Elliptikus 3-sokaságok
|
|
- Elvira Gálné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Elliptikus 3-sokaságok BSc Szakdolgozat Írta: Sz ke Nóra Gabriella Matematika BSc, matematikus szakirány Témavezet Moussong Gábor, egyetemi adjunktus Geometriai Tanszék Budapest, 2012
2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Moussong Gábornak az érdekes témafelvetésért, a sok segítségért és hasznos szakmai tanácsért, melyek nélkül ez a dolgozat nem jöhetett volna létre.
3 Tartalomjegyzék 1 Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. Sokaságok geometriája Az elliptikus geometria deníciója sokaságokon Példák elliptikus sokaságokra Hogyan keressünk elliptikus sokaságokat? Az univerzális fed tér S n csoporthatással faktorizálása Seifert tétele Jelölések SO(3) véges részcsoportjai S 3 véges részcsoportjai SO(4) véges részcsoportjai Az S(G 1 G 2 ) alakú részcsoportok A szubdirekt szorzat SO(4) további véges részcsoportjai Seifert tétele Néhány elliptikus 3-sokaság A lencseterek A Poincaré-féle dodekaédertér Irodalomjegyzék 35
4 Bevezetés 2 Bevezetés Régóta ismert eredmény, hogy tetsz leges kompakt 2-sokaságon, azaz felületen megadható lokálisan homogén geometriai struktúra, és hogy a felületnek a topológiája meghatározza, mely geometriával látható el a gömbi, euklideszi illetve hiperbolikus geometriák közül. Ennek ismeretében felmerült a kérdés, mi történik magasabb dimenziós sokaságok esetén. Kiderült, hogy ez már 3-sokaságokra is rendkívül bonyolult: ott már többféle geometriát meg kell engedni (természetesen ezek közül három megegyezik az el bbiekkel: elliptikus, euklideszi és hiperbolikus). William P. Thurston írta le ezt a 8 struktúrát, melyeket Thurston-geometriáknak neveztek el róla ([1]). Szintén az nevéhez f z dik a geometrizációs sejtés, mely dióhéjban azt mondja ki, hogy hasonló a helyzet, mint felületek esetén: Minden 3-sokaság megkapható olyan sokaságok összerakásával, melyek már elláthatók a 8 geometria valamelyikével. (A pontosabb megfogalmazása megtalálható itt: [3], Ÿ6.) Itt meg kell említenünk egy rendkívül új és híres eredményt a témában: Perelman 2003-ban bebizonyította a geometrizációs sejtést, mely speciálisan a Poincaré-sejtést is magában foglalta. A 8 geometriából 7 esetében már sikerült az oda tartozó 3-sokaságokat osztályozni, a hiperbolikus 3-sokaságokról azonban még sok dolgot nem tudunk. Dolgozatomban az ismertebb geometriák közül az egyiket választottam: a kompakt elliptikus 3-sokaságok osztályozását szeretném bemutatni. Az els fejezetben deniáljuk, mit értünk elliptikus struktúrán egy sokaságon. A szakirodalomban sokféle deníció található erre, a legtöbb ekvivalens egymással. Itt egy er sebbet választottunk ezek közül, mellyel a szakdolgozat keretein belül beláthatjuk a szükséges állításokat. Még ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy egy ilyen sokaságot S 3 /Γ alakban kell keresnünk, ahol Γ SO(4) egy véges részcsoport, mely szabadon hat az S 3 gömbön. A második fejezetben az ilyen Γ csoportokat osztályozzuk, az itt szerepl ötletek jórészt M. M. Postnikovtól származnak. ([2]) A harmadik fejezetben kiválasztunk néhányat az így kapott sokaságok közül, és azokat részletesebben bemutatjuk.
5 1. fejezet: Sokaságok geometriája 3 1. fejezet Sokaságok geometriája El ször általánosabban, n dimenzióban deniáljuk az elliptikus geometriai struktúrát. Jelölje S n n + 1 dimenzióban az egységgömböt: S n = {x R n+1 : x = 1}. Ebben a fejezetben S n -re kétféleképpen is gondolunk: mint topologikus (vagy akár dierenciálható) n-sokaságra, másrészt pedig mint metrikus térre a d metrikával, ahol ez a gömbfelszínen történ távolságmérést jelenti. (Tehát például az átellenes pontok távolsága π.) 1.1. Az elliptikus geometria deníciója sokaságokon 1.1. Deníció. Az (M, A) pár elliptikus n-sokaság, ha a következ k igazak: M topologikus n-sokaság. A atlasz M-en a következ tulajdonságokkal: Ha ϕ egy A-beli térkép, akkor Dom(ϕ) = U M nyílt halmaz, és ϕ : U S n homeomorzmus U és ϕ(u) között. Az A-beli térképek értelmezési tartományainak uniója M. Ha ϕ : U S n és ψ : V S n két térkép, akkor az átmeneti leképezés S n egy izometriájának lesz kítése, azaz ϕ ψ 1 : ψ(u V ) ϕ(u V ) egy O(n+1)- beli elem megszorítása ψ(u V )-re Megjegyzés. Akárcsak a dierenciálható sokaságok deníciójánál, itt is felmerül az a probléma, hogy ugyanazt a struktúrát többféle atlasszal is deniálhatjuk egy sokaságon. Így ekkor is azt mondjuk, hogy két atlasz legyen ekvivalens, ha az uniójuk is atlasz. Tehát a struktúrát tulajdonképpen atlaszok egy ekvivalenciaosztálya határozza meg, vagy mondhatjuk azt is, hogy a maximális atlasz abban az ekvivalenciaosztályban.
6 1. fejezet: Sokaságok geometriája 4 A továbbiakban legyen A mindig ilyen maximális atlasz a sokaságon, valamint az egyszer ség kedvéért nem írjuk ki a párt, csak azt mondjuk, hogy M elliptikus sokaság Megjegyzés. Ugyanilyen módon deniálható nem csak az elliptikus, de az euklideszi vagy a hiperbolikus geometriai struktúra is egy sokaságon: Csupán S n helyett E n -et vagy H n -et kell írni, O(n + 1) helyett pedig az euklideszi illetve a hiperbolikus tér izometriáinak csoportját Megjegyzés. Ismeretes, hogy az itt használt deníció ekvivalens azzal, hogy M Riemann-sokaság konstans 1 görbület Riemann-metrikával (vagy euklideszi illetve hiperbolikus esetben konstans 0 illetve 1 görbület ). Már ennyib l belátható, hogy ekkor M lokálisan izometrikus a (megfelel dimenziós) gömbbel. Néhány bizonyításhoz szükségünk lesz a Lebesgue-lemmára, illetve egy er sebb változatára: 1.5. Lemma (Lebesgue-lemma). Legyen g egy Q kompakt metrikus térb l egy X topologikus térbe képez folytonos függvény, és {U α : α A} X-nek egy nyílt fedése. Ekkor létezik olyan δ > 0, hogy bármely x, y Q-ra ϱ(x, y) < δ esetén van olyan α A, hogy g(x), g(y) U α Következmény. Legyen g : Q X folytonos, Q kompakt metrikus tér, X topologikus tér, és {U α : α A} X-nek nyílt fedése. Ekkor olyan δ > 0 is létezik, hogy minden x Q-ra van α A, hogy g(b δ (x)) U α. (Itt B δ (x) = {y Q : ϱ(x, y) < δ}.) 1.7. Állítás. Legyen M összefügg elliptikus n-sokaság. Ekkor az A atlasz segítségével tudunk ϱ metrikát deniálni M-en, mely által generált topológia éppen az M topológiája, és minden ϕ A lokális izometria Dom(ϕ) és a képe között. Bizonyítás. Lokálisan, azaz a térképek értelmezési tartományain egyértelm en kijelöl dik a térképek által, hogy minek kell lennie a metrikának (ahhoz, hogy izometriák legyenek). Azt kell belátnunk, hogy ebb l tudunk az egész M-en is metrikát megadni. Ehhez el ször deniáljuk görbék hosszát. Idézzük fel, hogy R k -ban akkor hívtunk egy görbét rektikálhatónak, ha a bele írható töröttvonalak hosszának van limesze, ha a felosztás nomsága tart 0-hoz, és a görbe hossza ez a limesz. Ugyanezt megtehetjük tetsz leges metrikus térben, így S n -en is. Nevezzünk egy γ : [a, b] M görbét szépnek, ha minden ϕ térképre a ϕ γ görbe (ez állhat több darabból is, vagy lehet üres az értelmezési tartománya) minden darabja rektikálható S n -ben. Így a γ görbe hosszát is tudjuk értelmezni a következ képpen: [a, b] intervallumnak legyen a = a 0 < a 1 < < a k = b egy felosztása úgy, hogy minden j {0,1,..., k 1}-re γ([a j, a j+1 ]) benne van egy térkép értelmezési tartományában, válasszunk is egy ilyen térképet, legyen ez ϕ j. (Ilyeneket tudunk
7 1. fejezet: Sokaságok geometriája 5 választani: a Lebesgue-lemmát alkalmazzuk a [0,1] metrikus térre, γ leképezésre, és M-nek a térképek értelmezési tartományaiból álló nyílt fedésére.) Ekkor a γ görbe hossza: l(γ) = k 1 j=0 l(ϕ j γ [aj,a j+1 ]), ahol l jelöli az S n -beli görbék hosszát is. Be kell látnunk, hogy ez a hossz jóldeniált, azaz nem függ a térképek és a felosztás választásától. El ször rögzítsük a felosztást, és lássuk be, hogy ekkor a térképek választásától nem függ l(γ) értéke. Legyen a = a 0 < a 1 < < a k = b a felosztás, j {0,1,..., k 1}-re ϕ j és ψ j olyan térképek, hogy γ([a j, a j+1 ]) Dom(ϕ j ) Dom(ψ j ). Az elliptikus sokaság deníciója szerint az átmeneti leképezés ϕ j és ψ j között S n -nek egy izometriája, emiatt γ [aj,a j+1 ] görbe ϕ j és ψ j általi képének hossza megegyezik (mert egy izometria viszi ket egymásba): l(ϕ j γ [aj,a j+1 ]) = l(ψ j γ [aj,a j+1 ]). Ebb l látható, hogy a hossz valóban nem függ a térképek választásától adott felosztásra. Most nézzük meg, mi történik, ha a felosztásunkba beleveszünk egy új osztópontot, legyen ez x (a j, a j+1 ). Ekkor az [a j, a j+1 ]-en kívüli görbedarabokra vehetjük ugyanazt a térképet, mint eddig, és a két új darabra pedig vehetjük ϕ j -t. Nyilván l(ϕ j γ [aj,x])+l(ϕ j γ [x,aj+1 ])=l(ϕ j γ [aj,a j+1 ]), tehát az így választott térképekkel ugyanaz maradt a hosszt deniáló szumma értéke. Ebb l következ en a felosztást tetsz legesen nomítva sem változhat ez az érték. Ha pedig adott két különböz felosztásunk, azoknak tekintsük a közös nomítását. Mivel mindkett vel deniált hossz megegyezik a közös nomításuk által meghatározott értékkel, így az egyenl különböz felosztásokra. A görbék hosszának segítségével már tudunk metrikát deniálni: Legyen ϱ:m M R, ϱ(x, y)=inf{l(γ):γ:[a, b] M szép görbe, γ(a)=x, γ(b)=y}. Belátjuk, hogy ez metrika: Ez az érték nyilván nemnegatív minden (x, y) M M-re, legyen ϱ(x, y)=0, kell, hogy ekkor x=y. Legyen ϕ egy x körüli térkép U értelmezési tartománnyal. Ekkor létezik ε>0, hogy B ε (ϕ(x))={p S 3 :d(p, ϕ(x)) ε} ϕ(u). Mivel x és y távolsága 0, ez azt jelenti, hogy tetsz legesen rövid görbéket találhatunk, melyeknek x a kezd pontja és y a végpontja, legyen γ : [a, b] M egy ilyen, melyre l(γ) < ε. Ha y / ϕ 1 (B ε (ϕ(x))), akkor létezik t (a, b), hogy γ [a,t] ϕ 1 (B ε (ϕ(x))) és γ(t) (ϕ 1 (B ε (ϕ(x)))), azaz d(ϕ(γ(t)), ϕ(x))=ε. Tehát γ [a,t] görbe a ϕ 1 (B ε (ϕ(x))) halmazban van, emiatt ϕ térkép értelmezési tartományában halad, így egyetlen térkép segítségével mérhet a hossza: l(γ [a,t] ) = l(ϕ γ [a,t] ) ε, hiszen a két végpontjának távolsága ε. Ebb l következik, hogy l(γ) l(γ [a,t] ) ε, pedig l(γ)<ε, ellentmondást kaptunk. Tehát y benne van a B ε (ϕ(x)) gömb ϕ általi sképében, vagyis d(ϕ(y), ϕ(x)) ε. Ez minden ε > 0-ra igaz, így d(ϕ(y), ϕ(x)) = 0, emiatt ϕ(x) = ϕ(y) (mert d metrika), és mivel ϕ bijektív, így x = y. ϱ nyilván szimmetrikus, mert ϱ(x, y) és ϱ(y, x) ugyanannak a halmaznak az inmuma, hiszen ugyanazok a görbék lesznek jók, csak ellenkez irányban járjuk be ket.
8 1. fejezet: Sokaságok geometriája 6 Tegyük fel, hogy nem igaz a háromszög-egyenl tlenség, vagyis vannak x, y, z M pontok, melyekre ϱ(x, y) + ϱ(y, z) < ϱ(x, z). Ekkor létezik ε > 0, hogy ϱ(x, y) + +ϱ(y, z)+2ε < ϱ(x, z). Legyen γ 1 : [a, b] M olyan, hogy γ 1 (a) = x, γ 1 (b) = y és l(γ 1 ) ϱ(x, y)+ε. Hasonlóan legyen γ 2 : [b, c] M olyan, hogy γ 2 (b) = y, γ 2 (c) = z és l(γ 2 ) ϱ(y, z)+ε. (Ilyenek léteznek ϱ deníciója miatt.) Legyen γ :[a, c] M az a görbe, melyre γ(t) = γ 1 (t), ha t [a, b] és γ(t) = γ 2 (t), ha t [b, c]. Ekkor γ x-b l z-be men szép görbe, és l(γ) = l(γ 1 )+l(γ 2 ) ϱ(x, y)+ε+ϱ(y, z)+ε < ϱ(x, z). Ez ellentmond ϱ deníciójának, tehát valóban teljesül a háromszög-egyenl tlenség. Ezzel a metrikával a térképek lokálisan izometrikusak: Legyen U egy térkép értelmezési tartománya, ezen két metrika is adott: az el bb deniált ϱ, és ϱ, melyet úgy kapunk, hogy a térképpel visszahúzzuk S n metrikáját. Azt kell belátnunk, hogy minden x U- nak van V U nyílt környezete, hogy V -n ϱ megegyezik ϱ -vel. Világos, hogy x, y U-ra ϱ(x, y) ϱ (x, y) (ϱ deníciója miatt.) Ha valamely pontokra ϱ(x, y) < ϱ (x, y), az úgy lehetséges, ha egy U-ból kilép rövidebb görbe köti össze ket. Azonban ha ϱ (x, y) kisebb, mint x és y (ϱ szerinti) távolsága U komplementerét l, akkor ez nem fordulhat el. Tehát tetsz leges x U-ra ha r = inf{ϱ (x, z) : z U}, akkor V = B r (x) jó lesz Példák elliptikus sokaságokra 1.8. Példa. A legkézenfekv bb példa maga S n, ezen atlaszt alkotnak az O(n + 1)-beli elemek tetsz leges nyílt halmazokra való megszorításai. Hasonlóan S n -nek egy nyílt részsokasága is elliptikus sokaság, ezen atlasz az el bbi térképek megszorításai Állítás. Legyen (M, A) elliptikus n-sokaság, N n-sokaság, és p : N M fed leképezés. Ekkor meg tudunk adni B atlaszt N-en, mellyel (N, B) elliptikus n- sokaság és a p fed leképezés lokális izometria. Bizonyítás. Legyen y N tetsz leges pont. Ekkor a fedés deníciója alapján p(y) M pontnak létezik U M nyílt környezete, hogy p 1 (U) diszjunkt V 1, V 2,... nyílt halmazokból áll (feltehet, hogy y V 1 ), és p Vi homeomorzmus V i és U között minden i-re. Legyen U U tetsz leges olyan nyílt halmaz, mely egy ϕ térkép értelmezési tartománya, és p(y) U. Legyen V = p 1 (U ) V 1. Ekkor egy y körüli térkép legyen a következ : ψ : V S n, ψ = ϕ p. Ez homeomorzmus, mert p homeomorzmus p 1 (U ) tetsz leges komponense és U között, tehát homeomorzmus V és p(v ) között is, ϕ pedig homeomorzmus U és a képe között. Az így kapott térképek nyilván lefedik N- et, mert N minden pontjára választottunk térképet. Azt kell megmutatnunk, hogy az átmeneti leképezések O(n + 1)-beli elemek lesz kítései. Legyenek ψ 1 és ψ 2 két térkép,
9 1. fejezet: Sokaságok geometriája 7 ψ 1 : V 1 S n, ψ 1 = ϕ 1 p, ψ 2 : V 2 S n, ψ 2 = ϕ 2 p. Ekkor ψ 1 ψ 1 2 = ϕ 1 p p 1 ϕ 1 2 = ϕ 1 ϕ 1 2, ami valóban S n egy izometriájának lesz kítése. (Itt természetesen a p 1 értelmes, hiszen olyan halmazra megszorítva tekintjük, amelyen már p homeomorzmus.) Az állítás második részét kell még bebizonyítanunk, vagyis hogy p lokális izometria. Ez ekvivalens azzal, hogy ha ψ térkép N-en, ϕ térkép M-en, akkor ϕ p ψ 1 S n -nek egy izometriája. Ez pedig igaz, hiszen ψ = ϕ 0 p valamilyen ϕ 0 térképre M-en, így a fenti kifejezés átírható: ϕ p ψ 1 = ϕ p p 1 ϕ 1 0 = ϕ ϕ 1 0, mely egy izometria megszorítása Példa. Az X G X csoporthatás reguláris, ha minden x X-nek létezik U x nyílt környezete, melyre g(u x ) U x = (minden g G-re, mely nem az egységelem). Tudjuk, hogy ekkor az X X/G faktorleképezés fedés. Legyen Γ O(n+1) véges részcsoport, mely szabadon hat S n -en, azaz az identitáson kívül egyik Γ-beli elemnek sincs xpontja. Ekkor ez a csoporthatás reguláris, tehát a q : S n S n /Γ faktorleképezés fedés. Mivel Γ elemei izometriák, ezért az elliptikus struktúrát átvihetjük ezzel a fedéssel a faktortérre, ebb l következ en S n /Γ is elliptikus n-sokaság. (Ez tulajdonképpen valamilyen értelemben az el bbi állítás megfordítása, a bizonyítása nagyon hasonló: a térképeket úgy kapjuk, hogy S n /Γban tekintjük egy eléggé kicsi környezetét egy pontnak, melynek az seir l a fedés már homeomorzmus, ekkor az azokon értelmezett térképeket a fed leképezéssel átvihetjük a pont környezetére. Ezek között az átmeneti leképezések éppen amiatt lesznek izometriák, hogy Γ elemei izometrikusak.) 1.3. Hogyan keressünk elliptikus sokaságokat? Legyen M összefügg elliptikus n-sokaság. Rögzítsünk egy x 0 M pontot és ϕ : U S n térképet, melyre x 0 U Az univerzális fed tér Lemma. Legyen s:[0,1] M egy M-beli út, melynek kezd pontja x 0, azaz s(0)= = x 0. Ekkor létezik a [0,1]-nek 0 = t 0 < t 1 < < t k+1 = 1 felosztása, hogy s([t j, t j+1 ]) U j minden j {0,1,..., k}-ra, és U j a ϕ j térkép értelmezési tartománya, ϕ 0 = ϕ, melyekre teljesül a következ : ϕ j ϕ 1 j+1 =id S n ϕ j+1 (U j U j+1 ). (Tehát az utat le tudjuk fedni nyílt halmazokkal, melyek olyan térképek értelmezési tartományai, hogy az azok között lev átmeneti leképezések éppen az identitás megszorításai legyenek.) Ha egy tetsz leges felosztásra ψ 0 = ϕ, ψ 1,..., ψ l egy másik ilyen térképsorozat, akkor ϕ k (s(1)) = ψ l (s(1)).
10 1. fejezet: Sokaságok geometriája 8 Bizonyítás. A létezés bizonyítása: Alkalmazzuk a Lebesgue-lemma er sebb változatát a [0,1] metrikus térre, M topologikus térre és s leképezésre. Az összes lehetséges térkép értelmezési tartományai egy nyílt fedését alkotják M-nek, tehát létezik δ > 0, hogy a δ sugarú gömbök (azaz a 2δ hosszú nyílt szakaszok) képei benne vannak egy térkép értelmezési tartományában. El ször t 1 -et válasszuk olyannak, hogy s([0, t 1 ]) U, és legyen t 1 < t 2 < < t k+1 = 1 2δ-nál nomabb felosztás. Ehhez léteznek U 1, U 2,..., U k hogy minden 1 j k-ra s([t j, t j+1 ]) benne van U j -ben (és ezek térképek értelmezési tartományai). Már csak a térképeket kell megválasztani: ϕ 0 = ϕ adott, a többit teljes indukcióval választjuk ki. Ha már megvan ϕ 0,..., ϕ j 1, akkor: Létezik φ j : U j S n térkép, és tudjuk, hogy a ϕ j 1 φ 1 j = γ j leképezés S n egy izometriájának megszorítása. Legyen ϕ j =γ j φ j, az el z megállapítás miatt ez is egy térkép U j -n. Ekkor ϕ j 1 ϕ 1 = ϕ j 1 φ 1 j γ 1 j = γ j γ 1 j = id S n ϕj (U j 1 U j ), tehát erre is teljesül a lemma feltétele. A második részt több lépésben bizonyítjuk: el ször rögzített felosztásra vegyünk másik nyílt halmazokat és térképeket, legyenek ezek U = V 0, V 1,..., V k és ϕ = ψ 0, ψ 1,..., ψ k. Ekkor nyilván ϕ 0 ψ0 1 az identitás megszorítása ϕ(u)-ra, hiszen ezek a térképek megegyeznek. Indukcióval bizonyítjuk, hogy ϕ j ψ 1 j is az identitás megszorítása ψ j (U j V j )-re. (U j V j, mert s([t j, t j+1 ]) mindkett ben benne van) Ha már tudjuk j 1-re: jelöljük a ψ j (U j 1 U j V j 1 V j ) halmazt V -vel, ekkor V, mert ψ j (s(t j )) V. ϕ j 1 ψ 1 j 1 = id S n ψ j 1 (U j 1 V j 1 ) ϕ j 1 ϕ 1 j = id S n ϕj (U j 1 U j ) ψ j 1 ψ 1 j = id S n ψj (V j 1 V j ) (ϕ j ψ 1 j ) V = ( (ϕ j ϕ 1 j 1 ) (ϕ j 1 ψ 1 j 1 ) (ψ j 1 ψ 1 j ) ) V = = ( (id S n ϕj 1 (U j U j 1 )) (id S n ψj 1 (U j 1 V j 1 )) (id S n ψj (V j 1 V j )) ) V = id S n V Mivel a V nyílt halmazra való megszorítása egyértelm en meghatározza, hogy ϕ j ψ 1 j mely O(n+1)-beli elem megszorítása, így ϕ j ψ 1 j = id S n ψj (U j V j ), ezzel igazoltuk az állítást. Alkalmazzuk ezt ϕ k -ra és ψ k -ra, abból következik, hogy ϕ k (s(1)) = ψ k (s(1)). Tehát rögzített felosztásra mindegy, milyen térképeket választunk, attól nem függ a végpont képe. Következ lépésként belátjuk, hogy ha egy felosztást nomítunk, akkor ahhoz tudunk térképeket mutatni úgy, hogy s(1) képe ne változzon: ha x (t j, t j+1 ) új osztópont, akkor a [t j, x] és [x, t j+1 ] intervallumokra válasszuk az eredeti felosztáshoz tartozó U j nyílt halmazt és ϕ j térképet, a többin pedig ne változtassunk. Ezek a térképek nyilván teljesítik a feltételeket, és s(1) képe mindkét esetben ϕ k (s(1)). Vegyünk most két különböz felosztást, azt kell belátnunk, hogy ha választunk hozzájuk j =
11 1. fejezet: Sokaságok geometriája 9 ϕ = ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ k, valamint ϕ = ψ 0, ψ 1,..., ψ l térképeket, akkor a végpont képe mindkét esetben ugyanaz az S n -beli pont. Ehhez tekintsük a közös nomításukat, és válasszunk ahhoz ϕ = φ 0, φ 1,..., φ m térképsorozatot. Az el z ekb l tudjuk, hogy ϕ k (s(1)) = φ m (s(1)), és hogy ψ l (s(1)) = φ m (s(1)). Tehát valóban igaz, hogy ϕ k (s(1)) = = ψ l (s(1)). A lemma segítségével látható, hogy az x 0 kezd pontú utaknak megfeleltettünk S n -beli utakat ϕ(x 0 ) = y 0 kezd ponttal, és a végpont nem függ attól, milyen térképekkel tettük ezt meg. Így deniálhatunk egy leképezést, mely egy x 0 kezd pontú úthoz egy S n -beli pontot rendel, az S n -beli út végpontját: Ha s útra ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ k egy jó térképsorozat, akkor legyen f(s) = ϕ k (s(1)) S n. Ha X jelöli az x 0 kezd pontú utak halmazát, akkor f :X S n függvény. Belátjuk, hogy ez a hozzárendelés az út homotópiaosztályától sem függ: Lemma. Legyenek s 1, s 2 : [0,1] M utak, melyekre s 1 (0) = s 2 (0) = x 0 és s 1 (1) = = s 2 (1). Tegyük fel, hogy s 1 és s 2 kötötten homotópok, azaz létezik homotópia köztük, melynél a végpontok mindvégig helyben maradnak. Ekkor f(s 1 ) = f(s 2 ). Bizonyítás. Mivel s 1 és s 2 kötötten homotópok, ezért létezik H : [0,1] [0,1] M homotópia, melyre minden t [0,1]-re H(0, t) = s 1 (t), H(1, t) = s 2 (t), és s [0,1]- re H(s,0) = x 0, H(s,1) = s 1 (1) = s 2 (1) = x 1. Ismét alkalmazzuk a Lebesgue-lemma második változatát, most H leképezésre, [0,1] [0,1]-re és M-re, a nyílt fedés ismét a térképek értelmezési tartományai. Tehát létezik δ > 0, hogy a δ sugarú nyílt gömbök képei benne vannak egy-egy térkép értelmezési tartományában. Legyen t 1 olyan, hogy t 1 < δ 2, és H([0,1] [0, t 1 ]) U, majd tekinstünk egy t 1 < t 2 < < t k+1 = 1 felosztást, mely δ 2-nél nomabb. Ekkor i, j {0,1,..., k}-ra H([t i, t i+1 ] [t j, t j+1 ]) benne van egy térkép értelmezési tartományában, hiszen ezeknek a kis téglalapoknak az átlója rövidebb, mint 2δ. Válasszunk is ilyen nyílt halmazokat, legyen H([t i, t i+1 ] [t j, t j+1 ]) U i,j (úgy, hogy U 0,j = U). Válasszunk U = U 0,0, U 0,1,..., U 0,k halmazokhoz ϕ = ϕ 0,0, ϕ 0,1,..., ϕ 0,k téképeket, hogy Dom(ϕ 0,j ) = U 0,j, és a szomszédosak közti átmeneti leképezések az identitás megszorításai. (Ilyeneket tudunk választani, ezt az el bbi állítás bizonyíátásában igazoltuk, és azt is tudjuk, hogy f(s 1 ) = ϕ 0,k (H(0,1)) = =ϕ 0,k (x 1 ).) Valamint legyen ϕ=ϕ 0,j 0 j k-ra. Ekkor vannak olyan {ϕ i,j :1 i, j k} térképek, hogy 1 i, j k esetén ϕ i 1,j ϕ 1 i,j és ϕ i,j 1 ϕ 1 i,j az identitás megszorításai (a megfelel halmazokra). Ilyen térképeket a következ képpen tudunk választani: Sorfolytonosan tesszük meg a térképek kiválasztását, azaz el ször U 1,j -ket mondjuk meg (j szerint sorban), majd U 2,j -ket, stb. Mivel U 0,j -k és U i,0 -k adottak, így egy ϕ i,j térkép kiválasztásánál ϕ i 1,j és ϕ i,j 1 már ismert, elég csak azt belátni,
12 1. fejezet: Sokaságok geometriája 10 hogy azokhoz tudunk olyan térképet választani, mely teljesíti a fenti feltételt. Ilyet a következ képpen találunk: Mivel ϕ i 1,j -re teljesül az állítás, ezért ϕ i 1,j 1 ϕ 1 i 1,j az identitás megszorítása ϕ i 1,j (U i 1,j 1 U i 1,j ) halmazra. Hasonlóan ϕ i,j 1 -re is teljesül, ezért ϕ i 1,j 1 ϕ 1 i,j 1 = id S n ϕ i,j 1 (U i 1,j 1 U i,j 1 ). Jelöljük V -vel U i 1,j 1 U i 1,j U i,j 1 U i,j halmazt, ez nem üres, hiszen H(t i, t j ) V, és legyen ψ tetsz leges térkép U i,j értelmezési tartománnyal (ilyen létezik). Ekkor ϕ i 1,j ψ 1 = γ S n egy izometriájának lesz kítése, legyen ϕ i,j = γ ψ, így nyilván teljesül, hogy ϕ i 1,j ϕ 1 i,j = id S n ϕ i,j (U i 1,j U i,j ). A másik feltételt kell még ellen riznünk: (ϕ i,j 1 ϕ 1 i,j ) V = ((ϕ i,j 1 ϕ 1 i 1,j 1 ) (ϕ i 1,j 1 ϕ 1 i 1,j ) (ϕ i 1,j ϕ 1 i,j )) V Az el z megállapítások miatt a fenti három zárójelben az identitás megszorítása szerepel a megfelel halmazokra, így az egészet V -re megszorítva is az identitást kapjuk. Mivel ϕ i,j 1 ϕ 1 i,j -nek már V -re való megszorítása meghatározza a ϕ i,j (U i,j 1 U i,j )-re való megszorítását, így készen vagyunk, tudtunk jó ϕ i,j -t választani. Az így választott {ϕ k,j : 0 j k} térképek egy jó térképsorozat az s 2 úthoz, ezért f(s 2 )=ϕ k,k (H(1,1))=ϕ k,k (x 1 ). Legyen V = k j=0 U j,k, ez nem üres, mert x 1 V. Tehát (ϕ 0,k ϕ 1 k,k ) V = ((ϕ 0,k ϕ 1 1,k ) (ϕ 1,k ϕ 1 2,k )... (ϕ k 1,k ϕ 1 k,k )) V. Ez a k darab leképezés mind az identitás megszorításai, így (ϕ 0,k ϕ 1 k,k ) V = id S n V. Ebb l következ en f(s 1 ) = ϕ 0,k (x 1 ) = ϕ k,k (x 1 ) = f(s 2 ), ezzel bebizonyítottuk a lemmát. Azt kaptuk tehát, hogy f konstans az utak (kötött) homotópiaosztályain. Legyen s 1, s 2 X-re s 1 s 2, ha megegyezik a végpontjuk és kötötten homotópok. Ez egy ekvivalenciareláció X-en. Legyen M = X/ az ekvivalenciaosztályok halmaza, mivel f konstans ezeken az osztályokon, ezért értelmes az f függvény lefaktorizálása, legyen ez f : M S n. Ismeretes, hogy az x 0 kezd pontú utak homotópiaosztályai - megfelel topológiával ellátva - éppen az M sokaság univerzális fed terét alkotják. (Tehát nem véletlen az M jelölés.) Lássuk el M-ot ezzel a topológiával, így M egyszeresen összefügg n-sokaság, és legyen p: M M fed leképezés. (Jelölje [s] az s út homotópiaosztályát. Ha [s] M, akkor p([s])=s(1) M, és mindegy, melyik reprezentánst választjuk az ekvivalenciaosztályból, hiszen a végpontjuk megegyezik.) Alkalmazzuk az 1.9 állítást az M univerzális fed térre és a p fedésre. Ez azt mondja ki, hogy az elliptikus struktúra felemelhet M-nek tetsz leges fed terére. Rögzítsünk tehát à atlaszt M-on, melyre ( M, Ã) elliptikus n-sokaság, és p lokális izometria.
13 1. fejezet: Sokaságok geometriája Lemma. Ha M kompakt, akkor az f : M S n függvény folytonos, lokális izometria és fed leképezés is. Bizonyítás. Legyen [s] M tetsz leges. Ekkor létezik olyan U nyílt környezete, hogy p U homeomorzmus. Ekkor p([s]) = s(1) M pontra létezik olyan ψ térkép, hogy ψ(s(1)) = f(s) = f([s]). Legyen V = Dom(ψ) p(u) M nyílt halmaz. Ekkor létezik U p 1 (V ) nyílt, melyben benne van [s], és teljesül rá, hogy bármely [s ] U -re az [s ] homotópiaosztályból választhatunk olyan reprezentánst, mely az s út és egy U -ben haladó görbe egymás után f zése, mondhatjuk azt, hogy ez éppen s. (Ez minden olyan M-beli nyíltra igaz, amely összefügg, és a p megszorítása a halmazra homeomorzmus.) Így amikor s útra választunk megfelel térképsorozatot (amely f deníciójában szerepel), akkor válaszhatjuk éppen ugyanazokat a térképeket, mint s- hez választottuk, és az utolsó térkép itt is ψ, hiszen a görbénk s-t l különböz része Dom(ψ)-ben halad. Tehát ψ(s (1))=f(s )= f([s ]). Ebb l következ en az U halmazon f = ψ p, hiszen f([s ]) = f(s ) = ψ(s (1)) = ψ(p([s ])) [s ] U. Tehát f lokálisan két lokális izometria kompozíciójaként kapható, így maga is lokálisan izometrikus. Azt kell még belátnunk, hogy f fed leképezés. Mivel p fedés, ezért a deníció szerint minden x M-nek létezik U x M nyílt környezete, hogy p 1 (U x ) = V 1 V 2..., ahol V i -k páronként diszjunktak és p Vi homeomorzmus V i és U x között minden i-re. Az ilyen U x -ek nyílt fedését alkotják M-nek, használjuk a Lebesgue-lemma er sebb változatát M-re, mint kompakt metrikus térre, az identitásra, és az {U x : x M} fedésre. Tehát létezik r 1 > 0, hogy bármely x M-re B r1 (x) már benne van egy jó környezetben, vagyis B r1 (x) maga is egy jó környezete x-nek a p fedéshez. {Dom(ϕ) : ϕ térkép, az egész értelmezési tartományán izometrikus} M-nek egy nyílt fedése. Ezek a nyílt halmazok valóban fedik M minden pontját, hiszen ha tetsz leges pontra annak egy környezetér l veszünk egy térképet, akkor ennek a pont még kisebb környezetére való megszorítása már izometria. Alkalmazzuk ismét az er sebb Lebesgue-lemmát M-re, az identitásra és a fenti fedésre. Tehát létezik r 2 > 0, hogy minden x M-re van ψ térkép, hogy B r2 Dom(ψ), és ψ izometria. Ebb l következik, hogy minden B r2 (x)-et tartalmazó izometrikus ϕ térképre igaz, hogy ϕ(b r2 (x)) = B r2 (ϕ(x)). Legyen r = min{r 1, r 2 }, és y S n tetsz leges pont, U := B r (y) S n. Legyen f 1 (y) = = {[s 1 ], [s 2 ], [s 3 ],... } M. Ekkor tetsz leges s i -re p([s i ]) = s i (1)-nek B r (s i (1)) jó
14 1. fejezet: Sokaságok geometriája 12 környezete, legyen V i p 1 (s i (1)) az az összefügg ségi komponens, melyre [s i ] V i. Így p Vi homeomorzmus. Másrészt s i (1) pontra létezik olyan ψ i térkép, melyre ψ i (s i (1))= = f([s i ]), B r (s i (1)) Dom(ψ i ), és ez a ψ i még izometria is. (Valóban tudunk ilyet választani, hiszen van olyan ϕ térkép, mely izometria és B r (s i (1)) Dom(ϕ), és van olyan φ térkép, hogy φ(s i (1)) = f([s i ]). Ha φ ϕ a γ O(n + 1) megszorítása, akkor legyen ψ i = γ ϕ, és ez jó lesz.) Erre a ψ i -re teljesül az is, hogy minden [s] V i -re f([s]) = ψ i (s(1)) = ψ i (p([s])). (Ez amiatt van így, mert [s i ]-re igaz, V i összefügg és p Vi homeomorzmus.) Ebb l következik, hogy minden i-re f V i -re való megszorítása homeomorzmus, hiszen ott két homeomorzmus kompozíciójaként írható fel. Belátjuk, hogy f 1 (U)=V 1 V 2 V 3..., és hogy ezek páronként diszjunktak: (Ebb l következik, hogy f fed leképezés.) Tegyük fel, hogy van [s] f 1 (U), hogy minden i-re [s] / V i. Ekkor s(1)-re is van jó ψ térkép és V M környezete [s]-nek (melyek teljesítik ugyanazokat, mint ψ i és V i s i -re). Tudjuk azt is, hogy ψ(b r (s(1))) = B r (ψ(s(1))) y, hiszen ψ(s(1)) U = B r (y). Mivel f V = ψ p V és y ψ(p(v )) = f(v ), ezért [s j ] V valamely j-re. Tehát s j (1) p(v ) = = B r (s(1)), így s(1) B r (s j (1)). V V j -re megszorítva p homeomorzmus V V j és B r (s(1)) B r (s j (1)) között, ezért létezik [s ] V V j, hogy p([s ]) = s(1) = p([s]). Mivel p V -n bijektív, ezért [s ] = [s], tehát [s] V j. Beláttuk, hogy V 1 V 2 V 3... valóban a teljes sképe U-nak. Most tegyük fel, hogy V i V j, legyen [s] V i V j. Deniáljuk ψ-t és V -t s-re ugyanúgy, mint az el bb, és hasonlóan belátható, hogy [s i ] V és [s j ] V, ez pedig ellentmond annak, hogy f V Tehát f fed leképezés M-ról S n -re. homeomorzmus Következmény. Kompakt M-re n 2 esetén f homeomorzmus és izometria M és S n között. Bizonyítás. Amennyiben n 2, akkor S n egyszeresen összefügg és M összefügg, így az f fedés rétegszáma 1, tehát ez egy homeomorzmus S n és M között. Mivel f emellett lokális izometria is, ebb l könnyen látható, hogy globálisan is izometrikus: Görbék hosszának a mérésénél csak a kis távolságok számítanak, azaz a görbébe írt töröttvonalak egyenes szakaszai, ha a felosztás eléggé nom, akkor már benne lesznek olyan nyílt halmazokban, ahol f izometria. Tehát ha γ : [0,1] M egy görbe, akkor l ϱ (γ)=l d ( f γ). (Itt l ϱ az M-beli ϱ metrika szerinti hosszt, l d pedig S n -ben a d metrika szerinti hosszt jelöli.) Mindkét metrikára igaz az, hogy két pont távolsága megegyezik az egyikb l a másikba haladó utak hosszainak inmumával, így, mivel egy görbének a hossza ugyanaz, mint f általi képének hossza, ezért két pont távolsága is éppen annyi, mint a képeik távolsága. Tehát f izometrikus leképezés.
15 1. fejezet: Sokaságok geometriája 13 Tehát beláttuk, hogy kompakt elliptikus n-sokaságnak az univerzális fed tere éppen S n (vagyis azonosítható vele) S n csoporthatással faktorizálása Az ebben a részben szerepl állítások már csak arra az esetre vonatkoznak, amikor a rögzített M elliptikus n-sokaság kompakt Deníció. Legyen Γ = π 1 (M, x 0 ), ez véges csoport, hiszen az univerzális fed tér kompakt. Ha [s] M egy út homotópiaosztálya, [γ] Γ egy hurok homotópiaosztálya, akkor legyen [γ]([s]) = [γs] M, ahol γs a γ hurok és az s út egymás után f zését jelöli, így ez is egy út lesz x 0 -ból s(1)-be Állítás. A fenti Γ M M leképezés jóldeniált, xpontmentes csoporthatás. Bizonyítás. A jóldeniáltság triviális, hiszen ha γ 1 homotóp γ 2 -vel, s 1 kötötten homotóp s 2 -vel, akkor γ 1 s 1 kötötten homotóp γ 2 s 2 -vel. Az is könnyen látható, hogy ez csoporthatás: [γ 1 ]([γ 2 ]([s])) = ([γ 1 ][γ 2 ])([s]) amiatt igaz, hogy a fundamentális csoportban az egymás után f zés a m velet, és nyilván 1([s])=[s] (hiszen az egységelem a nullhomotóp utak homotópiaosztálya). Már csak a xpontmentességet kell belátni: Ha [γ]([s]) = [s], az azt jelenti, hogy s kötötten homotóp γs úttal. Jelölje s azt az utat, hogy s-en visszafelé megyünk végig. Ekkor s( s) kötötten homotóp γs( s)-el, vagyis mivel s( s) nullhomotóp hurok, ezért γs( s) is, tehát γ is. Azt kaptuk, hogy egy ilyen xpont létezése esetén [γ] = 1. Vegyük észre, hogy tetsz leges x M-re egy [γ] Γ elem M-ban x-nek a brumát permutálja, hiszen [γ]([s]) végpontja megegyezik [s] végpontjával, vagyis p([γ]([s])) = = s(1) = p([s]). (Valamint az is igaz, hogy injektív: Ha [γ]([s 1 ]) = [γ]([s 2 ]), akkor [γs 1 ] = = [γs 2 ], tehát [s 1 ] = [s 2 ].)Ebb l következ en [γ] : M M bijekció. (Jelöljük így a [γ] elem hatását is M-on.) Állítás. Minden [γ] Γ-ra a [γ] : M M leképezés lokális izometria. Bizonyítás. Mivel M kompakt, ezért létezik r > 0, hogy p minden r sugarú gömbön már izometrikus. Legyen [s] rögzített pont M-ban. Ekkor van olyan V M környezete s(1)-nek, hogy tetsz leges x V -re s 1 (1)=x esetén létezik s út, hogy s (1)=x, kötötten homotóp s 1 -gyel, és s el ször végigmegy s-en (például a [0, 1 ]-re való megszorítása), 2 majd V -ben halad a maradék része. Legyen U a p 1 (V B r (x))-nek az a komponense, melyre [s] U. Így [s ] U esetén ϱ([s], [s ]) = ϱ(s(1), s (1)) = ϱ((γs)(1), (γs )(1)) = ϱ([γs], [γs ]).
16 1. fejezet: Sokaságok geometriája 14 Itt az utolsó egyenl ség azért igaz, mert U választása miatt γs és γs felemelésekor mindkét végpont p 1 (U)-nak ugyanabba a komponensébe kerül. (És ott p izometria.) Tehát [γ] izometrikus [s]-nek az U környezetén, vagyis beláttuk, hogy lokálisan izometrikus. Mivel [γ] (mint leképezés) lokális izometria és bijekció, ezért globálisan is izometrikus, ez ugyanúgy gondolható meg, ahogy az 1.14 következmény bizonyításában tettük. Tehát Γ O(n + 1), hiszen M homeomorf és izometrikus S n -el, emiatt izomorfak az izometriacsoportjaik. (Ez tényleg beágyazása Γ-nak O(n + 1)-be, hiszen nyilván csoporthomomorzmus: [γ 1 ] [γ 2 ] = [γ 1 γ 2 ], [γ] 1 = [ γ]; és injektív: ha [γ] az identitás, akkor γ nullhomotóp, vagyis [γ] = 1.) Tehát Γ O(n+1) xpontmentesen hat S n -en, így az 1.10 példában elmondottak szerint S n /Γ is elliptikus n-sokaság Állítás. S n /Γ homeomorf és lokálisan izometrikus M-el. Bizonyítás. Már említettük, hogy tetsz leges [γ] minden x M pont brumát permutálja S n -ben, tehát emiatt rögzített x-re Γ hat p 1 (x) halmazon is. Ez a hatás tranzitív: ha x = s(1) = s (1), akkor s ( s) egy hurok, ezért [s ( s)] Γ, és [s ( s)]([s]) = [s ( s)s] = [s ]. A tranzitivitás miatt a q : S n S n /Γ fed leképezésre igaz, hogy s(1) = s (1) esetén q([s]) = q([s ]), és [s]-el az s(1) brumán kívüli pontokat nem azonosíthattunk. Legyen g : S n /Γ M függvény a következ : g(q([s])) := p([s]) = s(1) M. Az el bb elmondottak miatt ez a leképezés jóldeniált és bijekció. Tudjuk, hogy q és p fedések lokálisan izometrikusak, emiatt g is az, hiszen lokálisan g = p q 1. Ebb l következik az is, hogy g lokális homeomorzmus, és mivel bijekció, így globálisan is homeomorzmus Következmény. Mivel S n /Γ homeomorf és lokálisan izometrikus M-el, ezért a korábbiakhoz hasonlóan látható, hogy globálisan is izometrikusak. Tehát a következ tételt kaptuk: Tétel. Legyen M kompakt elliptikus n-sokaság. Ekkor létezik Γ O(n+1) véges, xpontmentesen ható részcsoport, melyre M homeomorf, s t izometrikus S n /Γ-val. Az ilyen faktorok között is találunk egymással izometrikus sokaságokat: Tétel. Legyenek Γ és Γ O(n+1)-nek véges, xpontmentesen ható részcsoportjai. Ekkor S n /Γ pontosan akkor izometrikus S n /Γ -vel, ha Γ és Γ konjugáltak O(n+1)-ben.
17 1. fejezet: Sokaságok geometriája 15 Bizonyítás. Ha konjugáltak, akkor van γ O(n + 1), hogy γγγ 1 = Γ. Legyen h : : S n /Γ S n /Γ, x S n /Γ esetén f(x) := p (γ(p 1 (x))). Ez jóldeniált, hiszen p 1 (x) Γ pontból áll, egy y S n pont Γ szerinti orbitja, azaz p 1 (x)=γ(y). Mivel γγ=γ γ, ezért γ(γ(y)) = Γ (γ(y)), azaz ha az el bbi ponthalmazra alkalmazzuk γ-t, akkor éppen γ(y) Γ szerinti orbitját kapjuk. Ennek a p szerinti képe pontosan egy S n /Γ -beli pont. Tehát h függvény, s t, bijekció is, hiszen y (Γ szerinti) orbitjához γ(y) (Γ szerinti) orbitját rendeli. Másrészt h lokális izometria is, hiszen lokálisan p 1 létezik és izometrikus, γ izometria, p pedig szintén lokális izometria. Ezekb l már következik, hogy h globálisan is izometrikus. Másik irány: Tegyük fel, hogy létezik h : S n /Γ S n /Γ izometria. (Ebb l már nyilvánvaló, hogy Γ és Γ izomorfak, hiszen ezek az el bbi sokaságok fundamentális csoportjai.) Ha α Γ, akkor p α = p, hiszen minden x S n /Γ-ra α helyben hagyja p 1 (x)-et. Legyen q = h p : S n S n /Γ, ez fedés, és felemelhet S n S n leképezéssé p fedés által, azaz létezik q:s n S n, melyre p q=q. Ekkor, mivel fedésnek a felemeltje, így q maga is fedés lesz, ebb l következ en homeomorzmus is. Másrészt lokális izometria, mert q és p is azok, így globális izometria is, azaz q O(n + 1). Legyen γ = q. Ekkor p γ = h p. Tetsz leges α Γ-ra elég lenne belátnunk, hogy γαγ 1 = h (α) Γ, ahol h a h által indukált izomorzmus a faktorok fundamentális csoportjai között. Ennek a bizonyítása: Legyen y 0 S n, γ(y 0 )=y 0 S n, p(y 0 )=x 0 S n /Γ, p (y 0)=h(x 0 )=x 0 S n /Γ. Tekintsünk Γ elemeire, mint π 1 (S n /Γ, x 0 )-beli hurkokra, Γ elemei pedig π 1 (S n /Γ, x 0)-beli hurkok. Legyen γ=[s γ ], és válasszunk tetsz leges α=[s α ] Γ elemet, és tetsz leges y S n pontot. Ha s y 0-b l y -be egy út, akkor y = [s] (az el z ekben használt jelölések szerint). Ekkor h (α)(y ) = h (α)([s]), ez pedig éppen a (h s α )(p s) S n /Γ -beli hurok felemeltjének végpontja. Nézzük meg ennek a huroknak a h 1 általi képét: h 1 ((h s α )(p s)) = (h 1 h s α )(h 1 p s) = s α (p γ 1 s) A kapott hurok felemeltjének végpontja deníció szerint α([γ 1 s]) = α(γ 1 (y )) S n pont. Tudjuk, hogy tetsz leges l S n /Γ -beli hurokra ha l a p szerinti felemeltje, és h 1 l-nek h 1 l a p szerinti felemeltje, akkor γ( h 1 l(1)) = l(1). Ezt alkalmazva a (h s α )(p s) hurokra éppen azt kapjuk, hogy γ(α(γ 1 (y ))) = h (α)(y ). Ezzel beláttuk az állítást Megjegyzés. Abban az esetben, amikor n páratlan, akkor minden irányításváltó O(n + 1)-beli elemnek létezik xpontja S n -ben: Legyen A O(n + 1) (mátrix) irányításváltó, azaz det(a) = 1. Tudjuk, hogy A-nak minden sajátértéke 1 hosszú.
18 1. fejezet: Sokaságok geometriája 16 Ha λ C sajátértéke A-nak, akkor λ is az, emiatt páros sok komplex, és így páros sok valós sajátérték van, és azt is tudjuk, hogy a valós sajátértékek szorzata 1, hiszen az el bbiek miatt a nem valósak szorzata 1. (Ebb l speciálisan az is következik, hogy van valós sajátérték.) Mivel egy valós sajátérték csak 1 vagy 1 lehet, és páros sok 1-es szorzata 1 lenne, ezért az 1 sajátértéke A-nak. Tehát v R n+1 sajátvektor, mely 1 hosszú (tehát v S n ) és Av = v, vagyis a transzformációnak van xpontja S n -en. Tehát páratlan n esetén O(n + 1) véges, xpontmentesen ható részcsoportjai SO(n + +1)-ben is benne vannak. A továbbiakban az n = 3 esetet fogjuk vizsgálni Megjegyzés. Az ebben a fejezetben elmondott gondolatmenet nem csak elliptikus sokaságokra használható: ugyanígy beláthatjuk, hogy euklideszi és hiperbolikus sokaságokat is úgy kapunk, hogy E n -et vagy H n -et lefaktorizáljuk az izometriacsoportjuk egy xpontmentesen ható részcsoportjával. Az els fejezet eredményeit összefoglalva: Arra jutottunk, hogy a kompakt elliptikus 3-sokaságok osztályozását teljesen algebrai úton kell folytatnunk, azaz meg kell határoznunk SO(4)-nek azon véges részcsoportjait, melyek szabadon hatnak S 3 -on.
19 2. fejezet: Seifert tétele fejezet Seifert tétele Ebben a fejezetben meghatározzuk SO(4)-nek azon véges részcsoportjait, melyek xpont nélkül hatnak S 3 -on Jelölések A kvaterniók gy r jét H-val fogjuk jelölni, ezen belül a tisztán képzetes kvaterniók halmazát H -vel. (Mely nyilván azonosítható R 3 -mal.) S 3 jelöli az egység hosszú kvaterniók csoportját a szorzásra nézve Deníció. Tetsz leges ξ S 3 -ra legyen (T ξ)η = ξηξ 1, η H. Ekkor T ξ : H H egy irányítástartó ortogonális transzformáció R 3 -ban (ha H -t azonosítjuk vele), azaz SO(3)-nak egy eleme. Így T : S 3 SO(3), ξ T ξ egy csoporthomomorzmus Állítás. A T : S 3 SO(3) egy 2 rét fed leképezés, magja {1, 1}. A következ ismert lemmát fogjuk használni: 2.3. Lemma. X és Y útösszefügg topologikus terek, X kompakt, Hausdor, Y pedig Hausdor. Ekkor ha p : X Y lokális homeomorzmus, akkor p egy véges rét fedés. A 2.2 állítás bizonyítása. S 3 -ra és SO(3)-ra teljesülnek a lemma feltételei, valamint az is, hogy a T leképezés lokális homeomorzmus. Tehát a lemmából következik, hogy T véges rét fedés. A rétegszámhoz elég a homomorzmus magját meghatározni, annak elemszáma lesz a rétegszám: ξ ker T azt jelenti, hogy minden η H -re ξηξ 1 =η, azaz
20 2. fejezet: Seifert tétele 18 ξη = ηξ, vagyis ξ minden tisztán képzetes kvaternióval felcserélhet. Ebb l következ en ξ minden kvaternióval felcserélhet (hiszen a valósakkal is), tehát ξ valós. Mivel ξ S 3, így ξ = ±1, ezzel bebizonyítottuk az állítást Deníció. Tetsz leges ξ 1, ξ 2 S 3 kvaterniókra legyen S(ξ 1, ξ 2 )η = ξ 1 ηξ 1 2, η H. Az el z höz hasonlóan S(ξ 1, ξ 2 ) : H H egy irányítástartó ortogonális transzformáció, ebben az esetben SO(4)-nek egy eleme. Tehát egy leképezést kapunk. S : S 3 S 3 SO(4), (ξ 1, ξ 2 ) S(ξ 1, ξ 2 ) 2.5. Állítás. Az S :S 3 S 3 SO(4) leképezés csoporthomomorzmus, és két rét fedés, melynek magja {(1,1), ( 1, 1)}. Bizonyítás. S nyilvánvalóan csoporthomomorzmus. Az állítás második részének bizonyításához itt is a 2.3 lemmát fogjuk használni: S 3 S 3 és SO(4) is kompakt, Hausdor terek, S leképezés pedig lokális homeomorzmus, így a lemma szerint fedés. Ismét elég a homomorzmus magját meghatározni a rétegszámhoz: (ξ 1, ξ 2 ) ker S pontosan akkor, ha minden η H-ra ξ 1 ηξ 1 2 = η, azaz ξ 1 η = ηξ 2. Itt η = 1 helyettesítéssel kapjuk, hogy ξ 1 = ξ 2, tehát ismét az a kérdés, hogy mely egység hosszú kvaterniók cserélhet k fel az összes kvaternióval, tehát ξ 1 = ξ 2 = ±1. Azt kaptuk, hogy ker S = = {(1,1), ( 1, 1)} Megjegyzés. Mivel S szürjektív, így minden Γ SO(4) részcsoport az S általi képe egy G S 3 S 3 csoportnak, mely véges, ha Γ is az. Így a megfelel részcsoportok meghatározását S 3 részcsoportjainak megkeresésével kezdjük. Másrészt S 3 véges részcsoportjainak T általi képei SO(3) egy-egy véges részcsoportját alkotják SO(3) véges részcsoportjai 2.7. Deníció. C n az n elem ciklikus csoport. D n a 2n elem diéder csoport, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportja a síkban. T a szabályos tetraéder irányítástartó szimmetriáinak csoportja, tudjuk, hogy izomorf A 4 -gyel, rendje 12. O az oktaéder irányítástartó szimmetriáinak csoportja, ez izomorf S 4 -gyel, rendje 24. I az ikozaéder irányítástartó szimmetriacsoportja, izomorf A 5 -tel, rendje 120.
21 2. fejezet: Seifert tétele Megjegyzés. A fent deniált csoportok mindegyikével létezik SO(3)-nak izomorf részcsoportja, azonban most nem úgy gondolunk rájuk, mint SO(3) konkrét részcsoportjai, hanem csak konjugáltság erejéig deniáltuk ket. A C n, T, O, I csoportokra könnyen látjuk, hogy ez valóban így van, a D n csoportokat érdemes egy kicsit jobban átgondolni: A szabályos n-szög szimmetriacsoportjában szerepel n darab forgatás és n darab tengelyes tükrözés. Válasszunk ki egy, az origón átmen Σ síkot, és ebben vegyünk fel egy szabályos n-szöget, valamint tekintsük még a Σ S 2 f kör pólusait (ez két átellenes pont). Ennek az n+2 pontnak a konvex burka két szabályos n-szög alapú gúla egymáshoz ragasztva, az így kapott poliédernek a forgatáscsoportja éppen D n lesz. A síkbeli tükrözéseknek itt π szög forgatások felelnek meg, melyek tengelye a Σ síkban van, így ez a forgatás tükrözésként hat Σ-ban, a két pólust pedig felcseréli Tétel. Ha G SO(3) véges részcsoport, akkor G izomorf a C n (n 1), D n (n 2), T, O, I csoportok valamelyikével. Ha két véges részcsoport izomorf egymással, akkor konjugáltak SO(3)-ban. Bizonyítás. SO(3) hat az S 2 = {x R 3 : x = 1} gömbön, így G is hat rajta. Legyen X ={x S 2 : létezik g G, g id, g(x)=x} a G-ben lev valódi forgatások tengelyeinek a gömbbel való metszéspontjai. (Mivel SO(3) csupa tengely körüli forgatásból áll, ezért minden nem identitás eleme egy valódi forgatás.) Ekkor G X-en is hat, hiszen ha x X a g G-nek xpontja, akkor tetsz leges h G-re h(x) a hgh 1 forgatásnak xpontja (mely nem az identitás, ha g sem az). Legyen G = n, X = m. Számoljuk meg a következ halmaz elemszámát kétféleképpen: H ={(g, x) G X :g(x)=x}. Egyrészt H = X + +2( G 1) = m+2n 2, mert az identitás m-szer szerepel (annak minden X-beli pont xpontja), és minden más G-beli elemnek két xpontja van. Másrészt H = x X G x, ahol G x az x stabilizátora G-ben. Jelölje G(x) az x orbitját, így az orbit-stabilizátor tétel szerint G x = G G(x). Tehát H = x X G G(x) = n x X 1 G(x) = n k, ahol k az orbitok száma. (Valóban, hiszen egy rögzített X 1 orbitra x X 1 1 G(x) = x X 1 1 X 1 = 1, és az orbitok partícióját alkotják X-nek.) A következ egyenl séget kaptuk: m + 2n 2 = n k. Mivel m 2n 2 (minden nem identitás elem legfeljebb két új pontot ad hozzá X-hez), ezért az el bbi egyenl ségb l 4n 4 n k, tehát 4 4 k, de k egész, n így k 3. Vizsgáljuk meg, mennyi lehet az orbitok száma, azaz k értéke. Ha k =1: m+2n 2=n, ebb l n+m = 2, így n 2. Ha n = 1, akkor X az üreshalmaz, ez az eset nem lehetséges. Ha n = 2, akkor X nem üres, így ekkor sem lesz 2 az összeg. Tehát k nem lehet 1. Ha k = 2: m+2n 2 = 2n, tehát m = 2. Ez azt jelenti, hogy G minden nem identitás eleme ugyanazon tengely körüli forgatás. Mivel a csoport véges, innen könnyen látható, hogy ebben az esetben ciklikusnak kell lennie.
22 2. fejezet: Seifert tétele 20 Ha k = 3: m+2n 2 = 3n, vagyis m = n+2. Legyen a három orbit X 1, X 2 és X 3, az X i -beli elemek stabilizátora G-ben legyen s i elem (minden X i -beli elem stabilizátora ugyanannyi elemb l áll az orbit-stabilizátor tétel szerint, és X i = n s i ). Tudjuk, hogy n+2 = m = X = X 1 + X 2 + X 3 = n + n + n. s 1 s 2 s 3 Ebb l n-el való osztással kapjuk a következ egyenletet: 1+ 2 n = 1 s s s 3 Innen esetszétválasztással kaphatjuk az s i -k lehetséges értékeit. Ha S 2 egy pontjának a G-beli stabilizátora 1 elem, akkor az a stabilizátor az identitás, így ez a pont nincs benne X-ben. Tehát s i 2 (i = 1,2,3). Ha mindegyik legalább 3 lenne, akkor viszont a reciprokösszeg legfeljebb 1 lehetne, így valamelyiknek 2-nek kell lennie. Feltehet, hogy s 3 = 2. Tehát n = 1 s s 2. Ha s 1 és s 2 is legalább 4 lenne, akkor a jobb oldal legfeljebb 1 lehetne, így valamelyiknek 2 2-nek vagy 3-nak kell lennie, feltehet, hogy ez s 2. Ha s 2 = 2: Ekkor s 1 = n (n-nek párosnak kell lennie). Ez azt jelenti, hogy van két 2 olyan orbit, melybe tartozó pontok stabilizátora két elem, vagyis az identitás és egy π szög forgatás, és ezek az orbitok n elem ek. A harmadik orbit pontjainak stabilizátora 2 elem ciklikus csoport (hiszen egy pont stabilizátora a rajta átmen tengely az n 2 forgatások, melyekb l véges sok van, ezért ciklikus részcsoportot alkotnak G-ben), és ez az orbit 2 elem. Legyen ennek a két elem orbitnak a két pontja x 1 és x 2, e két pont a gömbnek átellenes pontjai, mert két átellenes pont stabilizátora megegyezik, és nincs más n 2 elemb l álló stabilizátorú pont X-ben. Legyen Σ az x 1x 2 szakasz felez mer leges síkja. Ha x 3 egy tetsz leges X-beli pont, melyre x 1 x 3 x 2, akkor tudjuk, hogy az x 3 ponton átmen tengely körüli π szög forgatás benne van G-ben. Ennek a forgatásnak x 1 -et helyben kell hagynia (ami nem fordulhat el ), vagy x 2 -be kell vinnie. Nyilván az utóbbi teljesül, ez pedig csak úgy lehetséges, hogyha x 3 S 2 Σ := F. Tehát X minden x 1 -t l és x 2 -t l különböz eleme az F f körön van. Ilyen elemb l m 2 = n darab van. Ha x 3 X F, akkor ennek az x 1 x 2 tengely körüli 2π n szöggel való elforgatottjai 2 is X-beliek. Ezekb l már egyszer en meggondolható, hogy ez a csoport a D n diéder 2 csoport. Ha s 2 2, s 1 2: ekkor a fent meggondoltak szerint s 2 = 3, így n = 1 s 1. Ebb l következik, hogy s 1 5, hiszen ha legalább 6 lenne, akkor a jobb oldal kisebb lenne a bal oldalnál. Három eset maradt: s 1 = 3, n = 12, vagy s 1 = 4, n = 24, vagy s 1 = 5, n = 60. Ezekb l már levezethet, hogy valóban a tételben megnevezett 3 csoportról van szó.
23 2. fejezet: Seifert tétele 21 A tétel második része abból az egyszer állításból következik, hogy két SO(3)-beli elem pontosan akkor konjugált, hogyha a forgatás szöge megegyezik. Ebb l látható, hogy ha G és G véges részcsoportjai SO(3)-nak, akkor pontosan akkor konjugáltak, ha a nekik megfelel, a tétel bizonyításában használt X és X halmazok egymásba vihet k egy SO(3)-beli forgatással, ami pontosan akkor lehetséges, ha X és X egybevágóak, vagyis ha G és G izomorfak S 3 véges részcsoportjai Deníció. S 3 véges részcsoportjai között biztosan szerepelni fognak az el z részben tárgyalt csoportok T általi sképei. Ezek a következ k: Dn = T 1 D n a binér diédercsoport, hasonlóan T, O és I csoportok sei T, O és I a binér tetraéder, oktaéder és ikozaéder csoportok Megjegyzés. Felmerülhet a kérdés, hogy miért nem deniáltunk binér ciklikus csoportot is. Ennek az oka az, hogy egy ciklikus csoport T általi sképe maga is ciklikus (ha G rendje m, akkor T 1 G rendje 2m), így nincs szüksége külön névre. Ezt a következ képpen gondolhatjuk meg: Tekintsünk egy G SO(3) csoportot, mely izomorf C m -mel. Legyen ζ T 1 G olyan, hogy T ζ generálja G-t, vagyis T ζ rendje m. Ekkor ζ rendje m vagy 2m. Ha 2m, akkor T 1 G a 2m elem ciklikus csoport. Tegyük fel, hogy ζ rendje m. Itt két esetet tekintünk: amikor m páros, és amikor páratlan. Ha páros, akkor ζ m 2 = 1 (hiszen ζ m 2 másodrend ), így T (ζ m 2 ) = (T ζ) m 2 = id SO(3), ami azt jelenti, hogy T ζ rendje nem lehet m, ellentmondás. Ha m páratlan, akkor tekintsük ζ-t, ennek a rendje m vagy 2m. Mivel m páratlan, ezért ( ζ) m = ( 1) m ζ m = 1, tehát ζ rendje nem m. Ez pedig azt jelenti, hogy T 1 G-t ebben az esetben is egy eleme generálja (ez most a ζ), így T 1 G a 2m elem ciklikus csoport Tétel. Ha G S 3 véges részcsoport, akkor G ciklikus, vagy G izomorf Dn (n 2), T, O és I csoportok valamelyikével. Továbbá itt is teljesül, hogy két véges részcsoport pontosan akkor konjugált S 3 -ban, ha izomorfak. A bizonyításhoz szükség lesz a következ állításra: Állítás. A 1 az egyetlen másodrend elem S 3 -ban. Bizonyítás. Mivel ξ S 3 esetén ξξ = 1, ezért ha ξ másodrend, akkor ξ = ξ 1 = ξ, tehát ξ valós. Így csak a 1 és az 1 jöhet szóba, ezek közül pedig csak a 1 rendje 2. A 2.12 tétel bizonyítása. Legyen G S 3 véges. Ha G páratlan, akkor 1 / G, így a T leképezés izomorzmus G és képe között, tehát találtunk egy G-vel izomorf véges
24 2. fejezet: Seifert tétele 22 részcsoportot SO(3)-ban. Azonban SO(3) minden páratlan rend véges részcsoportja ciklikus, így ekkor G ciklikus. Ha G páros, akkor 1 G, hiszen a Cauchy-tétel szerint a csoport rendjének minden p prímosztójára van G-nek p rend eleme, most p = 2 (és itt használjuk a 2.13 állítást). Így mivel 1 G, ezért G a T G SO(3) csoport T általi sképe, így ha T G éppen D n, T, O vagy I, akkor valóban az állításban szerepl csoportokat kapjuk, míg ha T G ciklikus, akkor a 2.11 megjegyzés miatt G is ciklikus lesz. A tétel állításának második felét kell még bizonyítanunk. Ehhez legyenek G 1 és G 2 két véges, egymással izomorf részcsoportja S 3 -nak, G 1 = G 2 = n. Ha n páros, akkor T G 1 = T G 2 = n, és a T G 2 1 és T G 2 csoportok izomorfak, így konjugáltak SO(3)-ban. Tehát létezik η S 3, hogy T G 1 = T ηt G 2 T η 1. Ebb l következik, hogy G 1 = ±ηg 2 η 1, de mivel n páros, ezért 1 G 1, vagyis G 1 = G 1. Azt kaptuk, hogy ekkor G 1 és G 2 konjugáltak. Ha n páratlan, akkor ugyanígy teljesül, hogy G 1 = ±ηg 2 η 1, de mivel ηg 2 η 1 nem részcsoport páratlan n esetén (hiszen nincs benne az 1), ezért G 1 és G 2 ekkor is konjugáltak SO(4) véges részcsoportjai Az S : S 3 S 3 SO(4) leképezés szürjektív, így minden Γ SO(4) véges részcsoportot megkaphatunk SG alakban, ahol G S 3 S 3 véges. Most SO(4)-nek csak olyan véges részcsoportjait keressük, melyek xpont nélkül hatnak S 3 -on. Nézzük meg, mit jelent egy xpont létezése: Ha ξ 1, ξ 2 S 3 -ra és η H-ra S(ξ 1, ξ 2 )η = η, akkor ξ 1 η = ηξ 2, tehát ξ 1 = ηξ 2 η 1. Azt kaptuk, hogy ha ξ 1 és ξ 2 konjugáltak, akkor a (ξ 1, ξ 2 ) képének van xpontja. Mivel olyan részcsoportot keresünk, amelyben az identitáson kívül egyik elemnek sincs xpontja, ezért a G csoportban nem lehet a ( 1, 1), (1,1) elemek kivételével olyan pár, melynek tagjai egymás konjugáltjai S 3 -ban. Az ilyen G S 3 S 3 csoportokat nevezzük függetlennek Az S(G 1 G 2 ) alakú részcsoportok El ször tekintsük S 3 S 3 -nak a G 1 G 2 alakú véges részcsoportjait, ahol G 1, G 2 S 3 végesek Állítás. A G 1 G 2 S 3 S 3 részcsoport pontosan akkor független, ha G 1 és G 2 legnagyobb közös osztója 1 vagy 2. Bizonyítás. Legyen G 1 = n 1, G 2 = n 2. Az egyik irány bizonyításában két esetet különböztetünk meg: 1. eset, amikor n 1 és n 2 közül legalább az egyik páros, a 2. eset, hogy mindkett páratlan. Tegyük fel, hogy lnko(n 1, n 2 ) > 2.
Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Az n-dimenziós hiperbolikus tér izometria csoportjának konjugált osztályai SZAKDOLGOZAT Szerző Harsányi Tamás Témavezető: Szeghy
Csoportok végei. Szakdolgozat. Kisfaludi-Bak Sándor. Témavezet : Moussong Gábor Geometriai tanszék
Csoportok végei Szakdolgozat Kisfaludi-Bak Sándor Témavezet : Moussong Gábor Geometriai tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2010 Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. Topologikus
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Sz cs András. Topológia
Sz cs András Topológia Szerkeszt k: Lektor: Rimányi Richárd Terpai Tamás Stipsicz András A kötet az Eötvös Loránd Tudományegyetem tankönyv- és jegyzettámogatási pályázatán elnyert forrás felhasználásával
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Chomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Diszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Julia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Konvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Differenciálgeometria
Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd Kivonat. Ezek a jegyzetek a 2007. I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
1. Szimmetriák. Háromszög-szimmetria. Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3
Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s
13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Függvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Gömbök homotopikus csoportjai geometriai tárgyalásban
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Gömbök homotopikus csoportjai geometriai tárgyalásban szakdolgozat Szerz : Témavezet : Csépai András Sz cs András egyetemi tanár
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás A jegyzetet készítette: Szabó Tamás 2009. november 9. 1. Alapfogalmak Egy gráf csúcsait vagy éleit bizonyos esetekben szeretnénk különböz osztályokba
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009 Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák
A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál