Bevezető fizika. k villamosmérnököknek. Kidolgozott példák gyűjteménye. Nagyfalusi Balázs Vida György József. U = 24 V a) t n

Átírás

1 Fs F g Fr 3 g Fr Fs g Bevezető fizika k villaosérnököknek F Utolsó ódosítás 05. február 3. :5 α Fsúrl K l Nagyfalusi Balázs Vida György József g h g Q R3 0 Ω A R Ω 0 R 30 Ω É D D É U 4 V a) b) D É c) α α S0 k β t n BME Fizikai Intézet 05 K g Kidolgozott példák gyűjteénye x K K Fs g y F S f

2 Előszó A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudoányi Egyeteen a frissen felvett érnökhallgatók körében az utóbbi években egnövekedett az igény a középiskolai fizika összefoglalására, átisétlésére az egyetei tanulányok kezdetén. Így született eg a Bevezető fizika nevű tárgya, aelynek anyaga ár állandósult az évek folyaán. A szerzők az idei őszi félév során úgy döntöttek, hogy az órákhoz készített jegyzeteiknek elkészítik az elektronikus változatát is a félév során. Ezek hétről hétre kikerültek a hallgatósághoz, azonban így a félév végén úgy döntöttünk, hogy egységes forába öntjük a részeket, és így született eg ez a ű. erészetesen előfordulhatnak benne ég hibák (sőt inden bizonnyal vannak ég benne), és ég egy-két helyen bővítésre szorul, de azért hasznos olvasány lehet a tárgy hallgatói és persze inden érdeklődő száára. Budapest, 05. január Nagyfalusi Balázs és Vida György József

3 Bevezető fizika (Vill),. feladatsor Kineatika. A ai órához szükséges eléleti anyag: Alapfogalak (út, sebesség, gyorsulás egyenes vonalú ozgásoknál) Az egyenes vonalú egyenletes ozgás Az egyenes vonalú egyenletesen változó ozgás Mozgások függetlenségének elve szabadesés, hajítások a következő gyakorlat első felében! Órai feladatok: (ha lehet hallgatók oldják eg a feladatokat táblánál) I/.6. feladat: Két helyiség között a kocsik átlagsebessége az egyik irányban v 40 k/h, a ásik irányban v 60 k/h. Mekkora az átlagsebesség egy teljes fordulót figyelebe véve? Az átlagsebesség az teljes egtett út és az ehhez szükséges idő hányadosa. Legyen s a távolság a két település között. Ekkor a teljes egtett út s. Az odaút és a visszaút időtartaa: vagyis az átlagsebesség: v s t t s v t s v, s t + t s s v + s v v +. v I/.39. feladat: Egy test sebessége ost v 0 /s, t 00 ásodperccel ezelőtt v 0 /s volt. Mennyi volt a test átlagos gyorsulása? Az átlaggyorsulás az adott idő alatt történt sebességváltozás és az ehhez szükséges idő hányadosa: a v t v v t 0 s 0 s 00 s 0,4 s. I/.9. feladat: Egy gépkocsi sebességét v 54 k/h-ról v 90 k/h-ra növelte állandó a,6 /s gyorsulással. Mennyi ideig tartott ez, és ekkora utat tett eg a gépkocsi ezalatt? Állandó gyorsulás esetén a sebesség egváltozása egyenlő a indenkori gyorsulással, vagyis: a v t t v a v v a s,6 s 6,5 s. 90 k h 54 k h,6 s Az ezalatt egtett utat a négyzetes úttörvénnyel száolhatjuk x(t) a t + v 0 t + x 0, ahol a a kocsi gyorsulása, v 0 a kezdeti időpontban a sebessége, vagyis 54 k h, és x 0 annak kezdeti pozíciója. Ez utóbbi legyen nulla, hiszen onnan kezdjük el érni a egtett utat a gyorsítás végéig: x(t),6 s (6,5 s) + 54 k h 6,5 s 5. I/.0. feladat: a /s gyorsulással induló gépkocsi elérve a v v 6 /s sebességet egyenletesen ozog tovább. Milyen essze jut az indulástól száított 8 ásodperc alatt? Először száoljuk ki, hogy ennyi időre van szüksége az autónak, hogy elérje a v v sebességet. Mivel a gyorsulás egyenletes, így a v v t t v v a 6 s s 3 s. 3

4 Bevezető fizika (Vill),. feladatsor Kineatika. egoldások Ez alatt az autó s a t s (3 s) 9 távolságot tesz eg. A hátralévő t 8 s 3 s 5 s idő alatt az autó egyenletes ozgást végez. Az ezalatt egtett út: s v v t 6 s 5 s 30. Vagyis a teljes egtett távolság s 39. I/.. feladat: Egy gépkocsi a,8 /s állandó gyorsulással indul, ajd egyenletesen halad tovább, és t 5 ásodperc alatt s 9,4 éter esszire jut. Határozzuk eg a gyorsulás időtartaát! Gyorsítson az autó t ideig. Mivel az autó álló helyzetből indul, így az ezalatt egtett távolság: s a t. Ez idő alatt az autó v v a t sebességre tett szert. Az idő hátralevő részében ekkora sebességgel halad egyenletesen, és s v v t a t (t t ) távot tesz eg. Összefoglalva s s + s a t + a t (t t ) a t + a t t 0 a t at t + s 0,4 s t 4 s t + 9,4 ( t ), 4 s ± { 7 s 3 s (4 ) s 4,4 9,4 s,4 s. A két egoldás közül csak a t 3 s az érteles, hiszen a teljes időtarta 5 s. I/.9. feladat: Az esőcseppek függőleges irányban esnek v eső 6 /s sebességgel. Az esőcseppek nyoai a vonatablakon a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró csíkok. Milyen gyorsan egy a vonat? A vonatablakon lévő csíkok az esőcseppek látszólagos sebességvektorával egy irányba utatnak. Az esőcseppek függőleges sebességvektora, illetve a vonat vízszintes sebességvektora egy derékszögű hároszöget határoz eg, ahol a hároszög átfogójának hossza egegyezik a cseppek látszólagos, a vízszintessel 30 -os szöget bezáró sebességvektorának hosszával. A hároszögben a egfelelő szögfüggvényt felírva: tg α v eső v vonat v vonat v eső tg α 6 s tg 30 0,39 s. I/.33. feladat: A folyó szélessége d 00, sebessége v f 3,6 k/h. Hol köt ki a túlsó parton az átkelő csónak, ha a vízhez viszonyított sebességének nagysága v cs 3 /s, iránya a víz folyásának irányára erőleges? A csónak t d v cs s alatt ér át a ásik s partra. Eközben a folyó d v f t 3,6 k h 00 3 s s 00 3 s 66,7 viszi le a csónakot a folyásirányba. ehát a csónak ennyivel lejjebb fog kikötni a túloldalon. I/.37. feladat: v v 7 k/h sebességgel haladó vonaton egy utas a vonat ozgásával ellentétes irányban elindul a vonathoz viszonyított a e 0,8 /s gyorsulással. Háro ásodperc alatt ekkora a pályatesthez viszonyított elozdulása? A pályatesthez viszonyítva az eber egyenletesen gyorsuló ozgást végez. A négyzetes úttörvényt használva: s a e t + v v t 0,8 s 56,4. (3 s) s 3 s I/.5. feladat: Határozzuk eg a v 0 0 /s kezdősebességgel α 30 -os szögben kilőtt test helyzetét a kilövés után 3 ásodperccel! A test vízszintes irányban egyenletes ozgást végez: x(t) v 0x t + x 0, ahol v 0x a kezdősebesség vízszintes koponense: v 0x v 0 cos α. Az x 0 a t 0 pillanatban a test helye. Helyezzük a koordináta-rendszerünket oda, ahonnan elhajítjuk a testet, így x(t 0) 0, vagyis x

5 Függőleges irányban a test egyenletesen gyorsuló ozgást végez. Az y tengely felfelé utat, így a gyorsulás negatív: Bevezető fizika (Vill),. feladatsor Kineatika. y(t) g t + v 0y t + y 0, ahol v 0y a függőleges kezdősebesség: v 0y v 0 sin α, illetve az előzőekhez hasonlóan y 0 itt is nulla. A ozgást leíró két egyenlet tehát: A t 3 s-ban: x(t) v 0 cos α t y(t) g t + v 0 sin α t. x(3 s) 0 s cos 30 3 s 3,77 y(3 s) 0 s (3 s) + 0 s sin 30 3 s 35. I/.4. feladat: h 00 éter agasságban v k/h sebességgel haladó repülőgépről a cél előtt ilyen távolságban kellene kioldani a segélycsoagot ahhoz, hogy a célba csapódjék, ha ne lenne légellenállás? Mekkora lenne a segélycsoag sebessége a becsapódás pillanatában? Függőlegesen a csoag egyenletes gyorsulással ozog, vagyis a agassága az idő függvényében: z(t) g t + h. idő alatt ez a agasság nullára csökken: 0 g h + h 6,3 s. g A csoag vízszintes kezdősebessége egegyezik a repülő sebességével, és ez a csoag ozgása során ne is változik. Eiatt, ha idő alatt ér földet a csoag, akkor az vízszintesen s v 0 távolságot tesz eg. Ez alapján 0 g s hv0 + h s 63,45. g v 0 A függőlegesen szerzett sebessége: v y g 63, /s, vízszintesen pedig aradt v x v 0. Az eredő sebesség nagysága: v vx + vy 8,3 /s. Otthoni gyakorlásra: DRS példatár. kötet.0,.,.3,.30,.3,.4, B, F A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. 5

6 Bevezető fizika (vill),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. A ai órához szükséges eléleti anyag: Röviden beszéljük eg az otthoni felkészülés során felerült kérdéseket. szabadesés, hajítások (kb. 0 perc) Az erő, az erők összegezése; Newton törvényei; testek egyensúlya; töeg, nehézségi erő, súly, súlytalanság. súrlódás Példák órai gyakorlásra: II/.3. feladat: A talaj fölött h 0 30 éter agasságból v 0 0 /s kezdősebességgel kavicsot dobunk függőlegesen fölfelé. Mekkora a kavics sebessége, elozdulása és a egtett út t s, t 3 s; t 3 5 s úlva. A kavics útja a következő. Először felfelé egy, eléri a axiális agasságot, ajd elindul lefelé és eléri a talajt. Ez két nevezetes időpontot jelent, egyet a csúcson (t fel ), és az út végén (t össz ). t fel eghatározható a kezdeti sebességtől, és a lassulásból: t fel v 0 g 0 /s 0 /s s. Ez alapján az első időpontban ég eelkedett. A sebessége v v 0 gt 0 /s 0 /s s 0 /s. A egtett út s v 0 t g t 0 /s s 5, 0 /s ( s) és végig azonos irányban haladt, így az elozdulás egegyezik az úttal. A axiális agasság: s fel v 0 t fel g t 0 /s s 0, 0 /s ( s) tehát összesen H h 0 + s fel 50 agasra jutott, ahonnan a leeséshez szükséges idő eghatározható a H g t le összefüggésből: t le H g 0 s > 3 s, azaz az ötödik ásodpercben ég repülni fog. ehát ásodpercig eelkedett, így t -ig ég -et zuhant. A egtett út: s g s (t t fel ) 0 /s (3 s s) 5, összesen s s fel + s 5. Az elozdulás r s fel s 5. A sebessége ekkor v g(t t fel ) 0 /s, ahol figyelebe vettük, hogy a pozitív irány függőlegesen felfelé választottuk. t 3 időpillanatig t 3 t fel -t zuhan. A keresett értékek: s 3 g s (t 3 t fel ) 0 /s (5 s s) 45, összesen s 3 s fel + s Az elozdulás r s fel s 3 5. A sebessége ekkor v 3 g(t 3 t fel ) 30 /s. II/A. feladat: Egy követ függőlegesen felfelé, egy ásik követ függőlegesen lefelé hajítunk v 0 /s sebességgel, ugyanabban a pillanatban, Mennyi idő úlva lesznek egyástól x 60 éter távolságban? Írjuk fel a két egtett utat a kívülről nézve: x fel v 0 t g t, x le v 0 t + g t. Összegük (aely pont a távolságnak felel eg): x x fel + x le v 0 t, így az eltelt idő: t x v 0,5 s. 6

7 II/.5. feladat: Határozzuk eg a v 0 0 /s kezdősebességgel α 30 -os szögben kilőtt test helyzetét a kilövés után 3 ásodperccel! A test vízszintes irányban egyenletes ozgást végez: x(t) v 0x t + x 0, ahol v 0x a kezdősebesség vízszintes koponense: v 0x v 0 cos α. Az x 0 a t 0 pillanatban a test helye. Helyezzük a koordináta-rendszerünket oda, ahonnan elhajítjuk a testet, így x(t 0) 0, vagyis x 0 0. Függőleges irányban a test egyenletesen gyorsuló ozgást végez. Az y tengely felfelé utat, így a gyorsulás negatív: y(t) g t + v 0y t + y 0, ahol v 0y a függőleges kezdősebesség: v 0y v 0 sin α, illetve az előzőekhez hasonlóan y 0 itt is nulla. A ozgást leíró két egyenlet tehát: A t 3 s-ban: x(t) v 0 cos α t y(t) g t + v 0 sin α t. x(3 s) 0 s cos 30 3 s 3,77 y(3 s) 0 s (3 s) + 0 s sin 30 3 s 35. II/.4. feladat: h 00 éter agasságban v k/h sebességgel haladó repülőgépről a cél előtt ilyen távolságban kellene kioldani a segélycsoagot ahhoz, hogy a célba csapódjék, ha ne lenne légellenállás? Mekkora lenne a segélycsoag sebessége a becsapódás pillanatában? Függőlegesen a csoag egyenletes gyorsulással ozog, vagyis a agassága az idő függvényében: z(t) g t + h. idő alatt ez a agasság nullára csökken: 0 g h + h 6,3 s. g A csoag vízszintes kezdősebessége egegyezik a repülő sebességével, és ez a csoag ozgása során Bevezető fizika (vill),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. egoldások ne is változik. Eiatt, ha idő alatt ér földet a csoag, akkor az vízszintesen s v 0 távolságot tesz eg. Ez alapján 0 g s v0 + h s hv 0 g 63,45. A függőlegesen szerzett sebessége: v y g 63, /s, vízszintesen pedig aradt v x v 0. Az eredő sebesség nagysága: v v x + v y 8,3 /s. II/.4. feladat: Milyen erő hat az eldobott kőre? Mekkora a gyorsulása? Nehézségi erő, közegellenállás. F a. II/.3. feladat: A v 0 9 /s sebességgel elütött korong a jégen s 36 út egtétele után áll eg. Mekkora a súrlódási együttható a korong és a jég között? A korong egyenletesen lassult, átlagsebessége v átl v 0 4,5 /s. Ez alapján a egállásig eltelt idő A gyorsulása t a v v 0 t s v átl 36 4,5 /s 8 s. 0 /s 9 /s 8 s 9 8 /s. Newton szerint a F súrl µf nyoó µg, azaz µ a g 9/8 0 0,5. II/.4. feladat: Milyen erők hatnak egy vízszintes lapon és egy lejtőn nyugvó testre? (Készítsen ábrát!) 0 kg töegű testet a vízszintessel α 30 - os szöget bezáró F 0 N erővel húzunk. Mekkora a test gyorsulása, ha a csúszási súrlódási tényező értéke µ 0,? 7

8 Bevezető fizika (vill),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. egoldások y x K g α F F súrl g A Newton-törvények, figyelebe véve, hogy függőlegesen ne ozdulunk el: x : y : a F cos α F súrl 0 F sin α g + K A ásodik alapján a kényszererő nagysága: K g F sin α 0 kg 0 /s 0 N sin N, aelyet ár behelyettesíthetünk az elsőbe, hiszen F súrl µk, és a gyorsulásra azt kapjuk, hogy a (F cos α µk) 0 kg (0 N cos 30 0, 90 N) 0,83 /s. II/.. feladat: h 0 agas, α 60 -os lejtő tetejéről csúszik le egy test. Mekkora sebességgel és ennyi idő alatt ér le a lejtő aljára, ha a) a lejtő súrlódásentes, b) a lejtő és a test közötti súrlódási együttható µ 0,5? F s g h K g K a) Írjuk fel a Newton-törvényt a lejtőről lecsúszó testre, a lejtővel párhuzaos és arra erőleges irányban: a g g sin α a K g K g cos α, Mivel a test a lejtőn csúszik, így arra erőlegesen nincsen elozdulás, azaz a 0. Az előző egyenletből adódik, hogy test gyorsulása a lejtő entén a g sin α. A lejtő hossza s s a h sin α, így a lecsúszás ideje: h sin α a sin α h 0 g sin α 0 sin 60 s,63 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: v vég a g sin α 0 s sin 60,63 s 4,4 s. b) Ha van súrlódás a lejtőn, akkor a Newtonegyenletek kiegészülnek: a g F s g sin α µk a K g K g cos α, ahol a ásodik egyenletből kifejezhető K, 0 K g cos α K g cos α, ajd az elsőbe helyettesíthető: a g ( sin α µ cos α ). A lecsúszás ideje: h g ( sin α µ cos α ) sin α 0 0 ( s sin 60 0,5 cos 60 ) sin 60,94 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: g α v vég a g ( sin α µ cos α ) 0 s ( sin 60 0,5 cos 60 ),94 s,93 s. 8

9 Bevezető fizika (vill),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. II/.. feladat: g 50 N súlyú tégla alakú testet satuba fogunk. A satupofák F ny 50 N nagyságú vízszintes erővel nyoják a testet. Az érintkező felületek között µ 0,5 a súrlódási tényező. Mekkora erővel lehet a testet felfelé kihúzni? F II/.3. feladat: Egy α 30 hajlásszögű lejtőre fel akarunk húzni egy F súly 400N súlyú testet. Mekkora erőt kell alkalazni, a) ha a lejtővel párhuzaos irányba húzzuk? b) ha vízszintes irányba húzzuk? A súrlódás elhanyagolható. F F ny F ny F h h F súrl F súrl α α g A tapadási súrlódás axiális értéke F ax tap µf ny 0,5 50 N 75 N. Két satuval ez 50 N erőt jelent. Ezen felül ég ott van a tégla súlya, tehát a háro erő összegét kell az F erőnek ellensúlyoznia. Így a kapott eredény az, hogy F F ax tap Otthoni gyakorlásra: + g 00 N II/.9. feladat: Az esőcseppek függőleges irányban esnek v eső 6 /s sebességgel. Az esőcseppek nyoai a vonatablakon a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró csíkok. Milyen gyorsan egy a vonat? II/.8. feladat: 0 agas ház tetejéről /s kezdősebességgel ferdén felfelé elhajítunk egy testet. A vízszintessel bezárt szög 30. Mennyi idő úlva és a háztól ekkora távolságban ér földet, ha a közegellenállástól eltekintünk? (g 0 /s ) II/?. feladat: Egy testet 5 N állandó erővel tudunk egyenletesen felfelé húzni egy α 30 hajlásszögű lejtőn. Ugyanezen a lejtőn lefelé szabadon csúszva a test 5 /s sebességről 5 hosszú úton áll eg. Mekkora a test töege? Mekkora a súrlódási tényező? II/.7. feladat: Mekkora az eelődaru kötelében fellépő húzóerő egy 00 kg töegű gépalkatrész süllyesztésekor, illetőleg eelésekor, ha a gyorsulás nagysága inden esetben /s. A kötél és a végén levő horogszerkezet súlya elhanyagolható. II/.6. feladat: Egy test kelet felé ozog és nyugat felé gyorsul. Lehetséges ez? Milyen irányú az erő? A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. II/.50. feladat: A gravitációs gyorsulás értéke a Holdon a földi érték egyhatod része. A; Hányszor agasabbra, B; hányszor esszebbre száll az azonos kezdősebességgel ferdén elhajított kő a Holdon, int a Földön? C; Mennyi ideig repül a Holdon a földi repülési időhöz képest? 9

10 Bevezető fizika (vill), 3. feladatsor Dinaika. és Statika A ai órához szükséges eléleti anyag: ipulzus, ipulzusegaradás egyensúly és feltétele forgatónyoaték A kifejezett töeg: v + v v v 300 kg. 0,6 /s + 0,4 /s 60 kg 0,6 /s 0,4 /s Példák órai gyakorlásra: III/.5. feladat: F 50 N nagyságú erő hat egy testre t 0 s-ig. A test erő irányú sebessége közben v 5 /s-al növekszik. Mekkora a test töege? A feladatot az ipulzustétel segítségével oldjuk eg. Az ipulzustétel: Ft p v. Az erő és sebesség egy egyenesbe esik, így a vektor jelzés elhagyása, és átrendezés után a test töege: F t v 50 N 0 s 5 /s 00 kg. III/3.9. feladat: Állóvízben két csónak halad egyás felé. A vízhez viszonyított sebessége indkét csónaknak ugyanakkora, v 0,6 /s. Aikor egyás ellé érnek, az egyikről a ásikra 60 kg töegű testet tesznek át. Ezután a ásik csónak az eredeti irányában v 0,4 /s sebességgel halad tovább. Mekkora ennek a ásodik csónaknak a töege? (A víz ellenállását elhanyagoljuk.) III/3.4. feladat: A 0 g töegű, v 40 c/s sebességű és a 80 g töegű, v 00 c/s sebességű két test egyással szebe ozog egy egyenes entén. eljesen rugalatlan ütközés után ekkora és ilyen irányú sebességgel ozognak tovább? Jelöljük ki a pozitív irányt úgy, hogy az első test ozgásával egegyező legyen. Az ütközés előtt az összipulzus: utána: p v + v, p ( + )v, és persze tudjuk, hogy a kettőnek eg kell egyeznie. Ezért a sebesség: Legyen az első iránya pozitív, a ásodiké negatív, és legyen az átadás olyan, hogy közben ne változik eg az az első csoag sebessége (pl. oldalra adja át csoagot). Azaz v v ( )v ( + )v v v + v + 0, kg 0,4 /s + 0,08 kg ( /s) 0, kg + 0,8 kg 0,6 /s. v v v + v (v + v ) (v v ) A sebesség előjele alapján a ásodik test sebességének irányában ozognak együttesen. 0

11 Bevezető fizika (vill), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások III/3.3. feladat: A 0 kg töegű lövedék a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró irányban v 0 40 /s sebességgel hagyja el az ágyú torkolatát. Pályájának legagasabb pontján a lövedék két részre robban szét. Az egyik, egy 4 kg-os darab, éppen a robbanás helye alatt, függőlegesen zuhan a földre. A ásik, 6 kg-os darab sebességének iránya robbanás közben ne változik eg. Hol csapódna be ez a ásik darab, ha ne lenne légellenállás? (g 0 /s ) v 0 III/3.. feladat: Vízszintes irányú, F 8 N nagyságú erővel hatunk az kg töegű testre, aely egy fonállal az 3 kg töegű testhez van kötve az ábrán látható elrendezésben. Mekkora erő feszíti a fonalat, ha a fonál töegétől és a súrlódástól eltekintünk? K K F A kiinduló sebesség koponensei: v 0x v 0 sin α, v 0y v 0 cos α. A kezdeti y irányú sebességgel a legagasabb pontig t idő alatt juthatunk el, aely kiszáolható a gyorsulásból: t v 0y g v 0 cos α. g A robbanásra felírhatjuk az ipulzusegaradást. Előtte volt egy p x v 0x ipulzusú testünk, íg utána csak a -es ozgott vízszintesen, azaz p x 0 + v x. A egaradás iatt: v 0x v x v x v 0x v 0 sin α. A robbanás után a test 0 y irányú sebességgel indul lefelé, és a leékezéshez szükséges idő ugyanakkora, int lentről a tetejéig (gyorsulás, távolság, kezdősebesség egegyezik, ezért az idő is!), azaz t le t. A egtett út vízszintesen összefoglalva: s v xt le v 0 sin α v 0 cos α g 0 kg (40 /s) sin ( 30 ) 6 kg 0 /s /s 456,9 /s. v 0 sin α g III/3.. feladat: Ha az erő és az ellenerő egyenlő nagyságú és ellenkező irányú erők, iért ne seisítik eg egyást? Mert ne ugyanarra hatnak. g g Itt is először felírjuk az egyes testekre a Newtontörvényt függőleges és vízszintes irányban:,x : a x F K,y : a y g,x : a x K,y : a y g. Mivel függőleges elozdulás nincs, így a y a y 0. A két testet összekötő kötél nyújthatatlan, így a két test gyorsulása inden pillanatban ugyanakkora: a x a x a. Ezt egyszerűen eghatározhatjuk, ha összeadjuk a két x irányú egyenletet: a F + 8 N kg + 3 kg,6 s. Ezt felhasználva a kötelet feszítő erő,x egyenlet alapján: K a 3 kg,6 s 4,8 N. III/3.3. feladat: Állócsigán átvetett fonál végein illetve töegű test van. Mekkora gyorsulással ozog az egyik, illetve a ásik test, és ekkora erő hat a ennyezetre, ahová a csigát felfüggesztették? A fonál és a csiga töege elhanyagolható, a fonál ne nyúlik eg, a tengely ne súrlódik, a közegellenállás és a levegőben a felhajtó erő elhanyagolható.

12 Bevezető fizika (vill), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások F felf a 3 F r F r K K K F s g F s g K g g Írjuk fel a testekre a kötél entén, illetve a csigára függőleges irányban a Newton-törvényt: : a K g : a g K cs : 0 F felf K K. Mivel a kötél és a csiga ideális, ezért a két kötélerő nagysága egegyezik, K K K. Az első két egyenletből adódik: a + g. Ha az test a nehezebb, akkor arra fog ozogni a rendszer, ha pedig a ásik, akkor visszafelé. A kötélerő: ( ) K (a + g) + g + + g, vagyis a csiga a felfüggesztést erővel húzza. F felf K 4 + g III/3.. feladat: Mennyivel nyúlik eg az ábra szerinti elrendezésben a két test közé iktatott rugó, aikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló ozgásban van? A csiga, a rugó és a fonál töegét ne vegyük figyelebe. Legyen kg, a súrlódási együttható µ 0,, a rugóállandó D 4 N/c. g Itt is felírjuk a Newton-törvényeket, figyelebe véve azt, hogy a rendszer csak az asztal felülete entén ozog., : a g K, : 0 0, : a K F r F s,, : 0 g 3, : a F r F s, 3, : 0 g, ahol F s, µ és F s, µ. A erőleges egyenletekből a tartóerőket eghatározva, ajd behelyettesítve a párhuzaos irányokra felírt egyenletekbe:, : a g K, : a K F r µg 3, : a F r µg. A háro egyenlet összegéből: a µ g, 3 elyet visszahelyettesítve az utolsóba: µ g F r µg 3 F r + µ g. 3 Vagyis a rugó egnyúlása: l F r D + µ 3 g D + 0, kg 0 s 3 4 N c 0,0. III/3.9. feladat: A kg töegű kiskocsi vízszintes síkon súrlódás nélkül ozoghat. A kocsira 0,5 kg töegű hasábot helyeztünk, és a hasábot F N vízszintes irányú erővel húzzuk. Mekkora a hasáb, illetve a kocsi gyorsulása, ha közöttük a tapadási súrlódási együttható µ tap 0,5, csúszó súrlódási együttható pedig µ cs 0,0? Mekkora a gyorsulás F 0 N-os húzóerő esetén? (g 0 /s )

13 Bevezető fizika (vill), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások K,y Fs K d 3 F K g K,x α g g h 4 Száoljuk ki a axiális tapadási erőt. Ebből kiderül, hogy a kocsi és a test összetapadva arad, vagy egyáshoz képest elozdul. ehát: Ftap µtap µtap g 0,5 0,5 kg 0 /s,5 N, azaz az első esetben F < Ftap, így egyben aradnak. A talajon nincsen súrlódás, így csak az F gyorsító erő száít: F ( + )a, aelyből: a N F 0,4 /s. + 0,5 kg + kg A ásodik esetben F0 > Ftap, azaz külön ozognak. A test ozgásegyenlete: F0 Fs a0, azaz: A felfüggesztési pontra felírva Newton II. törvényét: F0 Fs F 0 µcs g 0 N 0,0 0,5 kg 0 /s 0,5 kg 9,9 /s. a0 x: 0 K cos α K y: 0 K sin α G, ahonnan A kocsira Fs a0, aelyből: a0 A rudak csuklókkal vannak a falhoz és egyáshoz erősítve. Azok entén tetszőleges irányú és nagyságú erők hathatnak. A stabilitás iatt azonban a rudakban itt csak azok tengelyével párhuzaos erők hathatnak. együk ugyanis fel, hogy a felső rúd ne vízszintes erővel hat a test felfüggesztési pontjára. Ha így lenne, akkor a felfüggesztési pont a rúdra szintén ne vízszintes irányban hatna az ellenerejével. Ez az erő pedig azt okozná, hogy a fenti rúd elfordulna a falba rögzített csukló körül, vagyis ne lenne nyugaloban a rendszer. Hasonló gondolatenettel be lehet látni, hogy az alsó rúd is csak a tengelye entén fejthet ki erőt. G 800 N N sin α 5 3 K K cos α 000 N 600 N. 5 K Fs µcs g 0,0 0,5 kg 0 /s kg 0,05 /s, A kocsi lassan elindul hátrafelé. III/5.9. feladat: Az ábrán látható tartón G 800 N súlyú teher függ. Mekkora erők hatnak a rudakban? III/5.6. feladat: Az töegű testet két fonál segítségével, az ábrán látható ódon függesztünk fel. Az asztallapon fekvő test töege 7 kg, az asztal és közötte a súrlódási együttható µ 0,5. Mekkora töeg esetén van egyensúly? VGY &NB 3

14 Bevezető fizika (vill), 3. feladatsor Dinaika. és Statika F s g y K x K Az egyensúly feltétele a testre (): x : K F s 0, y : g 0, K 45 g illetve tudjuk, hogy F s µ. A rögzítési pontra (): x : K x K K cos α K 0, y : K y g K sin α g 0. Az elsőből kifejezhető K F s µ g, aely beírható a ásodik párba. Így K cos α µ g 0, azaz K µ g cos α, és az y-ra vonatkozó egyenlet: A forgás tengelye az a pont, ahol a földre ér a deszka csúcsa. Ha a deszka l hosszú, akkor a súlya l/-nél hat, az eberi erő pedig l-nél. A forgatást jelentő erőleges koponens nagysága g g sin α. Ez alapján a forgatónyoatékunk a deszkára: M 0 g l + F l, ahol figyelebe vettük, ahogy az ellenkező irányú erők ellentétes forgatónyoatékot jelentenek. Az egyensúly feltétele, hogy M 0, azaz: 0 0 g l + F l 0 g + F F g g sin α 400 sin 30 DRS >73 N?? Otthoni gyakorlásra: 3.0, 3.6, 3.5, 3., 3.3, 5.7, N???? A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. µ g cos α Ebből a keresett töeg: sin α g 0. µ tgα 0,5 7 kg tg45 8 kg. III/5.0. feladat: Egy unkás g 400 N súlyú, hoogén töegeloszlású deszkát egyik végénél fogva a vízszinteshez képest α 30 -os szögben tart. A deszka ásik vége a földön fekszik. Mekkora erő szükséges ehhez, ha az általa kifejtett erő iránya erőleges a deszka egyenesére? α F g g 4

15 Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény A ai órához szükséges eléleti anyag: K unka W F s F s cos α skalárszorzat (száít az irány!). [W ] J szakaszokra bontás, határesetben integrálás (W s s Fds), azaz a görbe alatti terület! nehézségi erőtér helyzeti energia: E h gh, ai negatív is lehet (pl. talajszint alatt) kinetikus/ozgási energia: E k v rugó: E r Dx (x a egnyúlás, D a rugóállandó) unkatétel E k W teljesítény (P W t kwh 3600 kj Órai feladatok: ), hatásfok (η hasznos összes ), IV/4.7. feladat: α 30 -os lejtőn valaki egy 0 kilograos bőröndöt tol fel vízszintes irányú erővel h éter agasra. A ozgási súrlódási együttható µ 0,. A bőrönd ozgása egyenletes. Mennyi unkát végez: a) az eber, b) a súrlódási erő, c) a bőröndre ható nehézségi erő, d) a lejtő nyoóereje, e) a bőröndre ható erők eredője? (g 0 /s ) F h F g F g F s g Mivel állandó erők hatnak, így a unkát ki lehet száítani az erő és az elozdulás skaláris szorzataként. A feladat egoldásához először határozzuk eg, hogy ekkora F erőre van szükség. A Newtonegyenleteket felírva azt kapjuk, hogy : s α 0 K g cos α F sin α : 0 F cos α g sin α F s, ahol F s µ K, és K az első egyenletből kifejezhető: K g cos α + F sin α, elyet a ásodik egyenletbe helyettesítve: 0 F cos α g sin α µ (g cos α + F sin α ) F sin α + µ cos α cos α µ sin α g. Szükségünk lesz ég a többi erő nagyságára is: K g cos α + F sin α sin α + µ cos α g cos α + g sin α cos α µ sin α cos α µ cos α sin α + sin α + µ cos α sin α cos α µ sin α g 5

16 Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény egoldások g, cos α µ sin α Fs µk µg. cos α µ sin α tudjuk, hogy a rugóerő Fr (x) D x, ahol x a egnyúlás, és a i erőnk ennek az ellenereje. A unka kiszáolásához először tekintsünk azt a pillanatot, ikor éppen xi -vel van egnyújtva a rugó. Próbáljuk ekkor a rugót ég egy nagyon pici x hosszal ég jobban egnyújtani. Ez olyan kis távolság, hogy ez alatt az erő gyakorlatilag ne változik, végig Fr (x) D xi. Ekkor a unkánk erre a kis x szakaszra: a) Az eber által végzett unka: Weber F s F s cos α sin α + µ cos α h g cos α cos α µ sin α sin α sin , cos 30 cos 30 0, sin 30 cos 30 0 kg 0 s sin ,87 J. W (xi ) Fr (x) x D xi x. A teljes egnyújtásra száolt unkát úgy kapjuk, hogy a l távolságot felosztjuk sok ilyen pici x szakaszra, kiszáoljuk a unkát az egyes szakaszokra, ajd összeadjuk őket. Vegyük észre, hogy az így száított összeg, éppen az Fr (x) függvény alatti terület téglalapösszege. b) A súrlódási erő által végzett unka: Ws F s Fs s µg h cos α µ sin α sin α 0, 0 kg 0 s cos 30 0, sin 30 sin 30 08,87 J. Fx () Fr (x) Fr (xi ) x c) A nehézségi erő unkája h Wg g s gk s g sin α sin α 0 kg J. s d) A lejtő nyoóereje ne végez unkát, hiszen az erőleges az s elozdulásra. e) A bőröndre ható erők eredője nulla, hiszen a bőrönd összgyorsulása nulla. Ennek unkája terészetesen nulla. x x W li N Z l Ennek a unkának a kiszáolásánál az a probléa, hogy az általunk kifejtett erő ne állandó, hiszen xn l x N X W (xi ) li N i Z l N X D xi x i l dw (x) D x dx Dx D ( l) D 0 D ( l) N 500 (0, ),5 J. IV/4.. feladat: Rugós erőérőt l 0 c-rel kihúztunk. Mekkora unkát végeztünk a egnyújtáskor, ha a utató F 50 N nagyságú erőt jelez? F 50 N N D 500. l 0, xi Ha egyre finoítjuk a felosztást, akkor az Fr (x) függvény alatti területet kapjuk a x [0, l] tartoányon. A téglalapösszeg pedig egy integrálásba egy át: Vegyük észre, hogy ezt a korábbi eredényekből is egkapjuk, hiszen ha összeadjuk az összes erő unkáját, akkor is nullát kapunk. Először száoljuk ki a rugó állandóját: IV/4.9. feladat: h0 0 éter ély kútból, éterenként Flánc 0 N súlyú lánccal vizet húzunk fel. A vödör súlya vízzel együtt Fvödör 0 N. Mekkora unka árán tudunk egy vödör vizet felhúzni? VGY &NB 6

17 Miközben húzzuk fel a vödröt a lánc kikerül a kútból és egyre kisebb lesz a súly, ait húzunk. Foralizálva a húzóerő a élység függvényében: F h (h) F vödör + hf lánc, aelyet összegeznünk kell h 0-tól h 0 -ig. Az erőagasság grafikon: F [N] Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény egoldások Aelyből fejezzük ki a sebességet: ( v s ) v0 387,3 /s. s ax IV/4.39. feladat: Az ábrán látható ingát 90 -kal kitérítjük és elengedjük. Az asztal szélén levő, vele egyenlő töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. Határozzuk eg, hogy az asztaltól ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó! W 0 l h 0 0 h A területet feloszthatjuk egy négyzetre (a vödör felhúzásának unkája), és egy kis hároszögre (lánc húzása). A két unka külön a terület alapján: W F vödör h 0 00 J, W (h 0F lánc ) h J. Összesen tehát W W + W 700 J. Megtehetjük azt is, hogy kihasználjuk, hogy az integrálszáítás érteében a unka: W h0 0 F (h)dh h0 [F vödör h + h F lánc 0 (F vödör + hf lánc ) dh ] h J. IV/4.3. feladat: Oldjuk eg a unkatétellel a következő feladatot: v /s sebességű puskagolyó s ax 5 c élyen hatol be a fába. Mekkora volt a sebessége s c élységben? ételezzük fel, hogy a fa fékező ereje állandó. A unkatétel szerint E kin W, kifejtve W F fék s ax, íg E kin 0 v 0. Így a fékezőerő: F fék v 0. s ax Ha csak c-t haladunk, akkor a ozgási energia egváltozása E kin v v 0, íg a unka W F fék s, azaz a unkatétel szerint: v v 0 F fék s v 0 s ax s h A ozgás több részre bontható. Először az inga lelendül ( ), ajd egtörténik az ütközés ( 3), végül pedig a ásodik test leesik (3 4). Ezeket a speciális állapotokat ind összeköti a unkatétel, elyet használhatunk. : Az ingatest lelendül. Válasszuk a helyzeti energia nullszintjét az asztal szintjének. Ekkor a testnek az () pontban van helyzeti energiája, á nincs ozgási energiája, ezzel szeben a () helyzetben helyzeti energiája nincs, cserébe viszont ozgási energiája lett, hiszen v sebességgel ozog. A testre a kötélerő hat, ai sose végez unkát, illetve hat rá a nehézségi erő, annak a unkáját viszont helyzeti energiában vettük figyelebe. Ez alapján a unkatörvény: W ( ) E kin + E pot ( ) 0 v (gl) v gl. 3: Itt történik eg az ütközés. Mivel az ütközés teljesen rugalas, így az ütközés során az energia egarad. Szintén ivel a külső erők unkája nulla, így az ipulzusegaradást is lehet használni. A két törvény: v + 0 v 3 + u 3 7

18 Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény egoldások v + 0 v 3 + u 3, ahol az u-val jelölt tagok a kezdetben álló golyó jellezői. A két egyenlet egyszerűsítve: v v 3 + u 3 v v 3 + u 3, ajd a ásodik egyenlet négyzetre eelve: v v 3 + u 3 + v 3 v 3, és ebből az első egyenletet kivonva: 0 v 3 u 3, tehát vagy az első vagy a ásodik test állni fog az ütközés után. Az ipulzusegaradást kifejező egyenletre pillantva láthatjuk, hogy ha az egyik sebesség nulla, akkor a teljes kezdeti sebességet a ásik test kapja eg. Innen adódik, hogy a kezdetben ozgó golyónak kell egállnia, és a ásiknak ugyanakkora sebességgel továbbhaladnia, hiszen a fordított eset ne lehetséges. ehát v 3 0, u 3 v gl. 3 4: A ozgás utolsó szakaszában egy vízszintes hajítás történik. A leesés ideje h g, ely alatt a test h s u 3 g gl lh utat tesz eg. IV/8.46. feladat: Egy részecske csupán az x tengely entén ozoghat. Az ábrán a részecske potenciális energiájának a helytől való függése látható. A; Ábrázoljuk grafikonon (hozzávetőlegesen) a részecskére ható erőt, int a hely függvényét. B; Feltéve, hogy a részecske valailyen rezgő ozgást végez, legfeljebb ennyi lehet ozgási energiája? E pot Vannak olyan esetek, aikor a erő felírható a potenciális erő segítségével. Ilyen a kapcsolat az, hogy erő ne ás, int görbe eredekségének ellentettje. Nézzük az ábrát. Kezdetben az energia csökken, tehát a eredeksége negatív, vagyis az erő x 0 -ig pozitív lesz. Ott az iniu van, a eredekség és az erő is 0. Ezt követően a függvény növekszik, tehát az erőnek negatívnak kell lennie. A kapott ábra: E 0 F x 0 A rezgő ozgás azt jelenti, hogy rögzített energia ellett különböző helyeken (x) is felvehet ugyanakkora potenciális energiát. Ez az x tengely alatti szakaszra érvényes. A iniális potenciális energia E 0, ha ennél egy kicsit több van akkor abban a agasságban eletszve a függvényt egkapjuk a rezgés két végpontját. A végpontban a sebesség 0 (lásd egy rugó), így a kinetikus energia is. Azonban aikor a köztes szakaszra érünk a potenciális energia lecsökken, és a különbségből lesz a kinetikus energiája. IV/4.4. feladat: g 00 N súlyú testet F 0 N nagyságú erővel eelünk. Mekkora a teljesítény az indulás után ásodperccel? Mekkora az átlagteljesítény az első ásodperc alatt? A pillanatnyi teljesítény P F v. A testre ható erők eredője F e 0 N 00 N 0 N, vagyis a test gyorsulása a 0 N 0 kg. s Kezdetben a test állt, idő elteltével a test sebessége: v( ) a s 4 s s. Mivel ez a sebesség felfelé utat, így egy irányba esik az eelőerővel. A teljesítényünk tehát: P ( s) 0 N 4 s 480 W. Az átlagteljesítény kiszáításához tudnunk kell, hogy hogyan változik a pillanatnyi teljesítény az időben. Az időfüggés a sebességen keresztül történik: x E 0 x 0 x P (t) F v(t) F a t. Mivel a teljesítény az idővel lineáris kapcsolatban áll, így az átlagteljesítény száolható, int a kezdeti és a végállapotban lévő pillanatnyi teljesítény 8

19 szátani közepe: Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény P átl P ( s) + P (0) Otthoni gyakorlásra: 480 W W. IV/4.6. feladat: Mekkora átlagos teljesíténnyel lehet egy 000 kg töegű szeélyautót 0 ásodperc alatt, álló helyzetből 00 k/h sebességre gyorsítani? IV/4.30. feladat: v 0 5 /s kezdősebességgel függőlegesen lefelé hajítunk egy követ. Mennyi idő alatt négyszereződik eg a ozgási energiája? IV/4.3. feladat: Egy ládát állandó sebességgel húzunk vízszintes talajon. Mozgás közben F s 50 N a fellépő súrlódási erő. Milyen esszire húzhatjuk el a ládát W i 0,00 kwh unka árán? IV/4.3. feladat: Egy ejtőernyős kiugrik egy 000 agasságban szálló repülőgépből. (A gép vízszintesen repül, sebessége 00 /s.) Az ejtőernyős sebessége földet éréskor 5 /s. öege az ernyővel együtt 00 kg. Mennyi unkát végzett a közegellenállás? IV/4.9. feladat: Mekkora unkavégzéssel jár egy 4 kg töegű test felgyorsítása vízszintes talajon v v 3 /s sebességre s éter úton, ha a talaj és a test közötti súrlódás együtthatója µ 0,3? (g 0 /s ) IV/D6. feladat: Az ábrán látható 0,0 kg töegű testtel l 7,5 c-rel összenyotuk a D 4 N/ rugóállandójú rugót, ajd a testet elengedtük. A test és a vízszintes felület közti ozgási súrlódási együttható értéke µ 0,5. Mekkora utat tesz eg a test a egállásig? v A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. 9

20 Bevezető fizika (vill), 5. feladatsor Körozgás A ai órához szükséges eléleti anyag: egyenletes körozgás periódusidő, frekvencia, szögsebesség, kerületi sebesség, centripetális gyorsulás és erő radiális és tangenciális irány kapcsolat az egyenes és körpályán történő ozgás között Órai feladatok: V/6.. feladat: Forgó kerék két ugyanazon sugáron levő pontjának sebessége v 3 /s, illetve v 7 /s. Mekkora a kerék szögsebessége, ha a két pont egyástól való távolsága r 30 c? A kerületi sebességük különböző de szögsebességük azonos, azaz: v r ω (r + r) ω v r ω összevonva v v + r ω, aelyből a szögsebesség: ω v v r 3 /s 7 /s 0,3 0 s. V/6.5. feladat: Mekkora a U-44 utasszállító repülőgép centripetális gyorsulása, ha v 400 k/h sebességgel r 80 k sugarú körívben halad fordulás közben? Ily ódon ennyi időbe telik, aíg északi irányból kelet felé fordul? Mennyi utat tesz eg e fordulás közben? A centripetális gyorsulás: a cp v r ( ) 400 k h /3,6 s k h , 5 /s. A negyedkör alatt egtett út: s rπ 4 az ehhez szükséges idő: t s v 80 k π 4 5,6 k, 5,6 k 88,5 s. 400 k/h V/6.7. feladat: 000 kg töegű gépkocsi dobvidéken halad, egyenletes v 0 7 k/h sebességgel. Az A és B pontokban az út R 00 illetve R 50 sugarú körív, a C pontban vízszintes. a) Határozzuk eg e háro pontban az út által a gépkocsira kifejtett nyoóerő irányát és nagyságát. b) Mennyi lehet a gépkocsi axiális sebessége az A pontban? (g 0 /s ) R R g A g B g a) A C pontban az autó egyenesen halad, függőlegesen ne végez ozgást, így az ilyen irányú gyorsulása nulla. A II. Newton-törvény alapján C g 0 4 N. A gépkocsi az A és a B pontban körpályán halad, iközben az aktuális kerületi sebessége v 0. A körpályán való haladás feltétele, hogy a kocsira ható C 0

21 erők eredője biztosítsa az autónak a centripetális gyorsulást. Az A pontban F cp g A v 0 R A g v kg 600 N. R ( ) 0 ( 0 s s 00 ahol A az út és az autó között fellépő nyoóerő. A B pontban a centripetális gyorsulás ellentétes irányba kell, hogy utasson, így F cp B g v 0 R B g + v kg 8000 N. R ( 0 ( 0 s + s 50 b) Vegyük észre, hogy ha a A kifejezésében, a v 0 sebesség túl nagy, akkor a A akár negatív is lehetne. Ez azonban ne valós egoldás, hiszen a tartóerő csak nyoni tud, húzni ne. Ha ez az eset állna fenn, akkor az azt jelentené, hogy az A pontban az autó ár ne ér hozzá az aszfalthoz, ivel az ár korábban eleelkedett attól. A határeset akkor következik be, aikor a tartóerő éppen nulla. Ekkor a nehézségi erő ég éppen tudja biztosítani a körpályán való aradáshoz szükséges centripetális gyorsulást: g v ax R v ax R g 3,6 s. V/6.0. feladat: Az l hosszúságú fonálra függesztett töegű golyó ingaként leng. A legnagyobb kitérés ϕ ax 30. Mekkora erő hat a fonálban, aikor a) az inga szélső helyzetben van; b) a függőleges helyzeten halad át? Mennyi a gyorsulása az előbbi helyzetekben? ) ) ) Bevezető fizika (vill), 5. feladatsor Körozgás egoldások K h ϕ g l g tg K g g r Az ingatest körozgást végez, vagyis a rá ható erők eredőjének sugárirányú koponense az, ai a test centripetális gyorsulását adja: a cp v l K g cos ϕ. a) A legszélső helyzetben a test sebessége nulla, vagyis az előző egyenlet alapján: K g cos 30. b) A pálya aló pontjában viszont K g + v l A unkatételt felhasználva ezt a sebességet is ki tudjuk száítani. A testre csak a kötélerő és a nehézségi erő hat, elyek közül a kötélerő sose végez unkát, hiszen az indig erőleges a ozgás irányára. A nehézségi erő unkáját pedig a helyzeti energiával fogjuk figyelebe venni. Legyen az egyik állapot az inga axiális kitérése, a ásik pedig az alsó helyzeten való áthaladás. Erre a két pontra felírva a unkatételt: ahonnan 0 W E E E E E v gh gl( cos ϕ) v gl( cos ϕ), K g [3 cos ϕ]. V/6.. feladat: a) Milyen erő hat a Föld körül keringő űrhajóban lebegő űrhajósra? b) Milyen erő hat a Föld felé szabadon eső testre? c) Milyen erő hat a Föld felé zuhanó repülőgépben lebegő pilótára?.

22 Bevezető fizika (vill), 5. feladatsor Körozgás egoldások a, A Föld nehézségi vonzása b, ugyanaz c, ugyancsak a nehézségi vonzás. V/6.5. feladat: Egy gépkocsi v 08 k/h sebességgel halad. Kerekeinek átérője d 75 c. Mekkora a kerekek szögsebessége? Az autó éppen akkora sebességgel halad, int aekkora a kerekei egy pontjának kerületi sebessége. Ez a legegyszerűbben onnan látható be, hogy tudjuk, hogy a kerék az aszfalton tapad, vagyis a kerék legalsó pontja a kocsi ozgása során indig áll. Mivel az autó inden pontja előre felé halad v sebességgel, ezért a kerék külső pontjainak kerületi sebessége olyan kell hogy legyen, hogy a legalsó pont indig álljon, vagyis a kerületi sebességnek is v-nek kell lennie. Így a szögsebesség: ω v d/ k 08 h 37,5 c 80 s. V/6.30. feladat: Egy fonálingát nyugali helyzetéhez képest 90 - kal kitérítünk, ajd elengedünk. Aikor az inga átlendül a függőleges helyzeten, a fonál egy szögbe ütközik. A fonal hosszának hányadrészénél lehet a szög, ha azt akarjuk, hogy a fonál végére kötött test további pályája teljes egészében kör legyen? r 3 l íg a ozgási energia egváltozása: E kin v v. }{{} 0 Másrészt a körozgás feltételéből a centripetális és nehézségi erő egegyezik ebben a pontban: v r g, aelyből v gr. Ezt behelyettesítve a unkatételbe: g(l r ) gr r 0,4l. V/6.39. feladat: Egy űrálloás l 30 hosszú rúddal összekötött két kisebb űrkabinból áll. Milyen szögsebességgel kell az űrálloásnak a rúd középpontján átenő képzelt tengely körül forognia, ha azt akarjuk, hogy az űrkabin lakói a Föld felszínén egszokott súlyú állapotban érezzék agukat? (g 0 /s ) Miközben az űrálloás forog, a kabinok, és így a bennük lévő testek körozgást végeznek. A körozgás során a testek gyorsulnak, ezt a gyorsulást pedig az alátáasztást adó tartóerők biztosítják a testeknek. Az űrkabinban lévő űrhajós azt érzékei, hogy a környezetéhez képest nyugaloban van, illetve az alátáasztás őt nyoja. Az ő szeszögéből ez csak úgy agyarázható, ha őrá hat egy fiktív tehetetlenségi erő (a centripetális erő), elyet ő érez, és ez az, ai őt az alátáasztáshoz nyoja. Ezt a centripetális erőt érezzük úgy, intha az egy esterséges nehézségi erő lenne. Ez az erő egyenlő nagyságú az alátáasztás erejével, vagyis a centripetális erő nagyságával: G esterséges g v l/ l ω g 0 s ω l 30 0,8 s A teljes kör egtételének feltétele, hogy elérjük a kis kör legfelső pontját és az inga átlendüljön rajta. Használjuk a unkatételt. A nehézségi erő unkája: W g(l r ), V/6.33. feladat: Egy r 0,6 éter sugarú göb tetején egy kis golyót elengedünk. A göb tetejétől száítva ilyen agasságban hagyja el a golyó a göböt? (A súrlódástól eltekintünk.)

23 Bevezető fizika (vill), 5. feladatsor Körozgás ϕ g r g t g A göböt akkor hagyja el a golyó, aikor a felület tartóereje egszűnik. Írjuk fel az egyenleteket a radiális és tangenciális koponensekre: r : g cos ϕ r t : a g sin ϕ. v A tetejéről való indulással felírhatjuk a unkatételt is: v 0 g(r r cos ϕ) azaz v gr( cos ϕ), ait behelyettesíthetünk a sugárirányú egyenletbe: g( cos ϕ) g cos ϕ és kifejezhetjük a felület tartóerejét: g( 3 cos ϕ). Ez zérus, ha 3 cos ϕ 0, vagyis ha cos ϕ 3. Azaz a göb agasságához képest h r r cos ϕ r 3 0, agasságnál hagyja el a göböt. Otthoni gyakorlásra: 6.3, 6.4, 6.8, 6.9, 6., 6.4, 6.9, 6.5, 6., 6.6 A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. 3

24 Bevezető fizika (vill), 6. feladatsor Elektrosztatika A ai órához szükséges eléleti anyag: töltés (Q, [Q] C), tapasztalat (azonos taszít, ellentétes vonz), Coulob-törvény F 4πε 0 }{{} N C Q Q r r r, vákuu perittivitása ε 0 8,85 0 C, relatív perittivitás ε N r q próbatöltésre ható erő elektroos tér (E F q ) erővonalkép, hoogén erőtér unkavégzés W Fs qes, feszültség/potenciálkülönbség (U Es, [U] V) kondenzátor C Q U, [C] F, síkkondenzátor C ε A l, energia, U CU sorosan/párhuzaosan kapcsolt kondenzátor eredő kapacitása Órai feladatok: VI/7.4. feladat: Két pozitív, pontszerű töltés, Q és 4Q, egyástól l távolságban van rögzítve. Hol kell elhelyezni egy pontszerű Q töltést, hogy egyensúlyban legyen? A töltések egegyező előjelűek, tehát indketten vonzani/taszítani fogják a próbatestet. Egyensúly akkor lehet, ha kioltják egyást, ai csak egy vonalba esés esetén valósulhat eg. Q F C x Q F C 4Q Az középsőre ható erők egyensúlyban: F C + F C 0 F C F C 0 Q 4πε 0 x 4Q 4πε 0 (l x) 0, aelyből a következő ásodfokú egyenletet kapjuk: A egoldóképlet szerint: x + 3 lx 3 l 0. x, 3 l ± 4 9 l l l ( ± ) 5, 3... aelyek közül a fizikailag helyes egoldás az x 0,4l. VI/7.6. feladat: Hoogén elektrosztatikus tér pontjaiban a térerősség E 0 5 V/. Mekkora erő hat a térben levő q 0 8 C töltésű kicsi fégolyóra? Mennyi a golyó gyorsulása, ha töege 5 g? A testre a Coulob-erő hat, aely felírható a térerősséggel: F qe 0 8 C 0 5 N C 0 3 N. Newton törvénye értelében az erő alapján a gyorsulás: a F 0 3 N kg 0,4 s. 4

25 VI/7.7. feladat: Síkkondenzátor hoogén elektroos terében a térerősség E 000 N/C. Az ábra szerinti elrendezés esetén, az AD és BC szakaszok c hosszúságúak. a) Mennyi unkát végeznek az elektroos erők, ha Q C pozitív töltés az A pontból a C pontba: az ABC; vagy az ADC; vagy közvetlenül az AC úton ozdul el? b) Mennyivel kisebb a B; C; D; pontban a potenciál, int az A pontban? c) Mennyi a kondenzátor leezei között a feszültség, ha a leezek távolsága 3 c? D C Bevezető fizika (vill), 6. feladatsor Elektrosztatika egoldások A kondenzátor leezei közötti feszültség nagysága V 000 V 3 c 30 V. VI/7.8. feladat: Mekkora sebességre gyorsul fel vákuuban, hoogén elektrosztatikus térben, s úton az eredetileg nyugvó elektroos részecske? ( 0 6 g; Q 0 7 C, E 0 4 V/; s 0 c) Használjuk a unkatételt! Az egyik oldalon külső gyorsító erőként ott van az elektroos tér, íg a ásikon a ozgási energia változásából kijön a sebesség: A A töltésre ható erő: F QE C 000 N/C N, elynek iránya egegyezik az elektroos térerősség irányával, vagyis felfelé utat. Az erő állandó: annak nagysága és iránya független a töltés helyétől. Az AB és a DC egyenesek entén végzett unka nulla, hiszen itt az elozdulás és az erő egyásra erőleges, így a skalárszorzat nulla. Az AD és a BC egyenesek entén pedig az elozdulás párhuzaos az erő irányával, így a unka: B + W AD W BC F AD F AD N c J. Az AC úton végzett unkát hasonlóan száolhatjuk: W AC F AC F AD AC cos α F cos α cos α W AD. QEs v 0 v QEs 0 5 s 447, s. 0 7 C 0 4 N C 0, 0 9 kg VI/7.0. feladat: Mekkora a térerősség és a potenciál egy töör, töltött fégöb belsejében? Mivel a göb ideális vezető, így annak belsejében ne lehet térerősség. Ennek az az oka, hogy ha lenne, akkor a fé belsejében lévő többi töltésre azonnal hatna a Coulob erő, és azok elozdulnának, és azok egészen addig ozognának, íg olyan állapot áll be, hogy ne hat ár rájuk erő. A göbön belül a potenciál pedig állandó. Ennek oka, hogy a göb belsejében a térerősség nulla, abban sehol se eshet feszültség, vagyis seelyik két pont között nincs potenciálkülönbség. A feszültség hoogén térerősség esetében: V E s W Q, E(r) U(r) vagyis az AB szakaszon ne esik feszültség, az AD és az AC szakaszokon pedig r r V AC V AD J C 0 V. R r R r 5

26 Bevezető fizika (vill), 6. feladatsor Elektrosztatika egoldások VI/7.. feladat: Féből készült, töltetlen göbhéj középpontjában +Q pontszerű töltés helyezkedik el. a) Hogyan helyezkednek el a egosztott töltések a göbhéjon? b) Rajzoljuk eg vázlatosan az erővonalakat a göbön belül és kívül! c) Hat-e erő a göbön kívül levő töltésre? d) A göböt lefödve, hogyan változik eg a töltések eloszlása? a) A göbhéj külső és belső felületére töltések fognak felhalozódni. A belső töltésfelhalozódásnak az oka a göb közepén található töltés egosztó hatása, a göbhéj negatív töltései ahhoz közel, íg annak pozitív töltései attól távol szeretnének elhelyezkedni. Kérdés ég, hogy a göbhéj belsejében található-e szabad töltés. Mivel a göbhéj ideális vezető, így annak belsejében ne lehet térerősség. Ennek az az oka, hogy ha lenne, akkor a fé belsejében lévő többi töltésre azonnal hatna a Coulob erő, és azok elozdulnának, és azok egészen addig ozognának, íg olyan állapot áll be, hogy ne hat ár rájuk erő. Ezek ellett ég azt is tudjuk, hogy a töltések irány szerinti eloszlása egyenletes lesz, elynek oka, hogy a probléa göbszietrikus. b) Az erővonalat párhuzaosak az elektroos térerősség irányával, és az erővonalak sűrűsége arányos a térerősség nagyságával. c) Igen Q d) A göbhéj külső felületén az ott felhalozódó pozitív töltések taszítják egyást. Ha földeljük azt a felületet, akkor ezek a töltések ár el tudnak távolodni egyástól, így a felületen egszűnik a töltésfelhalozódás: a felület seleges lesz. VI/7.3. feladat: Sorosan kapcsolunk egy C 4 µf-os és egy C 6 µf-os kondenzátort. Mekkora töltéstől töltődik fel a rendszer U 0 V-ra? Sorosan kapcsolt kapacitások esetén az eredő nagysága: C C + C F F, az eredő C,4 µf. A kondenzátorokra jutó töltés: Q CU,4 µf 0 V 5,8 0 4 C. VI/7.6. feladat: Egy C kapacitású kondenzátorra Q töltést visznek, ajd lekapcsolják a telepről. Hogyan változik a kondenzátor elektrosztatikus energiája, ha leezeit távolítják egyástól? A lekapcsolás után a kondenzátoron levő töltésnek eg kell aradnia. A kondenzátor energiája: E C CU Q C, aelybe behelyettesíthetjük a síkkondenzátorra vonatkozó iseretünket ( C ε A ) l, és így: E C Q εa l. Ez alapján ha leezeket távolítjuk (l nő), akkor az energia is növekedni fog. VI/7.6. feladat: Mekkora eredő kapacitást kapunk, ha C µf és C 3 µf kapacitású kondenzátort a) sorba, b) párhuzaosan kapcsolunk? a, Sorba kapcsolás esetén: ( C + ) ( C C 0 6 F F, µf. b, Ha párhuzaosan kapcsoljuk őket: C C + C µf + 3 µf 5 µf. ) Megj. Ez a példa előrevehető első kondenzátoros példának, aztán a levezetést hozzá el lehet közben ondani. VI/7.7. feladat: Két sorba kötött kondenzátorra, aelyek kapacitása C µf és C 4 µf; U 0 V feszültséget kapcsolunk. Mekkora az egyes kondenzátorokra jutó feszültség? 6

27 A soros kapcsolás iatt indkét kondenzátorra ugyanakkora töltés jut, azaz: C U C U C (U U ) (C + C ) U C U U C C + C U 80 V. 4 µf µf + 4 µf 0 V Bevezető fizika (vill), 6. feladatsor Elektrosztatika 0 V + 6 V 60 µf 36 µf. 80 V 0 V Otthoni gyakorlásra: 7.5, 7., 7.4, 7., 7.3, 7.4, 7.7, 7.8, K6 A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. A ásik kondenzátorra U U U 0 V 80 V 40 V jut. VI/7.30. feladat: Iseretlen kapacitású, U 80 V-ra feltöltött kondenzátor sarkait összekapcsoljuk egy U 6 V-ra feltöltött, C 60 µf kapacitású kondenzátor sarkaival. Határozzuk eg az iseretlen kapacitást, ha az összekapcsolás után a kondenzátorok közös feszültsége U k 0 V; és összekötéskor az a) egyező pólusokat; b) ellentétes pólusokat kapcsoltuk össze! A ásodik kondenzátorra Q C U 6 V 60 µf 960 µc töltés jut. a, Egyező pólusok összekapcsolása esetén a töltések összeadódnak és indkét kapacitáson azonos feszültség alakul ki. Az összeállítás a párhuzaos kapcsolásra elékeztet. Azaz igaz lesz, hogy: aely tovább fejtve: C C + C Q Q + Q, U k C C U + C U U k (C + C ) C U + C U C U k U C U U k 0 V 6 V 60 µf 4 µf. 80 V 0 V A ost fordítva kötjük össze őket, így a töltések kioltják egyást, azaz a fenti állítások közül ódosul a haradik: Q Q Q, aely hasonlóan továbbvihető: U k C C U C U U k (C + C ) C U C U C U k + U U U k C 7