Matematikai statisztika május 28.

Átírás

1 Matematikai statisztika 008. május 8.

2 ii

3 Tartalomjegyzék. A statisztika alapfogalmai.. Alapstatisztikák Feladatok Véletle a statisztikába.. Véletle meyiségek Nevezetes eloszlások Feladatok Becslés 3.. Potbecslés Itervallum becslés Feladatok Hipotézis vizsgálat Aráy illetve valószí½uség próbája, (;c) terv Átlag és szórás próbái ormális eloszlás eseté Nem paraméteres próbák Illeszkedés vizsgálat Függetleség vizsgálat próbával Homogeitás vizsgálat Wilcoxo próbával Feladatok Regresszió aalízis Többváltozós lieáris regresszió Szórásaalízis Egyszer½u osztályozás A. Táblázatok 63 B. Képletek 73 iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK

5 . fejezet A statisztika alapfogalmai Statisztikai feladatak azt evezzük, amikor egy alapsokaság (véges vagy végtele halmaz) valamely jellemz½ojére kíváuk következteti egy mita (az alapsokaság egy véges részhalmaza) elemeib½ol. Az ilye feladatokba megfogalmazható kérdések, és az alkalmazható módszerek alapvet½oe függeek az alapsokaság, és így a mita elemiek mibelétét½ol, meg gyelhet½o adattípusától. Ezek az adattípusok a meg gyelés egy adott szempotja, ismérve szerit a következ½ok lehetek:. Nomiális Amikor két elemr½ol csupá azoosságuk illetve külöböz½oségük döthet½o el.. Ordiális Amikor két elemr½ol emcsak külöböz½oségük, de a köztük lév½o sorred is eldöthet½o, de a külöböz½oségek mértéke em összehasolítható. 3. Itervallum Amikor a külöböz½o elemek sorrediségé kív½ul a külöböz½oségük mértéke, mit az adatok külöbsége megadható, de aráyuk em értelmezhet½o. 4. Aráy típus (meyiségi adattípus) Amikor egy elem meg gyeléséek eredméye egy meyiségi adat, tehát egy valós szám. Természetese az egyes adattípusok a feti sorredbe azt megel½oz½o típuskét is haszálhatók. Egy elemmel kapcsolatos meg gyelés eredméye a feti típusok tetsz½oleges együttese is lehet, és így egy mita kapcsá adataik egy olya táblázatba redszerezhet½ok, melyek sorai az esetek, egy mita elemmmel kapcsolatos meg gyelt ismérvek adatai, oszlopai pedig a váltzók, az ismérvek adatai az egyes esetekbe. Következtetéseiket egy ilye adathalmazból yerhet½o, általába meyiségi típusú eredméy, úgyevezett statisztika segítségével hozzuk meg.

6 . FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI.. Alapstatisztikák Statisztikai feladatokba sokszor az alapsokaság valamely meyiségi jellemz½ojére kell következtetük, amiek ésszer½u módja, ha a mita hasoló jellemz½ojével, tehát egy statisztika értékéek kiszámításával válaszoluk. Természetese, ha másik mitát választuk, következtetésük is más lesz, ezért ezt az eljárást, a bizoytalaságot is kifejez½o becslés kifejezéssel evezzük meg. Az alábbiakba felsoroluk éháy gyakra haszált jellemz½ot és a megfelel½o becslését, feltütetve a szükséges adattípust. Az alapsokaság illetve a mita elemeiek egy adott ismérv szeriti értékeit jelölje a továbbiakba X ; X ; ; X N illetve x ; x ; ; x. Oridális adattípus eseté az értékeket övekv½o sorrebe redezve kapjuk: X X X N illetve x x x.. Aráy (omiális adattípus) Ha az N elem½u alapsokaság elemei között M számú redelkezik egy adott tulajdosággal, akkor a p = M aráy becslése egy elem½u mitából bp = k ; ha a mita N elemei közül k számú redelkezik az adott tulajdosággal. Jelölése:. Középértékek p = M N bp = k. (omiális) értékkel re- (a) Módusz (omiális adattípus) Ha az alapsokaság elemei közül a legtöbb az M O delkezik, és a mitába ez az érték m o, akkor az M O m o becslést haszáljuk. Természetese az is el½ofordulhat, hogy több ugyailye gyakori érték va akár az alapsokaságba, akár a mitába, ilyekor többes módusz ról beszélük. (b) Mediá (ordiális adattípus) Páratla elemszámú alapsokaság illetve mita eseté a ragsorba középs½o elem jellemz½ojéek M E = X N+ illetve m e = x + értéke. Páros elemszám eseté a két középs½o jellemz½ojéek értéke közötti érték, ami meyiségi adattípus eseté a M E = számtai közép. Tehát X N + X N + illetve M E m e m e = x + x +

7 .. ALAPSTATISZTIKÁK 3 (c) Átlag (meyiségi adattípus) Az alapsokaság m = N P N X i átlagáak becslése az x = P x i (mita-) átlag statisztika, tehát m x. (d) Mértai közép (pozitív s meyiségi adattípus) r NQ Q Az alapsokaság = N X i mértai közepéek becslése az ex = (mita-) mértai közép statisztika, tehát 3. Szóródás mértékei ex. (a) Terjedelem (itervallum adattípus) A legagyobb és legkisebb érték külöbsége, azaz T = X N X illetve t = x x, x i tehát T t. (b) Átlagos abszolut eltérés (meyiségi adattípus) Az átlagtól való eltérések abszolut értékéek átlaga = N NX jx i mj illetve d = X jx i xj, tehát d. (c) Átlagos égyzetes eltérés, szóráségyzet illetev szórás (meyiségi adattípus) Az átlagtól való égyzetes eltérések átlaga = N NX (X i m) illetve s = X (x i x), és az eredeti mértékegység elyeréséhez gyököt vova: v v u = t NX u (X i m) illetve s = t X (x i x), N tehát s Kézirat, módosítva: 008. május 8.

8 4. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI Megjegyzések:. Ha az alapsokaság N elemszáma agy, illetve végtele, a jellemz½ok egy u. s½ur½uségfüggvéyel adhatók meg. Például az alapsokaság átlagáak és szórásáak értéke, ha az alapsokaság jellemz½ojéek eloszlása az f : R! R 0 + s½ur½uségfüggvéyel adható meg: m = Z + s Z + xf(x)dx = (x m) f(x)dx ahol Z + f(x)dx =.. A mita jellemz½oit a megkülöböztetés hagsúlyozása érdekébe esetekét a mita, illetve empírikus jelz½okkel említjük majd. 3. A mediá fogalmáak természetes kiterjesztése a p-kvatilis, ami a mita eseté ahol q p = ( w) x i + w x i+ 0 < p < i = [( + ) p] w = ( + ) p i x 0 = x x + = x tehát sorredbe az ( + ) p-edik érték, ha ez egész, illetve lieáris iterpoláció eredméye. Ezzel teljesül m e = q 0:5, továbbá q 0:5, q 0:75 az u. alsó és fels½o kvartilisek. 4. Köye elle½orízhet½ok a mitából számolt statisztikákra az alábbi összefüggések: X jx i s = X x i x 0 d s m e j X jx i cj c R X (x i x) X (x i c) c R 5. Sok esetbe a mitából redelkezésre állak sorrebe az egyes értékek, és el½ofordulásuk x < x < < x k f ; f ; ; f k N mitabeli gyakorisága. Ekkor a mita elemszáma, az empírikus átlag és szóráségyzet statisztikák: = kx f i x = kx f i x i s = kx f i x i x. (.)

9 .. ALAPSTATISZTIKÁK 5 6. Nagy elemszámú, meyiségi adatokat tartalmazó mita eseté szokás a mita elemeit csoportokba, egymást követ½o osztályokba sorolva megadi. Ekkor az osztályok középpotjaival, és x < x < < x k f ; f ; ; f k N elemszámaival = P k f i, és (.) további képletei jó közelítéskét haszálhatók. Ha a legagyobb elemszámú osztály az i-edik, melyek határai a < b, a módusz jó közeltésekét haszáljuk ahol Ha m o = a + k k + k h, k = f i f i k = f i f i+ h = b a. Xi f = f j j= és ix f j > és az i-edik osztály határai a < b, akkor a mediá jó közelítése lesz Hasolóa kaphatjuk a kvatilisek közelítését, ahol most m e = a + j= f h. f i q p = a + p f h, f i Xi f = f j p j= teljesül az i-edik osztályra. és ix f j > p j= 7. Az u. rétegezett mitavétel eseté a mita elemei több csoportba sorolva állak redelkezésre. Ha eze mita csoportok x ; x ; ; x x ; x ; ; x. x k ; x k ; ; x kk Kézirat, módosítva: 008. május 8.

10 6. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI akkor = P k i; és az egyes csoportok x i = i X i j= x ij s i = X i x ij x i i = ; ; ; k i j= statisztikáiból kapjuk a teljes mitára voatkozó x = kx i x i s = (SS B + SS W ) statisztikák értékét, ahol jelölje az alábbi égyzetösszegeket: SS M = x SS B = SS W = SS T = kx i (x i x) kx i s i = kx X i x ij. j= kx X i (x ij x i ) Az SS W u. bels½o vagy csoporto belüli égyzetösszeg, az SS M átlaghoz tartozó, és az SS B u. csoportok közötti vagy küls½o égyzetösszegekre teljesül, hogy az u. teljes égyzetösszeg felírható vagy másképp.. Feladatok SS T SS M = j= SS T = SS M + SS B + SS W, kx X i (x ij x i ) = SS B + SS W. j=.. Feladat. Egy egyetem hallgatóiból kiválasztottak közül 30 f½o az A-kar, 35 a B-kar, a C-kar és 33 a D-kar hallgatója. Becsüljük a hallagtók százalékos megoszlását az egyes karok között, melyik a legagyobb létszámú kar? Megoldás. A (omiális adatokból álló) mita, és számolt aráyok: x f p = f p 00% 30 A 30 = 0:5 5% 0 35 B 35 = 0:9 9% 0 C = 0:8 8% 0 33 P D 33 = 0:8 8% 0 = = 0 :00 00%

11 .. FELADATOK 7 Tehát a hallagtók becsült megoszlása szakokét 5%, 9%, 8% és 8%, legagyobb létszámúak a B-kart becsüljük, mivel a mita módusza m o = B... Feladat. Egy égy évfolyamos középiskola taulóiból válsztott mitából 3 tauló els½o, 34 tauló második, tauló harmadik és 33 tauló egyedik osztályos. Melyik az iskola legépesebb évfolyama, becsüljük továbbá a kvartiliseket! Megoldás. A (ordiális adatokból álló) mita, és a kommulált gyakoriságokkal kiegészített táblázat: x f P f P 33 0 = = 0 Tehát legépesebbek a második évfolyamot becsüljük, mivel m o =, a kvartilisek pedig: q 0:5 = mert (0 + ) 0:5 = 30: 5 m e = mert (0 + ) 0:5 = 60: 5 q 0:75 = 4 mert (0 + ) 0:75 = 90: Feladat. Egy cég éves yereség adatai a 000 évt½ol kezd½od½o égy év sorá az alábbiak voltak: :04 :05 :54 :0 eft Számítsuk ki az évi yereség adatok és az évekéti relatív övekedés átlagát, szórását, átlagos abszolut eltérését, terjedelmét és mediáját! Meyi az évi átlagos övekedés értéke? Megoldás. A yereség és százalékba kifejezett övekedési (aráy vagy meyiségi típusú) adatokból álló mita (ami most azoos az alapsokasággal) az alábbi táblázatba redezhet½o, kiegészítve a számoláshoz szükséges adatokkal: Év x y x y 000 :04 : :05 :04 00 :05 00 = 7: 90 : 6: 57 :04 :54 :05 00 :54 00 = 4: : : 664 :05 :0 : P :0 00 = 4: 07 8 : : 588 :54 4:484 6: 47 5: : 83 Kézirat, módosítva: 008. május 8.

12 8. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI Tehát a yereség adatok kért statisztikái ( = 4) x = 4:484 r 5: = : eft s x = : 4 4 = 0:065 eft :05 + :54 m e = = : 9 5 eft x 4 x = :0 :04 = 0:77 eft j:04 : j + j:05 : j + j:54 : j + j:0 : j d x = = 4 = 0:057 eft, a övekedés adatokból kapjuk továbbá ( = 3) r 6: 47 98: 83 y = = 5: 47 % s y = 5: = : 74 % m e = 4: % y3 y = 7: 90 4: 07 8 = 3: 84 % d y = j7: 90 5: 47j + j4: : 47j + j4: : 47j 3 = : 6 %. Az átlagos övekedés (az az álladó éves övekedési mérték, ami ugyailye 003 évi eredméyhez vezet) mértékét a övekedési háyadosok ^ 00 + y 00 = 3p :0790 : :04078 = : mértai közepéb½ol kapjuk, tehát az átlagos övekedés mértéke: (: ) 00 = 5:46%..4. Feladat. Egy dolgozatot egy 40 f½os taulócsoport a következ½o eredméyel írta meg. 0 tauló tauló.5 potot, 5 tauló 5.5 potot, 0 tauló.5 potot, és 5 tauló 7.5 potot ért el. Adjuk meg az eredméyek statisztikai jellemz½oit! Megoldás. Redszerezzük adataikat a következ½o táblázatba: x f P f x f x f :5 0 0 :5 0 = 5:0 :5 0 = 6: 5 5: :5 5 = 8: 5 5:5 5 = 453: 75 : :5 0 = 5:0 :5 0 = 56: 5 7:5 P :5 5 = 87: 5 7:5 5 = 53: 3 = 40 30:0 360: Tehát az átlag és szórás értéke x = 30:0 40 = 8:0 s = r 360: 40 8:0 = 5:,

13 .. FELADATOK 9 az átlagos abszolut eltérés és terjedelem 0 j:5 8:0j + 5 j5:5 8:0j + 0 j:5 8:0j + 5 j7:5 8:0j d = 40 x 40 x = 7:5 :5 = 5, a módusz és a kvartilisek m o = 5:5 q 0:5 = 0:75 :5 + 0:5 5:5 = 3: 5 mert 0:5 4 = 0: 5 m e = 5:5 mert 0:5 4 = 0: 5 q 0:75 = :5 mert 0:75 4 = 30: 75 = 4: Feladat. Egy országúti sebességmérés alakalmával, a megegedett sebességet túllép½ok közül 0 gépjárm½u 5 km/óra sebességél kevésbé, 5 gépjárm½u 5 és 0 km/óra közötti, és 0 gépjárm½u 0 és 5 km/óra 0 km/óra közötti, 5 gépjárm½u 5 km/óra sebességél agyobb mértékbe tért el a megegedett½ol, és a legagyobb túllépés mértéke 0 km/óra volt. Adjuk meg a sebesség túllépés mértékéek statisztikai jellemz½oit! Megoldás. Az osztályközökkel adott mitát kiegészítve a középpotokkal, adataiat a következ½o táblázatba redezhetjük: P Osztály határok x f f x f x f 0 5 :5 0 0 :5 0 = 5:0 :5 0 = 6: : :5 5 = : 5 7:5 5 = 843: : :5 0 = 5:0 :5 0 = 56: 5 5 P 0 7: :5 5 = 87: 5 7:5 5 = 53: 3 = :0 4000: Tehát az átlag és szórás értéke x = 350:0 r 4000: = 8: 75 km/óra s = 8: = 4: 84 5 km/óra az átlagos abszolut eltérés és terjedelem, valamit a módusz és a kvartilisek: 0 j:5 8: 75j + 5 j5:5 8: 75j + 0 j:5 8: 75j + 5 j7:5 8: 75j d = = 4: 8 5 km/óra 40 x 40 x = 0 0 = 0 km/óra, m o = = 7:5 km/óra q 0:5 = 5 + 0:5 5 m e = 5 + 0:5 5 q 0:75 = 0 + 5: = 5: km/óra mert 0:5 4 = 0: 5 5 = 8:5 km/óra mert 0:5 4 = 0: 5 5 = :9 km/óra mert 0:75 4 = 30: 75 Kézirat, módosítva: 008. május 8.

14 0. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI

15 . fejezet Véletle a statisztikába Már említettük a statsztikai következtetések bizoytalaságát, melyek forrása a mitavétel esetlegessége, hacsak em az egész alapsokaság alkotja a mitát. A mitavétel ömagába is kérdéseket vet fel, ugyais ehéz aak kritériumát megadi, hogy a mita valóba olya-e mide szempotból, mit az alapsokaság. Az ilye, u. reprezetatív mita egy véletle kísérlet eredméyéek tekithet½o, amivel éppe azt fogadjuk el, hogy az egyik mita semmivel sem valószí½ubb mit bármelyik másik, ezért aztá jellemz½oik is azoos tulajdoságokat mutatak. Tehát a mita egy véletle kísérlet eredméye, és az abból számolt statisztikák pedig mit véletle meyiségek értelmezhet½ok. Ezért szükségük lesz a valószí½uségszámítás éháy ezzel kapcsolatos fogalmára, melyeket a következ½okbe tekitük át a teljesség, és még kevésbé a matematikai potosság igéye élkül... Véletle meyiségek Egy véletle meyiségr½ol, vagy valószí½uségi változóról akkor beszélük, ha az fx ; x ; g R véges sok vagy megszámlálhatóa végtele sok lehetséges értékhez adottak a p ; p ; [0; ] u. diszkrét valószí½uségeloszlás valószí½uségei, azaz P i p i =, és P ( A) = X p i A R x i A ami a A eseméy bekövetkezésével kapcsolatos bizoyosságuk mértékét, az eseméy valószí½uségét adja meg mit egy [0; ]-beli meyiség. Speciálisa P ( = x i ) = p i i = ; ;.

16 . FEJEZET. VÉLETLEN A STATISZTIKÁBAN Ha a lehetséges értékek az egész számegyeest, vagy aak egy itervallumát kitöltik, eloszlása egy f : R! R + 0 u. valószí½uségi s½ur½uségfüggvéyel jellemzhet½o, azaz R + f(x)dx = ; és ekkor Z P ( A) = f(x)dx A R. Ez utóbbi esetbe folytoos eloszlásról beszélük, és haszáljuk az F (x) = Z x A f(t)dt x R mooto em csökke½o u. eloszlásfüggvéyt, melyre ekkor teljesül az f s½ur½uségfüggvéy x R folytoossági helyei: F 0 (x) = f(x). Továbbá, ha az I R itervallum végpotjai a és b, akkor P ( I) = F (b) F (a) és ez a = eseté F ( ) = 0; illetve b = + esetbe F (+) = helyettesítésével is érvéyes marad. Valószí½uségi változók legfotosabb jellemz½oje a véletle igadozás cetruma, az E() = X i x i p i illetve E() = Z + x f(x)dx várható érték, és az igadozás mértéke, a emegatív q D() = E ( E()) = p E( ) E () szórás, ahol Z + E( ) = X x i p i illetve E( ) = x f(x)dx i feltételezve az itt szerepl½o végtele sorok és improprius itegrálok abszolut kovergeciáját. Vegyük észre, hogy egy alapsokaság átlaga és szórása egy véletle meyiség várható értékéek és szórásáak tekithet½o, és például agy elemszámú alapsokaság eseté módusza az f s½ur½uségfüggvéy maximum helye, mediája pedig az F (x) = egyelet megoldása. Tehát egy alapsokaság meyiségi jellemz½oi azoosíthatók egy valószí½uségi változó megfelel½o jellemz½ojével, paraméterével. A várható érték és szórás éháy fotos tulajdosága a következ½o. Ha ; véletle meyiségek, és a; b R, akkor E(a + b ) = a E() + b E() D(a + b) = jaj D() D () = E( ) E ()

17 .. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 3 és ha még és függetleek, azaz P ( A; B) = P ( A) P ( B) A; B R akkor teljesül D( + ) = p D () + D ()... Nevezetes eloszlások A továbbiakba felsoroluk éhéy evezetes véletle kísérletet, és megadjuk az ezzel kapcsolatos véletle meyiség eloszlását és jellemz½oit.. Egy meyiség véletle választása véges sok egyformá valószí½u lehet½oség közül. Legyeek x ; x ; ; x R és P ( = x i ) = i = ; ; ;. Ekkor a diszkrét egyeletes eloszlású valószí½uségi változó várható értéke és szórása v E() = x = X u x i D() = s = t X x i x. Tehát az empírikus átlag illetve szórás statisztika egy ilye eloszlás várható értéke és szórása.. Mitavétel. Legye az N elemszámú halmaz elemei közül M számú megjelölt (hibás, jó, stb.). Válasszuk találomra számút, és jelölje a válsztottak között a megjelöltek számát. Ekkor a lehetséges értékek és ha a mitavétel 0; ; ; ; (a) visszatevés élkül törtéik, akkor M k N P ( = k) = N M k k = 0; ; ; ; ami az u. hipergeometrikus eloszlás, melyek várható értéke és szórása s E() = p D() = p q N Kézirat, módosítva: 008. május 8.

18 4. FEJEZET. VÉLETLEN A STATISZTIKÁBAN ahol p = M N illetve q = p a megjelölt illetve a em megjelölt válsztásáak esélye. (b) visszatevéssel törtéik, akkor P ( = k) = p k q k k k = 0; ; ; ; ami az u. biomiális eloszlás, melyek várható értéke és szórása E() = p D() = p p q. Megjegyzés: Köye belátható, hogy elég agy M < N eseté, a kétféle mitavétel hasoló eloszláshoz vezet, ami a paraméterek közel azoosságába is megmutatkozik. Az is megmutatható, hogy a biomiális eloszlás tagjai! és p = álladó eseté kovergesek, és lim! k p k q ezért értelmezhet½o a következ½o véletle kísérlet. 3. Véletele eseméyszám meg gyelése. k = k k! e k = 0; ; ; Egy eseméy bekövetkezései számáak, a valószí½uségi változóak a lehetséges értékei 0; ; ;, a megfelel½o valószí½uségek pedig P ( = k) = k k! e k = 0; ; ; ami az u. Poisso eloszlás, melyek várható értéke és szórása E() = D() = p. 4. Véletle szám választása az [a; b] R itervallumból. A véletle szám folytoos eloszlású 8 < 0 ha x < a f(x) = ha a x b b a : 0 ha b < x 8 < F (x) = : 0 ha x a x a ha a < x b b a ha b < x s½ur½uség és eloszlásfüggvéyel. Ez az u. folytoos egyeletes eloszlás, melyek várható értéke és szórása E() = a + b D() = b a p 3.

19 .. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 5 5. Véletle id½otartam. Ha a véletle id½otartam, egy id½oegység alatt átlagosa számúszor bekövetkez½o ok miatt ér véget, s½ur½uség és eloszlásfüggvéye 0 ha x 0 0 ha x 0 f(x) = e x F (x) = ha 0 < x e x ha 0 < x. Ez az u. expoeciális eloszlás, melyek várható értéke és szórása E() = D() =. Megjegyzés: A paraméter½u expoeciális eloszlású valószí½uségi változó 0 < c pozitív számszorosa, theát c is expoeciális eloszlású c paraméterrel. 6. Sok véletle érték összege, mérési eredméy. Ha sok véletle meyiség összege, mit például egy mérés véletle hibával terhelt eredméye, eloszlása az u. ormális eloszlás, melyek s½ur½uség és eloszlásfüggvéye f(x) = x m x m ' F (x) = x R, ahol '(x) = p Z x e x (x) = p e t dt x R az u. stadard ormális eloszlás s½ur½uség és eloszlásfüggvéye. Az eloszlás paraméterei E() = m D() =, amiek jelölése: N (m; ). Megjegyzések: (a) Az m; paraméter½u ormális eloszlású valószí½uségi változó a + b traszformáltja, ahol 0 6= a; b R, szité ormális eloszlású a m + b; jaj paraméterekkel. (b) Függetle ormális eloszlású valószí½uségi változók összege is ormális eloszlású, tehát ha N (m ; ) és N (m ; ) függetleek, akkor q + N m + m ; +. (c) A ormális eloszlás eloszlásfüggvéyéek számítása a függvéy táblázatával törtéhet, melyek pozítív helye vett értékeit megtaláljuk a függelékbe. Negatív helye a szimmetria tulajdoságból következ½o összefüggést haszálhatjuk. ( x) = (x) Kézirat, módosítva: 008. május 8.

20 6. FEJEZET. VÉLETLEN A STATISZTIKÁBAN (d) Megmutatható, hogy sok függetle azoos eloszlású valószí½uségi változó összegéek eloszlása közelít½oe ormális eloszlású lesz. Ezért haszálhatjuk a ormális eloszlást sok véletle hiba összegz½odésekét yerhet½o mérési eredméyek modellezésére. (e) A biomiális eloszlás is közelíthet½o ormális eloszlással, ugyais egy ilye változó 0 illetve értéket felvev½o -számú véletle meyiség összege. Ez a közelítés akkor kielégít½o, ha mifp; qg > 0 teljesül a visszatevés élküli mitavétel eseté. Természetese ez érvéyes a hipergeometriai eloszlásra, ameyibe az közelíthet½o a biimiális eloszlással (M; N! ), és a Poisso eloszlásra ( > 0), mivel az a biomiális eloszlás határeloszlása..3. Feladatok.. Feladat. Számítsuk ki a evezetes eloszlások várható értékét, szórását, móduszát, és a folytoos eloszlások kvartiliseit!.. Feladat. Számítsuk ki a véges sokaságból vett mita átlagáak várható értékét és szórását! Számítsuk ki továbbá az empírikus szóráségyzet várható értékét! Megoldás. Legyeek az alapsokaság elemei X ; X ; X N R és jelölje m = N v NX u X k = t N v NX u (X k m) = t N NX Xk m k= k= k= az alapsokaság átlagát és szórását. Tekitsük a mitavétel x ; x ; x eredméyeit, mit véletle meyiségeket, melyek közös eloszlása diszkrét egyeletes eloszlás X ; X ; X N lehetséges értékekkel, és így v E(x i ) = m = NX u X k D(x i ) = = t NX (X k m) N N E(x i ) = N ezért k= k= NX Xk = + m i = ; ; ;, k= E(x) = X E(x i ) = m.

21 .3. FELADATOK 7 Ha a mitavétel visszatevéssel törtéik, ezek a véletle meyiségek függetleek, így v D(x) = ux t D (x i ) = p. mivel tehát Ha a mitavétel visszatevés élkül törtéik, akkor # " X E(x ) = E(x i ) + X E(x i x j ) = i6=j = + m + ( ) m = N = + m N + ( )m = E(x i x j ) = N(N ) X X k X l = k6=l = N N m N(N ) D(x) = Számoljuk most az s N(N ) NX Xk = k= + m N s = NX X k (N m X k ) = k= X x i x + m N N N m + m N = m N m = p r N. empírikus szóráségyzet várható értékét a visszatevéses mitavétel eseté: E(s ) = + m + m = és visszatevés élküli esetbe E(s ) = + m + m N = N N mivel E(x ) = D (x) + E (x). Kézirat, módosítva: 008. május 8.

22 8. FEJEZET. VÉLETLEN A STATISZTIKÁBAN Megjegyzések:. Tehát a mitavétel módjától em függ az átlag statisztika várható értéke, és az empírikus szóráségyzet várható értéke is léyegébe azoosak tekithet½o. A külöbség csupá az átlag statisztika szórásába jeleik meg az N = N N u. korrekciós téyez½obe, ami a mita elemszámáál jóval agyobb, illetve végtele alapsokaság eseté elhayagolható.. Végtele, illetve agy méret½u alapsokaság eseté az m és paraméterek egy alkalmas s½ur½uségfüggvéyel m = Z + xf(x)dx = Z + x f(x)dx m adottak, és eredméyeik a visszatevéses esetek megfelel½oe érvéyesek..3. Feladat. Egy bizoyos típusú gépkocsi els½o üzembe helyezése utá átlagosa (várhatóa) 5000km megtétele utá hibásodik meg. Ha a hibátlaul megtett út hossza expoeciális eloszlású, adjuk meg azt az úthosszt, melyek hibátla megtétele 90%-os valószí½uség½u? Megoldás. : megtett út a meghibásodásig, expoeciális eloszlású, l =? 0:9 = P ( > l) = F (l) = e E() = 5000 =! = 5000 l 5000! l = 5000 l(0:9) = 580: 4 km.4. Feladat. Egy tatárgy órái a taulók átlagosa (várhatóa) 5 percig tudak - gyeli. Ha ez az id½otartam expoeciális eloszlású, meyi az az id½otartam (felezési id½o), mely alatt a taulók fele már em képes gyeli?.5. Feladat. Ha egy m; paraméter½u ormális eloszlású meyiség, adjuk meg a valószí½uségeket! P (j mj k ) k = ; ; 3.6. Feladat. Adjuk meg m = 0 = paraméter½u ormális eloszlás q 0:05 és q 0:95 kvatiliseit! Megoldás. N (0; ) q0:05 0 q 0:05 =? 0:05 = P ( < q 0:05 ) = :645 = q 0:05 0! q 0:05 = 0 :645 = 6:7

23 .3. FELADATOK 9 q0:95 0 q 0:95 =? 0:95 = P ( < q 0:95 ) = :645 = q 0:95 0! q 0:95 = 0 + :645 = 3:9.7. Feladat. Adjuk meg az m; paraméter½u ormális eloszlás q 0:05 és q 0:975 kvatiliseit!.8. Feladat. Az kg-os csomagolású liszt tömege ormális eloszlású véletle meyiség m = 0:95 kg; = 0:0 kg paraméterekkel.. Meyi aak valószí½usége, hogy egy megvásárolt zacskó tömege 0:90 kg-ál kevesebb?. Ha három zacskót vásároluk, milye határok között va az össztömeg 95%-os valószí½uséggel? Megoldás.. : egy zacskó tömege, N (0:95; 0:0) eloszlású v.v., 0:9 0:95 P ( < 0:9) = = (:5) = 0:9938 0:0. = : három zacskó tömege, N 3 0:95; p 3 0:0 eloszlású v.v. (lásd: 6b megjegyzés), d d =? 0:95 = P (3 0:95 d < < 3 0:95 + d) = p 3 0:0 d 0:975 = p 3 0:0 :96 = Tehát a 95%-os valószí½uség½u határok: d p 3 0:0! d = p 3 0:0 :96 = 6: :95 6: = : :95 + 6: = : Feladat. Egy 000 darabos termékhalmazba 50 hibás darab va. 00 elem½u mitát véve, milye határok között lesz a hibás termékek száma 90%-os valószí½uséggel, ha a mitát. visszatevéssel vettük?. visszatevés élkül vettük? Kézirat, módosítva: 008. május 8.

24 0. FEJEZET. VÉLETLEN A STATISZTIKÁBAN Megoldás. : a hibásak száma a mitába,. = 00; p = 50 = = 0:5; biomiális eloszlású v.v., E() = 00 = 5; D() = q = p 3, közel N 5; 5 p 3 eloszlású (lásd: 6e megjegyzés), d =? 0:9 = P (5 d < < 5 + d) = 0:95 = Tehát a 90%-os valószí½uség½u határok: 5! d p 3 5! d p 3 :645 = p d! d = : = 7: 3 3 p 5 5 7: 3 = 7: : 3 = 3: Feladat. Egy bizoyos típusú biztosítás kár-eseméyeiek átlagos (várható-) száma havota 0. Meyi aak valószí½usége, hogy egy adott hóapba 00 alatt marad az ilye eseméyek száma?

25 3. fejezet Becslés Potbecslések azt az eljárást evezzük, amikor az alapsokaság valamely meyiségi jellemz½ojéek értékére következtetük a mitából számolt alkalmas statisztika értékével. Ha a meg gyelt mitát egy véletle kísérlet eredméyéek tekitjük, akkor a jellemz½o, továbbiakba paraméter becsült értéke, a mitából számolt statisztika, tehát egy véletle meyiség értéke lesz. Így haszálhatjuk a becslés jellemzésére a valószí½uségi változókkal kapcsolatos fogalmakat. A # paraméter t statisztikával törté½o becslését jelöljük a továbbiakba # t, és ezt a becslést torzítatlaak modjuk, ha E(t) = #, azaz a becslés eredméyekét kapott érték éppe a a becsüli kívát paraméter körül igadozó véletle meyiség. Egy ilye torzítatla becslés fotos jellemz½oje a becslés D(t) = q E (t stadard hibája, azaz a véletle becsült értékek a becsült paramétert½ol való eltéréséek mértéke. Ha ez a stadard hiba a mita méretéek övelésével tetsz½olegese csökkethet½o, azaz D(t)! 0 akkor a becslét kozisztesek evezzük. #) 3.. Potbecslés A továbbiakba áttekitjük a már említettek közül a leggyakrabba haszált becsléseket, és azok tulajdoságait, felhaszálva a evezetes véletle kísérletek kapcsá megismert összefüggéseket.

26 3. FEJEZET. BECSLÉS. Aráy illeteve valószí½uség paraméter becslése. Ha az N elem½u alapsokaság elemei között M számú redelkezik egy adott tulajdosággal, akkor a p = M N (q = p) aráy becslése egy elem½u mitából bp = k ; ha a mita elemei közül k számú redelkezik az adott tulajdosággal. Vizsgáljuk a p bp becslés tulajdoságait. E(bp) = E(k) = p = p Tehát a becslés torzítatla, és stadard hibája, illetve aak becslése, ha a mitavétel (a) visszatevés élkül törtét, akkor a k véletle meyiség hipergeometrikus eloszlású, és D(bp) = D(k) = s D(bp) p k s pq k N N = p spq r p, N N p. (b) visszatevéssel (vagy agy ill. végtele alapsokaságból) törtét, akkor a k véletle meyiség biomiális eloszlású, és: D(bp) = D(k) = p p pq = p p( p) s D(bp) p k k p. Ha a mitavétel rétegezette törtét, vagyis az N i elemszámú csoportba M i számú redelkezik az adott tulajdosággal, és ie választott i elem½u mitába k i számú az ilye tulajdoságúak száma i = ; ; r, az egyes csopotoko belüli aráyok besclése és a besclések stadard hibája: p i = M i N i bp i = k i i s D (bp i ) = p p i q i i s i p N i i k i i k i i i N i

27 3.. PONTBECSLÉS 3 A teljes sokaságra voatkozó aráy becslése, és a becslés jellemz½oi ekkor ahol p = M N bp = X i bp i v ux D(bp) = t r i p i q i i M = v p ux t r v p ux t r i i rx M i N = i k i i i rx N i E(bp) = p i N i k i i i N i i = N i N i N i v p ux t r i i = rx i. Ha a mitavétel agy elmszámú rétegekb½ol, illetve visszatevéssel törtét, és az egyes rétegek i aráya ismert (mert pl. a mitavétel aráyosa törtét, azaz i = i h i ), a feti képletek az téyez½o elhagyásával érvéyesek. i N i Midegyik esetbe teljesül a mita elemszámok (mide határo túli) övelése eseté D(bp)! 0, tehát a becslés kozisztes, és megadható a stadard hiba (véletlet½ol em függ½o) korlátja, ezért tervezhet½o az a mita elemszám, ami biztosítja, a stadard hiba el½oírta kis értékét.. Átlag illetve várható érték és szórás paraméterek becslése. Az alapsokaság m átlaga, vagyis a várható érték és a szórás paraméterek szokásos becslése egy -elem½u mitából m x = v X u x i s = t X (x i x), és a. példa szerit teljesül E(x) = m tehát a várható érték becslése torzítatla. Az átlag stadard hibája, illetve aak becslése, ha a mitavétel Kézirat, módosítva: 008. május 8.

28 4 3. FEJEZET. BECSLÉS (a) visszatevés élkül törtét D(x) = p r N p s r N (b) visszatevéssel (vagy agy ill. végtele alapsokaságból) vett mita eseté Midkét esetbe teljesül D(x) = p s p. D(x)!! 0, tehát a várható érték becslése kozisztes, de a mita mérete most em tervezhet½o, hacsak em ismert az alapsokaság szórása. A. feladat eredméye szerit midkét esetbe (illetve jó közelítéssel) E(s ) = tehát a s becslés torzított, amit korrigálhatuk a s = X (x i x) u. korrigált empírikus szóráségyzet alkalmazásával, amit az átlag statisztika stadard hibája D(x) s p r N illetve D(x) s p becsléséél is célszer½u haszáli (els½osorba kis, < 0 mita elemszám eseté). Ha a mitavétel rétegezette törtét, vagyis az alapsokaság N i elemszámú csoportjai, és az oa vett i elem½u miták fx ; X ; ; X N g 3 x ; x ; ; x fx ; X ; ; X N g 3 x ; x ; ; x. fx r ; X r ; ; X rnr g 3 x r ; x r ; ; x rr és jelölje v N i X u m i = X ij i = t XN i (X ij m i ) N i N = j= rx N i = rx i j= i = N i N

29 3.. PONTBECSLÉS 5 akkor az egyes csoportok paraméteriek becslése: m i x i = i X i j= x ij i s i = X i i j= és a várható értékek becsléséek stadard hibái x ij x i vagy i s i = i i s i i = ; ; ; r D (x i ) = i p i r i N i s i p i r i N i amivel kapjuk a teljes sokaság várható értékéek torzítatla becslését, és a becslés stadard hibáját: m = rx i m i x = v D (x) = p ux t r i i i rx i x i és E(x) = m v i ux p t r N i i s i i i N i illetve a korrigált empírikus szóráségyzetekkel (kis elemszámú miták eseté) v D (x) p ux t r i s i i i. N i Ha a mitavétel agy elmszámú rétegekb½ol, illetve visszatevéssel törtét, és az egyes csoportok i aráya ismert (mert pl. a mitavétel aráyosa törtét, azaz i = i h i ), a feti képletek az téyez½o elhagyásával érvéyesek. i N i Most is teljesül a mita elemszámok (mide határo túli) övelése eseté D(x)! 0, tehát a becslés kozisztes, de a stadard hiba (véletlet½ol em függ½o) korlátja em adható meg el½ore, ezért most sem tervezhet½o az a mita elemszám, ami biztosítja, a stadard hiba el½oírta kis értékét. Megjegyzés: A rétegezett mitavételb½ol kapott várható érték becslés stadard hibája általába kisebb lesz, mit hasoló méret½u egyszer½u mitavétel eseté. Ha például agy elemszámú a sokaság, és a mitavétel aráyos volt, a stadard hiba és becslése v v ux p t r i 0 i i p ux t r i 0 i s i Kézirat, módosítva: 008. május 8.

30 6 3. FEJEZET. BECSLÉS míg egyszer½u mitavétel eseté p p s Pk P i j= (x ij x) vagy a már korábba bevezetett SS B és SS W égyzetösszegekkel p r SSB + SS p W = p s Pk i (x i x) + P k ( i ) s i ami a csoportok közötti SS B égyzetösszeg miatt agyobb becsült hibát eredméyez. Midez a teljes sokaságra is érvéyes, és a külöbség akkor lesz számottev½o, ha az egyes rétegek i szórása léyegese kisebb mit az egész sokaság szórása (mert a réteg-átlagok külöböz½oek). 3.. Itervallum becslés Egy # paraméter ( )-szit½u itervallum becslése olya t < t statisztika pár megadását jeleti, amivel teljesül: P (t # t ) = amit legtöbbször # t d módo jelölük majd, ahol t = t +t a becsl½o itervallum közepe, és d = t t a becslés hibája. A t = illetve t = + formális választással yerhetjük az u. fels½o # t illetve alsó # t becsléseket az ( )-szithez, amivel P (# t ) = illetve P (t #) =. Egy ilye itervallum becslés megadása akkor haszos, ha ( ) (ko decia-) szitje legalább 0:9 (90%); 0:95 (95%) vagy még agyobb, és potosságáak mértéke, a d hiba elég kicsi. Mit azt a kokrét esetekbe láti fogjuk, e két cél elérése általába csak a másik rovására javítható. A t < t statisztika pár megadás többféleképpe törtéhet, de általába olyaokat foguk keresi egy -kritikus értékhez, hogy teljesüljö P (# < t ) = P (t < #) = amib½ol a em kívát határ elhagyásával yerhetjük az -szit½u # t alsó illetve a # t fels½o becslést.. Aráy, illetve valószí½uség itervallum becslése. Egy sokaságba bizoyos (megjelölt) egyedek ismeretle aráyát jelölje p, és becsüljük ezt egy -elem½u mitába talált k-számú megjelölt ismeretébe. Ha a mitavétel visszatevéssel törtét (vagy a sokaság elemszáma elég agy), a k véletle meyiség biomiális eloszlású, és ha még is elég agy ( p > 0), eloszlása közelít½oe ormális lesz, tehát u = k p p N (0; ) pq

31 3.. INTERVALLUM BECSLÉS 7 azaz u eloszlása az u. stadard ormális eloszlás, melyek várható értéke E(u) = 0 és szórása D(u) =. Válasszuk a 0 < << valószí½uséghez táblázatból az u kritikus értéket úgy, hogy ha u N (0; ), akkor P (juj > u ) =. Ekkor k p P p u = pq amit alakítva kapjuk: ahol P (p p p ) = s p ; = k + u u k p k + u 4 és ha itt még u elhayagolható (ami a szokásos >> 00 esetekbe, és -höz általába közeli u érték miatt midig megtehet½o), akkor kapjuk a s p k u k k p ( )-szit½u itervallum becslést. Megjegyzések: (a) Ha p = k u p q k k < 0 akkor a p statisztika értékét 0-ak, és ha p = k + u p q k k > akkor p értékét -ek választjuk. (b) Vegyük észre, hogy az itervallum k közepe a már megismert potbecslés, a q hiba pedig a becsült p k k stadard hiba és az u táblázati érték szorzata. Továbbá a hiba (a mitától em függ½o) fels½o korlátja s u p k k u p, ezért a mita mérete tervezhet½o, azaz adott potossághoz megadható értéke. Az is látható, hogy a hiba az ( ) szittel együtt csökkethet½o, és fordítva, a szit övelése agyobb hibát eredméyez. Rögzített szit mellett pedig, övelésével, tetsz½olegese kicsi lesz a hiba mértéke. (c) Ha a mitavétel visszatevés élkül törtét az N elem½u alapsokaságból, eredméyüket a stadard hibáak megfelel½o módosítással haszálhatjuk: s p k u k k p. N Kézirat, módosítva: 008. május 8.

32 8 3. FEJEZET. BECSLÉS (d) Az u kritikus érték szimmetrikus választása miatt, a p illetve p statisztikák egyikéek elhagyásával yerhetjük az -szit½u fels½o illetve alsó becsléseket. p p p p. Átlag, illetve várható érték itervallum becslése. Egy ormális eloszlású sokaság átlagos (várható-) értékét jelölje az ismeretle m paraméter, és tegyük fel, hogy a 0 szórás ismert. Egy -elem½u (az ilyekor végtele alapsokaságból visszatevéssel vagy élkül vett) mita elemeit jelölje x ; x ; ; x melyek ekkor függetle, N (m; 0 ) eloszlású véletle meyiségek, ezért x = X x i N m; 0 p tehát x m 0 p N (0; ). Válasszuk a 0 < << valószí½uséghez táblázatból az u kritikus értéket úgy, hogy ha u N (0; ), akkor P (juj > u ) =. Ekkor x mp P u =, amit alakítva P 0 x u 0 p m x + u 0 p = tehát kapjuk az m x u 0 p P (x i x) becsléssel kapott x m p s ) szabadsági fokú T (vagy Studet) elos- ( ) szit½u itervallum becslést. q Ha a szórás em ismert, az s = véletle meyiség eloszlása az u. ( zlás, amiek jelölése: x m s p T Válasszuk a 0 < << valószí½uséghez táblázatból a t kritikus értéket úgy, hogy ha t T, akkor P (jtj > t ) =. Ekkor hasolóa kapjuk az ( ) szit½u itervallum becslést. m x t s p

33 3.. INTERVALLUM BECSLÉS 9 Megjegyzések: (a) Vegyük észre, hogy a kapott itervallum becslések középpotjai most is a korábba tárgyalt becslések, a potatlaság mértéke pedig a becslés stadard hibájáak és egy táblázati értékek a szorzata. A hiba most csak az ismert 0 s szórás eseté tervezhet½o el½ore, mivel a másik esetbe t p értéke mellett függ a meg gyelt mitától is, ami el½ore em ismerhet½o. Az természetese midkét esetbe teljesül, hogy a potatlaság mértéke övelésével tetsz½olegese kicsivé tehet½o. (b) Ha a mita elemszáma elég agy ( > 5; 0; 30; 60; 0; ), az alapsokaság ormális eloszlásáak feltételezése elhagyható, mivel az itt szerepl½o x és s statisztikák a P x i és P x i összegekkel fejezhet½ok ki, és ezek ilyekor jó közelítéssel ormális eloszlásúak tekithet½ok az alapsokaság eloszlásától függetleül. (c) Ha az elég agy elemszámú mitavétel visszatevés élkül törtét az N elemszámú sokaságból, a kapott eredméyek a stadard hibáak megfelel½oe módosulak, tehát m x u 0 p r N illetve m x t s p r N. (d) Az szit½u féloldali itervallum becslések most is az egyik, em kívát korlát elhagyásával yerhet½ok. (e) A fetiekhez hasoló módo készíthetük ko decia itervallumot további y ; y ; ; y k P meg gyelési eredméyek y = k k j= y j átlagára. Ismert 0 szórás eseté ugyais x y q N (0; ) 0 + k amib½ol kapjuk P x u 0 r + k y x u 0 r + k! = tehát az ( )-szit½u határok illetve az ismeretle szórás eseté y x u 0 r + k, y x t s 0 r + k. Kézirat, módosítva: 008. május 8.

34 30 3. FEJEZET. BECSLÉS 3. A szórás ko decia itervalluma. Haszáljuk az el½oz½o pot jelöléseit, amikor a szórás ismeretle paraméter. Ekkor = s ( ) eloszlása az u. ( ) szabadsági fokú eloszlás, jelölése. Válasszuk a 0 < << valószí½uséghez táblázatból a értékekett úgy, hogy ha, akkor P > Ekkor kapjuk P s ( ) = tehát a szóráségyzet illetve szórás (! s ; s < = és P > ) szit½u itervallum becslései s s! s ; s, amib½ol a megfelel½o szit½u féloldali határok yerhet½ok Feladatok kritikus 3.. Feladat. Egy 500 darabos termékhalmazba ismeretle számú hibás termék va. Becsüljük a hibásak számát, ha 00 elem½u mitát véve, 5 hibásat találtuk! Adjuk 90% biztosággal fels½o korlátot a hibásak számára! Háy elem½u mitára lee szükség a selejtaráy 0:05 hibával törté½o 90%-os szit½u iervallum becsléséhez? Adjuk meg a megoldást visszatevéssel és visszatevés élkül vett mita eseté! Megoldás. Ha a mitavétel visszatevéssel törtét. A hibásak aráya p = M ; ahol M a hibás darabok ismeretle száma. A p aráy becsült 500 értéke, és a becslés stadard hibája az N = 500 elem½u alapsokaságból (visszatevéssel) vett = 00 elem½u mita eseté, amikor is a mitába k = 5 hibás va: p = M 500 k = 5 k 00 = 0:5 D p p 0:5 0:75 = 4: 330 0, tehát M becsült értéke, és a becslés stadard hibája k M 5 D : = : Táblázatból u 0: = :8; amivel a p valószí½uség 80%-os szit½u kétoldali határai M :8 4: =

35 3.3. FELADATOK 3 tehát 90%-os szit mellett 5 M :8 4: = 5: A selejtaráy 90%-os szit½u becsléséek hibája kisebb mit u 0: p = :645 p tehát keressük azt a legkisebb egész számot, amire :645 p 0:05 amiek megoldása = 7. Ha a mitavétel visszatevés élkül törtét. A hibásak aráya p = M ; ahol M a hibás darabok ismeretle száma. A p aráy becsült 500 értéke, és a becslés stadard hibája az N = 500 elem½u alapsokaságból (visszatevés élkül) vett = 00 elem½u mita eseté, amikor is a mitába k = 5 hibás va: p = M 500 k = 5 s k 00 = 0:5 D p 99 0:5 0:75 = 3: , tehát M becsült értéke, és a becslés stadard hibája k M 5 D : = 9: Táblázatból u 0: = :8; amivel a p valószí½uség 80%-os szit½u kétoldali határai M :8 3: tehát 90%-os szit mellett 5 M :8 3: = 49: A selejtaráy 90%-os szit½u becsléséek hibája kisebb mit r u 0: p N = :645 r p 500 tehát keressük azt a legkisebb egész számot, amire r :645 p 500 0:05 amiek megoldása = 76. Kézirat, módosítva: 008. május 8.

36 3 3. FEJEZET. BECSLÉS 3.. Feladat. Egy 500 darabos termékhalmazba ismeretle számú hibás termék va. Becsüljük a hibásak számát, ha 00 elem½u mitát véve, 5 hibásat találtuk! Adjuk 90% biztosággal fels½o korlátot a hibásak számára! Megoldás. Jelölje a mita statisztikát, N = 500; M =?; = 00, ahol M az ismeretle paraméter. A valószí½uség becsült értéke, és a becslés stadard hibája: s M = 0:5 D p 0:5 0: = 3: , 499 tehát M becsült értéke, és a becslés stadard hibája M 5 D : = 9: Táblázatból u 0: = :8; amivel a valószí½uség 80%-os szit½u kétoldali határai tehát 90%-os szit mellett M :8 3: M 5 + :8 9: 385 = 49: Feladat. Háy embert kell egy közvéleméy kutató cégek megkérdezie, hogy egy ismeretle aráyt 0.0 potossággal tudjaak megadi 95%-os szit mellett? 3.4. Feladat. Egy mérési eljárás legagyobb véletle hibája = 0:03, = 3 mérés eredméyéb½ol x = :3. a) Becsüljük 90%-os biztosággal a mért meyiség értékét! b) Legfeljebb meyi lehet (ugyaeze meyiség eseté) egy mérés eredméye 95%-os biztosággal? c) Háy méresre va szükség, hogy a 95%-os szit½u itervallum becslés potossága 0:005 legye? Megoldás. Feltehetjük, hogy a mérések eredméye N (m; 0 ) eloszlású, ahol m az ismeretle várható érték paraméter, és a "3 szabály" szerit ismertek vehetjük a szórás 0 = jj = 0:0 értékét (lásd:.5 feladat), tehát 3 m x = :3 D( ) = 0 p = 0:0 p 3 = 5:

37 3.3. FELADATOK 33 a) Táblázatból u 0: = :645, amivel kapjuk a 90%-os határokat: m :3 :645 5: = % : 39 & :. b) Jelölje egy további mérés eredméyét, akkor u 0: = :645 táblázati értékkel kapjuk a 90%-os r :3 :645 0:0 3 + kétoldali határokat, amib½ol a keresett 95%-os fels½o határ. :3 + :645 0:0 r 3 + = : 49 c) u 0:05 = :96 amivel a kétoldali itervallum becslés potosságára :96 0:0 p = 0:005! = 5: 366 6, tehát = 6 mérés szükséges 3.5. Feladat. = 40 fel½ott fér súlyát megmérve, kaptuk x = 78:5 kg s (x) = :0 kg. a) Adjuk meg az átlagos (várható) súly 90%-os határait! b) Legalább háy kg lesz egy gépkocsi terhelése, ha 5 fér foglal bee helyet, 90%-os szit mellett? c) Milye határok között va a súly szórása 90%-os szit mellett? Megoldás. Feltehetjük a súly adatok N (m; ) eloszlását (már a mita mérete miatt is), ahol m a várható érték, a szórás paraméter. a) Az átlagsúly, azaz várható érték határai a t 0: = : 684 táblázati értékkel (szabadsági fok: 3940) m 78:5 : 684 :0 % 8: 45 p = 40 & 75: 05. Kézirat, módosítva: 008. május 8.

38 34 3. FEJEZET. BECSLÉS b) Jelölje ; ; 3 ; 4 a további (gépkocsiba szálló) fér ak súlyát, akkor t 0: = : 303 táblázati értékkel (szabadsági fok: 3940) a 80%-os kétoldali határok r 78:5 : 303 : amib½ol kapjuk a 90%-os alsó határt az összegre: r! = :5 : 303 : = 80: kg. 4 c) A 3940 eloszlás táblázatából 0:95 = 6:5 0:05 = 55:76 amivel kapjuk a szórás 90%-os ko decia határait: r r! :0 55:76 ; :0 = (0:044; 4:576). 6:5

39 4. fejezet Hipotézis vizsgálat Hipotézis vizsgálatak azt evezzük, amikor az alapsokaság valamely "mi½oségi" jellemz½ojére, tehát egy tulajdoság meglétére illetve hiáyára kell következtetük a meg gyelt mita segítségével. Egy ilye tulajdoság általába mit egy feltételezés, az u. ullhipotézis (jelölése: H 0 ), és vele együtt aak tagadása, az u. alteratív hipotézis (jelölése: H ), fogalmazható meg. Egy H 0 hipotézisr½ol, vagyis a megfelel½o tulajdoság meglétér½ol úgy dötük, hogy kijelöljük a meg gyelhet½o miták egy alkalmas K részhalmazát, az u. kritikus tartomáyt, és ha a meg gyelt x mitára teljesül: x K =) H 0 -t elutasítjuk, azaz a H alteratív hipotézist fogadjuk el; x = K =) H 0 -t elfogadjuk; Ezt az eljárást statisztikai próbáak evezzük. Egy ilye eljárás, potosabba a K kritikus tartomáy megválasztása akkor tekithet½o "ésszer½uek", ha a véletle kísérlet eredméyéek tekitett mita H 0 teljesülése eseté csak kicsiy ( 0:05) valószí½uséggel esik a kritikus tartomáyba, azaz P H0 (x K) =. Dötésüket x K eseté az idokolja, hogy kis valószí½uség½u eseméy bekövetkezésébe kételkedük, az x = K esetbe pedig ics okuk ilye kételyre. Következtetésük hibás lesz, ha H 0 eseté x K, ez az els½ofajú hiba, amiek valószí½usége éppe a kritikus tartomáy = P H0 (x K) terjedelme, ami egy adott érték. H eseté x = K, ez a másodfajú hiba, amiek valószí½usége függ az alteratív hipotézist½ol. = P H (x = K) 35

40 36 4. FEJEZET. HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A kétféle hiba valószí½usége kifejezhet½o a próba E = P (x K) J = E = P (x = K) er½ofüggvéyével és jelleggörbéjével, mely utóbbi a ull-hipotézis elfogadásáak valószí½usége. Az er½ofüggvéy lesz½ukítése a ull-hipotézisre, az álladó terjedelem, és az alteratív hipotézisre E jh0 = E jh = az alteratívától függ½o érték lesz. Amit azt kokrét esetekbe elle½orízhetjük, a kétféle hiba valószí½usége csak egymás rovására javítható, ezért a próbák sorá az alábbi eljárást célszer½u követi: utasítsuk el H 0 -t a lehet½o legkisebb terjedelm½u kritikus tartomáyal (javasolt: 0:05), mert ekkor ez a dötési hiba valószí½usége; fogadjuk el H 0 -t a lehet½o legagyobb terjedelm½u kritikus tartomáyal (javasolt: 0:), mert ekkor em ez, haem egy adott alteratívához tartozó, és reméyeik szerit ilyekor kicsiy a dötési hiba valószí½usége. Egy kritikus tartomáy kijelölése általába statisztikák segítségével törtéik, és erre, a már megismert itervallum becslések is alkalmasak. Ha adott a # paraméter ( )- szit½u itervallum becslése # (t ; t ), és vizsgáluk kell a H 0 : # = # 0 hipotézist, ahol # 0 egy adott érték, akkor -terjedelm½u kritikus tartomáy lesz: K = fx j # 0 < t (x) vagy t (x) < # 0 g. 4.. Aráy illetve valószí½uség próbája, (;c) terv Tömeggyártás mi½oségelle½orzéséek alapvet½o feladata, hogy a termékhalmazból választott -elem½u mita alapjá eldöted½o, em tartalmaz-e a termékhalmaz a megegedettél több hibás darabot, vagyis az ismeretle p selejtháyad meghaladja-e az el½oirás szeriti p 0 értéket. Ha a mitát egy véletle kísérlet eredméyéek tekitjük, a p = M N paraméter aak valószí½usége, hogy egy találomra választott termék hibás, ahol N a termékhalmaz elemszáma, M a hibásak ismeretle száma. Midezek ismeretébe megadható aak valószí½usége, hogy a mitába k számú hibás terméket találuk:

41 4.. ARÁNY ILLETVE VALÓSZÍN ½USÉG PRÓBÁJA, (N;C) TERV 37. Ha a mitavétel visszatevés élkül törtét L(k; p) = pn k N pn k N k = 0; ; ; : : :. Ha a mitavétel visszatevéssel, illetve agyo agy elemszámú sokaságból törtét L(k; p) = p k ( p) k k = 0; ; ; : : : k 3. Az utóbbi esetbe közelít½o formulát haszálhatuk, ha a agy elemszámú mita eseté (a) p lehetséges értéke kicsi (p < 0), a Poisso eloszlással törté½o közelítést L(k; p) (p)k e p k = 0; ; ; : : : k! tehát a mitába lév½o hibásak k száma = p paraméter½u Poisso eloszlású véletle meyiségek tekithet½o. (b) p értéke agy is lehet (p > 0), a ormális eloszlással törté½o közelítést L(k; p) k +! p p k! p p p( p) p( p) p p( p) ' tehát a mitába lév½o hibásak k száma N meyiségek tekithet½o.! k p p p( p) k = 0; ; ; : : : : p; p p( p) eloszlású véletle Vizsgáljuk el½oször azt az egyszer½u esetet, amikor p két lehetséges értéket vehet fel, tehát H 0 : p = p 0 ; H : p = p, és teljesül 0 < p 0 < p < : Itt p 0 a már korábba említett el½oírt érték, és a ála agyobb p érték jeleti azt az alteratívát, amely eseté em szereték hibás dötést hozi. Keressük terjedelm½u kritikus tartomáyt K c = fk j k > c; k = ; ; : : :g alakba, ahol c egy alkalmasa választott egész szám. Mivel egy adott értékhez em feltétleül található olya c szám, melyre X = P H0 (k K c ) = L(k; p 0 ) k=c+ teljesül, keressük azt a legkisebb c N számot, amivel X L(k; p 0 ) vagy másképp írva J (p 0 ) = k=c+ cx L(k; p 0 ), k=0 Kézirat, módosítva: 008. május 8.

42 38 4. FEJEZET. HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT és ekkor a másodfajú hiba értéke = J (p ) = cx L(k; p ): Ha a továbbiakba tetsz½oleges p ]0; [ értéket megegdük, a próba jelleggörbéje, ami aak valószí½usége, hogy a H 0 hipotézist elfogadjuk cx J (p) = L(k; p) p ]0; [: k=0 Köye elle½orizhet½o, hogy ez p-ek mooto csökke½o függvéye, lim 0 J (p) = és lim J (p) = 0; tehát p 0 -ál kisebb p eseté még -ál is kisebb els½ofajú hibával, p - él agyobb p eseté pedig -ál kisebb másodfajú hibával döthetük tévese. Igaz ugya, hogy p 0 és p között a dötési hiba valószí½usége agy, de ha a valóba veszélyes alteratíva értéke p -él kezd½odik, akkor az ilye fajta rossz dötés még em jelet megegedhetetle kockázatot. Ha értékét is el½oírjuk, a mita elemszáma tervezhet½o, vagyis adott hibavalószí½uségekhez megadható a mita elemszáma, és a kritikus tartomáyt kijelöl½o c szám. Ezt evezzük az ; -hibákhoz tartozó (; c)-tervek. Azt a legkisebb egészet kell választai, melyre egyszerre teljesülek cx L(k; p 0 ) ; k=0 k=0 cx L(k; p ) : k=0 Egy lehetséges algoritmus meghatározására, ha egy kezd½o = 0 értékb½ol iduluk, és. eseté meghatározzuk azt a legkisebb c egészt, melyre cx L(k; p 0 ) :. Ha k=0 cx L(k; p ) k=0 teljesül, megva a keresett ; ha em, akkor az. lépésél. Midez a 3.b) esetbe egyszer½ubbe alakul, ugyais az! cx c p 0 L(k; p 0 ) p = p0 ( p k=0 0 )! cx c p L(k; p ) p =. p ( p ) k=0 + értékével folytatjuk

43 4.. ÁTLAG ÉS SZÓRÁS PRÓBÁI NORMÁLIS ELOSZLÁS ESETÉN 39 egyeletredszert kell megoldauk, majd a kapott gyökök egészre kerekített értékeit haszálhatjuk. 4.. Átlag és szórás próbái ormális eloszlás eseté Sok véletle meyiség véletle hatások ered½ojéek tekithet½o, mit például egy mérés eredméye, ezért ormális eloszlású lesz. Jelölje az ilyekor végtele, vagy agyo agy elmeszámú alapsokaság átlagát és szórását, vagyis a meg gyelt véletle meyiségek közös várható értékét és szórását, az m és paraméter. Ezekkel a paraméterekkel kapcsolatos feltételezéseket vizsgáluk az alábbiakba.. (Egymitás) u-próba. Legye az x = (x ; x ; ; x ) mita egy N (; 0 ) eloszlású véletle meyiség ismételt meg gyeléséek eredméye, ahol 0 adott, a várható érték paraméter ismeretle. Vizsgáljuk a H 0 : m = m 0 hipotézist a H : m 6= m 0 alteratívával szembe, ahol m 0 adott (hipotetikus) érték. A ormális eloszlás tulajdoságaiból következik, hogy H 0 esté x N m 0 ; 0 p ) x m 0 p N (0; ). 0 Válasszuk a 0 < << értékhez táblázatból u értékét úgy, hogy u N (0; ) eseté P (juj > u ) = ; akkor x m 0 p P H0 0 > u =, tehát kaptuk a K = x j x m 0 0 p > u -terjedelm½u, kétoldali kritikus tartomáyt. Hasolóa yerhet½ok K + = x j x m 0 p > u 0 K = x j x m 0 p < u 0 ugyacsak -terjedelm½u, féloldali kritikus tartomáyok. Adjuk meg a megfelel½o er½ofüggvéyeket a külöböz½o próbák összehasolításához, tehát x m 0 p E = P (K) = P 0 u = = P u + m 0 mp x mp u + m 0 mp = = u + m 0 mp + u + m 0 mp, 0 0 Kézirat, módosítva: 008. május 8.

44 40 4. FEJEZET. HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT illetve hasolóa yerhet½ok E + = u + m 0 m 0 E = u + m 0 m 0 p p Egyszer½ue elle½orízhet½o, hogy E az m paraméter m 0 -ra szimmetrikus függvéye, és E < E + ha m 0 < m E > > E + ha m 0 > m E < E ha m 0 > m E > > E ha m 0 < m. Tehát a H + : m 0 < m illetve H : m 0 > m alteratív hipotézisek eseté er½osebb próbákat kapuk a K + illetve K kritikus tartomáyok alkalmazásával. Teljesülek továbbá. és lim E = m! lim E + = m!+ lim E = m! lim! ha m 6= m 0 lim =! ha m > m 0 lim! = ha m < m 0 ami azt jeleti, hogy a másodfajú hiba adott alteratíva eseté tetsz½olegese kicsivé tehet½o a mita elemszámáak övelésével.. Egymitás T -próba. Legye az x = (x ; x ; ; x ) mita egy N (; ) eloszlású véletle meyiség ismételt meg gyeléséek eredméye, ahol a várható érték és szórás paraméter ismeretle. Vizsgáljuk a H 0 : m = m 0 hipotézist a H : m 6= m 0 alteratívával szembe, ahol m 0 adott (hipotetikus) érték. Ekkor H 0 esté x m 0 s p T. Válasszuk a 0 < << értékhez táblázatból t értékét úgy, hogy t T eseté P (jtj > t ) = ; akkor x m 0 p P H0 s > t =, tehát kaptuk a K = x j x m 0 s p > t