Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2., 2012 tavasz
|
|
- Lajos Borbély
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőel (pontosan) Valószínűségszámítás, 1 tavasz Dátum Téma Beadandó Feb 8 Sze Alapfogalma és eszözö Feb 15 Sze Konvolúció (normális, Cauchy, exponenciális) Feb Sze Konvolúció (normális, Cauchy, exponenciális) 1 HF Feb 9 Sze Gen fv-e: momentumo, eloszláso reonstruciója HF Már 7 Sze Gen fv-e, elágazó folyamato, bolyongáso 3 HF: Már 9 Már 14 Sze Gen fv-e, elágazó folyamato, bolyongáso 4 HF: Már 19 Már 1 Sze Gyenge és erős onvergencia, Borel-Cantelli lemmá 5 HF: Már 3 Már 8 Sze Kari szünet - Ápr 4 Sze Nagy számo erős törvénye 6 HF: Ápr 6 Ápr 11 Sze Nagy számo erős törvénye 7 HF: Ápr 13 Ápr 18 Sze Karaterisztius függvény, tulajdonságai, példá 8 HF: Ápr Ápr 5 Sze Gyenge onvergencia, feszesség, Centrális határeloszlástétel 9 HF: Ápr 7 Máj Sze CHT, példá, Berry-Esséen tétel 1 HF: Máj 4 Máj 9 Sze Lindeberg CHT, orlátlanul osztható és stabilis eloszláso 11 HF: Máj 11 (Ha marad idő: Kolmogorov -1 tv, Iterált logtétel, nagy eltérés tétele) Házi feladato Valószínűségszámítás, 1 tavasz A házi feladato jelen file-ban erülne itűzésre, és a itűzést övető előadás ezdeteor beadandó Minden feladat számít, és annyi pontot ér, ahány van mellette Minimum elérendő: 4%, azaz 48 pont a félév során Részpontszámoat adun, de válaszoat csa indolással fogadun el Az igazi csoportmuna hasznos, ebben az esetben is mindeni saját maga írja le a megoldást a saját szavaival (épleteivel) A passzív másolás viszont haszontalan: tapasztalatun szerint az így szerzett házi feladat pontszámo többszörösen elveszne a vizsgán, amior iderül, hogy a másolt házi feladat nem hozta meg a ívánt fejlődést 1 HF: (Beadandó: február ) 11 Legyene X 1, X,, X n, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX i = } = PX i = 1} = 1 Legyen Y := n=1 n X n Bizonyítsu be, hogy az Y egyenletes eloszlású a [, 1] intervallumon 1 Legyene P 1 és P valószínűségi mértée ugyanazon az (Ω, F) mérhető téren Legyen A olyan halmazalgebra, amire σ(a) = F Azt mondju, hogy P 1 és P ölcsönösen szinguláris, ha van olyan H F, hogy P 1 (H) = 1 és P (H) = a) Lássu be, hogy a ét mérté aor és csa aor ölcsönösen szinguláris, ha ε > A A : P 1 (A) 1 ε, P (A) ε b) Legyene X 1, X,, X n, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX i = } = 1 PX i = 1} = p 1 Legyen Y := n=1 n X n Bizonyítsu be, hogy az Y valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos, de nem abszolút folytonos, hanem szinguláris (azaz szinguláris a Lebesgue mértére nézve, azaz az egyenletes eloszlásra nézve; lásd előző feladat) 13 a) Mutassu meg inducióval, hogy n > r > egészere n 1 ( ) 1 = r 1 =r ( n 1 b) Bizonyítsu be analitiusan, hogyndarab független, azonos Geom(p) eloszlású valószínűségi változó összege negatív binomiális eloszlású 14 Legyen X és Y független Exp(λ), illetve Exp(µ) eloszlású valószínűségi változó Határozzu meg Z := X + Y sűrűségfüggvényét Mi történi a λ µ határátmenetben? 15 LegyenX egyenletes a, 1,, n 1} halmazon Bizonyítsu be, hogy hannem prím, aorx eloszlása előáll, mint ét egészértéű eloszlás onvolúciója r ) 1
2 HF: (Beadandó: február 9) 1 Mórica matematiushallgató a BME-n, Valószínűségszámítás 1 gyaorlatból próbál átmenni Ha nem sierül nei az egyi félévben, aor a övetező félévben újra próbálozi Az egymást övető féléve próbálozásaina imenetele független, és minden félévben 3 valószínűséggel bui meg Ha az aláírást megszerezte, még ugyanabban a félévben próbálozi az elméleti vizsgával Ha ez nem sierül, aor a övetező félévben újra próbálozi az elméleti vizsgával, egészen addig, amíg át nem megy ezen is Az egyes féléveben elméletből 1 4 valószínűséggel megy át Határozzu meg Mórica Valószínűségszámítás 1-el töltött félévei számána az eloszlását! Legyene X és Y független azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös sűrűségfüggvénye f(x) = 3x 1x [, 1]} Határozzu meg az U := X + Y és a V := X Y valószínűségi változó (marginális) sűrűségfüggvényét 3 Legyene X 1, X, független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene sűrűségfüggvénye xe x, ha x, és egyébént Legyen továbbá S = és S n = X X n, valamint legyen N(t) = maxn : S n < t} a) Adju meg S sűrűségfüggvényét b) Határozzu meg N(t) eloszlását, azaz =,1,,-ra PN(t) = } értéét! (Számolás nélül is megy, ha jól megértettü miről van szó) 4 Legyene X 1, X,, X n, független és azonos E(, 1) eloszlású valószínűségi változó Jelölje f n (x) az S n := n =1 X valószínűségi változó sűrűségfüggvényét Bizonyítsu be, hogy Számítógéppel ábrázolju az f n (x) = x 1 (n 1)! f n (x) := = ( 1) ( n ) (x ) n 1 n ( n n ) 1 f n + 1 x függvényt n = 1,,, 1-re Mit látun? Értelmezzü az eredményt 3 HF: (Beadandó: március 9) 31 Valószínűségeloszláso generátorfüggvényei-e az alábbi függvénye? ( ) z 1 (z +1) 6 (a) exp, λ > ; (b) ; λ 64 (c) z ; (d) 1+z 3 Legyene X 1, X, független (optimista, azaz a sier sorszámát teintjü) Geom(p 1 ) eloszlású valószínűségi változó, és ν egy tőlü független, (szintén optimista) Geom(p ) eloszlású valószínűségi változó Lássu be generátorfüggvény-módszerrel, hogy ν X i Geom(p 1 p ) Adjun valószínűségszámítási értelmet is a apott formulána 33 Egy utca autóforgalmát úgy modellezzü, hogy a) az idősálát fix és oszthatatlan egy másodpercnyi időegységere osztju, b) feltesszü, hogy p (, 1) anna a valószínűsége, hogy az egyes időintervallumoban elhalad az utcán egy autó, c) továbbá azt is feltesszü, hogy az egyes időegységeben történő eseménye egymástól függetlene Egy gyalogos aor tud átmenni az utca túloldalára, ha legalább három másodpercig forgalommentes az utca (Feltesszü, hogy az utca belátható: a gyalogos el tudja dönteni, hogy a övetező három másodpercben lesze forgalom) Határozzu meg a gyalogos váraozási idejéne generátorfüggvényét! Segítség: alalmazzu a teljes várhatóérté tételét (avagy toronyszabályt) arra vonatozóan, hogy az első ocsi mior érezi! 34 Egy majom egymás után függetlenül, egyenlő valószínűséggel üti le az (angol) írógép 6 betűjéne mindegyiét (számot és írásjelet nem üt, ennyire van intelligens) Legyen ν az a szám, ahányadi leütésre először megjeleni az a szó, hogy BAB Határozzu meg ν generátorfüggvényét és várható értéét
3 35 Mórica rendszeresen gyorshajt, így a rendőr rendszeresen megállítja Ilyenor az esete felében (mindentől függetlenül) 1 Ft a bírság, felében pedig 5 Ft Ráadásul Mórica ezeet a helyzeteet meglehetősen rosszul ezeli, és nagy szája övetezményeént minden rendőri intézedés (függetlenül) p valószínűséggel azzal is jár, hogy bevonjá a jogosítványát Határozzu meg a Mórica által összesen ifizetett büntetés generátorfüggvényét, várható értéét és szórásnégyzetét 36 EgyX valószínűségi változó eloszlása orlátlanul osztható, ha n N-re van olyany n 1,, Y n n független és azonos eloszlású valószínűségi változó n-es, hogy n Y n i X a) Korlátlanul osztható-e Poisson eloszlás? b) Korlátlanul osztható-e a binomiális eloszlás? c) Lássu be, hogy minden < p < 1-hez megadható olyan p 1, p, valószínűségi eloszlás és λ >, hogy ν X i Geom(p), ahol X 1, X, fae és 1-re PX i = } = p, valamint ν tőlü független és Poi(λ) eloszlású Mutassu meg enne segítségével, hogy a geometriai eloszlás orlátlanul osztható 4 HF: (Beadandó: március 19) 41 Mórica eladó egy üzletben, ahol minden egyes vevő iszolgálása 3 percig tart Ennyi idő alatt 6 valószínűséggel beáll ét újabb vevő a sorba, valószínűséggel egy új vevő áll be, és valószínűséggel nem jön új vevő Mórica ávézhat egyet, ha iürült a sor Mi anna a valószínűsége, hogy az első vásárló megjelenése után ez valaha beövetezi? Tipp: mi öze a feladatna elágazó folyamatohoz? Részletesen indooljun 4 Egy elágazó folyamatban m = EZ 1,1 (várható utódszám) és σ = DZ 1,1 (utódszám szórása) segítségével fejezzü i az n generáció egyedszámána D Z n szórásnégyzetét 43 Egy elágazó folyamatban N := n= Z n jelöli a valaha élt összes egyed számát a) Írjun fel egy reurziót N generátorfüggvényére (hány gyeree van az első egyedne?) b) Oldju meg a reurziót ha az utódszám eloszlása Bernoulli(p) c) Oldju meg a reurziót ha az utódszám eloszlása Pesszimista Geom(p) d) Határozzu meg N várható értéét mindét esetben 44 Egy elágazó folyamatban az utódszám generátorfüggvényep(s) = q+ps, ahol < p = 1 q < 1 Legyen τ a ihalás ideje: τ = infn : Z n = } a) Határozzu meg a ihalás valószínűségét: Pτ < } b) Írju fel apτ > n} valószínűséget (én nem találtam szép alaot erre) 5 HF: (Beadandó: március 3 A 1-ből pont bónusz, mert eze a feladato nem olyan önnyűe) 51 Legyene ζ 1, ζ, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, Pζ i = ±1} = 1 Legyen S n = n ζ i egyszerű, szimmetrius bolyongás Z-n Legyen τ = minn S n = 1} az első szint elérési ideje Határozzu meg Pτ = } értéét! 3 Pτ = } =? Tipp: a generátorfüggvény hatványsorána együtthatóit fejezzü i az általánosított binomiális együttható segítségével, határozzu meg ap(τ = ) értéeet, és használja a Stirling-formulát! 5 Teintsü Z helyett a (végtelen) G g, g-ed foú homogén fát mint alapgráfot és rajta a szimmetrius bolyongást Azaz: S n egy véletlen bolyongás G g -n, amely egy megjelölt csúcsról (origóról) indul és időegységenént lép az atuális helyg szomszédja özül egyet egyenletesg 1 valószínűséggel választva Számolju i a Φ, F, L generátorfüggvényeet, ahol Φ(z): egy ijelölt első szomszéd elérési idejéne generátorfüggvénye, F(z): origóba való első viszatérés idejéne generátorfüggvénye; L(z): origóba való utolsó látogatás idejéne generátorfüggvénye 53 Legyene X 1, X, nemnegatív egész független és azonos eloszlású valószínűségi változó Q generátorfüggvénnyel, és legyen n S =, S n = (X i 1), azaz egy bolyongó pozíciója n lépés után, ai az i lépésben X i 1-et lép (vagyis 1-et, ha X i =, -t, ha X i = 1, stb) Legyen továbbá τ = infn > : S n = 1} a 1 szint első elérési ideje, jelöljü enne generátorfüggvényét P -vel 3
4 a) Az első lépésre feltételezve mutassu meg, hogy P(s) = Q(P(s)) s b) Az a) rész alapján határozzu meg P -t, ha, p valószínűséggel, X i =, 1 p valószínűséggel (Azaz S n egy egyszerű bolyongás) c) Legyene most azx i változó Pesszimista Geom(p) eloszlásúa, az a) rész alapján határozzu megp -t d) A c) rész alapján határozzu meg anna valószínűségét p függvényében, hogy a bolyongó valaha eléri a 1 szintet 6 HF: (Beadandó: április 6) 61 Legyene az X 1, X,, X n, Y 1, Y,, Y n,, X és Y valószínűségi változó egyazon (Ω, F, P) P P valószínűségi mezőn értelmezve és tegyü fel, hogy X n X és Yn Y Bizonyítandó, hogy a) X n Y n P XY b) Ha 1 valószínűséggel Y n és Y, aor X n /Y n P X/Y 6 Legyen f : [, 1] R folytonos Bizonyítandó, hogy 63 Bizonyítsu be, hogy f ( ) x1 +x + +x n f dx 1 dx dx n = f n ( (x 1 x x n ) 1/n) dx 1 dx dx n = f 1 ( ) 1 e x 1 +x + +x n x 1 +x + +x n dx 1 dx dx n = 3 ( ) 1 64 Legyen S n 1 := x R n : x = 1} az n-dimenziós valós eulideszi tér egységgömb-felszíne S n 1 -en egyértelműen meghatározott a ν (n 1) valószínűségi mérté, mely invariáns az R n tér ortogonális transzformációira Azaz: bármely A S n 1 Borel-mérhető halmazra és az R n tér bármely H ortogonális transzformációjára ν (n 1) (HA) = ν (n 1) (A) (Ezt az egyértelműen meghatározott mértéet nevezzü az S n 1 gömbfelszín Haar mértééne Ez nem egyéb, mint az egyenletes eloszlású mérté S n 1 -en) a) Legyen X egy olyan véletlen vetor R n -ben, melyne X 1, X,, X n omponensei független és azonos N(, 1) eloszlású valószínűségi változó Bizonyítsu be, hogy az R n tér tetszűleges H ortogonális transzformációját alalmazva az Y := HX véletlen vetor Y 1, Y,, Y n omponensei szintén független és azonos N(, 1) eloszlású valószínűségi változó leszne Ebből és az egyenletes mérté unicitásából bizonyítsu, hogy X/ X S n 1 eloszlása pontosan ν (n 1) (Azaz: bármely Borel mérhető A S n 1 esetén P ( X/ X A ) = ν (n 1) (A)) b) LegyeneX 1, X, független és azonosn(, 1) standard normális eloszlású valószínűségi változó és R n := ( X 1 +X + +X n) 1/ Bizonyítandó, hogy R n / n P 1, amint n c) Válasszun egy véletlen P pontot az S n 1 gömbfelszínen egyenletes eloszlással (azaz a ν (n 1) Haar mérté szerint) és jelöljü e pontr n -beli oordinátáit(y (n) 1, Y (n),, Y n (n) )-el A fenti a) és b) ponto felhasználásával bizonyítsu az alábbi határeloszlás tételeet: ( ny ) P (n) 1 < y = Φ(y) := 1 y π ( ny P (n) 1 < y 1 ; ) ny (n) < y = Φ(y 1 )Φ(y ) Tipp: P ( ny (n) 1 < y ) = P ( nx 1 /R n < y ), a feladat jelöléseivel 1 π e x / dx, 4
5 7 HF: (Beadandó: április 13 Megint van benne egy is bónusztartalom) 71 Fogalmazzun meg szüséges és elégséges feltételt arra, hogy független X i Exp(λ i ) valószínűségi változó sorozata mior tart eloszlásban, illetve majdnem biztosan nullához 7 Végtelen so független ísérletet végzün: az n-edi ísérlet n α valószínűséggel sieres, < α < 1 Legyen továbbá 1 Aor örülün, ha végtelen soszor fordul elő, hogy özvetlenül egymást övető ísérletün sieres Meora valószínűséggel örülün? 73 (A leghosszabb tiszta fej sorozat, I) Legyene X 1, X, független és azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása: PX = 1} = p, PX = } = q, ahol p+q = 1 Rögzítsün egy λ > 1 paramétert és jelöljü A (λ) -val a övetező eseményeet: =, 1,, A (λ) := r [ [λ ], [λ +1 ] ] N : X r = X r+1 = = X r+ 1 = 1 Egyszerűen szólva: az A (λ) esemény azt jelenti, hogy [λ ] és [λ +1 ] 1 özött van valahol egy hosszú tisztán 1-eseből álló tömör sorozat Bizonyítandó, hogy a) Haλ < p 1, aor 1 valószínűséggel az A (λ) eseménye özül csa véges so övetezi be b) Ha λ > p 1, aor 1 valószínűséggel aza (λ) eseménye özül végtelen so beövetezi c) Mi történi λ = p 1 esetén? 74 (A leghosszabb tiszta fej sorozat, II) Legyen R n := sup : X n = X n+1 = = X n+ 1 = 1} Azaz: R n az n-el ezdődő tiszta 1-es sorozat hossza (HaX n =, aor R n = ) Bizonyítandó, hogy } R n P sup logn = logp 1 = 1 Tipp: α > rögzített paraméterre legyen B (α) n := R n > αlogn/ logp } Ha α > 1, aor a Borel-Cantelli lemma diret állításából egyszerű számolás útján adódi, hogy 1 valószínűséggel csa véges so B n (α) övetezi be Ha α 1, aor az előző feladat megfontolásaiból övetezi, hogy 1 valószínűséggel végtelen sob n (α) beövetezi 8 HF: (Beadandó: április ) 81 Mutassu meg, hogy EX < pontosan aor, ha n=1n P X > n} < 8 LegyeneX 1, X, független valószínűségi változó Lássu be, hogy pontosan aor leszsup n X n < mb, ha n=1 PX n > A} < valamely pozitív véges A számmal 83 Bizonyítsu, hogy tetszőleges X 1, X, valószínűségi változó sorozathoz létezi olyan determinisztius c 1, c, számsorozat, hogy Xn c n mb 84 A McMillan tétel legegyszerűbb alaja Legyen p = (p 1, p,, p r ), ahol p i, i = 1,,, r pozitív számo, melyere p 1 + p + + p r = 1 Azaz: adott egy valószínűségi eloszlás az1,,, r} halmazon A p eloszlás entrópiáját a övetezőéppen definiálju: H(p) := r j=1 p j logp j Legyene X 1, X, független azonos eloszlású valószínűségi változó, melyene özös eloszlása PX n = j} = p j Azaz: független azonos ísérleteet végzün, melyene lehetséges imenetelei 1,,, r} indexeel vanna jelölve és X a -adi ísérlet eredményét jelöli Definiálju az R n := n =1 p X valószínűségi változóat Az R n azt mondja meg, hogy mi az a priori valószínűsége a beövetezett X 1, X,, X n sorozatna Bizonyítandó, hogy 9 HF: (Beadandó: április 7) } P n 1 logr n = H(p) = 1 91 Határozzu meg a Binomiális(n, p), a Poisson(λ), az optimista és pesszimista Geometriai(p), az Egyenletes(a, b), a Standard Normális majd ebből a Normális(µ, σ ), az Exponenciális(λ), és a Standard Cauchy eloszláso araterisztius függvényeit Tipp: Ha elaadtun, segíthet a reziduumtétel } 5
6 9 Legyen ϕ egy X valószínűségi változó araterisztius függvénye Vajon Reϕ illetve Imϕ valószínűségi eloszláso araterisztius függvényei-e? 93 Bizonyítsu be, hogy ét független és azonos eloszlású valószínűségi változó ülönbsége nem lehet E- gyenletes( 1, 1) eloszlású Tipp: Írju fel mindettő araterisztius függvényét és lássu be, hogy eze nem lehetne azonosa 94 Legyenf(x) = 1 x 1, ha x ésf(x) =, egyébént Határozzu meg azf sűrűségfüggvényű eloszlás araterisztius függvényét 95 Magyarázzu a araterisztius függvénye segítségével a sint t = sint/ t/ cos t/ és a azonosságoat sint t = =1 cos t 1 HF: (Beadandó: május 4) 11 Legyen X egy szabályos dobóoca által mutatott szám, Y pedig X-től független, E(, 1) eloszlású a) Határozzu meg X araterisztius függvényét b) Határozzu meg Y araterisztius függvényét c) Határozzu meg X +Y araterisztius függvényét Ebből olvassu le mi X +Y eloszlása d) Határozzu meg X Y araterisztius függvényét Ebből olvassu le mi X Y eloszlása 1 Mutassu meg, hogy ha ϕ egy egész értéű eloszlás araterisztius függvénye, aor a súlyfüggvény p() = 1 π π π e it ϕ(t) dt, Z alaban számolható 13 Emléeztetőül: X Cauchy(b, a) (a >, b R), ha sűrűségfüggvénye f(x) = 1 π a a +(x b), x R, a standard eset az a = 1, b = A standard Cauchy eloszlás araterisztius függvényét meghatároztu: ϕ StCau (t) = e t a) Mutassu meg, hogy a Cauchy(b, a) eloszlás a standard Cauchy eloszlás lineáris transzformáltjaént apható b) Az a) rész és ϕ StCau segítségével határozzu meg a Cauchy(b, a) eloszlás araterisztius függvényét c) A araterisztius függvénye segítségével ellenőrizzü, hogy egy Cauchy(b 1, a 1 ) és egy tőle független Cauchy(b, a ) valószínűségi változó összegéne eloszlása Cauchy(b 1 +b, a 1 +a ) d) Meg tudnán-e ugyanezt csinálni momentumgeneráló függvényeel? Miért? e) Eloszlás araterisztius függvénye-e at e ( t +1) e függvény? 14 a) Legyene X 1, X, X 3,, X n független és azonos standard Cauchy eloszlású valószínűségi változó Határozzu meg az Y n := n 1 (X 1 + X + + X n ) valószínűségi változó araterisztius függvényét b) Mutassu meg egy példával, hogy abból, hogy valószínűségi változó összegéne araterisztius függvénye egyenlő a tago araterisztius függvényeine szorzatával, nem övetezi a tago függetlensége 11 HF: (Beadandó: május 11 A 114 icsit nehezebb, extra pontot ér) 111 Legyene µ n normális N(m n, σ n) valószínűségi mértée, n = 1,, Bizonyítandó, hogy a µ n eloszláscsalád pontosan aor feszes, ha az m n és aσ n számsorozato orlátosa Alább használjun folytonossági tételt, és a araterisztius függvénye onvergenciáját 6
7 11 LegyenX p Pesszimista Geom(p) Lássu be araterisztius függvény-módszerrel, hogyp X p határeloszlása Exp(1), ahogy p ց 113 Mutassu meg, hogy a Pesszimista Negatív Binomiális(r, p) eloszlás gyengén onvergál a Poi(λ) eloszláshoz, ha r (a soadi sierre várun) úgy, hogy r (1 p) λ (a sier valószínűsége így tart 1-hez) 114 Legyene az Y 1, Y, független és azonos E(, 1) eloszlású valószínűségi változó, és legyen X = Y, S n = X 1 +X + +X n Bizonyítsu be, hogy S n n 4 gy 1, és S n n n3 gy N(, 1) 7
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 10Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenLegfontosabb bizonyítandó tételek
Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)
A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben5 3 0,8 0,2. Számolja ki a 3
Megoldási útmutató, eredménye A feladato megoldásaor mindig ismételje át a feladatban szereplő fogalma definícióit. A szüséges fogalma, definíció: valószínűségi változó, diszrét-, folytonos valószínűségi
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika előadás Info. BSC B-C szakosoknak. Bayes tétele. Példák. Események függetlensége. Példák.
Valószínűségszámítás és statisztia előadás Info. BSC B-C szaosona 20018/2019 1. félév Zempléni András 2.előadás Bayes tétele Legyen B 1, B 2,..., pozitív valószínűségű eseményeből álló teljes eseményrendszer
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenTizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Iván Barczy Mátyás és Pap Gyula Debreceni Egyetem Oktatási segédanyag mobidiák könyvtár
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenGyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz
Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz 1 Mértékelméleti ismétlés 2 2 Generált σ-algebrák, függetlenség 3 3 A Kolmogorov 01 törvény és a BorelCantelli-lemmák 5 4 Folytonos eloszlások konvolúciója
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +
. Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint
RészletesebbenDiszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása
Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenBevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
Részletesebbenhogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.
A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenBackhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5
Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
RészletesebbenVillamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások
Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
Részletesebbenk n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög
Alapfeladato Megoldás A ombináció értelmezése alapján felírhatju, hogy n, n Ha n páros, aor n és n özött veszi fel értéeit Ha n páratlan, aor n, vagyis > n n+, ami azt jelenti, hogy és n özött veszi fel
Részletesebben3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás:
beütésszám. előadás TARTALOMJEGYZÉK Az alfa-bomlás Az exponenciális bomlástörvény Felezési idő és ativitás Poisson-eloszlás Bomlási sémá értelmezése Bomlási soro, radioatív egyensúly Az a bomlás: A Z X
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenPermutációegyenletekről
Permutációegyenleteről Tuzson Zoltán tanár, Széelyudvarhely Az elemi ombinatoriában n elem egy ermutációján az n darab elem egy meghatározott sorrendjét (sorbarendezését) értjü. Legyen az n darab elem
RészletesebbenA szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.
A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 13. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11.
Matematia szigorlat, Mérnö informatius sza I. 007. jún. 11. Megoldóulcs 1. Adott az f(x) = (x ) függvény. (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! D f = R \ {} 13 zérushely: x = y-tengelyen a metszet:
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
Részletesebben