MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Matematika emelt szit 06 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006 május 9 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

2 Matematika emelt szit Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe jelöli a hibákat, hiáyokat stb A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható maimális potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerül Kifogástala megoldás eseté elég a maimális potszám beírása a megfelelő téglalapokba Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra Tartalmi kérések: Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit, és eek alapjá potozzo A potozási útmutató potjai tovább bothatók Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek Nyilvávalóa helyes godolatmeet és végeredméy eseté maimális potszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóba szereplőél kevésbé részletezett Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi Elvi hibát követőe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba kettős voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel, mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következő godolati egységbe vagy részkérdésbe, akkor erre a részre kapja meg a maimális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változott meg Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes értékű a megoldás Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül csak egy (a magasabb potszámú) értékelhető A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maimális potszámot meghaladó pot) em adható Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel A vizsgafeladatsor II részébe kitűzött 5 feladat közül csak feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetőleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai Ha mégsem derül ki egyértelműe, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését em kéri, akkor automatikusa a kitűzött sorred szeriti legutolsó feladat lesz az, amelyet em kell értékeli írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

3 Matematika emelt szit a) I y A F AB 0 K F BC B C A háromszög C csúcsát az AB szakasz felezőmerőlegese metszi ki az y tegelyből AB felezőpotja: F AB ( 5; ) AB felezőmerőlegeséek egyik ormálvektora: ( ; ) AB AB felezőmerőlegeséek egyelete: y = Az AB alappal szemközti csúcs: ( 0; ) pot C Összese: pot A köré írt kör középpotja az AB alap felezőmerőlegeséek és valamelyik szár felezőmerőlegeséek a metszéspotja 7 A BC oldal felezőpotja: F BC ; BC felezőmerőlegeséek egyik ormálvektora: CB ( 7; ) BC felezőmerőlegeséek egyelete: 7 + y = Ha a C csúcs koordiátáit egy jó ábráról olvassa le a vizsgázó számítások élkül, akkor az előző potból legfeljebb pot adható Ez a pot akkor is jár, ha a godolatmeet a számolásból látszik írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

4 Matematika emelt szit AB felezőmerőlegeséek egyeletéből és BC felezőmerőlegeséek egyeletéből álló egyeletredszer megoldása =, 9 ; y = 0, 9, így a köré írt kör középpotja: K (,9; 0,9) A köré írt kör sugaráak égyzete: r = KC =,9 = 6,8 A háromszög köré írt kör egyelete: (,9) + ( y 0,9) = 6, 8 Összese: pot 8 pot A piros kocka éléek hossza a, a kék kocka éléek hossza b A piros kocka felszíe 6a, a kék kockáé A feltétel alapjá: 6a b Ebből, felhaszálva, hogy a > 0 és b > 0 : 6b pot = 6 pot a = b A piros kocka térfogata a kék kocka térfogatával kifejezve: a = b 8 Mivel 0, 65, ezért a piros kocka térfogata a 8 kék kocka térfogatáak 65% -a Tehát a piros kocka térfogata kb 5%-kal kisebb, mit a kék kocka térfogata Összese: pot pot a) Ha, az 0 + p = egyelet gyökei, akkor +, az + p = 0 egyelet gyökei + Midkét egyelet eseté a gyökök összegére voatkozó Viète-formulák: + és ( + ) + ( + ) = p = pot pot Ezekből adódik, hogy p = lehet pot p = eseté midkét egyeletek valós gyökei vaak Összese: 9 pot Ez a potszám akkor is jár, ha a gyököket paraméterese a megoldóképlettel írja fel a vizsgázó Ez a pot a megoldóképlettel kapott gyökök megfelelő párosításáért is adható Ez az a diszkrimiás vizsgálatáért is adható írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

5 Matematika emelt szit Az + 5 = 0 egyelet diszkrimiása egatív, ezért icseek valós gyökei Az + 5 = 0 egyelet gyökei: = ( 0,9) ; = ( 5,9) Összese: pot pot pot a) ( megoldás) Jelölje redre A, B és C a számítógép kutatásba, oktatásba és kommuikációba betöltött szerepéről publikáló tudósok halmazát A feladat feltételei ezzel a jelöléssel: A =, B = 8, C = 7, A B C = 0 A B + B C + C A A B C = 7 pot A logikai szita formulát alkalmazva: 0 = A B C = = A + B + C A B B C C A + A B C = = A B C pot Ebből adódik, hogy A B C = 5 pot A kérdéses valószíűség: a) ( megoldás) 5 P = = pot 0 6 Összese: 0 pot A B a (a + c + ) 8 (a + b + ) c b pot 7 (b + c + ) C A feltételek alapjá: () a + b + c = 7 + a + b + c + () + 7 b + c + = ( a + c + ) + 8 ( a + b + ) ( ) 0 + pot írásbeli vizsga 06 5 / 006 május 9

6 Matematika emelt szit A () bal oldalá elvégezve az összevoásokat: 7 ( a + b + c) = 0 () behelyettesítése és redezés utá adódik, hogy = 5 5 A kérdéses valószíűség: P = = 0 6 pot Összese: 0 pot 5 tudós publikált midhárom témába, 7 tudós potosa két témába, így olya tudós va, akik legalább két pot témába publikáltak A specialisták száma így 0 = 8 pot Összese: pot írásbeli vizsga 06 6 / 006 május 9

7 Matematika emelt szit II 5 a) 8 8 C H m A F 8 G B A tetőtéri helyiség oldaléléek meghatározásához vegyük a gúla csúcsára és két szemközti alapél felezőpotjára illeszkedő síkmetszetét Ez egy egyelő szárú háromszög, amelyek alapja 8, szára méter hosszú Eek a háromszögek az alaphoz tartozó magassága Pitagorasz tétele alapjá m = (m) A síkmetszet ábrájáak jelöléseit haszálva a CFB derékszögű háromszög hasoló a HGB derékszögű háromszöghöz, ugyais az FBC szög közös hegyesszög pot Ez a pot a térbeli viszoyok helyes elképzelését tükröző ábra eseté is jár írásbeli vizsga 06 7 / 006 május 9

8 Matematika emelt szit Ha jelöli a kocka éléek hosszát (síkmetszetbe a háromszögbe beírt égyzet oldalát), akkor a hasolóság alapjá = =, 8 ahoa =, (m) + 6 A helyiség alapterülete: T = = m + Összese: 9 pot A gúla magassága az előzőek alapjá m = A tetőtér (gúla) térfogata így: 8 56 pot V t = m = m 0,68 m A kocka térfogata: V k = m = m 6,8 m A térfogatok aráya: ( + ) V V k t = ( + ) pot 0,05 A helyiség közelítőleg 0%-át foglalja el a légtérek Összese: 7 pot A megfelelő potszámok a közelítő értékek feltütetése élkül is járak írásbeli vizsga 06 8 / 006 május 9

9 Matematika emelt szit 6 a) A megoldadó egyelet: + 0 = + 6 Átalakítva: + 8 = 0 A megoldások: =, = 7 pot Összese: pot A metszéspotokba húzható éritők meredeksége: m = f ( ), illetve m = f ( ), f ( ) = + 0 Így m = f ( ) = és m = f ( 7) = pot A két grafiko metszéspotjai: ; M 7; pot M ( ), illetve ( ) A két éritő egyelete: e : y =, vagy más alakba y = 6, ( ) ( 7) e : y + =, vagy más alakba y = + 7 Összese: 7 pot Az éritők egyeletéek bármelyik jól felírt alakjáért járak a megfelelő potszámok írásbeli vizsga 06 9 / 006 május 9

10 Matematika emelt szit c) y f g f és g grafikojáak ábrázolása A kérdéses síkidom területe: ( ) d g( ) d = ( f ( ) g( ) ) T = f d Mivel f ( ) g( ) = + 8 T = 6, ezért ( + 8) d = + 8 = 6 pot = = + pot Összese: 6 pot Legfeljebb pot adható, ha a vizsgázó hibása ábrázolja a függvéyeket, és a hibás adatokkal (rossz itervallumo) számol A megfelelő potszám akkor is jár, ha a vizsgázó külö számolja ki a megfelelő itegrálokat és kivoja őket egymásból, vagy ha a g függvéy itegrálját em határozza meg, haem az ábra alapjá számolja ki a megfelelő egyelő szárú derékszögű háromszög területét, és ezt voja ki az f itegráljából írásbeli vizsga 06 0 / 006 május 9

11 Matematika emelt szit 7 a) Legye s a Szeged-Cegléd útvoal hossza km-be, s a Cegléd-Budapest távolság km-be, valamit legye v a voat eredeti átlagsebessége km/h-ba pot s s A voat hétfői meetideje órába: + v v s + 9 ( s 9) A hétvégi meetidő órába: + pot v v A két meetidő közötti külöbségre voatkozó feltétel alapjá: s s s + 9 ( s 9) pot + + = v v v v Az egyeletet megoldva kapjuk, hogy a voat eredeti pot átlagsebessége v = 76 km/h Összese: 0 pot Teljes megoldásak tekithető a képlet élküli tömör idoklás is: A meetidőtől való 0 perces eltérést a 9 km-es szakaszo a hétvégi sebesség kétszeresével agyobb sebesség okozta Így a voat sebessége a 9/0,5 kétszerese, azaz 76 km/h Meetjegy jellege Utasok száma Téyleges jegyár (Ft) Teljes árú 0%-os %-os 50%-os 67,5%-os 75%-os 90%-os 95%-os Igyees A táblázat adataiak kitöltése Az átlagos jegyár foritba: pot Ha a téyleges jegyárak között va hibás, de a számuk legfeljebb égy, akkor adható Ha égyél több hibás adat va, akkor em jár pot = = = 998,775( 999 Ft, illetve000 Ft) pot 00 Ez a teljes árak közelítőleg 50%-a, így az átlagos jegyár közelítőleg 50%-os lee Összese: pot 6 pot Ha a téyleges jegyárak között va hibás adat, de az átlagot elvileg jól számolja ki a vizsgázó, akkor is jár a pot Jár a pot akkor is, ha hibás adatok alapjá, de elvileg jól számol a vizsgázó, vagy ha eredméye másféle kerekítésből adódott írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

12 Matematika emelt szit 8 a) a, ab, bba potosa akkor egymást követő tagjai egy számtai sorozatak, ha bba ab = ab a Helyiértékese felírva: ( 0 b + a) ( 0a + = ( 0a + a, ahoa átalakítások utá adódik, hogy a = 6b Mivel a és b tízes számredszerbeli számjegyek, ezért a = 6, b = Így a három szám 6; 6; 6, a differecia 55 Az első száz elem összege: 00 S 00 = ( ) = 7850 Összese: A mértai sorozat első eleme a, háyadosa q Ha q =, akkor a sorozat álladó, így a megfelelő összegek egyelők A három azoos szám egy mértai sorozat egymást követő tagjai Ha q, akkor az első elem összege: S q = a q () pot 7 pot () q A második elem összege: S = aq pot q () q A harmadik elem összege: S = aq q pot Ezek az összegek ebbe a sorredbe egy mértai () () () sorozat egymást követő elemei, ha ( S ) = S S Ez viszot teljesül, ugyais () () q q S S = a q = aq = () ( S ) q q Összese: pot 9 pot Az utolsó pot bármilye helyes idoklásért jár 9 a) Ha az első két szám a és b (a <, akkor a harmadik szám a + b, a egyedik ( a + A feltétel alapjá ( a + 0, vagyis a + b 0 Mivel a < b, ezért a 9, azaz a legkisebb szám legfeljebb 9 lehet pot Összese: pot írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

13 Matematika emelt szit Két lehetséges számégyes va: pot 9, 0, 9, 8; 9,, 0, 0 Összese: pot c) Adrás szabálya szerit kitölthető lottószelvéyek számát az első szám választása alapjá összegezhetjük Első szám: Szelvéyek száma redre: pot A külöböző szelvéyek száma így: = 90 Az első 0 pozitív egész számból kiválasztható számégyesek száma: = 990 pot 0 A telitalálat valószíűsége: P = 90 9, pot Összese: 8 pot írásbeli vizsga 06 / 006 május 9