19. MODUL KÖR ÉS RÉSZEI
|
|
- Mátyás Bognár
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 19. MODUL KÖR ÉS RÉSZEI
2 196 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kö szeepe mindennapi életünkben (olvasmány) A kö az egyik leggyakoibb és leghamonikusabbnak tatott foma. Kö alakú pénzzel fizetünk, kö alakú gy t, kaköt t, láncot viselünk, látjuk a viágok szimainak elendez désében, kanyaodás közben sokszo köíven mozgunk, uháinkon is sok kö alakú nyílás van. Temészetes, hogy a köel kapcsolatos számítások az óko óta izgatták az embeeket. A Holdat, a Napot is koong alakúnak látták az égen. Tibetben mandalákat alkottak, hogy például a ajtuk elhelyezked ábákkal tanítsák a buddhizmus tanát, vagy gyógyítsanak, meditáljanak vele. A mandala jelentése: kö, az Univezumot és annak enegiáját szimbolizálja. A kö megtalálható az összes vallás szimbólumai között. Leonado da Vinci jól ismet gafikája (A vituviuszi féfi) is utal az embei test felépítésének és a könek a kapcsolatáa. Azt is megtudhatjuk bel le, hogy az embe köülbelül olyan magas, mint a kitejesztett kaján lev ujjvégek távolsága. A töténeté l (olvasmány) A kö keületének és sugaának aányszámával sokan foglalkoztak, töténete több eze éve nyúlik vissza. A jelet 1739 óta használjuk, Leonhad Eule ( ) javaslatáa. Étékét a különböz kookban és kultúákban ily módon becsülték: a) suméek, i.e. 4000: 8 4 3,1605; 9 b) egyiptomiak, i. e. 000: ,1605; c) Akhimédész K. e. 50-ben a kö keületét a köbe ít, illetve köé ít sokszögek keületével közelítette: kiszámította a két 96 oldalú szabályos sokszög keületét, és eedményül azt kapta, hogy , azaz 3,1408< < 3,149; 377 d) Ptolemaiosz i. sz. 150-ben: azaz köülbelül 3,1417; 10 e) Ájabhata hindu matematikus, VI. század: a 364 oldalú szabályos sokszöggel számolva 3,1416-ot kapott;
3 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 197 f) Adian Metius, XVI. század: oldalú szabályos sokszöggel számolva 9 tizedes jegyig pontos számot kapott;. g) Ludolf van Ceulen, XVI. század, Hollandia: az els 35 jegyét hatáozta meg a - nek, tiszteletée hívjuk más néven Ludolf-féle számnak. Síemlékée végakaatának megfelel en felvésték. Közelítették még 10 3, 163 étékével, vagy 3 3, 1463 összeggel is az id k folyamán. Napjaink számítógépes technikai hátteével 16 millió jegyig számították ki az étékét. Édekes megjegyezni, hogy a -nek nincs pontos étéke: iacionális szám, s t nem jön ki semmilyen algebai egyenlet gyökeként (tanszcendens szám). Számjegyeinek memoizálásáa úgynevezett veseket ítak (a szavak bet inek száma adta a számjegyeket). (A étékét jó pontossággal közelíthetjük hatványsookkal, vagy statisztikai eszközökkel is.) Hatszögek beleíásával és köé íásával mi is kiszámíthatjuk közelít étékét: A beleít hatszög oldalai:, keülete: 6. A köé ít hatszög egy központi szabályos háomszögének magassága, oldaláa x, így x A köé ít hatszög keülete 6 x 6, Így a keülete 6 K 6, 98 adódik. Mivel K, étékée kapott közelítés: 3 3,4641.
4 198 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A kö teülete, keülete A jól ismet képletek szeint: A kö keülete: K A kö teülete: T Mintapélda 1 Kö alakú asztallapot akaunk készíteni bútolapból úgy, hogy a szélée élfóliát agasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kö alakot otthon kell elkészíteni dekopíf ésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásáolni, ha azt csak egész méteben áulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútolap és az élfólia áa együtt), ha az asztal átmé je,7 méte, egy m bútolap áa 700 Ft és egy méte élfólia 40 fointba keül? c) A levágatott bútolap hány százaléka szemét? Megoldás: Egy,7,7 métees négyzetet kell levágatni, ami,7 7, 9 (m ). A bútolap költsége 7, Ft. Az élfólia hossza a kö keületének egésze felkeekített étékéb l számítható: K d 8,48 (m), felkeekítve 9m, aminek a költsége Ft. Az összes költség tehát Ft. A hulladék aányát úgy kapjuk, hogy a fölösleg teületét elosztjuk a négyzet teületével. A fölösleg a négyzet és a kö teületének különbsége. d A kö teülete 5, 7 1,5 % a hulladék. (m,7 5,7 ), így a hulladék aánya 0, 15,7, vagyis
5 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 199 Mintapélda Számítsuk ki, mennyi a fekete, a pios és a bodó köök teületeinek összege! A kisebb köök cm átmé j ek. Megoldás: A sugaak: 1 cm és cm, a négyzetek oldalhosszai cm és 4 cm. Fekete: 3 kis kö, és egy négyzet köb l kimaadó észe: T ,8 (cm ). 1 Pios: a kis pios köök és a mellettük található pios négyzetdaabok egymásba illenek, így a pios esetében két négyzet és egy nagy kö összegét kell számítani: T 0,56 (cm ). Bodó: egy kis négyzet és két nagy négyzet köön kívüli észe: T 4 10,88 (cm ). 3 Feladatok 1. Mekkoa annak a könek a sugaa, amelynek keülete a) 68 cm; b) 100 cm; c) 893 m; d) 75 dm?. Mekkoa a kö keülete, ha teülete a) 00 cm ; b),85 dm ; c) 300 m ; d) 0,56 m? 3. Mekkoa oldalú négyzet íható abba a köbe, amelynek teülete a) 5 m ; b) 130 cm ; c) 345 m ; d) 0,43 m? 4. Számítsd ki a félköökkel lezát téglalap alakú idom hiányzó adatait! T jelenti az egész alak teületét, K az egész keületét. K T d s a) 5 cm 15 cm b) 300 cm 10 cm c) 170 m 5 m d) 400 m 100 m
6 00 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Egy motoos 90 m sugaú, félkö alakú úton halad. Mennyi id alatt teszi meg a félköt, ha sebessége a) 8 km/h; b) 0 km/h; c) 80 km/h; d) 10 km/h? 6. Számítsd ki a színezett észek teületét és keületét (a = 30 mm)! a) b) c) d) 7. Számítsd ki a színezett észek teületét és keületét (a =,4 cm)! a) b) c) d) e)
7 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Hány százaléka a színezett ész teülete az egész (félkö, illetve háomszög) teületének? a) b) c) d) e). 9. a) Bizonyítsd be, hogy a pios félköök teületeinek összege megegyezik a kék félkö teületével! b) Hippokatész holdacskái: bizonyítsd be, hogy a pios holdacskák teületeinek összege megegyezik a deékszög háomszög teületével! c) Bizonyítsd be, hogy a pios holdacskák teületeinek összege megegyezik a négyzet teületével!
8 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Bizonyítsd be, hogy a naancs és a kék ész teülete egyenl! Azt is igazold, hogy a zöld ész teülete egyenl a négyzet teületének negyedével! 10. Számítsd ki közelít étékét úgy, hogy a kö köé illetve a köbe íható négyzetet használod! 11. Az építészetben gyakoiak az alábbi ablakfomák, díszít motívumok. Számítsd ki a keületüket és a teületüket a feltüntetett adatok alapján! A keületbe minden hatáoló vonal beleszámít. a) b) c) 1. Számítsd ki, hogy a szabályos háomszög beleít köén kívül es észének teülete hány százaléka a szabályos háomszög teületének! 13. Az ABCD és az EFGH négyzet között a kék vagy a pios észek teületösszege nagyobb? Ha segít, AB szakasz hossza 10 cm.
9 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Egy pizzéia kétféle keek pizzát szolgál fel: mindkett ugyanolyan vastag, de más méet. A kisebbik 30 cm átmé j és 30 talléba keül. A nagyobbik 40 cm átmé j és 40 talléba keül. Melyik pizza éi meg jobban? Válaszodat indokold! 15. A diákoknak különböz átmé j, kö alakú ezüstéméket kell tevezniük, melyek együtt soozatot alkotnak: valamennyi éme átmé je 1545 mm; mindegyik éménél 30%-kal nagyobb átmé j a soozatban utána következ ; a gép csak egész számú milliméte átmé j éméket tud veni. Tevezz émesoozatot, amely megfelel a fent leít követelményeknek! Egy 15 mm-es átmé j émével kezdd, soozatod annyi émét tatalmazzon, amennyi csak lehetséges! 16. Egyetlen egyenes vonallal felezd meg a színezett ész teületét! 17. Ahhoz, hogy mobiltelefonjainkat használni tudjuk, szükség van aa, hogy a telefonjainkól kimen és az azon fogadott jeleket antennák, úgynevezett bázisállomások továbbítsák. Minden ilyen telepített bázisállomás egy meghatáozott sugaú köben képes hívásokat fogadni és továbbítani. Azt a teületet, amely a bázisállomások hatósugaába esik, lefedett teületnek nevezzük, csak ilyen teületen tudunk mobilhívásokat folytatni. Az alábbi ábán egy példa látható a lefedettsége.
10 04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Egy négyzet alakú, km-es oldalú teületnek legfeljebb hányad észét fedheti le 1 daab 1 km hatósugaú bázisállomás? Úgy dolgozz, hogy számításod nyomon követhet legyen! b) A következ ábák ugyanannak a teületnek (négyzet) kétféle lefedését mutatják. Az A vagy a B esetben nagyobb a lefedettség? Válaszodat indokold! 18. A játék kezdetén a biliádgolyókat egymás mellett, egy szabályos háomszög alakú keetbe kell elhelyezni. Lemétük a keet magasságát. Mekkoa egy biliádgolyó sugaa?
11 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 05 II. Szögpec, szögmásodpec A szögeket eddig fokban métük. A észfokokat vagy szögpecben és szögmásodpecben fejeztük ki, vagy tized fokban. Az újabb számológépek közvetlenül elvégzik az átváltást a tizedfok és a szögpec között: egyes gépeken DMS (degee, minute, second angol szavakból), más gépeken feliatú billenty vel, kezelését meg kell tanulni. Gyakoolni kell az átváltást akko is, ha számológépet nem használhatunk. Mintapélda 3 a) Hatáozd meg, mennyi a 0,5 szögpecben! 1 = 60 / 0,5 0,5 = 0,5 60 = 15 A szögpecet úgy kapjuk, hogy a tizedfokot megszoozzuk 60-nal. b) Váltsd át a 5 -et fokba! 1 = 60 / : 60 1 = 1 60 o 5 = o 5 = 0,4 60 A tizedfokot úgy kapjuk, hogy a szögpecet elosztjuk 60-nal. Feladatok 19. Végezd el a következ átváltásokat: a) 30 b) 15 c) 1 45 d) 1 1 e) 6 f) 7 33 g) 61 5 h) 55 4 i) j) Végezd el a következ átváltásokat: a) 4,4 b) 85,5 c) 18,9 d) 6,8 e) 3,75 f) 4,04 g) 1,87 h) 68,13 i) 7,68 j) 44,1
12 06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Egyenes aányosságok a köben Talán má felt nt, hogy a negyed kö és a félkö között felíható néhány kapcsolat: a félkö középponti szöge (180 ) kétszeese a negyed kö középponti szögének (90 ); a félkö ívhossza kétszeese a negyed kö ívhosszának; a félkö teülete kétszeese a negyed kö teületének. Ezek az összefüggések nemcsak a deékszög és az egyenesszög kapcsolatában találhatók meg. Ha a köt egy foknyi szeleteke bontjuk, kideül, miét található egyenes aányosság a középponti szögek, az ívek és a köcikk teületeinek aányában: az 1 -os köcikket többszö egymás mellé méve a középponti szög is, a köív is és a teület is megtöbbszööz dik. A következ ába egy 43 mm sugaú, 6 középponti szöghöz tatozó köcikk teületének és ívhosszának kiszámítását mutatja. T 1 az 1 -hoz tatozó köcikk teületét jelöli. A 6 középponti szög köcikket felbonthatjuk 6 daab, 1 -os középponti szög köcikke, és ezek teületeit összegezzük. Az ívhossz kiszámítása hasonlóan töténik. A számított étékek: T 419, 5 mm, i 19, 5mm. 6 6 A köív hossza is, a köcikk teülete is egyenesen aányos a középponti szöggel.
13 modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Az -hoz tatozó köív hosszát úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köív hosszát megszoozzuk -val. Az -hoz tatozó köcikk teületét úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köcikk teületét megszoozzuk -val. A köcikk teületét kiszámíthatjuk a T i összefüggéssel is. Mintapélda4 Geom bolygó lakosai a kö iánti tiszteletük jeléül 360 napos évet használnak. Naptáuk is olyan kö, amelyet fokonként osztottak be 360 egyenl köcikke. F váosuk f teén óiásnaptá található,5 métees sugáal, amelyen minden köcikk különböz szín. Számítsuk ki, hogy mennyi festék kell egy köcikke, és mekkoa egy köcikket szegélyez köív hossza! A festék kiadóssága 8 l/m. Megoldás: A köcikkek középponti szöge 1. Az ehhez tatozó köcikk teülete a kö teületének 360-ad észe, vagyis. A köcikk köívének hossza a kö keületének 360-ad észe, 360 ami 360. A példában =,5 m, ezét a köcikk teülete 0,0545 m, a köív hosz180 sza 0,044 méte, illetve 4,4 cm. A szükséges festék 1 m felülethez hez ennek 0,0545-szööse: 0,0068 lite = 6,8 cm3. 1 lite, 0,055 m8
14 08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 1. Mekkoa köcikk és köív tatozik ahhoz a 4 cm-es sugaú köcikkhez, melynek középponti szöge a teljesszög 35 %-a?. Töltsd ki a következ táblázat hiányzó celláit! 5 cm 15 mm 10 cm 35 dm i 600 mm 10 cm 108 dm 11,775mm T 100 cm 0 cm 35 cm 9,4 mm 3. Köcikk alakú asztallapot készítünk úgy, hogy egy 90 -os köcikk hiányzik a teljes köb l. Számítsd ki az anyagköltséget, ha az asztal sugaa 1,6 méte, a keületée agasztható bevonó szalag métee 400 Ft, és az asztallap anyagából 1m -nyi 300 Ft-ba keül! 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelel elációjeleket (T: a köcikk teülete, i a köcikk teljes keülete)! a) A: 30 cm sugaú köben 65 -os köcikk B: 0 cm sugaú köben 150 -os köcikk T A i A?? T B i B b) A: 150 dm sugaú köben 00 -os köcikk B: 00 dm sugaú köben 135 -os köcikk 5. Egy 5 cm sugaú köben a köcikk teülete a kö teületének 45%-a. Számítsd ki a középponti szöget, a köcikk teületét, és a hatáoló ív hosszát!
15 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 09 IV. Ívméték, adián Mivel a középponti szög egyenesen aányos a köív hosszával, a szögeket köívvel is jellemezhetjük. Ezt a météket ívmétéknek, adiánnak nevezzük. A m szaki életben sokszo nem fokokban számolnak, hanem adiánban. Ha a szöget fokokban méjük, a teljes szög 360. Ívmétékkel méve a teljes szög adián (a adiánt nem szoktuk kiíni). Vagyis 180 -nak megfelel adián: A 180-nak engeteg osztója van, és ez segítséget nyújt az átszámításhoz. Például 30 éppen a hatoda 180 -nak, így -nek is: 5 6 fomában szoktuk felíni. Mivel iacionális, a legpontosabb szögétéket akko adhatjuk meg, ha meghagyjuk a szögben a szimbólumot. A 180 tatozó 57, (ad) ; 1 (ad) ; 1 (ad) 57, a 30 -nak ötszööse, ezét 150, vagy 6 6 pontosabb, mint az 1 adiánhoz Mit gondolsz, melyik a égebbi métékegység, a adián vagy a fok? A szögek ívhosszal tötén méése Roge Cotes ( , angol fizikus és csillagász) ötlete volt 1714-ben, de a adián kifejezés James Thomson (18189, í ménök és fizikus) nevéhez f z dik: használta el szö nyomtatásban, 1873-ban. A kö 360 egysége osztása több mint háomeze éves találmány, a babiloniaknál jelent meg, még az ékíásos id kben.
16 10 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Felmeülhet, hogy miét hívják ívmétéknek ezt a szög-métékegységet. Azét, met ha adiánban adjuk meg a szögeket, a köív hosszát az i szozattal számíthatjuk ki. Fok Köív hossza Köcikk teülete Egész kö 360 Félkö 180 Negyed kö 90 4 Egy fok fokos szög i 180 T 360 adián i T Feladatok 6. Alakítsd át a fokokat adiánná! a) 180 ; b) 90 ; c) 60 ; d) 45 ; e) 10 ; f) 40 ; g) 135 ; h) 70 ; i) 40 ; j) 70 ; k) 35 ; l) 7 ; m) 0 ; n) 1000 ; o) 300 ; p) Számítsd át a adiánokat fokokká! 5 7 a) 3 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ad; j) 3,56 ad; k) 10 ad; l) 8,1 ad.
17 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 11 V. A kö észeinek teülete Az el z észben volt má szó a köcikk l, de a kö más észeivel is megismekedünk. A következ ábák ezek gyakolati felhasználásából mutatnak példákat. Gemigny-des-Pes: kápolna A hétköznapi életben sok helyen alkalmazzák a kö észeit: a gumi- és betongy k, csövek keesztmetszete kögy alakú; a kögy cikket az építészetben: a megfelel en faagott kövekb l összeállított boltozat aká köt anyag nélkül is megtat falakat (például koai gótikus épületekben), hidakat, födémeket.
18 1 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Elnevezések A kö észeivel kapcsolatban az alábbi elnevezéseket használjuk: középponti szög ( ) köcikk köszelet kögy kögy cikk Teületüket általában teületek kivonásával számítjuk ki: i T köcikk T köszelet = T köcikk T háomszög R 1, T 1 T kögy = R R1 R, T T = T T 1
19 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 13 Mintapélda 5 Rajzolj egy 8 cm sugaú köt! Becsüld meg a négyzetácsok segítségével, hogy mekkoa teület köcikk tatozik 1 adián középponti szöghöz? Méd le a köcikket hatáoló köív hosszát is (például cénával)! Végezz számításokat is, utána vizsgáld meg, hány százalékos volt az eltéés a becsült és a mét adatok között! Megoldás: 1 adiánhoz tatozó köcikk teülete a teljes kö teületének -ed észe: 3 3 vagyis 18 0,5 cm. Egy négyzetácsban egy kis négyzet teülete 0,5 = 0,5 cm, kis négyzet az eedmény. Ha például 98 kis négyzetet számoltál meg, az eltéés 30 kis négyzet, ami ,4% eltéés (hiba). A köív hossza a teljes kö keületének -ed észe: 8cm. Ha 7,6 cm-t métél, a hiba az eltéés/jó eedmény, százalékban kifejezve képlet szeint 8 7, %. Feladatok 8. Egy m anyagcs küls átmé je 3 coll, az anyagvastagság 1,5 mm (1 coll =,45 cm.). A cs keesztmetszetén a bels kö teületének hány százaléka a m anyagot tatalmazó kögy teülete? 9. Adott a kögy bels () és küls (R) sugaa. Mekkoa a kögy teülete? a) = 45 mm, R = 50 mm; b) = 7 cm; R = 78 cm; c) = 6 cm; R = 6,4 cm. 30. Egy 30 cm küls átmé j cs keesztmetszetének 7 %-a a cs anyaga. Mekkoa az anyagvastagság?
20 14 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 31. Egy 50 cm küls átmé j cs keesztmetszetének 18%-a a cs anyaga. Mekkoa a bels keesztmetszet teülete? 3. A planetáium köfolyosóját le kell bukolni. A bukoló az ábán látható távolságot méte le. Miét elegend ez az adat a bukolat anyagmennyiségének meghatáozásához? Mennyibe keül a bukolás, ha a bukoló anyaggal együtt 600 Ft-ot ké 1 m bukolatét? 33. Biztos láttál má olyan vadnyugati filmeket, amelyben postakocsi szeepel, és észevetted, hogy néha állni látszik a kocsi küll s keeke. Ez azét van, met másodpecenként 4 képet vetítenek a filmen, és ennyi id alatt fodul egy küll nyit a keék. Mekkoa annak a postakocsinak a sebessége, amelyiknek a keeke 10 cm átmé j, a keék állni látszik, és a küll k száma a) 10; b) 1; c) 16; d) 8. Mintapélda 6 Számítsuk ki a 3 kö sugaa 30 cm! Megoldás: 3 adiánú középponti szöghöz tatozó köszelet teületét és keületét, ha a a 10 -os szögnek felel meg (hamad kö), így készítünk egy ábát. A köszelet teületét úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk a köcikk teületéb l a középen lev háomszög teületét. A háomszög kiegészíthet a oldalú szabályos háomszöggé, aminek a teülete a Így a köszelete teülete: T cm. 3 4
21 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 15 A keülete a kö keületének hamada, hozzáadva kétsze a szabályos háomszög 3 magasságát: K 6,8 51,96 114, 8 cm. 3 Ismétlés: az a oldalú szabályos háomszög teülete a Egy kö sugaa 5 cm. Számítsuk ki a következ középponti szögekhez tatozó köszeletek teületét: a) 60 ; b) ; c) ; d) Mekkoa a színezett ész teülete? a) b)
22 16 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A kö éint je Mintapélda7 Végezzük el a következ szekesztéseket, és az eedmény alapján válaszoljunk a kédéseke! 1. Szekesszünk deékszög háomszöget, melynek befogói: AC = 3 cm és BC = 4 cm!. Tüközzük a háomszöget az AB átfogóa! 3. Szekesszük meg a háomszög köé íható k köt! Középpontját jelöljük F-fel. 4. Szekesszük meg az A középpontú, AC sugaú k1 köt! a) Mi a kapcsolat a k1 kö és a BC egyenese között? b) Mit mondhatunk BC és BD hosszáól? c) Milyen összefüggést állapíthatunk meg a kö éint je és sugaa között? Megoldás: a) BC a k1 kö éint je. b) Egyenl k, met az ABC és az ABD háomszögek egybevágók. c) A sugá (AC) me leges az éint e (BC) az éintési pontban (C). A kö éint je me leges az éintési ponthoz tatozó sugáa. Egy köhöz egy küls pontból húzott éint szakaszok hossza egyenl. Thalész-tétel megfodítása: a deékszög háomszög köé íható kö középpontja épp az átfogó felez pontja.
23 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 17 Mintapélda 8 Vegyünk fel egy C a középpontú köt és ajta kívül egy P pontot! Szekesszük meg a köhöz a P pontból húzott éint ket! Megoldás: A CP szakasz Thalész-köén (k Thalész ) helyezkednek el azok a pontok, amelyek a C és P pontokkal deékszög háomszöget alkotnak. Mivel az éint me leges a sugáa az éintési pontban, az adott kö és a Thalész-kö metszéspontjai (A és B) az éintési pontok. Feladatok 36. A k köhöz P küls pontból húzott éint k A és B pontokban éintik a köt az ábán látható módon. Egy további éint egyenes a C és D pontokban metszi a szögszáakat. Igazold, hogy a PCD háomszög keülete egyenl a PA szakasz hosszának kétszeesével! 37. a és b a deékszög háomszög befogói, c az átfogó, a köé ít kö sugaa. Töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! a 15 cm 1 dm 3,7 dm b 0 cm 13,4 cm 54 cm c 3 m 5,8 dm 589 cm 3 cm
24 18 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 38. C a kö középpontja, P egy küls pont, és E a P-b l a köhöz húzható éint éintési pontja. Készíts ajzot, és töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! CP 4,1 dm 149 cm 61 cm 5,3 dm EP 1 cm 6 dm 5 cm 0,4 m 5,8 dm 45 cm 39. Szekeszd meg a C középpontú, sugaú köhöz húzható éint ket P pontból, ha a) = 4 cm, CP = 8 cm; b) =,5 cm, CP = 7 cm; c) = 5 cm, CP = 7 cm. 40. Ebbe a deékszög tapézba kö íható. Milyen kapcsolat van a szemben fekv oldalak összege között? Mekkoa a beleíható kö sugaa, ha az alapok hossza 4 és 1, a nem deékszög szá hossza 10 egység?
25 19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 19 További szekesztések 41. K ácsos ablak. Ezt a ozetta alakot 110 köül tevezte Jean dobais a Reimsben található székesegyházban, és innen tejedt el Euópa szete. 4. Szabályos sokszögek (négyzet, szabályos hatszög, szabályos nyolcszög) szekesztése. 43. Román-koi ablak szekesztése. 44. Gótikus ablak szekesztése.
26 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon A kö keülete K, a kö teülete T A szögpecet úgy kapjuk tizedfokból, hogy a tizedfokot megszoozzuk 60-nal. A tizedfokot úgy kapjuk szögpecb l, hogy a szögpecet elosztjuk 60-nal. A köív hossza és a köcikk teülete egyenesen aányos a középponti szöggel. A fokhoz tatozó köcikk teületét úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köcikk i teületét megszoozzuk -val. A köcikk teületét kiszámíthatjuk a T képlettel is. A fokhoz tatozó köív hosszát úgy hatáozzuk meg, hogy az 1 -hoz tatozó köívet megszoozzuk -val. A kö éint je me leges az éintési ponthoz tatozó sugáa. Egy köhöz egy küls pontból húzott éint szakaszok hossza egyenl. Thalész-tétel megfodítása: a deékszög háomszög köé íható kö középpontja épp az átfogó felez pontja.
17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.
17. tétel kö és észei, kö és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometiai tágyalásban). Keületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kö: egy adott ponttól egyenlő távolsága levő pontok halmaza a síkon.
RészletesebbenIV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.
8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Tásulat Aany Dániel Matematikai Tanulóveseny 017/018-as tanév 1. foduló Haladók III. kategóia Megoldások és javítási útmutató 1. Anna matematika házi feladatáa áfolyt a tinta.
RészletesebbenIV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok
Tigonometia Szögek átváltása fokól adiána és fodítva 5 a) 80 ; 90 ; 0 ; 5 ;,5 b) 0 ; 50; 5 ; 0 ; 0 57 a) 00 ; 5 ; ; 70 ; 5 b) 80 57,9 ;,9 ; 9,79 ;,7 ;, 58 a),59 ; 0, ;, ; 8, ; 07, b) 85, ; 8,0 ; 9,50 ;
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenLencsék fókusztávolságának meghatározása
Lencsék fókusztávolságának meghatáozása Elméleti összefoglaló: Két szabályos, de legalább egy göbe felület által hatáolt fénytöő közeget optikai lencsének nevezünk. Ennek speciális esetei a két gömbi felület
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenHáromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenMATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenBé ni. Barna 5. Benc e. Boton d
Egy asztalon háom halomban 009 db kavics van Egyet eldobok belőle, és a többit két kupacba osztom Ezután megint eldobok egyet az egyik halomból (amelyikben egynél több kavics van) és az egyik halmot ismét
Részletesebben1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
RészletesebbenIV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály
IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenLáthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenHalmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz
Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenIV. Felkészítő feladatsor
IV. Felkészítő feladatsor 1. Az A halmaz elemei a (-7)-nél nagyobb, de 4-nél kisebb egész számok. B a nemnegatív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! I. 2. Adott a
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.
. 3650 =,065 0000 Az éves kamat: 6,5%-os I.. D C b A a B AC = a + b BD = b a 3. A megoldóképletből a gyökök: x = 7 és x = 5. Ellenőrzés 4. Egy óra 30, így a mutatók szöge: 50º. írásbeli vizsga 05 3 / 007.
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Részletesebben4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
Részletesebben(KOJHA 125) Kisfeladatok
GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Közlekedésménöki Ka Jámű- és hajtáselemek I. (KOJHA 25) Kisfeladatok Jáműelemek és Hajtások Ssz.:...... Név:......................................... Neptun kód.:......... ADATVÁLASZTÉK
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
RészletesebbenPótvizsga anyaga 5. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Pótvizsga: beadandó feladatok 45 perces írásbeli szóbeli a megadott témakörökből
Pótvizsga anyaga 5. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Természetes számok: 0123 (TK 4-49.oldal) - tízes számrendszer helyi értékei alaki érték valódi érték - becslés kerekítés - alapműveletek:
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
RészletesebbenIII. Vályi Gyula Emlékverseny december
III. Vályi Gyula Emlékverseny 1996. december 14 15. VI osztály A feladatok szövege után öt lehetséges válasz (A, B, C, D és E) található, amelyek közül csak pontosan egy helyes. A helyes válasz betűjelét
RészletesebbenFényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium Miskolc, Fényi Gyula tér Tel.: (+36-46) , , , Fax: (+36-46)
Fényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium 529 Miskolc, Fényi Gyula tér 2-12. Tel.: (+6-46) 560-458, 560-459, 560-58, Fax: (+6-46) 560-582 E-mail: fenyi@jezsuita.hu Honlap: www.jezsu.hu A JECSE Jesuit
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenVIII. Vályi Gyula Emlékverseny 2001 november Mennyivel egyenlő ezen számjegyek összege?
VIII. Vályi Gyula Emlékverseny 001 november 3-5 VI osztály Csak az eredmény kérjük! 1. Frédi 3 naponként, Béni 4 naponként jár az uszodába, mindig pontosan délután 4-től 6-ig. Kedden találkoztak az uszodában.
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenAz egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető!
1 Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! Szerkesztette: Huszka Jenő 2 A változat 1. Az ABCDEFGH
RészletesebbenIV. Vályi Gyula Emlékverseny november 7-9.
IV. Vályi Gyula Emlékverseny 997. november 7-9. VII. osztály LOGIKAI VERSENY:. A triciklitolvajokat a rendőrök biciklin üldözik. Összesen tíz kereken gurulnak. Hány triciklit loptak el. (A) (B) 2 (C) 3
RészletesebbenMATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc
MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2015. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenA lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
RészletesebbenMinden feladat teljes megoldása 7 pont
Telefon: 7-8900 Fax: 7-8901 4. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. 9 kg mogyorót vásároltunk,
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?
Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenV. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások
V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?
Részletesebben0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN
06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenXI. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 9. évfolyam
1. Tekintsük a következő két halmazt: F = {11-nél nem nagyobb prímszámok} és G = {egyjegyű páratlan pozitív egészek}. Az alábbi halmazok közül melyiknek van a legkevesebb eleme? A) F B) G C) F G D) F G
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenKompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny
Név: Iskola: Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny 2012. december 10. 2. forduló Pótlapok száma: db. 1. Egy telek területe 2000 m 2. Adja meg az érdeklődő angol vevőnek, hány négyzetlábbal egyenlő
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben