Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. sokszínû. munkafüzet. Hatodik, változatlan kiadás

Átírás

1 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné sokszínû munkafüzet Hatodik, változatlan kiadás Mozaik Kiadó Szeged,

2 Szerzõk: CSORDÁS MIHÁLY általános iskolai tanár KONFÁR LÁSZLÓ általános iskolai szakvezetõ tanár KOTHENCZ JÁNOSNÉ általános iskolai tanár KOZMÁNÉ JAKAB ÁGNES általános iskolai szakvezetõ tanár PINTÉR KLÁRA fõiskolai adjunktus VINCZE ISTVÁNNÉ általános iskolai szakvezetõ tanár Bírálók: JUHÁSZ NÁNDOR általános iskolai tanár PÁLFALVI JÓZSEFNÉ DR. tanszékvezetõ fõiskolai docens Felelõs szerkesztõ: TÓTH KATALIN Illusztrációk: ÁBRAHÁM ISTVÁN KERETTANTERV: MOZAIK Kerettantervrendszer / (V..) OM Kerettanterv / (V..) Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. ISBN Megoldáskötet: ISBN ENGEDÉLYSZÁM: / MOZAIK KIADÓ,

3 Útmutató a munkafüzet használatához A munkafüzet témakörei a tankönyvnek megfelelõ sorrendben követik egymást. Az egymásra épülõ feladatok jó gyakorlási lehetõséget biztosítanak, így segítik a tananyag megértését és elmélyítését. A gondolkodtatóbb feladatokat *-gal jelöltük, ezek megoldásához jó ötletekre van szükség.. OSZTHATÓSÁG Osztó, többszörös. Ábrázoljuk számegyenesen más-más színnel a) a többszöröseit; b) a többszöröseit; c) az többszöröseit!. Jutka, Csaba és Gabi testvérek. A nyáron egy hónapot a nagyszüleiknél töltöttek. Június -án indultak otthonról, és aznap mindhárman felhívták a szüleiket. Ezután Jutka kétnaponként, Csaba háromnaponként, Gabi ötnaponként telefonált haza. Soroljuk fel azoknak a júliusi napoknak a dátumát, amikor hazatelefonáltak! a) Jutka és Csaba: július.,.,.,.,.... b) Csaba és Gabi: július.,.... c) Jutka és Gabi:... július.,.,. d) mindhárman:... július.. Írjuk a -nél kisebb természetes számokat a halmazábra megfelelõ részébe! 9 többszörösei 9 -nél kisebb természetes számok többszörösei 9 többszörösei. Egy villamosvégállomásról az egyik járat percenként, a másik percenként indul. Reggel -kor egyszerre indul mind a két járat. Délig hányszor indul errõl a végállomásról a) a percenként induló járat; -szer (óránként -ször, = és délben, += ).... b) a percenként induló járat; -ször (óránként -szer, = és délben, +=).... c) együtt a két járat? Minden órában. A délben indulóval együtt -szer.... A percenként induló járat: ; ; ; ; ; óránként -ször. A percenként induló járat: ; ; ; ; óránként -szer. A két járat együtt: ; ; ;9 ; ; ;.

4 OSZTHATÓSÁG. Írjuk a halmazábra megfelelõ részébe az -nél kisebb természetes számokat! Színezzük be az üresen maradó halmazt! Ha lehet, akkor rajzoljuk le úgy is a halmazokat, hogy ne legyen üresen maradó halmazrész! a) -nél kisebb természetes számok -nél kisebb természetes számok 9 9 többszörösei többszörösei 9 9 többszörösei 9 többszörösei b) -nél kisebb természetes számok -nél kisebb természetes számok 9 9 többszörösei többszörösei többszörösei többszörösei 9 9 többszörösei többszörösei c) d) -nél kisebb természetes számok 9 9 osztói osztói osztói nél kisebb természetes számok osztói osztói 9 9 -nél kisebb természetes számok 9 9 osztói 9 osztói 9 9 -nél kisebb természetes számok 9 9 osztói osztói osztói A szorzás alapján egészítsük ki a mondatokat! a) = À À 9 b) À A osztója...-nek, 9 mert található olyan... egész szám, amellyel a -et megszorozva...-t 9 kapunk. A À À 9 többszöröse... a -nek és a...-nak. 9 osztható... -tel és... -mal A À À = A...-nak osztója a..., mert van olyan... egész szám, amellyel a...-t megszorozva...-at kapunk. A többszöröse a -nek... és... a -nek A osztható... -gyel és... -tel

5 Vizsgáljuk a maradékot!. A számegyenes nemnegatív felét feltekertük egy egységnyi oldalú a) háromszögre; b) ötszögre. C,,,,... G,,,,......, 9,, 9, H F,,,,......, 9,,, A B,,,,......,,,, D E,,,,... Melyik csúcshoz kerülnek a következõ számok? a) = 9 + À B csúcs = 9 + À A csúcs = + À C csúcs = + À A csúcs b) = + À D csúcs = + À G csúcs = + À F csúcs 99 = 9 + À H csúcs Milyen szabályosság figyelhetõ meg az egyes csúcsokhoz írt számoknál? a) A... hármas maradékuk egyenlõ. b)... Az ötös maradékuk egyenlõ. Az A csúcsnál lévõ számok À -as maradéka... A H csúcsnál lévõ számok À -ös maradéka... A... C csúcsnál lévõ számok À -as maradéka. A... G csúcsnál lévõ számok À -ös maradéka.. Amelyik évben szeptember elseje péntekre esik, abban az évben péntekre esik még szeptember..., nyolcadika..., tizenötödike..., huszonkettedike... huszonkilencedike.. szökõév volt, február elsején kedd volt. Milyen napra esett március -je és március -e? Március elsején szerda... volt, március tizenötödikén szerda... volt. *. Kati ötször akkora számot írt le, mint Dóri. Töltsük ki a táblázatot, majd döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások? Írjuk a megfelelõ I (igaz) vagy H (hamis) betût az állítások elõtti négyzetbe! a Dóri által írt szám a Kati által írt szám a két leírt szám összege 9 a két leírt szám különbsége a két leírt szám szorzata + + À I A két leírt szám összegének hatos maradéka. À I A két leírt szám szorzatának ötös maradéka. À H A két leírt szám különbségének négyes maradéka. 9

6 OSZTHATÓSÁG. Állapítsuk meg az adott számok -es maradékát! a) = + b) = + = + 9 = 9 + = + = + c) = + = + = + = 9 = µ = 9 9 = = = Hányféle -es maradéka lehet egy természetes számnak? A -es maradék...-féle tizenegy lehet. Írjunk fel a ; ; ; ; 9; ; ; ; számok segítségével három-három olyan összeget, amelyek -es maradéka! (Egy szám egy összegben csak egyszer forduljon elõ!) a) kéttagú összegek: + ; + ; +... b) háromtagú összegek: ; + + 9; + + 9; + + ; + + ; + + ; + + ; c) négytagú összegek: ; ; ; ; ; ; ; Írjunk fel a felsorolt számok segítségével öt olyan kéttényezõs szorzatot, amelyek -es maradéka! 9; 9; 9; 9; 9 ; 9 ; 9 ; 9... Írjunk fel a felsorolt számok segítségével három-három olyan kéttagú összeget, amelyek -es maradéka a) ; + ; + ; +... b)!... + ; + ; + ; + 9. Egy majolikagyárban az elkészült tányérokat polcokra rakják. Három polcon ugyanolyan tányérok vannak, az elsõn, a másodikon, a harmadikon pedig. A három polcon lévõ tányérokat hatosával csomagolják. Hány tányér marad ki, ha a) a tányérokat polconként csomagolják; Az elsõ polcon, a harmadikon tányér marad ki.... b) az összes tányért együtt csomagolják?... tányér marad ki. a) = + = + = + b) + + = = +

7 . Alakítsuk az adott törteket tizedes törtté úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevezõvel! Állapítsuk meg, hogy milyen számjegy áll a tizedesvesszõ utáni. helyen! a) = =, b) 9 = 9 =, =, 9 =, 9 Hatjegyû szakasz ismétlõdik. ' ' = Kétjegyû a szakasz, ami ismétlõdik. Páros számú helyen az áll. A szakasz. számjegye áll a. helyen, ez a. A tizedesvesszõ utáni. helyen az áll.. Kössük össze a bekarikázott számot azokkal a szorzatokkal, amelyek annak többszörösei! a) b) Írjuk az alábbi összegek mellé, hogy oszthatók vagy nem oszthatók a megadott számmal! (Csak akkor számoljunk, ha nem tudjuk másképpen eldönteni!) a) -cal a +...; osztható a + 9 osztható... b) -gyel a ; nem osztható a + osztható... c) -gyel a ; osztható a + osztható.... Oszthatók-e az alábbi különbségek az adott számmal? Írjuk a megfelelõ betût a táblázatba: O (osztható), N (nem osztható)! különbség -mal -vel -tal 9 µ µ O O O O O O

8 OSZTHATÓSÁG. Soroljuk fel, hogy a ; ; ; számok közül melyeket írhatjuk a téglalapba, hogy teljesüljön a feltétel! a) + + osztható -mal b) + + osztható -gyel c) + + osztható -tel d) + + osztható -tal e) + + osztható -tel f) + + osztható -cal g) + + osztható 9-cel h) + + osztható 9-cel =... =... =... =... =... =... =... =.... Soroljuk fel, hogy a 9; ; ; számok közül melyeket írhatjuk a téglalapba, hogy teljesüljön a feltétel! a) µ osztható -mal b) µ osztható -gyel c) µ osztható -tel d) µ 9 osztható -tal e) 9 µ osztható -tel f) µ osztható -cal g) µ osztható 9-cel h) µ osztható -gyel ; ; ; 9; ; 9; ; 9; =... =... =... =... =... =... =... =... *. Határozzuk meg a 9; ; ; számok négyes maradékát! Írjunk fel olyan két- és háromtényezõs szorzatokat, amelyek tényezõi az adott számok, és a szorzat négyes maradéka! A 9 négyes maradéka:... A négyes maradéka:... A négyes maradéka:... A négyes maradéka:... Kéttényezõs szorzatok: 9 ; ; ;... Háromtényezõs szorzatok: 9 ; 9 ; 9 ;... *. Peti és Panni vásárolni mentek az írószerboltba. Az egyiküknél Ft, a másikuknál Ft volt. Mindketten csak az akciós termékekbõl vásároltak, de egymástól teljesen függetlenül. A végén Petinek, Panninak forintja maradt. Melyikük költött el több pénzt? Miután minden áruért páros számú forintot kell fizetni, akinek Ft-ja volt, annál maradt Ft, akinek Ft-ja volt, annál a Ft. µ µ Panni Ft-ot költött. Peti Ft-ot költött. Peti költött többet. Pl.: Panni: vagy + 9. Peti: ++ + vagy Válasz:......

9 Oszthatósági szabályok. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók -vel, és karikázzuk be, ha oszthatók -tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? ; ; ; ; ; ; ; 9; ; ; ; Az alá is húzott és be is karikázott számok -vel és -tel is oszthatók.... Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe! az adott számok halmaza -vel osztható számok... -zel osztható számok 9 -tel osztható számok. Soroljuk fel az összes olyan számjegyet, amelyet a jelek helyére írva teljesülnek az alábbi feltételek! a szám ÀÐ Ç ÃÓ osztható legyen -vel osztható legyen -tel osztható legyen -zel ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9 Azok a természetes számok, amelyek -zel oszthatók, -vel... és -tel... is oszthatók.. Bontsuk fel az adott számokat kéttagú összegre a példa alapján, és állapítsuk meg a számok -es, -ös és -es osztási maradékát! az adott szám -es -ös -es osztási maradéka = + = + 9 = 9 + = + = + = +. Soroljuk fel az,,, számkártyákból kirakható összes olyan négyjegyû számot, amely osztható a) -vel;... ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) -tel!... ; ; ; ; ; ; ; ; ;

10 OSZTHATÓSÁG. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók -gyel, és karikázzuk be, ha oszthatók -tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9; ; 9 Az alá is húzott és be is karikázott számok -gyel... és -tel is oszthatók. Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe! -zal... osztható számok az adott számok halmaza -gyel osztható számok 9 9 -tel osztható számok. Soroljuk fel azokat a számjegyeket, amelyeket a jelek helyére írva teljesülnek az alábbi feltételek! a szám ÂÒ ÄÔ 9ÁÑÀÐ osztható legyen -gyel ; ; ; ; ;... ; ; ; ; ;... ; 9; 9 osztható legyen -tel osztható legyen -zal ; ; ; Azok a természetes számok, amelyek -zal oszthatók,... -gyel és... -tel is oszthatók.. Bontsuk fel az adott számokat kéttagú összegre a példa alapján, és állapítsuk meg a szám -es, -ös és -as osztási maradékát! az adott szám -es -ös -as osztási maradéka = + = + = + 9 = 9 + = + = + = +. Írjuk le azokat a,,, számkártyákból kirakható négyjegyû számokat, amelyek oszthatók a) -gyel;... ; ; ; ; ;... b) -tel!... ; ; ;...

11 9. Szorozzunk egyszerûen -tel! Számítsuk ki, mennyi!. A -et szorozzuk elõször -zal (azaz -tel). =.. Az így kapott számból a -szöröst úgy kapjuk, hogy osztunk -gyel. =. Végezzük el fejben ezzel a módszerrel a következõ szorzásokat: a) =... b) =... c) =... d) =... 9 Ellenõrizzünk írásbeli szorzással! Ellenõrzés: ÀÀÀ ÀÀÀ ÀÀÀ. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók -cal, és karikázzuk be, ha oszthatók -tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Az alá is húzott és be is karikázott számok -cal... és -tel is oszthatók Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe!... -rel osztható számok az adott számok halmaza -cal osztható számok -tel osztható számok. Mondjuk meg osztás nélkül az alábbi számok -as és 9-es osztási maradékát! az adott szám összeg alak 9-es maradék -as maradék = A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók -mal, és karikázzuk be, ha oszthatók 9-cel! ; 9; ; ; ; 9; ; ; ; az adott számok halmaza ; ; ; ; 9 -mal osztható számok Amely számokat bekarikáztuk, azokat alá is cel osztható számok..., húztuk mert a 9-cel osztható... 9 számok -mal is oszthatók Készítsünk halmazábrát, és írjuk bele a fenti számokat!

12 OSZTHATÓSÁG. Soroljuk fel a,, számkártyákból kirakható összes olyan háromjegyû számot, amelyik osztható -tal! ; ; ;.... Írjunk a betûk helyére olyan számjegyeket, hogy a számok oszthatók legyenek a) -mal; a a =... ; ; b b =... ; ; c d b) -tal; a a =... b b = ; ;... c) 9-cel! a a =... b b =... c d c d c d 9 c d d c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; 9 ; 9 ; 9. Döntsük el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I vagy H betût a négyzetbe! À H Minden -mal osztható szám osztható -tal. À H Van olyan szám, amelyik -tal osztható, de -mal nem. À I Amelyik szám 9-cel osztható, az osztható -mal is. À H Nincs olyan szám, amelyik 9-cel és -tal is osztható.. Írjuk fel a 9,,, számkártyákból kirakható a) -vel osztható kétjegyû számokat;... 9; ; ; 9; ; háromjegyû számokat;... 9; 9; 9; ; 9; ; 9; 9; 9; ; 9;... négyjegyû számokat; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; b) -mal osztható kétjegyû számokat; 9; 9; ;... háromjegyû számokat;... 9; 9; 9; 9; 9; 9; ; ; ; ; ; c) -gyel osztható kétjegyû számokat; 9; 9; ;... háromjegyû számokat; 9; 9; 9; 9; 9; ; 9;... négyjegyû számokat!... 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9

13 . Készítsünk halmazábrát az alábbi halmazokkal, és írjuk bele az alaphalmaz elemeit! Vizsgáljuk meg, hogy lehetne-e a halmazokat másképpen rajzolni! Ha lehet, rajzoljuk le! a) Alaphalmaz = {; ; ; ; ; ; ; ; } A = {-vel osztható számok} Alaphalmaz B = {-gyel osztható számok} Alaphalmaz A B A B b) Alaphalmaz = {; ; ; ; ; ; 9; ; 9; ; } C = {-gyel osztható számok} Alaphalmaz D = {-cal osztható számok} Alaphalmaz C 9 9 D C 9 9 D c) Alaphalmaz = {; ; ; ; 9; ; ; ; ; } E = {-tel osztható számok} Alaphalmaz F = {-tel osztható számok} Alaphalmaz E E 9 F 9 F A fentiek alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I vagy H betût az állítások elõtti négyzetekbe! À H Ha egy szám osztható -vel, akkor osztható -gyel is. À I Ha egy szám osztható -gyel, akkor osztható -vel is. À H Ha egy szám nem osztható -cal, akkor nem osztható -gyel sem. À H Amelyik szám -tel osztható, az osztható -tel is. À I Minden -tel osztható szám osztható -tel.. Soroljuk fel mindazokat az osztókat, amelyekkel az alábbi számok a hiányzó számjegytõl függetlenül oszthatóak! ÂÒ:... ; ÄÔ:... ; ; ÀÐ :... ; ; ; ; ; ; ; ÁÑ:... ; ; Ç :... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

14 OSZTHATÓSÁG 9. Egy szám pontosan akkor osztható -gyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -gyel. I. Ha egy szám osztható -gyel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -gyel. II. Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -gyel, akkor a szám osztható -gyel. Az elõzõ minta alapján egészítsük ki a mondatokat! a) Egy szám pontosan akkor osztható -tel, ha... az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -tel.... I. Ha egy szám osztható -tel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -tel II. Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -tel, akkor a szám osztható -tel b) Egy szám pontosan akkor osztható -cal, ha... az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható... -cal. I. Ha egy szám osztható -cal, akkor... az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható -cal.... II. Ha egy szám utolsó három számjegyébõl álló szám osztható -cal, akkor... a szám osztható -cal.... c) Egy szám pontosan akkor osztható -tel, ha... az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható -tel.... I. Ha egy szám osztható -tel, akkor az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható -tel II. Ha egy szám utolsó három... számjegyébõl álló szám osztható -tel, akkor a szám osztható... -tel. d) Egy szám pontosan akkor osztható -mal, ha... a számjegyeinek összege osztható -mal.... I. Ha egy szám osztható -mal, akkor... a számjegyeinek összege osztható -mal.... II. Ha egy szám számjegyeinek összege osztható -mal, akkor... a szám osztható -mal.... e) Egy szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha... a számjegyeinek összege osztható 9-cel.... I. Ha egy szám... számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel.... Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyeinek összege osztható 9-cel. II

15 Prímszámok, összetett számok. Az eratoszthenészi szita segítségével keressük meg a és közötti prímszámokat! Pótoljuk a hiányzó számokat úgy, hogy az adott számok prímtényezõs felbontását kapjuk! 9 =... =... =.... Végezzük el az adott számok törzstényezõs (prímtényezõs) felbontását! = = = =

16 OSZTHATÓSÁG Az adott számok törzstényezõs felbontása segítségével állapítsuk meg, hogy hányszorosa a a) -nek a =... b) -nak a d) -nak a... c) -nek a szöröse -szorosa = -szerese... =... -szerese = -szerese = -szerese... =... -szerese -szorosa = -... =... -szerese = -szöröse = -szerese.... A számok prímtényezõs felbontása segítségével írjuk fel az összes osztójukat prímtényezõs szorzat alakban! Az osztók elõállítása Minden számnak osztója A prímszám osztók ; ; ; ; ; ; prímtényezõ szorzata ; ; ; ; ; ; ; ; prímtényezõ szorzata ; prímtényezõ szorzata ; ; ; ; ; ; ; prímtényezõ szorzata Osztók száma összesen. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I (igaz) vagy H (hamis) betût az állítások elõtti négyzetbe! À H Van két olyan prímszám, amelyek szorzata is prím. À H Minden prímszám páratlan. À I Van olyan prímszám, amelyiknél a -vel nagyobb szám is prím. À H Nincs olyan prímszám, amelyiknél a -mal nagyobb szám is prím.

17 A legnagyobb közös osztó. Kössük össze azokat kék és szürke alapon lévõ prímtényezõs szorzatokat, amelyeknek van -nél nagyobb közös osztójuk!. Kössük össze azokat a prímtényezõs szorzatokat és számokat, amelyeknek nincs -nél nagyobb közös osztójuk (relatív prímek)! 9. Keressük meg a és a összes osztóit, és írjuk be a halmazábrába! A és a közös osztói:... ; ; ; ; ; A és a legnagyobb közös osztója:... osztói 9 osztói. Bontsuk prímtényezõk szorzatára az adott számokat! = = 9 = = Határozzuk meg a prímtényezõs felbontás alapján az adott számok legnagyobb közös osztóját! (; ) = =... (; ) =... (; ) = =... (; ) =... Egyszerûsítsük a következõ törteket! = =... = 9 = 9... = = 9 = 9... nem egyszerûsíthetõ...

18 OSZTHATÓSÁG. Állapítsuk meg az adott számok legnagyobb közös osztóját, és egyszerûsítsük a törteket! a) (; ) =... b) c) 9 =... =... = =... =... =... 9 =... nem egyszerûsíthetõ (; 9) =... = 9... nem egyszerûsíthetõ (; ) =... =... nem egyszerûsíthetõ Ha két szám prímtényezõs felbontásában nincs közös prímtényezõ, akkor a két szám legnagyobb közös osztója... Ezeket a számpárokat relatív prím... számoknak nevezzük. Ha egy tört számlálója és nevezõje relatív prím, akkor a tört tovább nem... egyszerûsíthetõ.. Színezzük azonos színûre azokat a számpárokat, amelyeknek ugyanannyi a legnagyobb közös osztójuk! *. A törtek egyszerûsítéséhez (különösen nagy számok esetén) más módszereket is használhatunk. 9; ; ; ; 9; ; 9 = (9; ) = = (; ) = = = = (; ) = 9 = (9; ) = = = = (; ) = = (; ) = = = a) A számláló és a nevezõ legnagyobb közös osztójával ezek összege is osztható. Például egyszerûsítsük a törtet! Adjuk össze a számlálót és a nevezõt! + =. Ha a tört egyszerûsíthetõ, akkor a valamelyik osztójával lehet egyszerûsíteni. osztói: ; ; ; ; ; ; ; ;. Mivel a számláló és a nevezõ végzõdése nem és nem, ezért a és a osztókat vizsgáljuk. Közülük a nagyobb a. A = 9 és a =, ezért -gyel lehet egyszerûsíteni: 9 9 = =.

19 Egyszerûsítsük a következõ törteket! Ha tudjuk, alkalmazzuk a fenti módszert! = =... 9 = = 9... = =... b) Ha egy tört egyszerûsíthetõ egy számmal, akkor a számláló és a nevezõ különbsége is osztható azzal a számmal. Például egyszerûsítsük a törtet! 9 = =... Vonjuk ki a nagyobb számból a kisebbet! µ 9 =. A és a 9 közös osztója a különbségüknek is osztója. Ha a tört egyszerûsíthetõ, akkor a valamelyik osztójával lehet egyszerûsíteni. A osztói: ; ; ;, ; 9; ; ;. A nem osztója a 9-nek, de a osztója a számlálónak és a nevezõnek is, ezért -cal lehet egyszerûsíteni. 9 = = =. Egyszerûsítsük a következõ törteket! µ = = 9 µ 9 =... = µ = c) Megkereshetjük a számláló és a nevezõ közös prímtényezõit egyszerre is. Például egyszerûsítsük a 9 törtet! Leírjuk a számokat, és megkeressük a legkisebb közös prímszámot, majd a következõt, míg a kapott hányadosok legnagyobb közös osztója nem lesz (relatív prímek lesznek)! 9 9 relatív prímek A tört = -vel egyszerûsíthetõ. 9 = =. Egyszerûsítsük a következõ törteket! = =... = =... = =

20 OSZTHATÓSÁG A legkisebb közös többszörös. Gabi minden harmadik ütemre tapsol, Éva pedig minden negyedik ütemre dobol. Hányadik ütemre hallatszik együtt a taps és a dob? Karikázzuk be a táblázatban azt az ütemet, amikor Gabi tapsol, és Éva dobol! Gabi 9 9 Éva 9 9 Egyszerre hallatszik a taps és a dob a.... és a. ütemekben. Elõször hallatszik együtt a.... ütemben. A és a legkisebb közös többszöröse: [; ] =..... Andris kéthetenként, Balázs háromhetenként jár szerdán a könyvtárba. Ezen a héten együtt mentek. Hány hét múlva mehetnek ismét együtt, ha megtartják ezt az ütemezést? Andris...,,...,,...,...,... hét múlva megy ismét könyvtárba. Balázs...,, 9,...,...,...,... hét múlva megy ismét könyvtárba. Egyszerre mennek...,...,... hét múlva. Legközelebb... hét múlva mennek egyszerre. A és a legkisebb közös többszöröse: [; ] =..... Keressük meg az adott számok legkisebb közös többszörösét! a) =... =... [; ] = =... b) =... =... [; ] = =.... Keressük meg a és a legkisebb közös többszörösét! [; ] = =... Végezzük el a törtek összeadását és kivonását a lehetséges legkisebb közös nevezõvel! a) + = 9 + =... b) µ = µ =.... Végezzük el a kijelölt mûveleteket a lehetséges legkisebb közös nevezõvel! a) µ + = µ 9 + = = =... b) µ + = µ + =... 9 c) µ + = µ + = 9... d) µ + = µ + =...

21 . Írjuk a színes téglalapokba a két szám legkisebb közös többszörösének prímtényezõs szorzat alakját! Kössük össze azokat a különbözõ színû téglalapokat, amelyekben a számok legkisebb közös többszöröse egyenlõ! [; ] [; ] [; ] [; ] [; ] [; ]. Határozzuk meg! a) (; ) = ( =, = )... [; ] = =... (; ) [; ] = 9... = 9... b) (; ) = ( =, = )... [; ] = = 9... (; ) [; ] =... =... c) (; ) = ( =, =... [; ] = =... (; ) [; ] =... =... = = = = = = = = = Írjuk le az észrevételeinket! Két... szám szorzata egyenlõ a legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzatával..... Egy cégnél a tervezési osztály vezetõje átlagban havi km-t, a kivitelezési részlegvezetõ havi km-t, a cégvezetõ havi km-t tesz meg az autójával. Hány hónap múlva viszik az autóikat újra egyszerre a szervizbe, ha azokat kilométerenként kötelezõ szervizelni, és most éppen mindhármuk autója a szervizben van? A tervezési osztályvezetõ a.;.;.;.;... hónapban, a kivitelezési részlegvezetõ az.;.;.;.;.;.;.;.;... hónapban, a cégvezetõ pedig a.;.;.;.;.;... hónapban szervizel. [; ; ] = A. hónapban viszik újra együtt a szervizbe az autójukat. Válasz:...

22 OSZTHATÓSÁG Vegyes feladatok. Keressük meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelyik a pozitív egyjegyû számok mindegyikével osztható! Ez a szám osztható -vel, -mal, = -vel, -tel, = -mal, -tel, = -vel és 9 = -mal. Ezért a szám prímtényezõs alakja: =. Tehát a legkisebb olyan szám, amelyik az egyjegyû pozitív számok mindegyikével osztható, a.. Milyen számjegyeket írhatunk a betûk helyére, hogy az x y szám osztható legyen a) -tal; b) -tel; c) -tal; d) -tel? x y ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; x y x y x y ; ; ; ;. Írjuk be a négyzetekbe a ; ; ;... ; 9 számokat úgy, hogy a beírt számok összege minden sorban osztható legyen -tel! 9 Mivel mindegyik sorban a számjegyek összege osztható -tel, olyan összeget kell felírni, amely -ra vagy -re végzõdik. Például: Ezek alapján már elvégezhetõ a számpiramis kitöltése. *. Egy -nál kisebb létszámú iskolában a felsõ tagozatosok száma eggyel több, mint az alsó tagozatosoké. Az iskolai ünnepségen úgy akarják leültetni a gyerekeket, hogy minden sorban ugyanannyian legyenek. Ha négy, öt vagy hat sorba ültetnék õket, akkor kimaradna gyerek. Ezért hét sorba ültetik a tanulókat, mert így nem marad ki egy sem. Hány alsós és hány felsõs gyerek jár ebbe az iskolába? Ha a kimaradó gyereket nem vesszük figyelembe, akkor az iskola létszáma osztható -gyel, -tel és -tal. Ezért keressük a, az és a legkisebb közös többszörösét. =, =, [; ; ] = =. Ezután megnézzük, hogy többszöröseihez -et adva, melyik osztható -tel. A nem, a, nem, a nem, a nem, a igen. = +. alsós és felsõs gyerek jár ebbe az iskolába. Válasz:...

23 *. Határozzuk meg a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyik -tel osztva, -tel osztva, 9-cel osztva pedig maradékot ad! Ha a keresett számhoz -et adnánk, akkor az így kapott számnak osztója lenne az, a és a 9 is. Megkeressük az, és 9 legkisebb közös többszörösét. [; ; 9] =, a számunk ennél -gyel kisebb: µ =. Ellenõrzés: = + ; = + ; = 9+. Tehát a feltételeknek megfelelõ legkisebb szám a. *. Leírtuk a számokat -tõl -ig.,,,,,,,, 9,,,,,,,,,, 9, a) Válasszunk ki a felsorolt számok közül egy -nál nagyobb prímszámot! Írjuk be a táblázat elsõ oszlopába! Szorozzuk össze a kiválasztott szám szomszédait! Melyik számmal osztható biztosan a szorzat? a prímszám a kisebb szomszéd a nagyobb szomszéd a két szomszédos szám szorzata a szorzat prímtényezõs felbontása 9 9 Mely számokkal osztható biztosan egy -nál nagyobb prímszám két szomszédjának szorzata?... = -gyel.... b) Fel lehet-e osztani a felsorolt számokat két csoportra úgy, hogy a két csoportban lévõ számok a) összege; b) szorzata egyenlõ legyen? Ha igen, írjuk le a két csoportban lévõ számokat! a) = = = = b) Mivel az adott számok között vannak olyan prímszámok, amelyek csak az egyik csoportban fordulhatnak elõ, így nem érhetõ el, hogy a két csoportban a számok szorzata egyenlõ legyen.

24 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?. HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Mi a kérdés?. Sári és Nóra matricákat gyûjtenek. Sárinak, Nórának matricája van. Egészítsük ki a hiányos kérdéseket úgy, hogy ugyanaz legyen rájuk a válasz, mint az eredeti kérdésre! a) Hányszorosa Nóra matricáinak száma Sári matricái számának? Mennyivel kell megszorozni Sári... matricáinak számát, hogy Nóra... matricáinak számát kapjuk? Mennyivel kell... elosztani Nóra matricáinak számát, hogy Sári matricáinak számát kapjuk? Sári... matricáinak számát hányszorosára kell növelni, hogy Nóra... matricáinak számát kapjuk? b) Hányszorosa Sári matricái számának kettejük összes matricáinak száma? Mennyivel kell megszorozni... Sári matricáinak számát, hogy... Sári és Nóra matricáinak számát kapjuk? Mennyivel kell... szorozni Sári matricáinak számát, hogy kettejük összes matricáinak számát kapjuk? Sári... matricáinak számát hányszorosára kell növelni, hogy kettejük összes... matricáinak számát kapjuk? c) Mennyivel több Nóra matricáinak száma Sári matricáinak számánál? Mennyivel kell megnövelni... Sári matricáinak számát, hogy... Nóra matricáinak számát kapjuk? Mennyivel kell növelni... Sára matricáinak számát, hogy Nóra matricáinak számát kapjuk? Nóra... matricáinak számát mennyivel kell csökkenteni, hogy Sári... matricáinak számát kapjuk?. Mikor éves voltam, édesapám éves volt. Két év múlva, mikor édesanyám volt éves, megszületett az öcsém. Válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a) Hány évvel vagyok idõsebb az öcsémnél?... évvel. b) Amikor az öcsém született, az édesanyám... éves volt, én... éves voltam. Ekkor az én életkoromnak az édesanyám életkora a... háromszorosa volt. c) Mennyi volt a családtagok életkorának összege µ az öcsém születésekor; = µ az öcsém éves korában? + = + =.... A szülõi munkaközösség kirándulást szervez egy.-os osztálynak fõre. A kiadások tervezésekor - reggelit, ebédet és vacsorát számolnak. Egy reggeli Ft; egy ebéd Ft; egy vacsora pedig Ft. Az útiköltség oda-vissza fejenként Ft. Tegyünk fel kérdéseket a feladattal kapcsolatban, és válaszoljunk! Például: a) Mennyibe kerül az étkezés és az útiköltség - fõre? ( + + ) + = + = + = 9 Ft. fõ részére az útiköltség és az étkezés 9 Ft-ba kerül.

25 b) Mennyi a fõ étkezési és útiköltsége? 9 = Ft. Az útiköltség és az étkezés Ft a fõ részére.. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza centiméterben mérve egész szám, szorzatuk pedig. Készítsünk rajzot! A következõ kérdések közül melyikre tudunk A) számolás nélkül válaszolni; b), d)... B) számolás után válaszolni?... a), c) a) Mekkora lehet a téglatest felszíne? b) Mekkora lehet a téglatest térfogata? c) Mennyi lehet a téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza? d) Melyik egész számnál biztosan kisebb a téglatest leghosszabb éle? Válaszoljunk a kérdésekre! a)... A = = cm.... A = ( ) = cm.... A = + = cm.... b) V = V = V = cm c) Az egy csúcsba futó élek hossza:.... test: cm; cm; cm. test: cm; cm; 9 cm. test: cm; cm; cm d) cm-nél biztosan kisebb a téglatest leghosszabb éle..... Egy téglatest egy csúcsába futó éleinek hossza három egymást követõ egész szám. A téglatest élei hosszának összege cm. Karikázzuk be annak a kérdésnek a betûjelét, amelyikre számolás nélkül tudunk válaszolni! Válaszoljunk a kérdésekre! a) Osztható-e -mal az egy csúcsba futó három él hosszának összege? b) Az egy csúcsba futó három él hosszának összege páros vagy páratlan szám? c) Mennyi a téglatest egy-egy élének hossza? a) =. Osztható -mal az egy csúcsba futó három él hosszának összege. b) Páratlan szám az egy csúcsba futó három él hosszának összege. c) A téglatest éleinek hossza: cm; cm; cm.

26 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Vizsgáljuk meg az adatokat!. Magdit elküldte az édesanyja a m távolságra lévõ boltba, ahol Ft-ot fizetett. Hazavitte az árut, majd elment a méterre lakó barátnõjéhez, akivel a fagyizóban mindketten kétgombócos fagyit vettek, fejenként Ft-ért. Mennyit költött Magdi a boltban és a fagyizóban összesen? Ha van a szövegben olyan adat, amely a kérdés megválaszolásához felesleges, azt húzzuk át! A kérdés megválaszolásához szükséges adatok: Ft; Ft.... Megoldás:... Ft + Ft = Ft.... Magdi Ft-ot költött a boltban és a fagyizóban összesen. Válasz:.... Egy hangyabolyból hangya szétszéledt. Négy hangya a teraszon talált morzsát. Mind a négy hangya legalább, legfeljebb morzsát cipelt el. Hány morzsát vitt el az a hangya, amelyiknek a legkevesebb jutott a morzsából, ha a négy közül két hangya - morzsát cipelt el? Van-e felesleges adat? Ha van, húzzuk át! µ = morzsa maradt két hangyának. A két hangya egyike sem vihetett morzsát sem és morzsát sem. Így a = + felbontásból következik, hogy a legkevesebb morzsát cipelõ hangya morzsát vitt.. Egy gyümölcsöskertben szilvafa, almafa, körtefa és sárgabarackfa van. A tulajdonos minden évben lejegyezte a leszedett gyümölcs tömegét. A fia diagramot készített az édesapja feljegyzései alapján. a) Hány kilogramm alma termett a gazdánál ebben a három évben összesen? = 9 kg. b) Melyik évben termett több sárgabarack, mint alma?... -ben. 9 tömeg (kg) alma sárgabarack. Zsolt 9 matricája Ft-nál kevesebbe került. ugyanilyen matrica Ft-nál többe került volna. Mennyi az ára egy ilyen matricának? Mennyi alma és mennyi sárgabarack termett ekkor?... Alma:... kg, sárgabarack: kg. c) A három év alatt alma vagy sárgabarack termett több? Sárgabarack: + + = kg.... év Almából... termett több ebben a három évben. 9 matrica ára < Ft. Mivel matrica ára > Ft, ezért matrica ára > Ft. Ha matrica Ft lenne, akkor 9 matrica 9 = Ft lenne, ami több, mint Ft. Egy matrica ára Ft. Válasz:...

27 Az itt következõ feladatokban nem szerepelnek számok. A megoldás során a hiányzó számokat jelekkel helyettesítjük. Határozzuk meg, hogy melyik jel melyik mennyiséget jelöli! Adjunk meg valós értékeket, és számoljunk! Válaszoljunk a kérdésekre!. Csaba egy közepes pizzát rendelt...-féle ÀÐ rátéttel. Egy közepes pizza alapára... ÄÔ forint. Mennyit fizetett Csaba a pizzáért, ha mindegyikféle rátét... Ç forintba kerül? A megoldáskor így számolunk: ÂÒ = ÄÔ + (ÀÐ Ç ) A jelek jelentése: Valós adatok megadása: ÄÔ : közepes pizza alapára Ft ÀÐ :... rátétek száma... Ft Ç :... rátét ára... Ft ÂÒ :... a pizza ára a rátétekkel... Ft Válasz: Miklós vonalas telefonon hívta fel az egyik unokatestvérét. A távolsági hívás kapcsolási díja... ÂÒ forint, a beszélgetés percdíja pedig... ÄÔ forint. Mennyibe kerül a hívása, ha... ÀÐ percig beszélt? A következõ egyenlõségek közül keretezzük be azt, amelyik leírja a feladat megoldását! ÂÒ = ÄÔ ÀÐ µ Ç ; ÂÒ = Ç µ ÄÔ ÀÐ; Ç = ÄÔ ÀÐ µ ÂÒ; Ç = ÂÒ + ÄÔ ÀÐ A jelek jelentése: ÂÒ :... kapcsolási díj ÄÔ :... percdíj ÀÐ : beszélgetés ideje... Ç :... a beszélgetés költsége Valós adatok megadása:... Ft... Ft... Ft... Ft Válasz: Az egyik sportszerboltban egy hétig akciósan árulták a gördeszkát és a térdvédõt. A gördeszkát ÂÒ forint, a térdvédõt pedig ÄÔ forint kedvezménnyel adták. Egy hét alatt ÀÐ darab gördeszkát és Ç darab térdvédõt adtak el. Mennyi árkedvezményt adtak a vásárlóknak ezen a héten a két áruért? Írjuk le jelekkel a megoldást kifejezõ egyenlõséget, ha az összes árkedvezmény ÁÑ forint volt! A jelek jelentése: ÂÒ : egy gördeszka árkedvezménye... ÄÔ :... egy térdvédõ árkedvezménye ÀÐ :... az eladott gördeszkák száma Ç :... az eladott térdvédõk száma ÁÑ : Az összesen adott árkedvezmény ezen a héten. Így számoltunk:... ÁÑ = ÀÐ ÂÒ + Ç ÄÔ.

28 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Következtessünk visszafelé!. Gondoltam egy kétjegyû számot. Hozzáadtam -öt, megszoroztam -szal, elvettem belõle -at, elosztottam -szal, majd felcseréltem a számjegyeket, így -at kaptam. Melyik számra gondoltam? + µ µ + Próbáljuk ki más gondolt számmal is! + µ 9 Meg tudjuk-e mondani a kapott számból, hogy mi a gondolt szám? Ha igen, bûvészkedjünk!. Gondoltam egy számot, megszoroztam -gyel, hozzáadtam -ot, elosztottam -vel, kivontam belõle -öt, így -et kaptam. + µ x Melyik számra gondoltam? µ +... Ellenõrzés: = + = = µ =... Válasz: A -re gondoltam..... Az óra végét jelzõ kicsöngetéskor a tanterembõl kiment a tanulók fele és még gyerek, majd a maradék fele és még gyerek. Ezután már csak a két hetes maradt az osztályban. Hány gyerek jár ebbe az osztályba, ha senki sem hiányzott? µ µ x Ellenõrzés: + + = µ = = µ = gyerek jár az osztályba. Válasz:.... A diák színjátszók fesztiválját az idén naposra tervezik. Az elsõ napon, a második napon iskolai társulat mutatkozik be. A harmadik napon a maradék társulatok harmada lép színpadra. Így a negyedik napra elõadás marad. Hány iskolai társulat lép fel a fesztiválon összesen?. nap elõadás. nap elõadás. nap elõadás. nap elõadás;. nap elõadás;. nap elõadás;. nap elõadás = társulat. Ellenõrzés: Az. nap társulat, a. nap társulat lép fel. Marad µ ( + ) = 9 társulat. A. nap 9 = társulat lép fel. A. napra 9 µ = társulat elõadása marad. Összesen iskolai társulat lép fel a fesztiválon. Válasz:...

29 . Erzsinek verset kellett tanulnia. Csütörtökön megtanulta az összes versszak egyharmadát, pénteken a maradék versszakok felét, így szombatra és vasárnapra már csak versszak maradt. Hány versszakos volt a vers? Hány versszakot tanult meg csütörtökön? Ennyi verset kellett megtanulni: Csütörtökön megtanulta: maradt: Pénteken megtanulta: versszak maradt: Pénteken és csütörtökön is versszakot tanult meg; ++= versszakból áll a vers. Ellenõrzés: Csütörtökön megtanult = versszakot, maradt versszak. Pénteken megtanult = versszakot, maradt versszak. A vers versszakos és csütörtökön versszakot tanult meg. Válasz:... *. Egy titkárnõnek hétfõn reggel kiadta a fõnöke, hogy a héten kinek kell levelet küldenie. A titkárnõ hétfõn és kedden megírta a leveleket. Szerdán feladta a levelek felét és még egy fél levelet. Csütörtökön feladta a maradék levelek felét és még egy fél levelet. Pénteken feladta a maradék felét és még egy fél levelet, így végzett a munkájával. Hány levelet kellett összesen feladnia a héten? A pénteken feladott levelek: A fél levél + a maradék levelek fele. Így péntekre maradt levél. A csütörtökön feladott levelek: A fél levél és a péntekre maradt levél + a maradék levelek fele. Így csütörtökre maradt levél. A szerdán feladott levelek: A fél levél és a csütörtökre maradt levél + a levelek fele. Összesen: levél. Ellenõrizzük a megoldást! Szerda Csütörtök Péntek a feladott levelek száma a megmaradt levelek száma A titkárnõnek összesen levelet kellett feladnia. Válasz:... 9

30 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Készítsünk ábrát!. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H), ha tudjuk, hogy + =! A) À I A héttel több, mint az. B) À I A -hez -öt kell adni, hogy legyen. C) À I A -nél héttel kisebb szám az. D) À I Az -nél -tel nagyobb szám a. E) À H A hétszerese az -nek.. Készítsünk ábrát, és az alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H)! A varázslók földjén a két legkisebb pénzegység: az alig és a bagó. bagó aligot ér. A) À I Egy bagó hatszorosa az alignak. B) À I bagó bagó meg alig az alig. C) À I Egy bagó hatodrésze alig. D) À I Egy alig hatszorosa bagó. alig E) À H Egy bagó -tal nagyobb egy alignál.. Készítsünk ábrát, és az alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H)! A vufle -tel nagyobb a vaflénál. A) À I A vufle -tel több, mint a vafle. B) À I vufle A -hez vaflét kell adni, hogy vufle legyen. C) À I A vufléból -et elvéve vaflét kapunk. D) À I A vaflénál -tel nagyobb a vufle. vafle E) À H A vufle hétszerese a vaflénak.. Albert, Bálint és Csaba megszámolták a zsebpénzüket. Albertnek -ször annyi, Bálintnak -szor annyi pénze volt, mint Csabának. Hármójuknak együtt Ft-juk volt. Hány forintjuk volt külön-külön? Készítsünk ábrát! Albert: Bálint: Csaba: Ellenõrzés: + + = Válasz:... Csabának Ft-ja, Bálintnak Ft-ja, Albertnek Ft-ja volt.... Ft 9 = Csaba:, Bálint:, Albert:. Lacinak több pénze van, mint Pistának. Ha mindketten elköltenek a pénzükbõl annyit, mint Pista pénzének a fele, akkor Lacinak háromszor annyi pénze lesz, mint Pistának. Eredetileg hányszorosa Laci pénze Pista pénzének? Az elköltés után Lacinak háromszor annyi pénze marad, mint Pistának. Ábrázolva: Laci: Pista: A maradék pénz Pista pénzének fele, így annyit költöttek el, amennyi Pistának maradt. Eredetileg a pénzük: Laci: Pista: Eredetileg Laci pénze Pista pénzének a kétszerese. Válasz:...

31 . Írjunk szöveges feladatot a rajzokhoz! Oldjuk is meg, és válaszoljunk a kérdésre! a) b)? Anna: Bea: 9 Ádám: Bence:? Feladat: Feladat: Válasz: Válasz: Hány forinttal indult Marci az írószerboltba, ha vett a testvérének egy tollat Ft-ért, magának egy radírt Ft-ért, és még megmaradt a pénzének az része? + Ft + = = rész + = Ellenõrzés: µ = és = Marci Ft-tal indult az írószerboltba. Válasz:.... Dóri délután kihegyezett a színes ceruzáiból -at, majd a még ki nem hegyezettek harmadát, ezután még a maradék felét, az utolsó hármat azonban csak az edzés után tudja befejezni. Hány színes ceruzája van Dórinak? Készítsünk ábrát! ceruza harmad Rajzoljuk le egy szakasszal az összes ceruzát! A rajzról leolvasható, hogy Dórinak összesen színes ceruzája van. fele Ellenõrzés: Kihegyezett -at, maradt µ = 9, majd ennek a harmadát, 9 = -at. Maradt 9 µ = hegyezetlen ceruza. Ennek a fele =, maradt µ = ceruza hegyezése edzés utánra. Dórinak színes ceruzája van. Válasz:...

32 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Tartsunk egyensúlyt!. Gabi egy kétkarú mérleggel méreget otthon. A mérleg akkor kerül egyensúlyba, ha az egyik serpenyõbe poharat és dkg tömeget, a másik serpenyõbe pedig egy tálat tesz. Ha a tálba beleteszi a tolltartóját, akkor a pohár mellett dkg tömegnek kell lennie, hogy a mérleg egyensúlyban legyen. Hány dekagramm Gabi tolltartója? Rajzoljuk le a mérleget a serpenyõbe tett tömegekkel!. eset. eset Megoldás: dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg Gabi tolltartója dkg tömegû. Válasz:.... Az ábrán látható mérleg egyensúlyban van, a zsákok tömege egyenlõ. Hány dekagramm tömegû egy zsák? Rajzoljunk! dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg dkg Ellenõrzés: Határozzuk meg minden esetben, hogy hány dekagramm van összesen a serpenyõkben!... dkg... dkg... dkg... dkg... dkg... dkg Válasz: Egy zsák tömege dkg..... Az ábrán látható mérleg egyensúlyban van. A téglák egyenlõ tömegûek. Hány kilogramm tömegû tégla? Rajzoljunk! ( : egész tégla; : fél tégla.) g g g g kg kg kg g kg kg kg g g Ellenõrzés: és fél... kg és fél... kg és fél... kg és fél... kg fél... kg fél... kg Válasz:... Egy tégla tömege kg. *. Kelemen bácsi láda paradicsomot vitt ki a piacra. Miután eladott kg-ot, teli láda és kg paradicsom maradt. Hány kilogramm paradicsom volt egy ládában, ha mindegyikbe ugyanannyit tett? láda kg = kg paradicsom van egy ládában. Ellenõrzés: Maradt láda + kg, azaz + = kg. Eladott kg-ot. + = kg paradicsom volt és is. A ládákban kg paradicsom volt külön-külön. kg kg + kg = kg maradt Válasz:...

33 . A mérleg egyensúlyban van. Mennyi doboz tömege? kg kg kg kg kg kg kg kg Gábor megoldása: Marika megoldása: + = + kg kg kg kg kg kg kg kg + kg kg = + kg kg kg kg kg kg = + kg kg kg kg + kg kg = kg kg kg kg kg kg = kg kg kg kg = kg kg kg kg = kg kg = kg kg Ki hibázott? Javítsuk ki! Gábor hibázott.. Egy iskolai könyvtárban az egyik polcra ugyanolyan matematikakönyv és egyforma fizikakönyv fér el. Egy másik elrendezésben ugyanezekbõl a könyvekbõl fizika- és matematikakönyv tölti meg a polcot. Hány matematikakönyvvel lehet telerakni ezt a polcot? Rajzoljunk!. elrendezés:. elrendezés: m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m f f f f f f f f f f f f f f f f f f Ha leveszünk a két elrendezésben felrakott könyvekbõl fizika- és matematikakönyvet, akkor az. elrendezésben matematika-, a. elrendezésben fizikakönyv marad. Így fizikakönyv helyén matematikakönyv fér el. Az. elrendezésben a fizikakönyv helyére matematikakönyv tehetõ. Ellenõrzés:. elrendezés: m + f = m + m = m,. elrendezés: m + f = m + m = m. ugyanolyan matematikakönyv rakható a polcra. Válasz:... *. A gazdák a vásárban cserélgetik az áruikat. Gáspár gazda kisbárányt ad kakasért és jércéért, majd kakast cserél kisbárányra és jércére. Hány jércét ér kisbárány? (.) kisbárány = kakas + jérce (.) kisbárány + jérce = kakas Az (.) felhasználásával a (.): kakas + jérce + jérce = kakas, amibõl kakas = jérce. Ezt visszahelyettesítve az (.)-be: kisbárány = jérce + jérce, tehát kisbárány = jérce. Ellenõrzés: kisbárány + jérce = jérce, és kakas = jérce. kisbárány jércét ér. Válasz:...

34 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Ellenõrizzünk!. Az alábbi mûveletek eredményei közül melyik nem páros? Próbáljuk eldönteni a mûvelet elvégzése nélkül! Karikázzuk be a betûjelét! Indokoljunk! A) µ 9 B) C) 9 D) 9 E) A) Két páratlan szám különbsége páros. B) Két páratlan szám összege páros, tehát páros, két páros szám összege pedig páros. C) Két páratlan szám szorzata páratlan. D) Egy páros és egy páratlan szám szorzata páros. E) = páros + páros + páros + páratlan, tehát páratlan.. Az alábbi mûveletek eredményei közül melyik páros? Próbáljuk eldönteni a mûvelet elvégzése nélkül! Karikázzuk be a betûjelét! Indokoljunk! A) B) 9 µ C) 9 D) E) A) Három páratlan szám összege páratlan. B) Két páros szám különbsége páros. C) Egy páros és egy páratlan szám szorzata páros. D) + + = páros + páros + páros, tehát páros. E) = páros + páros + páratlan + páros, tehát páratlan.. Mennyi a ( ) mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) 9 B) 99 C) 9 D) 9 E) = 9 9 = 9 = 9 = 9. Mennyi a ( ) mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) B) C) 9 D) 9 E) = 9 9 = 9 = 9 = 9. Mennyi a ( ) mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) B) C) D) E) = = = =

35 . Egy számnak és a szám felének az összege. Páros vagy páratlan a szám háromszorosa? A szám: A szám fele: A számnak és a felének az összege a szám másfélszerese. A szám másfélszeresének a kétszerese a szám háromszorosa. Ezért =, ami páros szám. Ellenõrzés: A szám háromszorosa, így a szám, a fele ; + =. Válasz: A szám háromszorosa páros szám..... A hétfejû sárkányoknak hét fejük és három farkuk, a háromfejû sárkányoknak három fejük és hét farkuk van. Páros vagy páratlan számú farka van három hétfejû és hét háromfejû sárkánynak összesen? Két páratlan szám szorzata páratlan, ezek összege pedig páros. Ellenõrzés: hétfejû sárkánynak = 9 farka, háromfejû sárkánynak = 9 farka van =. hétfejû és háromfejû sárkánynak összesen páros számú farka van. Válasz:.... Egy szobában és lábú székek vannak. Minden széken ül valaki, így fejet és lábat számolhatunk össze. Hány háromlábú szék van a szobában? Ha minden széken ül valaki, akkor minden székhez vagy vagy láb tartozik. Ha minden székhez láb tartozna, akkor akkor = láb lenne. Mivel láb van, ezért székhez láb tartozik. Így négylábú és háromlábú szék van. Ellenõrzés: A négylábú széknek, a háromlábú széknek, a embernek lába van. + + =. A szobában háromlábú szék van. Válasz: Tibi egy tollat és egy tolltartót vett 9 Ft-ért. A tolltartó Ft-tal volt drágább, mint a toll. Mennyibe kerül a toll és a tolltartó külön-külön? A toll ára: Ft 9 Ft A tolltartó ára: Ha az összegbõl elvesszük a Ft-ot, amennyivel drágább a tolltartó, akkor a toll árának a kétszeresét kapjuk: 9 µ =, =. A toll ára Ft, a tolltartó ára + = Ft. Ellenõrzés: + = 9 Ft az összár. µ = Ft az árak közti különbség. Válasz:... A toll Ft, a tolltartó Ft.

36 A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Az egész számok (ismétlés). Jelöljük a számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek a) abszolút értéke nagyobb, mint ; µ µ + + b) ellentettje kisebb, mint ; µ µ + + c) ellentettje µ-nél nagyobb és +9-nél kisebb! µ µ + +. A µ; ; ; µ; +; ; +; 9; µ számok közül soroljuk fel azokat, amelyek megfelelnek a feltételnek! a) nemnegatívak:... ; ; +; ; +; 9 b) abszolút értékük kisebb -nél: ; µ; ; +; 9... c) ellentettjük nagyobb -nél: µ; µ.... A µ; µ és µ számok közül írjuk le azt, amelyik a) a legkisebb: µ... ; b) a legnagyobb: µ... ; c) ellentettje a legkisebb: µ... ; d) ellentettje a legnagyobb: µ... ; e) abszolút értéke a legkisebb: µ... ; f) abszolút értéke a legnagyobb: µ...!. Rendezzük növekvõ sorrendbe az adott számokat! µ + ; µ(µ); µ; µ(+); µ ; µ µ < µ < µ(+) < µ + < µ < µ(µ).... Két különbözõ egész szám abszolút értékének összege. A két egész szám a számegyenesen egyenlõ távolságra van a nullától. a) Ábrázoljuk a két számot a számegyenesen! µ b) Milyen távolságra vannak egymástól a számegyenesen? egységnyi távolságra vannak.... c) Mennyi a két szám összege? µ + (+) =.... Adottak a következõ számok: µ9; ; µ; ; ; µ; ; µ. a) Írjuk le a számokat csökkenõ sorrendbe! > > > > µ > µ > µ > µ9... b) Írjuk le a számok ellentettjét! 9; µ; ; ; µ;, µ;... c) Írjuk az ellentetteket csökkenõ sorrendbe! 9 > > > > > µ > µ > µ...

37 Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés). Kössük össze az egyenlõket! µ µ µ µ µ (µ) µ + µ µ µ + (+) µ µ + (µ) µ µ µ (+) µ. A +, µ, µ, +9 számkártyákból válasszunk ki hármat (ahányféleképpen ezt meg tudjuk tenni), majd adjuk össze õket, és az összegbõl vegyük el a negyedik számot! + + ( µ ) + ( µ ) = µ µ µ ( + 9 ) =µ + + ( µ ) + ( + 9 ) = + + µ ( µ ) = ( µ ) + ( + 9 ) = µ 9 µ 9 µ ( µ ) = µ µ + ( µ ) + ( + 9 ) = µ µ µ ( + ) = µ 9. Pótoljuk a hiányzó elõjeleket és mûveleti jeleket, majd végezzük el a mûveleteket! ( À µ ) + ( À µ ) = (µ) µ (+) =... µ (µ) µ ( À + 9) = ( À µ ) + ( À µ 9) =... µ + + µ µ (+) = µ9... (+) À (+) = ( À ) µ (µ) =... (µ) + (µ) = ( À ) À. Rajzoljunk nyilakat az ábrába úgy, hogy a nyíl arra a mûveletre mutasson, amelynek az eredménye nagyobb! µ + (µ) + µ (µ) µ µ (µ) µ + + (µ) µ + (+) µ µ A legkisebb szám: µ + (µ) = µ... A legnagyobb szám: µ (µ) =.... Az egy virágsziromban lévõ számok összege a virág közepén lévõ szám. Írjuk be a szirmokba a hiányzó számokat! µ µ µ µ 9 µ µ µ µ µ µ 9 µ µ µ µ 9 µ ( µ ) = + µ ( + ) = µ ( µ µ ) ( µ ) =+ ( µ µ ) ( + ) = µ

38 A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. Írjunk kéttagú összegeket és különbségeket úgy, hogy az A halmazból választjuk az elsõ, a B halmazból pedig a második tagot! a) Írjuk le az összes lehetséges összeget, és számítsuk is ki! b) Írjuk le az összes lehetséges különbséget, és számítsuk is ki!. Írjuk a virágszirmokba a hiányzó számokat, ha a középen lévõ szám az egy sziromban lévõ két szám különbsége! a) A megadott szám a kisebbítendõ b) A megadott szám a kivonandó A µ9 (µ9) + (µ) = µ (µ) + (µ) = µ (+) + (µ) = µ9 (µ9) + (µ) = µ (µ) + (µ) = µ (+) + (µ) = + (µ9) + (µ9) = µ (µ) + (µ9) = µ (+) + (µ9) = µ (µ9) + (µ) = µ (µ) + (µ) = µ9 (+) + (µ) = + (µ9) µ (µ) = + (µ) µ (µ) = (+) µ (µ) = + (µ9) µ (µ) = + (µ) µ (µ) = µ (+) µ (µ) = + (µ9) µ (µ9) = + (µ) µ (µ9) = + (+) µ (µ9) = + (µ9) µ (µ) = + (µ) µ (µ) = µ (+) µ (µ) = + + µ B µ µ µ µ9 µ + µ + µ + µ µ µ9 + µ µ µ µ + + µ µ9 + + µ µ µ µ + + µ + µ + µ9 + µ9 µ µ µ9 + µ + µ ( µ ) µ ÀÀ = ( µ ) ÀÀ µ ( µ ) = ( µ ) ( µ + ) ÀÀ = ( µ ) ÀÀ µ ( + ) = ( µ ) ( µ + ) ÀÀ = ( µ ) ÀÀ µ ( + ) = ( µ ) ( µ + ) ÀÀ = ( + ) ÀÀ µ ( + ) = ( + ) ( µ µ ) ÀÀ = ( + ) ÀÀ µ ( µ ) = ( + ) ( µ 9 ) µ ÀÀ = ( + ) ÀÀ µ ( µ 9 ) = ( + )

39 Összevonás az egész számok körében. Írjuk le az összeadásokat röviden, majd számítsuk ki! a) (+) + (µ) + (+) = µ + =... b) (µ) + (µ9) + (µ) = µ µ 9 µ = µ... c) (µ) + (µ) + (+) =... µ µ + = µ µ. Írjuk le elõször összeadás alakban, majd röviden, és végezzük el az összevonást! a) (+) µ (+) µ (µ) =... (+) + (µ) + (+) = µ + = b) (µ) µ (µ9) µ (+) =... (µ) + (+9) + (µ) = µ + 9 µ = µ c) (µ) µ (+9) µ (µ) = (µ) + (µ9) + (+) = µ µ 9 + =... µ µ = µ 9 µ =µ µ µ 9 = µ µ + =. Írjuk le zárójel nélkül! Végezzük el az összevonásokat! a) (µ) µ (+) + (µ) =... µ µ µ = µ b) (+) + (µ) µ (µ) + (µ) =... µ + µ = c) (µ) µ (µ) + (µ) µ (+) = µ + µ µ = µ µ µ Döntsük el, hogy igaz-e az egyenlõség! Amelyik hibás, azt javítsuk ki! Végezzük el az összevonást! a) (+) µ (+) µ (µ) = + µ µ = b) (µ) + (µ) µ (+) = µ µ µ = µ c) (+9) µ (µ) µ (+) + (µ) = 9 + µ µ = µ Írjuk csökkenõ sorba az eredményeket! µ µ = µ µ µ = µ µ + = µ µ = µ µ = µ µ = µ > µ > µ > µ µ... 9

40 A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. Írjuk a mûveletsorok közé a megfelelõ relációjelet! a) µ + µ b) µ µ 9 µ c) µ µ (µ + ) d) µ ( µ ) À < À = À < À > µ + µ + 9 µ µ9 µ (µ µ ) µ µ. Írjuk a téglalapokba a megfelelõ számokat! a) µ9 µ µ + µ µ µ + b) + µ µ µ9 µ + µ µ µ c) µ µ9 µ µ µ µ µ µ µ. Kössük össze az egyenlõket! a) µ9 + µ µ µ µ9 µ µ µ µ µ + µ µ µ µ µ µ b) µ µ µ µ µ µ µ + µ µ µ µ 9 µ µ + µ µ 9 µ + 9 µ µ µ µ 9. Húzzuk át azt, amelyik nem ugyanannyi! a) (+) µ (µ) (+) + (+) + µ b) c) (µ) + (µ) µ µ (µ) µ (+) µ + µ µ (+99) µ µ (µ99) µ + (+99) µ µ + 99

41 . Írjuk le egyszerûbben, majd a tagok célszerû csoportosításával végezzük el az összevonást! a) (µ) + (+) µ (µ) = µ + + = µ + + = + = b) (+) µ (µ) + (+) µ (+) = + + µ = + + µ =... = µ =... c) (µ) µ (+) µ (µ) + (+) = µ µ + + = µ + = Írjuk a megfelelõ mûveleti jelet vagy elõjelet a négyzetekbe úgy, hogy az egyenlõség teljesüljön! a) (+) µ ( À µ ) À + b) (µ) À µ (µ) + ( À + c) (+) + ( À µ ) À µ (µ) = µ 9) = + ( +) = µ. Írjunk a téglalapba olyan egész számot, amelyre teljesül az egyenlõség! a) µ µ = µ b) µ µ = µ c) µ µ + = µ + d) µ µ (µ µ ) = + a) ÀÀ µ = µ b) µ ÀÀ = µ ÀÀ = ÀÀ = c) µ = µ + ÀÀ d) µ + ÀÀ =+ ÀÀ = ÀÀ =. Pótoljuk úgy az elõjeleket, hogy a reláció teljesüljön! Számítással igazoljuk döntésünket! a) + + µ µ (+)µ(à µ )+( À + 9) > (+)µ( À µ )+( À µ 9) > (+)µ( À + )+( À + 9) > (+)µ( À + )+( À µ 9) + + 9= µ + 9 = µ + µ 9= µ µ 9 = µ b) µ µ µ9 µ (µ)+(à µ )µ( À + ) < (µ)+( À + )µ( À + ) < (µ)+( À µ )µ( À µ ) < (µ)+( À + )µ( À µ ) µ µ µ = µ µ µ + = µ 9 µ + µ = µ µ + + = µ

42 A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Az egész számok szorzása. Töltsük ki a táblázat üres helyeit! x y x y µ x (µ x ) y x y x y µ + µ µ µ + µ µ µ9 µ + + µ µ µ + µ µ µ + µ + µ + µ µ. Állapítsuk meg a hiányzó szabályt, és töltsük ki a táblázatot! a) b = a+ a µ + µ + µ µ + a = (b µ )... b µ µ µ + b) c d = µ... c µ + µ9 µ + µ + µ d + µ + + µ + µ +. Pótoljuk a hiányzó számokat úgy, hogy a virág közepén az egyes szirmokon található számok szorzata álljon! µ9 + µ µ µ + µ µ µ +9 µ µ µ + µ µ + µ µ. Pótoljuk a hiányzó számokat! µ9 µ µ µ ( ) + (µ) µ (+) µ ( ) + (+) (µ) (+). Határozzuk meg a hiányzó szorzótényezõket! + (µ) +9 µ ( ) (µ) ( µ) ( µ) µ + ( µ ) µ ( µ ) (+) µ ( µ ) + µ + (µ) µ

43 . Számítsuk ki a szorzatokat! A C E (µ) (µ) (µ) (+) (+) (µ) (+) Melyik szorzatra teljesül, hogy µ-nél nagyobb és +-nál nem nagyobb? B; C; F.... Írjuk a nyilakra, hogy a szorzat hányszorosa a középre írt számnak! (+) (µ9) (µ) (µ ) (µ9) (µ) (+9) (+ ) (µ ) (µ ) B D (µ) (µ) µ (µ) F (µ) (+) (µ) (µ) (+) (µ) (µ) (+) (+) (+) (+ ) (µ ) (µ ) (µ ) (µ ) (µ ) (+ ) (+ ) A: (µ) (µ) (µ) (+) = µ B: (µ) (µ) (+) = + C: (+) (µ) (+) = µ D: (µ) (µ) (+) = + E: (µ) (+9) = µ F: (+) (+) = = = = = =. Végezzük el a mûveleteket! Ügyeljünk a mûveletvégzés sorrendjére! a) (µ + ) µ (µ) = (µ) µ (µ) = µ + = µ... b) (µ + µ ) (µ) = (µ + µ ) (µ) = µ (µ) = +... c) µ + ( µ ) (µ) = (µ) + (µ) = µ + (µ) = µ9... d) µ + ( µ ) (µ) = (µ) + (µ) (µ) = µ + = +... e) (µ + ) ( µ ) (µ) = (µ) (µ) (µ) = µ = µ Válaszoljunk egy mûveletsorral, és határozzuk meg a végeredményt! a) Melyik az a szám, amelyik a µ9 és a különbségének és a µ9 -szörösének az összege? µ9 µ + (µ9) = µ µ = µ... Ez a szám a µ.... b) Melyik az a szám, amelyik a µ és a µ szorzatának -szorosánál 9-tal nagyobb szám ellentettje? [(µ) (µ) + 9] = µ[ + 9] = µ 9... Ez a szám a µ

44 A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Az egész számok osztása. Számoljuk ki a hányadost, és indokoljunk! (+) (+) = +9, mert +9 (+) = + (µ) (+) = µ9, mert µ9 (+) = µ (µ) (µ) = +, mert + (µ) = µ (+) (µ) = µ, mert µ (µ) = +. Töltsük ki a táblázatot! x y x y (x + y) (µ) (x µ y) (µ) x µ y (µ) x (µ) µ y (µ) µ + µ + + µ + µ µ µ + + µ µ µ µ + µ µ + µ + +9 µ +9 + µ µ µ µ + µ [µ + (µ)] (µ) = µ (µ) = + [µ µ (µ)] (µ) = (µ) (µ) = + µ µ (µ) (µ) = µ µ = µ (µ) (µ) µ (µ) (µ) = 9 µ = + + (µ) µ (µ) (µ) = µ µ = µ [µ µ (+)] (µ) = (µ) (µ) = 9 µ µ (+) (µ) = µ µ (µ) = µ + = µ µ (µ) µ (+) (µ) = µ (µ) = + = 9 + (µ) µ (µ) (µ) = µ µ (+) = µ µ = µ. Határozzuk meg az ismeretlen tényezõt, és írjuk a téglalapba! a) (µ) (µ9) µ =µ b) (+) (µ) (+) µ =+ c) (µ) µ (µ) (µ)=+ ( µ ) ( µ ) ( µ ) = µ 9 9 =

45 . Írjuk a megfelelõ számokat az üres helyekre! a) b) µ ( ) µ ( ) (+) (+) + µ ( 9) µ (µ) µ µ ( ) + µ ( ) µ (+) µ. Írjuk a nyílra a megfelelõ számot! µ (+) + µ (µ) (µ ) (µ) (µ) µ µ (µ) (µ) + (+9) (µ) µ (+) (+). Írjuk az üres helyekre a megfelelõ egész számokat! µ9 µ ( ) (µ) µ (+) µ + (+) (µ) µ (+) µ µ ( ) + (+) µ µ9 + ' ' = ' = ' 9' = 9. Írjunk a jelek helyére olyan egész számot vagy számokat, hogy teljesüljön a reláció! a) (µ) (µ) + ÂÒ < = ÂÒ =... µ; µ; µ9; µ; µ; b) [(+) (µ) µ (+)] ÀÐ = µ ÀÐ =... + c) [(µ) (+)] Ç > + Ç = µ; µ9; µ; µ;... µ µ = µ ' = µ ( µ ) = +. Számoljunk az utasításoknak megfelelõen! µ9 + µ µ + µ µ + ' =

46 A RACIONÁLIS SZÁMOK I. A tizedes törtek összevonása. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) +( µ,) b) + (+,9), +, µ, +, µ (µ,) µ (+,9). Színezzük azonos színûre az egyenlõket!, µ (9, +,) =..., µ, = +,, µ 9, +, =...,9 +, = +,, µ 9, µ, =...,9 µ, = +,, µ, µ 9, =..., µ 9, = +,. Írjuk a megfelelõ relációjelet az összegek, különbségek közé! Számolással igazoljuk döntésünk helyességét! a) (µ,) + (µ,) c) (µ,) µ (µ,) À = À < µ, µ,, µ, b) (µ,) + (+,) d) (µ,9) µ (+,) À > À = µ, µ, µ,9 µ, a) µ, µ, = µ9, b) µ, +, = µ,9; µ, µ, = µ, c) µ, +, = µ,;, µ, =, d) µ,9 µ, = µ,9. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) µ, µ, +, µ, µ, +, +, µ, +, +, µ, +, b), µ, +,, µ, +,, µ, +,, µ, +,, µ, =,, µ, =,, µ, =,. Írjunk a téglalapba olyan számot, amelyre teljesül az egyenlõség! a) µ, +, µ µ, = µ, b),9 µ, = µ + µ, c) µ,9 +, µ, = µ,. Melyik a kakukktojás? Húzzuk át! a) µ, +, = µ, b), µ,9 =, c), µ, =,;, µ, =,9 µ + 9, µ, +, µ, +, µ, +, µ, +,,,,,, µ 9, µ, µ, µ, µ,,,,,,. Írjuk egymás után a betûjeleket az eredmények növekvõ sorrendje szerint! A µ, µ, B µ, µ, C µ, µ, D µ, µ, E µ, µ, µ, µ, µ, µ, µ, B < D < A < C < E...

47 Szorzás a tizedes törtek körében. A szorzat változásai alapján pótoljuk a hiányzó számokat! = a), =..., =..., =,..., =,... b), =..., =..., =,..., =,... c),, =...,, =,...,, =,...,, =,...,,,,,. Írjunk úgy számokat az üres helyekre, hogy az egyenlõség fennmaradjon! a) (µ,) (µ,) = (µ,) µ, = +, (+,) = (+,) +9, = (µ,) µ b) (µ,) +, = µ, (+,) = (µ,) (+,) = (µ,) +, = µ, (+,),,,,,,. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) + + µ, µ µ (,) (+,) µ (,) (µ,) (+,) b),, µ ( ), ( µ,) ( µ ) µ ( µ,) µ ( ) µ (+) (µ),,,,,,, 9 9,,,,. Színezzük azonos színûre az egyenlõket! (µ,9 +,) (µ,) =... µ,, (µ,) +,,9 =... µ,,9, µ, =... µ, (,9 µ,), =... µ,,, 9,,,, 9,, 9 9 µ, 9 µ,, 9,, 9 9,,

48 A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. Végezzük el a kijelölt mûveleteket a nyíl irányába! A startnál vagy a célnál lévõ szám a nagyobb? Mennyivel? START + µ (,) µ ( µ9,) +( µ ) (+) µ + (µ,) +, ( µ,) µ9,, µ, CÉL A startnál lévõ szám a nagyobb,,-del. 9,,,, 9, 9,,, Válasz:.... A méteráruboltban maradék anyagokat vettünk. (Ebbõl már nem vágnak le.) Az árak és a hosszak az ábrán láthatók. a) Melyik anyag volt a legdrágább? b) Mennyit fizettünk összesen, ha mind a hármat megvettük? ballon: Ft/m szövet: 9 Ft/m, m, m, m selyem: Ft/m, 9,, 9, + 9,,, =, 9,, ' =, a) A selyem anyag volt a legdrágább. b) Készpénzes fizetés esetén a kerekítés miatt összesen Ft-ot fizettünk. Válasz: A diszkontáruházban elõre csomagolt zöldségeket szeretnénk venni. Írjuk a fizetendõ összeget az árcédulákra a megfelelõ helyre! Elég lesz-e a pénzünk, ha Ft van nálunk? FABATKA DISZKONT DRÁGAFALVA FABATKA DISZKONT DRÁGAFALVA FABATKA DISZKONT DRÁGAFALVA IDARED ALMA MAGYAR KG I.O. Csomagolás napja:... Fogyasztható:... Ft/kg Tömeg:, kg BANÁN PANAMAI KG I.O. Csomagolás napja:... Fogyasztható:... Ft/kg 9 Tömeg:,9 kg PARADICSOM MAGYAR KG I.O. Csomagolás napja:... Fogyasztható:... Ft/kg 9 Tömeg:, kg ÁR: ÁR: Ft 9 99 Ft 9 99 Ft ÁR:, 9, 9 9, 9, 9, 9, + + =, tehát nem lesz elég az Ft ezeknek az áruknak a kifizetéséhez. Válasz:...

49 . Utazás elõtt svájci frankot és eurót szeretnénk váltani. Az interneten azt olvastuk, hogy a közelünkben levõ két bank az alábbi árfolyamokon veszi, illetve árulja a svájci frankot (CHF) és az eurót (EUR). Melyik bankban érdemesebb pénzt váltanunk, ha nincs idõnk mindkettõbe bemenni? Mennyi pénzt takarítunk meg, ha a jó bankot választjuk? Bank CHF EUR vétel eladás vétel eladás Top Bank,9,9,,9 Hiper Bank 9, 9,, 9, Top Bankban:,9 = 9, Ft,9 = 9, Ft összesen:» Ft Hiper Bankban: 9, = 9 Ft 9, = 9 Ft összesen: Ft A kerekítés miatt µ = Ft, azaz a Hiper Bankban Ft-tal kevesebbet fizetünk. Válasz: Egy gyermekjáték csomagolásához az ábrán látható méretek alapján dobozokat készítenek. a) A doboz legnagyobb lapjaira µ teljes nagyságban µ színes matricát ragasztanak. Hány négyzetdeciméter területûek a matricák? b) A doboz legkisebb lapjaira embléma kerül. Hány négyzetdeciméter a gyártó emblémája, ha az pontosan illeszkedik a lapra? c) Két dobozt úgy csomagolnak egy átlátszó fóliával egybe, hogy minden matrica és embléma látsszon. Hány négyzetdeciméterrel kevesebb a két doboz együttes felszíne így, mint két doboz felszínének összege? d) Mennyi a térfogata a két összecsomagolt doboznak? Elõször kiszámítjuk a doboz éleinek hosszát. a + b + c =, dm, és a + c = dm, így b =, dm. a =, dm µ b =, dm µ, dm, tehát a =, dm. c = dm µ a= dm µ, dm, tehát c =, dm. a) T = c b =, dm, dm =, dm. Tehát a matricás lapok, dm területûek. b) T = a b =, dm, dm =, dm. Tehát az emblémával ellátott lapok, dm területûek. c) Az együttes felszín az egymáson lévõ két lap területösszegével csökken. T = a c =, dm, dm =, dm. Tehát az összecsomagolt dobozok együttes felszíne, dm =, dm -rel kevesebb, mint a két doboz felszínének összege. d) Az együttes térfogat: V = a b c =, dm, dm, dm =, dm. dm T a T T c b, dm, dm 9

50 A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Osztás a tizedes törtek körében. Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! a), =,..., b), =, ' =,... c),, =,... d),, =... e),, =... ', ' =,. Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! a), =..., = b),, =... c),, =,... ' ' = d),, =,... e),, =,.... Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! a) =... = b),, =... c),, =... d),, =... e),, =...,,= ' =,,= =. A virág közepén a szirmokban lévõ két szám szorzata áll. Határozzuk meg a hiányzó számokat! µ, + µ,+, +, µ µ +, µ +, +, µ, µ, µ, µ,9 +, +, +, +, + µ µ, +, µ µ µ,,,=,,, ' =,, =,, ' =,

51 . Határozzuk meg a hiányzó számokat! µ µ + ( µ,) ( µ, ) ( µ ) µ ( 9) ( +,) + ( +,) (+,) µ (,) µ + 9 =,= ' =. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) µ,, µ µ (,) +, + (µ,) (µ,) b) µ,, µ, (µ,) µ (,) µ, (µ,), a),=,, 9 ' =, b),,,,,,,,, *. Végezzük el a kijelölt mûveleteket! Írjuk a nyilakra a hiányzó számokat! a), ( µ,) (µ,),, (µ) µ,, (µ) µ, ( µ,) b) µ, ( µ 9) µ, ( µ 9) (µ) µ, (µ) µ, ( µ,) a),, =,,, =,,=,, ' =, =, ' =, b), ' 9 =,, ' ' 9=,, ' ' =,

52 TENGELYES SZIMMETRIA. TENGELYES SZIMMETRIA A tengelyes szimmetria. Rajzoljuk meg a közlekedési táblák szimmetriatengelyeit! Nézzünk utána, mit jelentenek a táblák! a) b) c) d) e) f) g) h). Rajzoljuk meg az alábbi zászlók szimmetriatengelyeit! Mely országok zászlait ismered fel? a) b) c) d) Európai Unió Szomália vagy Vietnam Japán Egyesült Királyság e) f) g) h) Csehország Finnország pl. Franciaország, Írország Grúzia. Az alábbi alakzatok közül melyik szimmetrikus a berajzolt tengelyre? Karikázzuk be a betûjelét! (A) t t (B) (C) (D) t t t (E) (F) (G) t t

53 . Írjunk fel olyan pontpárokat, amelyek a(z) a) xtengelyre szimmetrikusak:... A L; D M; E K; F J; G I t E y... F A D... b) y tengelyre szimmetrikusak: B G; C H; K O H G B N C x... c) t tengelyre szimmetrikusak: B J; C K; E H; F G; L N... I J L M K O. Egészítsük ki a rajzokat úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus alakzatot kapjunk! t t t. Három négyzet alakú papírlapot kétszer összehajtottunk, majd kivágtuk belõlük az (A), (B) és (C) ábra szerinti mintákat. Melyik számozott alakzatot kapjuk, ha a papírlapokat széthajtjuk? Kössük össze a megfelelõket! (A) (B) (C)....

54 TENGELYES SZIMMETRIA A tengelyesen szimmetrikus háromszögek. Rajzoljuk meg a háromszögek szimmetriatengelyeit! a) Másoljuk át az alábbi háromszögeket egy papírra, és vágjuk ki õket! Hajtogatással keressük meg a háromszögek szimmetriatengelyeit! Rajzoljuk be az alábbi háromszögekbe is a hajtogatással kapott tengelyeket! b) Írjuk be a halmazábra megfelelõ részébe a megfelelõ háromszögek sorszámát! háromszögek. c) A fenti háromszögekre vonatkozóan melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)? À I Amelyik háromszögnek három oldala egyenlõ, annak három szimmetriatengelye van. À H Amelyik háromszögnek van derékszöge, annak van szimmetriatengelye is. À H Amelyik háromszögnek pontosan egy szimmetriatengelye van, annak minden szöge hegyesszög. À I Van közöttük olyan háromszög, amelyiknek nincs szimmetriatengelye. van szimmetriatengelye. szimmetriatengelye van....

55 . Három tengelyesen szimmetrikus háromszöget egy-egy egyenes mentén kettévágtunk. Keressük meg az összeillõ részeket! Másoljuk át papírra a részeket, vágjuk ki õket, majd állítsuk össze a tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, és ragasszuk be a munkafüzetbe! Megoldás: Tengelyesen szimmetrikusak-e az alábbi háromszögek? a) Az egyik oldala, cm, a másik oldala ennek a fele, a kerülete pedig cm. Válasz: Igen, ha a szára, cm, az alapja, cm.... b) Az egyik oldala kétszer akkora, mint a másik, a harmadik oldala pedig az elõzõ két oldal összegének a fele. Válasz:... Nem, mert mindhárom oldal különbözõ. c) A kerülete valamelyik oldalhosszának a háromszorosa. Válasz:... Igen, ez a háromszög egyenlõ oldalú. a) K= cm, +, ¹, ezért a háromszög szára a, cm. a =, cm, +, = 9, +, =. b =, cm a a a b) egyik oldal c) másik oldal K harmadik oldal. Az alábbi szögek közül melyik lehet egy egyenlõ szárú háromszög szárszöge vagy alapon fekvõ szöge? a) szárszöge: a, b, g... b) alapon fekvõ szöge: a... c) Melyik szög maradt ki mindkét felsorolásból? d... b a d g

56 TENGELYES SZIMMETRIA A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör. Rajzoljuk be annak a sokszögnek a szimmetriatengelyét, amelyik tengelyesen szimmetrikus! Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a következõ pontokat, majd rendre kössük össze õket! A(; ); B(; ); C(; ); D(; ) A kapott pontokból képezzük az A ; B ; C ; D pontokat úgy, hogy a megfelelõ pont elsõ koordinátájának vegyük az ellentettjét, a második koordinátáját pedig hagyjuk változatlanul! A(; ) A ( ; ) B(; ) B ( µ; ) C(; ) C ( µ; ) D(; ) D ( ; ) Tengelyesen szimmetrikus-e az ABCDC B sokszög? Igen, tengelyesen szimmetrikus az y-tengelyre. y D=D µ µ µ µ µ µ µ µ x µ µ µ µ µ µ Válasz:... C B µ A= A C B. Válasszunk ki a háromszögrácson megadott pontok közül négyet-négyet úgy, hogy azok szimmetrikus négyszögeket határozzanak meg! a) deltoidok: BCIA; ABJI; IGHK; AJIK; BCJI;... KJIG; JCDG; GDEF; JDGI; KJGH; AJGK... b) húrtrapézok: IJCG; ICDG; JCEF; AGHK;... KAJH; IJCD... B A K J I H G F C D E

57 . a) Rajzoljuk meg az alábbi négyszögek szimmetriatengelyeit! b) Írjuk be a halmazábra megfelelõ részébe a megfelelõ négyszögek sorszámát! c) Az állítások a fenti négyszögekre vonatkoznak. Melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)? À H Amelyik négyszögnek minden oldala egyenlõ, az négyzet. À I Amelyik négyszög deltoid, annak átlói merõlegesek egymásra. À H Amelyik négyszög átlói merõlegesek egymásra, az deltoid. À H Amelyik négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, az rombusz. À I Amelyik négyszög rombusz, annak van párhuzamos oldalpárja. À H Amelyik négyszögnek két-két szemközti szöge egyenlõ, az téglalap. À H Amelyik négyszög átlói felezik egymást, az húrtrapéz. tengelyesen szimmetrikus négyszögek. átlói egyenlõk..... két-két szomszédos oldala egyenlõ. Ábrázoljuk a derékszögû koordináta-rendszerben az alábbi pontokat: y A(µ; µ); B(µ; ); C(µ; )! Vegyünk fel úgy egy negyedik pontot, hogy a négy pont egy tengelyesen szimmetrikus négyszög négy csúcsa legyen! Keressünk több megoldást! Tengelyesen szimmetrikus négyszögek: D(µ; µ): ADBC négyszög húrtrapéz... E(; µ): AECB négyszög konvex deltoid... F(µ; ): AFCB négyszög konkáv deltoid... µ µ B µ µ D µ F µ C µ µ µ E µ A µ µ µ x µ µ

58 TENGELYES SZIMMETRIA. Rajzoljunk a háromszögrácsra szabályos sokszögeket!. Töltsük ki az alábbi táblázatot! A sokszög neve A sokszög szimmetriatengelyeinek száma egyenlõ oldalú háromszög négyzet szabályos ötszög szabályos hatszög szabályos nyolcszög Egy oldalának hossza (mm) A sokszög kerülete (mm) a) Rajzoljuk be pirossal a csúcsra illeszkedõ, kékkel a csúcsra nem illeszkedõ szimmetriatengelyeket! b) Egészítsük ki a mondatokat! Amelyik szabályos sokszögnek van csúcson nem átmenõ szimmetriatengelye, annak van... párhuzamos... oldalpárja. Ahány oldalú a szabályos sokszög,... annyi szimmetriatengelye van.

59 . A szabályos hatszöget átlóinak berajzolásával szabályos háromszögekre bontottuk. Adjunk meg csúcsaival olyan sokszöget, amelyik a) szabályos háromszög:... ABO; BCO; CDO; DEO; EFO; AOF E D C... ; b) rombusz:... ABCO; BCDO; CDEO; DEFO; EFAO; FABO... ; c) húrtrapéz: ABCD; BCDE; CDEF; DEFA; EFAB; FABC... F O B...! A 9. Az elõzõ ábra segítségével írjunk fel a végpontjaik megadásával olyan szakaszokat, amelyek a körnek a) húrjai:... AB; BC; CD; DE; EF; FA; AD; BE; CF ; b) sugarai:... OA; OB; OC; OD; OE; OF ; c) átmérõi:... AD; BE; CF!. Az ábrán megjelöltük egy kör középpontját és négy kerületi pontját. Adjuk meg az összes olyan egyenlõ szárú háromszöget, amelyek csúcsai a megadott pontok! OSR; OSQ; OSP; ORQ; ORP; OQP P Q O R S. Döntsük el az állításokról, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H)! À I Az átmérõ a kör leghosszabb húrja. À H A kör húrja a körlap két tetszõleges pontját összekötõ szakasz. À I A kör átmérõjének hossza kétszer akkora, mint a sugár hossza. À I Ha a kör középpontját és a körvonal két tetszõleges pontját összekötjük, mindig egyenlõ szárú háromszöget kapunk. À I A kör sugara a kör középpontját és a körvonal tetszõleges pontját összekötõ szakasz.. Melyik a kakukktojás? Karikázzuk be a sorszámát! a) t.. t. t b) t t t 9

60 TENGELYES SZIMMETRIA A körzõ és vonalzó használata. Vegyük körzõnyílásba az A és B pontok távolságát, majd rajzoljunk egy-egy körvonalat az A és B pontok körül! Jelöljük ki a körívek C és D metszéspontját! Mit tudunk mondani az ABCD négyszög oldalairól? C A B D A négyszög oldalai: egyenlõ hosszúak... A négyszög neve: rombusz.... Mérjük fel az ABC háromszög oldalainak hosszát egymás után az alábbi félegyenesre a félegyenes kezdõpontjából! C b a A c B F a b c A három oldal felmérése után megkaptuk a háromszög kerületét.... A háromszög kerülete, K =,... cm.. Mérjük meg az ABCD négyszög kerületét az egyes oldalainak megmérése nélkül! D c C d b A a B G a b c d A négyszög kerülete, K =..., cm.

61 Merõleges egyenesek szerkesztése. Szerkesszük meg a CD szakasz felét, majd a felének is a felét! Színezzük be a CD szakasz részét! Szerkesztés: Vázlat: Terv: C E D. a) Szerkesszük meg az AB szakasz felezõmerõlegesét! b) Jelöljünk ki a szakaszfelezõ merõlegesen három pontot (K; L és M)! E három pont köré rajzoljunk olyan köröket, amelyek áthaladnak az AB szakasz két végpontján! Színezzük különbözõ színnel a három kör sugarát! Vázlat: Szerkesztés: M Terv: A L K B. Szerkesszünk az e egyenes A pontjába az e egyenesre merõleges a, a B pontjába az e egyenesre merõleges b egyenest! Szerkesztés: Vázlat: b a Terv: e A B Írjuk le az adott egyenesek helyzetét! a ^ e; b ^ e; a b.

62 TENGELYES SZIMMETRIA. Szerkesszünk a P ponton átmenõ, az e egyenesre merõleges g egyenest! Vázlat: Szerkesztés: g e Terv: P. Szerkesszünk négyzetet, melynek oldalai cm hosszúak! Szerkesztés: Vázlat: a D C Terv: A B *. Szerkesszünk négyzetet, melynek egyik átlója az e egyenesre illeszkedik, egyik csúcsa pedig az adott A pont! Vázlat: Szerkesztés: A Terv: e B D C

63 Párhuzamos egyenesek szerkesztése. Szerkesszünk az A ponton keresztül párhuzamost az a egyenessel! Szerkesztés: Vázlat: b A Terv: a. Szerkesszünk az e egyenessel párhuzamos egyenest, amely tõle mm távolságra van! Vázlat: Szerkesztés: f Terv: mm A B mm e g. Szerkesszünk az f egyenessel párhuzamosan egyenest, amely tõle AB távolságra van! Vázlat: Szerkesztés: A B g Terv: f h

64 TENGELYES SZIMMETRIA. Szerkesszünk olyan rombuszt, amelynek az ábra szerinti AB szakasz az egyik oldala, az e egyenes pedig az egyik oldalegyenese! Szerkesztés: Vázlat: D A D Terv: C B C e A szerkesztés elemzése (diszkusszió): ABC... D egybevágó ABC D -vel, így egy megoldás van.. Szerkesszünk téglalapot, ha a két szomszédos oldala, cm és cm! Szerkesztés: Vázlat: D C Terv: A B D C A szerkesztés elemzése (diszkusszió): ABC... D egybevágó ABC D -vel, így egy megoldás van.. Szerkesszünk olyan négyzetet, amelynek kerülete az EF szakasz! Vázlat: Szerkesztés: Terv: A a B F E

65 Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés. Szerkesszük meg az adott szögek szögfelezõit! a) b) Vázlat: a a a b b b Terv: c) d) g g g d d d. Adott az a és b szög. Szerkesszük meg a két szög összegét! Vázlat: Szerkesztés: a b Terv: C a +b. Szerkesszük meg az elõzõ feladatban adott a és b összegét úgy, hogy a közös szár az O kezdõpontú f félegyenes legyen! Vázlat: Szerkesztés: Terv: a +b b a O f

66 TENGELYES SZIMMETRIA. Szerkesszük meg az adott két szög különbségét, a bµa szöget! Vázlat: Szerkesztés: a b Terv: b µa b a C. Szerkesszük meg a) az e félegyenes E pontjába a háromszög belsõ szögeinek összegét; Szerkesztés: C g a b g A a b B e E b) a g félegyenes G pontjába a négyszög belsõ szögeinek összegét! Szerkesztés: D d A a b B g C g b G d a g. Szerkesszünk a megadott félegyenesre a) a = 9 -os szöget; Vázlat: Szerkesztés: Terv: E e

67 b) b = -os szöget; Vázlat: Szerkesztés: Terv: F f = µ vagy 9 + c) -os szöget! Vázlat: Szerkesztés: Terv: = 9 + vagy µ. Szerkesszünk szélrózsát, azaz szerkesszük meg a fõ- és mellékvilágtájak irányát! (Az északi irányt berajzoltuk.) Szerkesztés: Vázlat: É ÉNy ÉK Terv: Ny K DNy DK D

68 TENGELYES SZIMMETRIA Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése. Szerkesszük meg az alábbi alakzatoknak a t tengelyre vonatkozó tükörképét! a) P; Q; R b) t e; f t e F = F P P E E e R = R f f F F Q Q G G c) AB; CD; EF d) t a; b; g t A A B B a A B B A a C C C C b b D D D D E E g G F = E F =E G g F F

69 . Szerkesztéssel tükrözzük a t tengelyre az adott alakzatokat! a) ABC; EFG G A B E = E F = F t C = C B G A b) ABCD; EFGH C E F t D = D B = B H G A H G E F c) k ; k ; k k r k r Q O P t P Q r O k 9

70 TENGELYES SZIMMETRIA Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése. Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, melynek a kerülete cm, az alapja cm! Vázlat: Szerkesztés: Terv: A b B a C E D A szerkesztés elemzése (diszkusszió): A háromszög megszerkeszthetõ, mert a b > a..... Kriszti nem emlékezett arra, hogy milyen tengelyesen szimmetrikus négyszöget kellett szerkesztenie, de megtalálta a szerkesztés lépéseit. Készítsünk vázlatot, és végezzük el a szerkesztést! A szerkesztés lépései:. Felvesszük az AB =, cm hosszú szakaszt.. Az A végpontba az AB félegyenesre, a B végpontba a BA félegyenesre ugyanabba a félsíkba -os szöget szerkesztünk.. Az így keletkezett szögszárakra az A és B pontokból felmérünk cm-t (C és D pontok).. Összekötjük a C és D pontokat. Vázlat: Szerkesztés: D C Terv: A B A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... A feladatnak egy megoldása van.

71 Az alábbi feladatok megoldásakor az adott t tengely felhasználásával végezzük a szerkesztéseket!. Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, ha annak szimmetriatengelye a t egyenes, a) és két csúcspontja A és C; Szerkesztés: Vázlat: t A Terv: B C A szerkesztés elemzése (diszkusszió): Ha a C pont nem a tengelyre esik, akkor van megoldás.... b) adott a B csúcspontja, az alapon fekvõ szöge pedig b; Vázlat: Szerkesztés: t b A Terv: b C B A szerkesztés elemzése (diszkusszió): Egy háromszög szerkeszthetõ.... c) szárszöge az a szög, szárának hossza pedig b! Vázlat: Szerkesztés: b C a b t a a A Terv: b A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... A feladatnak egy megoldása van. B

72 TENGELYES SZIMMETRIA. Szerkesszünk rombuszt, ha adott a t tengelye, és két csúcsa A és B! Vázlat: Szerkesztés: t A B Terv: A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... A feladatnak egy megoldása van.. a) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a t tengelye, a szimmetriatengelyre illeszkedõ átlója cm, az A pontból kiinduló oldalai, cm hosszúak, és a B csúcs az f egyenesen van (f ª t)! Vázlat: Szerkesztés: B B f t Terv: C A D D A feladat két megoldása: az AB A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... CD és az AB CD deltoid. b) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a t tengelye, a szimmetriatengelyre illeszkedõ átló cm, a másik átló cm, az A pontból kiinduló két oldala pedig cm! Vázlat: Szerkesztés: B t D Terv: A B D A feladat két megoldása: az AB A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... CD és az AB CD deltoid. C

73 c) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a szimmetriatengelyre illeszkedõ f átlója, és két oldala a és b! Vázlat: Szerkesztés: f a D b Terv: A a f b a C t b B A szerkesztés elemzése (diszkusszió): A feladatnak egy megoldása van..... Szerkesszünk húrtrapézt, ha adott a t tengelye, a) és szára az AD szakasz; Szerkesztés: Vázlat: t D C Terv: A B A szerkesztés elemzése (diszkusszió): A feladatnak egy megoldása van.... b) az A pont az egyik csúcspontja, az A csúcsban lévõ szög a = -os, a szára pedig cm-es! Vázlat: Szerkesztés: D t C b b Terv: A B A szerkesztés elemzése (diszkusszió):... A feladatnak egy megoldása van.

74 A RACIONÁLIS SZÁMOK II.. A RACIONÁLIS SZÁMOK II. A törtekrõl tanultak ismétlése. Írjuk a számokat a számegyenes megfelelõ pontjához! ; ; ; ; ; ;. Keressük meg a helyét a számegyeneseken! a) b) = = c). Írjuk be a körökbe az adott számokat, ha a nyíl a kisebb számra mutat! 9 9 ; ; ; = 9 = =. Végezzünk bõvítést! a) = = = = = b) = = = = =. Egyszerûsítsük az adott törteket! a) 9 = = = b) 9 = 9 = c) = = =. Írjuk a törtek közé a megfelelõ (<; >; =) relációjeleket! < > = < < > a) À ; b) À ; c) À ; d) À ; e) À ; f) À = = = = 9

75 . Bõvítsük a törteket úgy, hogy azonos legyen a nevezõjük, majd az adott törteket írjuk növekvõ sorba! 9 ; ; ; ; ; = 9 = = = = ; ; ; ; ; = 9 < 9 = < < <. Pótoljuk a hiányzó mérõszámot, mértékegységet! a) óra =... perc b) nap =... óra 9 c) hét =... 9 nap d)... m = cm e) m =... dm f)... m = dm 9. Kössük össze a keretben lévõ mennyiségeket úgy, hogy a nyíl a kisebb felé mutasson! m = dm dm = m = dm dm km = dm dm = dm km = dm = dm m= dm = dm A legkisebb:... dm A legnagyobb:... km. Írjuk az alábbi tömegeket a körökbe úgy, hogy a nyíl a nagyobb tömegre mutasson! 9 t; dkg; kg; kg; kg dkg t 9 kg kg kg t= kg = kg dkg = kg = kg kg = kg 9 9 kg = kg kg = kg

76 A RACIONÁLIS SZÁMOK II. Mûveletek törtekkel (ismétlés). Írjuk le a szabályt, majd töltsük ki a táblázatot! x x = µ y... y y = µ x.... A számok összege minden virágsziromban ugyanannyi. Írjuk a virág közepére ezt az összeget, majd pótoljuk a szirmok hiányzó számait! 9 + = + = = = µ µ = 9 = = µ µ µ =. Két testvér, Jutka és Ági bevásároltak. A Jutka kosarában lévõ áruk tömege kg, másfél kg, kg és kg volt, Ágiéban pedig kg, kg és kg. Jutka vagy Ági vitt nagyobb tömegû árut? Mennyivel? Jutka: kg + kg + kg + kg = kg + kg + kg + kg = kg. Ági: kg + kg + kg = kg + kg + kg = kg. µ = µ = µ =. Ági vitt nagyobb tömegû árut, kg-mal. Válasz:.... Töltsük ki az üresen maradt helyeket! Írjuk a megfelelõ relációjelet az összegek közé! + a) + À = + + b) À > + c) À > + d) + + À =

77 . Írjuk a megfelelõ relációjelet a különbségek közé! a) À < b) + À = c) + À < d) + + À > +. Végezzük el a számításokat, és kössük össze az egyenlõket! a) + + = b) + = µ µ = + = + µ µ = + = 9 + = 9 = 9 a) + + = + + = = 9 µ µ µ µ = = = = µ µ µ µ + = ( ) µ µ µ = = b) + = + = = + = + = + = 9 = = + =+ = 9 = 9 = 9 9 = 9 ( µ ) µ µ µ µ µ = 9 *. Keressük meg azokat a számokat, amelyek összege! Színezzük azonos színûre a párokat! 9 = 9 = = = Párok: és ; és ; és ; és ; 9 és ; és ; és ; és.

78 A RACIONÁLIS SZÁMOK II. 9. Egy füzet méreteit mutatja az ábra. Hány centiméter a füzet fedõlapjának a kerülete? b a = cm a cm A füzet fedõlapjának kerülete b= a + K b cm = a + b= K cm + cm = cm + cm b = cm K = + cm K =9 cm cm. 9 Válasz:.... a) Jelöljük be a számegyenesen a felét, kétszeresét! Írjuk le mûvelettel! = = Hányszorosa a kétszerese a felének?... Négyszerese. 9 b) Jelöljük be a számegyenesen a harmadát, háromszorosát! Írjuk le mûvelettel! 9 = 9 = 9 9 Hányszorosa a háromszorosa a harmadának?... Kilencszerese.. Két szám (x és y) átlaga. Számítsuk ki a hiányzó számokat! x y 9 ( x + y) = x + y = = 9 µ µ = = µ µ = *. Mely számok hiányoznak az üres helyekrõl? + = a) c) ( µ = + + = b) a) = = µ µ µ = = = b) + = + = = 9 9 µ ( ) µ ( ) µ µ = = c) µ = µ = µ = À À (

79 A negatív törtek. Ábrázoljuk a számegyenesen az adott törteket! µ ; µ ; ; µ ; ; ; ; µ ; µ ; µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Írjuk fel az egyenlõ abszolút értékû törteket!... = ; = ; = ; = µ µ µ µ Soroljuk fel az adott törtek közül a µ-nél nagyobb negatív törteket!... ; ; ; µ A legkisebb negatív tört:... A legkisebb pozitív tört:.... Keressük meg a számegyenesen az adott számok helyét az ábrázolt két tört segítségével! a) µ ; ; µ ; ; ; µ µ µ µ µ = ; = b) µ ; µ ; ; ; µ ; µ µ. a) Írjuk az adott törteket növekvõ sorba! µ µ 9 ; µ ; µ ; ; ; µ µ = ; = ; = 9 ; = ; = ; = µ µ µ µ µ µ = ; = ; = ; = ; = ; 9 = µ µ µ... < < < < < 9 b) Írjuk fel minden tört ellentettjét, majd az ellentetteket is írjuk növekvõ sorba! µ µ µ... ; ; ; ; 9 ; µ 9 µ µ < < < < < c) Írjuk fel a törtek abszolút értékét, majd az abszolút értékeket is írjuk növekvõ sorba!... = ; µ = ; µ = ; = ; 9 = 9 ; µ = µ µ µ... < < < < < 9 µ µ 9

80 A RACIONÁLIS SZÁMOK II.. Írjuk a törtek közé a megfelelõ relációjelet! < > a) µ À ; b) µ À µ ; c) µ À µ ; d) µ À µ ; = 9 > 9 e) µ À µ ; f) µ À µ ; g) À µ ; h) µ À µ ; d) µ µ µ µ = ; = h) µ µ µ µ = ; = > > > <. Végezzük el a mûveleteket, és kössük össze az egyenlõket! µ µ (µ) + ( ) 9 µ µ µ µ µ µ µ µ µ = = = = µ ( )+ = µ + = = ( µ ) µ µ µ µ µ µ µ = ( ) = ( ) 9 ( ) ( ) ( ) = 9. Jelöljük be a vonalakra a nyíl hegyét úgy, hogy a nyíl a nagyobb számra mutasson! Írjuk a nyílra, hogy mennyivel nagyobb! µ µ + µ + + µ + + µ + µ µ µ µ = µ µ = µ µ µ µ µ µ µ = ( ) ( ) = + =

81 Tört szorzása törttel. Végezzük el a mûveletet, és írjuk a megfelelõ szorzatot, illetve szorzótényezõt az üres helyre! µ µ ( ) µ µ µ µ µ µ = = = =. Töltsük ki a táblázatot! µ µ 9 µ µ µ µ µ µ 9 µ = = = µ µ = µ = µ = µ µ = µ µ = = ; = ; = ; µ µ = 9 = ; = = ; µ µ µ = = ; = µ µ µ µ = µ 9 = 9 = ; = 9 = ; = 9 = ; = 9 µ µ = µ 9 µ µ µ 9 = 9 = ; = 9 = ; = 9 = µ µ µ 9 µ µ µ = =. Hasonlítsuk össze a szorzatokat! Írjuk a megfelelõ relációjelet a négyzetbe! a) À > b) À > c) + À = + d) ( ) À > : : ( )

82 A RACIONÁLIS SZÁMOK II. Tört osztása törttel. Kössük össze a reciprokokat! Amelyiknek nincs itt a reciproka, azt karikázzuk be, és írjuk le a reciprokát! µ µ µ, µ, rec.... ; rec. ;, = rec. ;, = rec. rec. ; =. Írjunk az üres helyekre számokat úgy, hogy a szirmok két részében lévõ számok szorzata legyen! µ µ µ µ µ µ, µ 9 µ, µ µ, µ µ,,= =, = = 9 µ, = µ rec. µ µ =. Következtessünk visszafelé! Gondoltam egy számot, megszoroztam µ-vel, a szorzatból kivontam µ-gyel, és µ -et kaptam. Melyik számra gondoltam? -ot, a különbséget elosztottam µ µ + ( ) + + ( µ ) µ Ellenõrzés: µ µ µ µ ( ) + ( ) µ µ A -ra gondoltam. µ Válasz:.... Határozzuk meg az ismeretlen tényezõt, és írjuk a téglalapba! a) = b) µ = µ µ a) b) = = µ ( µ ) = µ = µ µ =

83 . Töltsük ki a táblázatot! osztandó osztó µ µ µ µ 9 µ 9 µ µ µ µ µ µ =µ 9 = µ 9 µ µ 9 9 = 9 µ µ = = =9 µ µ = µ 9 = µ µ µ µ = = ; = = 9 ; = = 9 = = 9 ; = µ µ µ µ µ µ µ = ; = = ; µ µ µ = µ = µ = = ; = = ; = µ µ µ = ; = = = = ; = = ; = µ µ µ = 9 ; = = = = ; = = ; = µ µ µ =; = = = = 9 ; = µ µ µ µ µ µ µ = = = ; = µ µ µ µ µ = µ = = ; = µ µ µ µ µ µ µ = = = 9 ; = µ µ µ µ µ µ = 9

84 A RACIONÁLIS SZÁMOK II.. Írjuk az üres helyekre a megfelelõ számokat! a) b) c) d) a) = = ; = = ; 9 = = 9 = = ; = = = b) = = ; = = ; = = 9 c) = = ; = = ; = = 9 = 9 = ; = = d) = = 9 ; 9 9 = 9 = ; = 9 = 9 9 ; 9 9 = = 9. Számoljunk az utasításnak megfelelõen! a) b) c) µ µ + + µ µ µ µ

85 . ARÁNYOSSÁG Az egyenes arányosság. Táncosok érkeznek a színpadra, és párokat alakítanak. Töltsük ki a táblázatot, és ábrázoljuk koordinátarendszerben a táncospárok számának ( y) és a táncosok számának (x) kapcsolatát! (x páros természetes szám.) táncosok száma táncospárok száma Egyenes arányosságot fejeznek-e ki az összetartozó számpárok? Igen.... Miért? Ahányszor több táncos érkezik a színpadra,... annyiszor több a táncospár.... táncospárok száma táncosok száma. Olajat öntünk egy edénybe. cm olaj tömege,9 g. Töltsük ki a az edénybe töltött olaj térfogatát és tömegét tartalmazó táblázatot! Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben az összetartozó mennyiségeket! térfogat (cm ), tömeg (g) tömeg (g),9,,,,, 9 9,, Milyen arányosság van az olaj tömege és térfogata között? Egyenes arányosság.... Miért? Ahányszorosára változik az olaj térfogata,... annyiszorosára változik a tömege ,,, térfogat (cm ). Egy hernyó araszol egy tízemeletes ház falán felfelé. Mikor észrevettük, már m magasan volt. Megállapítottuk, hogy egyenletesen halad, és percenként métert tesz meg felfelé. Milyen magasan lesz ; ; ; ; ; perc múlva? Készítsünk táblázatot, és ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a hernyó földtõl mért magassága (y) és az eltelt idõ (x) közti összefüggést! eltelt idõ (perc) magasság (m),,, Egyenes arányosság van-e a két mennyiség között? Nincs egyenes arányosság.... Miért? Az összetartozó mennyiségek hányadosa... nem egyenlõ. Például: magasság (m) idõ (perc)

86 ARÁNYOSSÁG. Egy felfújható gyermekmedencét vízzel töltünk fel. A vízszint emelkedését a grafikon mutatja. Egyenletesen emelkedett-e a víz szintje? Igen.... A feltöltés kezdete után perc elteltével... cm a vízmagasság; perc elteltével... cm a vízmagasság. cm a vízmagasság... perc elteltével; cm a vízmagasság... perc elteltével; cm a vízmagasság... perc elteltével. a víz magassága (cm) idõ (perc). Az elõzõ medencébõl a nap végén leengedjük a vizet. A víz egyenletesen folyik ki úgy, hogy percenként cm-rel lesz alacsonyabb a víz szintje. Készítsünk táblázatot, és ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a vízmagasság és az eltelt idõ összefüggését! idõ (perc) vízmagasság (cm) Egyenes arányosság van-e az összetartozó mennyiségek között?... Nincs egyenes arányosság. Miért? Az összetartozó mennyiségek hányadosa... nem állandó. Például: a víz magassága (cm) idõ (perc). Egy kocsi kereke fordulattal 9, métert tesz meg. Mekkora utat tesz meg a kerék fordulattal? fordulattal 9, m a két mennyiség között egyenes arányosság van fordulattal x m 9, 9, =, fordulattal, métert tesz meg a kocsi kereke. Válasz:.... A boltban db kivi Ft-ba kerül. Mennyit fizetünk,,, kiviért? Készítsünk táblázatot! A kivik száma (db) ' = A kivik ára (Ft) 9 Válasz: kiviért... Ft-ot; kiviért... Ft-ot; kiviért... 9 Ft-ot; kiviért... Ft-ot fizetünk.

87 . Egy kerékpáros egyenletesen haladva perc alatt, km-t tesz meg. Hány kilométert tesz meg perc alatt, ha mozgása továbbra is egyenletes? perc alatt, km a két mennyiség között egyenes arányosság van perc alatt x km, =, perc alatt, kilométert tesz meg. Válasz: A Szeged és Csongrád közötti km-es távolságot a sétahajó óra alatt teszi meg. Válaszoljunk a grafikon alapján a következõ kérdésekre! a) Ha a hajó Szegedrõl óra perckor indul, körülbelül hány kilométerre lesz Csongrádtól 9 órakor?» km.... b) Hány órakor lesz a hajó Szegedtõl km-re? 9 óra perckor.... c) Hány kilométert tesz meg átlagosan a hajó óránként?, kilométert.... Csongrád Szeged távolság (km) idõ (óra) Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben annak a hajónak az útját, amelyik Csongrádról az elsõ hajóval egy idõben indul, és óra perc alatt ér Szegedre! Hány kilométerre lesz a két hajó Szegedtõl, amikor elhaladnak egymás mellett?..., kilométerre.. Van kg rizsünk és egy mérõedényünk. Hogyan tudnánk az edény segítségével dkg rizst kimérni? (A. ábra azt mutatja, hogy az kg rizs hogyan tölti meg az edényt.) kg rizs ml, kg rizs x ml = A mérõedénybe milliliternyi, azaz kb., liternyi rizst kell kimérni

88 ARÁNYOSSÁG A fordított arányosság. A konzervgyárban az elkészült meggybefõttet üvegekbe akarják tölteni. A ml ûrtartalmú üvegekbõl darabra lenne szükség. Hány üvegbe töltik a befõttet, ha ml-es üvegeket használnak? Ellenõrzés: ml-es üveg db a két mennyiség között ml-es üveg x db fordított arányosság van = = = = ml-es üvegbõl db kell. Válasz:.... Egy virágoskertbe rózsatöveket telepítenek úgy, hogy minden sorba ugyanannyi tõ legyen. Ha sorba ültetik a rózsákat, akkor tõ kerül egy sorba. Hány rózsatõ kerülne egy-egy sorba, ha ugyanannyi rózsatövet ; ; ; ; ; ; sorba ültetnének el? Készítsünk táblázatot! sorok száma rózsatövek száma Ábrázoljuk az összetartozó értékeket derékszögû koordináta-rendszerben! Milyen arányosság van a sorok száma és a sorokba ültetett rózsák száma között? Fordított arányosság.... egy sorba ültetett rózsatövek száma sorok száma 9. Pótoljuk a hiányzó mértékegységeket, illetve mérõszámokat úgy, hogy az egyenlõség teljesüljön! a), kg = dkg b), dkg =, kg c), km = m d), m =, dm e), m = dm f) 9, dm =,9 m g), óra = perc h) óra = perc i) perc =, óra Egyenlõ mennyiségek esetén a mérõszám és mértékegység között fordított... arányosság van. *. Az A jelû kocka lefestéséhez dkg festékre van szükség. Hány dekagramm festék kell a B jelû kocka lefestéséhez, ha annak élei háromszor akkorák? A B A B jelû kocka lefestéséhez dkg festék kell. Legyen az A jelû kocka egy élének hossza x, ekkor a felszín: x x. A B jelû kocka felszíne a x élhosszúsággal számolva: x x = 9 x x. Tehát a B jelû kocka felszíne 9-szer akkora, mint az A jelû kocka felszíne, ezért festékbõl is 9-szer akkora mennyiség kell, azaz 9 dkg = dkg. Válasz:... Egyenes vagy fordított arányosság van az él hossza és a szükséges festékmennyiség között? Az... élhossz és a szükséges festékmennyiség közötti arányosság nem egyenes és nem fordított arányosság.

89 Az arány. Norbi terepasztalt készít. A terepasztalon cm annak a felüljárónak a magassága, amely a valóságban m. a) Írjuk fel a terepasztal kicsinyítésének az arányát! A felüljáró valódi magasságához viszonyítunk. A m =... cm, ennek az cm -szorosa, az cm -szorosa. Így a modell és a felüljáró valódi magasságának aránya Norbi terepasztalán a kicsinyítés aránya =.... b) Mekkora ezen a terepasztalon az a víztorony, amelynek a valódi magassága m? = A víztorony magassága tehát cm. = m = cm c) Mekkora a valódi magassága annak a háznak, amely a terepasztalon 9 cm? A valóságban minden méret -szor nagyobb. 9 cm = cm =, m. A ház valódi magassága tehát, m. d) Keressünk adatokat különbözõ modelljátékokról!. Határozzuk meg az alábbi térkép és a méretarány alapján a következõ városok légvonalbeli távolságát! Rajzoljunk be a térképvázlatba további városokat, és végezzünk számításokat! London Párizs Zágráb : Budapest Szeged A méretarány miatt: cm = cm = km mm = km 9 Budapest µlondon Szeged µpárizs London µpárizs Szeged µzágráb távolság a térképen, cm,9 cm, cm, cm távolság a valóságban km km km km 9

90 ARÁNYOSSÁG. Egy esõs hét egymást követõ napjain a meteorológiai állomáson a lehullott csapadék mennyiségét oszlopdiagramon ábrázolták. a csapadék mennyisége (mm) a) Írjuk az egyes oszlopokra a lehullott csapadék mennyiségét! b) Hányszorosa a hétfõn mért mennyiségnek a µ kedden mért mennyiség; -szerese... µ pénteken mért mennyiség; -szorosa... µ vasárnap mért mennyiség? -szerese... c) Hányszorosa a kedden mért mennyiségnek a H K Sze Cs P Szo V -szerese -szorosa µ szerdán mért mennyiség;... µ csütörtökön mért mennyiség?... =. Líviának, Balázsnak, Daninak pedig forintja van. Hányszorosa Mennyi az aránya -szerese a) Lívia pénze Balázs pénzének?... = Lívia és Balázs pénzének? = szerese b) Dani pénze Lívia pénzének?... = Dani és Lívia pénzének? = szerese c) Balázs pénze Dani pénzének?... = Balázs és Dani pénzének? = szerese d) Hányszorosa Lívia pénze a három gyerek összes pénzének?... = Mennyi az aránya Lívia és a három gyerek összes pénzének? = e) Mennyi a három gyerek pénzének aránya? Írjuk fel a legegyszerûbb formában! Lívia pénze Balázs pénze Dani pénze = = Egy tanár táblázatba foglalta a kijavított dolgozatok eredményeit. a) Hányszorosa az ötösök száma a többi eredményjegynek? -ös tanuló -es tanuló -as tanuló -es tanuló -es tanuló -szorosa -szorosa Az ötösök száma a négyesek számának..., a hármasok számának..., -szorosa -szerese a kettesek számának..., az egyesek számának... b) Írjuk fel a következõ arányokat! ötösök száma négyesek száma =... ötösök száma hármasok száma =... ötösök száma kettesek száma =... ötösök száma egyesek száma =.... Írjuk fel az arányokat két pozitív egész szám arányaként! a) =... b) =... c) =.... Írjuk fel az arányok tizedes tört alakját! a) =,... b) =,... c) =,... =, 9

91 . Határozzuk meg az ábrán látható négyzetek adataiból a következõ arányokat!. a. b. c. d a) a négyzetek oldalainak aránya: a b =... b c =... c d =... d a=... b) a négyzetek kerületeinek aránya: K K = =... K K = =... K K = =... K K = =... c) a négyzetek területeinek aránya: T T = =... T T =... T T =... T T = = Az ábrán egy magánház alaprajza látható. Írjuk fel a következõ helyiségek alapterületének az arányát a legegyszerûbb alakban! a) T nappali T gyerekszoba = =... b) T kamra T konyha = 9 =... c) T fürdõszoba T hálószoba =, =... d) T elõszoba T terasz = =... nappali gyerekszoba fürdõszoba elõszoba hálószoba ebédlõ konyha terasz kamra *. A kördiagramot felhasználva válasszuk ki a kakukktojást! Jelöljük csillaggal! (Használjunk szögmérõt!) A B = 9 C D = C B = C * B D = B A = D A = B D A D B = A C = 9 B C = A = B =9 C = D = = 9 = =9 *. Mekkora az ábrán látható négyzetek területének aránya? A B C D E F G T A T B T C T D T E T F T G =

92 ARÁNYOSSÁG Arányos osztás. Egy cm hosszúságú lécet az asztalos úgy akar kettévágni, hogy a két rész hosszának aránya legyen. Milyen hosszú lesz egy-egy darabja? Rajzoljunk! cm cm cm A cm-t + = egyenlõ részre kell osztani, így egy egységnyi rész hossza = cm. Ekkor a lécbõl = cm hosszúságú részt levágva a két rész aránya =. A lécbõl egy cm-es részt kell levágni, a másik darab így cm-es lesz. Válasz:.... Egy magyar nagyváros lakóinak száma közelítõen. A legnagyobb lakótelepen és a többi városrészben élõk aránya. Hányan élnek ezen a lakótelepen? A lakost + = egyenlõ részre kell osztani, így egy egység =. Tehát a legnagyobb lakótelepen, a többi városrészben pedig = lakos él. A legnagyobb lakótelepen lakos él. Válasz:.... Laci és Luca társasjátékot játszanak. Az gyõz, akinek a játék befejezésekor magasabb az összpontszáma. Töltsük ki a táblázatot a következõk ismeretében! 9 a) Az elsõ játszmában kettejük együttes pontszáma. A Laci és Luca által kapott pontok aránya. b) A. játszmában a ponton arányban osztoztak. c) A. játszmában pontszámaik aránya, és Laci szerzett ponttal többet. d) A. játszmában Laci és Luca pontjainak aránya volt, és Luca ugyanannyi pontot szerzett, mint a. játszmában.. játszma. játszma. játszma. játszma összpontszám a) A pontot + = részre kell osztani, azaz egy egység pont. Laci: pont, Luca: = pont. b) A pontot + = részre kell osztani, azaz egy egység pont. Laci és Luca is pontot szerzett. c) Az pont éppen egy egységnyi különbséget jelent. Laci: = pont, Luca: = pont. d) A pontot részre kell osztani, azaz egy egység pont. Laci: = pont, Luca: = pont. Laci összpontszáma:... pont. Luca összpontszáma:... pont. Írjuk fel a kettejük összpontszámának arányát tovább nem egyszerûsíthetõ formában! Laci összpontszáma Luca összpontszáma = = 9... Laci Luca

93 . SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS A törtrész kiszámítása. Hányad része a téglalap területének a szürke terület? rész =... rész =... rész... rész... rész =... rész =.... Rajzoljunk olyan deltoidot, amelynek három csúcsa A, B és C, a D csúcs rácsponton van, és a deltoid területe a téglalap területének a(z) A A A A B D B D B D B D C C C C része; része; része; része!. Kössük össze az egyenlõket! -nek a -a ( ) -nek a -e µ. Írjuk az üres helyekre a megfelelõ számokat! a) része része része része része 9 b) 9 9 része 9 része része 9 része része 9 része Egy szám része a szám -szerese. Egy szám része a szám -szerese

94 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. Írjuk le egy mûvelettel, és számítsuk is ki! 9 9 a) -nek az része: b) -nek a része:... = 9 = =... 9 c) -nek a része: 9 = 9 = 9 d) -nek a része: = e) -nek a része: = 9 = 9 f) -nek a része: = = A téglalap egyik oldalának hossza cm, a másik oldalának hossza cm.. Bence kosárlabdázik. A dobásainak része talált a gyûrûbe. Hány kosarat dobott Bence, ha összesen alkalommal célozta meg a kosarat? 9 a) Mekkora a téglalap területe? T = a b = cm cm = cm.... a Válasz:... A téglalap területe cm. b) A téglalap cm-es oldalát részére, a cm-es oldalát részére b változtatjuk. Számítsuk ki a területét! Hányszorosára változik a területe? T = cm cm = 9 cm.... A téglalap területe -szörösére változik. Válasz:... c) A cm-es oldalt részére, a cm-est részére változtatjuk. Számítsuk ki a téglalap területét! Hány- szorosára változik a területe? T = cm cm = cm A téglalap területe cm, tehát nem változik. Válasz: = ; = ; = 9 = = 9 = = ; = = Bence kosarat dobott. Válasz:...

95 Az egész rész kiszámítása. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) b) c) része része része, 9 = = ; = = ;, = =. Julcsi és Márti dobókockával játszottak. A játékot az nyerte, aki kevesebb dobással ért célba. Julcsi a dobásainak részében dobott -ost, Márti pedig részében. Mindketten -szor dobtak -ost. Ki nyerte a játékot? rész, rész =. Julcsi dobásainak száma:... rész, rész ( ) =. Márti dobásainak száma:... Julcsi nyerte a játékot. Válasz:.... Válaszoljunk a kérdésekre a diagramok alapján! Határozzuk meg a kérdéses mennyiségeket! a) A színezett rész a -ben hazánkban kiadott szépirodalmi könyvek példányszámát mutatja. Hány könyv jelent meg -ben összesen? rész 9 könyv, rész 9 =. Összesen példányszámú szépirodalmi könyv Válasz:... jelent meg -ben b) A szépirodalmi könyvek között a francia és olasz szerzõk mûvei összesen példányban jelentek meg. Mekkora példányszámban jelentek meg az angol szerzõk mûvei -ben? rész, rész = =. -ben példányszámban jelentek meg Válasz:... angol szerzõk mûvei.... c) Egy család a február havi jövedelmének részét fizette ki fûtésre, ennek negyedét pedig áramra. Mennyi volt a család havi jövedelme és a fûtésszámlája februárban, ha az áramszámla 9 Ft volt? 9 9 A februári fûtésszámla forint, a havi jövedelem Válasz:... 9 forint.... példányszám (ezer db) francia és olasz havi jövedelem angol áramszámla fûtésszámla 9

96 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS A százalék fogalma. Írjuk fel százalékban az adott törtrészeket! a) rész = rész = % b) rész = rész = % 9 c) rész = rész = % d) rész = rész = % e) rész = rész =, % f) rész = rész =, %. Fejezzük ki százalékban a tizedes tört alakban megadott törtrészeket! a), rész = % b), rész = % c), rész = % d), rész =, %. Nem minden tört bõvíthetõ század, ezred stb. nevezõjû törtté. Ha az ilyen törtrészeket akarjuk átírni százalék alakba, akkor úgy járunk el, hogy a tört alakban felírt számot tizedes törtté alakítjuk. Ahány századrész a tizedes tört, annyi százalék a törtrész! Pl.: rész», rész»,% =, =, rész», rész»,% A kerekítés szabályainak megfelelõen dolgozunk. A fentiek alapján írjuk fel az adott törtrészeket =, =, százalék alakban! a) rész», % c) rész», % 9 =, b) rész», % d) rész»,9 % 9. Írjuk fel az alábbi százalékokat tovább már nem egyszerûsíthetõ törtrész alakban, majd tizedes tört alakban! a) % = rész = rész = , rész b) % = rész = rész =..., rész c) % = rész = rész =..., rész d) % = rész = rész =..., rész e),% = rész = rész =..., rész f),% = rész = rész =..., rész Az alábbi téglalapoknak hány %-a van, illetve nincs színezve? a) b) színezve van: színezve van: % nincs színezve: nincs színezve: % % % c) színezve van: % nincs színezve: %. Színezzük az alábbi téglalapok adott százalékát! a) b) c) d) e) f) 9 % % % % % %

97 A százalékérték kiszámítása. Írjuk a ruhák mellé az új árat! a) A súlyzó ára az árváltozás után: Ft... b) A hátizsák ára az árváltozás után: 9999 Ft... c) A szemüveg ára az árváltozás után: 9 Ft... d) A sisak ára az árváltozás után: 9 Ft... e) A kesztyû ára az árváltozás után: Ft... f) A görkorcsolya ára az árváltozás után: Ft...,, 9,, , 9, 9 9,,, 9,,,. A húsboltban ezen a héten minden húsárut --%-kal olcsóbban vásárolhatunk meg. Hány forintért kaphatjuk meg a fenti áruk kilóját? (A rajzon az eredeti ár látható.) a) Fõzõkolbász: forint/kilogramm... b) Egész kacsa: forint/kilogramm... c) Sertésköröm: forint/kilogramm...,, 9,,, 9, 9

98 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. A következõ esetekben az adott cm-es szakasz a %. Vizsgáljuk meg, hogyan változik a szakasz hossza az alábbi esetekben! a) A cm % Növeljük az AB szakasz hosszát az %-ával! Rajzoljuk le a kapott A'B' szakaszt! B A' B' Az A'B' szakasz...%-a az AB szakasznak. Csökkentsük az A'B' szakaszt az %-ával! Rajzoljuk le az így kapott A''B'' szakaszt! A'' B'' Az A''B'' szakasz hossza..., cm, ez... %-a az eredeti AB szakasznak. b) C cm % D Csökkentsük a CD szakasz hosszát az %-ával! Rajzoljuk le a kapott C'D' szakaszt! C' D' A C'D' szakasz...%-a a CD szakasznak. Növeljük a C'D' szakaszt az %-ával! Rajzoljuk le az így kapott C''D'' szakaszt! C'' D'' Az C''D'' szakasz hossza..., cm, ez... %-a az eredeti CD szakasznak. c) E cm % F Csökkentsük az EF szakasz hosszát a %-ával! Rajzoljuk le a kapott E'F' szakaszt! E' F' Az E'F' szakasz...%-a az EF szakasznak. Növeljük az E'F' szakaszt a %-ával! Rajzoljuk le az így kapott E''F'' szakaszt! E'' F'' Az E''F'' szakasz hossza... cm, ez...%-a az eredeti EF szakasznak. 9

99 . A magyarországi háztartások fogyasztásáról készült az alábbi diagram (Magyar statisztikai zsebkönyv, ). Az átlagos háztartásban a család havi összjövedelme Ft. a) Mennyit költ egy család havonta élelmiszerre? Ft-ot.... b) Mennyit költ lakásfenntartásra? Ft-ot.... % lakásfenntartás ruházkodás % élelmiszerek % c) Mennyivel költ többet egyéb kiadásokra, mint közlekedésre és hírközlési szolgáltatásra? Ft-tal.... d) Az egészségügyi és testápolási cikkeknél hány forinttal költ kevesebbet ruházkodásra? Ft-tal.... % testápolás, egészségügy % közlekedés, hírközlés % egyéb a),, b),, c) % µ %=%,, d) % µ %= %,,. Két boltban hirdetnek akciót hangszervásárlásra. Ugyanarra a típusú szaxofonra az egyikben a Ft-ból % engedményt adnak, a másikban a szaxofon eredeti ára %-kal több, de itt % a kedvezmény. Hol érdemes megvenni a szaxofont? Az elsõ boltban a kedvezményes ár:, =.,, A második boltban az eredeti ár:, = 9., 9, A második boltban a kedvezményes ár: 9, =. 9,, A szaxofont ott érdemes megvásárolni, ahol eredetileg drágább volt. Válasz:

100 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. A BarcelonaµReal Madrid focimeccsen a Barcelona lövésébõl ment kapura, és ennek %-a lett gól, a Real Madrid lövésébõl pedig ment kapura, és a lövések %-ából lett gól. Mennyi lett a mérkõzés eredménye? A Barcelona góljainak száma:, =. A Real Madrid góljainak száma:, =.,, A focimeccs végeredménye lett. Válasz:... *. Egy polgármester büszkén meséli, hogy az õ lakóhelyén minden lakos olvas újságot. A lakosok %-a olvassa a helyi lapot, 9%-a a tudományos magazint, %-a a bulvár sajtó lapjait bújja, %-a pedig a környezetvédelmi folyóiratot böngészi. Ez összesen % + 9% + % + % = %. Hol a hiba ebben a gondolatmenetben? A hiba ott van, hogy van olyan lakos, aki két- vagy többféle újságot is olvashat. Így nem megfelelõ az az okoskodás, hogy összeadjuk a különbözõ újságokat olvasók százalékos megoszlását. Ami biztos, hogy a lakosoknak legalább a %-a olvas újságot A vonalkódos árcédulán az áru egységára, tömege és ára látható. Mennyit fizetünk az áruért a pénztárnál, ha ezen a napon %-os árkedvezményt adnak a paprikára és csak ezt vásároltuk? Gyûjtsünk árcédulákat, és találjunk ki hasonló feladatot! FABATKA DISZKONT DRÁGAFALVA ÉTKEZÉSI PAPRIKA MAGYAR KG I.O. Csomagolás napja:... Fogyasztható:... Ft/kg 99 Tömeg:, kg 9 9,, ,, ÁR: 9 99 Ft Ft-ot fizetünk a paprikáért. Válasz:...

101 A százalékalap kiszámítása. Az évzárón elhangzott, hogy az iskola összes tanulója közül lett kitûnõ. Ez a tanulók létszámának %-a. Hány tanuló jár ebbe az iskolába? % tanuló =,, % =, %, =, Ellenõrzés: -nek a %-a, = Válasz:.... Egy mezõgazdasági kutatóintézet parcellájának bizonyos százalékát learatták, és megmérték a betakarított termés tömegét. Mennyi az egyes parcellákon a várható termés, ha a szürke rész a learatott területet mutatja? Írjuk be az egyes parcellákba, hogy hány százalék a learatott terület! a) b) c) Ebbe az iskolába tanuló jár.. Egy vidéki iskola felsõ tagozatosai között felmérést végeztek, hogy ki hová szeretne menni kirándulni. A kördiagram mutatja, hogy melyik kiránduláson hány százaléka venne részt a tanulóknak. a) Egészítsd ki a diagramot! % % %, kg a várható termés: kg,,9 kg a várható termés: kg, kg a várható termés: kg ' ' =, ' 9' = 9 ' ' = b) Hány felsõ tagozatos van, ha tudjuk, hogy 9-en szeretnének Budapestre utazni?... Ebben az iskolában a felsõ tagozatosok -an... vannak. c) Mennyivel többen mennének madárlesre, mint kerékpártúrára? -tal... többen mennének madárlesre. d) Legalább hány felnõtt kísérõ kell összesen a csoportokhoz, ha a kerékpárosoknál tanulónként, a többi esetben tanulónként kell legalább felnõtt kísérõ? Legalább kísérõ kell.... vonattal Budapestre % % % % múzeumba gyalogosan busszal madárlesre kerékpártúrára a) µ ( + + ) = µ = b) 9, = 9 = c) % µ % = %;, = d) Kerékpártúrázók száma:, = Kísérõk száma: =

102 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. Mennyi volt az eredeti ár, ha a kedvezményt mutatja a megfelelõ százalék? áru régi ár új ár kedvezmény könyv Ft Ft % autó Ft Ft % legó Ft 9 Ft % kártya Ft 9 Ft % 9% Ft ' ' 9 = % 9 = % = % Ft ' ' = % = % = % 9 Ft 9 ' ' ' = % 9 = % = % 9 Ft ' 9' = % 9 = 9 % =. Egy utazási iroda közvélemény-kutatásán az egyik kérdés az volt, hogy a megkérdezett volt-e már szabadtéri színházi elõadáson. A megkérdezettek közül -en mondták azt, hogy többször is voltak. Hányan jelölték be a másik két választ? Nem voltam:..., = fõ. Egyszer voltam:..., = 9 fõ. A lehetséges válaszok százalékos megoszlását leolvashatjuk a diagramról. Írjuk a kördiagramba a hiányzó százalékot! Többször is voltam. % % % Nem voltam. Hányan válaszoltak a kérdésre összesen? Összesen... fõ válaszolt a kérdésre. Egyszer voltam. µ ( + ) = µ =,, % fõ 9, % = % =, Ellenõrzés: ' = 9 +

103 A százalékláb kiszámítása. Az tonnának a(z) kg =... %-a; kg =... %-a; kg =... %-a; kg =... %-a; kg =... %-a; kg =..., %-a; kg =..., %-a; 99 kg =... 9,9 %-a.. Az órának a perc =... %-a; perc =... %-a; perc =... %-a; perc =... %-a; perc =... %-a; perc =... %-a; perc =... %-a; 9 perc =... %-a.. Az méternek a(z) dm =... %-a; dm =... %-a; dm =... %-a; cm =... %-a; cm =... %-a; cm =... %-a; mm =..., %-a; mm =... %-a.. Hány százalékos volt az áremelés? % Ft Ellenõrzés:, % Ft 9 9 =, tehát az új ár % 9, 9' = 9 %-os volt az áremelés. Válasz:.... Kanadában a Sziklás-hegység porhó fedte lankáin gyakoriak a motorosszán-versenyek. évvel ezelõtt a motoros szánok óránként km-t tettek meg, ma már akár 9 km-t is meg tudnak tenni. Hány %-kal nõtt a motoros szán óránként megtett útja a kezdetekhez képest? Keressük meg a térképen a Sziklás-hegységet! % km 9 =, x% 9 km x = (9 ) =, tehát %-ra nõtt óránként a megtett út %-kal tehet meg ma több utat egy motoros szán óránként. Válasz:.... Hány százalékos volt az árcsökkentés, ha az irodai széket Ft helyett Ft-tal olcsóbban tudjuk megvásárolni? % Ft x% Ft x = ( ) =, tehát %-os az árcsökkentés =, Az árcsökkenés %-os volt. Válasz:...

104 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. Az egyik hatodik osztályban mindenki írt dolgozatot. A dolgozatok eredményét a diagram mutatja. a) Számítsuk ki, hogy az osztály tanulóinak hány százaléka írt -ös dolgozatot!... A tanulók %-a írt -öst. b) Hány százalékkal írtak többen -es dolgozatot, mint -est?... %-kal. osztálylétszám: = a) -ös dolgozatok: rész, tehát %. = b) µ = ; rész, tehát %. = 9 a tanulók száma -es -es -as -es -ös. Állapítsuk meg, hogy melyik játékra hány %-os a kedvezmény! 9 9 µ µ µ 9 µ 9 9 µ µ µ µ 9 =, 9 =, =, 9 Ellenõrzés: = A kedvezmény a különbözõ játékok esetén: a) kulcstartó:...% b) labda:...% 9, c) baseballsapka:...% d) ernyõ:...% e) kesztyû:...% f) görkorcsolya:...% g) teáskanna:...% h) mp lejátszó:...%

105 9. Egy községben felmérték, hogy a lakosok milyen arányban veszik igénybe a különbözõ társaságok mobiltelefon-szolgáltatását. Az arányt a kördiagram mutatja. a) Írjuk fel az alábbi arányokat! (Használjunk szögmérõt!) C B =...; 9 = B A =...; = A B C = 9 =... A társaság b) A mobiltelefont használó lakosok hány százaléka használja az alábbi szolgáltatásokat? Kerekítsünk! B társaság C A:...; %, % B:...; %, % C:... % társaság c) Ha a mobiltelefont használó lakosok -an vannak, hányan veszik igénybe az egyes szolgáltatókat? A:...; B:...; C:... ( + + ) = = = = Ellenõrzés: = = ; = = ; = + = ; = ; = ; =. Egy fõs osztály történelemdolgozatának eredményét láthatjuk az ábrán. a) Az osztály tanulóinak része jeles; része jó;... része közepes; része elégséges; része elégtelen b) A különbözõ érdemjegyet kapott tanulók száma: jeles:... tanuló; jó: 9... tanuló; közepes:... tanuló; elégséges:... tanuló; elégtelen:... tanuló. c) Pótoljuk a diagramon a százalékos megoszlást! =, d) Készítsünk oszlopdiagramot a dolgozatok eredményérõl! elégséges % közepes % elégtelen =, =, =,,, % jeles, jó %, % 9 a tanulók száma elégtelen elégséges közepes jó jeles

106 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. VALÓSZÍNÛSÉG, STATISZTIKA Biztos esemény, lehetséges esemény. Dobjunk két dobókockával -szor! Adjuk össze a felsõ lapokon lévõ pöttyök számát! Az összeget minden esetben jelöljük vonalkával a táblázat második sorában, majd számláljuk meg, hányszor dobtunk egy-egy összeget! (A táblázat egy elvégzett kísérlet eredményeit tartalmazza.) a dobott számok összege 9 ezt az összeget dobtuk összesen 9 az esetek ennyi %-ában dobtuk ezt az összeget 9 Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a dobott összegek gyakoriságát! ( ) A fenti táblázat alapján egészítsük ki a következõ mondatokat! A legnagyobb gyakorisággal a(z)... összeg fordult elõ. A legkisebb gyakorisággal a(z)... összeg fordult elõ.. Ha két dobókockával dobunk, és a felsõ lapokon lévõ pöttyök számát összeadjuk, akkor az alábbi állítások közül melyik biztos (B), melyik lehetséges (L), és melyik lehetetlen (N) esemény? À B Az összeg nem nagyobb, mint. À N Az összeg -nél kisebb. À L Van két olyan összeg, amelyek gyakorisága egyenlõ. À L Az összeg osztható -tel.. Ismételjük meg az elõzõ dobássorozatot! Töltsük ki a táblázatot! 9 9 a dobott összeg gyakorisága a dobott számok összege 9 a dobott számok összege 9 ezt az összeget dobtuk összesen 9 9 az esetek ennyi %-ában dobtuk ezt az összeget 9 9 Ábrázoljuk az eredményt a fenti koordináta-rendszerben más színnel! Hasonlítsuk össze a két diagramot! ( ) Mindkét esetben a -os és a -as dobás fordult elõ legtöbbször, a -es és a -es dobás pedig legkevesebbszer (Az elmélet szerint a legnagyobb gyakorisága a -es dobásnak lenne, de a véletlen kísérletek ezt csak elég nagy dobásszám esetén igazolják.)

107 Diagramok. A következõ kördiagramok közül melyik tartozik az oszlopdiagramhoz? Karikázzuk be a betûjelét! a) b) c). a) Ábrázoljuk kördiagramon, hogy egy osztály tanulóinak harmada barna szemû, negyede kék szemû, a többiek pedig zöld szemûek. b) Hányan járnak összesen az osztályba, ha zöld szemû tanuló van? + = + = tanuló rész = = tanuló jár az osztályba kék szemû barna szemû zöld szemû. Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon vagy kördiagramon! Az ábrázolásnál értelemszerûen kerekítsünk! a) Magyarországon -ben a - éves korosztályban a gyerekek száma 9, az óvodásoké volt. ezer fõ A - éves korosztályban a gyerekek száma 9, az általános iskolások száma 9 volt. 9 %=, µ =, 9 b) A Szerencsejáték Rt. legismertebb gépi játékainak forgalma Magyarországon -ben a táblázatban látható. Készítsünk oszlopdiagramot az adatokból! összes gyerek óvodás gyerek éves gyerekek általános iskolás gyerek éves gyerekek játék forgalom (millió forintban) ötös lottó skandináv lottó hatos lottó tippmix 99 kenó totó forgalom (millió Ft) ötös skandináv hatos tippmix kenó totó

108 VALÓSZÍNÛSÉG, STATISZTIKA. Egy fõs osztályban a fiúk és a lányok számának aránya. a) Hány fiú jár az osztályba? b) Készítsünk kördiagramot! = ' = = = Az osztályba fiú jár. Válasz:... lányok fiúk. Egy fõs osztályban a gyerekek %-a ebédel az iskolában. a) Ebbõl az osztályból hányan ebédelnek az iskolában? b) Készítsünk kördiagramot!,,,, -an ebédelnek az iskolában. Válasz:... az iskolában ebédel nem az iskolában ebédel. Egy autókereskedésben a két hónap alatt eladott piros, ezüstmetál és fekete autók aránya. a) Hány ezüstmetál autót adtak el, ha ezekbõl a színekbõl összesen autót értékesítettek? b) Készítsünk kördiagramot! + += = = = = = 9 ezüstmetál autót adtak el. Válasz:... ezüstmetál piros fekete. Írjuk le az egymásnak megfelelõ arányok és diagramok jeleit! A) B) C) D) E) a) b) c) d) e) Egymásnak megfelelnek:... C e; D c; A a; B b; E d

109 Grafikonok. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy egy órakor elindított jégkrémkészítõ gép mennyi jégkrémet készített adott idõre. idõpont óra 9 óra óra óra adott idõre elkészült jégkrémek száma (db) 9 a jégkrémek száma Becsüljük meg, hogy órára hány jégkrém készül el, ha a gép ugyanúgy mûködik tovább! Ábrázoljuk! 9 idõ (óra). Egy üres literes tartályba vizet engedünk. A víz egyenletesen folyik a tartályba, percenként liter. Hány liter víz lesz a tartályban,,,... perc múlva? Egészítsük ki a táblázatot! eltelt idõ (perc) 9 a tartályban lévõ víz mennyisége (liter) Ábrázoljuk az adatokat koordináta-rendszerben! Milyen arányosság van az eltelt idõ és a tartályban lévõ víz ûrtartalma között?... Egyenes arányosság van. (A. percig)... Miért?... Kétszer, háromszor több idõ alatt kétszer, háromszor annyi... víz van a tartályban.... a víz térfogata a kádban (liter) eltelt idõ (perc) 9. Zoli és Robi méterre laknak egymástól. Egyszerre, egyenletesen mozogva indulnak el egymás felé ugyanazon az úton. Zoli kocog, Robi gyalogol. Az. félegyenes..., Zoli míg a. Robi... mozgását mutatja. Indulásuk után... perc múlva találkoznak. Zoli... métert tesz meg percenként. Robi... métert tesz meg percenként. A találkozásukig Zoli... m-t tett meg, Robi pedig... m-t. út (m) idõ (perc). Kinga és Szilvi együtt indulnak haza az iskolából. Útjukat a grafikon mutatja. a) Hány percig gyalogoltak együtt? percig.... b) Hány métert tettek meg együtt? métert.... c) Hány perc alatt ért haza az elbúcsúzás után Szilvi?.... d) Milyen messze lakik Kinga Szilvitõl?... méterre. e) Milyen messze lakik Szilvi és Kinga az iskolától? Szilvi:... méterre. Kinga:... méterre. út (m) Kinga Szilvi idõ (perc) 9

110 VALÓSZÍNÛSÉG, STATISZTIKA Az átlag. Egy fõs osztályban a pontos dolgozat pontszámait és az egyes pontszámokat elért tanulók számát mutatja az alábbi táblázat. pontszám 9 tanulók száma érdemjegy jeles jó közepes elégséges elégtelen Az elért érdemjegyek: jeles... tanuló; jó... tanuló; közepes... 9 tanuló; elégséges... tanuló; elégtelen... tanuló. Számítsuk ki a dolgozatok átlagát! Az átlag:..., Számítsuk ki a dolgozatok százalékos megoszlását! jeles...%;, jó...%;, közepes...%;, elégséges...%;, elégtelen...%., átlag: = = = = 9 =,; közepes: jeles: = =,; jó: = Döntsük el, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H) az alábbi állítások közül! À I Az osztály fele négyes vagy ötös jegyet kapott. À I Az osztály -ának négyesnél nem jobb az eredménye. À H Több tanuló kapott az átlagnál jobb osztályzatot, mint rosszabbat. À H A kettesek száma több, mint a tanulók számának része.. Folytassuk a megkezdett sorozatot még négy taggal! ; ; 9; ; ;...; 9...;...; 9... a) Az elsõ három tag átlaga:... b) Tagja-e a sorozatnak az elsõ három tag átlaga?... Igen. c) Az elsõ négy tag átlaga:... d) Tagja-e a sorozatnak az elsõ négy tag átlaga? Nem.... e) Az elsõ kilenc tag átlaga:... f) Tagja-e a sorozatnak az elsõ kilenc tag átlaga?... Igen. g) Számítsuk ki, és írjuk a megfelelõ relációjelet az átlagok közé! az utolsó három tag átlaga: az utolsó öt tag átlaga: 9 > g) Soroljuk fel a sorozatnak azokat az elemeit, amelyek átlaga 9:... 9,,, 9,, 9, ; À = =,; elégséges: = =, ' = + 9 ' = + 9 ' 9= ' ' = ' ' = :...,, 9,,, 9, ; 9:...,, 9,,!

111 TARTALOM. Oszthatóság Osztó, többszörös... Vizsgáljuk a maradékot!... Oszthatósági szabályok... 9 Prímszámok, összetett számok... A legnagyobb közös osztó... A legkisebb közös többszörös... Vegyes feladatok.... Hogyan oldjunk meg feladatokat? Mi a kérdés?... Vizsgáljuk meg az adatokat!... Következtessünk visszafelé!... Készítsünk ábrát!... Tartsunk egyensúlyt!... Ellenõrizzünk!.... A racionális számok I. Az egész számok (ismétlés)... Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés)... Összevonás az egész számok körében... 9 Az egész számok szorzása... Az egész számok osztása... A tizedes törtek összevonása... Szorzás a tizedes törtek körében... Osztás a tizedes törtek körében.... Tengelyes szimmetria A tengelyes szimmetria... A tengelyesen szimmetrikus háromszögek... A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör... A körzõ és vonalzó használata... Merõleges egyenesek szerkesztése... Párhuzamos egyenesek szerkesztése... Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés... Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése... Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése...

112 . A racionális számok II. A törtekrõl tanultak ismétlése... Mûveletek törtekkel (ismétlés)... A negatív törtek... 9 Tört szorzása törttel... Tört osztása törttel.... Arányosság Az egyenes arányosság... A fordított arányosság... Az arány... 9 Arányos osztás Százalékszámítás A törtrész kiszámítása... 9 Az egész rész kiszámítása... 9 A százalék fogalma... 9 A százalékérték kiszámítása... 9 A százalékalap kiszámítása... A százalékláb kiszámítása.... Valószínûség, statisztika Biztos esemény, lehetséges esemény... Diagramok... Grafikonok...9 Az átlag... Kiadja a Mozaik Kiadó, Szeged, Debreceni u. /B. Tel.: () -, - Drótposta: kiado@mozaik.info.hu Honlap: Felelôs kiadó: Török Zoltán Grafikus: Deák Ferenc Mûszaki szerkesztô: Szentirmai Péter, Horváth Péter, Becsei György Készült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán Felelôs vezetô: Kovács János MTerjedelem:, (A/) ív Tömeg: g. május Raktári szám: MS-M