alkalas száítógépes progracsoagok egjeleése és széleskörű elterjedése pl. (APLE 8, 00) jeletős értékbe bővítheti és ioíthatja tovább a odellezési lehetőségeket. Figyelebe véve, hogy a szárítási olyaatokba idig olya csatolt hő-, és ayagátvitelről va szó, aely valailye adott kapilláris-porózus ikroszerkezetű közege keresztül törtéik, eredéyes és redkívül hatékoy új sziulációs stratégiához vezethet a eegyesúlyi terodiaika és a perkolatív redszerekbe (Griett, 999) zajló ázisátalakulások korszerű eléletéek együttes alkalazása (Luikov, 966, Farkas et al., 000, Prat, 000, észáros et al., 00, Huiik et al., 00). A terodiaika legújabb eredéyei szerit (Jou et al, 00.) az irreverzibilis jeleségek klasszikus eléletébe általáosa elogadott lokális egyesúly hipotézise e tartható, ivel e közelítésbe parabolikus típusú parciális diereciálegyeletekkel (PDE-kel) dolgozuk, aelyek alkalazásából az átviteli olyaatok végtele terjedési 5

2 sebessége következe, és ez yilvávalóa e elel eg a izika általáosa elogadott elveiek. Ezért a jele ukába a klasszikus elélet keretei túllépő, az úgyevezett kiterjesztett irreverzibilis terodiaika által táasztott követeléyekek egelelőe (Gyarati, 977, Jou et al., 00) kidolgozott elokális eléletekből kiidulva állítuk el egy új oralizust és olduk eg egy, a csatolt traszportolyaatokra voatkozó általáos, alapvető otosságú eladatot. Dolgozatukba ráutatuk a hiperbolikus típusú PDE redszerek alkalazásáak szükségességére és elvázoljuk egy ige általáos sztochasztikus jellegű traszportelélet kidolgozásáak lehetőségeit is, aely a korábbiakál részletesebb, kiioultabb sziulációk elvégzéséhez biztosíthat alapokat. A eegyesúlyi terodiaika alapvető elvei szerit (Jou et al., 00), (Sobolev, 997) a J i luxusok (i=,.., ) (ide tartozak pl. a töeg-, hő-, elektroos- stb. árasűrűségek) a következőképpe üggek az X k terodiaikai hajtóerőktől ( k=,, ) (pl. hőérséklet-, yoás-, kocetrációgradies stb., azaz az erők valaely Γ k itezív terodiaikai eyiség gradiesekét írhatók el úgyit X k = Γ k ):,(,..., ), () J = L X i = i ik k k= ahol a terodiaikai szabadsági okok száa, az L ik vezetési együtthatókból elépített atrix pedig az Osager-éle reciprocitási összeüggésekek tesz eleget, azaz L ik = L ki (i,k=,,). A luxusok és a terodiaikai erők e eltétleül skaláris eyiségek: a belőlük képzett egyes (redezett) halazok vektor-, sőt tezor jellegű eyiségeket is alkothatak. Az () egyeletek és a egaradási törvéyeket kiejező érlegegyeletek együttes alkalazásával írható el egy adott eegyesúlyi redszert jellező traszportegyeletek teljes redszere (Gyarati, 967). Így pl. csatolt hő-, és ayagátvitel eseté a egelelő redszer: D K = 0, t x x () L E = 0, t x x ahol D a orál diúziós téyező, E a hővezetési téyező, K (Soret-együttható) és L (Duour-együttható) szibóluok a csatolási téyezők.. A PERKOLAÍV ÁLLAPOVÁLOZÁSOK SZEREPE A porózus-szecsés redszerekbe zajló szivárgási jeleségek korszerű statisztikus izikai elélete az ú. perkolációelélet, aely jeleleg az elített diszciplía talá leggyorsabba ejlődő ágazatáak tekithető (Stauer és Aharoy, 994), (Griett, 999). Az elélet egyik alapvető otosságú eredéye szerit szivárgás eseté a porózus közeg egyarát tartalazhat szigetelő és vezető tartoáyokat (ú. klasztereket), és aeyibe ez utóbbiak id össze vaak kötve, a redszer állapota ugrásszerűe egváltozott ahhoz az állapothoz képest, aikor ég e voltak közöttük összeüggő vezetési pályák, azaz ázisáteet játszódott le. A redszer aktuális állapotát jellező eyiség a vezetési valószíűség (p), aely kritikus (vagy: küszöb-) értékéél (p c ) következhet be az áteet a vezető-, és a e vezető állapotok között. A p=p-p c aktuális vezetési valószíűségkülöbség az ú. redparaeter, aely értéke egy igadozó jellegű eyiség és a kritikus küszöbérték köryezetébe ezek az 6

3 igadozások aoálisa agy értékűek is lehetek. Ilyekor érvéyes a redparaéterre voatkozó β P(p) (p pc ),(p pc ) <<, (3) skálatörvéy, ahol β redparaéterre voatkozó kritikus skálakitevő. Újabba a arkov-lácok eléletéek szelleébe a véletle gráok eszközével sikerült a skálatörvéyeket leszáraztati (ori és Odagaki, 00), ai egyértelűe arra utal, hogy a ázisátalakulások luktuációs eléletéek ily ódo törtéő ateatikai egalapozása ég beejezetle. Az elélet száos eredéye közül itt csak egyet idézük. Eszerit egy égyzetháló véletleszerűe bolyogó részecske origótól ért távolságégyzetéek átlagértéke: t < R (t) > = R τ ae,(pc > p), (4) t < R (t) > = Dt + θ be,(p > pc ), ahol a és b álladó értékű együtthatók, íg a (4) képletekbe szereplő többi paraéter az alábbi, ú. skálázási összeüggések tesz eleget: ν+β ν t+β R (p) p, τ(p) p, (5) t ν t+β D(p) p, θ(p) p. A (5) képletekbe szereplő további skálakitevők a korrelációs hossz (ν), illetve a ajlagos vezetőképesség (t) kritikus idexei. Figyelebe véve, hogy a szárítási olyaatok újabb keletű sziulációi szerit gyakra elegedő a D diúziós együttható perkolatív eredetű állapotváltozásait igyelebe vei (Prat, 000), a jele ukába i is elogadjuk ezt a eltételezést. ivel a csatolt hő-, és ayagátvitelre voatkozó csatolt PDE-redszer közvetleül egoldható az operációszáítás szokásos eszköztárával, a száradó ayagot jellező belső hőérséklet-, és edvességtartaloeloszlások perkolatív állapotüggése is közvetleül odellezhető. Egy ilye sziuláció eredéyei láthatók az alábbi két ábrá, aelyeket közvetleül kaptuk eg, egy Fourier-traszorációs száítás alapjá (észáros et al., 00).. ábra A edvességtartalo üggvéy alakja p=0,00 értékél relatív egységekbe 7

4 . ábra A edvességtartalo üggvéy alakja p=0,00 értékél relatív egységekbe 3. A NEEGYENSÚLYI ERODINAIKA FORALIZUSA HIPERBOLIKUS KÖZELÍÉSBEN ÉS A RELAXÁCIÓS IDŐÁLLANDÓK ALKALAZÁSA A kiterjesztett irreverzibilis terodiaika alapeltevése szerit a diúziós és/vagy hőhulláok egjeleése valaely disszipatív kotiuuba a lokális terodiaikai egyesúlyi állapot egszűésével kapcsolatos. A vizsgált redszer állapotáak jellezésébe alapvető otosságú etrópiaüggvéy (az egyesúlyi állapotra voatkozó alakjához képest) ekkor egy olya kietikai járulékkal bővül, aely a J r i terodiaikai luxusoktól ügg. A eegyesúlyi terodiaika alapvető otosságú képlete így (Gyarati, 977): s = s ( a,..., a ; J r,..., J r ) = seq ( a,..., a ) + ski ( J r,..., J r ) Γ iai + ik J r i J r k, (6) i= i, k = ahol ik egy e-pozitív szietrikus átrix, aely beépül az általáosított relaxációs időálladók képletébe: τ L,( i, k ), (7) = ik il lk l= és így a következőképpe elírható általáosított kostitutív egyeletekre vezet: r r J k J i = Lik Γ k τ ik, ( i ). (8) k = k = t Az alkalazott új közelítések egelelőe a traszportegyeletek teljes redszere isét elírható és külööse egyszerű alakot ölt, ha elhayagolható értékűek tekitjük a disszipatív traszportjellezők és a redszerre jellező iduktív jellezők közötti csatolásokat, ai plauzibilis eltevést jelet a valóságos eladatok többségére (Gyarati, 977). A relaxációs időálladók átrixa így átlós alakot ölt, és eek egelelőe a kovekcióetes esetekbe a következő hiperbolikus típusú PDE redszerhez jutuk: Γi Γi i κ ik k t t k = ( i ) τ + Γ = 0,, (9) a a + D a = 0, ( i ). (0) τ i i i ik k t t k = 8

5 A D ik és κ ik átrixok a vezetési együtthatók és csatolási álladók általáosított változatai. Így, a jele ukába tauláyozott csatolt hő-, és ayagátvitel eseté a kiterjesztett irreverzibilis terodiaika az alábbi egyeletredszer alkalazását követeli eg: τ + 0, D K = t t () τ + E L = 0. t t Ez az egyeletredszer is lehetőséget yújt a perkolatív állapotváltozások igyelebevételére a D diúziós együttható ár egisert kritikus állapotokra voatkozó változásai által (észáros et al., 003a). 4. CSAOL RANSZPORFOLYAAOK ODELLEZÉSE A RELAXÁCIÓS IDŐÁLLANDÓK EXPLICI FIGYELEBEVÉELÉVEL ivel a etebb elírt () egyeletredszer egoldása ige körüléyes (pl. a Fouriertraszorációs eljárás is csak a koplex üggvéytaba kidolgozott asziptotikus sorejtési ódszer igyeles alkalazásával haszálható az iverz traszorációak alávetedő traszor-üggvéy alakja iatt), ost egy alkalasabb eljárással vesszük igyelebe a relaxációs időálladókat, hogy elkerüljük a végteleül gyors állapotváltozások probléáját. Eszerit (Ladau és Lisic, 980) a e egyeletese elegített testekbe lejátszódó kiegyelítődési olyaatok leírására (iközbe a testek elületét adott körüléyek között tartjuk) célszerű a keresett egoldásüggvéyek általáos alakját a következőképpe elvei (észáros et al., 003b): () λt λ t x, t = c x e, x, t = c x e, tehát eltételezve, hogy a olyaatok időbeli leolyása expoeciálisa lecsegő jellegű (a relaxációs időálladók pedig érteleszerűe: τ =, τ λ = λ ). egelítedő, hogy az egyszerű hővezetés eladatát vizsgálva Starkak (Stark, 974) ugyailye alakú próbaüggvéy alkalazása révé sikerült igazolia, hogy a stacioárius olyaatok odellezésére kidolgozott irreverzibilis terodiaikai variációs elvek közvetleül átvezethetők a uerikus ateatika leghatékoyabb eszközei közé sorolható direkt variációs ódszerekbe (it ailye pl. a Ritz-, vagy a Ritz-Galjorki ódszer). A () kiejezéseket közvetleül a () redszerbe helyettesítve yerjük, hogy: d x λt c ( E K ) + λ ( x) e = dx (3) d x λ t c ( D L) + λ ( x) e, dx azaz eltételezhetjük, hogy a edvességtartalo-, és a hőérsékletüggvéy egelelő redű térbeli elharoikusai hasolóa viselkedek (e eltevés a kiidulási () PDE redszer szietriája iatt tekithető plauzibilisek). Eek egelelőe elírhatjuk a következő közöséges diereciálegyeleteket: d x d x λ λ + ( x) = + ( x) =ψ ( x). dx E K dx D L (4) 9

6 Az elített eltevés szerit ez az egyelőség legalább egy léyegtele uerikus együttható erejéig igaz, aely egyszerűe beleoglalható a c és c sorejtési együtthatókba. A teljes egoldásüggvéyek ily ódo törtéő elírásához szigorúbb ψ x üggvéyt egy adott redű poliokét is eltételeket is kiszabva a eloghatjuk, aely együtthatói a kísérleti adatok alapjá határozhatók eg. Az egyszerűség kedvéért tételezzük el, hogy a (4) közöséges ásodredű ihoogé diereciálegyeletek jobb oldalá álló üggvéy egyszerűe x -el azoos. A diereciálegyeletek ekkor ár közvetleül egoldhatók és a APLE 8 száítógépes progracsoag alkalazásával (APLE 8, 00) közvetleül yerjük, hogy (észáros et al., 003c): + x y ( x) = a cos( cx) + b si ( cx) ( ( + x cc ( x c) ( x c ) + + )( + )cos( x c)( x c cos( x c) x si( x c) LoelS( + /,/, x c) ( + ) LoelS + 3/,/, x c ( x c si x c cos x c x + x x c + x c + x c x c + cos ) ( (cos )(cos( ( x c ) ) LoelS( + /,3/, x c) cos x c si x c ( x c LoelS( + 3/,3/, x c)( + + ) ))), ahol y ( x) ( x), ( x) ( x c ) (5) λ λ { } és c,, és az általáos egoldás E K D L elírásához yilvávalóa szükség va a speciális üggvéyek eléletébe tauláyozott ú. Loel-éle üggvéyek (Luke, 969) alkalazására is. A edvességtartalo-, és a hőérsékleteloszlás-üggvéyekek a teljes egoldásához yilvávalóa a külöböző redű (5) üggvéyek egelelő lieáris kobiációit kell a () képletekbe beépítei. Ez utóbbiak legegyszerűbb alakját véve (tehát csak az == értékekre szorítkozva és eek egelelőe a c= c, c= c jelöléseket alkalazva a sorok csokolásáál egtartott sorejtési együtthatókál), az eredeti () PDE redszer az alábbi közöséges diereciálegyeletekből álló csatolt redszerré egyszerűsödik: d ( x) d ( x) B ( x) = D K, dx + dx (6) d ( x) d ( x) B ( x) = L E, dx + dx (7) ahol a következő rövidítéseket alkalaztuk: 0

7 ( λ λ ) t ( λ λ ) t c c L Lc e, E Ec, D Dc, K Kc e, = B, = B, τ τ λ λ =, λ λ =. = = τ τ A (6-7) redszer viszoylag köye egoldható, ivel a hőérséklet lokális egyesúlya általába sokkal gyorsabba beáll, it a edvességtartaloé (azaz τ >>τ ) (Sobolev, 997) és eiatt jó közelítéssel írhatjuk, hogy B 0. A (6-7) redszer egoldása ekkor (észáros et al., 003b): D D x x τ τ ( x, t) ( x) = c + cx + c3 si + c4 cos, DE KL DE KL D D t x x D c τ τ τ ( x, t) ( x) = e c3 si + c4 cos. K c DE KL DE KL Ez a közelítés gyakra realisztikus, ivel úgy tekithetjük, hogy az első relaxációs időálladóval jelleezhető, időbe lecsegő jellegű változás a doiás a teljes átviteli olyaatba (Ladau és Lisic, 980). A egoldásokból az következe a (9) képlet alapjá, hogy a edvességtartalo e időüggő eyiség a szárításak alávetett porózus test belsejébe, ai izikailag yilvávalóa e lehetséges. égis, ivel id a (9), id pedig a (0) egoldási képletekbe a sziusz-, és a kosziuszüggvéyek arguetuába szereplő együtthatók explicite üggek a D diúziós együtthatótól, a idig jele lévő perkolatív állapotváltozások révé ez a orális hiáyosság is kiküszöbölhető. A egoldásüggvéyekbe eliserhető oszcillatorikus jelleget így éppe a redszer aktuális perkolatív állapota határozza eg, tehát a porózus-kapilláris ikroszerkezet alapvető tulajdoságai közvetleül is egjeleek a egoldásokba. A (3-5) összeüggések alapjá yilvávaló, hogy a egoldásüggvéyekek ez a odulációja a perkolatív kritikus állapotok köryezetébe változhat a legagyobb értékbe. A (9-0) képletek alapjá az adott kokrét szárítási eladatokba vizsgált csatolt hő-, és ayagátvitel olytá bekövetkező elületi állapotváltozások is jól odellezhetők, ha kivizsgáljuk pl. a Dirichlet-, és a Neuatípusú pereeltételeket. Jelöljék (0,0) és (0,0), a elületi hőérséklet-, és edvességtartalo-értékeket a szárítási olyaat kezdeti időpillaatába. A Dirichlettípusú pereeltételek alkalazásával a c és c 4 itegrációs álladók értékei közvetleül egkaphatók úgyit 4 Dc Dc (8) (9) (0) Kc Kc c = (0,0), c = (0,0) + (0,0). () A earadó két itegrációs álladó pedig a Neua-típusú pereeltételekből kaphatók eg, azaz a = q( t), = r( t), x x x= 0 x= 0 ()

8 képletek alapjá, ahol eltételezzük, hogy id q(t), id pedig r(t) isert üggvéyei az időek. Ie közvetleül yerjük, hogy: c K c K c3 q ( t = 0 ) τ 3/ ( DE KL), c = r( t = 0) + q ( t = 0 ), (3) c D c D tehát idegyik álladó tulajdoképpe perkolatíva állapotüggő eyiségek tekithető (a D diúziós együttható révé) és a edvességtartalo-, valait a hőérséklet kezdeti értékeitől üggek a szárított porózus ayagtöb elületé. 5. KÖVEKEZEÉSEK Jele ukába egy olya odellezési stratégia alapjait vetettük eg a szárítási olyaatok száítógépes sziulációja céljából, aely egyarát táaszkodik a korszerű eegyesúlyi terodiaika és a perkolatív redszerekbe lejátszódó ázisáteetekre voatkozó statisztikus izikai elélet legújabb eredéyeire. A klasszikus irreverzibilis terodiaika alapjául szolgáló lokális egyesúly hipotézisé túllépő új terodiaikai eléletek érvéyességét elogadva a csatolt traszportolyaatokat is a relaxációs időálladók bevezetésével odelleztük és ezáltal egy teljese új egoldási képletet vezettük be a hőérséklet-, és edvességtartaloüggvéyek térüggő téyezőire, aelyeket a speciális üggvéyek osztályába sorolható Loel-üggvéyek révé sikerült elíri. Javasolt ódszerük összhagba áll az irreverzibilis terodiaika viszoylag régóta iseretes követeléyével, iszerit a csatolt traszportolyaatokál bekövetkező elületi változásokat is eegyesúlyi szepotból kell vizsgáli (Kirscher, 959). egutattuk, hogy a perkolatív állapotváltozások beolyása a végleges egoldási üggvéyekre explicite igyelebe vehető, és ez a hibrid odellezési eljárás egvetheti egy, az eddigiektől külöböző, sztochasztikus jellegű traszportelélet alapjait is. Száítási eljárásuk szorosa kapcsolódhat továbbá a porózus közegeke törtéő traszportolyaatokra voatkozó, a vezetési és csatolási együtthatók eghatározására kidolgozott iverz odellezési stratégiákkal is (Bitterlich és Kaber, 003), ai külööse gyüölcsöző lehet a továbbiak olyaá az iverz ódszerekre kidolgozott ige hatékoy kísérleti elleőrzési ódszerek sokrétűsége iatt. A elsorolt eredéyeke túleőe a javasolt oralizus egy új kutatási teatikát alapozhat eg a ateatikai izikába is, a parabolikus-, és a hiperbolikus típusú csatolt parciális diereciálegyeletekkel elírható egoldások viszoyáak tauláyozása szepotjából, dötőe a olytoos csoportok ábrázolás eléletéek szeszögéből. KÖSZÖNENYILVÁNÍÁS Köszöetüket ejezzük ki az OKA-ak (03589), és a É Alapítváyak (D-9/00, CHN-/0), hogy táogatta ukákat. észáros Csaba külö kiejezi köszöetét az Eötvös Ösztödíj adoáyozóiak, hogy táogatták kutatóuka végzését az AB Itézetbe Boriba (Potsda, Néetország), valait az Oktatási iisztériuak, Békésy György posztdoktori Ösztödíj adoáyozását (48/00.). Bálit Áges kiejezi köszöetét az Oktatási iisztériuak a Szécheyi Istvá ösztödíj adoáyozásáért.

9 IRODALOJEGYZÉK Bitterlich, S., Kaber, P.: Experietal desig or outlow experiets based o a ulti-level idetiicatio ethod or aterial laws, Iverse Probles 9 (003) pp Farkas, I., észáros, Cs., Bálit, Á. (000) atheatical ad Physical Foudatios o Dryig heories, Dryig echology Vol. 8. No.3. pp Griett, G. (999) Percolatio ( d editio), Spriger-Verlag, Berli-Heidelberg-New York Gyarati, I. Neegyesúlyi terodiaika, Budapest: űszaki Köyvkiadó (967) Gyarati, I. (977) O the Wave approach o herodyaics ad soe Probles o No-Liear heories. Joural o No-Equilibriu herodyaics Vol.. pp Huiik, H.P., Pel, L., ichels,.a.j., Prat,.: Dryig processes i the presece o teperature gradiets- Pore-scale odellig, Eur. Phys. J. E 56 (00) pp Jou, D., Casas-Vazquez, J., Lebo, G. (00) Exteded Irreversible herodyaics (3 rd revised editio), Spriger-Verlag, Berli-Heidelberg-New York Kirscher, I.: Irreversible herodyaics o the Volta-Eect, Acta Phys. Hug. 0 (959) pp Ladau, L.D., Lisic, E..: Hidrodiaika (Eléleti Fizika VI.), Budapest: aköyvkiadó (980) Luikov, A.V., ikhailov, Yu.A. (965) heory o Eergy ad ass raser, Pergao Press, Oxord Luikov, A.V. (966) Heat ad ass raser i Capillary-Porous Bodies, Pergao Press, Oxord Luke, Y.L.(969): he Special Fuctios ad heir Approxiatios, Vol.., Acadeic Press, New York észáros, Cs., Farkas, I. Bálit, Á. (00) A ew applicatio o percolatio theory or coupled trasport pheoea through porous edia. atheatics ad Coputers i Siulatio Vol. 56. pp észáros, Cs., Bálit, Á., Farkas, I., Buzás, J. (003a) odellig o the coupled heat ad ass traser through porous edia o the base o the wave approach o the o-equilibriu therodyaics Dryig echology (egjeleés alatt) észáros, Cs., Bálit, Á., Kirscher, I., Gottschalk,K., Farkas, I.: Surace Chages o eperature ad oisture Level at Coupled Heat ad ass raser through Porous edia Accordig to the Wave Approach o the Irreversible herodyaics, i Proceedigs o the Europea Dryig Syposiu (EUDryig 03), Septeber 003b, Hersoissos-Heraklio, Crete, Greece észáros, Cs., Buzás, J., Bálit, Á., Gottschalk, K., Farkas, I.: Surace Chages o the eperature ad oisture Level at Coupled rasport Processes through Porous edia accordig to the Wave Approach o the Irreversible herodyaics, i: Gy. átrai ad Zs. Viczey (eds.), Proceedigs o the 3 rd Research ad Developet Coerece o Cetral-, ad Easter Europea Istitutes o Agricultural Egieerig (CEEAgEg),.-3. Septeber 003c, Gödöllő, Hugary APLE 8, a Sybolic Coputatio Syste, Waterloo aple Ic. (00) ori, F., Odagaki,. (00) Percolatio Aalysis o Clusters i Rado Graphs. Joural o the Physical Society o Japa Vol. 70. No. 8. pp

10 Prat,. (000) Recet advaces i pore-scale odels or dryig o porous edia, i: P.J.A.. Kerkho, W.J.Couas, G.D.ooiver (eds.), Proceedigs o the th Iteratioal Dryig Syposiu IDS 000, Noordwijkerhout, he Netherlads, 8-3 August Sobolev, S.L.: Local No-Equilibriu rasport odels, UFN 67(0) (997) pp Stark, A.: Approxiatio ethods or the Solutio o Heat Coductio Proble usig Gyarati s Priciple, A. Phys. (Leipzig) 7(3) (974) pp Stauer, D., Aharoy, A. (994) Itroductio to Percolatio heory ( d revised editio), aylor & Fracis, Lodo Vá, P. (996) O the structure o the goverig priciple o dissipative processes. Joural o No-Equilibriu herodyaics Vol.. pp