Bevezető fizika informatikusoknak

Átírás

1 Fs F g Fr 3 g Fr Fs g Bevezető fizika inforatikusoknak k F Utolsó ódosítás 05. február 3. 3:05 α Fsúrl K l Nagyfalusi Balázs Vida György József g h g Q Ω A Ω 0 30 Ω É D D É U 4 V a) b) D É c) α α S0 k β t n BME Fizikai Intézet 05 K g Kidolgozott példák gyűjteénye x K K Fs g y F S f

2 Előszó A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudoányi Egyeteen a frissen felvett érnökhallgatók körében az utóbbi években egnövekedett az igény a középiskolai fizika összefoglalására, átisétlésére az egyetei tanulányok kezdetén. Így született eg a Bevezető fizika nevű tárgya, aelynek anyaga ár állandósult az évek folyaán. A szerzők az idei őszi félév során úgy döntöttek, hogy az órákhoz készített jegyzeteiknek elkészítik az elektronikus változatát is a félév során. Ezek hétről hétre kikerültek a hallgatósághoz, azonban így a félév végén úgy döntöttünk, hogy egységes forába öntjük a részeket, és így született eg ez a ű. erészetesen előfordulhatnak benne ég hibák (sőt inden bizonnyal vannak ég benne), és ég egy-két helyen bővítésre szorul, de azért hasznos olvasány lehet a tárgy hallgatói és persze inden érdeklődő száára. Budapest, 05. január Nagyfalusi Balázs és Vida György József

3 Bevezető fizika (info),. feladatsor A ai órához szükséges eléleti anyag: Alapfogalak (út, sebesség, gyorsulás egyenes vonalú ozgásoknál) Az egyenes vonalú egyenletes ozgás Az egyenes vonalú egyenletesen változó ozgás Mozgások függetlenségének elve szabadesés, hajítások a következő gyakorlat első felében! Órai feladatok: I/.. feladat: Egyenletesen ozgó gyalogos sebessége v 4,5 k/h. Mekkora utat tesz eg t 75 perc alatt? A egtett út: s v t 4,5 k h in 4, s s I/.6. feladat: Két helyiség között a kocsik átlagsebessége az egyik irányban v 40 k/h, a ásik irányban v 60 k/h. Mekkora az átlagsebesség egy teljes fordulót figyelebe véve? Az átlagsebesség az teljes egtett út és az ehhez szükséges idő hányadosa. Legyen s a távolság a két település között. Ekkor a teljes egtett út s. Az odaút és a visszaút időtartaa: vagyis az átlagsebesség: v s t t s v t s v, s t + t s s v + s v v +. v I/.9. feladat: Egy gépkocsi sebességét v 54 k/h-ról v 90 k/h-ra növelte állandó a,6 /s gyorsulással. Mennyi ideig tartott ez, és ekkora utat tett eg a gépkocsi ezalatt? Állandó gyorsulás esetén a sebesség egváltozása egyenlő a indenkori gyorsulással, vagyis: a v t t v a v v a s,6 s 6,5 s. 90 k h 54 k h,6 s Az ezalatt egtett utat a négyzetes úttörvénnyel száolhatjuk x(t) a t + v 0 t + x 0, ahol a a kocsi gyorsulása, v 0 a kezdeti időpontban a sebessége, vagyis 54 k h, és x 0 annak kezdeti pozíciója. Ez utóbbi legyen nulla, hiszen onnan kezdjük el érni a egtett utat a gyorsítás végéig: x(t),6 s (6,5 s) + 54 k h 6,5 s 5. I/.39. feladat: Egy test sebessége ost v 0 /s, t 00 ásodperccel ezelőtt v 0 /s volt. Mennyi volt a test átlagos gyorsulása? Az átlaggyorsulás az adott idő alatt történt sebességváltozás és az ehhez szükséges idő hányadosa: a v t v v t 0 s 0 s 00 s 0,4 s. I/.0. feladat: a /s gyorsulással induló gépkocsi elérve a v v 6 /s sebességet egyenletesen ozog tovább. Milyen essze jut az indulástól száított 8 ásodperc alatt? 3

4 Bevezető fizika (info),. feladatsor egoldások Először száoljuk ki, hogy ennyi időre van szüksége az autónak, hogy elérje a v v sebességet. Mivel a gyorsulás egyenletes, így a v v t t v v a 6 s s 3 s. Ez alatt az autó s a t s (3 s) 9 távolságot tesz eg. A hátralévő t 8 s 3 s 5 s idő alatt az autó egyenletes ozgást végez. Az ezalatt egtett út: s v v t 6 s 5 s 30. Vagyis a teljes egtett távolság s 39. I/.7. feladat: Egy gépkocsi céljához vezető út felén v 40 k/h állandó sebességgel halad. Mekkora legyen a sebessége az út ásik felén (v ), hogy az egész utat figyelebe véve átlagsebessége v 50 k/h legyen? Az átlagsebesség az összes egtett út és az ehhez szükséges idő hányadosa. Legyen a teljes út s hosszúságú. Az út első és ásodik felének egtételéhez szükséges idő: t Az átlagsebesség tehát ahonnan v s v, t s + s t + t v v v s s v + s v 50 k h 40 k h s v. v +, v 66,7 k h. I/.. feladat: Egy gépkocsi a,8 /s állandó gyorsulással indul, ajd egyenletesen halad tovább, és t 5 ásodperc alatt s 9,4 éter esszire jut. Határozzuk eg a gyorsulás időtartaát! Gyorsítson az autó t ideig. Mivel az autó álló helyzetből indul, így az ezalatt egtett távolság: Ez idő alatt az autó v v a t sebességre tett szert. Az idő hátralevő részében ekkora sebességgel halad egyenletesen, és s v v t a t (t t ) távot tesz eg. Összefoglalva s s + s a t + a t (t t ) a t + a t t 0 a t at t + s 0,4 s t 4 s t + 9,4 ( t ), 4 s ± { 7 s 3 s (4 ) s 4,4 9,4 s,4 s. A két egoldás közül csak a t 3 s az érteles, hiszen a teljes időtarta 5 s. I/.33. feladat: A folyó szélessége d 00, sebessége v f 3,6 k/h. Hol köt ki a túlsó parton az átkelő csónak, ha a vízhez viszonyított sebességének nagysága v cs 3 /s, iránya a víz folyásának irányára erőleges? A csónak t d v cs s alatt ér át a ásik s partra. Eközben a folyó d v f t 3,6 k h 00 3 s s 00 3 s 66,7 viszi le a csónakot a folyásirányba. ehát a csónak ennyivel lejjebb fog kikötni a túloldalon. I/.37. feladat: v v 7 k/h sebességgel haladó vonaton egy utas a vonat ozgásával ellentétes irányban elindul a vonathoz viszonyított a e 0,8 /s gyorsulással. Háro ásodperc alatt ekkora a pályatesthez viszonyított elozdulása? A pályatesthez viszonyítva az eber egyenletesen gyorsuló ozgást végez. A négyzetes úttörvényt használva: s a e t + v v t 0,8 s 56,4. (3 s) s 3 s s a t. 4

5 Bevezető fizika (info),. feladatsor Otthoni gyakorlásra: I/.0. feladat: Egy szeélyautóval háro különböző gyorsaságpróbát végeztek. a) Az autó álló helyzetből indulva t 0 9,3 s alatt érte el a v v 80 k/h sebességet. b) Álló helyzetből indulva 4,5 s alatt tett eg s 400 távolságot. c) 5 s alatt növelte sebességét v 60 k/h-ról v 90 k/h-ra. Mekkora volt az átlagos gyorsulás egy-egy kísérletben? I/.. feladat: Egy v 0 54 /s sebességgel ozgó versenyautó,8 ásodpercig fékez. Mekkora a sebessége a fékezés után, és ekkora utat tett eg a fékezés alatt, ha a fékezés közben a 6 /s a gyorsulása? I/B... feladat: Egy szeélyautó nyugali helyzetből indulva /s gyorsulással indít, aikor a forgali lápa zöldre vált. Ugyanabba a pillanatban elhalad ellette egy teherautó 0 /s sebességgel. a) Mennyi idővel később éri utol a szeélyautó a teherautót? b) Ekkor ilyen essze lesznek a forgali lápától? c) Mekkora a szeélyautó sebessége, iközben egelőzi a teherautót? I/F... feladat: Egy egyenletesen gyorsuló autó 80 úton növelte sebességét 0 /s-ról 0 /s-ra. Mekkora úton érte el előzőleg a 0 /s sebességet, ha nyugali helyzetből indult, s gyorsulása végig állandó volt? A feladatok forrása a Dér adnai Soós Fizikai feladatok. I/.3. feladat: Egyástól 0 k távol lévő álloások közözz az utat egy vonat 0 per 30 ásodperc alatt teszi eg. Induláskor 90 ásodpercig gyorsít állandó gyorsulással, fékezéskor 70 ásodpercig lessít, szintén állandó gyorsulással. Mekkora a vonat sebessége a nyílt pályán? I/.30. feladat: Egy folyón két otorcsónak közül az egyik a folyón lefelé, a ásik felfelé halad. Vízhez viszonyított sebességük különböző. Mozgásuk közben egyszerre haladnak el egy, a folyón úszó farönk ellett. A rönköt elhagyva, indkét csónak azonos ideig távolodik attól, ajd visszafordulnak. Melyik ér előbb a rönkhöz? I/.3. feladat: Ha lassan ozgó vasúti kocsi ellett a kocsival egy irányban haladunk, a kocsit 7 lépés, ellentétes irányban haladva lépés hosszúnak találjuk. Hány lépés a kocsi hossza? A kocsi és a érő szeély sebessége állandó, s az utóbbi a nagyobb. I/.4. feladat: Egy test sebessége ost 0 /s, 00 ásodperc úlva 0 /s. Mennyi az ez idő alatti átlagos gyorsulás? 5

6 Bevezető fizika (infó),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. A ai órához szükséges eléleti anyag: öviden beszéljük eg az otthoni felkészülés során felerült kérdéseket. szabadesés, hajítások (kb. 0 perc) Az erő, az erők összegezése; Newton törvényei; testek egyensúlya; töeg, nehézségi erő, súly, súlytalanság. súrlódás Órai feladatok: II/.3. feladat: A talaj fölött h 0 30 éter agasságból v 0 0 /s kezdősebességgel kavicsot dobunk függőlegesen fölfelé. Mekkora a kavics sebessége, elozdulása és a egtett út t s, t 3 s; t 3 5 s úlva. A kavics útja a következő. Először felfelé egy, eléri a axiális agasságot, ajd elindul lefelé és eléri a talajt. Ez két nevezetes időpontot jelent, egyet a csúcson (t fel ), és az út végén (t össz ). t fel eghatározható a kezdeti sebességtől, és a lassulásból: t fel v 0 g 0 /s 0 /s s. Ez alapján az első időpontban ég eelkedett. A sebessége v v 0 gt 0 /s 0 /s s 0 /s. A egtett út s v 0 t g t 0 /s s 5, 0 /s ( s) és végig azonos irányban haladt, így az elozdulás egegyezik az úttal. A axiális agasság: s fel v 0 t fel g t 0 /s s 0, 0 /s ( s) tehát összesen H h 0 + s fel 50 agasra jutott, ahonnan a leeséshez szükséges idő eghatározható a H g t le összefüggésből: H t le g 0 s > 3 s, azaz az ötödik ásodpercben ég repülni fog. ehát ásodpercig eelkedett, így t -ig ég -et zuhant. A egtett út: s g s (t t fel ) 0 /s (3 s s) 5, összesen s s fel + s 5. Az elozdulás r s fel s 5. A sebessége ekkor v g(t t fel ) 0 /s, ahol figyelebe vettük, hogy a pozitív irány függőlegesen felfelé választottuk. t 3 időpillanatig t 3 t fel -t zuhan. A keresett értékek: s 3 g s (t 3 t fel ) 0 /s (5 s s) 45, összesen s 3 s fel + s Az elozdulás r s fel s 3 5. A sebessége ekkor v 3 g(t 3 t fel ) 30 /s. II/.9. feladat: Az esőcseppek függőleges irányban esnek v eső 6 /s sebességgel. Az esőcseppek nyoai a vonatablakon a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró csíkok. Milyen gyorsan egy a vonat? A vonatablakon lévő csíkok az esőcseppek látszólagos sebességvektorával egy irányba utatnak. Az esőcseppek függőleges sebességvektora, illetve a vonat vízszintes sebességvektora egy derékszögű hároszöget határoz eg, ahol a hároszög átfogójának hossza egegyezik a cseppek látszólagos, a vízszintessel 30 -os szöget bezáró sebességvektorának hosszával. A hároszögben a egfelelő szögfüggvényt felírva: tg α v eső v vonat 6

7 v vonat v eső tg α 6 s tg 30 0,39 s. II/.5. feladat: Határozzuk eg a v 0 0 /s kezdősebességgel α 30 -os szögben kilőtt test helyzetét a kilövés után 3 ásodperccel! A test vízszintes irányban egyenletes ozgást végez: x(t) v 0x t + x 0, ahol v 0x a kezdősebesség vízszintes koponense: v 0x v 0 cos α. Az x 0 a t 0 pillanatban a test helye. Helyezzük a koordináta-rendszerünket oda, ahonnan elhajítjuk a testet, így x(t 0) 0, vagyis x 0 0. Függőleges irányban a test egyenletesen gyorsuló ozgást végez. Az y tengely felfelé utat, így a gyorsulás negatív: y(t) g t + v 0y t + y 0, ahol v 0y a függőleges kezdősebesség: v 0y v 0 sin α, illetve az előzőekhez hasonlóan y 0 itt is nulla. A ozgást leíró két egyenlet tehát: A t 3 s-ban: x(t) v 0 cos α t y(t) g t + v 0 sin α t. x(3 s) 0 s cos 30 3 s 3,77 y(3 s) 0 s (3 s) + 0 s sin 30 3 s 35. II/.4. feladat: h 00 éter agasságban v k/h sebességgel haladó repülőgépről a cél előtt ilyen távolságban kellene kioldani a segélycsoagot ahhoz, hogy a célba csapódjék, ha ne lenne légellenállás? Mekkora lenne a segélycsoag sebessége a becsapódás pillanatában? Függőlegesen a csoag egyenletes gyorsulással ozog, vagyis a agassága az idő függvényében: z(t) g t + h. idő alatt ez a agasság nullára csökken: 0 g h + h 6,3 s. g Bevezető fizika (infó),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. egoldások A csoag vízszintes kezdősebessége egegyezik a repülő sebességével, és ez a csoag ozgása során ne is változik. Eiatt, ha idő alatt ér földet a csoag, akkor az vízszintesen s v 0 távolságot tesz eg. Ez alapján 0 g s v0 + h s hv 0 g 63,45. A függőlegesen szerzett sebessége: v y g 63, /s, vízszintesen pedig aradt v x v 0. Az eredő sebesség nagysága: v v x + v y 8,3 /s. II/.4. feladat: Milyen erő hat az eldobott kőre? Mekkora a gyorsulása? Nehézségi erő, közegellenállás. F a. II/.3. feladat: A v 0 9 /s sebességgel elütött korong a jégen s 36 út egtétele után áll eg. Mekkora a súrlódási együttható a korong és a jég között? A korong egyenletesen lassult, átlagsebessége v átl v 0 4,5 /s. Ez alapján a egállásig eltelt idő t s 36 v átl 4,5 /s 8 s. A gyorsulása a v v 0 t 0 /s 9 /s 8 s 9 8 /s. Newton szerint a F súrl µf nyoó µg, azaz µ a g 9/8 0 0,5. II/.4. feladat: Milyen erők hatnak egy vízszintes lapon és egy lejtőn nyugvó testre? (Készítsen ábrát!) 0 kg töegű testet a vízszintessel α 30 - os szöget bezáró F 0 N erővel húzunk. Mekkora a test gyorsulása, ha a csúszási súrlódási tényező értéke µ 0,? 7

8 Bevezető fizika (infó),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. egoldások y x K g α F F súrl g A Newton-törvények, figyelebe véve, hogy függőlegesen ne ozdulunk el: x : y : a F cos α F súrl 0 F sin α g + K A ásodik alapján a kényszererő nagysága: K g F sin α 0 kg 0 /s 0 N sin N, aelyet ár behelyettesíthetünk az elsőbe, hiszen F súrl µk, és a gyorsulásra azt kapjuk, hogy a (F cos α µk) 0 kg (0 N cos 30 0, 90 N) 0,83 /s. II/.. feladat: h 0 agas, α 60 -os lejtő tetejéről csúszik le egy test. Mekkora sebességgel és ennyi idő alatt ér le a lejtő aljára, ha a) a lejtő súrlódásentes, b) a lejtő és a test közötti súrlódási együttható µ 0,5? F s g h K g K a) Írjuk fel a Newton-törvényt a lejtőről lecsúszó testre, a lejtővel párhuzaos és arra erőleges irányban: a g g sin α a K g K g cos α, Mivel a test a lejtőn csúszik, így arra erőlegesen nincsen elozdulás, azaz a 0. Az előző egyenletből adódik, hogy test gyorsulása a lejtő entén a g sin α. A lejtő hossza s s a h sin α, így a lecsúszás ideje: h sin α a sin α h 0 g sin α 0 sin 60 s,63 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: v vég a g sin α 0 s sin 60,63 s 4,4 s. b) Ha van súrlódás a lejtőn, akkor a Newtonegyenletek kiegészülnek: a g F s g sin α µk a K g K g cos α, ahol a ásodik egyenletből kifejezhető K, 0 K g cos α K g cos α, ajd az elsőbe helyettesíthető: a g ( sin α µ cos α ). A lecsúszás ideje: h g ( sin α µ cos α ) sin α 0 0 ( s sin 60 0,5 cos 60 ) sin 60,94 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: g α v vég a g ( sin α µ cos α ) 0 s ( sin 60 0,5 cos 60 ),94 s,93 s. 8

9 Bevezető fizika (infó),. feladatsor Kineatika. és Dinaika. II/.. feladat: g 50 N súlyú tégla alakú testet satuba fogunk. A satupofák F ny 50 N nagyságú vízszintes erővel nyoják a testet. Az érintkező felületek között µ 0,5 a súrlódási tényező. Mekkora erővel lehet a testet felfelé kihúzni? II/.8. feladat: Könnyen gördülő kiskocsira szerelt állványon fonálinga függ. Milyen irányú a fonál, ha a kocsi vízszintes síkon a. egyenletesen halad, b. a gyorsulással ozog? F súrl F F ny F ny g F súrl II/?. feladat: Egy testet 5 N állandó erővel tudunk egyenletesen felfelé húzni egy α 30 hajlásszögű lejtőn. Ugyanezen a lejtőn lefelé szabadon csúszva a test 5 /s sebességről 5 hosszú úton áll eg. Mekkora a test töege? Mekkora a súrlódási tényező? II/.7. feladat: Mekkora az eelődaru kötelében fellépő húzóerő egy 00 kg töegű gépalkatrész süllyesztésekor, illetőleg eelésekor, ha a gyorsulás nagysága inden esetben /s. A kötél és a végén levő horogszerkezet súlya elhanyagolható. A tapadási súrlódás axiális értéke F ax tap µf ny 0,5 50 N 75 N. Két satuval ez 50 N erőt jelent. Ezen felül ég ott van a tégla súlya, tehát a háro erő összegét kell az F erőnek ellensúlyoznia. Így a kapott eredény az, hogy II/.6. feladat: Egy test kelet felé ozog és nyugat felé gyorsul. Lehetséges ez? Milyen irányú az erő? A feladatok forrása a Dér adnai Soós Fizikai feladatok. F F ax tap + g 00 N Otthoni gyakorlásra: II/A. feladat: Egy követ függőlegesen felfelé, egy ásik követ függőlegesen lefelé hajítunk v 0 /s sebességgel, ugyanabban a pillanatban, Mennyi idő úlva lesznek egyástól x 60 éter távolságban? II/.8. feladat: 0 agas ház tetejéről /s kezdősebességgel ferdén felfelé elhajítunk egy testet. A vízszintessel bezárt szög 30. Mennyi idő úlva és a háztól ekkora távolságban ér földet, ha a közegellenállástól eltekintünk? (g 0 /s ) II/.50. feladat: A gravitációs gyorsulás értéke a Holdon a földi érték egyhatod része. A; Hányszor agasabbra, B; hányszor esszebbre száll az azonos kezdősebességgel ferdén elhajított kő a Holdon, int a Földön? C; Mennyi ideig repül a Holdon a földi repülési időhöz képest? 9

10 Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika A ai órához szükséges eléleti anyag: ipulzus, ipulzusegaradás forgatónyoaték egyensúly és feltétele Órai feladatok: III/.5. feladat: F 50 N nagyságú erő hat egy testre t 0 s-ig. A test erő irányú sebessége közben v 5 /s-al növekszik. Mekkora a test töege? A feladatot az ipulzustétel segítségével oldjuk eg. Az ipulzustétel: Ft p v. Az erő és sebesség egy egyenesbe esik, így a vektor jelzés elhagyása, és átrendezés után a test töege: F t v 50 N 0 s 5 /s 00 kg. III/3.6. feladat: A rakoánnyal együtt M tonna töegű vasúti pályakocsi vízszintes pályán v 0 /s sebességgel halad. Mozgás közben a kocsin ülő eberek lelöknek egy 00 kg töegű síndarabot, aely függőlegesen esik a talpfákra. Mekkora sebességgel halad tovább a pályakocsi, ha a súrlódástól eltekinthetünk? Oldjuk eg ipulzusegaradással. Kezdetben az egész rendszerben van p Mv, a ledobás után p (M )v + 0. A kettő egyenlőségéből a sebesség: v M M v, /s. 000 kg 0 /s 000 kg 00 kg III/3.4. feladat: A 0 g töegű, v 40 c/s sebességű és a 80 g töegű, v 00 c/s sebességű két test egyással szebe ozog egy egyenes entén. eljesen rugalatlan ütközés után ekkora és ilyen irányú sebességgel ozognak tovább? Jelöljük ki a pozitív irányt úgy, hogy az első test ozgásával egegyező legyen. Az ütközés előtt az összipulzus: utána: p v + v, p ( + )v, és persze tudjuk, hogy a kettőnek eg kell egyeznie. Ezért a sebesség: v v + v + 0, kg 0,4 /s + 0,08 kg ( /s) 0, kg + 0,8 kg 0,6 /s. A sebesség előjele alapján a ásodik test sebességének irányában ozognak együttesen. III/3.3. feladat: Az H 000 agasan lebegő léggöbről 80 kg töegű bobát ejtenek le. A boba h 600 esés után két részre robban szét. Az egyik, 30 kg töegű rész a robbanás pillanatában vízszintes irányban v 00 /s sebességet kap. Hol éri el a talajt a ásik rész? (A légellenállástól tekintsünk el.) Kövessük a boba ozgását. Az első szakasz h hosszú, és egyenletesen gyorsulva tesszük eg, azaz h g h t t g. 0

11 A teljes agasság leeséséhez: H g t t így a robbanás után ég t t t h /s g t H g H g, /s 3,9 s időt ozog. A robbanásra felírhatunk egy ipulzusegaradást, azaz előtte p 0, utána p v + ( )v. Az egyenlőség alapján: v 30 kg v 00 /s 80 kg 30 kg 0 /s. Az elozdulás az eltelt idő és a fenti sebesség szorzata: s t v 38,5. III/3.. feladat: Ha az erő és az ellenerő egyenlő nagyságú és ellenkező irányú erők, iért ne seisítik eg egyást? Mert ne ugyanarra hatnak. III/3.. feladat: Vízszintes irányú, F 8 N nagyságú erővel hatunk az kg töegű testre, aely egy fonállal az 3 kg töegű testhez van kötve az ábrán látható elrendezésben. Mekkora erő feszíti a fonalat, ha a fonál töegétől és a súrlódástól eltekintünk? Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások Itt is először felírjuk az egyes testekre a Newtontörvényt függőleges és vízszintes irányban:,x : a x F K,y : a y g,x : a x K,y : a y g. Mivel függőleges elozdulás nincs, így a y a y 0. A két testet összekötő kötél nyújthatatlan, így a két test gyorsulása inden pillanatban ugyanakkora: a x a x a. Ezt egyszerűen eghatározhatjuk, ha összeadjuk a két x irányú egyenletet: a F + 8 N kg + 3 kg,6 s. Ezt felhasználva a kötelet feszítő erő,x egyenlet alapján: K a 3 kg,6 s 4,8 N. III/3.3. feladat: Állócsigán átvetett fonál végein illetve töegű test van. Mekkora gyorsulással ozog az egyik, illetve a ásik test, és ekkora erő hat a ennyezetre, ahová a csigát felfüggesztették? A fonál és a csiga töege elhanyagolható, a fonál ne nyúlik eg, a tengely ne súrlódik, a közegellenállás és a levegőben a felhajtó erő elhanyagolható. F felf a K K g g K K F Írjuk fel a testekre a kötél entén, illetve a csigára függőleges irányban a Newton-törvényt: g g : a K g : a g K cs : 0 F felf K K.

12 Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások Mivel a kötél és a csiga ideális, ezért a két kötélerő nagysága egegyezik, K K K. Az első két egyenletből adódik: a + g. Ha az test a nehezebb, akkor arra fog ozogni a rendszer, ha pedig a ásik, akkor visszafelé. A kötélerő: ( ) K (a + g) + g + + g, vagyis a csiga a felfüggesztést erővel húzza. F felf K 4 + g III/3.. feladat: Mennyivel nyúlik eg az ábra szerinti elrendezésben a két test közé iktatott rugó, aikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló ozgásban van? A csiga, a rugó és a fonál töegét ne vegyük figyelebe. Legyen kg, a súrlódási együttható µ 0,, a rugóállandó D 4 N/c. 3 F s g F r F r F s g K g Itt is felírjuk a Newton-törvényeket, figyelebe véve azt, hogy a rendszer csak az asztal felülete entén ozog., : a g K, : 0 0, : a K F r F s,, : 0 g 3, : a F r F s, 3, : 0 g, ahol F s, µ és F s, µ. A erőleges egyenletekből a tartóerőket eghatározva, ajd behelyettesítve a párhuzaos irányokra felírt egyenletekbe:, : a g K K, : a K F r µg 3, : a F r µg. A háro egyenlet összegéből: a µ g, 3 elyet visszahelyettesítve az utolsóba: µ g F r µg 3 F r + µ g. 3 Vagyis a rugó egnyúlása: l F r D + µ 3 g D + 0, kg 0 s 3 4 N c 0,0. III/3.9. feladat: A kg töegű kiskocsi vízszintes síkon súrlódás nélkül ozoghat. A kocsira 0,5 kg töegű hasábot helyeztünk, és a hasábot F N vízszintes irányú erővel húzzuk. Mekkora a hasáb, illetve a kocsi gyorsulása, ha közöttük a tapadási súrlódási együttható µ tap 0,5, csúszó súrlódási együttható pedig µ cs 0,0? Mekkora a gyorsulás F 0 N-os húzóerő esetén? (g 0 /s ) F s g F g Száoljuk ki a axiális tapadási erőt. Ebből kiderül, hogy a kocsi és a test összetapadva arad, vagy egyáshoz képest elozdul. ehát: F tap µ tap µ tap g 0,5 0,5 kg 0 /s,5 N, azaz az első esetben F < F tap, így egyben aradnak. A talajon nincsen súrlódás, így csak az F gyorsító erő száít: F ( + )a, aelyből: a F + N 0,5 kg + kg 0,4 /s.

13 A ásodik esetben F > F tap, azaz külön ozognak. A test ozgásegyenlete: F F s a, azaz: a F F s F µ cs g 0 N 0,0 0,5 kg 0 /s 0,5 kg 9,9 /s. F s Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika egoldások g y K x K K 45 g A kocsira F s a, aelyből: a F s µ cs g 0,0 0,5 kg 0 /s kg 0,05 /s, Az egyensúly feltétele a testre (): x : K F s 0, y : g 0, illetve tudjuk, hogy F s µ. A rögzítési pontra (): A kocsi lassan elindul hátrafelé. III/5.. feladat: Fonálra függesztett g 0 N súlyú golyót vízszintes irányban oldalt húzunk. Mekkora erővel húzza a fonál a testet, ha az a függőlegessel α 30 -os szöget zár be? y x Az egyensúly feltétele: α K F g x : F K x F K sin α 0 y : g K y g K cos α 0 A ásodikból kifejezhető a kötélerő: K g cos α 0 N 3,09 N. cos 30 x : K x K K cos α K 0, y : K y g K sin α g 0. Az elsőből kifejezhető K F s µ g, aely beírható a ásodik párba. Így K cos α µ g 0, azaz K µ g cos α, és az y-ra vonatkozó egyenlet: µ g cos α Ebből a keresett töeg: sin α g 0. µ tgα 0,5 7 kg tg45 8 kg. III/5.0. feladat: Mérleghinta két oldalán egy-egy g 450 N súlyú gyerek ül. Egyikük r 3, ásikuk r,5 távolságra van a forgástengelytől. a) Hová üljön ég egy 3 g 650 N súlyú gyerek ahhoz, hogy a hinta egyensúlyban legyen? b) Mekkora ebben az esetben az alátáasztási pontra ható erő? (A hintát tekintsük súlytalannak!) 3 g r III/5.6. feladat: Az töegű testet két fonál segítségével, az ábrán látható ódon függesztünk fel. Az asztallapon fekvő test töege 7 kg, az asztal és közötte a súrlódási együttható µ 0,5. Mekkora töeg esetén van egyensúly? g r r 3 3 g g 3

14 Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika Az egyensúly feltétele, hogy a testre ható erők eredője, illetve a testre ható forgatónyoatékok eredője nulla legyen. Az első feltétel itt úgy fog teljesülni, hogy aekkora erővel húzzák a gyerekek a érleghintát lefelé, az alátáasztás akkora erővel fogja azt felfelé nyoni. ehát a b) kérdésre a válasz: K g + 3 g 450 N N 550 N. Az adott pontra vonatkoztatott forgatónyoaték M r F, ahol r a pont és az erő táadáspontját összekötő vektor, és F az adott erő. Válasszuk ki az alátáasztási pontot vonatkoztatási pontnak. A érleghintára négy erő hat: a háro gyerek, és az alátáasztás. Az utóbbi forgatónyoatéka nulla, hiszen annak táadáspontja és a vonatkoztatási pont egybeesik, vagyis r 0. A súlyerők forgatónyoatéka egyszerűen száítható, ivel azok iránya erőleges az r vektorokra: a forgatónyoatékok nagysága egyenlő az erő és a távolság szorzatával. A forgatónyoatékok irányát a jobbkézszabály segítségével adhatjuk eg, az előjelek innen adódnak. Ezek alapján az egyensúly ásodik feltétele: aelyből: 0 r g + r g + r 3 3 g. III/3.5. feladat: Mekkora az ábra szerinti fonállal egyáshoz kötött 0,5 kg és kg töegű testek gyorsulása és a fonalat feszítő erő, ha a) az test a vízszintes síkon súrlódásentesen csúszhat; b) az test és a sík között a súrlódási együttható µ 0,? III/3.3. feladat: Határozzuk eg az ábrán látható rendszer gyorsulását, ha a) a súrlódástól eltekintünk; r 3 g( r r ) 3 g,038 Otthoni gyakorlásra: 450 N(3,5 ) 650 N b) az töegű test és a lejtő között a súrlódási együttható µ. A lejtő rögzített helyzetű, a fonál és a csiga töege elhanyagolható, a fonál ne nyúlik eg, a tengely ne súrlódik. III/3.0. feladat: Egy 0, kg töegű labdát 4 agasról leejtünk. A labda 4 s-ig pattog a padlón, íg végül nyugaloban arad. Mennyi a labda által a padlóra kifejtett erő átlaga ezen 4 ásodperc idő alatt alatt? (A légellenállás elhanyagolható.) III/3.6. feladat: Géppuskából percenként 40 db 0 gra töegű lövedéket lőnek ki 000 /s kezdősebességgel vízszintes irányban egy céltárgyra. A golyók becsapódnak és lefékeződnek a céltárgyban. α a) Mennyi a golyók által a céltárgyra kifejtett átlagos erő? b) Mennyi a géppuskára ható átlagos (visszalökő) erő? III/5.7. feladat: Egy rendszer n darab részecskéből áll. Mindegyik részecske az összes többire erőt gyakorol. Mutassuk eg, hogy a rendszerben n(n ) erő lép fel! 4

15 A feladatok forrása a Dér adnai Soós Fizikai feladatok. Bevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinaika. és Statika 5

16 Bevezető fizika (infó), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény A ai órához szükséges eléleti anyag: K unka W F s F s cos α skalárszorzat (száít az irány!). [W ] J szakaszokra bontás, határesetben integrálás (W s s Fds), azaz a görbe alatti terület! nehézségi erőtér helyzeti energia: E h gh, ai negatív is lehet (pl. talajszint alatt) kinetikus/ozgási energia: E k v rugó: E r Dx (x a egnyúlás, D a rugóállandó) unkatétel E k W teljesítény (P W t kwh 3600 kj Órai feladatok: ), hatásfok (η hasznos összes ), IV/4.7. feladat: α 30 -os lejtőn valaki egy 0 kilograos bőröndöt tol fel vízszintes irányú erővel h éter agasra. A ozgási súrlódási együttható µ 0,. A bőrönd ozgása egyenletes. Mennyi unkát végez: a) az eber, b) a súrlódási erő, c) a bőröndre ható nehézségi erő, d) a lejtő nyoóereje, e) a bőröndre ható erők eredője? (g 0 /s ) F h F g F g F s g Mivel állandó erők hatnak, így a unkát ki lehet száítani az erő és az elozdulás skaláris szorzataként. A feladat egoldásához először határozzuk eg, hogy ekkora F erőre van szükség. A Newtonegyenleteket felírva azt kapjuk, hogy : s α 0 K g cos α F sin α : 0 F cos α g sin α F s, ahol F s µ K, és K az első egyenletből kifejezhető: K g cos α + F sin α, elyet a ásodik egyenletbe helyettesítve: 0 F cos α g sin α µ (g cos α + F sin α ) F sin α + µ cos α cos α µ sin α g. Szükségünk lesz ég a többi erő nagyságára is: K g cos α + F sin α sin α + µ cos α g cos α + g sin α cos α µ sin α cos α µ cos α sin α + sin α + µ cos α sin α cos α µ sin α g 6

17 Bevezető fizika (infó), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény egoldások g, cos α µ sin α Fs µk µg. cos α µ sin α tudjuk, hogy a rugóerő Fr (x) D x, ahol x a egnyúlás, és a i erőnk ennek az ellenereje. A unka kiszáolásához először tekintsünk azt a pillanatot, ikor éppen xi -vel van egnyújtva a rugó. Próbáljuk ekkor a rugót ég egy nagyon pici x hosszal ég jobban egnyújtani. Ez olyan kis távolság, hogy ez alatt az erő gyakorlatilag ne változik, végig Fr (x) D xi. Ekkor a unkánk erre a kis x szakaszra: a) Az eber által végzett unka: Weber F s F s cos α sin α + µ cos α h g cos α cos α µ sin α sin α sin , cos 30 cos 30 0, sin 30 cos 30 0 kg 0 s sin ,87 J. W (xi ) Fr (x) x D xi x. A teljes egnyújtásra száolt unkát úgy kapjuk, hogy a l távolságot felosztjuk sok ilyen pici x szakaszra, kiszáoljuk a unkát az egyes szakaszokra, ajd összeadjuk őket. Vegyük észre, hogy az így száított összeg, éppen az Fr (x) függvény alatti terület téglalapösszege. b) A súrlódási erő által végzett unka: Ws F s Fs s µg h cos α µ sin α sin α 0, 0 kg 0 s cos 30 0, sin 30 sin 30 08,87 J. Fx () Fr (x) Fr (xi ) x c) A nehézségi erő unkája h Wg g s gk s g sin α sin α 0 kg J. s d) A lejtő nyoóereje ne végez unkát, hiszen az erőleges az s elozdulásra. e) A bőröndre ható erők eredője nulla, hiszen a bőrönd összgyorsulása nulla. Ennek unkája terészetesen nulla. x x W li N Z l F 50 N N 500. l 0, Ennek a unkának a kiszáolásánál az a probléa, hogy az általunk kifejtett erő ne állandó, hiszen xn l x N X W (xi ) li N i Z l N X D xi x i l Dx dw (x) D x dx D ( l) D 0 D ( l) N 500 (0, ),5 J. IV/4.. feladat: ugós erőérőt l 0 c-rel kihúztunk. Mekkora unkát végeztünk a egnyújtáskor, ha a utató F 50 N nagyságú erőt jelez? D xi Ha egyre finoítjuk a felosztást, akkor az Fr (x) függvény alatti területet kapjuk a x [0, l] tartoányon. A téglalapösszeg pedig egy integrálásba egy át: Vegyük észre, hogy ezt a korábbi eredényekből is egkapjuk, hiszen ha összeadjuk az összes erő unkáját, akkor is nullát kapunk. Először száoljuk ki a rugó állandóját: IV/4.3. feladat: Oldjuk eg a unkatétellel a következő feladatot: v0 500 /s sebességű puskagolyó sax 5 c élyen hatol be a fába. Mekkora volt a sebessége s c élységben? ételezzük fel, hogy a fa fékező ereje állandó. VGY &NB 7

18 Bevezető fizika (infó), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény egoldások A unkatétel szerint E kin W, kifejtve W F fék s ax, íg E kin 0 v 0. Így a fékezőerő: F fék v 0. s ax Ha csak c-t haladunk, akkor a ozgási energia egváltozása E kin v v 0, íg a unka W F fék s, azaz a unkatétel szerint: v v 0 F fék s v 0 s ax Aelyből fejezzük ki a sebességet: ( v s ) v0 387,3 /s. s ax IV/4.39. feladat: Az ábrán látható ingát 90 -kal kitérítjük és elengedjük. Az asztal szélén levő, vele egyenlő töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. Határozzuk eg, hogy az asztaltól ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó! l h A ozgás több részre bontható. Először az inga lelendül ( ), ajd egtörténik az ütközés ( 3), végül pedig a ásodik test leesik (3 4). Ezeket a speciális állapotokat ind összeköti a unkatétel, elyet használhatunk. : Az ingatest lelendül. Válasszuk a helyzeti energia nullszintjét az asztal szintjének. Ekkor a testnek az () pontban van helyzeti energiája, á nincs ozgási energiája, ezzel szeben a () helyzetben helyzeti energiája nincs, cserébe viszont ozgási energiája lett, hiszen v sebességgel ozog. A testre a kötélerő hat, ai sose végez unkát, illetve hat rá a nehézségi erő, annak a unkáját viszont helyzeti energiában vettük figyelebe. Ez alapján a unkatörvény: W ( ) E kin + E pot s 0 ( ) v (gl) v gl. 3: Itt történik eg az ütközés. Mivel az ütközés teljesen rugalas, így az ütközés során az energia egarad. Szintén ivel a külső erők unkája nulla, így az ipulzusegaradást is lehet használni. A két törvény: v + 0 v 3 + u 3 v + 0 v 3 + u 3, ahol az u-val jelölt tagok a kezdetben álló golyó jellezői. A két egyenlet egyszerűsítve: v v 3 + u 3 v v 3 + u 3, ajd a ásodik egyenlet négyzetre eelve: v v 3 + u 3 + v 3 v 3, és ebből az első egyenletet kivonva: 0 v 3 u 3, tehát vagy az első vagy a ásodik test állni fog az ütközés után. Az ipulzusegaradást kifejező egyenletre pillantva láthatjuk, hogy ha az egyik sebesség nulla, akkor a teljes kezdeti sebességet a ásik test kapja eg. Innen adódik, hogy a kezdetben ozgó golyónak kell egállnia, és a ásiknak ugyanakkora sebességgel továbbhaladnia, hiszen a fordított eset ne lehetséges. ehát v 3 0, u 3 v gl. 3 4: A ozgás utolsó szakaszában egy vízszintes hajítás történik. A leesés ideje h g, ely alatt a test h s u 3 g gl lh utat tesz eg. IV/D6. feladat: Az ábrán látható 0,0 kg töegű testtel l 7,5 c-rel összenyotuk a D 4 N/ rugóállandójú rugót, ajd a testet elengedtük. A test és a vízszintes felület közti ozgási súrlódási együttható értéke µ 0,5. Mekkora utat tesz eg a test a egállásig? 8

19 Bevezető fizika (infó), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény A egoldást a unkatétel alapján fogjuk egadni. ekintsük a rugót és a testet egy rendszernek. Vegyük sorra a rendszer energiájának egváltozását és a rendszeren végzett unkákat. Kezdetben a test állt, illetve a rugó eg volt feszítve, a végállapotban pedig a rugó egyenes, illetve a test áll. A rendszeren csak a súrlódási erő végez unkát. Ez alapján a unkatétel: E kin + E rug W s ( ( ) ) D ( l) µgs v D ( l) µgs, ahol felhasználtuk, hogy a l-lel összenyoott rugóban tárolt energia E rug D( l). Innen s D ( l) µg 4 N 0,45. (0,075 ) 0,5 0,0 kg 0 s IV/4.4. feladat: g 00 N súlyú testet F 0 N nagyságú erővel eelünk. Mekkora a teljesítény az indulás után ásodperccel? Mekkora az átlagteljesítény az első ásodperc alatt? A pillanatnyi teljesítény P F v. A testre ható erők eredője F e 0 N 00 N 0 N, vagyis a test gyorsulása a 0 N 0 kg. s Kezdetben a test állt, idő elteltével a test sebessége: v( ) a s 4 s s. Mivel ez a sebesség felfelé utat, így egy irányba esik az eelőerővel. A teljesítényünk tehát: P ( s) 0 N 4 s 480 W. Az átlagteljesítény kiszáításához tudnunk kell, hogy hogyan változik a pillanatnyi teljesítény az időben. Az időfüggés a sebességen keresztül történik: P (t) F v(t) F a t. Mivel a teljesítény az idővel lineáris kapcsolatban áll, így az átlagteljesítény száolható, int a kezdeti és a végállapotban lévő pillanatnyi teljesítény szátani közepe: P átl P ( s) + P (0) 480 W W. IV/4.3. feladat: Egy ládát állandó sebességgel húzunk vízszintes talajon. Mozgás közben F s 50 N a fellépő súrlódási erő. Milyen esszire húzhatjuk el a ládát W i 0,00 kwh unka árán? A unkatételt használjuk isét. A ozgás során a testen csak az általunk kifejtett erő és a súrlódási erő végez unkát. Mivel a test állandó sebességgel halad, így a ozgási energiája ne változhat eg: E kin W s + W i 0 F s s + W i s W i F s Otthoni gyakorlásra: 0,00 kwh 50 N 3600 W s 4,4. 50 N IV/4.6. feladat: Mekkora átlagos teljesíténnyel lehet egy 000 kg töegű szeélyautót 0 ásodperc alatt, álló helyzetből 00 k/h sebességre gyorsítani? IV/4.8. feladat: A ferdén eldobott 0,5 kg töegű kő kezdeti ozgási energiája 87 joule. A kő 30 essze esik le a vízszintes talajra. Milyen szög alatt hajítottuk el? (A légellenállást ne vegyük figyelebe!) IV/4.30. feladat: v 0 5 /s kezdősebességgel függőlegesen lefelé hajítunk egy követ. Mennyi idő alatt négyszereződik eg a ozgási energiája? IV/4.40. feladat: M 0 kg töegű hookzsák l hosszú fonálon függ. Egy 0 g töegű puskagolyó behatol a hookzsákba, és ennek hatására a fonál α 0 -os szöggel kitér. Mekkora volt a golyó sebessége? (g 0 /s ) IV/4.9. feladat: h 0 0 éter ély kútból, éterenként F lánc 0 N súlyú lánccal vizet húzunk fel. A vödör súlya vízzel együtt F vödör 0 N. Mekkora unka árán tudunk egy vödör vizet felhúzni? IV/4.3. feladat: Egy ejtőernyős kiugrik egy 000 agasságban szálló repülőgépből. (A gép vízszintesen repül, sebessége 00 /s.) Az ejtőernyős sebessége földet éréskor 5 /s. öege az ernyővel együtt 00 kg. Mennyi unkát végzett a közegellenállás? 9

20 Bevezető fizika (infó), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény IV/4.9. feladat: Mekkora unkavégzéssel jár egy 4 kg töegű test felgyorsítása vízszintes talajon v v 3 /s sebességre s éter úton, ha a talaj és a test közötti súrlódás együtthatója µ 0,3? (g 0 /s ) A feladatok forrása Dér adnai Soós Fizikai feladatok. 0

21 Bevezető fizika (infó), 6. feladatsor Elektrosztatika A ai órához szükséges eléleti anyag: töltés (Q, [Q] C), tapasztalat (azonos taszít, ellentétes vonz), Coulob-törvény F 4πε 0 }{{} N C Q Q r r r, Q vákuu perittivitása ε 0 8,85 0 C, relatív perittivitás ε N r q próbatöltésre ható erő elektroos tér (E F q ) erővonalkép, hoogén erőtér unkavégzés W Fs qes, feszültség/potenciálkülönbség (U Es, [U] V) kondenzátor C Q U, [C] F, síkkondenzátor C ε A l, energia, U CU Órai feladatok: VI/7.. feladat: Mekkora az elektroos térerősség a pontszerű Q 0 5 C pozitív töltéstől d távolságban vákuuban? Milyen felületen vannak azok a pontok, aelyekben a térerősség ugyanakkora? Milyen irányú a térerősség? A vákuuban r helyen lévő Q töltés elektroos térerőssége: E(r) 4πε 0 Q r r r r r r. Itt ε 0 a vákuu perittivitása, egy állandó. Az utolsó tag egy egységvektor, az r r vektor le van osztva annak hosszával. Ez az egységvektor adja eg a térerősség irányát, ez indig a töltés helyétől az r egfigyelési pontba utat. A térerősség nagysága: E(r) Q 4πε 0 r r, ely csak a töltéstől ért távolságtól függ. ehát a ponttöltés körüli térerősség nagysága göbfelületeken állandó, hiszen annak pontjai vannak ugyanakkora távolságban a töltéstől. A térerősség nagysága a töltéstől távolságban: E( ) 4π 8,85 0 C N 8, N C. 0 5 C ( ) VI/7.5. feladat: Két pontszerű töltés egyástól d 0,5 távolságban van rögzítve. Mekkora és ilyen irányú az elektroos térerősség a töltések összekötő egyenesében, a Q töltéstől x távolságban jobbra? (balra Q 0 6 C; jobbra Q 0 6 C )

22 Bevezető fizika (infó), 6. feladatsor Elektrosztatika egoldások ögzítsük a jobb oldali töltést az x j 0 helyen. A bal oldali töltés így az x b d koordinátájú helyen van. A térerősségek nagysága az egyenes entén: +Q Q d 0 s x E bal (x) E bal (x) Q 4πε 0 (x x Q b ) 4πε 0 (x + d) E jobb (x) Q 4πε 0 (x x Q j ) 4πε 0 x. E jobb (x) x A teljes térerősség nagysága ezek összege, azonban ehhez figyelebe kell venni a térerősségek előjelét is. A bal oldali töltés pozitív, így a pozitív ponttöltést az taszítja. Eiatt ennek térerősség járuléka attól balra negatív, jobbra pedig pozitív. A jobb oldali töltés negatív, vagyis attól jobbra annak a térerőssége negatív, balra pedig pozitív előjelű. Jelöljük Q Q Q, ellyel: E(x) x x E(x) E bal (x) + E jobb (x) ( ) Q 4πε 0 + ( (x+d) x) Q 4πε 0 + ( (x+d) x ) Q 4πε 0 (x+d) x x < d d < x < 0 0 < x VI/7.6. feladat: Hoogén elektrosztatikus tér pontjaiban a térerősség E 0 5 V/. Mekkora erő hat a térben levő q 0 8 C töltésű kicsi fégolyóra? Mennyi a golyó gyorsulása, ha töege 5 g? A térerősség a jobb oldali töltéstől s -re jobbra: A testre a Coulob-erő hat, aely felírható a térerősséggel: ( ) E(s) 0 6 Q 0,5 + 0,5 4πε 0 ( ) ( + 0,5 ),6 0 3 V. F qe 0 8 C 0 5 N C 0 3 N. Newton törvénye értelében az erő alapján a gyorsulás: A térerősség nagysága negatív, vagyis a térerősség balra utat. a F 0 3 N kg 0,4 s.

23 VI/7.7. feladat: Síkkondenzátor hoogén elektroos terében a térerősség E 000 N/C. Az ábra szerinti elrendezés esetén, az AD és BC szakaszok c hosszúságúak. a) Mennyi unkát végeznek az elektroos erők, ha Q C pozitív töltés az A pontból a C pontba: az ABC; vagy az ADC; vagy közvetlenül az AC úton ozdul el? b) Mennyivel kisebb a B; C; D; pontban a potenciál, int az A pontban? c) Mennyi a kondenzátor leezei között a feszültség, ha a leezek távolsága 3 c? D C Bevezető fizika (infó), 6. feladatsor Elektrosztatika egoldások A kondenzátor leezei közötti feszültség nagysága V 000 V 3 c 30 V. VI/7.8. feladat: Mekkora sebességre gyorsul fel vákuuban, hoogén elektrosztatikus térben, s úton az eredetileg nyugvó elektroos részecske? ( 0 6 g; Q 0 7 C, E 0 4 V/; s 0 c) Használjuk a unkatételt! Az egyik oldalon külső gyorsító erőként ott van az elektroos tér, íg a ásikon a ozgási energia változásából kijön a sebesség: A A töltésre ható erő: F QE C 000 N/C N, elynek iránya egegyezik az elektroos térerősség irányával, vagyis felfelé utat. Az erő állandó: annak nagysága és iránya független a töltés helyétől. Az AB és a DC egyenesek entén végzett unka nulla, hiszen itt az elozdulás és az erő egyásra erőleges, így a skalárszorzat nulla. Az AD és a BC egyenesek entén pedig az elozdulás párhuzaos az erő irányával, így a unka: B + W AD W BC F AD F AD N c J. Az AC úton végzett unkát hasonlóan száolhatjuk: W AC F AC F AD AC cos α F cos α cos α W AD. QEs v 0 v QEs 0 5 s 447, s. 0 7 C 0 4 N C 0, 0 9 kg VI/7.0. feladat: Mekkora a térerősség és a potenciál egy töör, töltött fégöb belsejében? Mivel a göb ideális vezető, így annak belsejében ne lehet térerősség. Ennek az az oka, hogy ha lenne, akkor a fé belsejében lévő többi töltésre azonnal hatna a Coulob erő, és azok elozdulnának, és azok egészen addig ozognának, íg olyan állapot áll be, hogy ne hat ár rájuk erő. A göbön belül a potenciál pedig állandó. Ennek oka, hogy a göb belsejében a térerősség nulla, abban sehol se eshet feszültség, vagyis seelyik két pont között nincs potenciálkülönbség. A feszültség hoogén térerősség esetében: V E s W Q, E(r) U(r) vagyis az AB szakaszon ne esik feszültség, az AD és az AC szakaszokon pedig r r V AC V AD J C 0 V. r r 3

24 Bevezető fizika (infó), 6. feladatsor Elektrosztatika VI/7.. feladat: Féből készült, töltetlen göbhéj középpontjában +Q pontszerű töltés helyezkedik el. a) Hogyan helyezkednek el a egosztott töltések a göbhéjon? b) ajzoljuk eg vázlatosan az erővonalakat a göbön belül és kívül! c) Hat-e erő a göbön kívül levő töltésre? d) A göböt lefödve, hogyan változik eg a töltések eloszlása? a) A göbhéj külső és belső felületére töltések fognak felhalozódni. A belső töltésfelhalozódásnak az oka a göb közepén található töltés egosztó hatása, a göbhéj negatív töltései ahhoz közel, íg annak pozitív töltései attól távol szeretnének elhelyezkedni. Kérdés ég, hogy a göbhéj belsejében található-e szabad töltés. Mivel a göbhéj ideális vezető, így annak belsejében ne lehet térerősség. Ennek az az oka, hogy ha lenne, akkor a fé belsejében lévő többi töltésre azonnal hatna a Coulob erő, és azok elozdulnának, és azok egészen addig ozognának, íg olyan állapot áll be, hogy ne hat ár rájuk erő. Ezek ellett ég azt is tudjuk, hogy a töltések irány szerinti eloszlása egyenletes lesz, elynek oka, hogy a probléa göbszietrikus. b) Az erővonalat párhuzaosak az elektroos térerősség irányával, és az erővonalak sűrűsége arányos a térerősség nagyságával. VI/7.3. feladat: Sorosan kapcsolunk egy C 4 µf-os és egy C 6 µf-os kondenzátort. Mekkora töltéstől töltődik fel a rendszer U 0 V-ra? Sorosan kapcsolt kapacitások esetén az eredő nagysága: C C + C F F, az eredő C,4 µf. A kondenzátorokra jutó töltés: Q CU,4 µf 0 V 5,8 0 4 C. VI/ 7.5. feladat: Mennyi annak a kondenzátornak a kapacitása, aelyet Q,5 0 8 C töltés U 0 V feszültségre tölt fel? A kapacitás definíció szerint: C Q U,5 0 8 C 0 V,5 0 9 F. VI/7.6. feladat: Mekkora eredő kapacitást kapunk, ha C µf és C 3 µf kapacitású kondenzátort a) sorba, b) párhuzaosan kapcsolunk? a, Sorba kapcsolás esetén: ( C + ) ( C C 0 6 F F, µf. ) Q b, Ha párhuzaosan kapcsoljuk őket: C C + C µf + 3 µf 5 µf. Megj. Ez a példa előrevehető első kondenzátoros példának, aztán a levezetést hozzá el lehet közben ondani. VI/7.7. feladat: Két sorba kötött kondenzátorra, aelyek kapacitása C µf és C 4 µf; U 0 V feszültséget kapcsolunk. Mekkora az egyes kondenzátorokra jutó feszültség? c) Igen. d) A göbhéj külső felületén az ott felhalozódó pozitív töltések taszítják egyást. Ha földeljük azt a felületet, akkor ezek a töltések ár el tudnak távolodni egyástól, így a felületen egszűnik a töltésfelhalozódás: a felület seleges lesz. A soros kapcsolás iatt indkét kondenzátorra ugyanakkora töltés jut, azaz: C U C U C (U U ) (C + C ) U C U U C C + C U 4 µf µf + 4 µf 0 V 4

25 80 V. Bevezető fizika (infó), 6. feladatsor Elektrosztatika A ásik kondenzátorra U U U 0 V 80 V 40 V jut. Otthoni gyakorlásra: VI/7.4. feladat: Két pozitív, pontszerű töltés, Q és 4Q, egyástól l távolságban van rögzítve. Hol kell elhelyezni egy pontszerű Q töltést, hogy egyensúlyban legyen? VI/7.. feladat: Két (ne pontszerű) fégolyó között fellépő elektroos kölcsönhatás nagyobb, ha ellentétesen töltjük fel őket, int azonos előjelű, ugyanolyan értékű feltöltés esetén. Hogyan lehetséges ez? VI/7.4. feladat: Két azonos kapacitású kondenzátor egyikét feltöltjük U 00 V-ra, a ásikat U 00 V-ra. Ezután párhuzaosan kötjük őket a) azonos pólusaikkal; b) ellentétes pólusaikkal. Mekkora lesz a kondenzátorok feszültsége az egyik és a ásik esetben? VI/7.. feladat: Egy négyzet csúcsaiban egyenlő Q pontszerű töltések helyezkednek el. Mekkora és ilyen előjelű töltés van a négyzet átlóinak etszéspontjában, ha az egész rendszer egyensúlyban van? VI/7.3. feladat: Két pontszerű töltés egyástól d 0,5 távolságban van rögzítve. Mekkora és ilyen irányú az elektroos térerősség a töltéseket összekötő szakasz felezőerőlegesén, a szakasztól ért l távolságban? (Q 0 6 C, Q 0 6 C) VI/7.4. feladat: Mekkora sebességre gyorsul fel vákuuban, U 500 V feszültség hatására az 0 5 g töegű, Q 0 8 C elektroos töltésű, eredetileg nyugvó részecske? A feladatok forrása Dér adnai Soós Fizikai feladatok. 5

26 Bevezető fizika (infó), 7. feladatsor Egyenára, egyenáraú árakörök. A ai órához szükséges eléleti anyag: Elektroos ára I Q t, értékegység C A Elektroos ellenállás, értékegység Ω vezeték ellenállása Oh-törvénye: U I s Egyenáraú árakörök, soros és párhuza kapcsolások, Kirchhoff csoóponti törvénye unka, energia, teljesítény (P U I) Órai feladatok: VII/8.. feladat: Mekkora az ára erőssége űködés közben abban az izzóban, aelyen a 60 W, 0 V felirat szerepel? Az adott áraköri eleen leadott teljesítény egegyezik az azon eső feszültség és a rajta átfolyó ára szorzatával: P UI. Feltéve, hogy az izzón valóban esik 0 V, akkor az azon átfolyó ára: I P U 60 W 0 V 0,55 A. VII/8.3. feladat: Mekkora lesz az eredő ellenállás, ha 6 oh és 4 oh ellenállásokat a.) sorosan, b.) párhuzaosan kapcsolunk? Soros kapcsolás esetén az ellenállások összeadódnak, vagyis e + 40 Ω, íg párhuzaos kapcsolásnál: e + 6 Ω + 4 Ω 9,6 Ω. VII/8.7. feladat: Mekkora az ellenállása a d,4 átérőjű, l 30 hosszú vörösréz huzalnak? (ϱ Cu 0,07 Ω /) A hengeres vezetők ellenállása: ϱ l A, ahol ϱ a vezető anyagának fajlagos ellenállása, l annak hossza és A a keresztetszete. Ebben az esetben: l ϱ Cu π ( d ) 0,07 Ω 30 π (, ) 0, Ω. VII/8.8. feladat: Feszültségforrásra sorosan kötött ellenállások egyikét egváltoztatjuk, változnak-e a részfeszültségek? Vegyünk két ellenállást, az egyik változzon ( ) a ásik legyen a aradék rendszer eredője ( ) Az Oh-törvény értelében az áraerősség: Csere után: I I U +. U +. A két esetben a aradékra jutó feszültség: U U + U U +, aelyek láthatóan csak esetben egyeznek eg. 6

27 Bevezető fizika (infó), 7. feladatsor Egyenára, egyenáraú árakörök. egoldások VII/8.. feladat: Elhanyagolható belső ellenállású, U 00 V elektrootoros erejű telepet kapcsolunk az ábrán látható hálózatra. a) Mekkora a kondenzátor energiája a kapcsoló zárt/nyitott állása ellett? b) Mekkora a telep által állandóan leadott teljesítény a kapcsoló zárt/nyitott állása ellett? VII/8.7. feladat: Mennyi az elektroos teljesítény a 0 Ω-os ellenálláson? 30 Ω 0 Ω 3 0 Ω U 6 V 4 30 Ω 00 Ω 00 Ω Száoljuk ki az eredő ellenállást. Elsőként a -3 ele párhuzaosan: C 0 µf a) A kapcsoló nyitott állása ellett az árakörben egy ellenállás és egy kondenzátor arad. Ha ezt egy állandó U feszültségű telepre kapcsoljuk, akkor az a kondenzátort fel fogja tölteni, ajd ha a kondenzátor feltöltődött, akkor egszűnik az ára. Az állandósult állapotban ne folyik ára, vagyis az ellenálláson ne esik feszültség, így a kondenzátoron esik ind a 00 V. Ekkor a kondenzátor energiája: E CU 0 µf (00 V) 50 J. Mivel az állandósult állapotban ne folyik ára az árakörben, így a telep által leadott teljesítény nulla. b) Ha a kapcsoló zárt, akkor a kondenzátorral párhuzaosan is van egy ellenállás. Az állandósult állapotban itt se folyhat ára a kondenzátoron. A kondenzátor feltöltődése után azonban itt ég tud folyni ára az újonnan bekötött ellenálláson keresztül. Az ekkor folyó ára: I U 00 V 00 Ω 0,5 A, hiszen az árakörben két sorosan kapcsolt ellenállás van. A kondenzátor az egyik ellenállás két kivezetésére van kötve, így rajta ugyanakkora feszültség esik int azon az egy ellenálláson: U C U I 0,5 A 00 Ω 50 V. Ez alapján a kondenzátor energiája itt: E CU C 0 µf (50 V),5 J. Az állandósult állapotban a telep által leadott teljesítény: P z UI 00 V 0,5 A 50 W. ( 3 + ) 3 Ω. ( 30 Ω + ) 0 Ω Most ár sorosan van 3 ellenállás, az eredő: e Ω + Ω + 30 Ω 5 Ω. A főágban az ára: A részfeszültségek: I U e 0,5 A. U I 5 V U 4 4 I 5 V, azaz U 3 U U U 4 6 V, aely alapján a 3-as ágban folyó ára I 3 U 3 3 0,3 A, a teljesítény: P 3 U 3 I 3 6 V 0,3 A,8 W. VII/8.9. feladat: Feszültségérő éréshatára U 5 V, ellenállása 800 Ω. Mekkora előtét-ellenállást kell sorba kapcsolnunk vele, hogy U 500 V-ig érhessünk vele? e U I ax értékét kell állandóan tartanunk, hiszen akkor jut a űszerre ugyanaz a részfeszültség (U): I ax U, 7

28 Bevezető fizika (infó), 7. feladatsor Egyenára, egyenáraú árakörök. egoldások az előtét betétele után az összfeszültség: U ( e + ) I ax e + U. Ebből kifejezhető az előtét nagysága: e U U U 500 V 5 V 800 Ω 5 V 7900 Ω VII/8.30. feladat: A I A éréshatárú, A 0 Ω belső ellenállású áraerősség-érővel párhuzaosan kapcsolt söntnek ekkora legyen az ellenállása, hogy I 50 A-ig érhessünk vele? A párhuzaosan kapcsolt söntellenállás hatása az, hogy így ne az árakörben folyó teljes ára fog átfolyni az aperérőn, hane annak csak egy része, a többi a söntellenálláson folyik át. Ekkor nagyobb áraokat érhetünk, a éréshatár egnő addig, íg az így lecsökkent ára értéke is eléri az eredeti éréshatárt. Az A ellenállású aperérőnek és a vele párhuzaosan kapcsolt s söntellenállásnak az eredője: e A +, s tehát ha I 0 ára folyik a teljes árakörben (ekkorát szeretnénk érni), akkor az áraérőre U A I 0 e feszültség esik, vagyis a rajta átfolyó ára: I A U A I 0 e s I 0. A A A + s Itt az I A axiális értéke az aperérő tényleges éréshatára, így a sönt nagyságát ki tudjuk fejezni: I A s A 0 3 A Ω I 0 I A 50 A A 4,6 0 5 Ω. VII/8.39. feladat: Mikor kapunk több fényt, ha két azonos izzólápát ugyanakkora feszültségre párhuzaosan, vagy sorosan kapcsolunk? Legyen az ellenállásuk. Párhuzaosan kapcsolva az eredő ellenállás p, az összteljesítény: P p UI p U p 4 U. Soros esetben az eredő ellenállás s, az összteljesítény: P s UI s U s U. Azaz párhuzaosan kapcsolva a teljesítény, és így a fényerő is négyszer akkora. VII/+. feladat: Az ábrán látható elektroos hálózatban a kapcsoló nyitott állásánál I ny 0,4 A erősségű, a kapcsoló zárt állásánál I z 0,6 A erősségű ára folyik át az áraforráson. Mekkora az áraforrás belső ellenállása? U 0 Ω 30 Ω A nyitott esetben e,ny b +, azaz I ny U + b, íg zárt esetben e,z b + ( + ), U azaz I z. Az elsőből kifejezhető U b +( + ) és beírható a ásodikba: I z ( + b ) b + ( + ) I ny. Ebből kifejezhető a belső ellenállás: b I ny + I z I z I ny 0 Ω 30 Ω 0 Ω 0,4 A 0 Ω+30 Ω 0,6 A 0,6 A 0,4 A 4 Ω. VII/+. feladat: Az ábrán látható elektroos hálózatban a 4 Ω- os ellenálláson A erősségű ára folyik. Mekkora feszültség esik a 0 Ω-os ellenálláson? U Ω 3 4 Ω 0 Ω I 3 A 8