1. A diszperziós reláció

Átírás

1 ÉLVZTÕ IZIKA ÖSSZOGLALÓ. A iszperziós reláió A kantummeanikában bármilyen részeskerenszer elméleti izsgálatáoz, többek között a leetséges energiaértékeinek kiszámításáoz, a megfelelõ Sröinger-egyenlet megolása szükséges. Az utóbbi egy pariális iffereniálegyenlet, annyi áltozóal, amennyi szabaságfokkal renelkezik a izsgálanó renszer. A szilártest fizikában ez a renszer a kristály összes elektronjából és atommagjából áll. Azaz a szabaságfok-szám, illete a Sröinger-egyenlet áltozóinak száma nagyságrenileg -. Matematikailag ez egy renkíül bonyolult felaat. bbõl kifolyólag a moern szilár test kantumelmélet néány egyszerûsítést tesz, melyeket összességben sámegközelítésnek ínak:. Az elektronmozgás izsgálatánál az atommagokat, nagy tömegük miatt, mozulatlan mezõforrásnak eszik.. Az atommagok elelyezkeése a térben szigorúan perioikus: az atommagok az ieális kristályrás somópontjaiban elyezkenek el.. Az elektronok közötti kölsönatást egy effektí külsõ mezõel elyettesítik. gy kristályban a Pauli-elnek megfelelõen nem leet két azonos állapotú elektron. Az elektronok úgy renezõnek el, ogy energiájuk egymástól kismértékben eltérõ legyen. Így sáok alakulnak ki. Ieális kristály esetén a egyérték elektronok (két rásiont egyértékkötéssel összekötõ elektronok) a egyértéksának (aleniasának) megfelelõ energiákon elyezkenek el. A betöltetlen elektronállapotok ezetési sáot és egyértéksáot a tiltott sá álasztja el. Az elektronok a Sröinger-egyenlettel íratók le: aol x y z, r Ur. (.) m j t U a külsõ poteniális energia, a Plank-állanó -e része, az elektron aott térrészben aló tartózkoásának alószínûségét leíró függény. Az elektron V térfogatban aló tartózkoásának alószínûsége: V. (.) V

2 Az iõfüggetlen Sröinger-egyenlet felírásáoz iõben perioikus, körfrekeniájú ullámfüggényt tételezünk fel: r, t r exp t kr, (.) aol az elektronnak, mint ullámnak a körfrekeniája, k peig az elektronullám ullámszáma (az egységnyi táolságra jutó ullámok száma). Az elektron-energia a frekeniáal kifejeze. (.4) Az m tömegû elektron kinetikus energiája a sebességgel, illete a p m impulzussal kifejeze m p. (.5) m A Sröinger-egyenletbõl külsõ erõtértõl mentes esetben ekkor a k. (.6) m Kristályrás perioikus erõterében mozgó elektronokra asonló összefüggés írató fel k. (.7) m eff k Az (.6) és (.7) energia és a frekenia közötti összefüggéseket iszperziós reláióknak neezik. Az (.7)-ben az elektron tömege elyett az kristályrás atását. m eff szerepel, mely kifejezésre juttatja a Az effektí tömeg függ a ullámszámtól (kristályiránytól). agyságrenileg nem tér el az elektron tömegétõl. Általában m meff. Ismere az p reláiót, kifejezetjük az effektí tömeget az energia impulzusbeli másofokú eriáltjaként m eff. (.8) p Állanó effektí tömeg esetén a k x, k y, k z ullámszám koorináta-renszerben (az ún. k - térben) az állanó energiákoz tartozó geometriai elyek egy gömb felületén elyezkenek el. k -tól függõ effektí tömeg esetén ez a gömb ellipszoiá fajul, sõt sak a k -tér egyes részeiez tartozatnak fizikailag értelmezett tartományai a iszperziós reláiónak. A

3 egyértéksá elektronjaira (a egyértékkötésben leõ elektronokra) a iszperziós reláió minig a k elyen leõ középpontú, gömbszerû felületekkel írató le, a ezetési sára onatkozóan (a egyértékkötésben nem leõ, a kristályrásban szabaon mozgó elektronokra) a kristályrás szimmetriától függõ renszerint több, nem k entrumú ellipszoi leetséges. lemi félezetõknél nins k entrumú tartomány, az A III B V anyagoknál (pl. GaAs ) renszerint több ellipszoi mellett k entrumú is an. Az ábrán (. ábra, BM) látató a szilíiumra és GaAs -ra a ezetési sáot leíró ellipszoiokat. A térbeli ábrázolás elyett a iszperziós reláiókat renszerint és irányú metszetekkel szokták ábrázolni. Ábránkon ezt is feltüntettük.. Az elektronállapotok sûrûsége Vizsgáljuk egy félezetõ xyz térfogatát, melyben elektronok tartózkonak. Az elektron két fõ jellemzõjéel írató le: ol an az elektron (a térben); mekkora impulzusa an (milyen k -ullámektor tartozik ozzá). Ha egy elektron elyzetét xyz pontossággal ismerjük, akkor a Heisenberg-féle atározatlansági reláió alapján megatározató a szóban forgó elektron k -ullámektorának atározatlansága: x k, yk, zk. (.9) x y Ha egy ullámszám koorináta-renszert eszünk fel, ebben a koorináta-renszerben a k - térben - minen z V elemi k k k x y z 8 xyz (.) térfogatban leet egy elektronoz tartozó k -ektor égpontja. A és k közötti értékû ullámektorok a k sugarú gömbben égzõnek, melynek térfogata bben a gömbben V V teljes elemi V teljes 4 k. (.) 4 k 8 xyz k xyz (.)

4 számú elektronállapot leetséges. A szorzó tényezõ azért an, mert két ellentétes spinnel renelkezõ elektron leetséges. A félezetõ egységnyi térfogatáoz k k (.) xyz számú elektronállapot tartozik. elasznála az (.7) iszperziós reláiót, az egységnyi térfogatban számú elektronállapot leet. Az és 8 m eff között leetséges elektronállapotok mennyisége, a leetséges elektronállapotok sûrûsége (.4) A ezetési elektronokra aol m n az elektronok effektí tömege, A egyértéksában leõ lyukakra aol m p a lyukak effektí tömege, meff 4. (.5) m 4 n. (.6) a ezetési sá aljáoz tartozó energia. m. (.7) p 4 a egyértéksá tetejéez tartozó energia. Az ábra (.5 ábra, BM) a leetséges elektronállapot sûrûségének energiafüggését aja meg. A iagramon min a ezetési, min a egyértéksára fel annak tüntete a leetséges állapotok sûrûségei.. ermi-statisztika, intrinsi félezetõ A félezetõ kristályban leõ elektron és lyukkonentráiók a leetséges állapotok sûrûsége és azok betöltöttségének mértéke alapján atározatók meg. Az elektronoknak, - mint tömeggel renelkezõ elemi részeskének energia szerinti eloszlása ermi-dira statisztikáal írató le. Annak alószínûségét, ogy egy energiájú elektronállapot be an tölte, az

5 f exp (.8) függény aja meg (.6 ábra, BM). A ermi-szint az az energia, melynek betöltöttségi alószínûsége pontosan,5. Az és f függény szimmetrikus a ermi-níóoz képest. közötti elemi energia interallumban számú leetséges elektronállapot találató, a betöltöttség mértéke leõ elektronmennyiség f f, így az elemi energiainterallumban n. (.9) Az elektronok konentráióját a ezetési sában leõ betöltött állapotok összes mennyisége aja f n. (.) A lyukak konentráióját azaz a térfogategységben találató be nem töltött egyértékkötések mennyiségét peig a f p. (.) Az aalékolatlan, iegen atomokat nem tartalmazó félezetõ anyagban az intrinsi félezetõben kizárólag termikus gerjesztés köetkeztében keletkeznek elektron-lyuk párok, és így az elektronkonentráió megegyezik a lyukkonentráióal, agyis zt a konentráiót intrinsi konentráiónak neezzük. ni p i. (.) 4. Aalékolt félezetõk A félezetõ kristályba az ereeti félezetõ anyag atomjai elyébe szubsztituionális aalékatomokat ietünk be. Az aalékatomokoz a tiltott sában leõ leetséges elektronállapotok tartoznak (.8 ábra, BM). Aalékolt félezetõ onor agy akeptor aalékot tartalmazat. Az öt egyértékû elemek ( P, As, Sb ) onorként, a árom egyértékûek ( B, Al, Ga, In ) akeptorként atnak. A onor betöltöttségének alószínûsége is ermi-ira statisztikáal írató le, azonban figyelembe kell enni, ogy egy elektron szinten két (ellentétes spinnel renelkezõ) elektron elyezkeet el, e itt sak egy an, ezért két azonos energiájú állapot létezik, e betöltetlen sak egy, ezért

6 f exp. (.) bbõl a betöltött a ezetési elektront ki nem bosátott ionizálatlan onorok konentráiója, aalékatom konentráió esetén exp és az ionizált onoratomok konentráiója lemi átalakítások után A onoratomok exp exp (.4). (.5). (.6) -nel megegyezõ számú elektronnal járulnak ozzá a szaba elektronok mennyiségéez. Miel a onorok ionizáiós energiája szilíiumban kb. 5 mev (a onorállapotok energiaszintje ennyire elyezkeik el a ezetési sá alja alatt), szobaõmérsékleten alkalmazatjuk az (.7) közelítést minaig, amíg a ermi-níó a ezetési sá alját kb. 5 -re meg nem közelíti. Ha ebben az esetben akarjuk megatározni az elektron- és lyukkonentráió értékét, figyelembe kell enni, ogy a ezetési sában leõ elektronkonentráiót gyakorlatilag a onorkonentráió atározza meg, agyis f n. (.8) az peig azt jelenti, ogy a ermi-níó, mely az intrinsi anyagnál a tiltott sá közepétõl alig eltérõ elyen elyezkeik el, most az aalékkonentráiótól függõ mértékben a ezetési sá felé tolóik. z együtt jár azzal is, ogy a egyértékkötések betöltöttsége fokozóik, agyis n ni. (.9) p n A ermi-níó így mérõszáma leet az aalékolás mértékének. i

7 Akeptoraalék esetében az elõzõköz asonló móon az akeptoratomok konentráiójáal ( a ) közel egyenlõ számú egyértékkötésben nem lesz elektron teát ennyi lyuk lesz és így az elõzõköz asonló megfontolások alapján p (.) i a p pi. (.) n n A ermi-níó ebben az esetben sá közepétõl a egyértéksá irányába tolóik el. 5. Töltésorozók konentráiója A töltésorozó konentráiók és a ermi-szint elyzete közötti kapsolat megatározató az (.9)-(.) összefüggések alapján. Az (.6), (.7) leetséges állapotsûrûség és az (.8) betöltöttség alószínûségét leíró összefüggések elyettesítése után az elektron-, illete a lyukkonentráió n f m n 4, (.) exp m p p f 4. (.) exp eltételezzük, ogy az effektí tömeg független az energiától. Beezete az és x x (.4a) *, (.4b) y y (.5a) jelöléseket, töltésorozó konentráiókra az *, (.5b) mn x x n 4, (.6) exp x *

8 összefüggéseket kapjuk. Toábbá beezetjük az p mp 4 y x exp y * (.7) mn, (.8) m p (.9) a ezetési sábeli, illete egyértéksábeli effektí állapotsûrûségeket. elasznála a fenti jelöléseket az (.) egyenletet ilyen alakot ölt aol * n, (.6) * x x. (.7) exp x * Az (.7) integrál értéke sak * paramétertõl függ, azaz a ermi-energiától és a õmérséklettõl. z az integrál -inexû ermi-dira integrálként ált ismeretessé. em fejezetõ ki elemi függényekkel, ezért kiszámításáoz numerikus mószereket alkalmaznak. Az (.) egyenlet átírató asonló alakra * és energiáknál az p. (.8) f értéke több mint, illete,5- nél keesebb. Ilyenkor a ermi-dira-statisztikát feláltatjuk a Maxwell-Boltzmannstatisztikáal: f exp. (.9) zzel az elektron-, illete lyukkonentráiók megatározásáoz szükséges integrálok zárt formában elõállítatók n exp, (.4) p exp. (.4)

9 z a közelítés teát aig jó, amíg a ermi-níó a ezetési sá alját, illete a egyértéksá tetejét néány értékig meg nem közelíti. Az (.4), (.4) egyenlet szorzata - figyelembe ée, ogy a tiltott sá szélessége g. (.4) az ún. tömegatás törényt aja g n p exp. (.4) A tömegatás törény is aig érényes ebben a formájában teát a ermi-szint elyzetétõl függetlenül amíg az elektronokra, illete a lyukakra a Boltzmann-statisztika alkalmazató. 6. A ermi-níó elyzete A ermi-szint elyzetét a köetkezõ összefüggés alapján számítjuk m p n ln ln i. (.44) 4 mn p Miel egy intrinsi félezetõben n p, így i m ln 4 m p n. (.45) Az elektron-, lyuk konentráiókat ((.4,.4 összefüggés)) kifejezetjük intrinsi konentráión keresztül: Az (.5) egyenletbõl, felasznála, ogy i n ni exp, (.46) i p ni exp. (.47) n n i ln, (a ni ) (.48) ni a p i ln. (a a ni ) (.49) ni Látató, ogy az aalékolás atására a ermi-níó a sáközéprõl eltolóik: onor aalék esetén a ezetési sá felé, akeptor aalék esetén a egyértéksá felé. Az eltolóás mértéke egy nagyságrennyi aaléksûrûség-áltozás esetén ln 6 mev.

10 7. A konentráió õmérsékleti függése Szorozzuk össze az (.4,.4) egyenleteket, asználjuk fel az (.8,.9) összefüggéseket, akkor 4 n p m m n p exp. (.5) 6 elasznála a tiltott sá szélességének kifejezését ( töltésorozók õmérsékletfüggését: g ) megkapjuk a g n p ni onst T exp (.5). agy õmérsékleten a többségi (és ezzel együtt a kisebbségi) töltésorozók konentráióját a termikus gerjesztés atározza meg az anyag intrinsi anyagként iselkeik. bben a szakaszban a görbe mereeksége: g k.. Közepes õmérsékleten a többségi töltésorozók konentráiója õmérséklet-független, az aalékatomok konentráiójáal gyakorlatilag megegyezik.. Alasony õmérsékleten a többségi töltésorozók konentráiója sökken, mert egyre keesebb aalékatom ionizálóik. 8. Az eszközfizika alapegyenletei élezetõ struktúrákban és eszközökben lejátszóó elektromos folyamatok olyan alapösszefüggésekkel íratók le, melyek jellemzik a) a töltésorozók mennyiségének iõbeli áltozását (töltésmegmaraás törények, illete folytonossági egyenletek); b) a töltésorozók mozgásából származó áramokat (transzportegyenletek); ) a töltésorozók mennyisége és elyezkötött töltések kapsolatát az elektromos erõtérrel (Poisson-egyenlet, illete Gauss-törény); ) a ezetési és eltolási áramok összegezési szabályát (Maxwell-féle összáram-egyenlet). zek az összefüggések általában iffereniál egyenletek, és az elektromos mennyiségek mellett félezetõ anyagjellemzõket is tartalmaznak. A K,8 J / K ev,4,4, 78eV. 9,6 J,6,6 9