Írta: GERZSON MIKLÓS PLETL SZILVESZTER IRÁNYÍTÁSTECHNIKA. Egyetemi tananyag

Átírás

1 Íra: GERZSON MIKLÓS PLETL SZILVESZTER IRÁNYÍTÁSTECHNIKA Egyeemi ananyag

2 COPYRIGHT: 6, Dr. Gerzon Mikló, Pannon Egyeem Műzaki Informaikai Kar Villamomérnöki é Információ Rendzerek Tanzék; Dr. Plel Szilvezer, Szegedi Tudományegyeem Termézeudományi é Informaikai Kar Informaikai Tanzékcopor LEKTORÁLTA: Dr. Szakonyi Lajo, Péci Tudományegyeem Pollack Mihály Műzaki é Informaikai Kar Műzaki Informaika Tanzék Creaive Common NonCommercial-NoDeriv 3. (CC BY-NC-ND 3.) A zerző nevének felüneée melle nem kerekedelmi céllal zabadon máolhaó, erjezheő, megjeleneheő é előadhaó, de nem módoíhaó. TÁMOGATÁS: Kézül a TÁMOP-4..-8//A-9-8 zám, Tananyagfejlezé mérnök informaiku, programervező informaiku é gazdaáginformaiku képzéekhez című projek kereében. ISBN KÉSZÜLT: a Typoex Kiadó gondozáában FELELŐS VEZETŐ: Voiky Zuza AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Benkő Mára KULCSSZAVAK: az irányíáechnikai rendzerek leíráa é vizgálaának módzerei; a különböző dinamiku agok imereée; a abiliá fogalma é vizgálaa; a rendzerek leíráa zakazo időarományban ÖSSZEFOGLALÁS: Az Irányíáechnika árgy a mérnök informaiku é a villamomérnök alapzako hallgaóknak egyarán köelező zakmai alapozó árgykén zerepel a anervben. E jegyze célja előorban nem a anervben előír elje anyag áekinée, hanem a gyakorlai foglalkozáok alkalmazo zimuláció példák é megoldo zámolái feladaok megéréének egíée példákon kerezül. Így ez a jegyze, a legfonoabb anyagrézek rövid elmélei áekinée melle, jelenő zám kidolgozo példá i aralmaz. A jegyze előorban a Pannon Egyeem Mérnök informaiku BSc zak anervében zereplő Irányíáechnika árgy anmeneé kövei, illeve annak ajáoágaira épül, figyelembe véve a Szegedi Tudományegyeem haonló zakán okao árgy jellegzeeégei. Ennek megfelelően előorban az irányíáechnika megérééhez é alkalmazáához zükége alapok kerülnek árgyalára. Az áekine émakörök az irányíáechnikai rendzerek leíráa é vizgálaának módzerei; a különböző dinamiku agok imereée; a abiliá fogalma é vizgálaa; a rendzerek leíráa zakazo időarományban című erüleeke ölelik fel.

3 Bevezeé 3 Bevezeé Az Irányíáechnika árgy a mérnök informaiku é a villamomérnök alapzako hallgaóknak egyarán köelező zakmai alapozó árgykén zerepel a anervben. E jegyze célja előorban nem a anervben előír elje anyag áekinée, hizen erre a közelml zámo kiváló jegyze kézül. Példakén előorban Keviczky Lázló Bar Ruh Hehéy Jenő Bara Andrá Bányáz Cilla Szabályozáechnika jegyzeé. (Műegyeemi Kiadó megjeleneéében) é (Akadémia Kiadó gondozáában) Lano Béla Irányíái rendzerek elmélee é ervezée című három köee könyvé illeve Szakonyi Lajo é munkaárai álal a zámíógépe folyamairányíá émakörében özeállío é a Péci Tudományegyeemen megjelene jegyzeorozao zerenénk kiemelni, zámo má kiváló könyv melle. Az elml években zerze okaái apazalaaink alapján gy lájuk, hogy a hallgaók jelenő rézének gondo okoz az elmélei anyag mélyebb elajáíáa. A gyakorlai foglalkozáok célja ennek egíée zimuláció példák é zámolái feladaok megoldáával. E folyama ámogaáára kézül ez a jegyze, mely a legfonoabb anyagrézek rövid elmélei áekinée melle jelenő zám kidolgozo példá i aralmaz. A jegyze előorban a Pannon Egyeem Mérnök informaiku BSc zak anervében zereplő Irányíáechnika árgy anmeneé kövei, illeve annak ajáoágaira épül, figyelembe véve a Szegedi Tudományegyeem ugyanezen zakán okao árgy jellegzeeégei. Ennek megfelelően előorban az irányíáechnika megérééhez é alkalmazáához zükége alapok kerülnek árgyalára. Az áekine émakörök az irányíáechnikai rendzerek leíráa é vizgálaának módzerei; a különböző dinamiku agok imereée; a abiliá fogalma é vizgálaa; a rendzerek leíráa zakazo időarományban című erüleeke ölelik fel. A jegyze a TÁMOP 4..-8//A program kereében kézül, a zerzők közönik a jegyze elkézíééhez nyjo ámogaá. Bár a kézira leadáakor a jegyzeírá folyamaának egy lépée lezárul, de a zerzők előre i közönik a jegyze haználóinak, az okaó kollégáknak é a hallgaóknak egyarán a vizajelzé, hogy egy jabb kiadában a bevezeőben megfogalmazo cél, ehá az irányíáechnika alapjainak kézég zinű elajáíáá még inkább egíheük. Vezprém Szeged,. január 3. Gerzon Mikló Pannon Egyeem Műzaki Informaikai Kar Plel Szilvezer Szegedi Tudományegyeem Termézeudományi é Informaikai Kar Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

4 4 Irányíáechnika Taralomjegyzék Bevezeé... 3 Taralomjegyzék Rendzerek áekinée Rendzerechnikai alapfogalmak Rendzerek ozályozáa Példák különböző rendzerekre Állapoegyenleek Példák állapoegyenleekre Sima, nemlineári rendzer linearizáláa Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa A bemene-kimene modell Vizgáló jelek Egyégimpulzu függvény A négyzög-impulzu függvény Egyégugrá függvény Egyégebeég-ugrá függvény Egyéggyorulá-ugrá függvény Szinuzo bemenő jel Válazfüggvény meghaározáa időarományban a lyfüggvény imereében Válazfüggvény meghaározáa időarományban álaláno eeben Az ávieli függvény Laplace ranzformáció Feladaok Laplace ranzformáció alkalmazáára Irányíáechnikai rendzerek leíráa Alapkapcoláok eredő ávieli függvénye Helyeeíő kapcoláok Feladaok haávázlaok áalakíáára Dinamiku agok leíráa Nulladrendű ag Előrendű ag Inegráló agok Máodrendű agok Máodrendű modellek zéru együhaóval Magaabb rendű agok Differenciáló agok Feladaok dinamiku agok vizgálaának émaköréből Sabiliávizgála Sabiliádefiníciók Korláo bemene korláo kimene (BIBO) abiliá definíciója Az azimpoiku abiliá definíciója Azimpoikuan abil rendzer vielkedée egyégimpulzu bemene eeén Azimpoikuan abil rendzer vielkedée egyégugrá bemene eeén Sabiliávizgálai módzerek Rouh-Hurwiz kriérium Nyqui-, illeve Bode-féle abiliái kriérium Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

5 Bevezeé Gyökhelygörbe Feladaok abiliávizgála émaköréből Minavéele rendzerek Jelek ozályozáa Minavéele rendzerek leíráa Folyono bemene kimene modell dizkreizáláa Differenciaegyenleek megoldáa Differenciaegyenleek analiiku megoldáa Differenciaegyenle megoldáa z-ranzformáció egíégével Differenciaegyenle megoldáa ieraív on Kimene meghaározáa polinom ozáal Az impulzu-ávieli függvény Eredő impulzu-ávieli függvény meghaározáa Dizkré idejű rendzerek erőíéének meghaározáa Tarózervek Minavéele rendzerek abiliáa Dizkré BIBO abiliá Azimpoiku abiliá Sabiliávizgálai módzerek Gyakorló feladaok minavéele rendzerek Szabályozók paraméer beállíáa PID zabályozók A zabályozó paraméerei válozaó irányíá... 3 Ábrajegyzék... 8 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

6 6 Irányíáechnika. Rendzerek áekinée.. Rendzerechnikai alapfogalmak A ananyag megéréének érdekében mindenképp izázni kell néhány, a rendzerrel kapcolao alapfogalma. A rendzer fogalmának meghaározáa öbbféle zemponból leheége. Szadovzkij profezor Álaláno rendzerelméle alapjai c. művében öbb, meghaározó jelenőégű definíció ad meg. Az elő coporba aroznak a maemaikai modellek irányából megközelíő definíciók, a máodik copor definíciói a rendzer, min relációk álal özekapcol elemek halmazá ekinik, míg a harmadik coporba orolhaó meghaározáok a bemene, kimene, információfeldolgozá, fogalmával operálnak. A ovábbiakban a mérnökök zámára ké egyenérékű, kiemelére érdeme definíció kerül megadára:. A valóágnak minden érben elhaárol rézé, ahol a különböző anyag- é mozgáformák elemei kölcönhaáok é kölcönö özefüggéek kapcolják öze, rendzernek nevezzük.. A rendzer, valóágo vagy elképzel objekumok vizonylag jól körülhaárolhaó olyan halmaza, melyeke kölcönhaáok é kölcönö özefüggéek kapcolnak egybe. Elmélei zemponból rendzernek ekinheő minden olyan ranzformáció, amely adonak ekine gerjezéekhez meghaározo válazoka rendel. A rendzer elemének ekinjük az az objekumo, amelye a rendzer vizgálaához már ovábbi rézekre nem zükége felbonani. A rendzer elemei közöi, valamin a környezehez fűződő özefüggéek é kapcolaok kifejezhenek egyzerű vagy bonyolul; fizikai, kémiai, biológiai, illeve információ jellegű kölcönhaáoka. A rendzerrel kapcolao imereeink leíráá, az özefüggéek maemaikai formalizmual való megadáá maemaikai modellnek, modellrendzernek nevezzük. Mivel minden ermézeben előforduló, vagy ember álal lérehozo rendzer, folyama, jelenég kölcönhaában van egymáal, ha bármilyen rendzer anulmányozunk i, figyelembe kell vennünk a környeze haáá a rendzerre, illeve a rendzer haáá a környezere. Ezek a haáok lehenek olyanok, amelyek a rendzer meghaározo ponjaiban özponoulnak, például a rendzer egy elemére haó erő formájában. A haáok azonban lehenek elozoak i, ekkor például az egéz rendzer, vagy annak eleme felüleére, eeleg minden egye ponjára hanak. Ilyen elozo jellegűek az anyag-, energia-, é impulzuáramok haáai, amelyek egy rendzer (rendzerelem) bizonyo felüleén érelmezheők, ovábbá a graviáció é mágnee erek haáai, b. A rendzer é környezee özearozó, dialekiku egyége képező fogalmak. Széválazáuk, a rendzer haárvonalainak kijelölée, a rendzer körülhaároláa a feladaól, a vizgála zemponjaiól, a beavakozá igénylő ziuációól függ. Az.. ábra vázlaoan ünei fel Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

7 . Rendzerek áekinée 7 a rendzer a ér olyan rézekén, amelyben a rendzer öze eleme é a környezehez fűződő öze kapcolaai özponoíva (koncenrálva) vannak. A kapcolaoka ábrázoló nyilak a haáok erjedéének irányá muaják. Minden rendzer jellemezheő az az felépíő elemek ulajdonágaival é azokkal a kapcolaokkal, amelyek az ado rendzer é a környeze kölcönhaáá jellemzik. Meg kell jegyezni, hogy akármilyen rézleeen é alapoan i anulmányozzuk a rendzer ulajdonágá illeve vielkedéé, ohaem udjuk figyelembe venni mind az a végelen ok ényező, amely a rendzer közveve, vagy közvelenül befolyáolja. Ezér minden anulmányozá, kíérle eredményé caki megfelelő fennaráal fogadhajuk el é alkalmazhajuk a gyakorlaban. A rendzerekben keringő é áhaladó haáoka - amelyek információ kapcolaoka valóíanak megjeleknek nevezzük, ovábbá a jelnek legfonoabb ajáoága az információaralom. Elmondhaó, hogy a jel a jelhordozó (különböző fizikai, kémiai b. mennyiég) mindazon éréke (érékválozáa), mely alkalma a hozzárendel információ megzerzéére, ovábbíáára, ároláára... ábra. A rendzer é környezee.. Rendzerek ozályozáa A rendzereke vielkedéük é az őke leíró maemaikai modell alapján ozályozzuk. Egy rendzer öbb ozályba i arozha. Az ozályok gyakran ellenépárokból állnak. Az alábbiakban röviden bemuaára kerülnek az ozályok. A rendzer zimboliku jelöléé az.. ábra. muaja. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

8 8 Irányíáechnika.. ábra. A rendzer zimboliku jelölée A S -val jelöl rendzer bemenő é kimenő jeleinek éréké a pillanaban érelem- y jelöli a elje megfigyelheő jele. Érvénye zerűen u ( ) é y ( ) jelöli, míg u ( ) é ( ) ovábbá a vizahaá-meneég : u( ) ¾ y( ) Az ozályok ¾ S. Folyono vagy dizkré (a jelek időbeli lefolyáa zerin) Amennyiben a rendzer bemeneén vagy kimeneén alálhaó jel ado időarományban megzakíá nélkül fennáll, akkor folyono rendzerről bezélünk, de ha a jerl cak meghaározo időpillanaokban érelmeze, akkor dizkré rendzerről bezélünk. Tehá a folyono é dizkré meghaározá az időbeli folyamaoágra illeve zaggao jellegre vonakozik. Folyono idejű rendzer eeében az idő inervalluma [ a, b] vagy Â, dizkréidejű rendzernél pedig kiünee időpillanaoka jelző való zámoroza,, T,T,3T, K, nt,k, ahol T a minavéeli idő. ipikuan { } Példa folyono idejű rendzerre: ( ) 3u( - ), y >. Példa dizkré idejű rendzerre: y [ n] u[ n] 3u[ n -], ahol [ n] időben a kimene éréke. Az előbbivel egyenérékű leírá: y[ nt] u[ nt] 3u[ ( n -) T] Kauzáli vagy nem kauzáli y az n -edik minavéeli. A kauzáli (ok-okozai) rendzernél ok-okozai kapcola áll fenn annak bemenő é kimenő jelei közö. Jellemző, hogy rendzer válaza egy időponban cak az időpono megelőző gerjezéekől függ ( ). Má zóval a kauzáli rendzereknek ninc előreláó képeégük. A való fizikai rendzerek kauzáliak. A nem kauzáli rendzerek fizikailag nem reáliak. Ilyenek a jóláok é má prognozikai, gondolai rendzerek. A mérnöki gyakorla azonban alkalmazza a nem kauzáli rendzereke i. A folyono idejű rendzerek vizgálaánál gyakran egyzerűbb maemaikai árgyalá bizoíanak. A dizkréidejű Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

9 . Rendzerek áekinée 9 rendzerek eeében a jelek memorizálhaók é valóidőn kívül feldolgozhaók. I megemlíheő a képfeldolgozá, a hangfeldolgozá, a meeorológia vagy má haonló erüle. A kauzaliá fogalma kierjezheő a jelekre i. A kauzáli jelek éréke < eeén nullával egyenlő. Ezek a belépő jelek. Példák kauzáli rendzerekre: Folyono idejű: y ( ) u( - ), dizkré idejű: [ n] u[ n] u[ n -], > Példák nem kauzáli rendzerekre: y. Folyono idejű: y ( ) u( ), dizkré idejű: y[] n u[ n-k], > Az uóbbi rendzer gyakran haználják álagképzére. Saiku vagy dinamiku M M å k-m A aiku rendzer kimenee egy időponban caki kizárólag az abban a pillanaban jelenkező gerjezéől (bemeneől) függ. A aiku rendzereknek ninc memóriájuk. A aiku rendzerek vielkedée nem függ az időől. A aiku rendzer algebrai vagy idő zerini deriválaka nem aralmazó közönége vagy parciáli differenciálegyenleekkel írhaó le. A dinamiku rendzerek eeében egy ado időben gerjeze kimene éréke függ a mlbeli gerjezéekől i. A dinamiku rendzerek energiaároló(ka) aralmazó rendzerek, vagyi memóriával rendelkező rendzerek. Maemaikai modelljük olyan közönége vagy parciáli differenciálegyenleekkel adhaó meg, amelyekben zerepel idő zerini derivál. Koncenrál paraméerű vagy elozo paraméerű Koncenrál paraméerű rendzer eeében az elemeke paraméereik ekineében idealizálnak, kierjedé nélkülinek ekinjük. Ilyen idealizál elem a ömegpon, amely bizonyo eeekben alkalma egy bolygó figyelembevéelére egy koncenrál paraméerű rendzeren belül. Az elozo paraméerű rendzerben a paraméerek álalában érben folyono elozlában hanak. Az elozo paraméerű rendzerek maemaikai modellje parciáli differenciálegyenleekkel adhaó meg. Homogén vagy nem homogén S S Homogén rendzerre érvénye: u( ) ¾¾ y( ) Þ Au( ) ¾¾ Ay( ), vagyi amennyiben a bemenee megnöveljük A-zoroára, akkor a kimene i A -zorora növekzik. Példa homogén rendzerre: y( ) 5u( ). Példa nem homogén rendzerre: ( ) 5 u( ) y.. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

10 Irányíáechnika Addiív vagy nem addiív Legyen u ( ) gerjezére egy rendzer válaza y ( ), é u ( ) gerjezére y ( ) a ké bemene özegére ( u ( ) u( ) ) a válaz a ké kimene özege ( y ( ) y( ) ) addiív rendzerre érvénye: S S S ( ) ¾¾ y ( ), u ( ) ¾¾ y ( ) Þ ( u ( ) u ( ) ) ¾¾ ( y ( ) y ( ) ) u, akkor. Tehá Az addiiviá igen jól zemlélei a.3. ábrán láhaó jelleggörbe. Ha egy függvény leképezé az: y() F(u()) örvényzerűég zerin örénik, akkor a modell addiív, ha F(uũ) F(u) F(ũ); é nem addiív, ha F(uũ) F(u) F(ũ). y y F(ũ) F(u) F(uũ)F(u)F(ũ) F (u) F(uũ) F(u)F(ũ) ũ u ũ u u u uũ uũ addiív nem addiív.3. ábra. Addiív é nem addiív jelleggörbék Lineári vagy nemlineári A lineári rendzer egyzerre homogén é addiív i. Ez a ulajdonágo zuperpozíciónak nevezzük. Vagyi S S S ( ) ¾¾ y ( ), u ( ) ¾¾ y ( ) Þ ( Au ( ) Bu ( ) ) ¾¾ ( Ay ( ) By ( ) ) u Az egyenleek akkor lineáriak, ha a függelen válozók (vagy annak deriváljai) cak elő haványon é ranzcenden függvények álal örénő leképezéek nélkül fordulnak elő benne, egyébkén nemlineáriak. Ha a lineariá valóban fennáll, akkor jelenően Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

11 . Rendzerek áekinée leegyzerűíi a rendzer vielkedéének elemzéé. A valódi világ zámo rendzere igen zéle arományban, legalábbi elő közelíében, lineári. Példa lineári rendzerre: d y dy a a a y bu d d Példa nemlineári rendzerre: d y æ dy ö 3 a a ç a y bu d è d ø A folyono rendzerekhez haonlóan, amennyiben a dizkré rendzer egyzerre homogén é addiív i, akkor az lineári dizkréidejű rendzer. Időinvarián vagy idővarián Ha a rendzer kapcolaai é paraméerei időfüggelenek, akkor a rendzer időinvarián (auonóm). Időinvarián rendzerek eeén egy ado gerjezére ugyanaz a válaz, függelenül aól, hogy az mikor le alkalmazva. S Vagyi u( ) ¾¾ y( ) Þ u( - ) ¾¾ y( - ) S. Dizkré rendzerek eeén pedig ha x [ n] bemenere a válaz y [ n] időinvarián rendzer válaza x[ n - ] bemenere y[ n - ]. n n, akkor az Inverálhaó rendzer A rendzer inverálhaó, ha annak kimeneéből egyérelműen meghaározhaó a bemenee. Má zóval a rendzernek léezik inverze, amennyiben különböző gerjezéek különböző válazoka generálnak. u ( ) ( ) P P - y u ( ) Ez igaz dizkré rendzerek eeében i. Például az [ n ] å x[] n imer rendzer inverze az [ n ] y[ n ]- y[ n ] x rendzer. - x [ n ] y [ ] x [ n ] n P P - n y akkumuláorkén i n- Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

12 Irányíáechnika Deerminiziku vagy zochaziku A deerminiziku rendzer függelen válozói függvényekkel adhaók meg érben é időben. A zochaziku rendzer egye függelen válozói cak valózínűégzámíái özefüggéekkel írhaók le..3. Példák különböző rendzerekre. Példa Memóriával rendelkező dizkré rendzer Dizkré rendzerre akkor mondjuk, hogy memóriával rendelkezik, ha egy ado pillanaban jelenkező kimenei érék nemcak az akkor haó bemenei érékől függ, hanem az az megelőző érékekől i. Példa memóriával nem rendelkező rendzerre: y[ n] x [ n]. Példa memóriával rendelkező rendzerre: y [ n ] å x[] n, amely rendzer akkumuláornak i zokak nevezni. n n-. Példa A kövekező differenciálegyenleek mindegyike egy rendzer működéé írja le: a) () u() y 4 b) y ( ) u 3 ( ) c) () u() y 3 4 d) y ( ) u 3 ( ) du() d du() d Végezzük el a rendzerek ozályozáá, ha y ( ) a rendzerek bemenee é ( ) kimenee. u pedig a Megoldá: a) A rendzer lineári é állandó paraméerű b) A rendzer nem lineári é állandó paraméerű. c) A rendzer lineári é válozó paraméerű. d) A rendzer nem lineári é válozó paraméerű. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

13 . Rendzerek áekinée 3 3. Példa Az alábbiakban ado három rendzer egyenlee, ahol y ( ) a folyono idejű rendzerek bemenee é u ( ) pedig a kimenee, y [ ] a dizkréidejű rendzerek bemenee é u [ ] pedig a kimenee: a) () ö d y() kt () æ d y dy b ç b ( b b co) by d è ø d d () u() b) b ( y[ ( k ) T ]) [ b b y[ kt ] b in( kt )] y[ kt ] u[ ] 3 4 kt b T c) y [ kt] { u[ kt] - u[ ( k -) T] } b Haározzuk meg a b, b, b 3, b 4 é b 5 paraméerek érékei gy, hogy a rendzer: - lineári, - válozó paraméerű legyen. kt Megoldá: a) A rendzer akkor lez lineári, amennyiben a b é b 4. Ekkor a rendzer differenciálegyenlee: ( ) dy( ) d y b b3 b5 y d d () u() A rendzer akkor lez válozó paraméerű, ha b 4 ¹. b) A rendzer akkor lez lineári, ha b, b 3 é b 4. Ekkor a rendzer differenciaegyenlee: [ kt ] u[ ] b y kt A rendzer akkor lez válozó paraméerű, ha b 4 ¹. c) A rendzer lineári, ha b. A rendzer állandó paraméerű függelenül b é b paraméerek érékéől. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

14 4 Irányíáechnika 4. Példa Vizgáljuk ki az alábbi rendzer lineariáá: y - [ kt ] ( u[ kt ]- u[ ( k ) T ]) : ahol a T T a minavéelezéi időállandó é k,, Megoldá: Amennyiben [ ] u u kt akkor a rendzer leíró egyenle zerin a kimene: y -. [ kt ] ( u [ kt ]- u [( k ) T ]) T Ha u u [ kt ], akkor a rendzer kimenee az alábbiak zerin alakul: y -. [ kt ] ( u [ kt ]- u [( k ) T ]) T Mo vegyük a ké bemene lineári kombinációjá: u a u [ kt ] a u [ ], ekkor: kt y -, [ kt ] ( a u [ kt ] a u [ kt ]- ( au [( k -) T ] a u [( k ) T ])) 3 T a a y -. [ kt ] ( u [ kt ]- u [( k -) T ]) ( u [ kt ]- u [( k ) T ]) 3 T T Beláhaó, hogy y [ kt ] a y [ kt ] a y [ ], 3 kt így bizonyío, hogy a feladaban megado maemaikai modellel leírhaó rendzer lineári. 5. Példa Vizgáljuk ki az alábbi egyenleel megado rendzer lineariáá: y ( ) u ( ) Megoldá: Legyen u ( ), akkor az egyenle: y ( ) u ( ) u. Mo figyeljük az u ( ) bemene haáá, ekkor y ( ) u ( ) u Majd vizgáljuk az a u ( ) a u ( ) u. bemene haáá, ekkor: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

15 . Rendzerek áekinée 5 ( ) ( a u ( ) a u ( )) y ( ) a u ( ) a a u ( ) u ( ) a u ( ) y 3 Elmondhaó, hogy ( ) a y ( ) a y ( ) y3. 3 ¹, így az ado rendzer nem homogén, nem addiív, nem érvénye rá a zuperpozíció elve, ehá nemlineári..4. Állapoegyenleek A dinamiku rendzerek definíciója orán Kalman, Falb é Arbib módzeré haználjuk. x Feléelezzük, hogy a rendzer elje előélee bármilyen eeén leírhaó az ( ) állapoal egézen időponig. A rendzer bemenő jelének éréke egy időpillanaban y. u ( ), a kimenő jel ugyanakkor ( ) u ( ) y ( ) Σ.4. ábra. A dinamiku rendzer zimboliku ábrázoláa. Álalánoan az.4. ábra zerin megado dinamiku rendzer felírhaó egy öbbkomponenű rukrával az alábbiak zerin: S ( Á, X, U, W, Y, G, j, g) A rukra egye elemei a kövekezők: Á az időponok halmaza, X az állapook halmaza, U a bemene érékeinek halmaza, W a megengede bemenő jelek halmaza, Ì { u : U} Y a kimene érékeinek halmaza, W, G a leheége kimenő jelek halmaza, Ì { y : Y} G, j az állapoámene függvény, j : X W X, g a kimene leképezé függvény, g : X U Y. (.) Ha a rendzer a pillanaban az x állapoban van é a bemenő jel u ( ), akkor az állapo é a kimene a pillanaban x ( ) j (,, x, u( )) é y ( ) g(, x( ), u( ) ) módon adhaó meg. Tehá álalánoan egy rendzer állapoa egy pillanaban megadhaó: x ( ) (,,x, u( )) j. (.) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

16 6 Irányíáechnika Speciáli eeben, ha a rendzer lineári, akkor x ( ) (,,x,u( )) F(, ) x Q(, ) u( ) j, (.3) az állapo megadhaó a kezdei feléel haáából é a bemenő jel haáából. Egy máik peciáli ee a ima rendzer. Sima rendzer eeében az állapooka ( ) x j,, x, u folyono, x( ) ÎC, ehá legalább egyzer leképező leképezé: ( ) ( ( )) differenciálhaó é így felírhaó a ( ) dx d (, x(), u() ) f. (.4) u ( ) x& x y ( ) x & f (, x, u) ò y g(, x, u).5. ábra. Sima nemlineári rendzer haávázlaa Tehá gyakorlai megközelíéből kijelenhejük, hogy az egy- é öbb- bemeneű, illeve kimeneű dinamiku rendzer leíráára nemcak a bemenőjelek é kimenőjelek alkalmaak, hanem a belő állapoválozók é azok válozáai i. Az állapoválozókon az időől függő válozóknak az a legkiebb elemzám halmazá érjük, amely a rendzer állapoának elje é pono leíráához zükége é elegendő. Tegyük fel, hogy egy villamo rezgőkör bemenő jele a kapocfezülég, kimenő jele az áram. Ké energia felhalmozó eleme, a kondenzáor é az indukiviá aralmazza. Ezér ké függelen állapoválozója lehe, például a kondenzáor fezülége é az ellenállá fezülége, vagy a kondenzáor ölée é árama. Haonlóképpen egy mechanikai rezgőkör bemenő jele az erő, kimenő jele a ebeég, ké állapoválozója lehe, például a rugóerő é a cillapíóerő, vagy az elmozdulá é a ebeég. (Egye állapoválozók meg i egyezhenek a kimenőjellel.) Az eddigiekből világoan kiűnik, hogy egy vizgál rendzernek öbbféle állapoválozója é így öbbféle egyenlerendzere képzelheő el, még akkor i, ha a bemenőjelek é a kimenőjelek adoak. Az állapoválozókból alkalma módon egy vekor képezünk; az állapovekor. Az ámenei folyamao egy előrendű vekor-differenciálegyenle egíégével írjuk le. A bemenőjelből ugyancak vekor képzünk, a bemenőjelek vekorá. Haonlóképpen képezheő a kimenő jelek vekora, vagy röviden a kimenővekor. Az.5. ábrán megado rendzerre álalánoan érvénye, hogy x n Î Â, u r Î Â, y Î Â m ; n az állapoválozók záma, r a bemeneek záma é m a kimeneek záma. Speciálian, ha m r, akkor a rendzer egy bemeneű-egy kimeneű (angolul ingle inpu ingle oupu yem SISO), mákülönben öbb bemeneű-öbb kimeneű (angolul muliple inpu muliple oupu yem MIMO) rendzerről bezélünk. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

17 . Rendzerek áekinée 7 A harmadik peciáli rendzer legyen a ima lineári rendzer. A rendzer leíró egyenleek a kövekezőképp alakulnak: x ( ) j (,, x, u( )) F(, ) x Q(, ) u( )Þ dx d dx d ( )-j(,, x( ), u[, D ]) ( ) j D,, x( ), u[, D ] lim D D ( ) F( D, ) - F(, ) () Q( D, ) - Q(, ) lim lim u[ D]. D D x, D D Az állapoegyenle: x ( ) x, dx d ( ) () x() B() u() é a kimene y ( ) C( ) x( ) D( ) u( ), A, (.5), (.6) x n Î Â, u r Î Â, y m Î Â. D( ) u ( ) B( ) x& ò A( ) x C( ) y ( ).6. ábra. Sima lineári rendzer haávázlaa A.6. ábra álal meghaározo rendzer folyono idejű időben válozó lineári D rendre n n, n r, m n, rendzer. Az ábrán haznál jelöléek: A ( ), B ( ), C ( ) é ( ) m r méreű, időben válozó elemeke aralmazó márixok. x A (.5) állapoegyenle megoldáa Φ (, ) állapomárix egíégével adhaó meg: () F ( ) x ò F (,g) B( g) u( g), dg. (.7) Végül negyedik peciáli eekén a folyonoidejű, időinvarián, lineári rendzerek (linear ime invarian yem LTI) leíró egyenleei a kövekezőkben adoak. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

18 8 Irányíáechnika Az állapoegyenle: x ( ) x, ( ) dx d é a kimene y ( ) Cx( ) Du( ) () Ax() Bu() x&, (.8). (.9) D u ( ) B x& ò x C y ( ) A.7. ábra. Lineári időinvarián rendzer haávázlaa Ebben az eeben a Φ (, ) alapmárix az exponenciáli márixból zámíhaó: ( - ) Φ (, ) e A. Az exponenciáli márix definíciója: å n n A A e. n n! A (.8) állapoegyenle megoldáa: x A( - ) A( -g ) () e x e Bu( ) ò g dg. (.) Az öze leheége állapovekornak halmaza az állapoér, az öze leheége bemenő vekorok halmaza a bemenei ér, az öze leheége kimenővekorok halmaza a kimenei ér. Álalában ezek a erek öbbdimenzió, való EUKLIDESZI-i erek. Az állapoválozóka egy-egy koordináaengelyre felmérve abzrak állapoér áll elő. Háromnál öbb állapoválozóra a zokáo háromdimenzió euklidezi ér álalánoíáakén a öbb-dimenzió, n. hiperér áll elő, míg a kédimenzió állapoík é az egydimenzió állapoegyene az állapoér peciáli eeének ekinheő. Az állapoérnek az a réze, amelyben a rendzer állapoá meghaározó pon előfordulha, az a megengede állapook arománya. A dinamiku rendzerek vizgálaa é méreezée ebben az állapoérben végezheő el. A rendzer állapoa az az egy ado időponban megado információ jeleni, amely eől az időponól kezdve a rendzer vielkedéének meghaározáához zükége. Minden Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

19 . Rendzerek áekinée 9 rendzer nagyzám é egymáól megkülönbözeheő állapoba kerülhe. A rendzer állapoá bizonyo ponoággal meghaározhajuk azoknak a belő jellemzőknek é kölcönhaáoknak mérékrendzerben kifejeze érékeivel, amelyek a rendzer helyzeé (pl. ávolág, zin), energia- é anyagjellemzői (pl. hőmérékle, nyomá, özeéel) é az egyéb információjellegű (pl. zámláló állapoa, mege fordulaok záma) muaói haározzák meg. Az állapoválozók érékei a időponban az x ( ), x ( ), ( ) időfüggvényekkel é az x () () () éx ù x () ëx3û x Î R ; ( ) n állapovekor felhaználáával rendzerezzük. Az állapovekor egy ezőlege időponra meghaározza a rendzer pillananyi állapoá. Ha az állapovekor elemeinek érékei ké egymáól különböző időponban vizgáljuk ( ¹ ), akkor az állapovekor érékeinek megválozáából meghaározhajuk a rendzer álal elvégze mozgá méréké é jellegé. A mozgá fogalmá a mechanikában a zó zoro érelmében haználják, é ez az jeleni, hogy a e időben válozaja helyzeé. A ovábbiakban mozgának nevezzük az elem állapojellemzőinek mindenfaja időbeli válozáá. Mozgának nevezzük például a e hőmérékleének, a kondenzáor öléének, egy bankzámla végözegének, a rakáron lévő nyeranyagnak a válozáá, ő a mozgá meghaározo, bár igen bonyolul formáinak kell ekinenünk az olyan folyamaoka i, min például az éle é a gondolkodá. A rendzer mozgáa állapoválozáa örénhe külő haáokra vagy a rendzeren belül lejázódó folyamaok haáára i. A rendzerrel való minden kölcönhaá, érinkezé a rendzer bizonyo ulajdonágainak, állapoának megválozáá vonja maga uán. A ulajdonágok válozáai az állapojellemzők válozáai révén figyeljük meg. Szigoran véve, minden rendzer végelen zám külő haá ér, de koránem lényege mindegyikük. Így nyilvánvaló, hogy a Hold vonzáa nem lényege egy auónak a Földhöz vizonyío mozgáára, bár elvben ez a haá léezik. A külő haáok halmazából cak azoka válazjuk ki, amelyek a felada ado körülményei közö lényegeek a rendzer állapoára. Ez nevezzük lényegkiemelének. Ezen külő haáoka bemenő jellemzőknek (vagy bemenő haáoknak), a rendzer bemenő válozáának, míg a rendzernek azon elemei, amelyekre a bemenő haáok hanak, a rendzer bemeneének nevezik. A bemenő haáok ké coporjá különbözejük meg: az irányíó é a zavaró haáoka. Az irányíó haáok érékei a rendzer működée közben módoíani udjuk (pl. egy arályba vezeő zelep állíáa, a moor ápláláának ákapcoláa, ). Ez a módoíá annak érdekében örénik, hogy a rendzerben elindíunk bizonyo folyamaoka, megvalóíhauk annak legelőnyöebb lefolyáá é leállíuk az elindío folyamao. A x n Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

20 Irányíáechnika zavaró bemenő haáok az irányíó álal nem módoíhaók. A zavaró haáok nemcak külő eredeűek lehenek, hanem lérejöhenek a rendzeren belül i, például az elemek ulajdonágainak hozabb működé uán bekövekező válozáa mia (öregedé, zigeeléi ulajdonágok vezée b.). A rendzernek a környezeére gyakorol haáá a kimenő mennyiégek (vagy kimenő haáok), leegyzerűíve kimeneek haározzák meg. A kimenei haá válozáá a módoíó vagy zavaró haáok hozzák lére. Az.8. ábrán láhaók vázlaoan egy rendzer y é a hozzá arozó módoíó bemenő u ( ), zavaró z ( ), állapo x ( ) valamin kimenő ( ) jellemzők vekorai..8. ábra. A rendzer é jellemzői Az állapook, kimeneek, irányíó é zavaró haáok közöi özefüggéek a való rendzereknél gyakran igen bonyolulak. Ha ezen özefüggéeke megfozjuk a fizikai mivolukól, abzrak rendzereke kapunk. Az így kapo özefüggéek nem mindig egyérelműek, ezér a rendzer maemaikai leíráa egy reláció é nem egy függvény vagy operáor. Mivel a legkülönbözőbb rendzerek mozgái örvényzerűégeiben ok közö voná van különöen a bennük lezajló válozáok irányíáa zemponjából nem mindig célzerű konkré rendzerek mozgáának örvényzerűégei anulmányozni, hanem áérheünk elvon é álalánoío, vagyi abzrak irányíái rendzerek anulmányozáára i. Az így zerze eredményeke ezuán ikereen alkalmazhajuk a való irányíái feladaok megoldáában. Azok a rendzerek, amelyeknek a bemeneei közö irányío bemeneek i alálhaók, irányío rendzerek. Az irányío rendzer egyik jellegzee ulajdonága az, hogy különböző irányíó haáok kövekezében, képe mozgáá megválozani. Ha irányío rendzerről van zó, mindig megalálhaó a celekvéek olyan özeége, amelyek közül az ado eeben kiválazhaó a legelőnyöebb (opimáli). Ahol erre a válazára ninc mód, o ninc é nem i lehe zó irányíáról. Egy rendzer mozgáá ekinhejük gy i, min állapoai áalakuláának kapcolaá. Bármely rendzer állapoának válozáa azonban nem valóíhaó meg az alkoóelemeiben Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

21 . Rendzerek áekinée végbemenő anyag, energia vagy információ áalakulái vagy ávieli folyamaai nélkül. Így egy e hőmérékleének válozáa kapcolaban van belő energiájának válozáával, egy arályban a folyadékzin megválozáához zükég van a benne levő folyadék mennyiégének megválozaáára. Ha a rendzer állapoának válozáa egy pillana ala lefolyhana, ez az jelenené, hogy a benne levő anyag é energia mennyiége végelenül ki idő ala, vége mennyiéggel válozna. Ehhez arra lenne zükég, hogy az anyag- vagy energiaáramlá inenziáa a rendzer egye elemein kerezül végelenül nagy éréke vegyen fel, ami leheelen. Egy való rendzer állapoa ehá nem válozha pillanazerűen, hanem vége idő ala, az gyneveze ámenei folyama eredményeképpen. Azok a rendzerek, melyeknek állapoválozáai nem egy pillana ala zajlanak le, hanem egy ámenei folyama eredményei, dinamiku rendzerek. Az eddigiekből kiűnik, hogy zigor érelemben véve minden való rendzer, dinamiku rendzer. Azokban az eeekben, amikor az ámenei folyama aralma lényegelenül kici a vizgál jelenég időaramához képe, é az ámenei jelenég lefolyáának jellege nem gyakorol lényege befolyá a rendzer vielkedéére, elhanyagolhajuk a vizgál rendzer dinamiku ulajdonágá, é gy ekinhejük, hogy állapoválozáai egy pillana ala köveik az őke kiváló okoka. Egy dinamiku rendzer működéének három alapveő módja van: egyenlyi vagy állandóul, ámenei é periodiku. Az mondjuk, hogy a rendzer egyenlyi vagy állandóul üzemmódban van, ha állapoa nem válozik az időben. Ámenei üzemmódnak nevezzük a dinamiku rendzer mozgáának az az üzemmódjá, amikor egy bizonyo kiinduló helyzeből, egy állandóul egyenlyi vagy periodiku üzemmódba örekzik. Ámenei üzemmód jelenhe meg a rendzerben a külő haáok válozáának vagy a rendzer belő ulajdonágainak megválozáa kövekezében. Periodiku üzemmód eeén, a rendzer egyenlő időközönkén, ugyanabba az állapoba kerül. Az.9. ábrán egy hőmérékleválozá egyenlyi, ámenei é periodiku üzemmódjá üneük fel. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

22 Irányíáechnika Q[ o C] Egyenlyi üzemmód Ámenei üzemmód Periódiku üzemmód.9. ábra. A dinamiku rendzer üzemmódjai A rendzer üzemmódjainak meghaározáával é megalkoáával kapcolaoan igen ok kérdé merül fel, amelyekre felele cak a rendzer alapo vizgálaa uán, a kapo adaok rézlee minőégi é mennyiégi elemzéével adhaunk. Özefoglalául elmondhaó, hogy az irányíái rendzerek maemaikai modelljeinek állapoéri megfogalmazáa igen előnyöen felhaználhaó a korzerű irányíáechnika legfonoabb feladaainak megoldáában (például az opimáli rendzerek elmélee, abiliávizgálaok, adapív irányíó rendzerek elmélee b.). Az állapovekoro zámíái mód nagy előnye, hogy álalánoan felhaználhaó, é a rendzeregyenleeke a digiáli zámíógépen való zámíáokhoz a legalkalmaabb alakban adja meg..5. Példák állapoegyenleekre. Példa Haározzuk meg az.. ábrán láhaó rendzer állapoegyenleé: L R C u u L u R u C i.. ábra. Illuzráció a példához Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

23 . Rendzerek áekinée 3 Az ábrán láhaó jelöléek melle jelölje q a kondenzáor öléé. A rendzernek legyen egy bemenee: u u( ) é ö kimenee, melyek rendre: y ( ) q( ), y ( ) i( ) q () () () y3 uc, y 4 ( ) Ri( ) é y ( ) u ( ) C, 5 L. A rendzer ké energiaárolóval rendelkezik, legyenek az állapoválozók a kövekezők: x ( ) q( ) ; () () dq x i d (). Megoldá: A oro rezgőkör vielkedéé a kövekező differenciálegyenle írja le: ( ) dq( ) d q L R q d d C () u() Az állapoválozók bevezeée uán a kövekező ké előrendű differenciálegyenlee kapjuk: dx d ( ) () x() x&, () R u x & () - x() - x(), LC L L ugyanez vekor differenciálegyenle alakban: é x& ëx& () () ù é û - ë LC ùéx R - x Lû ë () () ù é ù u û ë Lû (), A kimenő jele megadó kiegézíő vekoregyenlehez a kövekező módon juunk el: ( ) q( ) x ( ) y, ( ) i( ) x ( ) y, () u() () q x(), C C y3 c ( ) Ri( ) Rx ( ) y4, di () () () u L L, y () - x () - Rx () u() y & L d 5 x 5 C, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

24 4 Irányíáechnika éy y y y ëy () () () () () é ù C û - ë C ù éx x Rë -R û () () éù ù u û ë û (). Az egyzerűég kedvéér a ovábbiakban jelöljük a kövekező időfüggő vekoroka a kövekezőképpen: u u( ), y y( ), x( ) x, u [ u( ) ], [ y ( ), y ( ), y ( ), y ( ), y ( ) ] T, [ x ( ),x ( ) ] T x Ax Bu y &, y Cx Du, ahol:. Példa é A - ë LC ù R - L û, é ù B ë Lû, x. A márixo alak: é ù C 5 C é R - - R ë C û éù D 5. ë û Egy villanyárammal fűö kemence (.. ábra) maemaikai modelljé kívánjuk meghaározni. A ermiku rendzer lényegében ké hőkapaciából áll. Legyen a külő környezei hőmérékle q k, a falaza hőméréklee q f, a kemence belő hőméréklee q b. Jelölje w a villamo fűé álal előidéze hőeljeímény. Az egyzerűég kedvéér feléelezzük, hogy a hőmérékleek egyenleeen é pillanazerűen ozlanak meg az egye közegekben. Legyen A b é A k a fal belő é külő felülee. Jelölje c b é c f a kemence belejének é falának hőkapaciáá. Legyen a falaza hőleadái állandója befelé, illeve kifelé h b, illeve h k. A k, q k,h k A b, q b,h b w C b Cf.. ábra. Illuzráció a példához Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

25 . Rendzerek áekinée 5 Megoldá: A falaza hőegyenlyának differenciálegyenlee közvelen fizikai megfonoláok alapján: C f dq f d ( ) ( Q() -Q() ) -AhQ() -Q() ( ) w() Ah, k k k f b b b f hizen a falban felhalmozo hőmennyiég időbeni válozáa egyenlő a fűőe álal zolgálao hőeljeíménnyel, az uóbbiból levonva a falaza álal a külő, ill. a belő környezenek leado hőeljeímény. Haonlóképpen írhaó fel a kemence belejének differenciálegyenlee: C b dqb d ( ) ( Q() -Q() ) Ah. b b f b Vezeünk be állapoválozóka. Legyenek a hőmérékle különbégek az állapoválozók: x ( ) Q ( ) -Q ( ) f k, x ( ) Q ( ) -Q ( ) b k. Legyen az irányíó jellemző u( ) w( ) hőmérékleének é a külő környeze hőmérékleének különbége: y( ) Q ( ) -Q ( ) Feléelezzük, hogy a külő hőmérékle állandó. Így: () dq f () dx x& (), d d () dq () dx b x& (). d d. Végül legyen a kimenei jellemző a kemence. Bevezeve az állapoozókra vonakozó jelöléeke, rendezé uán a kövekező differenciálegyenle-rendzer kapjuk: ( ) x ( ) Q ( ) -Q ( ) - ( Q ( ) -Q ( ) ) Q ( ) -Q ( ) - x f k b k f b, ( ) - A h x ( ) A h ( x ( ) - x ( ) ) u( ) C x& f k k b b, ( ) A h ( x ( ) x ( ) ) C x&, b b b - ( ) x ( ) y. Ki áalakíá uán az állapoegyenleek vekoregyenle alakjában i megadhaók: b k Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

26 6 Irányíáechnika Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE u C x x A h C A h C A h C A h C A h C x x f b b b b b b b b f b b f k k f û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é & &, [ ] û ù ë é x x y, Bu Ax x &, Du Cx y, ahol: û ù ë é b b b b b b b b f b b f k k f A h C A h C A h C A h C A h C A, û ù ë é C B f, [ ] C é [ ] D. 3. Példa Az.. ábrán egy zemélyauó leegyzerűíe dinamikai modellje láhaó. A modellbe m a váz é arozékainak ömege, c é f a váz é a kerekek közö elhelyeze rugó orzió állandója é rlódái együhaója, m a kerekek ömege, c pedig a kerekek orzió állandója. Az egyenelenége u() egy z () é z () elmozdulá okoz az egyenlyi állapohoz vizonyíva a zemélyauó haladáa közben. Írjuk fel a rendzer állapoegyenleei, ha z () a kimene. Az állapoválozók zabadon válazhaók... ábra. Illuzráció a példához Megoldá: Az egyzerűíe rendzer differenciálegyenleei: () () [ ] () () [ ] û ù ë é ) ( ) ( ) ( z z f z z c z m z u c & & & &,

27 . Rendzerek áekinée 7 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE ( ) ( ) [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( m z z z f z z c & & & & - -. Bevezeve az állapoválozóka: ( ) ( ) z x, ( ) ( ) z x &, ( ) ( ) z x 3, ( ) ( ) z x 4 &, é a kimenő jele: ( ) ( ) ( ) x z y, a rendezé uán a kövekező differenciálegyenleeke kapjuk: ( ) x ) ( x &, () () () () () x m f x m c x m f x m c x &, ( ) ( ) x x 4 3 &, () () () () () () u m c x m f x m c c x m f x m c x &, ( ) x y. Az állapoegyenleek vekoregyenle alakjában a kövekezők: u m c x x x x m f m c c m f m c m f m c m f m c x x x x û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é & & & &, [ ] û ù ë é 4 3 x x x x y.

28 8 Irányíáechnika 4. Példa A.3 ábrán vázol hidrauliku rendzer ké A é A kerezmezeű arályból áll. A arályokban a folyadék zinmagaága h() é h(). A cővezeékek hidrauliku ellenálláá elhanyagoljuk, a ké olózár hidrauliku ellenálláa lineári közelíéel legyen R é R. Legyen a bemenei jellemző a q() hozzáfolyá, a kimenei jellemző a q() áramlá. q() h () () A R R A h () () q q.3. ábra. Egy ké ároló hidrauliku rendzer vázlaa A arályokban árol ömeg válozáai a kövekező egyenleek haározzák meg: dh ( ) A q( ) - q( ), d dh ( ) A q( ) - q ( ). d A hozzáfolyá é a kimenei áramlá a kövekező egyenleek haározzák meg: q ( ) h ( ) - h ( ) R, h ( ) q ( ). R Behelyeeíéel a kövekező állapoegyenleeke kapjuk : dh ( ) A - ) d R ( h( ) - h( ) q() dh ( ) A - d R R ( h ( ) - h ( ) ) h ( ) Ha bevezejük a alábbi állapo-, bemenő- é kimenő-vekor: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

29 . Rendzerek áekinée 9 n éx ( ) ù éh ( ) ù x ( ), u() [ q() ], y() [ q( ) ], r ( ) ( ), ëx û ëh û m akkor az egyenleek az álalánoío jelöléi formával a kövekező alakak: x& - (x - x) u, R A A x& (x - x ) -, RA x R A (x - x ). R y A rendzer állapoegyenlee ezekkel az elemekkel a már ado álaláno állapoegyenlei alako vezi fel: x & Ax Bu, y Cx Du, é ù - R A R A A, A ÎÂ - - ë R A R A R A û, é ë A, B B ÎÂ, ù û é ù C -, CÎÂ ër R û, [ ] D, DÎÂ. 5. Példa Az.4. ábrán egy forgóréz-fezülég válozaáával irányío egyenáram moor pozíciózabályozái rendzerének vázlaa láhaó. q& ( ) q( ) q d ( ).4. ábra. Illuzráció a példához Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

30 3 Irányíáechnika Az egyenáram moor nyomaéka arányo a forgóréz i r ( ) áramával, legyen k m a moor nyomaék-áram állandója. R r a forgóréz ellenálláa, L r pedig az indukiviáa, k w a moor fezülég-zögebeég állandója. A mechanikai elemeke J eheelenégi nyomaék é f cillapíái állandó jellemzi, K a zabályozó erőíő erőíée. Az ideálinak ekinheő állíó fezülég ozó, a achogeneráor é az amperméer ávieli ényezői rendre k, k é k 3., a zög- Állapoválozókén válazuk a moor engelyének zögelforduláá ( q ( ) ) elfordulá ebeégé ( q& ( ) ) é a forgóréz áramá ( i r ( ) ) zögelforduláa ( q ( ) ) dulá ( ( ) ). Írjuk fel a rendzer állapoegyenleé. q d. Aa kimenei jellemző a forgóréz, a bemenei jellemző pedig az alapjelül megado, előír zögelfor- Megoldá: A moor működéé a kövekező egyenleel írhajuk le. A zabályozó kimenee: u( ) K[ q ( ) - k q( ) - k q( ) k i ( ) ] az elekromo egyenle: u() R i () &, d - 3 r () dir r r Lr kq& w (), d a forgórézre haó elekromo nyomaék: M ( ) k i ( ), m r a forgóréz mechaniku egyenlee: M ( ) Jq& ( ) fq& ( ). Rendezé uán: f km q& () - q& () ir(), J J dir d k R - q& & r d L L L r () - i() K[ q() - kq() - kq() - ki() ] w 3 r. r r r Jelöljük meg az állapoválozóka, a bemenee é kimenee: ( ) q( ), x ( ) q( ), x ( ) i ( ), u( ) q ( ), y( ) q( ) x & 3 r d. Az egyenleekbe helyeeíve kapjuk: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

31 . Rendzerek áekinée 3 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE ( ) ( ) x x &, () () () x J k x J f x m 3 - &, () () () ø ö ç ç è æ - ø ö ç ç è æ - - r r r r r r L K k L R x L K k L k x L K k x 3 3 w &, ( ) ( ) x y. Rendezé uán felírhaó az állapoegyenle: u L K x x x L K k L R L K k L k L K k J k J f x x x r r r r r r r m û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é w & & &, [ ] []u x x x y û ù ë é Példa Egy irányíá rendzer ávieli függvénye: () () () U Y G. Haározzuk meg az egybemeneű é egykimeneű lineári, időinvarián rendzer állapoegyenleé. Megoldá: Az ávieli függvény alapján felírhajuk a kövekező egyenleeke: ( ) ( ) ( ) U Y 6 6 3, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U Y Y Y Y

32 3 Irányíáechnika Inverz Laplace-ranzformáció uán: ( ) 6 && y( ) y& ( ) 6y( ) u( ) & y&&. x Amennyiben az állapoválozóka a kövekezők zerin válazuk: & y &, 3 x x y & &,, x y x akkor az uóbbi egyenlebe örénő helyeeíé uán a kövekező egyenlee kapjuk: x& x x 6x u Az állapoegyenlee felírához fejezzük ki az állapook elő deriváljai: x & x, x & x 3, x& - x -x - 6x u, y x. Rendezé uán az állapoegyenle vekoriáli alakja: é ù éù x & x u, ë û ë û [ ] x y. A felada megoldáa a Malab programcomag alkalmazáával: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

33 . Rendzerek áekinée 33» n[];» d[ 6 6];» [a,b,c,d]f(n,d) a b c d Az állapoválozók orzámának felcerélée ne zavarjon meg enki. A Malabbal kizámío megoldá elje mérékben megegyezik az előző zámíá alapján kapoakkal. 7. Példa Egy irányíái rendzer állapoegyenlee a kövekező: x & x, x& - x u. Haározzuk meg a rendzer alapmárixá Laplace-ranzformációval. X Megoldá: Az alapmárix a kövekező kifejezé alkalmazáával haározhaó meg: Laplace x & Ax Bu, ( x& Ax Bu) IX () AX () BU (), IX ( ) AX( ) BU( ) - ( ) [ I - A] BU ( ), ( ) [ I - A] - F. -, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

34 34 Irányíáechnika Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE A rendzer é az egyégmárix behelyeeíée uán: () - ø ö ç ç è æ û ù ë é - - û ù ë é F, () - û ù ë é - F, () ( ) û ù ë é F. Rendezé uán az alapmárix Laplace-ranzformálja: () ( ) ( ) ( ) ( ) û ù ë é û ù ë é F. Az alapmárix meghaározhaó inverz Laplace-ranzformáció alkalmazáával: () ( ) () Laplace f F - () ( ) ï ï þ ï ý ü ï ï î ï í ì û ù ë é - L f ï ï þ ï ý ü ï ï î ï í ì û ù ë é - - L, () û ù ë é e e f () () û ù ë é e e h h. 8. Példa Egy öbbválozó rendzer vielkedéé a kövekező egyenlerendzer írja le: ( ) ( ) ( ) ( ) u z z z & & &, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u z z z z & &.

35 . Rendzerek áekinée 35 Válazuk az állapoválozóka a kövekezők zerin: z ( ),z( ),z( ) adoak a kövekezők zerin: ( ),z ( ) z. Felada meghaározni: a) a rendzer állapoegyenleé. b) a rendzer ávieli függvény márixá. &, a kimeneek Megoldá: a) Tehá az állapovekor: x éy kimeneek vekora: y() ëy Az állapoegyenleek: x & x, - x 3 3 x x x & 4 x u, x &. 3 -x - x - x3 u ( ) z( ) () z() () z() () ù éz() () z() Az állapoegyenleek márixo felírában: 3 û éu &, a bemeneek vekora: () () ù u, valamin a ëuû ë () ù éx () ù. û ëx3û () é x& ù é x& ë x& û 3 ë ù éx ù é 3 x - û ë x û 3 ë ù éu ù, ëu û û é x ù é ù é ù é ù u y x. ë û ë û ëu û ëx3 û A rendzer ávieli függvény márixa a kövekezőképpen haározhaó meg: X Laplace &, ( x& Ax Bu) IX () AX () BU (), IX ( ) AX( ) BU( ) x Ax Bu - ( ) [ I - A] BU ( ), y Cx Du - ( ) C[ I - A] BU ( ) DU ( ) Y végül az ávieli függvény márix: G( ) C - [ I - A] B D Laplace -,, ( y Cx Du) Y () CX () DU (),, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

36 36 Irányíáechnika Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE û ù ë é û ù ë é ø ö ç ç ç è æ û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é - - û ù ë é - 3 4, [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) û ù ë é û ù ë é A I de A I adj A I ( ) ( ) ( ) û ù ë é - û ù ë é ( ) ( ) ( ) û ù ë é - û ù ë é A rendzer ávieli függvény márixa a kövekező: () ( ) û ù ë é G. 9. Példa Egy irányíái rendzer állapoere leíráa: u x x û ù ë é û ù ë é - &, [ ]x y. Haározzuk meg az állapoválozók időfüggvényé zéru kezdei feléelekre é egyégugrá bemenere.

37 . Rendzerek áekinée 37 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE Megoldá: A bemene Laplace-ranzformálja: ( ) { } ) h( L U. A kezdei feléelek: ( ) û ù ë é x. Az állapovekor Laplace-ranzformálja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x U B X F F, () ( ) ( ) û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é X, () ( ) ( ) ( ) û ù ë é û ù ë é X, () û ù ë é - - X, () () { } ï ï þ ï ý ü ï ï î ï í ì û ù ë é L X L x. Az állapovekor időfüggvénye ehá: () () () û ù ë é - - û ù ë é e h e h e e x.

38 38 Irányíáechnika A kimenere érvénye, hogy: ( ) C X( ) D U( ) Y. Mivelhogy D[], így a kimene Laplace-ranzformálja: ( ) C X ( ) Y, Y é () [ ] ( ) ë ( ) ù û ( ) -. A kimene időfüggvényé inverz Laplace-ranzformáció alkalmazáával haározzuk meg: - -ì ü y() L { Y() } a í - ý, î þ y - - ( ) - e h( ) - e. A megoldá a Malab program comag alkalmazáával a kövekező:» a[ ; -];» b[ ]';» c[ ];» d[];» ep(a,b,c,d) Példa Ado egy irányíái rendzer maemaikai modellje: éa x ëb ù écù x u û ë û &, y [ ] x u. Haározzuk meg az a, b,c paraméer gy, hogy a rendzer elje mérékben irányíhaó, majd elje mérékben megfigyelheő legyen. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

39 . Rendzerek áekinée 39 Megoldá: Az irányíhaóág márixa: éc Q C ë ac ù [ B AB] û bc. Ha az alábbi feléelek eljeülnek, a rendzer elje mérékben irányíhaó: de Q bc C ¹, b ¹ Ùc ¹ ; " aîr Þ rangq. A megfigyelheőég márixa: é C ù é ù Q O, ëcaû ëa b û de Q ¹, O rangq. O Amennyiben az alábbi feléelek beeljeülnek, a rendzer elje mérékben megfigyelheő: de Q O - a - b ¹, a b ¹ ;" c Î R Þ rangq. O C. Példa Ado egy irányíái rendzer maemaikai modellje: é ù éù x& x u, ë - û ë û y [ ]x. Vizgáljuk ki az ado rendzer irányíhaóágá é megfigyelheőégé. Megoldá: é ù Q C, ë - 4û Irányíhaóág: [ B AB AB ] de Q -4 ¹. C Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

40 4 Irányíáechnika A rendzer elje mérékben irányíhaó. Megfigyelheőég: é C ù é ù Q O CA, ë CA û ë û de Q ¹. O A rendzer elje mérékben megfigyelheő..6. Sima, nemlineári rendzer linearizáláa A ima rendzer eeében az állapoámene függvény legalább egyzer differenciálhaó é így felírhaó a kövekező vekoregyenleekkel: x & f (x,u,), y g(x,u, ). álaláno eeben legyen a rendzer MIMO, é akkor a jelölémódok: x - állapovekor [ ] T x x,, x,..., x n u - bemenei vekor [ ] T u u,,u,..., u r y - kimenei vekor [ ] T é a függelen válozó. y y, y,..., y m A ki Δu vekorral meghaározo válozáokra, az u é x vekorokkal megado munkapon bizonyo környezeében, az állapovekor válozáai orfejéel meghaározhaók. A Taylor orfejé végezzük el az elő aggal bezárva: ahol f f x& D x&» f ( x, u, ) D x Du, x u x, u x, u é f f f ù x x x n f f x x O, M fn fn L ë x x nû é f f f ù u u u r f f u u O, M fn fn K ë u u r û Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

41 . Rendzerek áekinée 4 g g yd y» g( x, u, ) D x Du. x u x, u x, u Miuán elvégezük a kövekező helyeeíé: z Dx, w Dy, f A x, g C x x, u, x, u f B u, v Du, g D u x, u, x, u az j válozókkal meghaározo állapoere modell kapjuk: z & A z B v, w C z D v.. Példa A.5. ábrán vázol inga ömege kg, a zineg hoza m. A rlódá elhanyagoláával é a T kimozdíó nyomaék figyelembevéelével az inga mozgáa a kövekező d q - d egyenleel írhaó le: 9.8in( ) T q. T m O kg.5. ábra. A maemaikai inga leegyzerűíe vázlaa Végezzük el a modell linearizáláá. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

42 4 Irányíáechnika Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE A megoldá menee: Ha az inga állapoválozói q x, q & x, a bemene T u é a kimene q y, akkor az inga állapoegyenlee: ( ) û ù ë é - û ù ë é û ù ë é u x 9.8in x ) u, (x, f ) u, (x, f x x x & & & ; ),, ( x u x g y, egyenlyi helyze é û ù ë éq û ù ë é d x x x munkapon haározza meg. ( ) ( ) ( ) û ù ë é - û ù ë é - - x 9.8co u, x x u) x 9.8in ( x u) x 9.8in ( x x x x x f,u x, û ù ë é û ù ë é - u u) 9.8in x ( u x u f,u x,u x,, x x u x x g, x x x g,, u x u x u g, A nemlineári rendzer linearizál állapoegyenleei: u x x x D û ù ë é D û ù ë é - D 9.8co,, [ ] x y D D.

43 . Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa 43. Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa Az. fejezeben árgyalaknak megfelelően az irányíáechnikai rendzerek vizgálaa orán a leíráukhoz differenciálegyenle alap modelleke alkalmazunk. Ezek a modellek a rendelkezére álló é figyelembe ve imereek alapján ké fő coporra ozhaók. Az állapoér modellek eeében a felír modell a rendzer belő ulajdonágai leíró n. állapoválozók válozáai vizgálja a pillananyi állapo é a bemene függvényében, majd ennek alapján haározza meg a kimene érékének alakuláá. Az állapoér modellek felíráa alapo imereeke köveel meg a rendzer belő felépíééről, özefüggéeiről, valamin a rendzer é a környeze közöi kapcolaokról. Modellezéi zemponból ezeke az n. fehér doboz modellek közé orolhajuk. Ilyen modellekre é alapveő ulajdonágaikra láhaunk példáka a. fejezeben. A modellek máik coporjánál ninc információnk a rendzer belő zerkezeéről, vagy nem kívánjuk azoka figyelembe venni, így cak a bemeneek é a kimeneek közi özefüggéek alapján írjuk fel a modell. Ezek az n. fekee doboz modellek előorban kíérlei megfigyeléeken, ezeléeken alapulnak, ezér alkalmazhaóáguk okzor korláozoabb, min az állapoér modelleké. Miuán a ovábbiakban az irányíáechnikai rendzerek árgyaláá ezeken az n. bemene-kimene (vagy I/O) modelleken alapulva végezzük el, ezér ezek ulajdonágai, operáor arománybeli haználauka, é a paraméereik megállapíáához kapcolódó vizgálai módzereke ekinjük á rézleeebben ebben a fejezeben... A bemene-kimene modell A bemene-kimene modell a kövekező egyzerűíe alakban írjuk fel: () () () () () () () () () (), (.) ahol y() a kimenő jel, u() a bemenő jel, () () (), {,},, ai, bj konan együhaók. Min láhaó, egy nemlineári, időől vagy má paraméerek érékéől függő együhaóka aralmazó modellhez képe a kövekezőkben haznál (.) bemene-kimene modell jóval egyzerűbb alak. Legfonoabb ulajdonágai a kövekezők: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

44 44 Irányíáechnika - Lineári modell, mivel a (.) egyenle bal oldalán a kimene é deriváljainak lineári kombinációja, a jobb oldalán pedig a bemene é deriváljainak lineári kombinációja zerepel. - Időinvarián vagy állandó együhaó modell, vagyi ai, bj együhaók konan érékűek. - Folyono idejű modell, a kimene é a bemene az idő folyono függvényei a > időinervallumon (ovábbiakban az idő argumenumkén való jelölééől elekinünk é a kimenere az y, a bemenere az u válozóval hivakozunk). - n-ed rendű differenciálegyenle a modell. A kimene é a bemene deriválái fokzámaira eljeül a fizikai rendzerek működéére érvénye okági zabály, azaz n ³ m. Ennek megfelelően a kimene alakuláa függ a bemeneől é nem fordíva. - SISO modell, azaz a leír rendzernek egy bemenee é egy kimenee közö írjuk fel az özefüggé. A felír modellhez ermézeeen arozik n darab kezdei feléel i, rendre y(),, y (n-) (). A kezdei feléeleke álalában nullának ekinjük az egyzerűíe vizgálaok orán, kifejezve ezzel az, hogy a rendzernek egy ado induló állapohoz vizonyío vielkedéé vizgáljuk. Néhány eeben, - így például bizonyo abiliá vizgálaoknál - lényege zerepe van a nem nulla kezdei feléeleknek, o ez külön jelezzük. A felorol ulajdonágokból láhaó, hogy ez a modellípu a való fizikai rendzereknek cak zűk körére alkalmazhaó, vagy cak a működéi arományuknak egy jól meghaározo, zűk arományára igaz. Ez a modell vizon alkalma, hogy ebben a bevezeő kurzuban a rendzerek alapveő ulajdonágai megimerjük, illeve egyzerűbb özee rendzerek vizgálaá elvégezzük... Vizgáló jelek A rendzerek ulajdonágainak, jellemző paraméereinek megfigyeléen alapuló vizgálaá alapveően ké fő coporba orolhajuk. Az elő coporban az n. akív kíérleek aroznak, ahol különböző, előre meghaározo jellegű é nagyág ezjeleke alkalmazunk é ezeknek a kimeneen megjelenő haáaiból kövekezeünk a vizgál jellemzőre. A kíérleek ilyen módon örénő elvégzée nyilvánvalóan megkönnyíi a vizgálao végző feladaá, hizen az ado időponban é bemeneen alkalmazo bemenő jel kimenere gyakorol haáának vizgálaa a lineári, időinvarián modellek eeében álalában egyzerű. Ilyen vizgálaoka álalában ezrendzereken vagy egyzerűbb echnológiai rendzereken lehe é zabad elvégezni. A való fizikai rendzerek öbbégénél ezek a vizgálaok komoly echnológiai problémáka é vezélyhelyzeeke okozhanak, ezér az ilyen rendzereken n. pazív kíérleeke végeznek. A pazív kíérleek az jelenik, hogy a rendzer normáli üzemmeneű működée orán felmerülő zajok, zavaráok kimenere gyakorol haáá haználjuk fel a rendzer megimeréére. Termézeeen ez mind méréechnikai, mind modellezéi zemponból özeeebb feladao jelen, hizen a Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

45 . Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa 45 zajok, zavaráok mind a jel formája é nagyága, mind az időbeli lefolyáa zemponjából vélelenzerű. A ovábbiakban az akív kíérleeknél haznál jeleke, é azok legfonoabb ulajdonágai imerejük.... Egyégimpulzu függvény Az egyégimpulzu függvény, vagy Dirac-dela függvény definíciója a kövekező: (),, A Dirac dela függvény előorban a rendzer ér impulzu jellegű zavaráok modellezéére alkalmazzuk. Bár, min a definícióból lázik, a jel fizikailag nem valóíhaó meg, azonban könnyen adhaunk meg olyan jelenégeke, amelyek jó közelíéel így jázódnak le. Ilyen például ké biliárdgolyó üközée, enizüő é labda alálkozáa, vagy egy kondenzáor ado állandó áramerőéggel való felölée. Ezeknél a folyamaoknál az energiaáadá igen rövid idő ala jázódik le, ezér alkalmaak az impulzufüggvény megjeleníéére. Az egyégimpulzu függvénynek zámo fono ulajdonága van. - Inegráljának éréke: - Laplace ranzformálja: (). L{()} (). - Bármely -ban folyono f() függvény eeén: ()() (), vagyi az egyégimpulzu függvény egíégével meghaározhajuk egy folyono jelnek ado időponhoz arozó éréké. - Az egyégimpulzu függvény deriváljá a kövekező módon érelmezhejük: () () () ( ) () lim A Dirac függvény deriváljá ehá gy képzelhejük el, min ké egymáól e ávolágban lévő, /e amplidój, ellenée irány impulzu. Elfogadva ennek az álalánoío deriválnak a léezéé, é feléelezve, hogy az f() függvénynek. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

46 46 Irányíáechnika léezik az elő,, n-dik deriválja a időponban, ekkor az egyégimpulzu függvény egíégével ezek a derivál-függvényérékek i meghaározhaók: () () () () (), () () () ( ) () () - Az egyégimpulzu függvényre ado válaz a lyfüggvény, h(). A dinamiku agok kíérlei vagy zimuláció vizgálaa orán a lyfüggvény vielkedée fono információ ad a rendzer ulajdonágairól.... A négyzög-impulzu függvény A négyzög-impulzu függvény előorban elekronikai rendzerekben alkalmazo vizgáló jel, de má echnológiai rendzerek eeében i könnyen megvalóíhaó é haználhaó. Definíciója:, < (),., > A négyzög-impulzu ilyen módon örénő megadáa egyégnyi függvény alai erülee jelen, é ha az impulzu időaramának e éréké minden haáron l cökkenjük, akkor az egyégimpulzu függvény kapjuk meg. Laplace ranzformálja: L{ ()}...3. Egyégugrá függvény Az egyégugrá függvény zinén a leggyakrabban alkalmazo vizgáló jelek közé arozik. Definíciója: (),, <. Az egyégugrá függvény előorban a zabályozái körben megvalóío ugrázerű alapjel-váláok, illeve haonlóan ugrázerű módon fellépő zavaráok modellezéére haználhajuk. Szigoran maemaikai zemponból vizgálva a jele zakadáo függvényről van zó, melynek a időponban nem egyezik meg a jobb é bal oldali haáréréke. A fizikai érelmezé orán olyan folyono jelnek ekinjük az egyégugrá jele, melynél a ké jelérék közöi felfuá a rendzer működée zemponjából elhanyagolhaóan rövid idő ala jázódik le. Az egyégugrá függvény ulajdonágai a kövekezők: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

47 . Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa 47 - Az egyégugrá függvény deriválja a Dirac dela, illeve a négyzög impulzu függvények egíégével érelmezheő. A négyzög impulzu függvény felbonhajuk, min egy időponban felfuó, /e amplidój, majd e időponban lefuó, -/e amplidój egyégugrá függvények együee, így: - Laplace ranzformálja: () ( ) () lim () lim (). L{()}. - Az egyégugrá függvényre ado válaz az ámenei függvény. Szerepe a lyfüggvényhez haonlóan fono a jelformáló agok dinamiku vizgálaa orán...4. Egyégebeég-ugrá függvény Az egyégebeég-ugrá függvény a kövekező módon definiálhajuk: (),, <. A gyakorlaban álalában programozo, azaz előír ideig aró alapjel-váláok, illeve növekvő jellegű zavaráok modellezéére haználjuk. Min az a definícióból i láhaó, az egyég jelző a felfuá meredekége mia kapa. Miuán az alapjel-válá egy előír érékig örénik, ezér az előbbi definíció megarva egyégnyi meredekége a kövekezőképpen módoíhajuk:, < (),,, > ahol T a felfuá előír időarama. Laplace ranzformálja: L{()}...5. Egyéggyorulá-ugrá függvény Ez a vizgáló jel a hagyományo echnológia rendzerekben rikán haználao, de például mechanikai mozgá leíró rendzerekben (pl. robokarok mozgáa) nagy jelenőégű. Definíciója: Laplace ranzformálja: () /,, <. L{()}. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

48 48 Irányíáechnika Beláhaó, hogy az egyégimpulzu, az egyégugrá, az egyégebeég-ugrá é az egyéggyorulá függvények közö időarományban az alábbi kapcola van: () (), () (), () (), ()(), ()(), ()(),. Az egyégebeég-ugrá é az egyéggyorulá függvény eeén i érelmezheő a megfelelő válaz függvény, de azokra nem alkalmaznak külön elnevezé...6. Szinuzo bemenő jel A zinuz függvény, min vizgáló jele a kövekező módon adhajuk meg:,,., < Ez a vizgáló jele előorban periodiku bemeneű hálózaok eeében haználjuk a gyakorlaban, illeve frekvenciaarománybeli rendzervizgálaok orán alkalmazzuk ipiku bemenekén. Laplace ranzformálja: L{}. A zinuzo bemenő jellel é az arra ado válazal a frekvenciaarományban elvégze rendzervizgálaok orán foglalkozunk rézleeen..3. Válazfüggvény meghaározáa időarományban a lyfüggvény imereében Legyen ado egy dinamiku ag h() lyfüggvénye. Haározzuk meg ennek imereében egy ezőlege u() bemenere ado y() válaz. Bonuk fel az u() függvény elegendően kiciny időaram négyzögimpulzuok orozaára. Vizgáljuk meg, hogy a i időponhoz arozó u( i ) bemenő jeléréknek milyen haáa lez egy ezőlege T > i időponban a kimenere. Feléelezve, hogy D elegendően kici időaram, az u( i ) bemenere ado válaz közelíheő a lyfüggvény egíégével, min ahogy ez a.. ábrán lázik. Termézeeen a kimene y(t) éréke valamennyi < T időponbeli bemenei jelözeevőől függ: () h( )( ) Δ. Feléelezve, hogy a bemenő jel felbonáához haznál négyzögimpulzuok időaramá minden haáron l leheége cökkeneni, azaz D, akkor a bemenő jele, min impulzuok orozaá lehe érelmezni. Így a kimene éréke egy ezőlege T időponban a kövekező módon haározhaó meg: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

49 . Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa 49 () h( )(). A kapo özefüggé konvolció inegrálkén imer. Megjegyezzük, hogy álalánoágban az inegrálá aló haárakén a - i megadhaó, de a korábban árgyalak megfelelően feléelezzük, hogy a bemenő jel éréke a < időarományon... ábra. A konvolció inegrál érelmezée.4. Válazfüggvény meghaározáa időarományban álaláno eeben Egy ezőlege bemenere ado válazfüggvény álaláno eeben örénő meghaározáához induljunk ki az álaláno bemene-kimene modellből: () () () () () () () () () (). Egy ilyen ípu differenciálegyenleel jellemze rendzer válaza, vagyi az y() kimene időbeli lefolyáa egyréz függ a rendzer bemeneére ado u() jelől, valamin y (i) (), i,, n- kezdei feléelekől. A differenciálegyenleek megoldáa kapcán anulakból imer, hogy az inhomogén differenciálegyenleek megoldáa a homogén differenciálegyenle álaláno megoldáából é az inhomogén differenciálegyenle egy parikulári megoldáából áll öze: () () (). Téelezzük fel, hogy a bemenő jel ugrá jellegű függvény. Ekkor az yih() parikulári megoldá adja meg a kimenő jele az állandóul (acionáriu) állapoban (ha léezik az Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

50 5 Irányíáechnika állandóul állapo), míg yh() homogén megoldá írja a kimene alakuláá az ámenei (ranzien) állapoban. Vizgáljuk meg előzör a homogén egyenle megoldáá. () () () () () () (). Kereük a homogén egyenle megoldáá a kövekező alakban: () Helyeeíük ez viza a homogén egyenlebe, é végezzük el a kijelöl deriválái műveleeke: ( ). Az egyenlőég eljeülééhez minden p pi, i,,n-re eljeülnie kell az alábbi egyenlőégnek:. Erre az egyenlere zoká karakeriziku egyenlekén, a polinomra pedig karakeriziku polinomkén hivakozni...5. Az ávieli függvény Az ávieli függvény a dinamiku ag operáor arománybeli modellje. Meghaározáához Laplace ranzformáljuk a bemene-kimene modell álaláno alakjá zéru kezdei feléelek melle, majd fejezzük ki ebből a kimeneek é a bemeneek közöi kapcolao. A levezeéhez induljunk ki az álaláno bemene-kimene modellből: () () () () () () () () () (). Legyenek a kezdei feléelek zéruok: ( ), () ( ),, () ( ). Laplace ranzformáljuk mindké oldal anul ranzformálái zabályok figyelembe véelével: L () () () () () () ()L () () (), () () () () () (), ( )()( )(). Árendezve a kövekező alako kapjuk: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

51 . Rendzerelemek maemaikai leíráa é vizgálaa 5 () (). A kapo kifejezé alapján az ávieli függvény a kövekező módon definiáljuk. A kimenő jel Laplace ranzformálja é a bemenő jel Laplace ranzformáljának hányadoa, zéru kezdei feléelek melle az ávieli függvény haározza meg az alábbi képlenek megfelelően: Az ávieli függvény zokáo jelöléei: () L{()} L{()}... () () () () () () (). A felorolá máodik alakja a bemene-kimene modell együhaóival felír racionáli örfüggvényre, míg a harmadik a zámláló illeve nevezőbeli polinomok gyökényező alakban örénő megadáára ual. Irányíáechnikában a nevező polinomjának gyökei póluoknak, a zámláló polinomjának gyökei zéruhelyeknek nevezzük. Ha a modell kimenei oldalán a legnagyobb deriválái fokzám n, a bemeni oldalán m, akkor ermézeeen n darab pólua é m darab zéruhelye van az ávieli függvénnyel jellemze agnak: () ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). Az ávieli függvény a kövekező fonoabb ulajdonágokkal rendelkezik: - Ávieli függvénnyel lineári, időinvarián rendzereke jellemzünk. - Az ávieli függvény a bemene é a kimene közi kapcola alapján vezejük le operáorarományban, így a modelleze rendzer belő özefüggéeiről nem ad információ. Így zerkezeileg különböző, de vielkedéükben haonló rendzereknek lehe azono ávieli függvénye. - Egy dinamiku ag ávieli függvénye vagy egy agcopor eredő ávieli függvénye a ag vagy agcopor operáor arománybeli modellje, függelen a konkré bemene nagyágáól, formájáól. Az ávieli függvény a modelleze rendzer ulajdonágainak hordozója. - Imer ávieli függvény eeén, ha bemenenek ado a Laplace ranzformálja, akkor a kimenee a kövekező özefüggé alapján haározhajuk meg: () ()() () L {()}. - Az ávieli függvény nevezőjében zereplő polinom alakilag megegyezik a karakeriziku polinommal: (). ( ). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

52 5 Irányíáechnika Ezen polinomok egíégével fono rendzerulajdonágok haározhaók meg. - Az ávieli függvény erem kapcolao a bemene-kimene ípu modellek é az állapoér modellek közö. Beláhaó, hogy ha ugyanannak a rendzernek írjuk fel mindké ípu modelljé, akkor a belőlük levezeheő ávieli függvény megegyezik. - Ha az ávieli függvény alakja imer (a zámlálóban é a nevezőben zereplő polinomok fokzáma ado), de az együhaók éréke nem, akkor azoka paraméer idenifikáció módzerekkel kíérlei (zimuláció) on meghaározhajuk. Ha az ávieli függvény alakja nem eljeen imer (nem imerjük a polinomok fokzámá), akkor azoka rukra idenifikáció feladaok egíégével állapíhajuk meg. Az ávieli függvény, a lyfüggvény é az ámenei függvény közö a kövekező kapcola érelmezheő. Legyen egy dinamiku ag ávieli függvénye G(). Slyfüggvény eeén a bemenő jel a Dirac dela (egyégimpulzu), így u() d(), melynek Laplace ranzformálja U(). Ekkor a kimene: () ()()() h() L {()} () L{h()}, ahol a h() lyfüggvény zokáo jelölée. Ezen özefüggéből adódóan zoká a lyfüggvényre, min a jelformáló ag időarománybeli modelljére hivakozni. Ha a bemene az egyégugrá függvény, azaz u() (), akkor a kimene: () ()()() () L () h(). A megado özefüggéek imereében i fono még egyzer kiemelni, hogy az ávieli függvény a ag operáor arománybeli modellje, a lyfüggvény é az ámenei függvény a jelformáló agnak, egy-egy peciáli bemenere (egyégimpulzura, illeve egyégugrára) ado időarománybeli válazfüggvényei. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

53 3. Laplace ranzformáció Laplace ranzformáció Az irányíáechnikai leíráokban előforduló differenciálegyenleek megoldáának egyik kézenfekvő ezköze a Laplace ranzformáció. Inuiív módon érelmezve, a Laplace ranzformáció olyan zerepe jázik a differenciálegyenleek megoldáában, min a logarimu alkalmazáa a zorzához, ozához vagy haványozához kapcolódó feladaokban: egíégével a zámíái feladaok egyzerűbben leznek elvégezheők. A zámíá lépéei a kövekezők leznek: - a kiindulái adaok (modellek, bemenő jelek) Laplace ranzformációja; - operáor arományban a megfelelő műveleek zabályok zerini elvégzée; - a kapo eredmények vizaranzformáláa időarományba. A Laplace ranzformáció a kövekező módon vezehejük be. Legyen f() egy való érékű függvény. Ekkor az f() függvény Laplace ranzformálja ala az az F() függvény érjük, ami az alábbi módon haározunk meg: () L{()} () ahol az jw komplex zám, az gyneveze Laplace operáor. Vizgálaaink orán az f() függvényről feléelezzük, hogy f(), ha <, illeve legyen érelmezve, ha >. Ez a ké feléel a valóágo folyamaok eeében vizonylag könnyen eljeíheő. A időpon elői örénéeke özefoglalhajuk a differenciálegyenle kezdei feléeleiben, máréz az induló állapoo véve vizonyíái alapnak, vagyi az ehhez vizonyío válozáoka vizgálva, koordináa-ranzformációval ekinhejük a időponhoz arozó éréke f() éréknek. Az így bevezee Laplace ranzformáció, ulajdonképpen egyoldala ranzformáció, é az aló haár a - időponkén érelmezzük, vagyi az idő balról ar nullához. Ennek a kiéelnek akkor van jelenőége, ha az f() függvénynek a időponban zakadáa van (pl. egyégugrá függvény), vagy impulzu (Dirac impulzu) jellegű özeevővel rendelkezik. A Laplace ranzformáció alkalmazáa orán figyelembe kell vennünk a ranzformációhoz kapcolódó zabályoka é éeleke. Ezeke a éeleke a 3.. áblázaban foglaluk öze. A ranzformáció elvégzée orán az n. operáor arományban az o érvénye művelei zabályoknak megfelelően elvégezzük a kijelöl műveleeke. A kapo eredmény időarománybeli érelmezééhez elvégezzük az inverz Laplace ranzformáció a kövekező képle alapján: () (),, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

54 54 Irányíáechnika ahol c az F() függvény legnagyobb valórézű póluánál nagyobb érék. A Laplace ranzformáció é az inverz Laplace ranzformáció álalában a 3.. áblázaban bemuao egyzerűbb agokra vizavezeve végezzük el. Ehhez, különöen az inverz Laplace ranzformáció elvégzééhez, a vizaranzformálandó kifejezé parciáli örekre kell bonanunk, majd a művelei zabályok figyelembe véelével kell elvégeznünk a kíván ranzformáció. 3.. ábláza. A Laplace ranzformációra vonakozó főbb özefüggéek Özefüggé Időfüggvény Laplace ranzformál Laplace ranzformáció érelmezée f ( ) F() f() - ò e d Inverz Laplace ranzformáció Lineariá, zuperpozíció Differenciálhányado Laplace ranzformálja f () F() e d p j c j ò c- j cf ( ) ( ) c f ( ) c f ( f ) ( ) ( f ) ( ) ( f n ) ( ) F() cf ( ) ( ) c F ( ) c F F( ) - f ( ) ( ) - f ( ) - f ( ) F n F n å - p n-p- ( p () - f ) ( ) Inegrálá Laplace ranzformációja ò f ( ) d F() Elolái éel ( - ) f ( - ) e - F( ) f a Cillapíái éel ( ) m F ( ±a ) Konvolció-éel f ( ) * f ( ) F ( ) F ( ) Kezdeiérék-éel lim f ( ) lim F( ) e Végérék-éel lim f ( ) lim F( ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

55 3. Laplace ranzformáció ábláza Néhány fonoabb függvény Laplace ranzformálja Időfüggvény f() Laplace ranzformál F() Egyégimpulzu d ( ) Egyégugrá ( ) Egyégebeég-ugrá n! n n - - z b - a w n e b - a -a e e -a -a a ( a ) (n poziív egéz) n ( ) -a -b ( e - e ) ( a ¹ b ) - b -a ( b e - a e ) ( a ¹ b ) -z a e - ( e ) a - a -a -a ( - e - a e ) -z w n n e -z w n in æ çwn è n! a ( a )( b ) ( a )( b ) ( a ) ( a ) w n in ( w n ) w co ( w n ) w in æ çwn è -z ö ø - z co - ( z < ) z ö ø ( z < ) w n n n zw n w n w n ( zw w ) n n Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

56 56 Irányíáechnika A kövekezőkben néhány gyakorló felada alálhaó a Laplace é inverz Laplace ranzformáció elvégzéére. 3.. Feladaok Laplace ranzformáció alkalmazáára Kézíük el a kövekező függvények Laplace ranzformáljai!. () 4 () () , () >.. () 4 () () 4 4 () 4() (5) 4 (5) 4 5, () > () () () () () ( 6) ( 6) 6, () > () Ha f() egy komplexérékű függvény, akkor a Laplace ranzformáció elvégzééhez bonuk fel való é képzee rézére é a ranzformáció végezzük el agonkén: () () (), L{()} L{ ()} L{ ()}, () () (). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

57 3. Laplace ranzformáció () co 5 () () () () ( 5) ( 5) , () >. A megoldához induljunk ki a komplex zámok különböző formában felír alakjából: (coin). Ennek megfelelően, ha az e jj - akarjuk Laplace-ranzformálni, akkor az előzőekben felír álaláno alakoknak megfelelően egy olyan komplex kifejezé kapunk, melynek az elő agja a co(j) Laplace-ranzformáljának, míg a máodik agja a in(j) ranzformáljának felel meg. Így L{co5} L{in5} 5, () >, 5 5, () >. 6. () 4 () A megoldához elő lépékén végezzük el a deriválá: 4 () 4 () 4( 5) () 4() (). Az áalakíá máodik lépéénél kihaználuk, hogy a d() függvény a időpon kivéelével mindenhol, i vizon az exponenciáli függvény éréke lez. Így () L{4()} L{ ()} 4L{()} L{ } , () > 5. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

58 58 Irányíáechnika 7. () (4 ) Az előző feladahoz képe annyi a különbég, hogy nem zerepel az () függvény a megado kifejezében. Miuán az () függvény éréke > időponokra, így a 6. feladaban a deriválá elvégzée uán a ranzformáció máodik agjánál figyelmen kívül hagyhauk. Ennél a feladanál vizon már a deriválánál em zerepel, ezér kapunk má eredmény. Így (4 ) 4( 5) () (). () L{ } L{ } 5, () > 5. Haározzuk meg a kövekező kifejezéek időarománybeli megfelelőjé!. () Az inverz ranzformáció elvégzééhez hozzuk az alábbi alakra a kifejezé: () 45 54,8(54) , 54,8,8 54,8,36,8. A kapo kifejezében zereplő agoka a II. ábláza alapján az inverálá elvégezheő: () L {,8} L,36,8,8(),36,.. () Az inverz ranzformáció az. példához haonlóan végezhejük el: () , () L 4 L 5 4 () 5. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

59 3. Laplace ranzformáció () Az inverz ranzformáció ebben az eeben i az. példának megfelelően végezzük el: () , () 4L L 9 4co35 in () ()()() Az inverz Laplace-ranzformáció elvégzééhez elő lépékén bonuk parciáli örekre a kifejezé: ()()(3) () () (3), ()(3)()(3)()(), () (5 4 3) 6 3, ( ) (5 4 3) 6 3. A kapo három imerelene egyenlerendzer megoldva az együhaók: Így,5,,,5. ()()(3),5 ( ) (),5 (3). A kapo kifejezé már agonkén vizaranzformálhajuk időarományra: (),5L L,5L 3,5,5. 5. () () () Az inverz Laplace-ranzformáció elvégzééhez előzör ebben az eeben i végezzük el a kifejezé parciáli örekre bonáá: 5 3 () (4) (4) () (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

60 6 Irányíáechnika 5 3() ()(4)(4). Az együhaók meghaározáá ebben az eeben végezzük el gy, hogy a kapo egyenlenek eljeülnie kell ezőlege érékére, így a póluokra i. Ez felhaználva: ( 4) () ( 4) 9,75, ( ) 7, A B együhaó eeében ez a megoldá közvelenül nem haználhaó, de ha beírjuk az A-ra é C-re kapo érékeke: 5 3 () (4) 9,75 4 7,5 ( ), akkor a kapo egyenlenek ovábbra i ezőlege -re igaznak kell lennie, de mo legyen : 6 9,75 4 7,5 4. Tehá a felboná eredményekén a kövekező alako kapjuk: 5 3 () (4) 9,75 4 7,5 ( ), melye a II. ábláza egíégével inverálhaunk. () 9,75L 4 L 7,5L ( ) 9,75 7,5. 6. () ()( ) A megoldá ebben az eeben i a parciáli örekre bonáal kezdjük, majd az egyenle ké oldalán zereplő polinomok együhaói özehaonlíva kapjuk meg az együhaók érékei: 34 ()( 6) () ( 6), 34( 6) ()(), 34() () 6,,,,8. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

61 3. Laplace ranzformáció 6 34 ()( 6),,8, () ( 6). Innen: (),L, L 6 4,7L 6,, co 4,7 in 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

62 6 Irányíáechnika 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa Az irányíáechnikai rendzerekben alálhaó alrendzereke alapveően ké fő coporra ozhajuk: az irányíó rendzerre é az irányío rendzerre. Az irányíó rendzerre röviden, min zabályozóra, az irányío rendzerre, min irányío objekumra vagy zakazra hivakozunk. Termézeeen rézleeebb boná eeén megkülönbözeheünk ovábbi alrendzereke, így például a zakaz kimenő jelének meghaározáá elvégző mérőezköz, vagy az anyag-, energiaáramok módoíáá bizoíó beavakozó zerve. A leírá céljának megfelelően az irányíái rendzer kövekező formákban jeleníhejük meg: - zerkezei vázla, - működéi vázla, - haávázla. A zerkezei vázla eeében az ado zakerüleen haználao zimbólumok egíégével jeleníjük meg az irányío rendzer echnológia zemponból fono elemei, beleérve az irányíó rendzer rézei i. Az egye objekumoka özeköő nyilak a zerkezei vázlaon a echnológiai működé jellegének megfelelően jelképezhenek anyag-, energia- é információ-áramoka. Példakén a 4.. ábrán láhaó egyzerű echnológia rendzer zerkezei vázlaa. 4.. ábra. Az irányío echnológiai rendzer zerkezei vázla formáj megjeleníée A működéi vázla eeén a cél már egy formalizálabb leírá, ezér geomeria elemeke (églalap, kör, b.) haználunk zimbólumokkén, de ovábbra i a echnológiai é az irányíái rukra egyformán kiemel zerepe kap, min az a 4.. ábrán láhaó. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

63 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa ábra. Az irányío echnológiai rendzer működéi vázla formáj megjeleníée A haávázla eeében i geomeria elemeke alkalmazunk, de ezeknél már az irányíái rukra megjeleníéére ezük a hangly. Ellenében a zerkezei é a működéi vázlaal, a haávázla eeében már nincenek felüneve a echnológiai áramok, az özeköő nyilak jeleke (jellemzőke) zimbolizálnak. Az ok-okozai kapcolaok figyelembe véelével a zabályozo zakaz bemenő jele nem a belépő anyag- vagy energiaáram lez, hanem a zabályozóól jövő beavakozó jel. Özehaonlíákén a 4.3. ábrán láhajuk a korábban zerkezei vázla é működéi vázla formájában bemuao echnológiai rendzer haávázlaá ábra. Az irányío echnológiai rendzer megjeleníée haávázla formájában Az irányíái rendzerek árgyaláánál előorban a haávázlanak van kiemel zerepe, ezér a kövekezőkben ezzel foglalkozunk rézleeebben. A haávázla fonoabb rézei é jellemzői: - ag: az irányíái rendzer elemeinek jelávieli ulajdonágá képvielő fogalom; - irányío zakaz: az irányío objekum jelávielé leíró ag; - zabályozó: az irányíái művele orán a jelformálá feladaá elláó ag; - a agoka a haávázlaon álalában az ávieli függvényük zimbólumával jelöljük; - jelek - bemenő jel: a ago működére kézeő, őle függelen haá; Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

64 64 Irányíáechnika - kimenő jel: a ag jelformáláa, vagyi működée eredményekén kialakuló haá; - haáirány: a jelnek a agon való áhaladái iránya, a jelekről feléelezzük, hogy egy irányban haladnak á a agokon, így vizahaámeneek, azaz a kimenenek a bemenere ninc közvelen haáa. A haávázlao zoká ömbvázla é jel-folyam gráf formájában megadni. A 4.4. ábrán láhaó egy egyzerű zabályozái körnek a ömbvázla é a jel-folyam gráf ípu ábrázoláa. A ké ábrázolái mód egymának könnyen megfeleleheő, így ebben a jegyzeben a haávázla ala a ömbvázla formájában örénő ábrázolá érjük. w() e() u() y() G c () G p () ábra. A zabályozái kör ömbvázla é jel-folyam gráf ípu ábrázoláa A haávázlaok elkézíéével ulajdonképpen az irányío rendzernek egy funkcionáli modelljé kapjuk meg. Számo zimuláció zofver eeében a haávázla elkézíée uán elvégezhejük a modell zimulációjá anélkül, hogy az eredő ávieli függvény nekünk kellene meghaározni. Abban az eeben, ha a rendzer ulajdonágai magunk akarjuk meghaározni, vagy a válazfüggvényeke akarjuk analiikuan kizámolni, el kell kézíenünk az eredő ávieli függvény. Ehhez á kell udnunk alakíani a haávázlao, előállíva azoka az egyzerűbb formáka, amelyeknek már közvelenül fel udjuk írni az eredő ávieli függvényé. A kövekezőkben előzör ezeknek az alapkapcoláoknak vezejük le az eredő ávieli függvényé, majd az n. egyenérékű áalakíáoka ekinjük á. Befejezékén néhány példa egíégével ekinjük á az eredő ávieli függvény meghaározáának meneé. 4.. Alapkapcoláok eredő ávieli függvénye. Egy ag () () (). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

65 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa 65. Sorba kapcol agok () () (), () () () () () () ()() () () 3. Párhuzamoan kapcol agok közö bemeneel () ()., () () (), () () () () () () () ± () ()()± ()() () () ()± ()., 4. Párhuzamoan kapcol agok külön bemeneel () () (), () () (), () ()± () () ()± () (). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

66 66 Irányíáechnika 5. Egy ag vizacaoláa () () () () () (), () () ()() ()(), () () () () ()., () () (), 6. Vizacaolá ag az előremenő é a vizaérő ágban () () (), () () (), () () ()() ()(), () () () () () (). 7. Zár zabályozái kör eredő ávieli függvénye Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

67 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa 67 () () (), () () (), () () () () () () () (), () () ()() () ()(), () () () () () () (). 8. Zár zabályozái kör zavaráal () () (), () () (), () () (), () () (), () ()() ()() () () () ()() () (), () () ()() () () (), () () () () () () () () () (). 4.. Helyeeíő kapcoláok Az alábbiakban bemuao n. helyeeíő kapcoláok alkalmazáa eeén olyan műveleek hajunk végre a haávázlaon, amelyek ninc haáa az eredő ávieli függvényre, de jelenően megkönnyíheik annak meghaározáá. Ezeke leggyakrabban álapolódó előre- é vizacaoláok zébonáánál udjuk alkalmazni. Az áalakíá egyenérékűége akkor lez igaz, ha az áalakíá elő é uán az áalakío agcopor bemenee(i) é kimenee(i) megegyezik(nek). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

68 68 Irányíáechnika. Özegzők felcerélée, özevonáa, zébonáa. Tagok felcerélée, özevonáa 3. Tagok párhuzamo kapcoláának áalakíáa 4. Tag é özegző felcerélée Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

69 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa Tag é elágazá felcerélée 6. Özegző é elágazá felcerélée 7. Vizacaol kör áalakíáa Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

70 7 Irányíáechnika 4.3. Feladaok haávázlaok áalakíáára. példa Legyen a felada a 4.5. ábrán láhaó rendzer eredő ávieli függvényének meghaározáa! 4.5. ábra. Az. példa haávázlaa A megoldá menee Jól láhaó, hogy a felada nehézégé az egymába álapolódó ké vizacaolá é az előrecaolá okozza. A megoldá menee nevezeeen, hogy mely lépéekkel milyen orrendben caoljuk zé a köröke ezőlege. A végeredménykén jelenő eredő ávieli függvénynek minden eeben ugyanannak kell lennie. Az áekinheőbb jelölé érdekében az áalakíá magyarázó lépéeknél az argumenum nem kerül felüneére. Válazuk elő lépékén a harmadik özegző áhelyezéé a G() jelű ag elé, min ez a 4.6. ábrán láhaó ábra. Az áalakíá elő lépée Az áalakíandó agcopor meghaározáá az áhelyezendő elemhez kapcolódó agok figyelembe véelével haározzuk meg. Ennek megfelelően, i a bemenő jelek az a é b zimbólumokkal jelölek leznek, míg a kimene az ag-bh lez. Az áalakíá uán ugyanezeke a bemeneeke é kimenee kell kapnunk. Kiindulva ebből a ényből Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

71 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa 7 vizafelé kövekezeve a kimenei jelből könnyen beláhajuk, hogy az áalakíá elő a H ávieli függvénnyel jellemze ago kell H/G-re módoíni. A kapo rendzer a 4.7. ábrán láhaó ábra. Az áalakíá elő lépée uán kapo rendzer Kövekező lépékén ceréljük meg a máodik é harmadik özegző, ahogy ez a 4.8. ábrán láhaó ábra Az áalakíá máodik lépée Ez a lépé az özegzők felceréléére vonakozó álaláno zabályoknak megfelelően a öbbi ago érinő különöebb áalakíá nélkül megeheő, az eredmény a 4.9. ábrán láhaó ábra. Az áalakíá máodik lépée uán Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

72 7 Irányíáechnika Az álapoláok zécaoláának uoló lépéekén bonuk zé a H ago aralmazó legbelő vizacaolá é a G4 ago aralmazó előrecaolá. Ebben az eeben i zabadon megválazhaó, hogy melyik elágazá helyezzük á. Helyezzük á a vizacaolá haáponjá az előrecaolá haáponja elé, ahogy ez a 4.. ábrán láhaó. Az áalakíandó agcopor bemenee az a jel, kimeneei pedig az ag é az agh jelek. 4.. ábra. Az áalakíá harmadik lépée A módoíandó ávieli függvény ebben az eeben i a válozalan kimeneekből vezehejük le. Könnyen beláhaó, hogy a vizacaolában lévő ag ávieli függvényé kell HG-re módoíani, a 4.. ábrának megfelelően. 4.. ábra. Az áalakíá harmadik lépée uán Az így kapo haávázla már nem aralmaz álapoláoka, így a vizacaoláokra é az előrecaolára alkalmazhajuk az eredőjük meghaározáára levezee képleeke. Írjuk fel a legbelő vizacaolá é az előrecaolá eredőjé (4.. ábra). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

73 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa ábra. A belő vizacaolá é az előrecaolá eredőjének meghaározáa A vizacaolá eredője: Az előrecaolá eredője: () () () () (). () () () () ábra. A belő vizacaolá é az előrecaolá eredője Az uoló ké lépé a ké vizacaolá eredőjének meghaározáa. Legyen G () a belő vizacaolá eredője (4.3. ábra): () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (). A elje rendzer eredő ávieli függvénye: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

74 74 Irányíáechnika () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Ha jól megfigyeljük az eredményül kapo ávieli függvény, akkor leellenőrizhejük, hogy jó eredmény kapunk. A zámlálóban az előremenő ágak eredője zerepel, míg a nevezőben az egye előremenő ágak é vizaérő ágak eredő ávieli függvényeinek özegei.. példa Haározzuk meg a 4.4. ábrán láhaó rendzer eredő ávieli függvényé! 4.4. ábra. A. példa haávázlaa A megoldá menee Elő lépékén végezzük el a vizacaol ágbeli özegzé: Þ Majd ceréljük meg az özegzőke: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

75 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa 75 Þ G () - G () y() H ()-H () Így megzüneük az előrecaolá é a vizacaolá álapoláá, é felírhajuk előbb ezek eredőjé, majd a elje agcopor eredő ávieli függvényé: Þ,. 3. példa Haározzuk meg a 4.5. ábrán láhaó rendzer eredő ávieli függvényé! 4.5. ábra. A 3. példa haávázlaa A megoldá menee Elő lépékén helyezzük á a G3() jelű ag uáni vizacaolá elágazáá a legvégére: Min láhaó, az áhelyezé haáára a vizacaolá özegzééhez érkező jel megválozna, ezér a vizaérő ágba be kell enni egy /G4() jelformáló ago:. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

76 76 Irányíáechnika Kövekező lépékén helyezzük á ugyanennek a vizacaolának az özegzőjé a agcopor legelejére:. Kihaználva az, hogy az özegzők felceréléének ninc haáa az eredő ávieli függvényre, cak a máodik özegzőnek G() ag elé helyezéé kell vizgálni. Az áalakíáal érine agcopor-réznek három bemenee (legyenek ezek rendre a, b, é c jelek), é egy kimenee van, ami a levezeé eredményekén G(a-b)-c. Ennek kell válozalanul maradnia az áalakíá uán i. A kimeneből vizafelé kövekezeve a kövekező ábra egíégével beláhaó, hogy ez akkor eljeül, ha a vizacaolába beépíünk egy /G() ago. Az így kapo agcoporban már nincenek álapoláok, így az eredő ávieli függvény a kövekező lépéek alapján felírhaó: () () () () () () () () () () () () () (), () () () () (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

77 4. Irányíáechnikai rendzerek leíráa 77 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (). Ha özehaonlíjuk a kapo eredő ávieli függvény a kiindulái ábrával, akkor a leheége vizacaoláoka orra véelével ellenőrizheő a levezeé helyeége. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

78 78 Irányíáechnika 5. Dinamiku agok leíráa Kiindulva a bemeneek é a kimeneek közöi kapcolao leíró álaláno alak bemene kimene modellből, a legmagaabb deriválái fokzám alapján különböző ulajdonág modelleke különbözeheünk meg. A modellek zimuláció vizgálaakor álalában különböző bemeneekre ado válazaika vizgáljuk meg, ezekből kövekezeünk jellemző paraméereikre. Egyzerűbb modellek eeében azonban leheőég van az analiiku megoldára i, így leheőég van a kíérlei eredmények előrejelzéére, illeve ellenőrzéére. A kövekezőkben áekinjük a legfonoabb dinamiku ag-ípuoka, majd zámolái példákon kerezül muajuk be a paraméereik, illeve a válazfüggvények meghaározáának meneé. Az egye ag-ípuok vizgálaához induljunk az álaláno bemene kimene modell egyzerűíe formájából: () () () () () () () (). A felír modellnek megfelelően éelezzük fel, hogy a bemenő jel eeében nem kell figyelembe venni a deriválaka. Ennek megfelelően a ag ávieli függvénye a kövekező lez: () A agok, illeve a belőlük különböző kapcoláal kialakío agcoporok jellemzőinek vizgálaára az egyégimpulzu, az egyégugrá é az egyégebeég-ugrá ezjele alkalmazzuk bemenekén, így a kimeneen kapo lyfüggvény, ámenei függvény é ebeégugrá válazfüggvény meghaározáá é vizgálaá végezzük el. 5.. Nulladrendű ag Ha a figyelembe ve legmagaabb derivál fokzáma nulla, akkor az eredei modellünk az alábbi algebrai egyenlere egyzerűödik: () (). Az így kapo ago a legmagaabb deriválái fokzám alapján nulladrendű, ulajdonága alapján arányo agnak nevezzük. Téelezzük fel, hogy em az a, em a b együhaó nem nulla. Ennek a riviáli megköének az oka az, hogy amennyiben a nulla, akkor a rendzerből nem jön ki információ, míg ha b nulla, akkor emmilyen bemenenek ninc haáa a agra. Laplace ranzformálva é árendezve a modell, megkapjuk az ávieli függvényé: () (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

79 5. Dinamiku agok leíráa 79 () () (). Haározzuk meg a ag ámenei függvényé, vagyi az egyégugrá bemenere ado válazá: () () (), () ()() () (). A válazfüggvény alapján, a kimeneen zinén ugrá jellegű jele kapunk, aminek az amplidójá az ávieli függvényben zereplő hányado éréke haározza meg. Ez a b/a hányado jelöljük ovábbiakban K-val. Miuán ez az érék megadja, hogy a ag a bemeneére kapo ugrájele hányzoroára válozaja meg, ezér ez a paraméer erőíének, vagy arányoági ávieli ényezőnek nevezzük. Egyégimpulzu bemenee alkalmazva, a kimeneen a ag lyfüggvényé kapjuk meg: () () (), () ()() () (). A válazfüggvény ebben az eeben i megőrzi a bemenő jel impulzu jellegé, cak a függvény alai erüle válozik meg K érékének megfelelően. Haonló figyelheő meg a ebeégugrára ado válaz eeében i: () () (), () ()() () (). Az erőíé haáa i a válazfüggvény meredekégében jelenkezik. Özefoglalva megállapíhajuk, hogy a nulladrendű rendzerek válozalanul hagyják a bemeneükre érkező jel alakjá, cak annak valamely jellemző paraméeré módoíják. A nulladrendű rendzereke egy paraméerrel, az erőíéel (K) jellemezzük. Ilyen rendzerekre fizikai példakén a fogakerék áéeleke, a zíj-, lánchajá, vagy a poencioméereke emlíhejük. 5.. Előrendű ag Legyen a kövekező ee az, amikor a kimenei oldalon a legmagaabb deriválái fokzám egy. Ekkor a bemene kimene modellünk a kövekező alak lez: () () () (), ( ). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

80 8 Irányíáechnika A közönége előrendű differenciálegyenle modell alapján az így kapo rendzer előrendű agnak, vagy a ulajdonágai alapján arányo, egyidőállandó, illeve arányo, egyároló agnak nevezzük. Téelezzük fel, hogy ebben az eeben em lez egyik együhaó em nulla. Ennek az a é a b eeében riviáli oka van, az a eere kéőbb vizaérünk. Rendezzük az egyenlee a kövekező j válozók bevezeéével: () () () (),,, ebből az ávieli függvény: () () () (), (). A b/a hányado helye bevezee K paraméer megfelel a nulladrendű rendzernél bevezee erőíének, illeve arányoági ényezőnek. Ennek oka az, hogy ha ugrázerűen megválozo bemene kövekezében a kimene beáll egy j állandó érékre, akkor a jel válozáá leíró deriváló ag éréke nulla lez. Így vizakapjuk a nulladrendű rendzereknél árgyal egyzerű algebrai egyenle formáj modell. A máik paraméer érelmezééhez vizgáljuk meg a ag ámenei függvényé: () ()() () () (), () (). A kapo válazfüggvényből láhaó, hogy a kérdée paraméer az exponenciáli ag elűnéének a gyoraágá zabályozza, vagyi az, hogy milyen gyoran áll be a ag az erőíé álal meghaározo végállapora. Ennek alapján ez a paraméer időállandónak nevezzük. Beláhaó, hogy minél nagyobb az időállandó éréke, a ag annál laabban áll be az erőíé álal meghaározo végérékre. Bár ez a beállá formálian a végelenben kövekezik be, de ha ().63, 4 ().98, ehá, az időállandónak megfelelő idő elele uán a jel a végérékének 63,%-á éri el, míg az időállandó négyzereének megfelelő idő elele uán a jel elérée a végérékéől %-nál kiebb. Ez uóbbi, a legöbb eeben már állandóul állaponak ekinhejük. Egyégimpulzu alkalmazva bemenekén, ebben az eeben i a ag lyfüggvényé kapjuk meg: () () (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

81 5. Dinamiku agok leíráa 8 () ()() () A válazfüggvény elemezve láhaó, hogy a időponban egy K/ mérékű ugráal indul a rendzer, majd a paraméer álal meghaározo ebeéggel vizaáll az eredei érékére. Amennyiben az időállandó ervezéi paraméer lehe, akkor ado rendzer eeében eldönheő, hogy melyik a rendzer működée zemponjából kedvezőbb ee: - ki időállandó eeén gyor a vizaállá, de nagyobb a kezdő időponbeli elfuá; - nagy időállandó eeén kiebb a kezdőidőponhoz arozó ugrá, de laabb a vizaállá. A ebeégugrára ado válaz levezeée: () () (), () ()() () () (). A kapo válazfüggvény alapveően az erőíé álal meghaározo meredekégű ebeégugrá függvény lez, melye ké ényező befolyáol. Az egyégugrá jellegű ag haáa folyamaoan érvényeül, az exponenciáli ag vizon körülbelül 4 ideig befolyáolja a kimene éréké. Legyen az erőíé éréke, é vezeünk be egy j válozó a bemenő jel é a kimenő jel közöi különbégre: Behelyeeíve a bemenő é kimenő jele: Ha, () () ().. () () () () (). (), (), ehá a rendzer kimenee, az exponenciáli ag haáának megzűnée uán, a bemenee időnyi kéleleéel kövei. Az álalánoíá érdekében megjegyezzük, hogy az előrendű agoknál az okági zabály megengedi, hogy a bemenei oldalon i figyelembe vegyük az elő derivála. Az ilyen ípu agok időarománybeli modellje é ávieli függvénye a kövekező lez: () () () () (), ( ), () (), ahol Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

82 8 Irányíáechnika Ezeknél a agoknál ehá a zámlálóhoz i arozik egy időállandó. Vielkedéük kié má, min az eddig árgyal előrendű agoké. Jellemzéükre példa a kidolgozo feladaok közö alálhaó. Özefoglalva, az előrendű, arányo rendzereke ké paraméerrel jellemezhejük, az erőíéel é az időállandóval. Az erőíének haonló a zerepe, min a nulladrendű rendzereknél, az időállandó pedig az állandóul állapo eléréének a gyoraágá zabályozza. Fizikai példakén az RC-agoka, vagy a hőközlé közvelen hőáviellel örénő folyamaá lehe megemlíeni Inegráló agok Az előrendű rendzerek vizgálaánál feléelezük, hogy a bemene kimene modellben zereplő együhaók közül egyik em nulla. Legyen mo a kimenei oldalon a deriválá nélküli ag együhaója, vagyi az a éréke nulla. Ekkor a kövekező modell kapjuk: melye árendezve () () (), () () (), vagy () () () egyenlee kapjuk. Vizgáljuk meg a zokáo ezjelek egíégével, hogy mi a zerepe ebben az eeben az együhaók hányadoakén megado paraméernek. Ehhez adjuk meg előzör a ag ávieli függvényé: Az ámenei függvény: () () () (), () ()() () (). A levezeének megfelelően a ag kimeneén az egyégugrá bemene inegrálja, vagyi a ebeégugrá jel jelenik meg, é a b/a hányado ennek meredekégé haározza meg. Ennek megfelelően e hányado jelöléére bevezejük a KI inegrálái erőíé paraméer vagy ennek reciproká, a TI inegrálái időállandó:, így az ávieli függvény a kövekező alakban adhajuk meg: () Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

83 5. Dinamiku agok leíráa 83 Az inegrálái időállandó iméléi időállandónak i zoká nevezni, mivel ennyi idő elele uán az ámenei függvény éréke megegyezik az egyégugrá bemeneel: () (), (). Haonló kövekezeé vonhaunk le a lyfüggvény vizgálaa eeén: () () (), () ()() () (), ehá i a paraméer a válazkén kapo ugráfüggvény amplidójá haározza meg. A ebeégugrá bemenere ado válaz: () () (), () ()() () (), pedig a bemennek az inegrálja, vagyi gyorulá függvény jellegű lez. Az inegráló agok ehá a bemeneükre érkező jelnek időkéleleé nélküli inegráljá adják ki a kimeneükön. Jellemző paraméerük az inegrálái időállandó. Fizikai rendzerek eeében ilyen jellegű vielkedé muanak a folyadékárolái rendzerek, ha a bemenő jel a belépő folyadék, a kimenő jel pedig a folyadék zinje a arályban, illeve a iza kapaciív agok Máodrendű agok Kövekező lépékén legyen a kimenei oldalon a legnagyobb deriválái fokzám. Ekkor a bemene kimene modell a kövekező lez: () () () () () (), ( ), () ( ) Kiindulákén ebben az eeben i éelezzük fel, hogy az egyenle egyik együhaója em nulla. Ennek az a é b együhaók eeében riviáli oka van, míg az a é a együhaókra kéőbb vizaérünk. Rendezzük az egyenlee a kövekező módon: () () () () () (). A b/a hányado már imerő a nullad- é előrendű arányo agok árgyaláából, ez vol a ag erőíée, míg a a/a hányado az előrendű ag eeében az időállandó ag zerepé ölöe be. Feleheő, hogy a máodik derivál elő álló a/a hányado i ilyen jellegű mennyiég lez, így írjuk á az egyenlee ennek megfelelően: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

84 84 Irányíáechnika () () () ()() (). Ebből a kövekező ávieli függvény kapjuk: (). A gyakorlaban azonban a ké időállandó helye má paraméereke haználnak a máodrendű agok jellemzéére. Legyen,, vagyi a T,T időállandók helye alkalmazzuk a T időállandó é a z cillapíái ényező. A modern zabályozáechnikai zakirodalomban a T időállandó helye gyakran annak reciproká, az gy neveze ermézee frekvenciá haználják. Így az ávieli függvény a kövekező alak lez: (),. A paraméerek zerepének a vizgálaá ennél a agnál i a különböző ezjelekre ado válaza alapján vizgáljuk. Előkén nézzük meg az ámenei függvény: () () (), () ()(). A megoldához bonuk fel a kövekező parciáli ör alakra ez a kifejezé: (), ahol p é p a máodrendű ag póluai, vagyi a nevezőjének a gyökei, A é A a parciáli öré örénő áalakíá orán kapo együhaók. A póluok, a kiindulái bemene/kimene modell paraméereiől függően, maemaikai zemponból álalánoíva lehenek poziív vagy negaív valóak vagy nulla érékűek, illeve poziív, negaív vagy nulla való rézű komplexek a karakeriziku polinom gyökeinek a meghaározáa alapján:,, ± ( ) 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

85 5. Dinamiku agok leíráa 85 Miuán az wn, min frekvencia jellegű mennyiég, cak poziív érékű lehe, ezér a kifejezé a kövekező, egyzerűbb alakra írhajuk á:, ±. Már mo megjegyezzük, hogy ermézeeen az időállandók i cak poziívak lehenek, ennek megfelelően a belőlük zármazao cillapíái ényező i cak poziív lehe a máodrendű rendzerek eeében. Annak érdekében azonban, hogy a máodrendű rendzerek vielkedééből kövekezeünk a magaabb rendű agok működéére, eől a fizikai megköéől ámeneileg elekinünk. Mindezek figyelembe véelével az ámenei függvényre a kövekező álaláno alako kapjuk: ahol () (() ),,. A kapo álaláno megoldá alapján vizgáljuk meg a paraméerek haáá. Könnyen beláhaó, hogy ha a póluok negaív való érékűek, negaív való rézű konjugál komplex gyökpár alkonak, akkor ezőlegeen nagy idő elele uán a kimene a K paraméer álal meghaározo érékhez ar: : ( ) < lim (). Tehá az előzee feléelezéünknek megfelelően, a b/a hányado helyére bevezee K paraméer a máodrendű arányo agoknál i az erőíé zerepé öli be. Kövekező lépékén vizgáljuk meg a cillapíái ényező zerepé. A vizgála orán a korábbi megjegyzéeknek megfelelően a ermézee frekvencia legyen ezőlege poziív mennyiég, míg a cillapíái ényező érékének meghaározáa orán ekinünk el a fizikai megfonoláokól. Legyen z éréke nagyobb, min, ekkor az, ± eredményekén ké negaív való gyökö kapunk. Ekkor az álaláno megoldá a kövekező alakban írhajuk fel: () (),,. Vizgáljuk meg, hogyan alakul az ámenei függvény lefuáa. A függvény a időponban a nulla éréke vezi fel: () (() ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

86 86 Irányíáechnika mivel. A haáréréke vizgálva, a korábbiaknak megfelelően a ag az erőíée álal meghaározo érékhez ar: () (() ). Ha a cillapíái ényező minden haáron l növeljük, ami az eredei rendzer zemponjából az elő derivál időállandójának a máodik időállandóhoz vizonyío jelenő megnövekedéé jeleni, akkor a kövekező kapjuk: mer () (() ),. Tehá a kimene ebben az eeben i az erőíé álal meghaározo érékhez ar, cak a beállái idő jelenően megnövekedik a máodik exponenciáli ag la elűnée mia. Beláhaó, hogy az ilyen paraméerrel rendelkező agok azimpoikuan imulva állnak be az erőíé álal meghaározo végérékhez, ezér ezeke lcillapío agoknak zoká nevezni. Kövekező eekén legyen a cillapíái ényező éréke, vagy az elő deriválhoz arozó időállandó éréke legyen a máodik deriválhoz arozónak kézeree. Ekkor a kövekező eredményeke kapjuk:, ±. A kézere gyökök kövekezében az ámenei függvény () (() ) alak lez, melyről beláhaó, hogy lefuáa nagyon haonló lez, min az előző, z > vizgála eeében, de ebben az eeben kapjuk a leggyorabb, azimpoikuan imuló beállá. Az ilyen paraméerrel rendelkező ago zoká kriiku cillapíá agnak nevezni. Ha a cillapíái ényező érékére igaz, hogy z ³, azaz a karakeriziku polinomnak negaív való gyökei vannak, akkor az ávieli függvény áírhaó a kövekező alakra: (), ehá az ilyen máodrendű ag ké orba kapcol előrendű arányo ag eredőjekén i felfoghaó. Folyava a megkezde vizgálao, válazuk mo a cillapíái ényező éréké egynél kiebbre, ehá az elő deriválhoz arozó időállandó éréke legyen kiebb, min a máodik deriválhoz arozó időállandó kézeree. Ekkor a karakeriziku polinom megoldáára negaív valórézű komplex konjugál gyökpár kapunk: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

87 5. Dinamiku agok leíráa 87 < <, ± ±, é A é A éréke i komplex lez az álaláno alaknak megfelelően. Az ámenei függvény ekkor a kövekező alakban kapjuk meg: () in,. A megoldá elemezve láhajuk, hogy a válazban zinuzo lengé jelenik meg, aminek frekvenciájá é kezdőfáziá i befolyáolja a cillapíái ényező. A lengéek amplidójá meghaározó örkifejezé zámlálója vizon az idő előrehaladával exponenciálian cökkenve ar nullához. A cökkené gyoraágá ebben az eeben i ado ermézee frekvencia melle a cillapíái ényező haározza meg. Így, ha ennek éréke -hez közeli, akkor a lengéek gyoran megzűnnek, é a kimene beáll az erőíé álal meghaározo végérékre, míg ha -hoz közeli, akkor ez a beállá lényegeen laabb. Az ilyen vielkedéű ago alulcillapío agnak nevezzük. A kövekező lépékén legyen a cillapíái ényező. Ez a fizikai rendzer eeében az jelenené, hogy az elő derivál együhaójának, vagyi a deriválhoz arozó időállandónak az éréke. Miuán az ennek megfelelő vielkedé elképzelheő magaabb rendű rendzerek eeében, ezér vizgáljuk meg, hogy mi jellemzi az ilyen rendzerek működéé. A póluokra ekkor a kövekező megoldá kapjuk:, ±,, ±, azaz izán képzee póluoka kapunk. Így az ávieli függvény a kövekező alakban kaphaó meg: () () ( co ), ehá a kimeneen egy wn frekvenciáj lengé jelenik meg, melynek amplidójá az erőíé haározza meg. Ebből az eeből láhaó, hogy a ermézee frekvencia az ekkor bekövekező lengéek frekvenciájából kapa a megnevezéé. Éréké gy haározhajuk, meg, ha zimuláció orán ilyen körülményeke állíunk be. Az ilyen vielkedéű ago a cillapíá haárán lévő agnak nevezzük. Végül legyen a cillapíái ényező éréke negaív. Ez az ee a fizikai rendzerek körében már nem érelmezheő, mivel ez egyik vagy máik deriváló aghoz arozó időállandó negaív éréké jelenené. Elvileg i i megkülönbözeheünk a z > arományhoz haonló eeeke, de egyzerűíékén i ezeke özevonva árgyaljuk. Ha a cillapíái ényező éréke é - közé eik, akkor a póluok éréke é az ámenei függvény a kövekező lez: < <, ±, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

88 88 Irányíáechnika () in,, ehá poziív valórézű konjugál komplex gyökpár jelenenek a póluok, é a kimeneen megjelenő zinuzo lengéek amplidója folyamaoan, elméleileg minden haáron l növekzik. Ha a cillapíái ényező éréke - vagy annál kiebb, akkor, ±, () (), ehá ké, poziív való érékű a pólu kapunk, é az ámenei függvény exponenciálian növekedve a végelenbe ar. Miuán a ké uóbbi eeben a kimene éréke valamilyen formában a végelenbe ar, ezér az ilyen vielkedéű ago cillapíalan agnak nevezzük. Ugyanez a vizgálaorozao elvégezhejük a lyfüggvény eeében i. Ekkor a kövekező eredményeke kapjuk. Kiindulákén az álaláno megoldá: () () (), () ()(), () ( ),, ahol C é C a parciáli öré alakíá orán meghaározo együhaók. Ha a cillapíái ényező éréke egynél nagyobb, akkor a lyfüggvény h() alak lez. Miuán a ké együhaó éréke egymának --zeree, így beláhaó, hogy a időponban a kimene -ból indul ki, é ha -be, akkor oda i áll viza azimpoikuan imulva. Rézleeebb függvényanalíziel megállapíhaó, hogy a kezdei időpon uáni elfuá méréke, valamin a vizaállá ideje a cillapíái ényező érékéől függ a kövekező módon. Minél nagyobb a cillapíái ényező éréke, annál kiebb lez az elfuá, de a ag annál laabban áll viza az eredei érékére. Ha a cillapíái ényező éréke -hez ar, akkor gyor vizaállá melle nagy kezdei elfuá apazalhaunk. Amennyiben cillapíái ényező ervezéi paraméernek lehe ekineni, akkor a rendzer egyéb ulajdonágai alapján eldönhejük, hogy melyik vielkedé kedvezőbb az irányío echnológiai rendzer működée zemponjából. Ha a cillapíái ényező éréké é közö válazjuk meg, akkor a lyfüggvény lefuáában i megjelenik az ámenei függvénynél apazal zinuzo lengé: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

89 5. Dinamiku agok leíráa 89 < <, h() in. A lengéek a lyfüggvény eeében a kezdei érék körül alakulnak ki, é a cillapíái ényező érékének függvényében gyorabban, vagy laabban cillapodnak az amplidó meghaározó exponenciáli ag haáára. A cillapíá haárán, azaz z eeén, a lyfüggvényben i állandóul lengéek alakulnak ki: h() in A cillapíalan agok eeében pedig a póluok komplex, vagy való jellegének megfelelően az elfuá vagy periodikuan növekvő, vagy exponenciáli jellegű lez: < < h() in, < h(). A ebeégugrá bemenere ado válaz álaláno alakja a kövekező lez: ahol () ()() () () (),,,,, ±. Időarományban a válazfüggvény alakja kövekező lez: (). A válazfüggvény analiiku alakjából é a ebeégugrá bemene jellegéből kövekezeheünk a függvény lefuáára: - Ha a póluok negaív valóak, azaz a cillapíái ényező éréke, vagy annál nagyobb, akkor egy ámenei exponenciáli felfuá uán a kimene beáll az erőíé álal meghaározo meredekégű ebeégugrára. Ha az erőíé éréke, akkor a kimene z /wn időnyi kééel kövei a bemenee. - Ha póluok negaív valórézű komplex érékek, azaz a cillapíái ényező éréke é közé eik, akkor az ámenei zakazban cillapodó zinuzo Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

90 9 Irányíáechnika lengéek jelenkeznek. Ennek lecengée uán a kimene az előző ponhoz haonlóan kövei az erőíé álal meghaározo ebeégugrá. - Ha a póluok nulla való rézű komplex gyökpár alkonak, azaz a cillapíái ényező éréke, akkor a kimene folyamaoan leng egy, az erőíé álal meghaározo meredekégű egyene körül. - Poziív való rézű komplex gyökpár pólu, illeve poziív való pólu eeén, azaz ha a cillapíái ényező éréke negaív, akkor a kimene növekvő amplidój lengéel, illeve exponenciáli elfuáal ar a végelenbe. Özefoglalva a máodrendű arányo agoka megállapíhajuk, hogy amennyiben a kiindulái bemene kimene modellben egyik együhaó em nulla, akkor ezeke a rendzerek három paraméerrel jellemezheők: az erőíéel (má néven arányoági ávieli ényezővel) (K), a cillapíái ényezővel (z) é a ermézee frekvenciával (wn). A ermézee frekvencia helye lehe annak reciproká, az időállandó (T) i haználni. A különböző ezjelekre ado válaz ranzien (ámenei) rézé a kövekező kifejezé haározza meg: ahol p é p az ávieli függvény póluai:,, ±. A válazfüggvény ámenei perióduának vielkedéé alapveően a cillapíái ényező haározza meg. Ha az éréke vagy annál nagyobb, akkor a ranzien zakazban az exponenciáli agok haáa azimpoikuan cökkenve elűnik, míg ha az éréke é közé eik, akkor a ranzien zakaz cillapodó amplidój lengéek jellemzik. Fizikai rendzerek eeében nem érelmezheő, de zimulációval vizgálhaó a cillapíá haárán é a cillapíalan agnak a vielkedée. A póluok helyének alakuláa a cillapíái ényező függvényében ábrázolva 5.. ábrán láhaó: 5.. ábra. A póluok helyének alakuláa a cillapíái ényező függvényében ahol az a cillapío ermézee frekvencia, é a co. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

91 5. Dinamiku agok leíráa 9 A ag paraméerei zimuláció on gy haározhajuk meg, hogy a cillapíá haárán lévő ag lengéeinek maximuma (Amax) é minimuma (Amin) közi különbég az erőíé, míg a lengéek perióduidejéből (Tl) a ermézee frekvenciá zámoljuk ki: ( ) Máodrendű arányo agra példá a műzaki rendzerek zéle körben zolgálanak. Így ilyen modellel jellemezheő a oro RLC kör, a rugóból é munkahengerből álló lengécillapíó, a falon kerezüli hőáadá, cak néhánya emlíve Máodrendű modellek zéru együhaóval A máodrendű rendzerek árgyaláa orán kiindulákén feléelezük, hogy az () () () () () (), ( ), () ( ), modell egyik együhaója em zéru. Ennek az a é b együhaók eeében riviáli oka van, vizon vizgáljuk meg, hogy az a é a együhaó eeében milyen haáa van a éréknek. Ha az a együhaó zéru, akkor a kövekező egyenlee, illeve ávieli függvény kapjuk: () () () (), (). Min láhaó, a kapo ávieli függvény megfelel a cillapíá haárán levő ag ávieli függvényének, így annak vielkedéé é jellemző ulajdonágai a máodrendű rendzerek álaláno bemuaáánál már árgyaluk. Legyen kövekező eekén az a együhaó éréke nulla. Ekkor a kövekező modell kapjuk: () () () () (), ( ), () ( ). Feléelezve, hogy a öbbi együhaó nem nulla, írjuk fel az ávieli függvény a kövekező j válozók bevezeéével:,, (). Alakíuk á az ávieli függvény a kövekező módon: (),, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

92 9 Irányíáechnika Min láhaó, a ago felbonouk egy TI időállandóval rendelkező inegráló ag é egy T időállandój előrendű arányo ag zorzaára, ami a ké ag közöi oro kapcolának felel meg. Haározzuk meg a kapo ávieli függvény egíégével a agcopor jellemző válazfüggvényei. Az ámenei függvény: () ()(). A kapo kifejezé vizaranzformálva () (). A válazfüggvényben egyréz jelenkezik az inegráló haá, hizen az egyégugrá bemenere a kimeneen /TI meredekégű ebeégugrá kapunk, ami módoí az előrendű ag haáa. A lyfüggvény eeében haonló kövekezeére juhaunk: () ()(), h(), ehá az ámenei függvényhez haonlóan i i megjelenik az inegráló haá az állandóul állapoban, melye az előrendű, arányo özeevő az ámenei zakazban módoí. Haonló megfigyelé végezheünk el a ebeégugrára ado válazfüggvény eeében i. Özefoglalva megállapíhajuk, hogy ha cak deriváló agok zerepelnek a máodrendű ag bemene kimene modelljének baloldalán, akkor inegráló jellegű vielkedé kapunk, melye az előrendű arányo özeevő haáa módoí. Speciáli eekén vizgáljuk meg, ha mind az a, mind az a együhaó nulla. Ekkor a kövekező modell kapjuk: () () (), ( ), () ( ). A ag ávieli függvénye a kövekező alak (). A kapo alakból könnyen beláhaó, hogy ez a ag gy vielkedik, min ké, egymáuán oroan kapcol, egyarán TI paraméerrel rendelkező inegráló ag. Ennek megfelelően az ámenei függvénye gyorulá jellegű lez, míg a lyfüggvénye ebeégugrá jellegű. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

93 5. Dinamiku agok leíráa Magaabb rendű agok A három, vagy annál nagyobb deriválái fokzámmal rendelkező agoka özevonva árgyaljuk a kövekezőkben. Induljunk ki az álaláno bemene kimene modellből: ahol () () () () () () () (), 3, () ( ) ( ). Tegyük fel, hogy az a együhaó bizoan nem zéru, é álalában éelezzük ez fel a öbbi együhaóra i rézben riviáli okok mia, rézben pedig egyzerűíékén. Ekkor a kövekező alakra írhajuk á a rendzer: () () () () () ()() (), mely egyenle a máodrendű rendzerek eeében bevezee időállandók álalánoíáával az alábbi lez: () () () () () ()() (). Ebből az ávieli függvény: (). Min láhaó, az álaláno n-ed rendű ag karakeriziku polinomja i n-ed rendű, így annak megoldáa orán n darab pólu kapunk, melyek lehenek egyarán valóak, illeve komplex konjugál gyökpárak. Ha meg udjuk haározni a póluoka, akkor könnyen beláhaó, hogy a póluok jellegének függvényében a ag felbonhaó előrendű (való póluok) é máodrendű (komplex póluok) agok zorzaára. Ennek alapján az álalánoío vizgálanál figyelembe vehejük az elő é máodrendű rendzerek bemuaáánál leíraka. A magaabb rendű agok ámenei függvénye a kövekező módon írhaó fel: () ()(), () (() ), ahol p,, pn a ag póluai, A,, An pedig a parciáli öré örénő áalakíákor kapo együhaók. A válaz ehá ké rézre bonhajuk fel: () ahol az elő ag az állandóul állapoá adja meg a agnak, a máodik kifejezé pedig az induló állapoból az állandóul állapoba ávezeő zakaz vielkedéé írja le. A, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

94 94 Irányíáechnika máodrendű rendzerek álalánoío vizgálaánál beláuk, hogy az állandóul állapo cak akkor alakul ki, ha valamennyi pólura igaz, hogy azok vagy negaív való, vagy negaív valórézű komplex érékű zámok. Ha ez eljeül az ado n-ed rendű rendzerre, akkor az ámenei függvény vagy azimpoikuan imulva (valamennyi gyök negaív való), vagy cökkenő amplidój lengéekkel (van a gyökök közö negaív való rézű komplex gyökpár) áll be az erőíé álal meghaározo érékre. Ha a póluok közö van olyan, amelyik nullával egyenlő, akkor a ag vielkedée arra a máodrendű ag vielkedéére haonlí, melynél cak a ké deriváló ag zerepel a kimenei oldalon, vagyi az a együhaó éréke. Az ilyen agoka, min öbb ároló inegráló agoka vizgálhajuk. Ha a póluok közö van nulla valórézű gyökpár, akkor a kimeneen egy állandó zinuzo jellegű lengé alakul ki, min az a zéru cillapíái ényezőjű máodrendű agoknál láuk. Végül, ha a póluok közö van poziív való vagy poziív való rézű gyökpár, akkor a ag a máodrendű rendzereknél leír cillapíalan kimeneel válazol az egyégugrá bemenere. Haonló kövekezeére juunk a lyfüggvény vizgálaa eeén i. A megfelelő özefüggéek i a kövekezők: () ()(), () ( ). A kapo válazfüggvénynek megfelelően a lyfüggvény i cak akkor áll viza a kiindulái érékére, ha valamennyi pólu negaív való vagy negaív valórézű komplex érékű zám. Az egye eeek az ámenei függvénynél leír módon zármazahaók a máodrendű rendzerek álalánoíáával Differenciáló agok A dinamiku agok közö különlege helye foglalnak el azok agok, ahol a kimene izán a bemene megválozááól, vagyi deriváljáól függ. A legegyzerűbb ilyen ag a kövekező modellel jellemezheő: () A felír modell nem felel meg az okági zabálynak, ehá ilyen működének megfelelő fizikai rendzer nem lehe alkoni. A kéőbbi álalánoíához vizgáljuk meg ennek a agnak a ulajdonágai. Téelezzük fel, hogy egyik együhaó em nulla, é alakíuk á a modell a kövekező módon: () (), ahol a TD paraméer a differenciálái időállandó. A ag ávieli függvénye: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

95 5. Dinamiku agok leíráa 95 Az ámenei függvény: (). () ()() () (), ehá a kimeneen a bemene deriválja, egy TD erüleű impulzu jelenik meg. Ugyanez a levezeé elvégezve a lyfüggvény eeében i, a kimeneen a Dirac-impulzu deriváljá kapjuk, míg a ebeégugrá eeében ugráfüggvény jelenik meg. Módoíuk a differenciáló ag modelljé gy, hogy az a gyakorlaban elvileg kivielezheő legyen: () (). Feléelezve i i, hogy egyik együhaó em nulla, alakíuk á az egyenlee: Az ávieli függvény: () (), () (). (), vagyi a ag egy iza differenciáló é egy előrendű arányo ag eredőjekén foghaó fel. Az ámenei függvény egíégével vizgáljuk meg a ag működéé: () ()() () Min láhaó, a időponban van egy impulzuzerű elfuá apazalunk, majd a ag vizaáll a kiindulái érékre. Ha a T paraméer éréké elegendően kicinek válazjuk, akkor a ag vielkedée jó közelíéel emlékeze a iza differenciáló ag működéére, hizen a kezdő időponbeli elfuá nagy, a lecengé pedig gyor lez. A lyfüggvény eeében a kövekező özefüggéeke kapjuk: () ()(). () (), ehá a időponban az impulzu ag mia van egy poziív irány elfuá, ami közvelenül uána az exponenciáli ag negaív előjele mia egy ellenkező irány elfuá köve, így közelíve az egyégimpulzu deriváljá. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

96 96 Irányíáechnika 5.8. Feladaok dinamiku agok vizgálaának émaköréből. Előrendű ag ámenei függvénye Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ámenei függvényé! A megoldá menee: Ávieli függvény: () 6 () () () 4(). Paraméerek: erőíé K, időállandó 3 Bemenő jel: u() () Þ () Kimene meghaározáa az operáor arományban: () ()() 3 (3) Kimene meghaározáa az időarományban: () (3) 3 (3), 6 () 6 3 ()() Az ámenei függvény vielkedéének vizgálaa: () () ( ) ( ) ( ) 3 () 3. Előrendű ag ámenei függvénye, ha bemenő jelnek a deriválja i zerepel Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ámenei függvényé! Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

97 5. Dinamiku agok leíráa 97 A megoldá menee: Ávieli függvény: () 6 () () () () () 4() Paraméerek: erőíé K, időállandó 3, zámlálóbeli időállandó: Tz,5 Bemenő jel: u() () Þ () Kimene meghaározáa az operáor arományban: () ()() 3 (3) Kimene meghaározáa az időarományban: () (3) 3 (3), 5 () ()() Az ámenei függvény vielkedéének vizgálaa: () ( ) ( ) ( ) 3. Vizacaol előrendű ag ámenei függvénye Legyen az előrendű ag ávieli függvénye: () ago, é haározza meg a vizacaol rendzer ámenei függvényé! A megoldá menee: A ag paraméerek: erőíé K, időállandó A vizacaol rendzer eredő ávieli függvénye:. Caolja viza negaívan a () () () A vizacaol rendzer paraméerei: (),,,5,5 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

98 98 Irányíáechnika Ámenei függvény: () ()(),5,5,5 (,5 ) (),5 (),,5(() ) 4. Párhuzamoan caol előrendű agok ámenei függvénye Legyen ado ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel (), () 4. Caolja párhuzamoan a ké ago é adja meg a kapo agcopor bemene kimene modelljé é ámenei függvényé! A megoldá menee: A párhuzamoan caol rendzer eredő ávieli függvénye: () () () A agcopor eredő bemene kimene modellje: () () () , 4 () 5() () 6() 3(), 4 () () 5 () () () 6 () () 3(). A párhuzamoan caol előrendű rendzerek eredőjekén ehá olyan máodrendű rendzer alakul ki, melynek a zámlálójában előfok polinom zerepel. A vizacaol rendzer paraméerei: () () 3,,,5, (A máodrendű rendzerek paraméereinek érelmezée az azoka bemuaó fejezeben alálhaó.) Ámenei függvény: () ()() (4 5) 63 () (4)() 4 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

99 5. Dinamiku agok leíráa (4)() () (4) 63 () 8, ,5 () 3(), 3, Az ámeni függvény diagramja: 3 bemenő jel exp(-) exp(-,5) 5 5 ámenei függvény 5. Soroan caol előrendű agok ámenei függvénye Legyen ado ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel: (), () 4. Caolja oroan a ké ago é adja meg a kapo agcopor bemene kimene modelljé é ámenei függvényé! A megoldá menee: A oroan caol rendzer eredő ávieli függvénye: () () () A oroan caol előrendű rendzerek eredőjekén ehá olyan máodrendű rendzer alakul ki, melynek a zámlálójában nulladfok polinom, azaz konan zerepel. A agcopor eredő bemene kimene modellje: () () () 4 5, 4 () () 5 () () () (). A vizacaol rendzer paraméerei:,,,5. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

100 Irányíáechnika (A máodrendű rendzerek paraméereinek érelmezée az azoka bemuaó fejezeben alálhaó.) Ámenei függvény: () ()() 4 5 (4 5),5 () (,5)( ),5,5 (,5)( ),5 (,5) 3,5 (), 3 (), ,5 () (), 3 8 3, Az ámeni függvény diagramja: bemenő jel exp(-) exp(-,5) 5 5 ámenei függvény 6. Előrendű ag lyfüggvénye Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ámenei függvényé! A megoldá menee: Ávieli függvény: () 6 () () () 4() Paraméerek: erőíé K, időállandó 3 Bemenő jel: u() d() Þ () Kimene meghaározáa operáor arományban: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

101 5. Dinamiku agok leíráa () ()() 3 3 Kimene meghaározáa időarományban: () 3 A lyfüggvény vielkedéének vizgálaa: () 3 3 ( ) 3 7. Előrendű ag lyfüggvénye, ha a bemenő jelnek a deriválja i zerepel Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ámenei függvényé! A megoldá menee: Ávieli függvény: () 6 () () () () () 4() Paraméerek: erőíé K, időállandó 3, zámlálóbeli időállandó: Tz Bemenő jel: u() d() Þ () Kimene meghaározáa operáor arományban: () ()() 3 3 Kimene meghaározáa időarományban: () 3 (3) () 3 ()5 6 Az ámenei függvény vielkedéének vizgálaa: () ( ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

102 Irányíáechnika 8. Vizacaol előrendű ag lyfüggvénye Legyen elő rendű ag ávieli függvénye: () ago, é haározza meg a vizacaol rendzer lyfüggvényé! A megoldá menee:. Caolja viza negaívan a A ag ávieli függvénye: () Paraméerek: erőíé K, időállandó A vizacaol rendzer eredő ávieli függvénye: () () () A vizacaol rendzer paraméerei: () Ámenei függvény:,, () ()(),5,5,5 (),,5,5 9. Párhuzamoan caol előrendű agok lyfüggvénye Legyen G() é G() ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel (), () 4 Caolja párhuzamoan a ké ago é adja meg a kapo agcopor lyfüggvényé! A megoldá menee: Az elő ag ávieli függvénye: () A máodik ag ávieli függvénye: (),, 4 A párhuzamoan caol rendzer eredő ávieli függvénye: () () () Slyfüggvény: () ()() 3,,,5, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

103 5. Dinamiku agok leíráa 3 () 63 (4)() , (),5,5 (),5, A lyfüggvény diagramja: Jelérék,6,4,,8,6,4, Idő () exp(-) exp(-,5*) lyfüggvény. Soroan caol előrendű agok lyfüggvénye Legyen G() é G() ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel (), () 4 Caolja oroan a ké ago é adja meg a kapo agcopor lyfüggvényé! A megoldá menee: Az elő ag ávieli függvénye: () A máodik ag ávieli függvénye: () A oroan caol rendzer eredő ávieli függvénye:,, 4 () () () Slyfüggvény: () ()(),,,5 4 5 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

104 4 Irányíáechnika (),5 (,5)( ),5,5 3 (),5 (),,. A lyfüggvény diagramja:,5,5 (,5) 3 Jelérék,8,6,4, exp(-) exp(-,5*) lyfüggvény Idő (). Előrendű ag ebeégugrá válazfüggvénye Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ebeégugrá válazfüggvényé! A megoldá menee: I/O modell: 6 () () () 4() Ávieli függvény: () K, 3 Bemenő jel: u() v() Þ () Kimene meghaározáa operáor arományban: () ()() 3 3 Kimene meghaározáa időarományban: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

105 5. Dinamiku agok leíráa 5 () (3) (3) (3) 8 6 () ()() 3 () A ebeégugrá válazfüggvény vielkedéének vizgálaa: () () 6 6 ( ) ( 3) () () ( ) ( ) Jelérék Idő () () exp(-/3) eb.válazfv.. Előrendű ag ebeégugrá válazfüggvénye, ha a bemenő jelnek a deriválja i zerepel Haározza meg az alábbi bemene kimene modellel jellemze ag ebeégugrá válazfüggvényé! I/O modell: 6 () () () () () 4() Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

106 6 Irányíáechnika A megoldá menee: Ávieli függvény: () K, 3, Tz Bemenő jel: u() v() Þ () Kimene meghaározáa operáor arományban: () ()() 3 3 Kimene meghaározáa időarományban: () (3) (3) (3) 5 5 () () () 5 () 5 5 5,. A ebeégugrá válazfüggvény vielkedéének vizgálaa: () 5 5, ( ) (,5). Jelérék Idő () () exp(-/3) eb.válazfv. 3. Vizacaol előrendű ag ebeégugrá válazfüggvénye Legyen elő rendű ag ávieli függvénye: () ago, é haározza meg a vizacaol rendzer ámenei függvényé!. Caolja viza negaívan a Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

107 5. Dinamiku agok leíráa 7 A megoldá menee: A ag ávieli függvénye: () A vizacaol rendzer eredő ávieli függvénye: (),5,5 Sebeégugrá válazfüggvény: () ()() (),5,5 K,,5 4 4 (),5(),5 (),5,5,5,5 Jelérék Idő () () exp(-) eb.válazfv. 4. Párhuzamoan caol előrendű agok ebeégugrá válazfüggvénye Legyen ado ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel (), () 4. Caolja párhuzamoan a ké ago, é adja meg a kapo agcopor ebeégugrá válazfüggvényé! A megoldá menee: Az elő ag ávieli függvénye: () A máodik ag ávieli függvénye: (),, 4 A párhuzamoan caol rendzer eredő ávieli függvénye: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

108 8 Irányíáechnika () () () ,,,5, 6 Sebeégugrá válazfüggvény: () ()() () (4)( ) 4 63 (4)( ) 3 63 (4) 63 () 3, 633()(4) ( )(4) ()(4) 3 ()(4) 9 () () 3() 9 () 8, 3 9 8,,. A ebeégugrá válazfüggvény diagramja: Jelérék Idő () () exp(-) exp(-,5*) eb.válazfv. 5. Soroan caol előrendű agok ebeégugrá válazfüggvénye Legyen ado ké előrendű ag az alábbi ávieli függvénnyel (), () 4. Caolja oroan a ké ago, é adja meg a kapo agcopor ebeégugrá válazfüggvényé! Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

109 5. Dinamiku agok leíráa 9 A megoldá menee: Az elő ag ávieli függvénye: () A máodik ag ávieli függvénye: () A oroan caol rendzer eredő ávieli függvénye:,, 4 () () () Sebeégugrá válazfüggvény: () ()() 4 5 (4 5) () (4)( ) 4 (4)() (4) 3 () 4, 3 ()(4) ()(4) ()(4) 4 ()(4) () 4 4 () () () 3 3, 3 3,, A ebeégugrá válazfüggvény diagramja: Jelérék Idő () () exp(-) exp(-,5*) eb.válazfv. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

110 Irányíáechnika 6. Sabiliávizgála Az irányíáechnikai rendzerek működéének egyik legfonoabb kriériuma a abiliá. Bár a abiliá, min fogalma a héköznapi éleben i haználjuk, de a műzaki zemponból örénő vizgálaához célzerű pono definícióka megfogalmazni a pono érelmezéhez é az ezeken alapuló vizgálaok elvégzééhez. A kövekezőkben maradva a bemene-kimene modellek vizgálaánál előzör a folyono idejű rendzerekre vonakozó legfonoabb abiliá definícióka adjuk meg, majd a abiliá elvi érelmezéével é a vizgálaára vonakozó legfonoabb módzerekkel foglalkozunk. A fejeze végén i i példákkal egíjük a feladaok megoldáának elajáíáá. A abiliá zemléleéére álljon i a kövekező egyzerű példa. Helyezünk egy golyó egy ökéleeen félgömb alak edény aljába, majd egy ezőlege irányban, ado mérékig éríük ki golyó. Elengedé uán, a golyó néhány oda-viza gurulá uán vizaér az eredei helyzeébe. Fordíuk meg ez az edény, é helyezzük rá így a golyó. Ekkor, feléve, hogy megaláluk az egyenlyi pono, ha ebből elávolíjuk, az elgurul. Végül, ha ez a golyó egy azalra helyezzük, majd i az elmozdíjuk, akkor a golyó nem ér ugyan viza az eredei helyzeébe, de nem i ávolodik el aól. Az elő helyzee könnyen azonoíhajuk a abil állapoal, míg a máodika az inabiliáal vagy labili helyzeel. Ugyanakkor a fizikai példa az i megmuaja, hogy a abiliának i vannak korláai (i az edény zéle), é az inabil állapoban em a végelenbe ar a kimene, min az az elvi vizgálaoknál jelezzük. A harmadik ee azonban egy köze állapo, melye abilnak bizoan nem ekinheünk, hizen a rendzer nem ér viza a zavará uán az eredei állapoába, de az a faja labiliá em muaa, amikor a kiindulái helyzeéől ezőlege mérékben elávolodo. 6.. Sabiliádefiníciók 6... Korláo bemene korláo kimene (BIBO) abiliá definíciója Egy rendzer korláo bemene korláo kimene (röviden BIBO) abilnak nevezünk, ha korláo bemenőjele alkalmazunk egy ezőlege vizgálai időinervallumban: () <, < <, akkor a ag kimeneén megjelenő jel i korláo: () <, <, ahol M, M < ezőlege poziív érékek é a kezdei időpon. A BIBO rövidíé a bounded inpu, bounded oupu angol kifejezéből zármazik. A definíciónak megfelelően ehá, ha a ago vége nagyág bemene éri, é a rá ado válaza i egy korláon belül marad, akkor az már, legalábbi BIBO érelemben abilnak nevezhejük. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

111 6. Sabiliávizgála Beláhaó, hogy egy rendzer akkor é cak akkor BIBO abil, ha h() <<, ehá a lyfüggvényének abzol inegrálja korláo. Ennek a éelnek az alkalmazáával már elméleileg van leheőégünk a abiliá vizgálaára, azonban a gyakorlaban ennél egyzerűbb módzerekkel i eldönhejük az. A BIBO abiliá vizonylag gyenge abiliá definiál, hizen cak annyi vár el a rendzeről, hogy vége mérékű zavará eeén a kimenee i korláok közö maradjon. Ennél zigorbb abiliá definícióra i zükég van a rendzerek működéének vizgálaához, ez az azimpoiku abiliá. Az azimpoiku abiliá érelmezééhez előzör i érelmezzük a nulla bemenei állapoo. Legyen egy n-ed rendű, lineári időinvarián rendzer bemenee zéru, (u(), < ), a kimenee pedig a időponhoz arozó kezdei feléelek mia valamilyen y() időfüggvény. Ekkor a kimenee a kövekező módon adhajuk meg a kezdei feléelek függvényében: () () () ( ), ahol gk() jelöli az y (k) () kezdei feléelekől függő, a nulla bemene mellei válaz (k)-edik komponené. Ez a nulla bemenei állapoo legkönnyebben, min a magára hagyo rendzer eeé érelmezhejük. Olyan rendzer vizgálunk, ami valamilyen meghibáodá mia kikerül az irányíá alól, é így működik ovább az irányíá megzűnéének pillanaában érvénye jellemzőinek függvényében Az azimpoiku abiliá definíciója Egy lineári, időinvarián rendzer ezőlege, nem minden eeben zéru kezdei feléelek eeén azimpoikuan abilnak nevezünk, ha megválazhaó a kezdei érékek függvényében egy olyan M korlá, hogy a kimene abzol éréke ez ne lépje á: é ( ), () ( ),, () ( ) > () <,, lim (). A abiliá nyilvánvaló feléele, hogy a gk() válazkomponenek özege vége legyen, hizen a kezdei feléelek végeek: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

112 Irányíáechnika () () () ( ) () () ( ) max () ( ) (). Vizgáljuk meg a abiliá a kiindulái bemene kimene modell alapján. Induljuk ki ehhez a modell álaláno alakjából: () () () () () () () (). Az így felír modell maemaikai zemponból egy inhomogén differenciálegyenle, ami a maemaikai analíziben anulaknak megfelelően gy oldunk meg, hogy a homogén differenciálegyenle álaláno megoldáához hozzáadjuk az inhomogén egyenle egy parikulári megoldáá. A homogén differenciálegyenle eeén az egyenle jobb oldala nullával egyenlő, így a modell a kövekező alak lez: () () () () (). Ez vizon fizikai zemponból megegyezik az azimpoiku abiliávizgála nulla bemenei eeének. Az inhomogén réz megoldáával pedig, ha léezik, akkor az j egyenlyi állapo jellemzői haározzuk meg. A homogén egyenle álaláno megoldáá a kövekező alakban kereük: (), ahol p,, pn a homogén egyenlehez arozó karakeriziku egyenle gyökei, a ci érékek pedig konanok. Az azimpoiku abiliá feléele, hogy a kimene zéruhoz aron: lim (). Ez feléel a megoldá álaláno alakja zerin akkor fog eljeülni, ha az exponenciáli ag kievője a - -be ar. Miuán az idő megállapodá zerin nem vez fel negaív éréke, ezér ez akkor fog eljeülni, ha p,, pn érékek mindegyike vagy negaív való, vagy negaív való rézű komplex konjugál gyökpár: { } <,,,. Beláhaó az i, hogy a homogén egyenle álaláno megoldáa ulajdonképpen a rendzer lyfüggvénye, hizen () ()(), ha () () (), akkor () () () h()l (), azaz a abiliá a lyfüggvény egíégével i megfogalmazhaó: lim h(). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

113 6. Sabiliávizgála 3 Ennek megfelelően, ha a abiliá az ávieli függvény egíégével operáor arományban akarjuk vizgálni, akkor ehhez az alábbi ávieli függvény nevezőjének a gyökei, vagyi a póluoka kell ellenőrizni: () () () ( ) ( ) ( ) ( ), ahol a p,, pn érékek a nevező polinomjának a gyökei, vagyi a póluok, míg a z,, zm érékek a zámláló polinomjának a gyökei, vagyi a zéruhelyek. Mivel az ávieli függvény póluai megfelelnek a homogén differenciálegyenlehez arozó karakeriziku egyenle gyökeinek, így a abiliá vizgála elvégezheő ezek egíégével i. A magára hagyo rendzer ehá azimpoikuan abil, ha a póluai a komplex zámík baloldalán helyezkednek el, vagyi mindegyik pólu vagy negaív való, vagy negaív való rézű komplex gyök Azimpoikuan abil rendzer vielkedée egyégimpulzu bemene eeén Egyégimpulzu bemene haáára a rendzer kimeneén a lyfüggvény jelenik meg válazkén. Az előző ponban levezeeeknek megfelelően a lyfüggvény a kövekező levezeé eredményekén kaphajuk meg. Legyen a ag bemene kimene modellje a kövekező: Ekkor az ávieli függvénye: A lyfüggvény () () () () () (). () () () () ()(), () () (), () () () h()l (), () L ( ) ( ). ( ) ( ) L ( ). Az álaláno megoldá alapján, ha valamennyi pi pólu negaív való gyök, akkor a lyfüggvény egy kezdei elfuá uán azimpoikuan imulva áll viza az eredei érékére. Ha a póluok közö van negaív való rézű gyökpár, akkor a beállá cökkenő amplidój lengéekkel jázódik le. Az ilyen vielkedéű agoka azimpoikuan abilnak ekinjük. Ha a póluok közö van olyan, amelynek éréke nullával egyenlő, akkor a lyfüggvény a paraméerek álal meghaározo érékre áll be, ha a póluok közö Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

114 4 Irányíáechnika nulla való rézű komplex gyökpár van, akkor a kimeneen egy állandó amplidój lengé jelenik meg. Ebben a ké eeben cak a BIBO abiliá feléele eljeül, hizen a ag kimenee nem áll viza a kiindulái érékre, de nem i ávolodik aól ezőlege mérékben. Végül, ha a póluok közö akárcak egy poziív való, vagy poziív való rézű komplex gyökpár van, akkor a kimene vagy exponenciáli elfuáal, vagy növekvő amplidój lengéekkel a végelenbe ar, é így ermézeeen a ago inabilnak ekinjük Azimpoikuan abil rendzer vielkedée egyégugrá bemene eeén Egyégugrá bemene haáára a rendzer kimeneén az ámenei függvény jelenik meg válazkén. A lyfüggvény levezeée alapján az ámenei függvény a kövekezők alapján írhaó fel. A ag modellje é ávieli függvénye: () () () () () (), Az ámenei függvény () () (), () ()() () () () L ( ) ( ) L (() ). () ( ) ( ). Az ámenei függvény lefuáára haonló vizgála végezheő el a póluok előjelének függvényében, min a lyfüggvény eeében. A ké függvény menee közi lényegi különbég, hogy míg a lyfüggvény azimpoikuan abil eeben a kiindulái érékre áll viza, addig az ámenei függvény az erőíé, azaz az arányoági ényező álal meghaározo érékre áll be: lim (), ha : { } <. A beállá jellegé ebben az eeben i az haározza meg, hogy a gyökök mindegyike negaív való-e, vagy van-e közük komplex gyökpár i. Nulla vagy nulla való rézű gyökpár eeén az ámenei függvény vielkedée nagyon haonló lez a lyfüggvényéhez. Inabil ag eeén pedig zinén haonló lez a ké válazfüggvény lefuáa. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

115 6. Sabiliávizgála 5 Özefoglalva: BIBO abil rendzerek eeében korláo bemenere a kimene i korláo. Azimpoikuan abil rendzer eeében a kimene nullához ar, ha a rendzer nem zéru kezdei feléelek melle magára hagyjuk, vagy egyégimpulzura ado válazá vizgáljuk. Egyégugrá bemene eeén a kimene az erőíé álal meghaározo végérékhez ar. A ké abiliá özehaonlíáából láhaó, hogy az azimpoiku abiliá az erőebb fogalom. Ha egy jelformáló agra vagy agcoporra igazolhaó, hogy az azimpoikuan abil rendzer, akkor ebből kövekezően BIBO abiliá i eljeül. Ugyanakkor egy rendzer BIBO abiliáából nem kövekezik az azimpoikuan abiliáa. 6.. Sabiliávizgálai módzerek Bár a abiliádefiníciókból kövekezően az ávieli függvény póluai alapján egyérelműen eldönheő egy ag vagy agcopor abiliáa, a póluok meghaározáa gyakorlailag cak elő vagy máodrendű rendzer, illeve ezek iza oro kapcolaa eeén végezheő el közvelenül. Magaabb rendű rendzerek eeében vagy a póluok meghaározáá kell valamilyen numeriku módzer egíégével megoldani, vagy má módzerek egíégével kell a közvelenül a abiliá ényére kövekezeni. A kövekezőkben ezekből a módzerekből muaunk be néhánya Rouh-Hurwiz kriérium A Rouh-Hurwiz abiliávizgálai eljárá egy módzer calád, ami haonló jellegű megoldáoka foglal öze. Közö jellemzőjük, hogy alkalmazáukhoz fel kell írni a vizgálandó rendzer (ag vagy agcopor) eredő ávieli függvényé, é ennek a nevezőjében alálhaó polinom együhaói alapján dönheünk a abiliáról. I a Hurwiz deerminánon alapuló módzer muajuk be. Elő lépékén írjuk fel a vizgálandó rendzer eredő ávieli függvényé! Legyen ez álaláno eeben a kövekező: (). Az azimpoiku abiliához a kövekező ké feléelnek kell eljeülnie:. feléel: Legyen a nevező valamennyi együhaója poziív: >,,,,,.. feléel: A nevező együhaónak felhaználáával írjuk fel a kövekező deerminán: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

116 6 Irányíáechnika. A rendzer abiliáának máik feléele, hogy az így kapo deerminán főálójára ámazkodó aldeerminánok mindegyikére poziív éréke kell kapni. A vizgálandó aldeerminánok a kövekezők leznek: >, >, >, >. Ha az aldeerminánok valamelyike negaív, akkor a vizgálao nem kell ovább végezni, mer a rendzer inabil lez. Elvégezheő a vizgála paraméereen i. Ekkor valamennyi lépére meghaározzuk, hogy a kérdée paraméer milyen érékei melle lez a vizgál rendzer abil, majd ezeke a arományoka özeveve dönünk arról a legzűkebb arományról, melyről véve a paraméer érékei a rendzer bizoan azimpoikuan abil lez Nyqui-, illeve Bode-féle abiliái kriérium A rendzerek abiliáának vizgálaa elvégezheő frekvenciaarományban i. A vizgálao ekkor a vizacaol rendzerek abiliáára nézve vizgáljuk. Mindké módzer eeében az alapelv, hogy a vizacaol rendzer abiliááról dönünk az alkalma helyen felvágo kör frekvenciaarománybeli vizgálaa alapján. A ké eljárá a agok frekvenciaarománybeli ábrázolái módjaiból adódóan ér el. Induljunk ki a 6.. ábrán láhaó zár körből: 6.. ábra. Zár kör Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

117 6. Sabiliávizgála 7 A vizacaol rendzer eredő ávieli függvénye a kövekező lez: () () () () () (), () () (). A karakeriziku egyenle, melyből a póluoka meghaározhajuk: Áérve frekvenciaarományba (). (). Ez a kifejezé a kövekező módon érelmezhejük: megvizgálandó, hogy léezik-e a zár rendzernek cillapíalan zinuzo rezgéű állapoa, vagyi: : ( ). Amennyiben léezik ilyen frekvencia, akkor ilyen w frekvenciáj w() jellel gerjezve a rendzer a y() kimeneen cillapíalan lengéeke kapunk. Ennek alapján a Nyqui-kriérium a kövekező lez: - Ha a felnyio kör amplidó-fázi görbéje miközben a frekvencia w < arományban válozik éppen áhalad a komplex zámík való engelyének a - ponján, azaz léezik olyan w frekvencia, melyre G(jw) -, akkor a vizacaol kör a abiliá haárán van. - Ha a felnyio kör amplidó-fázi görbéje nem mezi a való engely, vagy ez a mezépon a - é közö van, akkor a vizacaol kör azimpoikuan abil. - Ha a felnyio kör amplidó-fázi görbéje a való engely a - ponól balra mezi, akkor a vizacaol kör inabil. A Nyqui-kriérium zemléleée a 6.. ábrán láhaó: 6.. ábra. A abiliá vizgála Nyqui-digarmon Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

118 8 Irányíáechnika A frekvenciaarománybeli abiliá kriériumok vázlao magyarázaa a kövekező: Induljunk ki a vizacaol körből, melye a B-K ponok közö felvágunk (6.3. ábra), é éelezzük fel, hogy az így kapo felnyio kör Nyqui-diagramja éppen a - ponon megy á ábra. A Nyqui-féle abiliá érelmezée Legyen a w(), é gerjezük a rendzer a B ponban w frekvenciáj zinuzo yb jellel. Ekkor a különbégképző uán az e -yb jele kapjuk, majd a K ponon imé az yb jel jelenik meg, hizen G(jw)Gm(jw) -. A jelekkel kiegézíe haávázla a 6.4. ábrán lázik ábra. A Nyqui-féle abiliá érelmezée (foly.) Ha imé özeköjük a rendzer, akkor ez a rezgé (elvileg) i fennmarad. Ha a vizgál jel nem periodiku, min például az egyégugrá jel, akkor i felbonhaó a Fourier orbafejéel olyan zinuzo é kozinuzo özeevőre, melyek közö o van a kriiku w frekvenciáj jel. Vezeük be a fáziaralék fogalmá a kövekező módon. Vizgáljuk meg, hogy az amplidó-fázi jelleggörbe hol mezi az egyég ugar kör, illeve, hogy az ebbe a ponba muaó irányvekornak mekkora lez a való engellyel bezár zöge (6.5. ábra). Vegyük a 8 o é a kapo zög közöi különbége. Az így kapo éréke fáziaraléknak nevezzük. Ha a fáziaralék poziív, akkor a rendzer azimpoikuan abil, ha nulla, akkor a abiliá haárán van, ha negaív a fáziaralék, akkor inabil a zár kör. Gyakorlai zabálykén a fáziaraléko célzerű 3 o -nak válazani. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

119 6. Sabiliávizgála ábra. A fáziaralék érelmezée A rendzer működéének egy máik jellemzője az erőíéi aralék. A k erőíéi aralék ala a jelleggörbe é a való engely mezéponja, valamin az origó közöi ávolágo érjük a 6.6. ábrának megfelelően: 6.6. ábra. Az erőíéi aralék érelmezée Ha ez ávolág -nél kiebb, akkor a rendzer azimpoikuan abil, ha egyenlő -gyel, akkor a abiliá haárán van, ha nagyobb -nél, akkor inabil. A rendzerek frekvenciaarományban örénő vizgálaá a Nyqui diagramban örénő ábrázolá melle előnyei mia gyakran Bode diagramban végezzük el. A Nyqui-féle ábrázoláal zemben a Bode diagramban az amplidó é a fázizöge külön ábrázoljuk a frekvencia függvényében. A Nyqui diagramhoz köődő abiliái kriérium könnyen érelmezheő a Bode diagramban i, megkapva így a abiliá Bode-féle kriériumá. Az érelmezéhez induljunk ki abból, hogy a Nyqui kriériumo eeében az vizgáljuk, hogy a jelleggörbe é az egyégugar kör mezéponjához hzo vekornak mekkora az irányzöge. Ha ez ponoan 8, akkor a vizgál vizacaol rendzer a abiliá haárán van, ha annál kiebb, akkor abil, ha nagyobb, akkor inabil. Az ehhez a Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

120 Irányíáechnika mezéponhoz hzo irányvekor hoza, így az ehhez a ponhoz arozó amplidóvizony i egyégnyi. A Bode-féle ábrázolánál alkalmazo logarimizálá mia, az egyégnyi amplidóvizonynak a db-e érék felel meg, vagyi a abiliávizgála elő lépéekén meghaározzuk, hogy milyen frekvenciaéréknél mezi a jelleggörbe a frekvenciaengely. Amennyiben a agcopor erőíée, é ezér a görbe imul a db érékhez, akkor a mezépono az azimpóák mezéponja alapján haározzuk meg, ez lez a arokfrekvencia. Máodik lépékén megnézzük, hogy ehhez a frekvenciaérékhez milyen fázizög érék arozik. Ennek alapján a abiliá a Bode-diagram egíégével a kövekező kriérium alapján állapíhajuk meg. Bode-kriérium Haározzuk meg, hogy az amplidóvizony lefuáa milyen frekvenciaéréknél lez ponoan db. Állapíuk meg, hogy ehhez a frekvenciaérékhez milyen fázizög arozik. A kapo fázizög éréke alapján a vizacaol rendzer abiliááról a kövekező megállapíáoka ehejük: - ha a fázizög éréke nagyobb, min -8, akkor a vizacaol rendzer abil; - ha ponoan egyenlő -8 -kal, akkor a abiliáhaárán van; - ha kiebb, min -8, akkor inabil lez a rendzer vielkedée ábra. A Bode-féle abiliái kriérium A 6.7. ábra egyréz bemuaja a abiliá meghaározáának meneé, máréz példá láhaunk abil, abiliá haárán é inabil rendzerek jelleggörbéire. Abban az eeben, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

121 6. Sabiliávizgála ha a vizacaol kör eredő erőíée, é az amplidó jelleggörbéje nem mezi a frekvencia engely, akkor a már emlíe arokfrekvencia meghaározáával kapjuk meg a frekvencia kriiku éréké ábra. A fázi- é erőíéi aralék érelmezée Bode diagramon A Bode diagramban örénő abiliá meghaározánál i érelmezhejük az erőíéi, illeve a fáziaralék fogalmá. Az ábrának megfelelően a k erőíéi aralék megadja az maximáli éréké db-ben kifejezve, amivel növelve a vizacaol kör erőíéé, a rendzer éppen a abiliá haárára ju. Meghaározáához előzör nézzük meg, hogy a fázigörbe milyen frekvencia éréknél lez ponoan -8 -kal egyenlő, majd nézzük meg, hogy ehhez a frekvenciaérékhez milyen amplidóvizony arozik. Az erőíéi aralék a kapo amplidóvizony é a db-e érék közi ávolág lez. A fáziaraléko a abiliávizgálanál kapo fázizög érék é a -8 közi ávolág meghaározáával kapjuk meg Gyökhelygörbe A abiliávizgálanak egy különlege eee a gyökhelygörbe módzer. A cél ebben az eeben i alapveően a vizacaol kör abiliáának eldönée, de ez a rendzer valamely paraméerének egy ado arományról felve érékei függvényében végezzük el. További előnye a módzernek, hogy a póluok ado paraméerérékhez arozó komplex íkbeli helye alapján kövekezeheünk a ranzien vielkedére. A módzer alkalmazhaó Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

122 Irányíáechnika egy bemeneű egy kimeneű é öbb meneű öbb kimeneű rendzerekre. A gyökhelygörbe definíciója a kövekező: A gyökhelygörbe a zár rendzer póluainak mérani helye a komplex íkon, miközben a rendzer valamely paraméeré nulla é végelen közö válozajuk. A gyökhelygörbe érelmezééhez é ulajdonágainak levezeééhez induljunk ki a 6.9. ábrából: 6.9. ábra. A gyökhelygörbe levezeéi ábrája Legyen a Go() ag ávieli függvénye: () ( ) ( ) ( ) ( ), ahol K a ag erőíée, z,, zm a ag zéruhelyei, pedig a p,, pn póluai. A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: () () () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), amelyből a karakeriziku egyenle: ( ) ( )( ) ( ). A gyökhelygörbe ehá a zár kör póluainak helye a komplex íkon, miközben az erőíé válozajuk é közö. Az okági zabálynak megfelelő fizikai rendzerek eeében a karakeriziku polinom fokzáma megegyezik a felnyio kör karakeriziku polinomjának a fokzámával, azaz mindkeő n-ed fok polinom lez, melynek az erőíé függvényében örénő megoldáa zolgálaja a gyökhelygörbé. A póluok meghaározáa magaabb fokzám rendzerek eeében cak numeriku algorimu egíégével leheége, de elő é máodfok rendzerekre könnyen meghaározhaó. A gyökhelygörbe felvázoláá é érelmezéé a kövekező ulajdonágok egíik:. A gyökhelygörbének annyi ága van, min amennyi a zár rendzer póluainak záma.. A gyökhelygörbe mindig zimmeriku a való engelyre nézve. 3. Legyen a póluok záma n, a zéruhelyek záma m a felnyio körben, ekkor - ha n > m, akkor a gyökhelygörbe a felnyio kör póluaiból indul ki, é m zám ág a felnyio kör zéruhelyeibe, n - m zám ág a végelenbe ar; Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

123 6. Sabiliávizgála 3 - ha n m, akkor valamennyi ág a felnyio kör zéruhelyeibe ar (a gyökhelygörbe eljeen vége aromámyban van); - a gyökhelygörbe maemaikailag alkalmazhaó a fizikailag nem reáli n < m eere i, ekkor zár kör póluainak záma m, é m - n zám ág a végelenből indul ki. 4. A való engelyen akkor é cak akkor lehenek gyökhelygörbe zakazok, ha a vizgál ponól jobbra a póluok é a zéruhelyek együe záma páralan. 5. A gyökhelygörbe azimpóáinak irányzögé a kövekező kifejezé egíégével lehe meghaározni: ± 8,,3,5,. 6. A gyökhelygörbe azimpóái a való engely az alábbi özefüggé álal meghaározo n. lyponban mezik. Jelölje pi a felnyio kör i-edik póluá, z j a felnyio kör j-edik zéruhelyé. Ekkor a lypon éréke: 7. A gyökhelygörbe é a képzee engely mezéponja, vagyi a abiliá haárá jelenő erőíéi érékhez arozó póluok a korábban imeree Hurwiz deerminán egíégével haározhaók meg. 8. A gyökhelygörbe kilépée a való engelyből vagyi a való engelynek az az x ponja, ahol öbbzörö gyököke kapunk a kövekező egyenle egíégével haározhaó meg: Ezek a ulajdonágok, bár némelyik pon eeében heurizikunak űnnek, azonban éelkén i megfogalmazhaók é így bizonyíhaóak i. A kövekezőkben néhány egyzerű példával muajuk be az elő é máodfok rendzerek eeében zámoláal, egy harmadrendű rendzer eeében becléel a gyökhelygörbe meghaározáá, illeve zemlélejük a felorol ulajdonágai. Legyen a vizgálandó rendzer 6.. ábrának megfelelő. 6.. ábra. A gyökhelygörbe példáinak kiinduló haávázlaa Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

124 4 Irányíáechnika A vizacaol körben a K erőíé éréké válozajuk é közö, a Go() ávieli függvény álaláno alakja pedig a kövekező: ahol n,, 3 é m,. Az eredő ávieli függvény: () így a rendzer eredő erőíée (), () () ( ) ( ) ( ) ( ),. Megjegyzé: a példáknál az álaláno ai, bj együhaók helye a agra jellemző paraméereke alkalmazzuk.. Legyen n, m é a. Ekkor a felnyio kör ávieli függvénye a T I időállandój ideáli inegráló ag modellje lez, melye vizacaolva a kövekező kapjuk: Beláhaó, hogy (),, ehá a gyökhelygörbe képe 6.. ábrán láhaó. () () (). 6.. ábra. Inegráló ag gyökhelygörbéje Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

125 6. Sabiliávizgála 5. Legyen n, m é a ¹. Ekkor az ávieli függvény az egyégnyi erőíéű, időállandój arányo előrendű rendzerek működéé modellezi, é a vizacaol kör eredő ávieli függvénye a kövekező: Beláhaó, hogy (),, ehá a gyökhelygörbe képe az alábbi lez: () () (). 6.. ábra. Az előrendű ag gyökhelygörbéje 3. Legyen n, m é a ¹ Ekkor az ávieli függvény nevezőjében é zámlálójában i egy előfok polinom zerepel, é így a vizacaol körben az erőíé a nevezőben a polinom mindké együhaójának éréké befolyáolja: Beláhaó, hogy (), () () () () ( ). (), lim, ehá a gyökhelygörbe, az előző ké eehez haonlóan a felnyio kör póluából indul ki, de a felnyio kör zéruhelyébe ar. A gyökhelygörbe grafikonja a kövekező ( > T): Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

126 6 Irányíáechnika 6.. ábra. Az előrendű ag gyökhelygörbéje, ha a zámláló fokzáma 4. Legyen n, m é a ¹ z >. Ekkor a máodrendű ag ké előfok orba kapcoláának eredőjekén írhaó fel (az egyzerűíé kedvéér együk fel, hogy a b/a ): Beláhaó, hogy () () ( )( ) () () ( ). ;,, ±, ehá a gyökhelygörbe képe a 6.3. ábrán láhaó., ( )±( ) 4 ( )), 6.3. ábra. Máodrendű ag gyökhelygörbéje (z ³ ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

127 6. Sabiliávizgála 7 Min a gyökhelygörbe meneéből láhaó, az ágak párhuzamoak a képzee engellyel, így az erőíé bármilyen mérékű növelée eeén em lez a ag inabil. 5. Legyen n, m é a ¹ z <. Ekkor a máodrendű ag pólua negaív való rézű konjugál komplex gyökpár lez (az egyzerűíé kedvéér i i együk fel, hogy a b/a ): Beláhaó, hogy () () () () ()., ±,, ±, ehá a gyökhelygörbe képe 6.3. ábrán láhaó., ± ( ) 4 (), 6.3. ábra. Máodrendű ag gyökhelygörbéje ( < z < ) azaz a ag abiliáa ebben az eeben em válozik. 6. Legyen n, m é a ¹ z >. Ekkor a máodrendű ag imé ké előrendű ag orba kapcoláának eredőjekén írhaó fel é a zámlálóban i megjelenik egy elő fok polinom (az egyzerűíé kedvéér i i együk fel, hogy a b/a ): Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

128 8 Irányíáechnika Beláhaó, hogy () (),, ( )( ) () () () ( ). ;,, ( ) ± ( ) 4 ( )). A gyökhelygörbe énylege menee jelenő mérékben aól függ, hogy a nevezőben é a zámlálóban zereplő időállandók érékei hogyan aránylanak egymához. - Ha a három időállandó közöi arány > T >, akkor a gyökhelygörbe képe a 6.3. ábrán láhaó ábra. Máodrendű ag gyökhelygörbéje ( > T >, a zámláló elő fok polinom) ehá az erőíé érékének ezőlege növelée melle i való póluoka kapunk, azaz a ag lcillapío marad é működée előrendű agéhoz lez haonló. - Ha a három időállandó közöi arány > > T, akkor a gyökhelygörbe képe a 6.3 ábrának megfelelő lez: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

129 6. Sabiliávizgála ábra. Máodrendű ag gyökhelygörbéje ( > > T, a zámláló elő fok polinom) Ebben az eeben az erőíé növeléének haáára a ag előbb alulcillapío lez (a póluok komplexek leznek), majd jra való póluoka kapunk é a ag működée ebben az eeben i az előrendű agéra haonlí. 7. Legyen n, m é a ¹ z <. Ekkor a máodrendű ag pólua imé negaív való rézű konjugál komplex gyökpár lez (az egyzerűíé kedvéér i i együk fel, hogy a b/a ): () Beláhaó, hogy () () () () () ( ) ()., ± ; 6.4. ábra. Máodrendű ag gyökhelygörbéje ( < z <, a zámláló elő fok polinom) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

130 3 Irányíáechnika 8. Legyen n 3, m é a ¹. Legyen a felada egy harmadrendű ag gyökhelygörbéjének felvázoláa. Tegyük fel, hogy a harmadrendű ag három előrendű ag orbakapcoláából zármazik: Beláhaó, hogy () () ( )( )( ) () () ( )( )( ).,,,, ± ;, hizen az azimpoák irányzöge: 8 ± : ± 8 3 az azimpoák mezéponja: ±6 ; 3: a gyökhelygörbe kilépéi ponja a való engelyből:. Így a gyökhelygörbe vázlao képe, ha > > 3 :, 3 8 ; 6.5. ábra. Harmadrendű ag gyökhelygörbéje ( > > 3 ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

131 6. Sabiliávizgála 3 Példakén legyen a ag (Go()) é a vizacaol kör (Ge()) ávieli függvénye: () () ( )()(3) () () ()()(3) 6 6, ehá a felnyio kör póluai rendre a p-, p-, p-3 ponokban vannak. A gyökhelygörbének ehá három ága lez, melyek a felnyio kör póluaiból indulnak ki. Miuán az eredő ávieli függvény zámlálójában egy konan zerepel, így a zéruhelyek záma nulla, ezér valamennyi ág a végelenbe fog arani. Az ágak azimpoáinak irányzöge: 8 ± : ± 8 3 ±6 ; 3: A való engelyen ]-, -3] é [-, -] arományon leznek gyökhelygörbe zakazok. A képzee engely mezéponja, vagyi az erőíé éréke a abiliá haárán a Hurwiz kriérium alapján:. feléel: a nevező minden együhaója legyen poziív: >,,, 3 eljeül, a-ra K > -6 eeén eljeül.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán: A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée >, (6) < 6, 6 6 Δ (6) (6)66 (6)(6)(6 ) 6 < < 6. A kapo feléelek alapján K 6 eeén lez a vizacaol kör a abiliá haárán. Az azimpoák mezéponja: 3 ( ) ( ) ( 3) 3 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

132 3 Irányíáechnika a való engely - ponjában lez. A gyökhelygörbe kilépéi ponja a való engelyből: 3 3,58,4. A korábbi megállapíáunknak megfelelően cak x lehe a megoldá, így a gyökhelygörbe a 6.6. á : 6.6. ábra. A példa harmadrendű agjának gyökhelygörbéje ( > > 3 ) 6.3. Feladaok abiliávizgála émaköréből. Póluok közvelen meghaározáa a) Döne el az alábbi agokról, hogy abilak-e azimpoiku, illeve BIBO érelemben! () 4 8. A megoldá menee: Az ávieli függvény nevezője alapján a póluok:, ±. Miuán az egyik pólu nagyobb nullánál, így a ag inabil. () Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

133 6. Sabiliávizgála 33 A megoldá menee: Az ávieli függvény nevezője alapján a póluok:, 4 ± 3 4. Miuán a póluok való réze negaív, így a ag abil. () () 4. A megoldá menee: Miuán az ávieli függvény zámlálójának a fokzáma nagyobb, min a nevezőé, így a ag nem realizálhaó (nem felel meg való fizikai rendzer ávieli függvényének). () 4 6. A megoldá menee: Az ávieli függvény nevezője alapján a póluok:, 6. Miuán az egyik pólu az origóban van, de a máik kiebb nullánál, így a ag a abiliá haárán van. b) Döne el az alábbi agcoporokról, hogy abilak-e azimpoiku, illeve BIBO érelemben! - () A megoldá menee: (). A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

134 34 Irányíáechnika (). Az ávieli függvény nevezője alapján a póluok:, ±. Miuán a póluok való réze negaív, így a vizacaol kör abil. - () A megoldá menee: (). A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: () 3. Az ávieli függvény nevezője alapján a póluok:, ±. Miuán a póluok való réze negaív, így a vizacaol kör abil.. Sabiliá meghaározáa Rouh-Hurwiz kriérium (Hurwiz deerminán) alapján a) Döne el az alábbi agról, hogy azimpoiku abil-e! A megoldá menee: () Hurwiz kriérium alapján: feléel: a nevező minden együhaója poziív: >,,,,3 eljeül.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

135 6. Sabiliávizgála A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée >, >, ( ) ( )( ), >. Tehá a Hurwiz kriérium mindké feléele eljeül, azaz minden együhaó poziív é a főálóhoz arozó valamennyi aldeerminán (beleérve a elje márix deermináná) poziív, így a ag azimpoikuan abil é ebből kövekezően BIBO érelemben i abil. b) Caolja viza negaívan az alábbi ago é döne el, hogy a kapo rendzer azimpoiku abil-e! A megoldá menee: () A vizacaolá uán kapo zár kör eredő ávieli függvénye: () () () Hurwiz kriérium alapján: feléel: a nevező minden együhaója poziív: >,,,,3 eljeül.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán: A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

136 36 Irányíáechnika >, Miuán a D aldeerminánra nem eljeül az előír feléel, ezér a D3 aldeerminán ellenőrzée nélkül beláhaó, hogy a vizacaol kör nem lez azimpoikuan abil. c) Döne el az alábbi agról, hogy milyen k érék eeén lez azimpoiku abil! A megoldá menee: () Hurwiz kriérium alapján: feléel: a nevező minden együhaója poziív: >,,,3,4 eeén eljeül, az a együhaó eeén a k > feléel kell előírni.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán: A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée 5 >, >, ( ) 5( 3 5) 3 5 > < 5,84, ( 5) >, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

137 6. Sabiliávizgála 37 innen vagy a k > é < vagy a k < é > lehe maemaikai zemponból megoldá. Özeveve az. feléelben é a. feléelben meghaározo valamennyi megzoríá, cak a < k <,84 arományban felve érékekre lez abil a rendzer. d) Tekine az alábbi rendzer! Adja meg, hogy milyen K érékre lez a rendzer azimpoikuan abil! A megoldá menee: A ké ávieli függvény: () () (), Az zár kör eredő ávieli függvénye: () () () (). () () () () (). A zár kör abiliáának vizgálaa a Hurwiz deerminán egíégével:. feléel: a nevező együhaója poziív: >,,,3 eeén eljeül, az a együhaó eeén a K > - feléel kell előírni.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán:. A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée >, () 3> >,5, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

138 38 Irányíáechnika () > >,5. Özeveve a feléeleke az kapjuk, hogy a rendzer abil, ha K > -,5 feléel eljeül, ebből fizikai érelmezé figyelembe véve arra kövekezheünk, hogy ezőlege poziív K érékre a rendzer abil marad. 3. Sabiliávizgála gyökhelygörbe egíégével a) Haározza meg az alábbi vizacaol kör gyökhelygörbéjé! A megoldá menee: () A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: () Az ávieli függvény nevezője alapján a felnyio kör póluai:, 4. A gyökhelygörbének ehá ké ága lez, melyek a felnyio kör póluaiból indulnak ki. Az erőíé növeléével mind a ké ág a végelenbe ar. A gyökhelygörbének a való engelyen a [-4, -] arományban van zakaza. Az ágak azimpoáinak irányzöge: : ± 8 ±9. A gyökhelygörbe ágai ehá párhuzamoak a képzee engellyel, így a ag ezőlege erőíé melle megőrzi a abiliáá. Haározzuk meg a kriiku cillapíához arozó K erőíé éréké! Kriiku cillapíáa o lez a rendzernek, ahol a vizacaol kör ze eredő cillapíái ényezőjének az éréke. A gyökhelygörbén ez a pon o alálhaó, ahol a ké pólu egybeeik, azaz kézere gyökö kapunk, vagyi ahol a gyökhelygörbe kilép a való engelyből. Ebben a ponban a póluoka Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

139 6. Sabiliávizgála 39 meghaározó képleben a dizkriminán éréke lez, amiből K éréke meghaározhaó:, 5±5 4(4 ) 5 4(4 ),5. Ekkor a vizacaol rendzer eredő erőíée, vagyi a hurok ávieli ényező éréke: (),5 5 4,5,36. Milyen K éréknél lez az eredő erőíé Ke? Beláhaó, hogy ez cak K eeén eljeül. Milyen K éréknél lez az ámenei függvény elérée a bemeneől 5%, vagy annál kiebb? Ez az jeleni, hogy az eredő erőíének legalább,95-nek kell lennie, így,95 4 Ekkor a vizacaol rendzer ovábbi paraméerei: (),,, () ,, , 8,94,8, ehá a ag a kici eredő cillapíái ényező mia jelenő llendüléel, de a nagy ermézee frekvencia mia vizonylag gyoran beáll az erőíé álal meghaározo végérékre. b) Haározza meg az alábbi vizacaol kör gyökhelygörbéjé! A megoldá menee: (), (). A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: () () ( ). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

140 4 Irányíáechnika Az ávieli függvény nevezője alapján a felnyio kör póluai é zéruhelye:,,. A vizacaol kör póluai K függvényében:, ( )±() 4 ()± 6 4 A gyökhelygörbének ehá ké ága lez, melyek a felnyio kör póluaiból indulnak ki. Az erőíé növeléével az egyik ág a - -be, a máik a felnyio kör zéruhelyébe ar. A gyökhelygörbének a való engelyen a ]-, -] é a [-,5, ] arományokban vannak zakazai. A gyökhelygörbe o kilép a való engelyből, ahol a póluoka meghaározó képle dizkriminána zéru: 6,7 é 5,83. A való engelyen meghaározo gyökhelygörbe zakazok alapján K kilépéi pon lez, míg a K vizaéréi pon. A ponok koordináái:,9 é,7. A levezeé alapján beláhaó, hogy a vizacaol kör ezőlege K érék melle abil. A gyökhelygörbe menee:. c) Haározza meg az alábbi ag gyökhelygörbéjé! () A megoldá menee: ( )( 9 5). A vizacaol kör eredő ávieli függvénye: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

141 6. Sabiliávizgála 4 () ( )( 9 5) 345. Az ávieli függvény nevezője alapján a felnyio kör póluai:,, 4,5 ±,8. A gyökhelygörbének ehá három ága lez, melyek a felnyio kör póluaiból indulnak ki. Az erőíé növeléével mind a három ág a végelenbe ar. A gyökhelygörbének a való engelyen a ]-, -] arományban van zakaza. Az ágak azimpoáinak irányzöge: : ± 8 3 ±6 ; 3: A képzee engely mezéponja vagyi az erőíé éréke a abiliá haárán a Hurwiz kriérium alapján:. feléel: a nevező minden együhaója legyen poziív: >,,,3 eljeül, a-ra K > -5 eeén eljeül.. feléel: a Hurwiz deerminán ellenőrzée: A Hurwiz deerminán: A főálóhoz arozó aldeerminánok ellenőrzée > 5 34 (5) 34 < 35 5 Δ (5) 5 5 (5)(35 ) 5 < < 35 A kapo feléelek alapján K 35 eeén lez a vizacaol kör a abiliá haárán. Az azimpoák mezéponja: 3 ( ) ( 4,5,8) ( 4,5,8) 3,33 3 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

142 4 Irányíáechnika a való engely -3,33 ponjában lez. A gyökhelygörbe kilépéi ponja a való engelyből: miuán egy való gyök é egy konjugál komplex gyökpár felel meg a póluoknak, így ninc öbbzörö gyök, ninc kilépéi pon. A gyökhelygörbe menee: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

143 7. Minavéele rendzerek Minavéele rendzerek Az informaikai ezközök fejlődée, megbízhaóáguk növekedée leheővé ee az egyre zéleebb körű alkalmazáuka a folyamairányíá erüleén i. Ezek a rendzerek azonban a minél zéleebb körű kihaználáuk érdekében már nem folyamaoan felügyelik az irányío folyamao, hanem cak a folyama ulajdonágainak függvényében meghaározo időközönkén kapnak információ az irányíandó jellemzőről, illeve avakoznak be a folyama működéébe. E fejeze célja a minavéele rendzerek leírái leheőégeinek é legfonoabb ulajdonágainak rövid áekinée. 7.. Jelek ozályozáa A folyamairányíában zereplő jeleke különböző zemponok zerin ozályozhajuk. A legfonoabb coporok: - érékkézle zerin - folyono - dizkré (zakazo) - időbeli lefolyá zerin - folyamao - dizkré / minázo - meghaározoág zerin - deerminiziku (egyérelműen meghaározo) - zochaziku (vélelenzerű) - megjelenéi forma zerin - analóg - digiáli A fizikai rendzerek legöbbjének jele a folyono-folyamao jelek ozályába arozik. Ugyanakkor a zajok é zavaráok hozzáadódáa mia, ezeke a jeleke zochazikunak, azaz vélelenzerűnek ekinhejük. A zámíógépe folyamairányíában a folyamao információból a megado időközönkén elvégze minavéelezé mia dizkré idejű jel lez. Máréz, míg a fizikai jel az érelmezéi arományának bármely éréké felvehei, addig a zámíógépe zámábrázolá vége hozága mia, a feldolgozo jel már cak kiűnee érékeknek felelhe meg. 7.. Minavéele rendzerek leíráa Min a bevezeőben i zó vol róla, a ovábbiakban minavéele zabályozá ala álalában a zámíógép álal irányío rendzereke érjük. Ténylegeen azonban ágabb Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

144 44 Irányíáechnika fogalomról van zó: minden olyan rendzer minavéele zabályozának ekinünk, ahol a folyama időállandói é a minavéelezé gyakoriága özemérheőek. A minavéelező eljáráoka a kövekező zemponok alapján lehe coporoíani: - minavéelezéi idő zerin - lineári, rögzíe lefolyá minavéelezéről bezélünk, ha a minavéelezé azono időközönkén örénik; - nemlineári, jelől függő minavéelezé eeében a minavéelezéi időköz a jel valamely ulajdonágáól, pl. amplidójáól vagy deriváljáól függ; - vélelenzerű vagy aizikai minavéelezénél a kövekező minavéel időponja vélelenzerű; - a minavéelezé időarama alapján - vége idejű, vagyi maga a minavéelezé egy meghaározhaó időaramig örénik; - pillanazerű, azaz elméleileg idő ala jázódik le a minavéelezé. A kövekezőkben lineári, vagyi rögzíe lefolyá, állandó minavéelezéi perióduidővel rendelkező minavéele rendzereke árgyalunk, é feléelezzük, hogy a minavéelezé pillanazerűen jázódik le. Ha keő vagy öbb minavéelező van a vizgál rendzerben, akkor azok n. zinkron módban dolgoznak, vagyi a minavéelezé azono időközönkén é azono időponban egyzerre örénik valamennyi minavéelező eeében. A minavéelezé lefolyáá a maemaikai leírhaóág érdekében a kövekező módon érelmezhejük: - Legyen ado egy f() folyono-folyamao jel, melye állandó, T perióduidővel minavéelezünk. Téelezzük fel, hogy maga a minavéelezé Q ideig ar. A minavéelező egyégből kijövő jel az n. fizikai minavéelezé eredménye, mely a minavéelezé Q időarama ala kövei az eredei folyono-folyamao f() jele, majd a kövekező minavéelezé kezdeéig nulla lez az éréke. - Alakíuk á a fizikai minavéelezé eredményekén kapo zabályalan négyzög impulzunak ekinheő jelorozao gy, hogy vegyük állandónak a jel éréké a minavéelezé időarama ala. Ennek megfelelően ekinünk el a jel Q időaram alai válozááól, azaz legyen ez időaram ala a jeléréke egyenlő a minavéelezé kezdeekor felve érékkel. Így egy zabályo, a minavéelezé időponjában felve jelérékől függő amplidój négyzögimpulzu függvény kapunk. - Noha az egye négyzögimpulzuok amplidója arányo a minavéelezéi időponokhoz arozó jelek érékével, de ez az arányoág megmarad akkor i, ha a négyzögimpulzuok erüleé vezük figyelembe, hizen a minavéelezé Q Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

145 7. Minavéele rendzerek 45 időarama minden egye eeben azono. Ha azonban a jele a maemaikai kezelheőég érdekében impulzuzerű jellé alakíjuk á, ehá feléelezzük, hogy a minavéelezé időarama minden haáron l cökkenheő, akkor a erüle cak gy maradha állandó, ha ennek az impulzuzerű jelnek az amplidója vizon a végelenbe ar. Ez az eljárá maemaikai minavéelezének nevezzük. Özefoglalva: a minavéelező eljárá impulzuoroza amplidó modulációjának ekinhejük. A minavéelező egyég egyik bemeneére a minavéelezendő jel kerül, a máik bemenere pedig az i * () egyégimpulzu oroza. A rendzer felépíée a 7.. ábrán láhaó. 7.. ábra. A minavéelezé elvi folyamaábrája A kimeneen olyan impulzuok jelennek meg, melyek erülee arányo a bemenő folyono jel minavéelezéi időponokban felve érékeivel. (Miuán a erülee nehéz ábrázolni, ezér rajzban inkább a nyíl magaágával ualunk a jelérékre.) Az egyik bemenő jel ehá a folyono-folyamao f() függvény, melyről felezük, hogy a vizgála kezdee elő zéru vol az éréke: (), (), ha <, a máik bemene a moduláló jel, vagyi az egyégimpulzu oroza: () ( ). A minavéelező egyég kimeneén pedig a modulál impulzuoroza jelenik meg: () () (). A minavéeleze jelre kapo özefüggé a kövekező módon írhajuk á: () ()( ) ()( ) ()( ) ()( ). Miuán az egyégimpulzu a - nt időpon kivéelével mindenhol zéru, így a kifejezé a kövekező alakra írhaó á: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

146 46 Irányíáechnika () ( )( ) Kövekező lépékén Laplace ranzformáljuk a kapo kifejezé: () ( ) A kapo képle az f() függvény n. dizkré Laplace ranzformáljá meghaározó kifejezé. Vezeük be a komplex válozó helye az ugyancak komplex z válozó, é így megkapjuk a minavéeleze függvény z-ranzformáljá: A ranzformálhaóág feléele: () ( ) ( ),, >. A levezeé eredményekén kapo képle egyzerű alak, de végelen or aralmaz, é az özegképle felíráa nem mindig könnyű. Léeznek má ranzformáció képleek i, min például a komplex függvényani levezeé eredményekén kapo álaláno képle, vagy az alábbi, cak egyzere póluoka aralmazó rendzerek eeében alkalmazhaó özefüggé: ahol () ( ) ( ),... () () () a jel Laplace ranzformálja racionáli ör alakban, P a póluok záma, pi az i-dik pólu (i,,,, P), ( ) () a zámláló polinomjának éréke az pi helyen, ( ) () a nevező polinomja deriváljának éréke az pi helyen. Fono megjegyezni, hogy a z-ranzformáció elvégzééhez felhaznál definiáló képleől függelenül, a kapo özefüggé cak a minavéelezéi időponokban van kapcolaban az eredei függvénnyel. Ennek kövekezményekén előfordulha, hogy a minavéelezéi időponokban azono éréke felvevő függvényeknek azono lez a z- Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

147 7. Minavéele rendzerek 47 ranzformálja, máréz az inverz z-ranzformáció cak a minavéelezéi időponokhoz arozó érékeke adja viza. Az inverz z-ranzformáció képlee: ( ) () A gyakorlaban az inverálá a kövekező módokon hajhajuk végre: Az egyik leheőég, hogy az áalakíandó ávieli függvény olyan egyzerű alakokra, rézleörekre bonjuk fel, amelyeknek az inverzé már megaláljuk áblázaban. A módzer előnye, hogy zár alak képlee zolgála, így ezőlege minavéelezéi időponhoz arozó érék azonnal meghaározhaó. Háránya, hogy a racionáli örfüggvény alakra hozá nem mindig egyzerű. Egy máik leheőége kínál a negaív kievő haványorba fejé. Ennek érelmezééhez haználjuk fel a kövekezőke: () ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), () ( ) ( ) ( ) ( ) Az impulzuorozanak é z-ranzformáljának kifeje alakjaiból láhaó, hogy a ké kifejezében zereplő, az impulzuok nagyágára ualó együhaók megegyeznek, míg a z negaív kievő haványai pedig az egyégimpulzuok megfelelő minavéeli időponokhoz arozó z-ranzformáljainak felelnek meg. Az eljárá előnye, hogy amennyiben a vizgál jel z-ranzformálja racionáli örfüggvény formájában ado, akkor a negaív kievő haványor ezőlege fokzám polinomok eeében polinomozáal, akár algorimizálhaóan i előállíhaó. Háránya, hogy ha egy ado minavéelezéi időponhoz arozó jeléréke akarjuk meghaározni, akkor valamennyi, az ado időpon elői éréke ki kell zámíani. Kimenőjelek eeében a racionáli örfüggvény forma előállíáá leheővé ezi, hogy a folyono időarományhoz haonlóan, a dizkré időarományban i érelmezheő a ag vagy agcopor operáor arománybeli modellje, é ennek, valamin a bemenő jel z-ranzformáljának egíégével a kimenő jel z-ranzformálja meghaározhaó. A z-ranzformáció elvégzée orán, a Laplace-ranzformációhoz haonlóan, különböző éeleke kell figyelembe venni. Ezeke a zabályoka a 7.. áblázaban foglaluk öze.. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

148 48 Irányíáechnika 7.. ábláza. A z-ranzformációra vonakozó főbb özefüggéek Özefüggé Időfüggvény / Laplace ranzformál z-ranzformál Laplace ranzformáció érelmezée å n f ( nt ) F ( z) f ( nt) egyzere póluoknál F( z) Inverz Laplace ranzformáció Áéré az é z-ík közö definíció zerin f pj ( nt ) F( z) ò G ln z T előrefelé ve z - differenciák T vizafelé ve differenciák Tuin módzer Lineariá, zuperpozíció Differenciahányado vizafelé ve előrefelé ve z n- dz F ( pi) ( p ) z p z å i F z - p i F(z) T z e z T z - zt z - T z cf ( nt ) ( nt ) c f ( ) c f nt ( nt )- f (( n ) T ) f - T (( n ) T ) f ( nt ) f - T z - T T z - T / / -n z e cf ( nt ) ( nt ) c F ( ) c F nt z - F zt z- F T Elolái éel f ( kt - nt ) z -n F( z) ( z) ( z) T p i m ö f ( kt nt ) ç ()-å - m -i z F z f ( it) z ø Kezdeiérék-éel lim f ( kt ) lim F( z) k z æ è z- z z- z Végérék-éel lim f ( kt ) lim F( z) k z i Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

149 7. Minavéele rendzerek 49 A Laplace ranzformációhoz haonlóan a z-ranzformációnál i megadjuk a fonoabb függvények ranzformáljá. A 7.. ábláza aralmazza a folyono é dizkré időfüggvény alako, a Laplace- é a z-ranzformálaka, így egyarán alkalma a folyono időarományhoz arozó függvényalakból a dizkré operáorarományban alkalmazhaó alak előállíáára, vagy a z-ranzformál alakból kiindulva a dizkré időarományi alak előállíáára. 7.. ábláza. Nevezee függvények z-ranzformáljai f() F() f(nt ) f * () F(z) d() (n); (n¹) d(-kt h ) () kt h e - (nk); (n¹k) k,5 3 3 /6 4 e -a a vagy (n) z z z - zt nt ( ) z - ( nt ) ( z ) zt ( z -) 3 ( ) 3 3 nt T ( ) z z 4z 6 ( z ) z z - e ant e - -at a n vagy a n (n) z z -a e e -a ( a) a b - - ( a)( b) - e b - a e -at a ( a) inw w w e zt e -at ant nte - -at ( ) e ( b - a - ant bnt e -ant b - a z - e -at -bt z e - e ) -at -bt ( z - e )( z - e ) -at z( - e ) -at ( z -)( z - e ) z in( wt) in wnt z - zco( wt ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

150 5 Irányíáechnika cow w e -a inw w ( a) w e -a cow a ( a) w z( z -co( wt) ) co wnt z - zco( wt ) e ant -at - ze in( wt ) in wnt -at -at z - e z co( wt ) e -at - z - ze co( wt ) co wnt -at -at z - e z co( wt ) e e ant 7.3. Folyono bemene kimene modell dizkreizáláa Folyono időarományban az alábbi bemene kimene modell alkalmazuk a dinamiku agok illeve agcoporok jellemzéére: () () () () () () () () () (), ahol y() a kimenő jel, u() a bemenő jel, () () (), {,},,,, ai, bj konan együhaók. Formailag ez a modell egy n-ed rendű differenciálegyenle, ami a dizkré időarományban való alkalmazához differenciaegyenle formára kell hozni. Az áalakíá a differenciálhányado differenciahányadoal való közelíéén alapul: Δ. Az analíziben anulaknak megfelelően a differenciálhányado kéféleképpen írhajuk fel: lim ( ) () () ( ) lim A kéféle felírái módon alapul a differenciálhányado előrefelé, illeve vizafelé ve közelíéének módzere. Az előrefelé ve differenciák módzere, vagy Euler módzer a kövekező módon vezeheő le: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ), ehá a differenciálhányado éréké a (k)-edik é k-adik minavéelezéi időponokhoz arozó jelérékeknek a minavéelezéi időközre vonakozao különbégével közelíjük.. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

151 7. Minavéele rendzerek 5 Ez a közelíé cak akkor leheége, ha a vizgál rendzer valamennyi méréi adaa rendelkezére áll, azaz a modell a méréi adaok alapján illezjük a rendzer vielkedéére. A differenciálhányado Laplace-ranzformáljá é a kapo közelíő alak z- ranzformáljá felírva megkapjuk, hogy a közelíé kövekezében hogyan alakul az áéré a ké folyono é dizkré operáoraromány közö: ( ) ( ) () () L () () (). A levezeének megfelelően, az előrefelé ve differenciákon alapuló közelíé orán a ké operáoraromány közöi áéré, az eredei definícióban megado, illeve képleekhez képe, jelenően módoul. A mérnöki gyakorlaban álalánoabb a vizafelé ve differenciák haználaa, mivel ez on line módon, a rendzer működée közben i alkalmazhaó. A közelíének a levezeée a kövekező: () ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ), ehá a differenciálhányado éréké a k-adik é (k-)-edik minavéelezéi időponokhoz arozó jelérékeknek az időinervallum hozának figyelembe véelével ve különbégével közelíjük. Ezek az érékek vizgála közben i folyamaoan rendelkezére állnak. A vizafelé ve differenciák eeében i meghaározhajuk, hogy a közelíé milyen orzulá okoz a ké operáoraromány közöi áérében: L () () ( ) (( ) ) () () () A közelíé ehá ebben az eeben i lényege eléré okoz a definíció zerini ranzformáció képleekhez képe, ami az áír modell ulajdonágainak módouláá fogja okozni. A zakirodalomban ovábbi közelíő képleek i alálhaók a folyono é a dizkré operáorarományok közöi áéré közelíéére. Ezek közül i az n. Tuin-módzer, vagy bilineári közelíéen alapuló eljárá emlíjük meg. A numeriku inegrálánál haznál rapéz módzer alkalmazva végeredménykén a kövekező ranzformáció képleeke kapjuk:. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

152 5 Irányíáechnika A bemene kimene modellek differenciaegyenle formájában örénő felíráá kéféle módon végezhejük el. A differenciálhányado közelíééhez haonlóan ebben az eeben i a különbég a ké alak közö az, hogy a modell felíráánál a jelen zimbolizáló kt időponi jelérékekhez képe a öbbi jelérék annál jabb, vagy korábbi. Induljunk ki az alábbi folyono bemene kimene modellből: () () () () () () () () () () Ennek a modellnek az előrefelé ve differenciákon alapuló közelíée a kövekező lez: ( ) ( ) () ( ) () ( ) Ez a modell off line módon alkalmazhaó, ehá a méré elvégzée uán, az adaok illezéével haználhaó. A vizafelé ve differenciákon alapuló közelíé: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A modellben alkalmazo d érék a bemene kéleleéé adja meg a kimenehez képe (d n-m). A kapo modell on line módon, vagyi megfigyelé közben i alkalmazhaó, hizen i a korábban kapo adaokból kövekezeünk a pillananyi érékre. Mindké modell eeében az együhaók elérő beűvel való jelölée arra ual, hogy az áírá orán a konkré érékük megválozha. A kapo modellek haonló ulajdonágokkal rendelkeznek, min a folyono bemene kimene modell, azaz lineáriak, időinvariának, amennyiben az együhaóik konanok. Az okági zabály a dizkré idejű modellnél i érvénye (n ³ m), é a differenciaegyenleekhez i meg kell adni a megfelelő zám kezdei feléel Differenciaegyenleek megoldáa A dizkré időarományban alkalmazo bemene kimene modellek lineári, állandó együhaó differenciaegyenleek, melyek megoldáára különböző leheőégeink vannak. Ebben a fejezeben egy egyzerű példa egíégével a különböző leheőégeke nézzük végig, előorban az alkalmazhaóágo zem elő arva, így nem rézleezve az elmélei háere.. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

153 7. Minavéele rendzerek Differenciaegyenleek analiiku megoldáa A differenciaegyenleek analiiku megoldáa, haonlóan a differenciálegyenleekéhez, ké lépéből áll. Előzör megkereük a homogén differenciaegyenle yho(k) álaláno megoldáá, majd hozzáadjuk az inhomogén egyenle egy yiho(k) parikulári megoldáá: () () (). (Ebben a rézben elekinünk a T minavéelezéi perióduidő felüneééől.) Oldjuk meg példakén a kövekező differenciaegyenlee: (),5( ) 3, ( ) 4.. Az yho(k) homogén megoldá meghaározáa A homogén differenciaegyenle: (),5( ). Kereük ennek megoldáá egy alkalma, () alakban, ahol a C é az a meghaározandó érékek! Ekkor ( ). Behelyeeíve a megoldá a homogén egyenlebe:,5, (,5), innen a C é az a riviáli megoldáoka kizárva:,5,5. Így a differenciaegyenle homogén álaláno megoldáa: () (,5).. Az inhomogén egyenle egy parikulári megoldáának megkereée A kiindulái egyenleünk (),5( )3 alak vol, melynél a bemenei oldalon egy konan zerepel. Próbáljuk meg ezér a megoldá () alakban, vagyi konan formájában kereni. Behelyeeíve a feléeleze megoldá:,5 3, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

154 54 Irányíáechnika éréke kapunk, vagyi ezőlege minavéelezéi időponban az inhomogén parikulári megoldá: lez. 3. A elje megoldá: 4. A C konan meghaározáa () () () () (,5) A C konan érékének meghaározáához haználjuk fel az ( ) 4 kezdei feléel. Legyen k -: Tehá a elje megoldá ( ) (,5), 4(,5). () (,5). A modell az egye minavéeli időponokban a kövekező érékeke vezi fel: k y(k),5y(k-) y(k),5y(k-) 3,5,5 3,75,5 3 3,5,875 3 ¼ ¼ 5,3,969 3,999, 3 Min a áblázaból láhaó, a megoldá konvergál a meghaározo inhomogén parikulári megoldá felé Differenciaegyenle megoldáa z-ranzformáció egíégével Induljunk ki ebben az eeben i az analiiku megoldánál alkalmazo példából é oldjuk meg a kövekező differenciaegyenlee z-ranzformáció egíégével. (),5( )3 (), ( ) 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

155 7. Minavéele rendzerek 55 A bemeneről mo feléelezük, hogy az egy a vizgála kezdő időponjában megjelenő, 3 egyégnyi amplidój ugráfüggvény. Végezzük el a z-ranzformáció a megado kezdei feléel figyelembe véve: (),5 () ( ) 3, (),5 (),5 43, () (,5 )(), ( )(,5 ),5,5. Az inverálához alakíuk á a kövekező alakra: ( )(,5) () () ( )(,5),,5,5, (),5.,, A kapo rézleörekhez arozó inverz alakoka a z-ranzformáció áblázaból kikereve: () (,5) (,5), () () (,5) megoldá kapjuk, ami megfelel az analiiku megoldá eredményének. Mindké megoldá közö jellemzője, hogy egy ezőlege k minavéelezéi időponhoz arozó jeléréke egyzerű behelyeeíéel egy lépében meghaározhajuk Differenciaegyenle megoldáa ieraív on Magaabb fokzám differenciaegyenleek eeében em az analiiku, em a z- ranzformáció alkalmazáával végze megoldá nem lez egyzerű. Ilyenkor különböző ieraív megoldáokkal érdeme próbálkozni. Az egyik ilyen leheőég a differenciaegyenle lépéről-lépére örénő megoldáa. Példakén ebben az eeben i a már vizgál egyenlee oldjuk meg így: Rendezzük á az egyenlee: (),5( ) 3, ( ) 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

156 56 Irányíáechnika (),5( ) 3. Imerve a k - időponhoz arozó éréke, haározzuk meg y(k) éréké az egymá köveő minavéeli időponokban: (),5( ) 3,5 4 3, (),5() 3,5 3,5, (),5() 3,5,5 3,75, 3 (3),5() 3,5,75 3,5. Özeveve az analiiku, illeve a z-ranzformáció alkalmazó megoldáokkal e módzer felélen előnye az egyzerűége, illeve könnyű algorimizálhaóága. Háránya vizon, hogy egy lépében nem kapjuk meg az egy ado minavéeli időponhoz arozó eredmény, hanem cak a korábbi érékek meghaározáa uán állíhaó elő Kimene meghaározáa polinom ozáal Ugyancak ieraív jellegű megoldá jelen, ha előállíjuk a kimenei jele negaív kievő haványoro alakban. Ebben az eeben induljunk ki a már eddig haznál példából: (),5( ) 3, ( ) 4 Végezzük el a z-ranzformáció ebben az eeben i a megado kezdei feléel figyelembe véve: (),5 () ( ) 3, () ( )(,5 ),5,5. A kapo racionáli örfüggvény fejük negaív kievő haványoro alakba polinomozá egíégével. :,5,5,5,75,5 (,5,5),5,5 (,5,5,5 ),75,5 (,75,875,875 ),5,875 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

157 7. Minavéele rendzerek 57 Az eredmény, vagyi a kimenenek az egye minavéeli időponokban felve érékei, a kapo polinom együhaói zolgálaják. Ennek magyarázaa az inverz z- ranzformáció bemuaó rézben alálhaó Az impulzu-ávieli függvény A folyono időarományban bevezee ávieli függvény fogalom a vizgál rendzer operáor arománybeli modelljé zolgálaa. Segíégével egyréz ado bemenehez meghaározhaó vol a kimenei válazfüggvény, máréz az együhaók megfelelő rendezéével érelmezheők a rendzerulajdonágoka hordozó paraméerek. Az ávieli függvény definíció zerin a kimene é a bemene zéru kezdei feléelek melle ve Laplace ranzformáljainak hányadoa: () L() L() é.. Az ávieli függvényhez haonló fogalom minavéele rendzerek eeében i érelmezheő. Ennek levezeééhez induljunk ki egy egyzerű minavéeleze agból, melynél feléelezzük, hogy a ag folyamao működéű, de a bemene cak ado minavéelezéi időponokban ha a rendzerre, é a kimenee i cak ezekben az időponokban haározzuk meg. A rendzer vázlaa a 7.3. ábrán láhaó ábra Minavéeleze bemeneű é kimeneű ag A 7.3. ábra jelöléei a kövekezők: u() - a folyamao idejű bemene, u*() - a minavéeleze bemene, h() - a folyamao működéű ag lyfüggvénye, y() - a ag folyamao idejű kimenee, y*() - a minavéeleze kimene, T - a minavéelezéi perióduidő. A korábbiaknak megfelelően a ké minavéelező zinkronban dolgozik, azaz megegyezik a minavéelezéi perióduidejük, é egyzerre örénik mind a bemenő jel, mind a kimene minavéelezée. A ag működéének jellemzéére a lyfüggvény é az ávieli függvény közöi imer kapcola alapján i a lyfüggvény alkalmazuk. A minavéeleze bemene é kimene érelmezéé végezzük el a 7.4. ábra alapján: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

158 58 Irányíáechnika y it() u(t )h(-t ) u(t )h(-t ) u(t )h(-t ) u(kt )h(-kt ) T T T... kt... nt 7.4. ábra. Minavéeleze bemene é kimene közöi kapcola A baloldali ábrán a bemene minavéelezée láhaó. A folyono u() bemenee T időközönkén minavéelezve kapjuk meg az minavéeleze u*() bemenő jele, mely az egye minavéeli időponokban megjelenő Dirac-zerű impulzuok orozaából áll. Az egye impulzuok erülee a bemenő jel ado minavéelezéi időponjában felve érékének felel meg. Az impulzuzerű bemeneek haáára a kimeneen megjelenő jel özeevőkre bonhaó fel. A jobb oldali ábrán láhaóak ezek a folyono jelözeevők, az yit() az it-dik minavéelezéi időponban a bemenee érő u(it)d(-it) impulzura ado folyono jelözeevő. Ha a bemeneen impulzuzerű jeleke alkalmazunk a maemaikai minavéelezének megfelelően, akkor a kimeneen kapo válazfüggvények lyfüggvénynek ekinheőek. Így ezeke a folyono jelözeevőke, min lyfüggvényeke írhajuk le az u(it)h(-it) özefüggé egíégével. A kimene éréke egy ado minavéelezéi időponban e folyono jelözeevők ado időponhoz arozó érékeinek az özege lez. Egy jelözeevő éréke egy ezőlege n > i minavéelezéi időponban u(it)h(nt-it) lez. Ha n i, akkor ennek a jelözeevőnek az éréke az egyidejű minavéelezé mia nulla lez, ha n < i eeében egy kéőbbi időponban jelenkező bemeneről van zó, így az ehhez arozó jelözeevő zinén nullának ekinhejük. Haározzuk a kimene éréké egy ezőlege nt minavéelezéi időponban: ( ) h( )( ) Írjuk fel az y*() minavéeleze kimene időfüggvény:. () ( )( ). Helyeeíük be az nt időponhoz arozó y(nt) kimenere vonakozó özefüggé: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

159 7. Minavéele rendzerek 59 () h( )( )( ) Vezeünk be egy j, nk indexválozó a kövekező módon: nk n k, ehá n nk k, így, () h( )( )( ) A kapo kifejezének állíuk elő a dizkré Laplace ranzformáljá:. () h( )( ) ( ) Miuán h(nkt), ha nk <, így az egymába ágyazo ké özegzé zébonhaó: () h( ) ( ) Megvizgálva az így kapo kifejezéeke megállapíhajuk, hogy a zorza elő ényezője a lyfüggvény dizkré Laplace ranzformáljának, vagyi a dizkré ávieli függvénynek, a máodik pedig a bemenő jel dizkré Laplace ranzformáljának felel meg. Így az () () () özefüggé kapjuk. Elvégezve az z e T behelyeeíé, akkor az alábbi: () h( ) ( ) ()() özefüggéhez juunk, mely alapján definiálhajuk az impulzu-ávieli függvény: () () () () é. () é.. Az impulzu-ávieli függvény ehá a minavéeleze kimene é bemene z- ranzformáljainak hányadoa zéru kezdei feléelek melle. Min ahogy korábban i megjegyezük, az impulzu-ávieli függvény cak a minavéelezéi időponokban lez a rendzer modellje, miuán cak ezekben a ponokban van kapcolaban az eredei folyono idejű modellel. Haonlóan az ávieli függvényhez, az impulzu-ávieli függvény i racionáli örfüggvény alakban adhajuk meg, de ahogy a bemene kimene modellnél i felíruk az előre é vizafelé ve alako, i i haználhaunk poziív é negaív kievő polinomoka: () () ()... Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

160 6 Irányíáechnika. A negaív kievő alaknak a differenciaegyenleek ieraív on örénő megoldáánál van fono zerepe Eredő impulzu-ávieli függvény meghaározáa Tagcoporo aralmazó minavéele rendzerek eredő impulzu-ávieli függvényének meghaározáánál figyelembe kell venni, hogy a minavéelező zervek mely agok közö helyezkednek el. Ennek figyelembe véelével a kövekezőkben megvizgáljuk, hogy a jelformáló agok é a minavéelezők különböző orrendű kapcoláának milyen haáa van az eredő impulzu-ávieli függvényre. Az egye eeekben feléelezzük, hogy a agok folyamao működéűek, így egyarán jellemezheőek a G() ávieli függvénnyel, illeve a h() lyfüggvénnyel, é a kimeneükön kapo y() jel i folyamao. - Minavéelező elői é uáni jelek: () L{()}, () { ()}. - Kimenő jel minavéelezée: () ()(), () {()()} (). (Megjegyezzük, hogy a zakirodalom zéle körben haználják a GU(z) rövidíé a Laplace ranzformálak zorzaa z-ranzformáljának rövidíéére, de GU(z)¹ G(z)U(z)!) - Bemenő jel minavéelezée: () () (). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

161 7. Minavéele rendzerek 6 - Bemenő é kimenő jel egyidejű minavéelezée: () () (), () ()(). - Sorba kapco agok, minden ag elő é uán van minavéelező: () () (), () () (), () ()(), () ()(), () () () (), () () ()(), () () (). A levezeének megfelelően, ha mindenegye orba kapcol ag elő é uán van minavéelező, akkor az eredő impulzu-ávieli függvény kizámíáa nagyon haonló a folyono idejű rendzerek operáorarománybeli eredőjének meghaározáához: az eredő impulzu-ávieli függvény az egye agok impulzuávieli függvényeinek zorzaakén kapjuk meg. - Sorba kapco agok, de a agok közö ninc minavéelező: () ()() () ()(), () L { () ()} (), () { () ()}() ()(), () { () ()} (). Ha orba kapcol agok közö ninc minavéelező, akkor az eredő impulzu-ávieli függvény a agok ávieli függvényeinek zorzaá z-ranzformálva kapjuk meg. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

162 6 Irányíáechnika - Vizacaol kör agok elő é uán minavéelezővel: () () ()() () (), () () (), () () (), () () () () () () () (), () () () () () (), () () () () () (). Ha a vizacaol kör minden jelformáló agja elő é uán van minavéelező, akkor az eredő ávieli függvény a folyono eehez haonlóan haározzuk meg. Tehá az előremenő ág eredő impulzu-ávieli függvényé elozjuk az előremenő ág eredő impulzu-ávieli é a vizaérő ág eredő impulzu-ávieli függvénye zorzaának - gyel növel érékével. - Vizacaol kör, de a vizacaolánál ninc minavéelezé: () () ()() ()()() () () (). Dizkré Laplace ranzformálva a kapo kifejezé, majd kifejezve E * ()-: () () L { () ()} (), () () L { () ()}. Fejezzük ki Y * ()-, a kimene dizkré Laplace-ranzformáljá, majd helyeeíük be az E * ()-re kapo kifejezé, é rendezzük á az ávieli függvények kapcán megzoko alakra: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

163 7. Minavéele rendzerek 63 () () () () () L { () ()}, () () () L { () ()}. A z-ranzformáció elvégzée uán megkapjuk az eredő impulzu-ávieli függvény: () () ()() () { () ()} () () (), () () () () () Dizkré idejű rendzerek erőíéének meghaározáa A folyono idejű rendzereknél az erőíé (arányoági ényező) vol az a paraméer, ami megada, hogy ugrá jellegű bemene eeén egy abil jelformáló ag a bemenő jele hányzoroára (vagy hányadrézére) válozaja meg a kimeneen. Az alábbi álaláno bemene-kimene modellből levezeük, hogy az erőíé a kimenő é a bemenő jel nulladrendű deriváljainak együhaóiból zármazahaó. () () () () () () () () () (). Ennek magyarázaa az vol, hogy acionáriu állapoban a jelek válozáá leíró deriválak éréke zéru lez, így a ké jel arányá az együhaók arányával lehe kifejezni: () () () (), ahol az index a jel állandóul állapobeli (eady ae) érékére ual. Az erőíé ugyancak meghaározhaó az ávieli függvényből, ahol a polinomok konan agjainak hányadoakén kapjuk meg az éréké. További leheőég vol a végérék-éel alkalmazáa, melynek eredményekén abil rendzerek egyégugrára ado válazá vizgálva imé az erőíé kapuk. Vizgáljuk meg, hogy dizkré idejű rendzerek eeében, haonló módzereke alkalmazva, milyen eredmény kapunk. Induljunk ki a dizkré bemene kimene modell vizafelé ve differenciák egíégével felve alakjából: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Legyen a bemene az egyégugrá, így ennek éréke ezőlege minavéelezéi időponban lez: ( ) ( ) ( ). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

164 64 Irányíáechnika Téelezzük fel, hogy a rendzer abil, így a kimene a ranzien állapo megzűne uán állandóul éréke vez fel: ( ) ( ) ( ) ( ). Így állandóul állapoban a modell a kövekező alak lez: ( ) ( ). Miuán az (kt) függvény éréke minden minavéelezéi időponban, így a kimene: ( ). Innen álalánoíva az erőíé, min a kimenő jel é a bemenő jel állandóul állapobeli vizonyá ugráfüggvény bemene eeére: ehá dizkré idejű rendzerek eeében az erőíé a bemene-kimene modellben zereplő polinomok együhaói özegének hányadoakén lehe meghaározni. A zámlálóban a bemenei oldal együhaóinak özege, a nevezőben a kimenei oldal együhaóinak özege zerepel. Haonló eredményre juunk, ha a végérék-éel alkalmazzuk. Legyen a bemene az egyégugrá függvény, ekkor: () () (), lim ( ) lim 7.8. Tarózervek () lim, ()() lim () lim. Az eddig árgyal eeekben a minavéelezé érelmezéénél leíraknak megfelelően a bemenő jel impulzuok formájában kerül a jelformáló ag bemeneére. Ez a gyakorlaban az jeleni, hogy például egy zabályzái körben a zabályozó álal meghaározo beavakozó jel, min impulzu kerül kiküldére az irányío zakaz felé az ado minavéeli időponban. Ezuán, a kövekező minavéeli időponig ninc jabb információ a beavakozó jel érékére, azaz a kiküldö jel éréke nulla. A leír rendzer haávázlaa a 7.5. ábrán láhaó: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

165 7. Minavéele rendzerek ábra. Minavéelező agcopor haávázlaa A gyakorlaban léeznek olyan rendzerek, melyeke ilyen impulzuok egíégével lehe irányíani, de álalában nem ez a jellemző. Azokban az eeekben, ahol ez az impulzuok kiküldéén alapuló eljárá nem megfelelő, célzerű egy olyan egyége beépíeni, amely az előző minavéeli időponhoz arozó információ vagy megőrzi a kövekező minavéelezéi időinervallumon, vagy korábbi jelérékeke i figyelembe véve beclé alapján haározza meg a jel érékének eelege válozáá erre az inervallumra. Ezeke az egyégeke arózerveknek nevezzük. A legegyzerűbb eeben a arózerv feladaa, hogy őrizze meg az uoló minavéeli időponhoz arozó jel éréké mindaddig, amíg jabb információ nem érkezik. Egy ilyen, n. nulladrendű arózervvel kiegézíe rendzer vázlaa láhaó a 7.6. ábrán. i*() f() kt f () minavéelező egyég f*() aró kt zakaz 7.6. ábra. Tarózervvel kiegézíe minavéelező agcopor haávázlaa kt A nulladrendű arózerv leíráához éelezzük fel, hogy az egye minavéelezéi időponokhoz arozó jelválozáoka négyzögimpulzuok egíégével írjuk le. Ennek megfelelően egy ado minavéelezéi időponban megjelenő jelhez arozik egy, a jeléréknek megfelelő amplidój ugráfüggvény, mely a kövekező minavéelezéi időponban egy ugyanolyan amplidój, de negaív előjelű ugráal zárul. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

166 66 Irányíáechnika A nulladrendű aró leíráa ennek alapján: () ( )( ) ( () ) Laplace ranzformálva a kapo kifejezé: () ( ) () ( ). A kapo kifejezében a ( ) megfelel a F * ()-nek, az f * () függvény dizkré Laplace ranzformáljának. Így () (), melyből a nulladrendű arózerv ávieli függvénye meghaározhaó: () () () Ha a elje agcopor minavéelező, nulladrendű aró, objekum eredő ávieli é impulzu-ávieli függvényé írjuk fel, akkor a kövekező kapjuk:.. - ávieli függvény: - impulzu-ávieli függvény: () L () (), () () () ( ) (). () () () Az eredő impulzu-ávieli függvény felíráánál figyelembe veük, hogy az ényező való zorzá időarományban egy minavéeli időegyéggel való elolának felel meg Minavéele rendzerek abiliáa A minavéele rendzerek abiliávizgálaá a folyono idejű rendzerekhez haonlóan végezhejük el. Ennek megfelelően a kövekezőkben bemuajuk az o bevezee abiliádefiníciók, a korláo bemene korláo kimene (BIBO) abiliá, illeve az Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

167 7. Minavéele rendzerek 67 azimpoiku abiliá fogalmának dizkré idejű rendzerekre érelmeze definíciói, illeve az ellenőrzéükre zolgáló éeleke Dizkré BIBO abiliá Egy lineári minavéelező rendzer korláo bemene korláo kimene (BIBO) abiliának nevezünk, ha korláo bemenő impulzuoroza haáára kelekező kimenő impulzuoroza i korláo: ( ) <, < ( ) <, <,, <. Legyen a vizgálandó rendzer egy minavéeleze bemeneel é kimeneel működő ag, az alábbi ábrának megfelelően: Az impulzu-ávieli függvény levezeéénél beláuk, hogy egy ezőlege, nt minavéeli időponhoz arozó kimene, az alábbi özefüggéel haározhaó meg: ( ) h( ) ( ). Legyen az ïu(nt - kt)ï M korláo bemene, é vegyük mindké oldal abzol éréké: ( ) h( ) ( ) h( ) ( ) h( ), ehá y(nt) (vagy y * ()) korláo, ha Þ h( ) < Özefoglalva: A lineári minavéelező rendzer BIBO abiliáának elégége feléele, hogy a zár rendzer lyfüggvényének minavéelezéi időponokban ve abzol érékeiből alkoo végelen or korláo legyen. Beláhaó, hogy a megado feléel nemcak elégége, hanem zükége feléel i. Ennek bizonyíáa a kövekező: Legyen a bemene ïu(nt - kt)ï>, valamin u(nt - kt) é h(kt) előjelei egyezzenek meg. Így ( ) h( ) ( ) h( ), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

168 68 Irányíáechnika ehá, ha h( ) nem korláo, n ezőlege érékére, akkor y(kt) em lez korláo. Ha megvizgáljuk a dizkré BIBO abiliá eljeüléére kapo éel, é a folyono idejű rendzerekre vonakozó éel: h() < közöi haonlóágo, akkor megállapíhajuk, hogy mind a ké eeben a lyfüggvényre vonakozó korláoág ellenőrzéével igazolhaó a BIBO abiliá eljeülée. Míg a folyono időarományban a lyfüggvény abzol inegráljának a korláoága a feléel, addig a minavéele rendzerek eeében a BIBO abiliá eldönééhez végelen orok konvergenciájá kell vizgálni Azimpoiku abiliá Az azimpoiku abiliá bevezeééhez a folyono idejű rendzerek eeében érelmezük a magára hagyo rendzerek fogalmá, vagyi zéru bemene é ado kezdei feléelek melle vizgáluk a rendzerek vielkedéé. Minavéele rendzerek eeében haonló feléelek melle fogalmazhajuk meg az azimpoiku abiliá definíciójá. Egy lineári minavéelező rendzer azimpoikuan abilnak nevezünk, ha y(kt) bemenei oroza é y(-t), y(-t),, y(-(n-)t) ¹ kezdei feléelek eeén a kimenei oroza zéruhoz ar: lim ( ). Az azimpoiku abiliá vizgálaá az ávieli függvény póluai alapján végezük el a folyono idejű rendzerek eeében. A minavéele rendzerek eeében i az impulzuávieli függvény nevezőjének a gyökei, vagyi a póluoka meghaározva udunk a abiliáról döneni a kövekező éeleknek megfelelően. Egy minavéele rendzer akkor é cak akkor azimpoikuan abil, ha az eredő impulzu-ávieli függvényének valamennyi pólua abzol érékben -nél kiebb: <,,,, ehá, a komplex íkon ábrázolva a póluoka, valamennyi pólu az origó középpon, egyég ugar körön belül alálhaó. Egy minavéele rendzer a abiliá haárán van, ha az eredő impulzu-ávieli függvényének van, vagy vannak olyan póluai, melyeknek az abzol éréke egyenlő - gyel, de ha vannak ovábbi póluai, akkor azok abzol érékben -nél kiebbek: á há, ( ),,,. Geomeriai zemponból ez a feléel az jeleni, hogy az impulzu-ávieli függvénynek van legalább egy olyan pólua, vagy pólupárja, amely az egyégugar kör ívén Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

169 7. Minavéele rendzerek 69 helyezkedik el, é az eelege ovábbi póluokra igaz, hogy azok az egyég ugar kör belejében alálhaók. Egy minavéele rendzer inabil, ha az eredő impulzu-ávieli függvényének van legalább egy olyan gyöke vagy gyökpárja, melynek abzol éréke nagyobb -nél: >,,,. Inabil rendzer eeén, a komplex íkon ábrázolva a póluoka, legalább egy pólu vagy pólupár az egyégugar körön kívül van. Özeveve a folyono é a dizkré idejű rendzerek azimpoiku abiliáára vonakozó éeleke beláhaó, hogy a folyono idejű rendzerek eeében a abiliái arománynak megfelelő negaív való rézű póluoka aralmazó baloldali félíko az origó középpon egyégugar kör belejére képezzük le dizkré idejű rendzernél. A folyono idejű rendzereknél a abiliá haárá jelenő képzee engely a dizkré idejű eeben az egyégugar kör íve lez, illeve folyono eeben az inabiliá jelenő jobb oldali (poziív való rézű póluoka aralmazó) félík dizkré idejű rendzereknél az egyégugar körön kívüli erülenek feleleheő meg, ahogy ez a 7.7. ábrán láhaó. Sabiliá Inabiliá Inabiliá Sabiliá Inabiliá 7.7. ábra. Sabiliái arományok közöi megfeleleé A folyono idejű é a dizkré idejű rendzer abiliái arománya közöi leképezé a minavéeli körfrekvencia függvényében meghaározhaó ávokban egy-egy érelmű, ahogy ez a 7.8. ábrán lázik ábra. A abiliái arományok közöi leképezé Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

170 7 Irányíáechnika A differenciálhányado differenciahányadoal való közelíéének, így a folyono időarományból dizkré időarományba való áérének különböző leheőégei bemuava levezeük, hogy a közelíő áéré kövekezében az operáorarományok közöi kapcola hogyan módoul. A z-ranzformáció bevezeéekor definiál özefüggé: ln közelíő alakja a válazo módzer előrefelé ve, illeve vizafelé ve differenciák vagy a Tuin módzer függvényében má é má lez. Ennek kövekezében vizon nemcak a póluok helye válozik meg, hanem a abiliái aromány leképzée i orzul. Az előrefelé ve differenciák (Euler módzer) eeében a kövekező közelíő képlee kapuk:. A módoío leképezé kövekezében a folyono idejű rendzerek bal oldali félíkjá, vagyi a abiliái aromány a dizkré idejű rendzerek eeében egy olyan félíkra képezzük le, melynek haárvonala párhuzamo a képzee engellyel é a ponban mezi a való engely. Ennek megfelelően a közelíő leképezé mia leznek olyan folyono idejű modellek, amelyeknek dizkreizálá uán a póluai az egyégugar körbe enek, ehá abilak maradnak, leznek olyanok, amelyeknek a póluai áéré uán az egyégugar körön kívülre kerülnek, így inabilak leznek. A folyono idejű inabil modellek eeében ninc válozá: ami inabil vol, az inabil marad a dizkreizálá uán i, míg a abiliá haárán lévő rendzereknél cak a pon közö, egyébkén az ilyen rendzerek inabillá válnak. A megválozo abiliái arományok a 7.9. ábrán láhaók. Fono kiemelni, hogy i i é a kövekezőkben i a abiliá megválozáa a rendzer leíró modellekre vonakozik. Im Eredeileg abil gyökök helye j Eredeileg inabil gyökök helye - Re -j 7.9. ábra. A abiliái arományok leképezée az előrefelé ve differenciák közelíénél A vizafelé ve differenciáknál az operáorarományok közöi áérére a kövekező képleeke kapuk: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

171 7. Minavéele rendzerek 7. Ez a közelíé az okozza, hogy a folyono idejű rendzerek bal oldali félíkjá egy,5 középpon é,5 ugar körbe képezzük le. Ennek megfelelően, a folyono időarományban abil rendzerek abilak maradnak, vizon az eredeileg inabil rendzerek eeében előfordulha, hogy a dizkreizál rendzer póluai az egyégugar kör ezen ki körön kívüli rézébe enek, é így az áír modelljük abillá válik, ahogy ez a 7.. ábrán lázik. 7.. ábra. A abiliái arományok leképezée a vizafelé ve differenciák közelíénél A Tuin módzer eeében alkalmazo közelíő képleek nem válozaják meg a abiliái arományok leképezéé, ehá ebben az eeben nem kell zámolni a modell vielkedéének ilyen orzuláával (lád 7.. ábra). A póluok helye azonban i i elérhe a definíció zerini áérénél kapo póluokéól, így a ranzien vielkedé jellemzői válozhanak. 7.. ábra. A abiliái arományok leképezée a Tuin-módzeren alapuló közelíénél Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

172 7 Irányíáechnika Sabiliávizgálai módzerek A folyono idejű rendzerekhez haonlóan, a dizkré idejű rendzerek eeében i a abiliára vonakozó éelek egíégével a póluok imereében egyérelműen eldönheő a vizgál ag vagy agcopor modelljének abiliáa. A problémá ebben az eeben i az jeleni, hogy magaabb fokzám rendzerek eeében, ehá ha az ávieli függvény nevezőjében lévő polinom harmad- vagy annál magaabb fok, akkor numeriku ezközök zükégeek a vizgálahoz. Bár ezek az ezközök az informaika erjedéével álalában rendelkezére állnak, a kövekezőkben példák egíégével bemuaunk ké, a dizkré idejű rendzerek abiliáának ellenőrzéére zolgáló vizonylag egyzerű módzer. Jury-ez A Jury-ez a vizgálandó rendzer eredő ávieli függvénye nevezőjének együhaói alapján haározza meg a abiliá. Legyen az eredő ávieli függvény egy negyedrendű rendzer eeében a kövekező álaláno alak (). A ez menee a kövekező. Írjuk fel a nevező együhaói, majd írjuk fel alá jra, de fordío orrendben:. Haározzunk meg egy a 4 korrekció ényező, majd ezzel korrigáljuk az egye együhaóka: 4, 3,,. Beláhaó, hogy a korrekció eredményekén az együhaóra nullá kapunk, így az együhaók záma eggyel cökken. Folyauk az eljárá az előző lépéhez haonlóan, ehá írjuk le fordío orrendben az együhaóka, majd haározzuk meg a kövekező korrekció ényező, é végezzük el az együhaók módoíáá. Az imeree eljárá addig végezzük, míg végül egy korrigál együhaó marad:,,,., 4, 3,,, 4, 3,, 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

173 7. Minavéele rendzerek 73 A dizkré idejű rendzer akkor é cak akkor abil, ha a korrigál együhaók közül a legnagyobb indexű, ehá példánkban az mindegyike poziív. w-ez A dizkré idejű rendzer abiliáának ellenőrzéére egy máik leheőége kínál az n. w ez. Ennél a módzernél az a ény haználjuk ki, hogy min az a Tuin módzer eeében i láuk, a bilineári ranzformációk nem orzíják a abiliái arományoka, azaz a egíégükkel végze áíráok uán az eredeileg abil folyono idejű modellek abilak maradnak dizkreizálá uán i, é az inabil modellek eeében inc válozá. Alkalmazva ez az elve, a módzer lényege az, hogy egyzerű bilineári képle egíégével ranzformáljuk az eredő ávieli függvény, majd a kapo ávieli függvényre alkalmazzuk a Hurwiz-kriériumo. 7.. Gyakorló feladaok minavéele rendzerek Példák z- é inverz z-ranzformációra 6. Haározza meg a kövekező függvények z-ranzformáljai! a) () () I. megoldá Mivel (), ha, ezér az f * () függvény megegyezik az i * () impulzuorozaal: Így a dizkré Laplace ranzformál () ()( ). a z-ranzformál: () (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

174 74 Irányíáechnika A kapo geomeriai or özegezheő, ha ekkor () () () < (). II. megoldá Végezzük el a ranzformáció az egyzere póluok eeén alkalmazhaó, zár alak kifejezé zolgálaó képle alapján: () ( ) ( ) Az () függvény Laplace ranzformálja A kifejezének L{()} - egy pólua van, P, a p helyen, - a zámláló polinomja Fz(), így Fz(p), - a nevező polinomja Fp(), deriválja (), így Fz (p), ehá () ( ) ( ) b) () I. megoldá A minavéeleze függvény: () ( ) Ebből a dizkré Laplace ranzformál. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

175 7. Minavéele rendzerek 75 a z-ranzformál: () () ( ). A kapo geomeriai or özegezheő, ha ekkor () < (), II. megoldá Végezzük el a ranzformáció az egyzere póluok eeén alkalmazhaó, zár alak kifejezé zolgálaó képle alapján: () ( ) ( ) Az e -a függvény Laplace ranzformálja: A kifejezének L{()} - egy pólua van, P, a p -a helyen, - a zámláló polinomja Fz(), így Fz(p), - a nevező polinomja Fp() a, deriválja () ehá () ( ) ( ), így Fz (p), () c) () I. megoldá ()() Téelezzük fel, hogy a ¹ b, é végezzük el a ranzformáció az egyzere póluok eeén alkalmazhaó, zár alak kifejezé zolgálaó képle alapján: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

176 76 Irányíáechnika A kifejezének () ( ) ( ) - ké pólua van, P, a p -a é a p -b helyen, - a zámláló polinomja Fz(), így Fz(p), - a nevező polinomja Fp() (ab)ab, deriválja (), így ehá Fz (p) b - a, Fz (p) a b, () ( ) ( ) ( ) ( ) () A közelíő módzerek haáának bemuaáára, írjuk á e feni alako az o levezee képleekkel. II. megoldá Előrefelé ve differenciák módzere Alkalmazzuk az előrefelé ve differenciákon alapuló közelíénél levezee képlee: Ekkor () behelyeeíve a közelíő képlee:. ()( ) (), () () () () III. megoldá Vizafelé ve differenciák módzere Alkalmazzuk a vizafelé ve differenciákon alapuló közelíénél levezee képlee:. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

177 7. Minavéele rendzerek 77 Ekkor () behelyeeíve a közelíő képlee: () ()( ) (), ( ) ( ) ( () ) IV. megoldá Tuin módzer módzere Alkalmazzuk a Tuin módzer bilineári helyeeíő képlee: Ekkor () behelyeeíve a közelíő képlee: (). ()( ) (), () ( () 4) (8( ) )4 Özehaonlíva a definíció alapján elvégze áírá é a közelíő képleek alkalmazáának eredményekén kapo alakoka megállapíhajuk, hogy míg a nevező, az eredei ávieli függvénynek megfelelően, valamennyi eeben máodfok polinom, addig a zámláló fokzáma az alkalmazo módzeről függően elérő. d) ( ), A minavéeleze függvény: ( ), ( ) Behelyeeíve z-ranzformáció képleébe:. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

178 78 Irányíáechnika (),,,,, e) ( ) ( 4) A minavéeleze függvény:, < ( ) ( 4) ( ) Behelyeeíve z-ranzformáció képleébe:. () ( 4) ( 4) ( 4) f) ( ) 3( ) ( 3) 5( 4) ( 4 ) 4 4 < A z-ranzformáció elvégzééhez haználjuk fel az egyégimpulzu függvénynek az a ulajdonágá, hogy az éréke cak az n időponban nem nulla, é alkalmazzuk az elolái éel: g) ( ) 53( 4) A minavéeleze függvény: () z ezőlege érékére ( ) (53( 4) ) ( ) Behelyeeíve z-ranzformáció képleébe:. () (53( 4) ) 5 3( 4) < < 4 < Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

179 7. Minavéele rendzerek Haározza meg a kövekező függvények inverz z-ranzformáljai! a) Megoldá: () (),8,8 (,8) ábláza alapján: ( ) (,8) ( ) b) () 4,8 Megoldá: Hozzuk az inverálandó függvény a z-ranzformáció áblázaban zereplő alakra: (),8 ábláza alapján: (,8) (,8) (,8) ( ) (,8) ( ) (,8) ( ) (,8) ()(,8) ( ) (,5)(,8) ( ) ()(,5)(,8) ( ) (),5(,8) ( ) c) () (4)( ) Megoldá: Bonuk fel a függvény parciáli örekre az inverz ranzformáció elvégzééhez! () ( 4)( ) 4 Parciáli örekre boná elvégezheőégéhez alakíuk á a kifejezé az alábbi módon Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

180 8 Irányíáechnika () innen A é B meghaározáa: (4)( ) 4 ( )(4) () (4)( ) 34 3 ( ) 3 ( 4) ( ) 3 () ( ) d, Megoldá: Alakíuk á függvény! Ebből: () () 6 (4) 6 4 ( ) 6( 4) ( 5) Példák dizkré rendzerek kimeneének meghaározáára 8. Adja meg kimene éréké az n 4 minavéelezéi időponban, ha ado a kimenő jel z- ranzformálja: (),5.. Megoldá: Polinomozá egíégével fejük negaív kievő haványorba a racionáli örfüggvény alako: (),5, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

181 7. Minavéele rendzerek 8 : z 3 -,5z z z - z - z -3 z -4,5 z -5 z -6,5 z -7 z -,5z -,5z -,5z - -,5z -4,5 z -4 Az y(4) éréke megegyezik a z -4 ag együhaójának érékével, azaz y(4).. Megoldá: Vegyük ézre, hogy az impulzu ávieli függvény nevezőjé fel lehe írni gyökényező alakban: (),5 (,5)(,5), Bonuk fel a függvény parciáli örekre az inverz ranzformáció elvégzééhez! () (,5)(,5) innen A, B é C meghaározáa:,5,5 (,5) (,5)(,5) (,5) () (,5) 4, (,5)(,5) 8 (,5) 4, (,5)(,5) 4,5 8 4,5 A vizaranzformálá elvégzééhez alakíuk á a kifejezé: Innen () 4,5 8 4,5 ( ) 4(,5) ( ) 8( ) 4(,5) ( ) A kimene érékének meghaározáa a k,,, 3, 4 minavéeli ponokban: () 4(,5) ( ) 8( ) 4(,5) ( ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

182 8 Irányíáechnika 3 4 () 4(,5) () 8() 4(,5) () 4 84 () 4(,5) () 8() 4(,5) () (3) 4(,5) () 8() 4(,5) () (4) 4(,5) (3) 8(3) 4(,5) (3),5,5 5 (5) 4(,5) (4) 8(4) 4(,5) (4),5,5,5 A ké megoldá ermézeeen ugyanaz az eredmény zolgálaja, de vegyük ézre, hogy a. megoldá eeében ezőlege időponra kizámíhajuk a kimene éréké má, korábbi időponokra vonakozó kimeneérékekől függelenül. 9. Haározza meg a végérék éel egíégével az hova ar az alábbi ag a végelenben é adja meg a ag erőíéé i! Mennyi lez a kimene éréke a páralan orzám minavéelezéi időponokban? Megoldá: ( ), <,, () 8. a) A haárérék meghaározáa a végérék éel egíégével: A bemene u(kt ) (kt ), így a z-ranzformálja: (). lim ( ) lim () lim lim 8 lim ()() A póluok ellenőrzée a haárérék kizámíáa elő(!): ,4. 8, 4 ±,5,,5 <. A ag erőíée, lez. b) A páralan orzám minavéelezéi időponok érékének meghaározáához vegyük ézre, hogy az impulzu-ávieli függvény nevezőjében zereplő polinomnál hiányzik az előfok ag. Emia é az egyégugrá jellegű Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

183 7. Minavéele rendzerek 83 bemene mia a páralan orzám minavéelezéi időponokhoz arozó kimeneek érékei megegyeznek az őke megelőző páro orzám minavéelezéi időponokhoz arozó kimeneek érékeivel. Erről könnyen meggyőződheünk akár a differenciaegyenle megoldáával, akár a kimene érékeinek polinomozáal örénő meghaározáával: Differenciaegyenle megoldáa: () () () 8 4, Ebből a vizafelé ve differenciaegyenle: 4 () ()(), (),5 (),5 (), ( ),5( ),5( ). A kimene érékének meghaározáa a k,,, 3, 4 minavéeli ponokban: (),5( ),5( ) (),5( ),5( ) (),5(),5(),5,5 3 (3),5(),5(),5,5 4 (4),5(),5(),5,5,5,375 5 (5),5(3),5(3),5,5,5,375 Polinomozá elvégzée: () ()() 8 4 4, z : 4z 3-4z z- z z -,5 z -,5 z -3,375 z -4,375 z -5 z-,5z - -,5z - -,5z -,5 z - - z -,5 z - -,5z -3,5z - z -,5z -3,5z - -,5z -,375z -3 -,375z -4,5z -,5z -3,375z -4 Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

184 84 Irányíáechnika,5z - -,5z -3,375z -4 -,375z -5 Tehá a keree kimenei érékek y() y(), y() y(3),5, y(4) y(5),375. Mindké megoldá eeében, az y(k) éréke megegyezik a y(k) érékével, ahol k,, 4,. z z-,5. Legyen G( z) é ( z) Megoldá: A felada az alábbi módokon oldhaó meg: z U. Adja meg y(3) éréké, ha T é y(-)! z - a) Megoldá a kimene inverz z-ranzformációjával: () ()(),5,5, ( ) ( ),5 ( ), (3),5,875. b) Megoldá a kimene z-ranzformáljából polinomozáal: () ()(),5,5,5, z : z -,5z,5 z,5 z -,75 z -,88 z -3 z -,5z,5,5z-,5,5z-,5,75z -,75 -,75z -,75 -,63z -,38z -,88z - -,38z -,88z - -,8z -,94z -3 Az y(3) éréke megegyezik a z -3 ag együhaójának érékével, azaz y(3),88. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

185 7. Minavéele rendzerek 85 c) Megoldá a differenciaegyenle felíráával: () () (),5, (),5() (), (),5 () (), ( ),5( ) ( ). Felhaználva, hogy az (), azaz u(kt ) (kt ), így (),5( ) () (),5() (),5,5 (),5() (),75,75 3 (3),5() (3),875,875 Példák folyono rendzerek dizkreizáláára. Végezze el az alábbi bemene-kimene modellel jellemze rendzer dizkreizáláá a anul módzerekkel, majd a végérék éellel vizgálja meg a kapo dizkré modellek vielkedéé: () () 5 () () 4() () () () Legyen a minavéelezéi perióduidő. Megoldá: a, dizkreizálá definíció zerin Írjuk fel a ag ávieli függvényé: Haározzuk meg a ag póluai: () , 4. Miuán a póluok negaív valóak, ezér a folyono ag azimpoikuan abil, a cillapíái ényezője egynél nagyobb, így például az ámenei függvénye Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

186 86 Irányíáechnika azimpoikuan imul az erőíé álal meghaározo végérékhez (K,5, z,5, wn ). Miuán a póluok egyzere gyökök, így haználhaó a kövekező képle: A példában: () ( ) ( ).,, 4, () ( ) ( ) 4, () 5 4 () 5, () ( ) 5 3 () ( 4) 5 3, () 3 3,98, b, Dizkreizálá z-ranzformáció ábláza egíégével Bonuk fel a ag ávieli függvényé parciáli örekre é kapo kifejezé ranzformáljuk dizkré időarományba a z-ranzformáció ábláza é ranzformációra vonakozó éelek egíégével: () 54 4, 3 3, Táblázaból: Így () () 3 3. Miuán a z-ranzformáció áblázaban zereplő egyzerűbb agok z-ranzformációja i a definíció alapján kézül, így ermézeeen ugyanaz az eredmény kapuk, min az elő eeben. A ranzformáció orán kihaználuk az özeadára é a konanal való zorzára vonakozó éeleke. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

187 7. Minavéele rendzerek 87 Ha a kapo kifejezé á akarjuk írni az időarománybeli dizkré bemene-kimene modellre, akkor ez a kövekező módon ehejük meg: () () (),98,357 5, (),357() 5 () (),98(). Az elolái éel alapján ( ),357( ) 5 ( ) (),98(). Így megkapuk a dizkré bemene-kimene modell, előrefelé ve differenciaegyenle formájában. A vizafelé ve differenciaegyenle a köveező módon állíhaó elő: (),357() 5 () (),98() /, (),357 () 5 () (),98 (), ( ),357( ) 5 ( ) ( ),98( ). c, dizkreizálá előrefelé ve differenciákon alapuló közelíé alapján Alkalmazzuk az előrefelé ve differenciák közelíő képlee az áírához: () 54 (), d, dizkreizálá vizafelé ve differenciákon alapuló közelíé alapján A vizafelé ve differenciák közelíő képleének alkalmazáával a kövekező alako kapjuk: () 54 (), Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

188 88 Irányíáechnika e, dizkreizálá Tuin módzerrel () A Tuin módzeren alapuló közelíé eredményekén a kövekező alako kapjuk: 54 (), Min láhaó a különböző közelíéek egyzerűen zámolhaóak volak, de má é má eredményre vezeek. Vizgáljuk meg, hogy a különböző alakok hogyan vielkednek egyégimpulzu bemenere, azaz a végérék éel egíégével nézzük meg a lyfüggvények alakuláá! Folyono alak: lim () lim () () () () lim () () lim 54 A haárérék meghaározáa elő ellenőrizük a póluok alapján a ag abiliáá! Definíció alapján áír alak: lim ( ) lim () () () lim () lim ()(),98, A haárérék kizámíáa elő ermézeeen i i ellenőrizni kell a póluoka, melyek rendre,,,3, miuán ezek abzol érékben -nél kiebbek, így a haárérék zámíá elvégezheő é az eredmény ebben az eeben i nulla. Előrefelé ve differenciák alapján áír alak: lim ( ) lim () lim ()() Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

189 7. Minavéele rendzerek 89 lim A haárérék kizámíáa elő ermézeeen i i ellenőrizni kell a póluoka, melyek rendre,, 7, miuán z3 abzol érékben -nél nagyobb, így a haárérék zámíá nem végezheő el, mer a zéru eredmény ellenére a lyfüggvény végelenbe ar. Vizafelé ve differenciák alapján áír alak: lim ( ) lim lim () lim 7. ()() A haárérék kizámíáa elő ermézeeen i i ellenőrizni kell a póluoka, melyek rendre, 3, 9, miuán ezek abzol érékben -nél kiebbek, így a haárérék zámíá elvégezheő é az eredmény ebben az eeben i nulla. Tuin módzerrel áír alak: lim ( ) lim A póluok ellenőrizée lim () lim ,,,6, ()() miuán ezek abzol érékben -nél kiebbek, így a haárérék zámíá elvégezheő é az eredmény ebben az eeben i nulla. 6. Legyen egy ag ávieli függvénye a kövekező: G () a) Haározza meg az impulzu ávieli függvény az előrefelé ve differenciákon alapuló közelíéel, ha T! b) Sabil-e a dizkreizál ag? Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

190 9 Irányíáechnika Megoldá: a) Az impulzu-ávieli függvény meghaározáa: () előrefelé ve differenciákon alapuló közelíénél:, behelyeeíve ez a folyono időarományhoz arozó ávieli függvénybe: b) Sabiliávizgála Jury-ez egíégével: ( )6 4( ) 3( ) 6( ) , 4 ( 5) 9 4 Miuán az elő korrigál együhaó negaív, ezér nem kell a eze ovább végezni, é az előrefelé ve dizkreizáláal áír ag inabil lez. Példák eredő ávieli függvényre 3. Adja meg az alábbi rendzerek eredő impulzu ávieli függvényé! Álaláno megjegyzé: Az eredő impulzu-ávieli függvények meghaározáánál vegyük figyelembe, hogy hol van é hol ninc a agok közö minavéelező! a) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

191 7. Minavéele rendzerek 9 Megoldá: Vegyük ézre, hogy az ábrán párhuzamoan, majd orba kapcol agok vannak. () () () () { ()} b) ({ () ()} { () ()}) { ()} () () (). Megoldá: Ebben a példában i oro é párhuzamo kapcolá agok zerepelnek, így () ({ () ()} { ()}) { ()} () () (). c) Megoldá: Ebben az eeben avizacaol kör eredőjé kell felírni: () { ()} { () ()} () (). d) Megoldá: Vizacaol kör eredő impulzu-ávieli függvénye, figyelembe véve az előre menő ágbeli agoka é a közük lévő minavéelezőke: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

192 9 Irányíáechnika () { ()} { () ()} { ()} { () ()} { ()} () () () () (). 4. Haározza meg a kövekező agcopor eredő impulzu-ávieli függvényé! h (), h (),. Megoldá: A agok ávieli függvényei: () () Az elmélei rézben árgyal levezeének megfelelően, amennyiben minden ag elő é uán van minavéelező egy agcoporban, akkor az eredő ávielei függvény a kövekező alakban kapjuk meg: () () (), ehá az egye agok impulzu-ávieli függvényének zorzakén állíjuk elő az eredő. Így a ag impulzu-ávieli függvényei a z-ranzformáció ábláza alapján: () (), () Legyen T, a,693, b,386, ekkor (), ( )( ). (,5)(,5). Vizgáljuk meg a agcopor lyfüggvényének meneé! A vizgálahoz haználjuk ki a folyono időarományból imer, az ávieli függvény é a lyfüggvény közö fennálló özefüggé: Így {h( )} () h( ) {()}. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

193 7. Minavéele rendzerek 93 () (,5)(,5) (,5) (,5), h( ) { ()} (,5) (,5),,. A kimene érékei az elő négy minavéelezénél: (), (),75, (),4375, 3 (3), Haározza meg a kövekező agcopor eredő impulzu-ávieli függvényé! Megoldá: A agok ávieli függvényei: h (), h (),. (), (). Az elmélei rézben árgyal levezeének megfelelően, amennyiben a agok közö ninc minavéelező, cak előük é uánuk, akkor az eredő ávielei függvény a kövekező alakban kapjuk meg: () { () ()} (). Tehá az egye agok ávieli függvénye zorzaának a z-ranzformációjával állíjuk elő az eredő impulzu ávieli függvény. Így a agcopor eredő impulzu ávieli függvénye: (), (). Legyen T, a,693, b,386, ekkor Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

194 94 Irányíáechnika (),44,,. Vizgáljuk meg a agcopor lyfüggvényének meneé! A vizgálahoz haználjuk ki a folyono időarományból imer, az ávieli függvény é a lyfüggvény közö fennálló özefüggé: Így {h( )} () h( ) {()}. h( ) { ()},44 (,5) (,5),44 (,, ). A kimene érékei az elő négy minavéelezénél: (), (),368, (),7, 3 (3), Haározza meg az alábbi vizacaol kör egyégugrá bemenere ado válazá! () (,), () (),,. Megoldá: A zár kör eredő impulzu-ávieli függvénye: () () (). A ag impulzu-ávieli függvényé adjuk meg a ranzformáció ábláza alapján, ehhez alakíuk á az ávieli függvény: áblázaból: () (,) ( ) ( ) Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

195 7. Minavéele rendzerek 95 () ( ) ( )( ), ( ) () ( )( ),64,368,368. Az eredő ávieli függvény: () () () Az egyégugrá bemenere ado válaz:,64,368,368,64,368,368 () (), (), () ()() Rendzer válaza a végelenben: lim ( ) lim lim,64,4,368.,64,4,368. () lim,64,4,368 ()(),64 lim,4,368 ( ),64,4,368 pólu ellenőrzé:,4,368,,5 ±,64,,5 ±,64,5,64 <. Minavéelezéi időponokban felve érékek meghaározáa differenciaegyenle alapján ebből () () (),64,4,368, (),4(),368(),64() /, (),4 (),368 (),64 (), (),4 (),368 (),64 (), ( ),4( ),368( ),64( ). Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

196 96 Irányíáechnika A bemenő jel:, ( ), <. A kimene érékei: (),4(,),368(.),64(,) (,),4(),368(,),64(),64,64 (,),4(,),368(),64(,),4,368,64,395 3 (,3),4(,),368(,),64(,),4,64, Tekinük az alábbi vizacaol kör! (), 5,77 (),886. a) A dizkreizálá a z-ranzformáció ábláza alapján (azaz a definíció zerin) elvégezve, adja meg a zár kör eredő impulzu ávieli függvényé, ha T! b) Hova ar a agcopor lyfüggvénye? Megoldá: a) Az eredő impulzu ávieli függvény meghaározáa: () { ()} { ()}{ ()}, { ()}, 5,77 { ()},886,346,346,,,5, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

197 7. Minavéele rendzerek 97 (),5 (,5) ( )(,5) 4 5,5,5. b) A lyfüggvény haárérékének meghaározáa: lim ( ) lim lim () lim ()() 5,5,5 ( )( ) (5,5,5) 4, póluok ellenőrzée a haárérék kizámíáa elő(!):,,5±,5,5 ±,8,,5 ±,8,5,8 <. Példák arózerv alkalmazáára 8. Tekinük az alábbi minavéeleze agcoporo! 4 () () 5,544(),77(), (). Haározza meg a kimene éréké a k,,, 3 minavéelezéi időponokban, ha a bemene: Megoldá: () < 3 egyébkén, (,5),,5. Az eredő impulzu-ávieli függvény meghaározáa: Az I/O modell alapján a ag ávieli függvénye: (),77 4 5,544,693,386. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

198 98 Irányíáechnika A agcopor eredő impulzu-ávieli függvénye: () { () ()} ( ) (), () (,693 ) (,386),386 ( ),5 (,386) (, ),5 ( )(, ),5(,, ) ( )(,, ),5,5. A differenciaegyenle felíráa: () () (),5,5, (),5(),5(), (),5 (),5 (), ( ),5( ),5( ). A bemene érékei az egye minavéelezéi időponokban: A kimene érékének meghaározáa a k,,, 3 minavéeli ponokban: (),5(,5),5(,5), (,5),5(),5(), (),5(,5),5(,5),5,5,5, 3 (,5),5(),5(),5,5, Tekinük az alábbi minavéeleze agcoporo! Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

199 7. Minavéele rendzerek 99 h (),5, () Haározza meg a kimene éréké a k,,, 3, 4 minavéelezéi ponokban, ha a bemene: () <4 egyébkén, ( ) ( 4),.. Megoldá: Az eredő impulzu-ávieli függvény meghaározáa: h (),5 (),5, () { () ()} ( ) (), () ( ),5 A differenciaegyenle felíráa: () () (), () () () () (),,5 () ( ). () () () () (), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A kimene érékének meghaározáa a k,,, 3, 4 minavéeli ponokban: () ( ) ( 4) ( ) ( 4), () () ( ) ()( ), (4) () ()()() 4, 3 (6) (4) ()(4)() 8 8, 4 (8) (6) (4)(6)(4)6 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

200 Irányíáechnika 3. Haározza meg az alábbi agcopor eredő impulzu-ávieli függvényé é egyégugrá bemenere ado válazá! (), (),. Megoldá: A agcopor eredő impulzu ávieli függvénye: () () () ( ) ( ) ( ) ( ),5 (,5),866,5 (,5),866. A z-ranzformáció áblázaból a kövekező kifejezéeke alkalmazzuk a ranzformáció elvégzééhez:, () co co, () in co. Ennek alapján a agcopor eredő impulzu ávieli függvénye: () ( ), co,866, co,866,,577, in,866, co,866,, (,577in,866 co,866)z, co,866,34,4,787,368. A agcopor egyégugrá bemenere ado válazának meghaározáa: Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

201 7. Minavéele rendzerek () ()(),34,4,787,368,34,4,787,55,368. Az ámenei függvény meneének meghaározáa differenciaegyenle egíégével: (),34,4,787,368 () (), (),787(),368(),34(),4(), (),787 (),368 (),34 (),4 (), ( ),787( ),368( ),34( ),4( ). Az egyenle megoldáánál éelezzük fel, hogy a kezdei feléelek zéruok: y(-) y(-). A kimene érékei az egye minavéelezéi időponokban:, (),787( ),368( ),34( ),4( ),, (),787(),368( ),34(),4( ),34,34,, (),787(),368(),34(),4(),787,34,34,4,849, 3, (3),787(),368(),34(),4() 4 (4),53, 5 (5),74.,787,849,368,34,34,4,4, Beláhaó, hogy a agcopor abil:,787,368,,394 ±,46,,394 ±,46,394,46 <, é az erőíée,34,4,787,368. Példák dizkré rendzerek abiliávizgálaára Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

202 Irányíáechnika 3. Vizgálja meg mindké abiliái definíció zemponjából az alábbi agoka! Azimpoikuan abil ag eeében adja meg az erőíé éréké! () 4 53, () 3,5,5,5, () ()() 3, () 4 4. Megoldá: a) G(z) ag: (), 4 5 3, 5± ±9 4, 4,. Miuán a póluok közö van olyan, ami nem kiebb abzol érékben -nél, de nem i nagyobb, így a ag azimpoikuan nem abil, de BIBO abil. b) G(z) ag: (), 3,5,5,5 3 3,5,5,5,,5±,5,5,,5,5 <.,5 ±,5, Miuán mindké pólu kiebb abzol érékben -nél, ezér a ag azimpoikuan abil é így BIBO abil i. Az erőíé: 3,5,5,5 4. c) G3(z) ag: () ()() Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

203 7. Minavéele rendzerek 3 Miuán a zámlálóbeli polinom fokzáma nagyobb, min a nevezőbelié, ezér a ag nem realizálhaó (nem felel meg az okági zabálynak). d) G4(z) ag: () ,, 4, <, >. Miuán van póluok közö abzol érékben -nél nagyobb, ezér a ag em azimpoikuan, em BIBO érelemben nem abil. 3. Vizgálja meg mindké abiliái definíció zemponjából az alábbi agoka, é amennyiben azimpoikuan abil a ag, adja meg az erőíé i! (), (),5, () ()(,5). Megoldá: a) G(z) ag: (),, ± 4 ± 3, ± Miuán a póluok nem kiebbek abzol érékben -nél, de nem i nagyobbak, így a ag azimpoikuan nem abil, de BIBO abil. b) G(z) ag: (),5 (,5),,,,5 ±,5,,, <. Miuán mindhárom pólu kiebb abzol érékben -nél, ezér a ag azimpoikuan abil é így BIBO abil i. Az erőíé:,5 4. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

204 4 Irányíáechnika c) G3(z) ag: () ()(,5),,,,5, >,, <. Miuán van póluok közö abzol érékben -nél nagyobb, ezér a ag em azimpoikuan, em BIBO érelemben nem abil. 33. Vizgálja meg az alábbi ag abiliáá: 5 () Megoldá: Sabiliávizgála Jury-ez egíégével: , 3 5, 5 3, Miuán a máodik korrigál együhaó negaív, ezér nem kell a eze ovább végezni, é a ag inabil lez. 34. Vizgálja meg az alábbi ag abiliáá: (),9,,5! Megoldá: A abiliávizgálao w-ez egíégével végezzük el. A ez lényege, hogy egy egyzerű bilineári ranzformációval áírjuk az impulzu-ávieli függvény, majd a Hurwiz-kriérium alapján ellenőrizzük a abiliá. A bilineári ranzformáció:, Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

205 7. Minavéele rendzerek 5 (),9,,5,,9,,5,9,,5 Hurwiz-kriérium: a, feléel: valamennyi együhaó poziív, b, feléel: deerminán ellenőrzée:,95 >, 4,35,95,65,5.,95,5 4,35,65,,95,5,95,5,95,65 4,35,5,7 >, 4,35,65,95,5 4,35,65,95,65,5 4,35,5,85 >.,95,5 Miuán mindhárom aldeerminán poziív, így a ag abil. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

206 6 Irányíáechnika 8. Szabályozók paraméer beállíáa Az irányíái rendzerek legjellegzeeebb információfeldolgozái feladaá a zabályozók végzik. A zabályozó a zabályozái körnek az a réze, amely özehaonlíja a zabályozo jellemzőből zármazó ellenőrző jele az alapjellel, é a megállapío zabályozái eléréől (hibáól) függően befolyáolja a végrehajó, illeve a beavakozó jele, é a beavakozó zerven kerezül a módoío jellemző. A zabályozó elhelyezéé é feladaá a 8. -e ábra illuzrálja. Alapjel Hibajel Végrehajó jel Módoío jellemző Szabályozo jellemző Alapjelképző zerv Különbégképző Szabályozó Végrehajó (jelformáló beavakozó r a zerv e erőíő) u u m zerv Ellenőrző jel y e Érzékelő, mérőjel áalakíó é ávadó Szabályozo zakaz y() 8. ábra. A zabályozái kör A zabályozó ehá, a kövekező alapveő funkcióka lája el: fogadja a ávadó álal zolgálao é a zabályozo jellemzőől függő ellenőrző jele, lérehozza az alapjel é az ellenőrző jel közöi különbége, a hibajellel olyan jelformálá végez, hogy a módoío jellemző válozáá kiváló, é a zabályozó kimeneén megjelenő végrehajó jel olyan módoíá eredményezzen, hogy a zabályozái rendzer az előír minőégi köveelményeknek megfeleljen. Minden zabályozó legalább három funkcionáli zerkezei rézből áll: különbégképző-, jelformáló é erőíő zervből, ovábbá eeenkén kiegézülhe az alapjelképző zervvel. A különbégképző zerv, cak olyan jellemzőke ud egymáal egybeveni, cak olyan jellemzők közö ud különbége képezni, amelyek fizikai zemponból azonoak, ehá például nyomáok, fezülégek, erők, azonoan kódol digiáli információk b., különbégé képezhei. A zabályozó jelformáláá leíró u(e) függvénykapcola öbbnyire lineári, álaláno eeben nemlineári differenciálegyenleel jellemezheő. A lineárinak ekinheő zabályozo zakazok zabályozáára öbbnyire vizonylag egyzerű felépíéű, folyono vagy minavéeleze, lineári vagy álláo jelávielű zabályozóka i alkalmazhaunk. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

207 8. Szabályozók paraméer beállíáa 7 8. PID zabályozók A folyono zabályozóka a zabályozáechnikai gyakorlaban rendzerin az időkéée a PID zabályozái algorimu egye válozaainak megzerkezéével zokák megvalóíani. A PID zabályozái algorimu differenciálegyenleéből:... A 3 d u() A d du() d A u() B ò e( )d Be() B de() d kiolvahaó, hogy a rendelkező jel a hibajellel, annak inegráljával, differenciálhányadoával arányo. A jelformálá öbb energiaároló i kélelehei. Egyzerűbb eeekben az energiaárolók elhanyagolhaóak, így a PID zabályozái algorimu leegyzerűíe differenciálegyenlee: de() A u() Bò e( )d B. d Rendezé uán felírhaó: u () B é () ò B B e e( )d A ë B B de() ù û d é a: B A KP, a zabályozó arányoági ávieli ényezője (erőíée), B A K P AI, az inegráló ag inegrálái ávieli ényezője (T I - inegrálái idő), TI B A, a differenciáló ag differenciálái ávieli ényezője (T D - AD KPTD differenciálái idő) jelöléeke bevezeve, az energiaárolómene PID zabályozó ávieli függvénye, a kövekező módon írhaó fel: U() é ù W () K P TD E() ë TI û r. Az ilyen ávieli függvénnyel rendelkező zabályozó K, T I é T D megfelelően zéle haárok közö örénő beállíái leheőége eeén öbbnyire a zigor minőégi köveelményeke kielégíő rendzerekhez i alkalmazhaó. Egye agok kihagyáával a PID zabályozókból lezármazahaók az egyzerűbb P, I, PI é PD zabályozók. P Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

208 8 Irányíáechnika A zabályozók alapípuai a kövekezők: A P zabályozó ávieli függvénye: W r () K p. A legegyzerűbb zabályozó a P zabályozó. A zabályozó K p erőíée állíhaó. A P zabályozó a hibával arányo irányíó haá a hiba fellépéének pillanaában megjeleníi. Arányo zabályozo zakazok eeében a zabályozó cak állandóul állapobeli hibával maradó zabályozái eléréel ud működni. Az erőíé növeléével cökken a maradandó zabályozái eléré, növekzik a jel beállái ebeége, ezér llendülé vagy lengé állha elő. æ ö A PI zabályozó ávieli függvénye: W ç r () K p. è Ti ø A PI zabályozó alkalmazáakor a K p erőíé é a T i inegrálái idő állíhaó. A PI zabályozó az arányo zabályozo zakazok eeében i állandóul hiba nélkül működik. Az erőíé növelée növeli a llendülé, a lzo zabályozó paraméer-beállíáok (hogy arányoági, illeve inegrálái ávieli ényezők) inabil működé eredményezhenek. æ ö A PID zabályozó ávieli függvénye: W ç T r () K p d. è Ti ø A PID zabályozó eeében a K p erőíé a T i inegrálái idő é a T d differenciálái idő állíhaó. A kimenőjel a hibajel differenciálhányadoával i arányo, így gyoran növekvő hibákra az arányo éréke meghaladó lvezérléel reagál, de ez már a hiba válozái ebeégének cökkenéekor ill. megforduláakor nagyréz vizavezi anélkül, hogy magának a hibának a cökkenéé megvárná. A zabályozók beállíáára öbb zerző e közzé álaláno zabály. Néhány zabály beállíái vizonyai é alkalmazái leheőégei a kövekezők: A rendzer ávieli függvénye Kob W() T ob e - Kob W() ( T )( T ) ob Kob W() xt T A zabályozó beállíái módzer Tapazalai módzer Oppel módzer Chien-Hrone-Rewick módzer Keler módzer Samal módzer Ziegler-Nichol módzer Keler módzer Ziegler-Nichol módzer Tapazalai módzer Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

209 8. Szabályozók paraméer beállíáa 9 Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d P T ob ob PI 9. T ob ob >3.3 ob PD. T ob ob <.5 ob PID. T ob ob > ob <.5 ob Oppel módzere Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d P T ob ob PI 8. T ob ob 3 ob PD. T ob ob.5 ob PID. T ob ob ob.4 ob Chien-Hrone-Rewick módzer Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

210 Irányíáechnika Érékaró zabályozá Szabályozó ípua P PI PID A zabályozó paraméerei K p T i T d T ob ob T ob ob T ob 4 ob ob T ob ob.3 ob T. 95 ob.4 ob ob.4 ob. T ob ob ob.4 ob Az ámene alakja kzó (aperiodiku) ámene % -o llendülé kzó (aperiodiku) ámene %-o llendülé kzó (aperiodiku) ámene %-o llendülé Köveő zabályozá Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d Az ámene alakja P PI T ob ob T ob ob T ob ob T ob ob kzó (aperiodiku) ámene %-o llendülé.t ob kzó (aperiodiku) ámene T ob %-o llendülé Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

211 8. Szabályozók paraméer beállíáa Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d Az ámene alakja PID 6. T ob ob T ob ob T ob.5 ob kzó (aperiodiku) ámene.95.35t ob.47 ob %-o llendülé Keler módzere Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d æ T ö ob ç èob ø P» T ob ob PI Tob» T ob ob ob é» æ è ç ö ù ob T ob 3 ë 6 Tob ø û PID 3 Tob» T ob ob» T ob ob 3» æ ob 4 Tob ç è é ë ö ù ob Tob ø û Ziegler-Nichol módzere Szabályozó ípua A zabályozó paraméerei K p T i T d P.5 K kri PI.45 K kri.85 T kri PID.6 K kri.5 T kri.5 T kri Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

212 Irányíáechnika. Felada -.86 e Egy zakaz ávieli függvénye a kövekező W(). CHR módzerrel 3. haározzuk meg egy alkalmazhaó PID zabályozó paraméerei. A zabályozá érékaró é %-o llendülé engedélyeze. A megoldá menee: K T. τ ob K R, ob ob T I τ ob.86.63, T D.4 τ ob , W PID æ ö ( p) K ç T p R D, è TI p ø æ ö W PID ( p).47ç. 34 p. è.63p ø. Felada Ziegler-Nichol módzer alkalmazáával haározzuk meg a PID zabályozó paraméerei, amennyiben a zakaz ávieli függvénye: 3 W() ( )( 3). A megoldá menee: A rendzer P zabályozó beikaáával a abiliá haárára kell hozni. A zabályozó kriiku erőíéé é a zabályozo jellemző perióduá feljegyezzük. 3K () P 3 5 6, W jw, 3K 3K P - 5w - jw(6 - w ) W ( jw) 3 - jw - 5w 6 jw - 5w jw(6 - w ) - 5w - jw(6 - w ) W P, -5K P w - j3k Pw(6 -w ) jw ) - j. 4 5w w (6 -w ) ( Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

213 8. Szabályozók paraméer beállíáa 3 A abiliá haáron a rendzer akkor van ha a frekvencia ávieli függvény felvezi a - j éréke. - 5K P w 5w w ( 6 - w ) 4 -, 3K P w( 6 -w ) 5w w ( 6 -w ) 4, 5w w ( 6 - w ) K Pkri 5w K Pkri w 3 3 6, w 6, T kri, w ill. 6 - w, p p p w, T kri w 6 A áblázai érékek alapján: K P.6, K Rkri 6, T i.8, T kri.5, T d., T kri.53, WR( p) 6 (. 53 p).. 5 p 8.. A zabályozó paraméerei válozaó irányíá Egye nemlineári rendzerek irányíáa folyamán a rendzer egy megfigyelheő jele alapján eldönheők a várhaó dinamikai válozáok meneei. Ha ezek a válozáok nem felelnek meg az irányíái felada álal meghaározo köveelményeknek akkor a zabályozó paraméerei illezeni kell a fellépő állapohoz. Az elve igen ikereen lehe alkalmazni a digiáli zabályozái rendzerekben. Ha léezik egy olyan külőleg megfigyelheő jel, amely alapján eldönheő a zabályozo zakaz paraméerválozáa, vagy a aiku nemlineariá munkaponja ha ezek a paraméerválozáok vagy nemlineariáok imerek akkor a felimer helyzeben egy digiáli zabályozái rendzerben relaív könnyen illezheő a zabályozó. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

214 4 Irányíáechnika 8.. ábra. A zabályozó paraméerei válozaó irányíá haávázlaa. A külő jel alapján az illezéi algorimu eldöni, hogy a zabályozó paraméereinek milyen éréke kell felvenniük, hogy a zabályozá elege egyen a zabályozá minőégi köveelményeinek. Az illezéi algorimu ebben az eeben nem lehe álalánoíani. A kövekezőkben egy példa kerül bemuaára az illezéi algorimu meghaározáára. Válozó erőíéű zabályozó alkalmazáa a zelep nemlineariáának kompenzáláára 8.3. ábra. Nemlineári zabályozái kör 4 A nemlineári v u karakerizikáj zelep működée mia a rendzer inabil lehe. A rendzerbe beikaunk egy inverz nemlineariá, amelyre érvénye lez a kövekező özefüggé: ( u) u - f (f. 4 A zelep eeében a v u függvény válozáai a 8.4. ábrán láhaók. A nemlineariá megfigyelée alapján megállapíhaó, hogy a nemlineariá zakazonkén linearizálhaó. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

215 8. Szabályozók paraméer beállíáa ábra. Az alap é inverz nemlineári jelleggörbék. A zakazválá legyen akkor, amikor az u bemene eléri a válá meghaározó C éréke. A zakazoan linearizál rendzer inverzének egyenlee a 8.4. ábrán láhaó nemlineariá eeében a kövekező: ì.433 u u 3 - v f (u) í î.538 u.39 3 u 6, 8.5.ábra. A zakazoan linearizál inverz jelleggörbe. A zelep nemlineariáá kompenzáló ag mo nem a 4 u képle alapján lez meghaározva, hanem a v zerin. Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE

216 6 Irányíáechnika Az így erveze zabályozóval kiegézíe rendzer haávázlaa é válazfüggvényei különböző érékű egyégugrányi bemeneek eeére a 8.6 ábrán láhaók. 8.6.ábra. A kompenzáorral kiegézíe rendzer 8.7.ábra. A kompenzáorral kiegézíe rendzer Simulink ábrája A malab függvény megvalóíó m file: funcion yvenil_m(x) if x>3 y.538*x.39; ele y.433*x; end 8.8.ábra. A nemlineariá kompenzáló függvény beillezée Gerzon Mikló, PE; Plel Szilvezer, SzTE